Simulasi Struktur Energi Elektronik Atom,Molekul, dan Nanomaterial dengan
Metode Ikatan Terkuat
Ahmad Ridwan Tresna Nugraha (NIM: 10204001),Pembimbing: Sukirno, Ph.D
KK FisMatEl, Institut Teknologi Bandung
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 1 / 70
Daftar Isi
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 2 / 70
Pendahuluan
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 3 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.
Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.
Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.
Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.
Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.
Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.
Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.
Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.
Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.
Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70
Pendahuluan
Latar Belakang dan Motivasi
Penentuan struktur elektronik merupakan kajian yang palingpenting dalam bidang fisika material.
Sifat-sifat fisis material⇔ tingkat-tingkat energi yang diizinkan.
Kendala penentuan struktur elektronik: kerumitan perhitunganseiring banyaknya elektron yang terlibat⇔ pemecahanpersamaan Schrodinger untuk banyak partikel.
Dibutuhkan beberapa aproksimasi untuk menyederhanakanpersamaan Schrodinger sesuai dengan sistem elektron tertentu.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 4 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70
Pendahuluan
Metode dan Objek Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 5 / 70
Pendahuluan
Model Atom KlasikSpektrum energi:
h
Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen
spektrum energi diskretdapat teramati
Pola emisi foton:
hν = E0Z2(
1n2 −
1m2
),n dan m bilangan bulat; En = −
(Z2
n2
)E0
Persamaan Schrodinger satu partikel:
i~∂Ψ(~r, t)∂t
= − ~2
2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70
Pendahuluan
Model Atom KlasikSpektrum energi:
h
Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen
spektrum energi diskretdapat teramati
Pola emisi foton:
hν = E0Z2(
1n2 −
1m2
),n dan m bilangan bulat; En = −
(Z2
n2
)E0
Persamaan Schrodinger satu partikel:
i~∂Ψ(~r, t)∂t
= − ~2
2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70
Pendahuluan
Model Atom KlasikSpektrum energi:
h
Panaskan gas atom-atombersifat seperti hidrogen
spektrum energi diskretdapat teramati
Pola emisi foton:
hν = E0Z2(
1n2 −
1m2
),n dan m bilangan bulat; En = −
(Z2
n2
)E0
Persamaan Schrodinger satu partikel:
i~∂Ψ(~r, t)∂t
= − ~2
2m∇2Ψ(~r, t) + U(~r)Ψ(~r, t)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 6 / 70
Pendahuluan
Model Atom KlasikEnergi diskret untuk atom hidrogen (abaikan gerak inti masif):
U(~r) = − Ze2
4πε0rmaka tebakan solusinya:
Ψ(~r, t) = e−iEnt/~φnlm(~r)
Ze
En = −(
Z2
n2
)E0
rn =
(n2
Z
)a0
a0 = 4πε0~2/(me2) ≈ 0, 053 nm
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 7 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik
Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.
Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron
I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =∑
i
Ψ∗i Ψi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik
Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.
Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron
I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =∑
i
Ψ∗i Ψi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik
Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.
Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron
I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =∑
i
Ψ∗i Ψi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70
Pendahuluan
Pentingnya Metode Numerik
Solusi analitik pers. Schrodinger lebih banyak yang sulitditentukan meski hanya 1 partikel yang ditinjau.
Semakin banyak elektron yang terlibat, perhitungan akansemakin rumit karena interaksi elektron-elektron
I Bentuk fungsi potensial menyulitkan pemecahan persamaandiferensial.
Besaran yang selanjutnya perlu dihitung:I Tingkat energi dasar (ground state) + struktur pita energiI Kerapatan elektron :: konsekuensi postulat probabilitas Born
n(x, t) =∑
i
Ψ∗i Ψi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 8 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 9 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian
Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.
Definisikan H ≡ − ~2
2m∇2 + U(~r):
i~∂
∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga
i~ddt
[ψ1 ψ2 . . .
]T= [H]
[ψ1 ψ2 . . .
]T
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian
Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.
Definisikan H ≡ − ~2
2m∇2 + U(~r):
i~∂
∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga
i~ddt
[ψ1 ψ2 . . .
]T= [H]
[ψ1 ψ2 . . .
]T
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian
Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.
Definisikan H ≡ − ~2
2m∇2 + U(~r):
i~∂
∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga
i~ddt
[ψ1 ψ2 . . .
]T= [H]
[ψ1 ψ2 . . .
]T
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Kerangka Matriks Hamiltonian
Notasi Matriks −→ Kunci utama pemecahan pers. Schrodinger secaranumerik.
