![Page 1: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika Ekonomi 1
![Page 2: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/2.jpg)
MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA
Oleh
R. SIHOTANG
![Page 3: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/3.jpg)
Matematika Ekonomi 3
Ruang Lingkup:Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks.
Sasaran:Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi
•Tujuan :Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap-annya pada persoalan ekonomi.
![Page 4: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/4.jpg)
Matematika Ekonomi 4
• Kompetensi:• Mampu menyelesaikan persoalan
Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika.
• Literatur• Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods
of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York
• Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta
![Page 5: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/5.jpg)
Matematika Ekonomi 5
• Materi:• Pegertian Matematika• Himpunan• Sistem Bilangan• Fungsi• Fungsi Linear• Fungsi non Linear• Diferensial Fungsi Sederhana• Diferensial Fungsi Majemuk• Aljabar Matriks
![Page 6: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/6.jpg)
ASAL KATA
Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari mate- matika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis.
Berpikir matematis:
Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.
MATEMATIKA
![Page 7: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/7.jpg)
Matematika Ekonomi 7
Berpikir matematis:
Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika.
Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa.
Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.
![Page 8: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/8.jpg)
Matematika Ekonomi 8
Ekonomi dan Matematika Ekonomi
Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:
a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.
b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-kan logika dengan asumsi-asumsinya.
c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)
Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi
![Page 9: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/9.jpg)
Matematika Ekonomi 9
Kelemahannya pendekatan matematis:
a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran.
Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.
b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan:
(1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis
![Page 10: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/10.jpg)
Matematika Ekonomi 10
(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.
Kesimpulan dari bahasa adalah:
1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.
2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)
![Page 11: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/11.jpg)
Matematika Ekonomi 11
Matematika Ekonomi dan Ekonometrika
Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi.
Data Ekonomi
- Deduksi
- Model
- Induksi
- Mengolah data
- Mengambil kesimpulan
EkonometrikaMatematika
![Page 12: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/12.jpg)
Matematika Ekonomi 12
Teori Ekonomi
Model atauHipotesis
Fakta
Data Ekonomi
MetodeEkonometrika
Teori Statistika
Satu Persamaan
Simultan
Teori Diterima
Teori Ditolak
Teori Disempurnakan
deduktif
induktif
![Page 13: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/13.jpg)
Matematika Ekonomi 13
Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel).
![Page 14: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/14.jpg)
Matematika Ekonomi 14
HIMPUNAN = GUGUS
Silabus:
• Definisi, pencatatan dan himpunan khas
• Himpunan Bagian
• Pengolahan (operasi) himpunan
• Hubungan
![Page 15: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/15.jpg)
Matematika Ekonomi 15
1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas
Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan.
Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital)
Obyek atau unsur atau elemen dilambang-kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, …
Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-rusnya.
![Page 16: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/16.jpg)
Matematika Ekonomi 16
Dua cara pencatatan suatu himpunana. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup
“ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan
bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap}
X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen
tanda “/” dibaca dengan syaratx bil genap = sifat atau ciri
![Page 17: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/17.jpg)
Matematika Ekonomi 17
Cara pendefinisian sifat yang lain:
J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5
Himpunan khas:
a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil
b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø”
![Page 18: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/18.jpg)
Matematika Ekonomi 18
Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }
Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P
4 € P.
Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”
Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P
dicatat 5 € P
6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”.
![Page 19: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/19.jpg)
Matematika Ekonomi 19
2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian
dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup
Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya.
![Page 20: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/20.jpg)
Matematika Ekonomi 20
Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }
Himpunan bagiannya:
a.Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 }
b.Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 }
X32 = { 1, 2, 4 }
X33 = { 1, 3, 4 }
X34 = { 2, 3, 4 }
c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 }
X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 }
X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }
![Page 21: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/21.jpg)
Matematika Ekonomi 21
d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 }
e. Tanpa memilih X0 = { }
Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n
1 elemen: 1 2 himp bag 2 elemen: 1 2 1 4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1 8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1 16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1 32 himp bag
Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton
![Page 22: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/22.jpg)
Matematika Ekonomi 22
• Latihan:
![Page 23: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/23.jpg)
Matematika Ekonomi 23
3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan,
pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen.
Operasi Gabungan ( U )
A U B = { x / x ε A atau x ε B }
A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.
Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 }
A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }
![Page 24: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/24.jpg)
Matematika Ekonomi 24
Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir
A B
S
Sifat-sifat gabungan
a.A U B = B U A Hukum komutasi
b. A (A U B) dan B (A U B)
![Page 25: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/25.jpg)
Matematika Ekonomi 25
Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:
A B
s
![Page 26: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/26.jpg)
Matematika Ekonomi 26
Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)
b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B
Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:
A B
S
![Page 27: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/27.jpg)
Matematika Ekonomi 27
Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }
A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B) A; (B – A) B
b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus
![Page 28: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/28.jpg)
Matematika Ekonomi 28
Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)
S
A A’
A
![Page 29: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/29.jpg)
Matematika Ekonomi 29
Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A
Latihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }
Kemudian selesaikan :a). A – B b). B – A c) A ∩ Bd). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’
![Page 30: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/30.jpg)
Matematika Ekonomi 30
Latihan 2Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau €
A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’
€ €
€ €
€ €
€ €
![Page 31: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/31.jpg)
Matematika Ekonomi 31
Hubungan
Himpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.
Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}
Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}
![Page 32: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/32.jpg)
Matematika Ekonomi 32
Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: X 1 2 3
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)
X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Y
![Page 33: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/33.jpg)
Matematika Ekonomi 33
Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut:
Y
3 • • • •
2 • • • •
1 • • • •
0 1 2 3 4 XGbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah
H1
H2 H3
H4
PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin
U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar
Terdapat 4 himp bag
H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg
mengerti} H3 = {rajin ttp krg
ngerti} H4 = {rajin dan pintar}
![Page 34: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/34.jpg)
Matematika Ekonomi 34
Daerah dan Wilayah (Range) hubungan• Perhatikan kembali Himpunan hasil kali
Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan
• Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:
• Wh = {1, 2, 3}
![Page 35: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/35.jpg)
Matematika Ekonomi 35
Kesimpulan:• Himpunan hasil kali Cartesius adalah
himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
• X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }• Daerah hubungan
Dh = { x / x € X}• Daerah hubungan:
Wh = { y / y € Y}
![Page 36: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/36.jpg)
Matematika Ekonomi 36
SISTEM BILANGAN
Nyata+ dan - Khayal
Rasional Irrasional
Bulat Pecahan
Bilangan
2; -2; 1,1; -1,1
Akar negatip
√(-4) = ± 2
Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525
Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮
1; 4; 8; termasuk 0
½; 2/7 dsb
1. Pembagian bilangan
![Page 37: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/37.jpg)
Matematika Ekonomi 37
2. Tanda pertidaksamaan• Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”• Tanda > melambangkan “lebih besar dari”• Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”• Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”
3. Sifat • Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b• Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b• Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b• Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d
![Page 38: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/38.jpg)
Matematika Ekonomi 38
FungsiSilabus:a. Pengertianb. Macam-macam fungsic. Fungsi Lineard. Fungsi non Linear
![Page 39: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/39.jpg)
Matematika Ekonomi 39
Dengan denah Venn sbb:
◦
◦
◦
•
•
•
X Y
Hubungan 1 - 1
Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR
PengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)
![Page 40: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/40.jpg)
Matematika Ekonomi 40
Perhatikan juga contoh berikut:
0 x1x2
X
Y
y1 • •
y = f(x)•x1
•x2
•xn
•y1
•yn
X Y
Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)
Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.
![Page 41: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/41.jpg)
Matematika Ekonomi 41
Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll.
Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y
simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y
Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain
aturan ditransformasi
![Page 42: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/42.jpg)
Matematika Ekonomi 42
Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas)
y akibat dari fungsi (variabel terikat)
Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).
Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari
merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas
limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya?
Jawaban:Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 }Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 } Dapat Anda jelaskan ?
![Page 43: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/43.jpg)
Matematika Ekonomi 43
Macam-macam fungsia. Fungsi
Polinomial
x
y
Konstan, jika n = 0
y = a
a0
Slope = a1
Bentuk umumnya :
y = a + bx + cx2 + . . . + pxn
x
y
Linear, jika n = 1
y = a + bx
a0
Kuadratik, jika n = 2
Y = c + bx + ax2
case c < 0
![Page 44: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/44.jpg)
Matematika Ekonomi 44
•
•
x
y
Titik belok
Titik maksimum
Fungsi kubik
y = d + cx + bx2 + ax3
Titik maksimum
Titik minimum
x
y
Fungsi polinom derajad 4
y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4
![Page 45: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/45.jpg)
Matematika Ekonomi 45
b. Fungsi Rasional
Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola.
Hiperbola: y = (a/x), a > 0
x
y
0
c. Fungsi eksponensial dan logaritmay
x0
Eksponensial y = bx , b>1
y
x0
Logaritmay = logbx
![Page 46: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/46.jpg)
Matematika Ekonomi 46
Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling
dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi
• Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya:- antara permintaan dan harga- invests dan tingkat bunga- konsumsi dan pendapatan nasional, dll
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.
![Page 47: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/47.jpg)
Matematika Ekonomi 47
• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
• Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu
y = a + bx bentuk umumContoh:
y = 4 + 2x a = 4 b = 2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada
sumbu vertikal yb = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis.
![Page 48: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/48.jpg)
Matematika Ekonomi 48
x
y
b
a0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu yyaitu nilai y saat x = 0
0
a = lereng garis atau ∆y/Δx
pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a
∆x∆y = a
a
aa
a
1 2 3 4 5
y = a + bx
![Page 49: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/49.jpg)
Matematika Ekonomi 49
• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan.
