Download - p.i. Segitiga Bola
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
1/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
MARKAS BESAR ANGKATAN LAUTA K A D E M I
PAKET INSTRUKSI
ILMU SEGITIGA BOLA
BUMIMORO, TH. 2011
i
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
2/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
LEMBAR PERUBAHAN
No BABHALAMAN PERIHAL TANGGAL CATATANINSTRUKTUR PARAF
ii
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
3/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang atas limpahan karunia Nya penyusun diberikesempatan untuk menyelesaikan buku Paket Instruksi ini. Buku ini disusun agar dapat
dipergunakan sebagai bahan bacaan utama dan latihan Kadet tentang mata kuliah Segi
Tiga Bola.
Materi disusun sesuai urutan mulai dari pengertian dasar ilmu ukur segitiga bola,
rumus-rumus penting segitiga bola, penggunaan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi,
proyeksi orthografik dan penggunaan dalam perbintangan.
Penyusun mengucapkan terima kasih atas dorongan dan dukungan semua pihak
sehingga buku ini dapat diselesaikan. Kritik dan saran untuk perbaikan akan diterima
dengan senang hati.
Akhirnya semoga buku ini bermanfaat bagi Kadet untuk mencapai
profesionalitasnya dalam pembelajaran untuk menjadi seorang Perwira. Amiin.
Bumimoro, 2011
Penyusun
iii
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
4/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
DAFTAR ISI
LEMBAR PERUBAHAN... . . i
KATA PENGANTAR .... .. ii
DAFTAR ISI............. . ... iii
RENCANA PENGAJARAN..... ... .. iv
BAB I PENGERTIAN DASAR ILMU UKUR SEGITIGA BOLA .. 1
1. Definisi Dasar ............... . 12. Segidua Bola . .... .. 43. Segitiga Bola . . 64. Luas Segitiga Bola . ....... . 115. Sifat sudut segitiga bola 126. Sifat sisi segitiga bola .... ... 137. Kesamaan dan Kesebangunan ....... ... .... 158. Latihan ..... .... 20
BAB II RUMUS- RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA . ... 22
9. Aturan Cosinus .... ... ..... . 2210. Segitiga Kutub Aturan Cosinus Untuk Sudut ... ..... 23
11. Aturan Sinus ............ . 2412. Rumus yang BerhubungannDengan Segitiga Bola ...... .. 2813. Dua Aturan Penting . . 3114. Latihan . .. 31
BAB III PENGGUNAAN ILMU UKUR SEGITIGA BOLA PADA BOLA BUMI... 34
15. Definisi dan Notasi ...... .. 3416. Contoh . .. 3617. Latihan .. 44
BAB IV PROYEKSI ORTHOGRAFIK . ... . 47
18. Melukis ellips .. ... . 4719. Melukis Proyeksi Orthografik .. 4820. Latihan ... 55
iv
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
5/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
BAB V PENGGUNAAN DALAM PERBINTANGAN .. .... 56
21. Definisi .. 5622. Segitiga Astronomi ... 5723. Waktu setempat . .. .. 6124. Latihan ... 63
DAFTAR PUSTAKA . ................... 65
v
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
6/70
KONFIDENSIAL
KONFIDENSIAL
RENCANA PENGAJARAN
1. Materi Ajaran : Ilmu Segitiga Bola2. Tujuan Mata Pelajaran : Mengingat dan mengetahui teori-teoridan rumus-rumus serta aturan ilmu ukur segitiga bola dalam kaitan bernavigasi.
3. Sasaran Mata Pelajaran : Selesai mendapatkan pelajaran inidiharapkan Kadet mampu untuk:
a. Mengingat dan mengetahui pengertian dasar segitiga bola.b. Mengingat dan mengetahui rumus-rumus dasar segitiga bola.c. Mengingat dan mengetahui rumus Sinus, Cosinus dan aturan Napier.
d. Menggunakan rumus dan aturan segitiga bola untuk ilmu pelayaran danastonomi.
4. Waktu Pelajaran :
a. Teori : 2 SKS atau 32 JP tatap muka di kelas.b. Praktek : -
5. Kepustakaan :
a. PL de Pries, Ulake en Boldrichookmeting, Gorinchem JN., NY 1951.
b. RM, Sphericalo Trigonometical, Anna Polis Maryland, USNA, 1951.c. BR-45 Vol I-VIId. Buku panduan pengetahuan kepelautan bagi perwira korps pelaut.
6. Metode Instruksi : Kuliah, diskusi, dan pemberian tugas.
7. Alat Instruksi : Transparan, LCD dan alat peraga.
8. Evaluasi : Obyektif dan subyektif.
9. Kualifikasi Gadik : Perwira korps Pelaut, AA/Susgadik / Sustekdik , Dikspespa.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
7/70
KONFIDENSIAL1
KONFIDENSIAL
1. Definisi Dasar
Sebelum dibahas lebih lanjut tentang ilmu ukur segitiga bola, terlebih
dahulu akan disajikan definisi dasar segitiga bola.
Selanjutnya, ilustrasi berikut akan memperkuat pemahaman tentang
pengertian dasar yang berhubungan segi tiga bola.
BAB - IPENGERTIAN DASAR
ILMU UKUR SEGITIGA BOLA
Kompetensi :
Setelah menyelesaikan bab 1 :
Kadet memahami pengertian dasar formula ilmu ukur segitiga bola
Kadet mampu menghitung panjang dan hukum positif yang ada.
Kadet menghayati kecermatan, ketelitian dan disiplin dalam
menggunakan aturan serta menunjukkan kerja keras dalam
penyelesaian persoalan ilmu ukur segitiga bola
Definisi 1
Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan permukaan
bola berupa lingkaran.
Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola, maka
lingkarannya disebut lingkaran besar
Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola maka
lingkarannya disebut lingkaran kecil.
Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada pusat
bola yang menghadap busur tersebut.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
8/70
KONFIDENSIAL2
KONFIDENSIAL
Gambar 1. Bagian bola
Sedangkan panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada
pusat bola yang menghadap busur itu. Pada Gambar 1 lingkaran
NWS dan PABP adalah lingkaran besar, dengan panjang busur AB= .
Garis tengah bola yang berdiri tegak lurus pada bidang dari sebuah
lingkaran besar disebut poros atau sumbu dari lingkaran.
Titik-titik potong antara poros dengan permukaan bola disebut pola
atau kutub.
Ujung garis tengah bola disebut titik lawan dari ujung yang lain. Pada
gambar 1, garis PP poros dari lingkaran NWS. Sedangkan titik P dan P
adalah kutub. P merupakan titik lawan dari titik P.
Sudut antara dua garis lengkung yang berpotongan sudut : antara
garis-garis singgung pada titik potong dari kedua garis lengkung itu.
P POLE
P
O
B
A
Q R
T
E
W
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
9/70
KONFIDENSIAL3
KONFIDENSIAL
Bukti :
Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar
selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola.
Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar
tersebut.
Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar.
Teorema 1
Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar
Teorema 2
Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur
lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
10/70
KONFIDENSIAL4
KONFIDENSIAL
Bukti :
Lihat gambar berikut.
Andaikan P adalah kutub dari lingkaran ABAB.
PC garis singgung pada busur PA.PD garis singgung pada busur PB maka PDOB PC OA //,//
Jadi AOBCPD
2. Segidua Bola
Pada gambar di bawah ini, segidua bola adalah daerah ABACA
atau daerah yang diwarnai kuning.
Definisi :
Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasioleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit.
PD
C
A
OBB
A
P
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
11/70
KONFIDENSIAL5
KONFIDENSIAL
Bukti :
Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segi
dua bola ABACA.
Lingkaran BCBB terdiri dari 0360 dibagi menjadi 36 bagian yang sama
besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A.
Maka tiap segi dua bola luasnya adalah bolaluas x36010 .
Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas
permukaan segidua bola adalah bolaluas x A
0
0
360.