Definisikan H ≡ − ~2
2m∇2 + U(~r):
i~∂
∂tΨ(~r, t) = HΨ(~r, t)
Nyatakan Ψ(~r, t) sebagai vektor (matriks) kolom {ψ(t)}, sehingga
i~ddt
[ψ1 ψ2 . . .
]T= [H]
[ψ1 ψ2 . . .
]T
Konversi ke bentuk matriks dilakukan dengan menggunakan kisi(sejumlah titik) diskret −→ Beda hingga (finite difference)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 10 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda HinggaTinjau sistem 1D:
xn = nan
x1 2 3 n−1 n n1 N...
a
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ
∂x2
]x=xn
=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]
Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn
= U(xn)Ψ(xn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda HinggaTinjau sistem 1D:
xn = nan
x1 2 3 n−1 n n1 N...
a
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ
∂x2
]x=xn
=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]
Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn
= U(xn)Ψ(xn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda HinggaTinjau sistem 1D:
xn = nan
x1 2 3 n−1 n n1 N...
a
Operasi turunan kedua: (bagian dari suku kinetik)[∂2Ψ
∂x2
]x=xn
=1a2 [Ψ(xn+1)− 2Ψ(xn) + Ψ(xn−1)]
Potensial:[U(x)Ψ(x)]x=xn
= U(xn)Ψ(xn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 11 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga
Misalkan ~2/2ma2 = τ0 dan Un = U(xn), maka persamaanSchrodinger untuk ψn:
i~dψn
dt= [Hψ]x=xn = (Un + 2τ0)− τ0ψn−1 − τ0ψn+1
=∑
m
[(Un + 2τ0)δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1
]ψm
Bentuk matriks lengkap:
i~ddt{ψ(t)} = [H]{ψ(t)}
dengan
Hn,m = [Un + 2τ0]δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 12 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga
Misalkan ~2/2ma2 = τ0 dan Un = U(xn), maka persamaanSchrodinger untuk ψn:
i~dψn
dt= [Hψ]x=xn = (Un + 2τ0)− τ0ψn−1 − τ0ψn+1
=∑
m
[(Un + 2τ0)δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1
]ψm
Bentuk matriks lengkap:
i~ddt{ψ(t)} = [H]{ψ(t)}
dengan
Hn,m = [Un + 2τ0]δn,m − τ0δn,m+1 − τ0δn,m−1
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 12 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda HinggaLebih eksplisit:
i~ddt
ψ1
ψ2...ψn...ψN
=
2τ0 + U1 −τ0 0 0 0 0−τ0 2τ0 + U2 −τ0 0 0 0
0 −τ0. . . . . . 0 0
0 0. . . . . . . . . 0
0 0 0. . . . . . −τ0
0 0 0 0 −τ0 2τ0 + UN
ψ1
ψ2...ψn...ψN
.
Reduksi parameter waktu:
[H]{α} = Eα{α}; Eα nilai eigen dari [H]
{ψ(t)} =∑α
cαe−iEαt/~{α}
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 13 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda HinggaLebih eksplisit:
i~ddt
ψ1
ψ2...ψn...ψN
=
2τ0 + U1 −τ0 0 0 0 0−τ0 2τ0 + U2 −τ0 0 0 0
0 −τ0. . . . . . 0 0
0 0. . . . . . . . . 0
0 0 0. . . . . . −τ0
0 0 0 0 −τ0 2τ0 + UN
ψ1
ψ2...ψn...ψN
.
Reduksi parameter waktu:
[H]{α} = Eα{α}; Eα nilai eigen dari [H]
{ψ(t)} =∑α
cαe−iEαt/~{α}
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 13 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D
Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].
Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.
Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.
Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.
Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)
U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D
Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].
Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.
Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.
Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.
Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)
U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D
Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].
Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.
Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.
Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.
Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)
U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D
Bagian yang membedakan sistem 1D, 2D, dan 3D adalah elemendiagonal pada matriks [H].
Secara umum, elemen diagonal [H] adalah potensial U(~r) yangdievaluasi pada titik kisi tertentu ditambah dengan τ0 kalibanyaknya titik tetangga terdekat.
Jumlah titik-titik tetangga:dua untuk 1D, empat untuk 2D, enam untuk 3D.
Separasi variabel −→ supaya ukuran matriks 2D/3D tetap samadengan sistem 1D.
Ψ(~r) = X(x)Y(y)Z(z)
U(~r) = Ux(x) + Uy(y) + Uz(z)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 14 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Beda Hingga untuk 3D
Setiap fungsi X(x), Y(y), dan Z(z) merupakan solusi daripersamaan Schrodinger 1D yang saling bebas:
ExX(x) =
[− ~2
2md2
dx2 + Ux(x)
]X(x),
EyY(y) =
[− ~2
2md2
dy2 + Uy(y)
]Y(y),
EzZ(z) =
[− ~2
2md2
dz2 + Uz(x)
]Z(z)
dan energi total:E = Ex + Ey + Ez
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 15 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:
Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)
rYm
l (θ, φ)
Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +l(l + 1)~2
2mr2 + U(r)]
f (r)
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym
l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:
Y00(θ, φ) =
√1
4π; Y0
1(θ, φ) =
√3
4π; Y±1
1 (θ, φ) = ±√
38π
sin θ[e±iφ] ; . . .
