Download - SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
![Page 1: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi, i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPLMempunyai penyelesaiandisebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaiandisebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK
![Page 2: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/2.jpg)
ILUSTRASI GRAFIK• SPL 2 persamaan 2 variabel:
• Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongankedua garis berhimpitan
![Page 3: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/3.jpg)
PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPL BENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyaipenyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yanglebih sederhana.
![Page 4: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/4.jpg)
TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN PENYELESAIAN SPL
SPL1. Mengalikan suatu
persamaan dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan lainnya.
MATRIKS1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris
![Page 5: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/5.jpg)
CONTOH
DIKETAHUI
kalikan pers (i) dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).
kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).
…………(i)…………(ii)…………(iii)
kalikan pers (i) dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).
kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii)dengan (1/2).
![Page 6: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/6.jpg)
kalikan pers (iii)dengan (-2).
kalikan brs (iii) dengan (-2).
LANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (1/2).
kalikan baris (ii)dengan (1/2).
kalikan pers (ii) dengan (-3), lalutambahkan ke pers(iii).
kalikan brs (ii) dengan (-3), lalu tambahkan ke brs (iii).
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
![Page 7: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/7.jpg)
Lanjutan CONTOH
kalikan pers (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke pers (i).
kalikan brs (ii) dengan (-1), lalu tambahkan ke brs (i).
kalikan pers (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke pers (i) dan kalikan pers (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke pers (ii)
kalikan brs (iii) dengan (-11/2), lalu tambahkan ke brs (i) dan kalikan brs (ii) dg (7/2), lalu tambahkan ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasimatriksnya. Metoda ini berikutnya disebut denganMETODA ELIMINASI GAUSS.
KERJAKAN EXERCISE SET 1.1
![Page 8: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/8.jpg)
BENTUK ECHELON-BARISMisalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian
bawah.3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada
leading 1 baris berikut.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.
![Page 9: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/9.jpg)
Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebutbentuk echelon-baris. CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:
![Page 10: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/10.jpg)
Bentuk umum echelon-baris
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
![Page 11: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/11.jpg)
Bentuk umum echelon-baris tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.
![Page 12: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/12.jpg)
Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.
![Page 13: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/13.jpg)
METODA GAUSS-JORDAN
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah
matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi.
CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:
![Page 14: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/14.jpg)
-2B1 + B2B2
5B2+B3 B3
6 18 0 8 4 0 00 0 0 0 0 0 01- 3- 0 2- 1- 0 00 0 2 0 2- 3 1B4 B4+4B2
B3 ⇄ B4 B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1
![Page 15: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/15.jpg)
Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperolehpenyelesaian:
dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai takberhingga banyak penyelesaian.
![Page 16: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/16.jpg)
METODA SUBSTITUSI MUNDURMisalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh
![Page 17: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/17.jpg)
LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:
![Page 18: SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022061610/56814cb5550346895db9bdb7/html5/thumbnails/18.jpg)
Eliminasi GaussianMengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: