![Page 1: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/1.jpg)
Sifat Penampang Material
(Section Properties)
Mekanika Kekuatan Material
STTM, 2013
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 2: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/2.jpg)
Titik Pusat Massa
Qx : first moment of
area dari elemen A
terhadap sumbu x
Luas A dari sebuah elemen
pada bidang xy
Qy : first moment of
area dari elemen A
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
pada bidang xy area dari elemen A
terhadap sumbu y
Titik pusat massa (centroid) dari luas A adalah di kordinat x dan y dari
titik C yang memenuhi syarat sbb:
Maka
![Page 3: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/3.jpg)
Titik pusat massa beberapa bentuk
bidang
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Luas bidang dengan 2 sumbu simetri, Qy dan Qx adalah 0, titik pusat
massa posisinya di pusat geometri
Luas bidang dengan 1 sumbu simetri, Qy=0 dan 0=x
![Page 4: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/4.jpg)
Ilustrasi
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 5: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh
Tentukan
a. First moment of area dari segitiga
di samping ini terhadap sumbu x dan y
b. Ordinat titik pusat massa y
Solusi:
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
a.
b.karena
![Page 6: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/6.jpg)
First Moment dan centroid dari gabungan
beberapa luas bidang
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Centroid gabungan
beberapa luas bidang
karena
![Page 7: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/7.jpg)
Contoh
Tentukan lokasi centroid C
dari luas di sampingini
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Karena simetri terhadap sumbu y maka
![Page 8: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/8.jpg)
Momen Inersia dari Luas, Radius Girasi
Second moment of area atau momen inersia dari luas A
Momen inersia
rectangular
(karena thd koordinat
rectangular)
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Momen inersia polar (koordinat
polar)
Radius girasi, rx harus
memenuhimaka
![Page 9: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/9.jpg)
IlustrasiDari persegi empat di samping ini, tentukan
momen inersia luasnya lalu tentukan juga
radius girasi
Integrasi dari hingga
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Radius girasi
Momen inersia
thd sumbu x
![Page 10: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/10.jpg)
IlustrasiTentukan momen inersia polar dari luas berbentuk
lingkaran di samping ini
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Integrasi r dari 0 ke c (radius terluar)
Momen inersia rectangular
Sumbu simetri
![Page 11: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema Sumbu Paralel
Tinjau suatu luas A di samping ini
Momen inersia A thd sumbu x adalah
Jika terdapat sumbu x’ yg melalui centroid di mana jaraknya thd sb x adalah d,
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Jika terdapat sumbu x’ yg melalui centroid di mana jaraknya thd sb x adalah d,
lalu jika jarak dA ke sumbu x’ kita sebut y’ maka y=y’+d
Momen inersia
thd sumbu x’ , First moment Qx’ thd
Sumbu x’
Karena sumbu c melalui
Centroid, y’=0
maka
![Page 12: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/12.jpg)
Momen Inersia dari gabungan beberapa luas
Tentukan momen inersia di centroid dari
luas bidang di samping ini
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Luas A1
Luas A2
Gabungan A1 dan A2
Dengan teorema sumbu paralel
![Page 13: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/13.jpg)
Tentukan momen inersia dari penampang
profil di samping ini terhadap sumbu x dan y
Solusi:
Jika luas dibagi 3 bagian, A B dan D
A
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
B
D
Total
![Page 14: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/14.jpg)
Ringkasan
Centroid gabungan beberapa luas
Momen inersia thd suatu sumbu
(rectangular)
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
(rectangular)
Momen inersia polar thd
sumbu yg melalui O
![Page 15: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/15.jpg)
RingkasanMomen inersia thd sumbu x dari
persegi panjang
Momen inersia polar thd sumbu yg
melalui O dari lingkaran
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
melalui O dari lingkaran
Teorema sumbu paralel
![Page 16: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/16.jpg)
Beberapa sifat geometri
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 17: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/17.jpg)
Lenturan murni pada balok
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Lenturan murni pada balok
diperlukan untuk analisis tegangan
komponen mekanik yang mengalami
beban lentur seperti balok dan girder
Momen Kopel M menyebabkan
momen lentur
![Page 18: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/18.jpg)
Lentur murni pada batang simetris
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 19: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/19.jpg)
Deformasi akibat lentur murniBalok dengan bidang simetri yang mengalami lentur murni:
•Komponen tetap simetri (asumsi)
•Melentur secara seragam dan membentuk busur lingkaran
•Panjang bagian atas berkurang sedangkan panjang bagian
bawah bertambah
•Terdapat permukaan netral yang sejajar dengan permukaan
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
•Terdapat permukaan netral yang sejajar dengan permukaan
atas dan bawah di mana tidak terjadi
pemanjangan/pemendekan
•Tegangan dan regangan negatif (tekan) terjadi di atas
permukaan netral dan positif (tarik di bawah permukaan
netral
![Page 20: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/20.jpg)
Regangan akibat lentur
( )( )
x
yy
L
yyLL
yL
ρρθθδ
ε
θρθθρδθρ
−=−==
−=−−=−=
−=′
linier) bervariasi(regangan
'
Tinjau sebuah bagian balok dengan panjang L
Setelah deformasi, panjang permukaan netral
tetap L, sedangkan di permukaan lainnya:
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
mx
m
m
x
c
y
cρ
c
L
εε
ερε
ρρθ
−=
== or
![Page 21: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/21.jpg)
Tegangan akibat lentur
linier) bervariasi(tegangan m
mxx
c
y
Ec
yE
σ
εεσ
−=
−==
• Kesetimbangan statik,
∫∫ −=== dAc
ydAF mxx σσ0
• Kesetimbangan statik,
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
∫
∫∫
−=
−===
dAyc
dAc
dAF
m
mxx
σ
σσ
0
0
First moment thd bidang netral =0,
maka permukaan netral harus
melalui centroid dari bagian
tersebut.