• Latihan-1 y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = ……………
Lereng garis :
x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a
0 - - -
1
2
3
4
Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0
![Page 50: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/50.jpg)
Matematika Ekonomi 50
Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x
x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0
![Page 51: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/51.jpg)
Matematika Ekonomi 51
Kurva (grafik) fungsi• Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena
lerengnya sama.• Misalkan y = 36 – 4x
maka a = -4 (∆y/∆x) b = 36
• Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y
• Hubungkan kedua titik penggal tersebut• Titik penggal pada sb x, y = .., x = … atau titik
(…, …) Titik penggal pada sb y, x = .., y = … atau titik (…, …)
![Page 52: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/52.jpg)
Matematika Ekonomi 52
Grafik:y
x
36 •
•90
18 y = 36 – 4x
(0,36)
(9,0)
Grafik dengan lereng negatip
![Page 53: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/53.jpg)
Matematika Ekonomi 53
• Gambarkan grafik fungsi:• y = 2 + 4x• Titik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)
Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0,2)• Gambarkan :
y
x0Grafik dengan lereng positip
y = 2 + 4x
![Page 54: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/54.jpg)
Matematika Ekonomi 54
Fungsi non linear (kuadratik)• Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang
sering digunakan dalam analisa ekonomi• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear
juga merupakan hubungan sebab-akibat• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2
atau fungsi polinom derajad-2.
• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
• Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ± 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c
![Page 55: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/55.jpg)
Matematika Ekonomi 55
• Contoh - 1:• y = 8 – 2x – x2 a
= -1 (a < 0) b = -2 c = 8
• Contoh - 2:• y = 2x2 + 4x + 6 a
= 2 a > 0) b = 4 c = 2
Menggambar kurva non linear kuadratik
a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi
tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil
![Page 56: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/56.jpg)
Matematika Ekonomi 56
Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan:(2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x)(2 - x)(4 + x) = 0(2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0)(4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)
2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar)
-b ± √ b2 – 4ac x = --------------------
2c
- (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = -------------------------------
2(-1)
![Page 57: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/57.jpg)
Matematika Ekonomi 57
2 ± √ 4 + 32 2 ± 6 x = ---------------- = ---------
-2 -2
x1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0) x2 = (2 – 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.
b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0
y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)
c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.
![Page 58: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/58.jpg)
Matematika Ekonomi 58
• Mencari titik maks atau min• Sifat fungsi kuadratik a. Memiliki titik maks
atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0
b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan: -b b2 – 4ac x = ----,
dan y = ----------- 2a -4a
c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min
y = 8 – 2x – x2, a < 0 berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1
ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9).
![Page 59: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/59.jpg)
Matematika Ekonomi 59
• Gambarkan kurvanya:
0 x
y
![Page 60: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/60.jpg)
Matematika Ekonomi 60
• Latihan:Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2:y = 2x2 + 4x + 6
![Page 61: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/61.jpg)
Matematika Ekonomi 61
Lanjutan:
![Page 62: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/62.jpg)
Matematika Ekonomi 62
• Hubungan dua garisDua buah garis dengan fungsi linier dapat:a. berimpit
y 1 = a 1x + b 1
y 2 = a 2x + b 2
Berimpit: Jika dan hanya jika
a1 = a2
b1= b2
b. Sejajar
y1 = a1x + b1
y2 = a2x + b2
Sejajar: Jika dan hanya jika
a1 = a2
b1 ± b2
![Page 63: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/63.jpg)
Matematika Ekonomi 63
c. Berpotongan
y2 = a
2 x + b2
y1 = a1x + b1
Berpotongan: jika dan hanya jika
a1 ± a2
b1 ± b2
Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan.
y1 = a1x + b1
y2 = ax2 + bx + c
y
x
y
x
a<0 a>0•
Ttk pot
•
•
Ttk pot Ttk pot
![Page 64: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/64.jpg)
Matematika Ekonomi 64
• Mencari titik potong dua garis/persamaan
• Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut
• Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x) (2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik
potong • Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3
x = 15 – 2y y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3 y = (1/3)x + 1
-(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1 -(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2 x = 78/10
![Page 65: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/65.jpg)
Matematika Ekonomi 65
• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada
salah satu fungsi:y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1
y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)
![Page 66: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/66.jpg)
Matematika Ekonomi 66
• Mencari titik potong dua garis/persamaan(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut.
• Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)(1) 2x + 3y = 21 3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x
(2) x + 4y = 23 4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)xTitik potong kedua garis:
7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x 7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12. y = 11/4 (12, 11/4)
![Page 67: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/67.jpg)
Matematika Ekonomi 67
Latihan
![Page 68: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/68.jpg)
Penggunaan Fungsi dalam ekonomi
Analisa keseimbangan pasar
Keseimbangan pasar – Model linear
Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0)
Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun.
Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.
Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?
