Download - Soal aril 2003
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 1/11
Soal-soal Analisa Real dan Pembahasannya
1. Buktikan bahwa
a.
b.
c.
Solusi:
a. Misalkan , maka
b. Misalkan ,
akibatnya
c. Misalkan ,
akibatnya
2. Tunjukkan bahwa
Solusi:
(i)
artinya jika maka
akan ekuivalen dengan kontraposisinya yaitu
jika maka
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 2/11
ini berarti jika maka
dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa
(ii)
artinya jika maka
ekuivalen dengan jika maka
pernyataan ini akan ekuivalen dengan kontraposisinya yaitu
jika maka , ini berarti bahwa
Maka, dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan
3. Tentukan jumlah elemen dari setiap himpunan berikut
a. A={x : x2 = 4}
b. L={x : x > x+2}
c. P={huruf abjad sebelum huruf m}
Solusi:
a. Hanya ada 2 akar, yaitu x=2 dan x= -2 yang memenuhi A. sehingga n(A)=2
b. Tidak ada x yang memenuhi kondisi pada L. maka , sehingga n(L)=0
c. Ada 12 huruf abjad sebelum m, sehingga n(P)=12
4. Buktikan hukum involusi bahwa
Solusi:
(i)
Misalkan , ini berarti bahwa , dan akibatnya
Jadi
(ii)
Misalkan , ini berarti bahwa , dan akibatnya
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 3/11
Jadi
Dari (i) dan (ii) maka
5. Jika diketahui P={1,2,3,4,5}, Q={x : x bilangan prima kurang dari 15} dan R={ y : y=2n,
n 8 dan n }
Tentukan
a.
b.
c.
d.
e. jika
Solusi:
P={1,2,3,4,5}, Q={2,3,5,7,11,13}, dan R={2,4,6,8,10,12,14,16}
a.
b.
c.
d.
e.
6. Misalkan A dan B adalah dua himpunan berhingga yang saling asing atau lepas. Maka
buktikan bahwa n(A B)= n(A) + n(B)
Solusi:
Dalam menghitung elemen-elemen A B, pertama hitung jumlah elemen pada A yaitu
n(A).Elemen lain dari A B ada pada B tetapi bukan di A. tetapi karena A dan B saling
asing, maka tidak ada elemen B di A. Sehingga ada n(B) elemen di B yang bukan di A.
dengan demikian (A B)= n(A) + n(B)
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 4/11
7. Berikan sebuah contoh fungsi dan A dan B merupakan subset dari X
sedemikian sehingga
Solusi:
Definisikan dimana
Jika dan , maka
8. Diberikan fungsi dan . jika maka buktikan bahwa
Solusi:
Misalkan bahwa
9. Buktikan bahwa komposisi fungsi memenuhi hukum asosiatif.
Solusi:
Misalkan
Maka yang akan ditunjukkan adalah
Perhatikan bahwa untuk setiap kita memiliki
Jadi,
10.Misalkan ( ) x x f = dan ( ) 12−−= x x g
a. apakah f g dan g f ada?
b. jika ada carilah domainnya
solusi
a. ( ) x x f = maka
[ )
[ )∞=
∞=
,0
,0
f
f
R
D
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 5/11
( ) 12−= x x g
( ]
1
01
1
1
,
2
−≤
≥−−
−−=
−−=
−∞−=
=
y
y
y x
x y
R
R D
g
g
f g ada jika [ ) [ ) ada f g jadi R D R g f φ φ ≠∞=∩∞=≠∩ ,0,0
g f ada [ ) [ ) g f jadi D R f g φ φ =∞∩−∞−=≠∩ ,01, tidak ada
b.
= [ )),0(1 ∞− f
Artinya jika maka
Sehingga
11. Misalkan I = {x / x bilangan irasional}. Buktikan bahwa I himpunan uncountable.
Solusi:
Misalkan Q = himpunan semua bilangan rasional.
Andaikan I himpunan countable
Dari teorema 3.3 diperoleh I ∪ Q = R himpunan countable
Hal ini bertentangan dengan R himpunan uncountable
Jadi I haruslah uncountable.
12.misalkan A dan B dua himpunan dan B A⊆ , buktikan bahwa jika A uncountable maka B
uncountable.
Solusi:
Diketahui A uncountable dan B A⊆
Karena B A⊆ maka B B A =∪ dan A B A =∩
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 6/11
Andaikan B countable, maka dari B B A =∪ countable (berdasarkan definisi) akibat A
countable.