Teorema 3 :
Jika A sudut segidua bola, maka luas segidua bola = bolaluas A 00
360
A
A
B B
C
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
12/70
KONFIDENSIAL6
KONFIDENSIAL
3. Segitiga Bola
Pada gambar di atas, segitiga bola adalah bagian permukaan bolayang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar dengan titik-titik sudut A,
B dan C.
Sisi-sisi di hadapan sudut A, B dan C disebut dengan sisi-sisi a, b dan c.
a. Segitiga Samping
Definisi :Segitiga bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh
tiga busur lingkaran besar, yang masing-masing lebih kecil dari 0180 .
Definisi :
Segitiga samping adalah segitiga bola yang terjadi dengan
memperpanjang dua sisi dari sebuah segi tiga bola sampai
berpotongan.
A
A
B
C
c
a
b
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
13/70
KONFIDENSIAL7
KONFIDENSIAL
Jika ABC adalah suatu segi tiga bola, maka A BC adalah segi tiga
sampingnya.
b. Segitiga Kutub
A
A
B
C
c
a
b
Definisi :
Segitiga kutub adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnya
merupakan titik-titik kutub dari sisi-sisi segi tiga bola semula.
B C
A
A
BC
cb
a
c b
a
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
14/70
KONFIDENSIAL8
KONFIDENSIAL
Bukti:
Andaikan ABC segitiga kutub dari segitiga bola ABC.
C kutub dari AB
B kutub dari AC
A kutub dari BC Maka:
C kutub dari AB sehingga AC= 090 .
B kutub dari AC sehingga AB= 090 .
Jadi A kutub dari BC .
Secara sama dapat dibuktikan bahwa:
B kutub dari AC.
C kutub dari AB.
ABC segitiga kutub dari ABC.
Teorema:
Sebuah segitiga merupakan segitiga kutub dari setiga kutubnya.
B C
A
A
BC
cb
a
c b
a
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
15/70
KONFIDENSIAL9
KONFIDENSIAL
Bukti:
Andaikan ABC merupakan segi tiga kutub dari segi tiga bola ABC.
A merupakan kutub dari CB
B merupakan kutub dari AC
C me rupakan kutub AB
Maka harus dibuktikan:
A + busur CB=
B + busur CB=
C + busur AB= 0180
Ketika A = busur PQ (A kutub PQ)
A + busur CB = busur PQ + busur CP + busur PB = 000 1809090 .
Secara sama dapat dibuktikan:
B + busur AC = 0180
C + busur AB = 0180
Sebaliknya ABC merupakan segi tiga kutub dari ABC.
Maka secara sama dapat dibuktikan A + busur BC = B + AB = 0180 .
Sehingga:
A+a = B+b = C+c= 0180
A+a = B+b = C+c = 0180
Teorema:
Sebuah sudut dari sebuah segitiga bola merupakan pelurus
(sumplement) dari sebuah sisi segi tiga kutubnya dan sebuah sudut dari
segi tiga kutub merupakan pelurus dari sisi segi tiga mula-mula.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
16/70
KONFIDENSIAL10
KONFIDENSIAL
c. Segitiga Lawan
Jika diketahui ABC adalah segitiga bola, maka ABC adalah segitiga
lawan.
Bukti:
Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi sama
panjang, maka:
AC sama dengan AC
AB sama dengan AB
Definisi :
Segitiga lawan adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnyamerupakan titik-titik lawan dari titik-titik sudut segi tiga bola semula.
A
A
B
C
c
a
b
B
C
Teorema:
Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga
lawannya.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
17/70
KONFIDENSIAL11
KONFIDENSIAL
BC sama dengan BC.
Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-
sisi AB dan C.
4. LUAS SEGI TIGA BOLA
Bukti:
Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisi
ABC maka luas ABC sama dengan luas ABC.
Teorema:
Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalam
segitiga lawannya.
Definisi:
Andaikan A,B,C adalah sudut-sudut suatu segitiga bola.
Luas daerah segitiga bola adalah:
bola permukaanluasC B A
0
0
720180
A
A
B
C
c
a
b
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
18/70
KONFIDENSIAL12
KONFIDENSIAL
5. SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA
Bukti:
Luas segitiga bola = bola permukaanluasC B A
0
0
720180
Luas ini adalah positif, maka 0180 0 C B A .