![Page 69: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/69.jpg)
Matematika Ekonomi 69
Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat:
Qd = Qs
Qd = a - bP, slope (-) (1)
Qs = -c + dP, slope (+) (2)
Gambarnya sbb:Qd, Qs
P
-cP1
aQd = a -bP
Qs = -c + dP
P0
Q0
0
keseimbangan
![Page 70: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/70.jpg)
Matematika Ekonomi 70
Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:
Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1
Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}
0
-1
1,3
2
4
3
1
QS = 4p - 1
QD = 4 - p2
keseimbangan
![Page 71: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/71.jpg)
Matematika Ekonomi 71
• Latihan• Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs
tersebut
![Page 72: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/72.jpg)
Matematika Ekonomi 72
![Page 73: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/73.jpg)
Matematika Ekonomi 73
![Page 74: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/74.jpg)
Matematika Ekonomi 74
Keseimbangan pasar (lanjutan)
Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika:
Qd = 16 – P2 , (Permintaan)
QS = 2p2 – 4p (penawaran)
Gambarkan grafiknya
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
![Page 75: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/75.jpg)
Matematika Ekonomi 75
Penjelasan
Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs
16 – p2 = 2p2 – 4p 3p2 – 4p – 16 = 0
Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax2 + bx + c
Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16
p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)
Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)
2a 6
![Page 76: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/76.jpg)
Matematika Ekonomi 76
Grafik:
Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2
a. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 16 – p2 = 0
(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4)
p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)
c.Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16
atau pada titik (0, 16)
![Page 77: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/77.jpg)
Matematika Ekonomi 77
Grafik:
Fungsi penawaran
Qs = 2p2 – 4p
a.Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 0, (0,0)
b.Titik potong dengan sb p Q = 0; 2p2 – 4p = 0
Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)
(p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2)
![Page 78: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/78.jpg)
Matematika Ekonomi 78
Grafik:
Q
p
Qd
6.4
3.14
160
2
Qs
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand
![Page 79: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/79.jpg)
Matematika Ekonomi 79
Penjelasan ekses suplai dan ekses demand
Qs
Qd
Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun.
![Page 80: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/80.jpg)
Matematika Ekonomi 80
DERIFATIF1.1. Pengantar KalkulusKalkulus khususnya bahasan matematika tentanga. Fungsib. Derivatif atau fungsi turunanc. Derivatif parsial dand. Integralsangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya:1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan
![Page 81: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/81.jpg)
Matematika Ekonomi 81
2) Elastisitas produksi3) Biaya total, rata-rata dan marginal4) Revenue dan marginal revenue5) Maksimisasi penerimaan dan profit.6) dll.Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral.
Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.
![Page 82: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/82.jpg)
Matematika Ekonomi 82
1.2. Limit fungsiPandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan:
h(x) = -------------2x2 + x - 3
x - 1
Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu)
![Page 83: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/83.jpg)
Matematika Ekonomi 83
h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 32x2 + x - 3 x - 1
(x-1)(2x +3)
x - 1
Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga:
Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x2 - 4
x - 2 tentu, untuk x = 2
Karena itu g(x) disederhanakan menjadi:
g(x) = ------------------- = x + 2. (x – 2)(x + 2)
x - 2
![Page 84: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/84.jpg)
Matematika Ekonomi 84
Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut:
1
2
3
0
4
5 ◦
1 x
y
y = h(x)
Fungsi h tdk terdefi-nisi di titik x = 1. Un-tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende-kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5.
![Page 85: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/85.jpg)
Matematika Ekonomi 85
Keadaan di atas, dicatat sebagai:
lim h(x) = lim ------------- = 5x1 x1
2x2 + x - 3
x - 1
Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1
Demikian juga dengan g(x) di atas
lim g(x) = lim --------- = 4. x2 - 4 x - 2 x 2 x 2
![Page 86: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/86.jpg)
1.3. Pengertian DerivatifSuatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka:
lim f(x) = f(x0)
x -> x0
Y = f(x)
x
Y
•
x0
Y = f(x) kontinu pada x = x0
•
◦
Y=f(x)
x0
y0 y0
y1
Y = f(x) diskontinu pada x = x0
![Page 87: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/87.jpg)
Matematika Ekonomi 87
Sehingga f(x) – f(x0)
------------------
x – x0
00---=
Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif -------------
x – x0 fungsi f dititik x = x0.x->x0
Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x = x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau:
lim f(x0 + Δx) – f(x0)-------------------
Δx Δx-> 0
merupakan derivatif atau turunan fungsi.
![Page 88: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/88.jpg)
Matematika Ekonomi 88
Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg:f’(x) atau dy/dx atau
y’ atau Dxy.Atau dengan penjelasan lain:Ump. y = f(x) dengan kurva sbb: y = f(x)
y + Δy = f(x + Δx)
Besarnya pertambahan adalah: Δy = f(x + Δx) – f(x).Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
Y = f(x)
◦
x x1
Δxyy1 Δy
-------------------------------Δx
![Page 89: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/89.jpg)
Matematika Ekonomi 89
lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x) adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dxContoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1,
dititik x = 5.Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy. y + Δy = (x + Δx)2 + 1 y = x2 + 1 (-)
-----------------------------ΔxΔx->0
![Page 90: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/90.jpg)
Matematika Ekonomi 90
Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1
= x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1 = 2xΔx + (Δx)2
Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2 Δx = 2x + Δx lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx
dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10.
Δx ->0 Δx ->0 Δx ->0
![Page 91: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/91.jpg)
Matematika Ekonomi 91
1.4 Rules of differentiationRule 1: Derivative of a power function.Fungsi pangkat (power function) y = xn
y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y
Δy = (x + Δx)n – xn
Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3
![Page 92: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/92.jpg)
Matematika Ekonomi 92
C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur.