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:
Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)
rYm
l (θ, φ)
Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +l(l + 1)~2
2mr2 + U(r)]
f (r)
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym
l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:
Y00(θ, φ) =
√1
4π; Y0
1(θ, φ) =
√3
4π; Y±1
1 (θ, φ) = ±√
38π
sin θ[e±iφ] ; . . .
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaFungsi gelombang lengkap:
Ψ(~r) = Ψ(r, θ, φ) =f (r)
rYm
l (θ, φ)
Solusi f (r) diperoleh dari penyelesaian persamaan Schrodingerradial yang ternyata tereduksi menjadi bentuk 1D:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +l(l + 1)~2
2mr2 + U(r)]
f (r)
l = 0: keadaan s (sharp), l = 1: keadaan p (principal), danseterusnyaFungsi Ym
l (θ, φ) adalah fungsi harmonik sferis:
Y00(θ, φ) =
√1
4π; Y0
1(θ, φ) =
√3
4π; Y±1
1 (θ, φ) = ±√
38π
sin θ[e±iφ] ; . . .
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 16 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞
r=0
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1
∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ym
l |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah
|f1s(r)|2 =4a3
0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =
r2
8a30
[2− r
a0
]2
e−r/a0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞
r=0
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1
∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ym
l |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah
|f1s(r)|2 =4a3
0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =
r2
8a30
[2− r
a0
]2
e−r/a0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞
r=0
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1
∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ym
l |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah
|f1s(r)|2 =4a3
0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =
r2
8a30
[2− r
a0
]2
e−r/a0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Potensial Simetri BolaNormalisasi: ∫ ∞
r=0
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ψ|2r2 sin θ drdθdφ = 1
∫ ∞0|f (r)|2dr = 1;
∫ π
θ=0
∫ 2π
φ=0|Ym
l |2 sin θdθdφ = 1
|f (r)| disimpulkan sebagai fungsi distribusi probabilitas radial,sehingga |f (r)|2dr merupakan probabilitas untuk menemukanelektron dalam volume antara r dan (r + dr).Hasil numerik dengan jarak antartitik kisi a harus dibandingkandengan nilai analitik |f (r)|2a.Untuk tingkat 1s dan 2s, hasil analitiknya adalah
|f1s(r)|2 =4a3
0e2r/a0 ; |f2s(r)|2 =
r2
8a30
[2− r
a0
]2
e−r/a0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 17 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100,a = 0, 05× 10−10 m.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 18 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 05× 10−10 m.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 19 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 1s. Energi eigen numerik: E = −13, 56 eV. Kisi: N = 100,a = 0, 1× 10−10 m.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 20 / 70
Persamaan Schrodinger dalam Matriks
Pembenaran: Potensial Simetri Bola
Tingkat 2s. Energi eigen numerik: −2, 96 eV. Kisi: a = 0, 1× 10−10 m.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 21 / 70
Metode SCF untuk Atom
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 22 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium
Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.
Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.
Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium
Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.
Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.
1s
2p
foton
Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus Helium
Berdasarkan rumus tingkat energi atom hidrogen, sebuahelektron yang berada pada tingkat 1s memiliki energi ionisasiE = 13, 6 eV pada tingkat 2s ionisasinya E = 3, 4 eV.
Energi sebesar itu dapat diukur dari proses emisi optik−→ dibalik menjadi pengukuran energi ionisasi.
1s
2p
foton
Bagaimana dengan Helium (atau atom-atom lain yangberelektron banyak)?
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 23 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus HeliumAtom Helium
Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.
Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV
E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,
He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−
He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−
Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.
Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):
U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus HeliumAtom Helium
Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.
Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV
E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,
He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−
He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−
Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.
Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):
U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus HeliumAtom Helium
Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.
Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV
E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,
He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−
He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−
Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.
Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):
U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus HeliumAtom Helium
Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.
Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV
E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,
He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−
He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−
Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.
Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):
U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Hidrogen versus HeliumAtom Helium
Helium dengan model klasik: E = 22(13, 6 eV) = 54, 4 eV.
Akan tetapi, hasil eksperimen (ionisasi pertama): E ≈ 24, 8 eV
E = 54, 4 eV muncul di ionisasi kedua,
He + (hν = +24, 8 eV)→ He+ + e−
He + (hν = He+ + 54, 4 eV)→ H2+ + e−
Model klasik belum menyertakan interaksi elektron-elektron.
Koreksi bentuk potensial (untuk segala macam atom):
U(~r) = Uinti(~r) + Uscf(~r)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 24 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Persamaan Schrodinger radial:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +~2l(l + 1)
2mr2 − Ze2
4πε0r+ Uscf(r)
]f (r)
Self-consistent field menurut Hartree:
∇2Uscf(~r) = − e2
ε0n(~r) atau Uscf(~r) =
e2
4πε0
∫n(~r ′)d~r ′
|~r−~r ′|
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi
Ne =
∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml |
2
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Persamaan Schrodinger radial:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +~2l(l + 1)
2mr2 − Ze2
4πε0r+ Uscf(r)
]f (r)
Self-consistent field menurut Hartree:
∇2Uscf(~r) = − e2
ε0n(~r) atau Uscf(~r) =
e2
4πε0
∫n(~r ′)d~r ′
|~r−~r ′|
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi
Ne =
∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml |
2
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Persamaan Schrodinger radial:
Ef (r) =
[− ~2
2md2
dr2 +~2l(l + 1)
2mr2 − Ze2
4πε0r+ Uscf(r)
]f (r)
Self-consistent field menurut Hartree:
∇2Uscf(~r) = − e2
ε0n(~r) atau Uscf(~r) =
e2
4πε0
∫n(~r ′)d~r ′
|~r−~r ′|
Dalam koordinat bola, jumlah elektron total menjadi
Ne =
∫ r′2 sin θdθdφdr′ ×∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml |
2
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 25 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Yml ternormalisasi, sehingga
Ne =
∫σ(r)dr dengan σ(r) =
∑n,l,m
|fn(r)|2
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:
n(~r) =∑α
|ψα(~r)|2 =∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Yml ternormalisasi, sehingga
Ne =
∫σ(r)dr dengan σ(r) =
∑n,l,m
|fn(r)|2
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:
n(~r) =∑α
|ψα(~r)|2 =∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Yml ternormalisasi, sehingga
Ne =
∫σ(r)dr dengan σ(r) =
∑n,l,m
|fn(r)|2
Jumlahkan pada seluruh keadaan energi yang terisi:
n(~r) =∑α
|ψα(~r)|2 =∑n,l,m
∣∣∣∣ fn(r)r
∣∣∣∣2 |Yml (θ, φ)|2
Besaran σ(r) memberikan informasi seberapa banyak muatanterdistribusi di kulit yang berada pada jarak tertentu dari inti
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 26 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Perhitungan integral pada Ne: bagi dua daerah
r
r
r
dalam
luar
(a) (b)
(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat.
(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.
Kontribusi pada potensial SCF:
Uscf(r) =Z− 1
Z
[e2
4πε0r
∫ r
0σ(r ′)dr ′ +
e2
4πε0
∫ ∞r
σ(r ′)dr ′
r ′
]
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 27 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
Perhitungan integral pada Ne: bagi dua daerah
r
r
r
dalam
luar
(a) (b)
(a) Kulit muatan berjarak r dari pusat.
(b) Ruang bola dibagi menjadi dua daerah, dalam dan luar.
Kontribusi pada potensial SCF:
Uscf(r) =Z− 1
Z
[e2
4πε0r
∫ r
0σ(r ′)dr ′ +
e2
4πε0
∫ ∞r
σ(r ′)dr ′
r ′
]
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 27 / 70
Metode SCF untuk Atom
Suku Interaksi dan Pendekatan Hartree
UscfTebak (misalnya nol)
Pecahkan persamaan Schrödinger:dapatkan nilai eigen dan fungsi eigen
n r Hitung kerapatan
Hitung Uscf pendekatan
Hartree
PeriksaKonvergensi
BelumKonvergen
SudahKonvergen
AWAL
AKHIR
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 28 / 70
Metode SCF untuk Atom
Terapan SCF pada Helium
Perbandingan potensial inti dan potensial SCF untuk atom helium.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 29 / 70
Metode SCF untuk Atom
Terapan SCF pada Helium
Distribusi probabilitas radial untuk keadaan 1s atom helium danhidrogen. Energi eigen numerik untuk helium: E = 24, 73 eV
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 30 / 70
Ikatan pada Molekul
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 31 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik
Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli
Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.
Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)
Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.
Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik
Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli
Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.
Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)
Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.
Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik
Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli
Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.
Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)
Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.
Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Ionik
Pedoman konfigurasi elektron:→ Pers. Schrodinger dan Prinsip larangan Pauli
Ikatan ionik biasanya dibentuk antara atom pada bagian kiri tabelperiodik (misalnya Na) dengan atom pada bagian kanan tabelperiodik (misalnya Cl) −→ elektronegativitas ekstrem.