Sehingga 0180 C B A
Bukti:
Pandang segi tiga samping ABC.
Menurut teorema di atas,0180''' A BC ACB A .
000 180180180 A BC )180( 0 A BC
0180 C B A
Teorema:Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 0180
Teorema:
Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain
kurang dari 0180 .
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
19/70
KONFIDENSIAL13
KONFIDENSIAL
Bukti:
Menurut teorema di atas,0180 C B A
0180 BC A
0180 AC B
0540 C B A
Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut kurang dari 0540 .
6. SIFAT SISI SEGITIGA BOLA
A
B
C
A
Teorema:
Jumlah ketiga sudut sebuah segitiga bola lebih kecil dari 0540 .
Teorema:
Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 0360
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
20/70
KONFIDENSIAL14
KONFIDENSIAL
Bukti :
Pandang segitiga kutub berikut.
ABC adalah segitiga kutub dari s egitiga bola ABC.
Menurut teorema 8 :
0180''' C B A
cC
b B
a A
0
0
0
180'
180'
180'
Sehingga
0000 180180180180 cba Dapat disederhanakan menjadi
0
00
360
180540
cba
cba
Jadi terbukti bahwa jumlah sisi-sisi suatu segitiga bola kurang dari 0360 .
B C
A
A
BC
cb
a
c b
a
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
21/70
KONFIDENSIAL15
KONFIDENSIAL
Bukti:
Pandang segitiga kutub di atas.
Menurut teorema 9,0180''' C B A
cC
b B
a A
0
0
0
180'
180'
180'
Sehingga0000 180180180180 cba
Dapat disederhanakan menjadi
acb
cba
cbacba
0180180 00
7. KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN
Kemungkinan:
a. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang
sama letaknya, maka kedua segitiga bola disebut kongruent.
Teorema:
Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi
yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut.
Definisi:
Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasang-
pasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan
sebangun.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
22/70
KONFIDENSIAL16
KONFIDENSIAL
b. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang
berlawanan letaknya, maka kedua segi tiga bola tersebut
disebut simetris.
ABC dan DEF kongruen
ABC dan PQR simetris
Bukti:
B
A
C
E
D
F
B
A
C
P
Q
R
Teorema:
Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisi
dan sudut apitnya sama.
B
A
C
E
D
F
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
23/70
KONFIDENSIAL17
KONFIDENSIAL
C = F,
BC = EF,
AC = DF.
Pertama,
Andaikan unsur-unsur yang sama terletak pada urutan yang sama,
maka untuk segi tiga bola ABC yang diletakkan pada segi tiga bola
DEF sedemikian hingga titik C berimpit pada titik F.
Sedangkan BC berimpit dengan EF maka titik B berimpit dengan titik E.
Demikian pula A berimpit dengan D (AC = DF).
Akibatnya, busur AB berimpit dengan AB.
Jadi kedua segi tiga bola sama dan sebangun.
Kedua,
Andaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang
berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga
lawan DEF yaitu DEF.
Karena unsur- unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola DEF terletak
pada urutan yang sama.Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris.
Teorema:
Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisi
dan dua buah sudut pada sisi tersebut sama.
B
A
C
D
F
E
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
24/70
KONFIDENSIAL18
KONFIDENSIAL
Bukti:
Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah
sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut
dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut.
Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun.
Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun.
Bukti:
Pandang segitiga bola ABC sama kaki (AB=AC).
Bagilah sudut A dengan sebuah lingkaran besar melalui tengah-
tengahnya, maka menurut teorema 13 segi tiga bola ABD sama dan
sebangun dengan segi tiga bola CAD.
Jadi B=C.
Sebaliknya bila B=C maka pada segi tiga kutubnya, sisi b = c.
Menurut bukti di atas, maka B = C.
Jadi b = c.
Teorema:
Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama
dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka
merupakan segi tiga bola sama kaki.
CB
A
D
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
25/70
KONFIDENSIAL19
KONFIDENSIAL
Bukti:
Andaikan a > b.