C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya.
C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur.
C(i, n) = ------------
n !i ! – (n – i)!
![Page 93: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/93.jpg)
Matematika Ekonomi 93
n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 0! = 1Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn
= C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx + C(2, n)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +C(4, n)xn-4Δx4 +
………… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn
![Page 94: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/94.jpg)
Matematika Ekonomi 94
C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1
C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n
C(2, n) = ---------- = ---------------------- = -----
n!
0!(n-0)!
n.n-1.n-2.n-3. …
1.n.n-1.n-2.n-3 …
n!
1!(n-1)!
n.n-1.n-2.n-3. …1.n-1.n-2.n-3. …
n!2!(n-2)!
n.n-1.n-2.n-3. …
2.1.n-2.n-3. …
n.n-12
![Page 95: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/95.jpg)
Matematika Ekonomi 95
Δy = (x + Δx)n – xn
= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 + C(3, n)xn-3Δx3 + C(4, n)xn-4Δx4 +
…… + C(n-1, n)xΔxn-1 - xn = nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +C(4, n)xn-4Δx4 +
…… + C(n-1, n)xΔxn-1
2
![Page 96: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/96.jpg)
Matematika Ekonomi 96
Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx + C(3, n)xn-3Δx2 + C(4, n)xn-4Δx3 +
…… + C(n-1, n)xΔxn-2
Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1
Contoh: y = x5
dy/dx = 5x4.
Mis C = total cost, q = output C = q3
derivatif C thdp q = 3q2.
Δx 2
ΔyΔxΔx->0 Δx->0
![Page 97: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/97.jpg)
Matematika Ekonomi 97
Rule 2: Multiplication by a constant. y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx? y + Δy = c(x + Δx)2
Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2
= c2xΔx + c(Δx)2
---- = c2x + c(Δx)
lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x
ΔyΔx
Δy
ΔxΔx->0 Δx->0
![Page 98: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/98.jpg)
Matematika Ekonomi 98
Contoh: y =f(x) = 5x2
f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x
Rule 3: Derivative of a sum f(x) = g(x) + h(x) Dengan pembuktian yang sama spt
rule (1) dan (2) diperoleh: f’(x) = g’(x) + h’(x)
Demikian juga untuk: f(x) = g(x) + h(x) + k(x) f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)
![Page 99: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/99.jpg)
Matematika Ekonomi 99
Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih.f(x) = g(x) – h(x);f’(x) = g’(x) – h’(x).
Contoh:Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37 g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3
h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2
k(x) = -3x; k’(x) = -3 l(x) = 37; l’(x) = 0 jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3.
![Page 100: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/100.jpg)
Matematika Ekonomi 100
Rule 4: derivative of a productFungsi hasil kali berbentuk
y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)
Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6xJadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2
= 18x2 + 18x.
![Page 101: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/101.jpg)
Matematika Ekonomi 101
Rule 5: derivatif of a quotient Bentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x). f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x) [h(x)]2
![Page 102: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/102.jpg)
Matematika Ekonomi 102
Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1). g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2 h(x) = x + 1; h’(x) = 1
f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3)
= 2x + 2 – 2x + 3 = 5
(x + 1)2
(x + 1)2 (x + 1)2
![Page 103: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/103.jpg)
Matematika Ekonomi 103
Rule 6: Chain ruleFungsi berantai bentuknya sbb:
y = f(u) u = g(x) y = f(z)
z = g(u) u = h(x)Dicari derivatif y ter-
hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx.
Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka
dydx
= dy .du
dudx
Dengan cara yang sama
dy =dy du dz
dx du dz dx
![Page 104: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/104.jpg)
Matematika Ekonomi 104
Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2xUntuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai:
z = 15yApabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).
![Page 105: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/105.jpg)
Matematika Ekonomi 105
dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu
dy/dx = 2Perubahan z apabila ada perubahan y dz/dy = 15Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.
![Page 106: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/106.jpg)
Matematika Ekonomi 106
Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x. v = t2 dan t = 1 + x2
u = s3, du/ds = 3s2
s = 1 – x ds/dx = -1v = t2, dv/dt = 2tt = 1 + x2 dt/dx = 2x
y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti
dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
= u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx)
= s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1)
= 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t)
Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)]
![Page 107: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/107.jpg)
Matematika Ekonomi 107
Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.Dengan memakai derivatif fungsi berantai:Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3
dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.
![Page 108: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/108.jpg)
Matematika Ekonomi 108
1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat
sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan:
d2y/dx2 atau f”(x) atau y”Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi.
Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.
![Page 109: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/109.jpg)
Matematika Ekonomi 109
f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0 f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0 f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6 f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.
![Page 110: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/110.jpg)
Matematika Ekonomi 110
1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari
satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel. Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri hkl = harga komoditi lain sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap,
maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.
![Page 111: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/111.jpg)
Matematika Ekonomi 111
Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:
∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx
Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: ∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy
Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai: ∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y)
ΔxΔx->0 Δx->0
Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y)
ΔyΔy->0 Δy->0
![Page 112: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/112.jpg)
Matematika Ekonomi 112
Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y
Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:Contoh: z = (x2 + y2)3
∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2
∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2
∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x2 + y2).∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)
![Page 113: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/113.jpg)
Matematika Ekonomi 113
Simbol derivatif parsial ∂z/∂x juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx.
Fungsi turunan kedua dilambangkan: ∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx
Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx
Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy
fyx = fxy
![Page 114: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/114.jpg)
Matematika Ekonomi 114
Maksimum dan minimumy = f(x)
akan maksimum pada saat: dy/dx = 0
dan d2y/dx2 < 0akan minimum pada saat:
dy/dx = 0 dan d2y/dx2 > 0akan mempunyai titik belok (inflection point) pada:
dy/dx = 0 dan d2y/dx2 = 0
![Page 115: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/115.jpg)
Matematika Ekonomi 115
Apabila fungsinya lebih dari dua variabel:z = f(x, y) atau f(x1, x2),
Maksimum jika fx = 0, fy = 0
fxx < 0, fyy < 0
fxxfyy – (fxy)2 > 0
Minimum jika fx = 0, fy = 0
fxx > 0, fyy > 0
fxxfyy – (fxy)2 > 0
![Page 116: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/116.jpg)
Matematika Ekonomi 116
Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut.
y = f(x) = -x2 + 4x + 7 dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2 d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks.
pada x = 2. nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11
![Page 117: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/117.jpg)
Matematika Ekonomi 117
Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari:z = x2 + xy + y2 – 3x + 2
Langkah-langkah:a. Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3
fy = x + 2y
b. fx = 0 dan fy = 0
2x + y – 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x. Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0 atau 3x = 6 x = 2.
![Page 118: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/118.jpg)
Matematika Ekonomi 118
Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min
c. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1
fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0
artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1).
d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2
= 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1.
![Page 119: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/119.jpg)
Matematika Ekonomi 119
1.5 Aplikasi dalam ekonomi1) Elastisitas permintaan Elastisitas permintaan adalah persentase
per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga.
Jika q = komoditi yg diminta, Δq = perubahannya p = harga komoditi; Δp = perubahannya
![Page 120: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/120.jpg)
Matematika Ekonomi 120
Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- --Δq/q
Δp/p Δp->0
Δq/q
Δp/p Δp
Δq p
qΔp->0
dq dp
p q
Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku-rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi-nisi dan derivatif.
Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti
p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9
Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78 untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10. berarti Δq = 10.78 – 10 = 0.78
![Page 121: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/121.jpg)
Matematika Ekonomi 121
Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56
Dengan pendekatan derivatif: Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q
pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.
Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda.
![Page 122: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/122.jpg)
Matematika Ekonomi 122
2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q),
merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan.
TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata. MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-
ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk.
![Page 123: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/123.jpg)
Matematika Ekonomi 123
AC
Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini.
MC
VC
TC
q
Rp
![Page 124: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/124.jpg)
Matematika Ekonomi 124
Contoh dengan data diskrit
q FC VC TC AC MC
1 100 10 110 110.00 -
2 100 16 116 58.00 6.0
3 100 21 121 40.33 5.0
4 100 26 126 31.50 5.0
5 100 30 130 26.00 4.0
6 100 36 136 22.67 6.0
7 100 45.5 145.5 20.78 9.5
8 100 56 156 19.50 10.5
9 100 72 172 19.10 16
![Page 125: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/125.jpg)
Matematika Ekonomi 125
Contoh dengan fungsi biaya: TC = q3 – 4q2 + 10q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q
MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10 AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q
3) Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total
Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga.
![Page 126: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/126.jpg)
Matematika Ekonomi 126
Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka:
TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq.
Contoh:
Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9;
2p = 9 – 3q atau
p = 9/2 – (3/2)q
TR = p.q atau
TR = (9/2)q – (3/2)q2
MR = dTR/dq
= 9/2 – 3q
MR
p
q
TR, MR, p
0 3
4
![Page 127: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/127.jpg)
Matematika Ekonomi 127
4). Fungsi produksiSeorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah:a. Jumlah produk yang yang akan diproduksib. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.
Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output.
![Page 128: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/128.jpg)
Matematika Ekonomi 128
Fungsi produksi, secara umum dicatat:Q = f(x1, x2, x3, … , xn)
Q = outputxi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , nApabila dalam proses produksi: Q = f(x1/x2, x3, … , xn) input xI ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns
“bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”.
![Page 129: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/129.jpg)
Matematika Ekonomi 129
Tambahan output yg didapat karena adanya tam-bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM).
PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n
Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR).
PR = Q/x = f(x)/xJadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-tunjukkan oleh kurva berikut ini.
![Page 130: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/130.jpg)
Matematika Ekonomi 130
Q = PT
Q
x
xPR
PM
X1 Q PM PR
1 10 - 10
2 24 14 12
3 39 15 13
4 52 13 13
5 61 9 12.2
6 66 5 11
7 66 0 9.4
8 64 -2 8
![Page 131: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/131.jpg)
Matematika Ekonomi 131
Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb: a. Pada saat PT maks, maka PM = 0 b. Pada saat PR maks, maka PM = PR c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol
(origin) menyinggung kurva PT.
Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk
Q = f(x1, x2)/x3, … , xN)
atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut:
![Page 132: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/132.jpg)
Matematika Ekonomi 132
z
x1
x2
![Page 133: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/133.jpg)
MATRIKSMatriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk “baris” dan “lajur”.
Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata)
Kota A B C
J 4000 4500 4200
F 4200 4600 4500
M 4200 4700 4500
Bulan
![Page 134: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/134.jpg)
Matematika Ekonomi 134
Dengan catatan matriks ditulis:
A = 4000 4500 4200
4200 4600 4500
4200 4700 450
B = 1 0 1 4
3 2 6 7
9 8 4 1
Bentuk umum sbb:
A = a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
: : :
am1 am2 … amn
m x nUntuk menyederhanakan dicatat:
A = (aij)mxn
m = jlh baris; n = jlh lajur
m x n
Notasi matriks
![Page 135: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/135.jpg)
Matematika Ekonomi 135
Vektor.
Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur.
Vektor baris:
a’ = (4, 1, 3, 2)
x’ = (x1, x2, … xn)
Vektor lajur
b = 1 u = u1
2 u2
8 :
un
![Page 136: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/136.jpg)
Matematika Ekonomi 136
Beberapa macam bentuk matriks
a.Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n
A = 2 0 2 4
4 1 7 7
1 2 3 4
5 1 4 1
b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji
4 x 4
B = 1 0 7 7
0 5 4 3
7 4 2 5
7 3 5 1
4 X 4
![Page 137: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/137.jpg)
Matematika Ekonomi 137
c. Matriks diagonal
D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j
D = 3 0 0
0 5 0
0 0 7
d. Matriks identitas
I4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di-bawah diagonal uta-ma bernilai nol.
G = 9 9 3
0 1 3
0 0 2
Diagonal utama
Jika semua unsur di-atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah.
![Page 138: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/138.jpg)
Matematika Ekonomi 138
Penggandaan matriks
Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = p
Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini.
1 1 0 8 -1
2 4 5 1 1
6 7 8 1 2
![Page 139: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/139.jpg)
Matematika Ekonomi 139
1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2
= (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1
1 1
1 2
(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1
1 1
1 2
(6 7 8) 8 , (6 7 8) -1
1 1
1 1
=
![Page 140: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/140.jpg)
Matematika Ekonomi 140
(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)
(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)
(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2)
9 0 Contoh-2: 3 6 0 x =
25 12 4 2 -7 y
63 17 z
3x + 6y
4x + 2y – 7z
![Page 141: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/141.jpg)
Matematika Ekonomi 141
Putaran matriks
Matriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m, sedangkan (a’ij) = (aji).
Contoh: A = 3 8 -9 A’ = 3 1
1 0 4 8 0
-9 4
D = 1 0 4 D’ = 1 0 4
0 3 7 0 3 7
4 7 2 4 7 2
![Page 142: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/142.jpg)
Matematika Ekonomi 142
![Page 143: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/143.jpg)
Matematika Ekonomi 143
Determinan matriks segi
Determinan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A|
Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7
4 9
det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. - +
![Page 144: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/144.jpg)
Matematika Ekonomi 144
Contoh: Cari determinan matriks
C = 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan 8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai
6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda-
kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur.
det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9
+ + +
- - -
= (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9)
-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405
![Page 145: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/145.jpg)
Matematika Ekonomi 145
Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.
Pangkat suatu matriks
Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular.
Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh.
![Page 146: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/146.jpg)
Matematika Ekonomi 146
Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det ± 0.
Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka
2 -1 1 p(A) ± 3, dan kemungkinan
4 1 1 p(A) = 2.
Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:
A11 = 1 1 , det A11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2
2 -1
3 x 3
![Page 147: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/147.jpg)
Matematika Ekonomi 147
Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau tak singular atau berpangkat penuh.
Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7
2x1 + 4x2 + x3 = 0
- 2x2 - x3 = 2
Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh
7 -3 -3 x1 = 7
8 4 1 x2 0
0 -2 -1 x3 2
![Page 148: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/148.jpg)
Matematika Ekonomi 148
Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x
2 4 1 dari persamaan li-
0 -2 -1 near itu dpt dicari.
![Page 149: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/149.jpg)
Matematika Ekonomi 149
Persamaan linear dan jawabannya.
Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.
Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 – x2 – x3 = 0
6x1 – 2x2 = 8 10x1 – 2x2 + x3 = 8
6x1 + 3x2 – 2x3 = 7
Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2
![Page 150: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/150.jpg)
Matematika Ekonomi 150
Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb:
a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks.
5 3 x1 = 30
6 -2 x2 8
b. Cari nilai det (A); det A = -28
c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.
A x d
![Page 151: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/151.jpg)
Matematika Ekonomi 151
A1 = 30 3
8 -2
d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d.
A2 = 5 30
6 8
e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140
f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A.
x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5.