Konfigurasi NaCl:Elektron valensi pada atom Na: 3s, energi −5 eV. Elektron valensipada atom Cl: 3s (energi −29, 2 eV) dan 3p (energi −13, 8 eV)
Elektron atom Na memiliki energi lebih tinggi−→ “turun tingkat” dalam proses pembentukan ikatan.
Hasilnya: Keadaan 3s atom Na tidak terisi elektron.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 32 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen
Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.
Contoh: H2.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen
Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.
Contoh: H2.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70
Ikatan pada Molekul
Ikatan Kovalen Gas Hidrogen
Argumen “penurunan tingkat” tidak berlaku untuk molekuldengan atom penyusun yang elektronegatifnya sama.−→menghasilkan ikatan kovalen.
Contoh: H2.
Pembentukan molekul H2.
H H
E0=−13,6 eV
1s 1s
H H
E0E0
EB
EA
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 33 / 70
Konsep Fungsi Basis
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 34 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme
Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:
HΦα = EαΦα
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:
Φα(~r) =
M∑m=1
cmum(~r)
atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme
Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:
HΦα = EαΦα
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:
Φα(~r) =
M∑m=1
cmum(~r)
atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70
Konsep Fungsi Basis
Formalisme
Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu, dalam bentukpersamaan nilai eigen:
HΦα = EαΦα
Fungsi gelombang Φα dapat dinyatakan sebagai kombinasi lineardari himpunan fungsi basis {um}:
Φα(~r) =
M∑m=1
cmum(~r)
atau dalam matriks: Φ(~r)→ {c1 c2 . . . . . . cM}T
Pemilihan basis yang tepat dapat mereduksi ukuran matriksHamiltonian [H] dan waktu komputasi secara signifikan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 35 / 70
Konsep Fungsi Basis
FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:
H∑
m
cmum(~r) = E∑
m
cmum(~r)
Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)
[H∑
m
cmum(~r)
]d~r =
∫u∗n(~r)
[E∑
m
cmum(~r)
]d~r∑
m
Hnmcm = E∑
m
Snmcm
dengan
∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫
u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.
I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:
[H]{φ} = E[S]{φ}
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70
Konsep Fungsi Basis
FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:
H∑
m
cmum(~r) = E∑
m
cmum(~r)
Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)
[H∑
m
cmum(~r)
]d~r =
∫u∗n(~r)
[E∑
m
cmum(~r)
]d~r∑
m
Hnmcm = E∑
m
Snmcm
dengan
∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫
u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.
I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:
[H]{φ} = E[S]{φ}
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70
Konsep Fungsi Basis
FormalismeSubstitusikan ekspansi Φα ke dalam persamaan Schrodinger:
H∑
m
cmum(~r) = E∑
m
cmum(~r)
Kalikan dengan u∗n(~r) dan integrasi kedua ruas untuk seluruh r:∫u∗n(~r)
[H∑
m
cmum(~r)
]d~r =
∫u∗n(~r)
[E∑
m
cmum(~r)
]d~r∑
m
Hnmcm = E∑
m
Snmcm
dengan
∫u∗n(~r)Hum(~r)d~r = Hnm,∫
u∗n(~r)um(~r)d~r = Snm.
I Persamaan Schrodinger matriksdalam fungsi basis:
[H]{φ} = E[S]{φ}
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 36 / 70
Konsep Fungsi Basis
Aplikasi pada H2
+ +
RUN UN '
uN r uN 'r
Pemilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen. Ditunjukkan pulasketsa potensial akibat dua inti positif.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 37 / 70
Konsep Fungsi Basis
Aplikasi pada H2
Kerapatan elektron di sumbu yang menghubungkan dua atomhidrogen dalam molekul.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 38 / 70
Konsep Fungsi Basis
Energi Ikat Gas Hidrogen
Beberapa energi yang terlibat dalam pembentukan molekul gashidrogen. Energi ikat sebuah molekul H2 diestimasi dari2(EB0 − E0) + UNN′ + Uee′ .
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 39 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 40 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial
Alur Perhitungan
Perangkat Matematik + Komputasi:I Trik komputasi −→ persamaan matriks :: Matriks HamiltonianI Aproksimasi
Beda Hingga :: Self-Consistent Field :: Pemilihan Fungsi Basis
Objek yang diamati:
Atom: Hidrogen dan Helium
Molekul: Gas Hidrogen (H2)
Struktur ”Bulk”: Rantai Atomik, Graphene, Galium Arsenida
Nanomaterial: Carbon Nanotube
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 41 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang
Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:
H = diag (E0 E0 . . . E0).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang
Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
1 2 3 N−1 N
... ...