Tentukan CD = CA.
Maka D1 = A1.
Menurut teorema 9, 022 180 A B D
20
2 180 D A B
1120180 A D D
A B
A A B A A B
21
12
Teorema:
Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat
sudut yang lebih besar pula.
A
B
D
C
1
2
12
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
26/70
KONFIDENSIAL20
KONFIDENSIAL
Bukti:
Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B.
Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b > a.
Menurut teorema 16, B > A dan a > b.
8. LATIHAN
Buat kelompok kelas menjadi 5 kelompok Kadet sesuai dengan urutan
nomor presensi (nomor Akademik Kadet).
Diskusikan dan jawab persoalan berikut, kemudian persiapkan
paparan hasil pekerjaan untuk dipresentasikan di depan kelas dandibahas bersama hasilnya.
Tim yang memaparkan di depan kelas berdasarkan hasil undian.
Persoalan:
1. Apakah hubungan segitiga bola dan segitiga lawannya ?
2. Kapan definisi kedua segitiga bola digunakan ?3. Jika A, B dan C sudut-sudut segitiga bola dan a, b dan c sisi-sisi
segitiga bola tersebut. Buktikan:
a. 0360 cba
b. 0180 AC B
4. Apakah mungkin segitiga bola dengan unsur-unsur berikut.
a. 000 60,60,60 C B A
Teorema:
Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besar
terletak sisi yang lebih besar pula.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
27/70
KONFIDENSIAL21
KONFIDENSIAL
b. 000 130,125,120 cba
c. 000 90,150,135 C B A
5. Sudut-sudut suatu segitiga bola ialah
0
0
0
90
57
52
C
B
A
Sedangkan sisi-sisinya adalah000 60,43,47 dan .
Manakah a, b dan c serta alasan yang mendasari pemilihan a,
b dan c tersebut.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
28/70
KONFIDENSIAL22
KONFIDENSIAL
9. ATURAN COSINUS
Bukti :
Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan panjang beserta
segi tiga bola ABC pada permukaan, sudut-sudut BOC, AOC dan AOB
masing-masing besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisi-
sisi a,b dan c.
Ambil b dan c sudut lancip.
Dari A dibuat garis-garis singgung pada busur AC dan AB, yang
masing- masing memotong OC di C dan OB di B, menurut rumus
cosinus dari segi tiga bidang datar didapat:
Andaikan a,b,c adalah sisi-sisi sebuah segitiga bola dan A, B dan C
merupakan sudut-sudutnya, maka :
C babac Bcacab
Acbcba
cos.sin.sincos.coscoscos.sin.sincos.coscos
cos.sin.sincos.coscos
O
BB
C C
A
BAB IIRUMUS-RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
29/70
KONFIDENSIAL23
KONFIDENSIAL
aOBOC OBOC C BC OB
cos''2''''
:''222 .................... 1)
A AB AC AC C B
C AB
cos'''''
:''22 ................... 2)
Dari segi tiga siku- siku OAC dan OAB did apat :
ctg AB
btg AC
cOB
bOC
'
'
sec'
sec'
................... 3)
Dengan melakukan substitusi 3) ke 2) diperoleh:
Acbcba
cb Actg btg
cba
Actg btg acb
A socctg btg acb
Actg btg acbctg cbtg b Actg btg ctg btg acbcb
cos.sin.sincos.coscos
sec.seccos..
sec.sec1
cos
cos..1cos.sec.sec
..2cos.sec.sec22
cos..2cossecsec2secseccos..2cos.sec.sec2secsec
2222
2222
10. SEGITIGA KUTUB ATURAN COSINUS UNTUK SUDUT
Di depan telah dibuktikan bahwa untuk segitiga kutub, berlaku:
a. Andaikan A BC segitiga kutub dari segitiga bola ABC,
maka segitiga bola ABC adalah segitiga kutub dari ABC.
b. Sebuah sudut dalam sebuah segi tiga bola merupkan
suplemen dari sisi segitiga kutubnya.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
30/70
KONFIDENSIAL24
KONFIDENSIAL
Lihat gambar di atas, dari sifat 2 diperoleh:
'180'180
'180'180
'180'180
00
00
00
cC C c
b B Bb
a A Aa
Sesuai dengan perumusan (1) diperoleh:
Acbcba cos'.sin'.sin'cos.'cos'cos
Dengan mengingat
sin)180(sin.cos)180(cos 00
Substitusi (7) ke (8), sehingga diperoleh:
Ke tiga persamaan tersebut di atas disebut Aturan Cosinus untuk sudut.