![Page 152: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/152.jpg)
Matematika Ekonomi 152
Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0
10 -2 1 x2 8
6 3 -2 x3 7
A x d
a.Det A = -61
b.Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183
8 -2 1 10 8 1
7 3 -2 6 7 -2
det A3 = 7 -1 0 = -244
10 -2 8
6 3 7
![Page 153: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/153.jpg)
Matematika Ekonomi 153
MATRIKS KEBALIKAN
Jika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1.
Cara mencari matriks kebalikan:
a.Dengan matriks adjoint
b.Dengan transformasi penyapuan
c. Dengan metode Doolittle
![Page 154: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/154.jpg)
Matematika Ekonomi 154
Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint
Umpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang-kah-langkah sbb:
a.Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3)
Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p
dan lajur q.
Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:
![Page 155: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/155.jpg)
Matematika Ekonomi 155
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32
a32 a33
Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 – a23a31
a31 a33
Minor unsur a13 = M13 = a21 a22
a31 a32 = a21a32 – a22a31
![Page 156: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/156.jpg)
Matematika Ekonomi 156
Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 – a13a32
a32 a33
Minor unsur a22 = M22 = a11 a13 = a11a33 – a13a31
a31 a33
Minor unsur a23 = M23 = a11 a12
a31 a32 = a11a32 – a12a31
![Page 157: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/157.jpg)
Matematika Ekonomi 157
Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 – a13a22
a21 a23
Minor unsur a32 = M32 = a11 a13 = a11a23 – a13a21
a21 a23
Minor unsur a33 = M33 = a11 a12
a21 a22 = a11a22 – a12a21
![Page 158: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/158.jpg)
Matematika Ekonomi 158
b. Kofaktor.
Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq.
Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11
Kofaktor unsur a12 = α12 = (-1)1+2M12
Kofaktor unsur a13 = α13 = (-1)1+3M13
Kofaktor unsur a21 = α21 = (-1)2+1M21
Kofaktor unsur a22 = α22 = (-1)2+2M22
Kofaktor unsur a23 = α23 = (-1)2+3M23
Kofaktor unsur a31 = α31 = (-1)3+1M31
Kofaktor unsur a32 = α32 = (-1)3+2M32
Kofaktor unsur a33 = α33 = (-1)3+3M33
![Page 159: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/159.jpg)
Matematika Ekonomi 159
Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K:
K = α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33
Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’)
Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip.
![Page 160: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/160.jpg)
Matematika Ekonomi 160
Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1
0 3 2
3 0 7
Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9
0 7 3 7 3 0 -7 31 3
1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12
0 7 3 7 3 0
1 -1 4 -1 4 1
3 2 0 2 0 3
-
--
-
![Page 161: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/161.jpg)
Matematika Ekonomi 161
Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5
6 31 -8
-9 3 12
Matriks kebalikan = B-1 adalah: (1/det B)K’.
det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1)
-(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99
B-1 = (1/99) 21 -7 5
6 31 -8
-9 3 12
![Page 162: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/162.jpg)
Matematika Ekonomi 162
Untuk menguji, maka: BB-1 = I
4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0
0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0
3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1
B B-1 I
![Page 163: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/163.jpg)
Matematika Ekonomi 163
PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis)
Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.
![Page 164: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/164.jpg)
Matematika Ekonomi 164
Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief.
Dengan notasi matriks model I-O sbb:
AX + F = X atau
X - AX = F atau
(I – A)X = F pers matriks Leontief
X = F/(I - A) = (I – A)-1. F.
Matriks kebalikan Leontief
![Page 165: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/165.jpg)
Matematika Ekonomi 165
0.2 0.3 0.2 , x1 , 10
0.4 0.1 0.2 x2 5
0.1 0.3 0.2 x3 6
A x F
1 0 0
0 1 0
0 0 1
-
AI
0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.2
0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.2
0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8
0.8 -0.3 -0.2
-0.4 0.9 -0.2
-0.1 -0.3 0.8
x1 = 10
x2 5
x3 6I - A x F
Mis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa.
![Page 166: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/166.jpg)
Matematika Ekonomi 166
Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah
M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24
-M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24
M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60
(I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ = 1 1 0.66 0.30 0.24 0.66 0.30 0.24
0.34 0.62 0.24
0.21 0.27 0.60
= 1.72 0.78 0.63 = R
0.90 1.61 0.63
0.55 0.70 1.56
0.384
![Page 167: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/167.jpg)
Matematika Ekonomi 167
Arti dari matriks kebalikan Leontief:
Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.
R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.
![Page 168: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/168.jpg)
Matematika Ekonomi 168
X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84
x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68
x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36
Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira-malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan.
Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di-naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui.
Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu:
(I – A)-1F
![Page 169: Slide 1€¦ · PPT file · Web viewMatriks segitiga atas, jika ... 2x2 - x3 = 2 Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh -3 -3 x1 = 7 4 1 x2 ... 4a c. Kurvanya simetri pada](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022050814/5adcab137f8b9a1a088c444e/html5/thumbnails/169.jpg)
Matematika Ekonomi 169
Penutup: TUHAN Maha Tahu
tetapi tidak pernah memberi tahu !
Mengapa ?
Manusia sudah diberi pikiran
dan manusia adalah makhluk
yang berpikir.
Matematika merupakan sarana berpikir