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:
H = diag (E0 E0 . . . E0).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang
Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
1 2 3 N−1 N
... ...
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:
H = diag (E0 E0 . . . E0).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Pemodelan zat padat: periodisitas fungsi gelombang
Rantai atomik satu dimensi dengan satu atom per titik kisi:
...
1 2 3 N−1 N
... ...
Jika irisan fungsi gelombang antaratom diabaikan:
H = diag (E0 E0 . . . E0).
Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisanantaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriksHamiltonian tidak lagi bernilai nol.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 42 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1DIrisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantaiatomik:
... ...
fungsi gelombangberirisan
1s 1s
Matriks Hamiltonian:
H =
E0 Ess 0 0 0Ess E0 Ess 0 0
0 Ess E0. . . 0
0 0. . . . . . Ess
0 0 0 Ess E0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 43 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1DIrisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantaiatomik:
... ...
fungsi gelombangberirisan
1s 1s
Matriks Hamiltonian:
H =
E0 Ess 0 0 0Ess E0 Ess 0 0
0 Ess E0. . . 0
0 0. . . . . . Ess
0 0 0 Ess E0
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 43 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Ditambah syarat periodisitas:
E
ψ1
ψ2...ψn...ψN
=
E0 Ess 0 0 0 Ess
Ess E0. . . 0 Ess 0
0. . . . . . Ess 0 0
0 0 Ess. . . . . . 0
0 Ess 0. . . E0 Ess
Ess 0 0 0 Ess E0
ψ1
ψ2...ψn...ψN
Untuk setiap baris matriks berlaku:
Eψn = Essψn−1 + E0ψn + Essψn+1
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 44 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Prinsip Dasar: Rantai Atomik 1D
Ditambah syarat periodisitas:
E
ψ1
ψ2...ψn...ψN
=
E0 Ess 0 0 0 Ess
Ess E0. . . 0 Ess 0
0. . . . . . Ess 0 0
0 0 Ess. . . . . . 0
0 Ess 0. . . E0 Ess
Ess 0 0 0 Ess E0
ψ1
ψ2...ψn...ψN
Untuk setiap baris matriks berlaku:
Eψn = Essψn−1 + E0ψn + Essψn+1
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 44 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga
E = Essψn−1
ψn+ E0 + Ess
ψn+1
ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ
= E0 + 2Ess cosφ.
Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:
ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN
Jika jarak antartitik kisi a, maka:
φα = kαa = α2πN
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga
E = Essψn−1
ψn+ E0 + Ess
ψn+1
ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ
= E0 + 2Ess cosφ.
Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:
ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN
Jika jarak antartitik kisi a, maka:
φα = kαa = α2πN
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga
E = Essψn−1
ψn+ E0 + Ess
ψn+1
ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ
= E0 + 2Ess cosφ.
Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:
ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN
Jika jarak antartitik kisi a, maka:
φα = kαa = α2πN
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Rantai 1DTebak: ψn = ψ0einφ, sehingga
E = Essψn−1
ψn+ E0 + Ess
ψn+1
ψn= Esse−iφ + E0 + Esse+iφ
= E0 + 2Ess cosφ.
Beri batasan E→ terkait dengan jumlah nilai eigen yangberhingga, tidak kontinu.Batasi rentang φ dan diskretisasi nilainya:
ψn = ψ0ein(φ+2π) = ψ0einφ; ψn+1 = ψ0ein(N+1)φ = ψ1
eiNφ = 1⇒ Nφ = 2πα⇒ φ = α2πN
Jika jarak antartitik kisi a, maka:
φα = kαa = α2πN
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 45 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik KisiDistorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2atom (orbital) per titik kisi.
... ......1 1' 2 2' 3 3' N N'
Pers. matriks:
E
ψ1
ψ1′
...ψN
ψN′
=
E0 Ess E′ss
Ess E0 E′ss
E′ss E0. . .
. . . . . .
E′ss
ψ1
ψ1′
...ψN
ψN′
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 46 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik KisiDistorsi Peirl mengubah bentuk 1 atom (orbital) per titik kisi menjadi 2atom (orbital) per titik kisi.
... ......1 1' 2 2' 3 3' N N'
Pers. matriks:
E
ψ1
ψ1′
...ψN
ψN′
=
E0 Ess E′ss
Ess E0 E′ss
E′ss E0. . .
. . . . . .
E′ss
ψ1
ψ1′
...ψN
ψN′
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 46 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Struktur Dua Atom per Titik Kisi
Triks solusi {φn} =
{ψn
ψ′n
}
E
φ1
φ2...φN
=
H11 H12
H21 H22 H23
H32 H33. . .
. . . . . .