11. ATURAN SINUS
Andaikan a, b, dan c adalah sisi-sisi segitiga bola dan A, B dan C adalah
sudut-sudutnya, maka :
cC
b B
a A
sinsin
sinsin
sinsin
B C
A
A
BC
cb
a
c b
a
B C
A
A
BC
cb
ac
b
a
c B A B AC
bC AC A B
aC BC B A
cos.sin.sincos.coscos
cos.sin.sincos.coscos
cos.sin.sincos.coscos
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
31/70
KONFIDENSIAL25
KONFIDENSIAL
Bukti :
Gambar 19 berikut menunjukkan sebuah bola piramida yang dasarnya
adalah segitiga bola.
ABC dengan pusat O dan panjang radius satu satuan panjang.
Dari C dibuat garis tegak lurus bidang OAB dan memotong bidang di
titik D.
Buat DQ + OB dan DP + OA.
Terjadilah segi tiga siku-siku:
OPC, CDQ dan CDP
Ba DC
a DC
OC DC
B
QC QC
a
sinsin
sinsin
1sin
.............. 13
Secara sama diperoleh:
Ab DC sinsin ................... 14
Dari 13) dan 14) diperoleh:
b B
a A
Ba Ab
sinsin
sinsin
sinsinsinsin
.............15
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
32/70
KONFIDENSIAL26
KONFIDENSIAL
Andaikan titik D berada di luar sektor OAB, maka rumus tersebut masih
tetap berlaku, karena 0180sinsin .Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:
cC
b B
sinsin
sinsin
Contoh:
Dengan menggunakan aturan pada segitiga bola dan jika diketahui
besar sudut Pn =0
30 , jarak PnC =0
65 serta jarak PnB =0
85 , hitunglah
jarak dua kota B dan C sebagaimana disajikan pada gambar berikut.
Penyelesaian
Dari persoalan di atas, diketahui
besar sudut Pn = 030
jarak PnC = 065
jarak PnB = 085
Ditanyakan jarak kota B dan kota C
Untuk menjawab persoalan di atas, harus diingat aturan cosinus pada
segitiga bola, yaitu :
Pn
B
C
030
065
085
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
33/70
KONFIDENSIAL27
KONFIDENSIAL
Andaikan a,b dan c adalah sisi-sisi sebuah segitiga bola dan A,B dan C
berturut-turut adalah sudut-sudut segitiga bola di hadapan sisi-sisi
tersebut sebagaimana disajikan pada gambar berikut :
Sehingga :
C babac
Bcacab
Acbcba
cos.sin.sincos.coscos
cos.sin.sincos.coscos
cos.sin.sincos.coscos
Dari perumusan di atas dan berdasarkan persoalan yang disajikan,
maka aturan cosinus dapat dipergunakan yaitu :
Pncbcb pn cos.sin.sincos.coscos
Dengan
pn adalah jarak kota B dan kota C yang ditanyakan.
b adalah jarak PnC = 065
c adalah jarak PnB = 085
Pn = 030
Dengan demikian :
Pncbcb pn cos.sin.sincos.coscos
A
B
C
c
a
b
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
34/70
KONFIDENSIAL28
KONFIDENSIAL
0
00000
04189252,35
818732447,0cos
818732447,0cos
781898839,0036833608,0cos
866025403,0.996194698,0.906307787,0087155742,0.422618261,0cos
30cos.85sin.65sin85cos.65coscos
pn
arc pn
pn
pn
pn
pn
Dengan demikian jarak kota B dan kota C adalah 0235,0418925 .
Sedangkan diketahui bahwa 01 adalah 60 mil laut.