I
My
c
y
S
M
I
Mc
c
IdAy
cM
dAc
yydAyM
x
mx
m
mm
mx
−=
−=
==
==
−−=−=
∫
∫∫
σ
σσ
σ
σσ
σσ
subtitusi
2
![Page 22: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/22.jpg)
Sifat penampang balok• Tegangan normal maksimum akibat lentur,
penampangodulusc
IS
I
S
M
I
Mcm
m
penampang inersiamomen
==
=
==σ
Sebuah balok dengan modulus penampang
yang lebih besar akan mengalami tegangan
normal maksimum yang lebih kecil
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
normal maksimum yang lebih kecil
• Misalnya sebuah balok dengan penampang
segi empat,
Ahbhh
bh
c
IS
613
61
3
121
2====
Dua balok yang memiliki luas penampang
yang sama, maka balok dengan ketinggian
yang lebih besar akan lebih efektif menahan
momen lentur
![Page 23: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/23.jpg)
Deformasi akibat lentur
• Deformasi akibat momen lentur diukur
dengan kurvatur pada permukaan netralnya
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 24: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/24.jpg)
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
![Page 25: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh soal
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Sebuah komponen mesin terbuat dari
besi cor dikenakan kopel sebesar 3 kN-
m. Jika diketahui E=165 GPa tentukan
a. tegangan tarik dan tekan maksimum
, b. radius kurvatur
![Page 26: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/26.jpg)
solusi
Dari geometri penampang, cari centroid
Dari penampang tersebut, jika penampang
Dibagi 2 bagian maka
∑ ×==∑
×=×
×=×
3
3
3
32
101143000
104220120030402
109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
∑ ×==∑ 3101143000 AyA
mm 383000
10114 3
=×
=∑∑=A
AyY
( ) ( )( ) ( )
49-3
23
12123
121
23
1212
m10868 mm10868
18120040301218002090
×=×=
×+×+×+×=
∑ +=∑ +=′
I
dAbhdAIIx
![Page 27: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/27.jpg)
• Gunakan rumus tegangan akibat momen
lentur
49
49
mm10868
m038.0mkN 3
mm10868
m022.0mkN 3
−
−
×
×⋅−=−=
×
×⋅==
=
I
cM
I
cM
I
Mc
BB
AA
m
σ
σ
σ
MPa 0.76+=Aσ
MPa 3.131−=Bσ
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
• Gunakan rumus kurvatur
( )( )49- m10868GPa 165
mkN 3
1
×
⋅=
=EI
M
ρ
m 7.47
m1095.201 1-3
=
×= −
ρρ
![Page 28: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/28.jpg)
Konsentrasi Tegangan
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
I
McKm =σ
![Page 29: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/29.jpg)
Beban Eksentris• Tegangan akibat beban eksentris dicari dengan
superposisi tegangan seragam akibat beban
sentris dan distribusi tegangan linier akibat
momen lentur murni
( ) ( )
MyP
xxx
−=
+= bendingcentric σσσ
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
• Beban eksentris
PdM
PF
=
=
IA−=
![Page 30: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/30.jpg)
Tegangan ijin terbesar untuk batang besi cor
adalah 30 MPa untuk tarikan dan 120 MPa
untuk tekan. Tentukan gaya P terbesar yang
bisa diberikan ke batang.
Contoh soal beban eksentris
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
Dari soal sebelumnya,
49
23
m10868
m038.0
m103
−
−
×=
=
×=
I
Y
A
![Page 31: SifatPenampangMaterial (Section Properties) · MomenInersiadariLuas, Radius Girasi Second moment of area ataumomeninersiadariluasA Momeninersia rectangular (karenathdkoordinat rectangular)](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022021611/5d04b0b688c99383648d4f6e/html5/thumbnails/31.jpg)
• Tentukan beban sentris dan lentur ekivalen.
lenturmomen 028.0
sentris b
m028.0010.0038.0
===
=
=−=
PPdM
ebanP
d
• Superposisi tegangan akibat beban sentris dan
lentur
( )( )P
PPMcP A 377022.0028.0
+=+−=+−=σ
Contoh beban eksentris
Mekanika Kekuatan Material, Kuliah 4
• Tentukan beban maksimum yang boleh diberikan.
kN77MPa1201559
kN6.79MPa30377
=−=−=
==+=
PP
PP
B
A
σσ
kN 0.77=P• Beban maksimum yg diijinkan
( )( )
( )( )P
PP
I
Mc
A
P
PPP
I
Mc
A
P
AB
AA
155910868
022.0028.0
103
37710868
022.0028.0
103
93
93
−=×
−×
−=−−=
+=×
+×
−=+−=
−−
−−
σ
σ