φ1
φ2...φN
dengan
Hnm =
[E0 Ess
Ess E0
], Hn,n+1 =
[0 0
E′ss 0
], Hn,n−1 =
[0 Ess
0 0
]
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 47 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan
Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1
Tebak solusi: φn = φ0eikna
Substitusikan:
Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,
menghasilkan
E{φ0} =
[E0 Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
]{φ0}.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan
Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1
Tebak solusi: φn = φ0eikna
Substitusikan:
Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,
menghasilkan
E{φ0} =
[E0 Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
]{φ0}.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan
Eφn = Hnnφn + Hn,n−1φn−1 + Hn,n+1φn+1
Tebak solusi: φn = φ0eikna
Substitusikan:
Eφ0 = Hnnφ0 + Hn,n−1e−ikaφ0 + Hn,n+1eikaφ0,
menghasilkan
E{φ0} =
[E0 Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
]{φ0}.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 48 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
∣∣∣∣∣ = 0
Hasilnya:
E = E0 ±√
E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
∣∣∣∣∣ = 0
Hasilnya:
E = E0 ±√
E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Solusi Dua Orbital Rantai Atom
Tentukan nilai eigen:∣∣∣∣∣ E0 − E Ess + E′sse−ika
Ess + E′sseika E0
∣∣∣∣∣ = 0
Hasilnya:
E = E0 ±√
E2ss + E′2ss + 2EssE′ss cos(ka)
Muncul dua cabang kurva yang berkaitan dengan jumlah basis(orbital atom) yang dipilih per titik kisi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 49 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Hubungan Dispersi
Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan duaatom per titik kisi.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 50 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur
Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)
Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑
m
[Hnm]{φm} = E{φn}
Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga
E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑
m
[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur
Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)
Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑
m
[Hnm]{φm} = E{φn}
Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga
E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑
m
[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Rantai Atomik 1D
Generalisasi Prosedur
Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapatdiperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarangjumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan)
Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuantetangganya m oleh matriks [Hnm] berukuran (b× b), dengan badalah jumlah fungsi basis per sel satuan:∑
m
[Hnm]{φm} = E{φn}
Tebakan solusi: {φm} = {φ0}ei~k·~rm sehingga
E{φ0} = [h(~k)]{φ0}; [h(~k)] =∑
m
[Hnm]ei~k·(~rm−~rn)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 51 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Geometri Graphene
a0
selsatuan
y
x
Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon.
~R = m~a1 + n~a2
~a1 = ax + by ~a2 = ax− by
a =3a0
2dan b =
√3a0
2.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 52 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Geometri GrapheneKisi nyata dan kisi resiprok graphene.
a1
a2
a, b
a,−b
b1
b2
0,2/3b /a,/3b
−/a,−/3b
Vektor kisi resiprok
~K = M~b1 + N~b2
~b1 =2π(~a2 × z)
~a1 · (~a2 × z=π
ax+
π
by; ~b2 =
2π(z×~a1)
~a2 · (z×~a1)=π
ax− π
by.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 53 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene
Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.
Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:
[h(~k)] =
[E0 −t−t E0
]+
[0 −tei~k·~a1
0 0
]+
[0 −tei~k·~a2
0 0
]
+
[0 0
−te−i~k·~a1 0
]+
[0 0
−te−i~k·~a2 0
]
[h(~k)] =
[E0 h0
h∗0 E0
]
dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene
Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.
Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:
[h(~k)] =
[E0 −t−t E0
]+
[0 −tei~k·~a1
0 0
]+
[0 −tei~k·~a2
0 0
]
+
[0 0
−te−i~k·~a1 0
]+
[0 0
−te−i~k·~a2 0
]
[h(~k)] =
[E0 h0
h∗0 E0
]
dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Perhitungan Dispersi Graphene
Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis persel satuan.
Cukup gunakan orbital pz untuk graphene ini:
[h(~k)] =
[E0 −t−t E0
]+
[0 −tei~k·~a1
0 0
]+
[0 −tei~k·~a2
0 0
]
+
[0 0
−te−i~k·~a1 0
]+
[0 0
−te−i~k·~a2 0
]
[h(~k)] =
[E0 h0
h∗0 E0
]
dengan h0 = −t(1 + ei~k·~a1 + ei~k·~a2) = −t(1 + 2eikxa cos(kyb).
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 54 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Kurva Dispersi (Surface) untuk Graphene
E = E0 ± |h0| = E0 ± t[1 + 4 cos2(kyb) + 4 cos(kxa) cos(kyb)
]1/2
kya0 kx a0
Et
−4
−2
0
2
4
−4
−2
0
2
4
0
1
2
3
−1
−2−3
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 55 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Semikonduktor Zat Padat
a
x
y
Penampang dua dimensi dari kisi fcc. Setiap titik ditempati oleh satumacam atom. Dua kisi yang sama kemudian dapat membentukstruktur intan jika dipisahkan oleh seperempat jarak diagonal ruang.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 56 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Galium Arsenida−→ Struktur Zincblende
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 57 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Graphene dan Semikonduktor
Galium Arsenida
Plot E(~k) galium arsenida untuk setiap nilai~k dalam rentang Γ−X dan Γ− L.