Jadi pengandaian bahwa B countable salah, maka seharusnya B uncountable
13. Misal A uncountable dan B countable, periksa kecountabilitas A+B dan B-A!
Solusi:
a. Andaikan A + B countable maka ((A ∪ B)-(B∩ A)) ∪ A ∪ B = A ∪ B countable
Kontradiksi dengan A ∪ B yang countable (soal sebelumnya),
jadi A + B haruslah uncountable
b. Andai B-A uncountable,
Maka menurut teorema (B-A) ∪ B = B uncountable kontradiksi dengan B yang
14.Buktikan bahwa jika A B ⊆ maka B = A – (A – B)
Solusi:
Andaikan B ≠ A – (A – B)
Perhatikan
A – (A – B) = ( )c B A A ∩−
= ( )cc B A A ∩∩
= ( ) B A Ac
∪∩
= ( ) B A A Ac
∩∪∩
= ( ) B A ∩∪φ
= A Bkarena B A ⊆∩
= B
Jadi kontradiksi dengan pengandaian B ≠ A – (A – B), seharusnya B = A – (A – B)
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 7/11
15.Jika {A1,A2,….. An} merupakan koleksi dari himpunan dan E himpunan sembarang
buktikan bahwa ( )
n
i
n
i
A E A E 1 1
11
= =
∪=∪
Solusi:
Akan dibuktikan
(i). ( )
n
i
n
i
A E A E 1 1
11
= =
∪⊆∪
(ii).
n
i
n
i
A E A E 1 1
11
= =
∪⊆∪
Bukti
(i).
( )
n
i
n
i
A E A E 1 1
11
= =
∪⊆∪
misalkan
n
i A E x
1
1
=
∪∈
atau E x∈
n
i
A x
1
1
=
∈
atau E x∈1 A x∈ untuk setiap i =1,2,3,…n
1 A E x ∪∈ untuk setiap i = 1,2,3,....n
( )n
i
A E x1
1
=
∪∈ …………..(1)
(ii). ( )
n
i
n
i
A E A E 1
1
1
1
==
∪⊆∪
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 8/11
misalkan ( )
n
i
A E x1
1
=
∪∈
1 A E x ∪= untuk setiap I =1,2,3…….n
E x ∈ atau 1 A x∈ untuk setiap 1 = 1,2,3 ….n
E x ∈ atau
n
i
A x
1
1
=
∈
n
i
A E x1
1
=
∪∈ …..(2)
Berdasarkan persaman (i) dan (ii) maka ( )
n
n
n
i
A E A E 1
1
1
1
−=
∪=∪
16.Misalkan f : A DC:gdanB →→ dan misalkan bisa dibuat. Buktikan bahwa jika
injektif maka f injektif!
Solusi:
Jika akan dibuktikan f (a) = f (b) dengan a = b
)(b)(f g)(a)(f g =⇒
(b)f ydan(a)f untuk x,(y)g(x)g ===⇒
⇒ x = y , karena g o f injektif
⇒ f (a) = f (b) , jadi f injektif.
17.Misalkan A dan B himpunan countable buktikan bahwa A x B countable.
Solusi:
A x B = ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈,
Karena A countable maka A ={a1,a2,…..}
Karena B countable maka B ={b1,b2,…..}
Selanjutnya A1= ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈ 11,
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 9/11
A2 = ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈ 22,
An = ( ){ } Bbdan Aaba nn ∈∈,
Jelas A1, A2, A3,….. An, ekivalen dengan A atau B, maka A1, A2, A3,….. An countable.
Berdasarkan definisi maka A x B =ni
A1
1
=
himpunan countable.
18.Misalkan A dan B dua himpunan A countable dan B uncountable bahwa :
a. B A∩ himpunan countable
b. B A∪ himpunan uncountable
Solusi
a. A countable dan B uncountable, maka dapat dikatakan B A⊆ dimana A B A =∩ dan
B B A =∪ jadi A B A =∩ karena A himpunan countable
b. B B A =∪ himpunan countable karena B himpunan uncountable
19.Misal A countable, B uncountable. Periksalah kecountabilitasan )( B A A ∩× !
Solusi:
A ∩ B⊆A karena A countable maka A ∩ B countable.
Misal A x ∈
Tulis Zx = {( x,y) y∈( A∩ B)}countable
Karena (A ∩ B) countable∈ Zx ∞ (A∩ B) maka Zx countable
Dari teorema diperoleh )( B A A A x x ∩×=
∈ Z countable.
20.Misalkan A himpunan countable dan { }3,2,1= B . Buktikan himpunan AxB countable.
Solusi;
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 10/11
Dimiliki ( ){ Aaba B A ∈=× /, dan } Bb∈ . Karena A countable, maka dapat ditulis
menjadi { },...,, 321 aaa A = ,
Selanjutnya sebut ( ){ } A x x A ∈= /1,1
( ){ } A x x A ∈= /2,2 dan
( ){ } A x x A ∈= /3,3
Jelas 321 ,, A A A masing-masing himpunan yang ekuivalen dengan A, karena itu
321 ,, A A A himpunan uncountable.
Jadi, menurut teorema diperoleh bahwa 31=
=×
i
i A B A himpunan countable
21.Misalkan R= himpunan semua bilangan riil dan Selanjutnya di buat f :
yang di definisikan oleh f(x)= . Tentukanlah ?
Solusi:
f(x) jika :
X+1 0
X 0
0
0
x-2
5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 11/11
2x
x
{x|x 1, x }
={y|y 0 }
22.Berikan dua contoh fungsi dan tetapi
Solusi:
Misalkan ( ) x x f 4= dan ( ) x x g 3= maka
( )( ) x g f g f =
( )
( )
x
x
x f
12
34
3
=
=
=
( )( ) x f g f g =
( )
( ) x x
x g
1243
4
=
=
=