Daerah Γ− X terbentang pada~k = 0→ 2πa x (digambarkan di sumbu
horizontal positif), sedangkan Γ− L pada~k = 0→ πa (x + y + z) (sumbu
horizontal negatif). Celah energi: 1, 41 ≈ eV
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 58 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Quantum Well, Wire, dan DotQuantum well Quantum wire Quantum dotZat padat biasa
Struktur Bulk: Aproksimasi parabolik,
E(~k) ≈ Ec +~2(k2
x + k2y + k2
z)
2m∗
Quantum well: kz = nzπLz
(nz bilangan bulat)
Enz(kx, ky) ≈ Ec + n2zεz +
~2(k2x + k2
y)
2m∗
εz =~2π2
2m∗L2z
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 59 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Quantum Well, Wire, dan Dot
Quantum wire:
Eny,nz(kx) ≈ Ec + n2yεy + n2
zεz +~2k2
x2m∗
εy =~2π2
2m∗L2y
Quantum dot:
Enx,ny,nz ≈ Ec +~2π2
2m∗
(n2
xL2
x+
n2y
L2y
+n2
zL2
z
)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 60 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Ketersediaan Keadaan Energi pada Graphene
Carbon Nanotube −→ penggulungan graphene
kya0 kx a0
Et
−4
−2
0
2
4
−4
−2
0
2
4
0
1
2
3
−1
−2−3
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 61 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Konduksi Graphene untuk CNTTitik-titik dengan E = 0 pada bidang kx − ky: (h0 = 0)
(kxa, kyb) = (0,−2π/3), (−π,+π/3), (+π,+π/3)
(kxa, kyb) = (0,+2π/3), (−π,−π/3), (+π,−π/3)
kx
ky
kx
ky
Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalamkonduksi: (kxa, kyb) = (0,±2π/3)
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 62 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Vektor Chiral dan Periodisitas
Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilai k yangdiizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagiankelilingnya.
Definisikan vektor keliling (chiral):
~ch = m~a1 + n~a2 = a(m + n)x + b(m− n)y
Syarat batas periodik yang berlaku adalah
~k ·~ch = kc|~ch| = kxa(m + n) + kyb(m− n) = 2πν.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 63 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Konsep Subpita Energi
kx
ky
0,−2/3b
0,2/3b
kontur energi(konstan)
kc∣ ch∣=2
Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT.−→ Kurva dispersi energi dapat digambarkan terhadap kxa atau kybsesuai dengan jenis nanotube.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 64 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsi kybsepanjang garis kxa = 0.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 65 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 45. Tidak adanyacelah energi menunjukkan sifat yang seperti logam.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 66 / 70
Pita Energi Molekul dan Nanomaterial Struktur Nanomaterial
Kurva Dispersi CNT
Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 44. Keberadaancelah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktor Eg = 0, 25 eV.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 67 / 70
Simpulan
Sistematika
1 Pendahuluan
2 Persamaan Schrodinger dalam Matriks
3 Metode SCF untuk Atom
4 Ikatan pada Molekul
5 Konsep Fungsi Basis
6 Pita Energi Molekul dan NanomaterialRantai Atomik 1DGraphene dan SemikonduktorStruktur Nanomaterial
7 Simpulan
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 68 / 70
Simpulan
Simpulan
Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.
Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.
Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.
Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70
Simpulan
Simpulan
Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.
Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.
Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.
Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70
Simpulan
Simpulan
Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.
Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.
Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.
Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70
Simpulan
Simpulan
Struktur elektronik, atom, molekul, dan khususnya nanomaterial,telah diturunkan secara analitik disertai visualisasi numerik.
Banyak sifat menarik yang dapat diketahui dari suatu materialapabila rumusan struktur elektronik, yakni hubungan dispersi,dijabarkan secara lengkap.
Beberapa aproksimasi yang digunakan dalam metode ikatanterkuat dengan memecahkan matriks Hamiltonian menunjukkanhasil yang cukup baik sesuai eksperimen.
Pilihan fungsi basis yang tepat akan sangat membantu dalamkemudahan dan kecepatan perhitungan.
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 69 / 70
Penutup
In the end...“We have no right to assume that any physical
laws exist or if they have existed up to now, thatthey will continue to exist in a similar manner in
the future”
[Max Planck]
ART Nugraha (ITB) Simulasi Struktur Energi Elektronik 25 Juni 2008 70 / 70