Jadi jarak kota B dan kota C adalah 0235,0418925 x 60 mil laut =
2.102,513551 mil laut.
12. RUMUS YANG BERHUBUNGAN DENGAN SEGITIGA BOLA
a. Salah Satu Sudut Siku-siku
Untuk mendapatkan rumus pada segitiga bola siku-siku, ambil salah
satu sudut siku-siku, misalnya C = 090 .
Selanjutnya, rumus 9) sampai 12) menghasilkan rumus baru, yaitu:
b
C Ba
Bctg Actg c
b A B
a B A
sin
sin.sinsin
.cos
cos.sincos
cos.sincos
Dari rumus-rumus di atas, dapat diturunkan menjadi:
cctg atg B
cctg btg A
Actg atg b
Bctg btg a
.cos
.cos
.sin
.sin
Secara sama, rumus di atas berlaku pula untuk 090 A atau 090 B .
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
35/70
KONFIDENSIAL29
KONFIDENSIAL
b. Aturan Napier
Untuk memudahkan, aturan-aturan di atas, disajikan dalam suatu
aturan yang disusun oleh John Napier. Aturan tersebut disusun
dengan bantuan gambar berikut.
Segitiga bola pada gambar pertama merupakan segitiga bola ABC
dan siku-siku pada C.
Sedangkan pada gambar kedua, merupakan lingkaran yang disusun
sesuai dengan urutan pada segi tiga bola siku-siku di sampingnya.
Tanda strip di atas huruf ( ) menunjukkan komplemen dari.
Jadi:
B berarti B090 ,
c berarti c090 ,
A berarti A090 .
Pengertian dasar:
Bagian-bagian yang diberi tanda strip di atasnya merupakan sisi
miring dan dua sudut yang satu kakinya menurut sisi miring.
A
c
B
a
b
B
A
C
c
b
a
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
36/70
KONFIDENSIAL30
KONFIDENSIAL
B Acba ,,,, disebut circular parts .
Bagian dari circular parts yang sedang menjadi perhatian disebut
middle part .
Dua bagian yang sebelah menyebelah middle part dinamakan
adjacent part .
Dua bagian lainnya yang tidak berdekatan dinamakan opposite
part .
B dab b merupakan adjacent part dari middle part a.
c dan A merupakan opposite part dari middle part a.
Aturan Napier dinyatakan sebagai berikut
Penjelasan:
a)
bac
bac
bac
coscossin
coscos)90(sin
coscossin0
b)c Aa
c Aa
c Aa
sinsinsin
)90(cos)90(cossin
coscossin00
c) Bcb
Bcb
Bcb
sinsinsin
)90(cos)90(cossin
coscossin00
Aturan Napier:
I. Sinus dari sebarang middle part sama dengan hasil kali
cosinus opposite part.
II. Sinus sebarang middle part sama dengan hasil kali tangen
adjacent part.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
37/70
KONFIDENSIAL31
KONFIDENSIAL
d)
a B A
a B A
a B A
cossinsin
cos)90(cossin
coscossin0
13. DUA ATURAN PENTING
Aturan penting pertama:
Cos A dan cos a harus bertanda sama, karena sin B selalu positif.
Hal ini berarti bahwa a dan A keduanya lancip atau keduanya tumpul
atau dengan kata lain terletak pada kuadran yang sama.
Aturan penting kedua:
Aturan tersebut juga menunjukkan bahwa B dan b harus terletak
dalam kuadran yang sama.
Contoh:
Sebuah pelayaran dari sebelah barat pulau Sumatera di equatormenuju ke arah barat sepanjang equator.
14. LATIHAN
a. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sisi, hitunglah
bagian segi tiga bola yang tidak diketahui.
1) 000 453060 Acb
a B A cos.sincos
b A B cos.sincos
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
38/70
KONFIDENSIAL32
KONFIDENSIAL
2) 000 1203045 Bca
b. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sudut,
hitunglah bagian-bagian segi tiga bola yang tidak
diketahui.
1) 000 135150120 aC B
2) 000 135120135 bC A
c. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sisi, hitunglah
sudut segi tiga bola di bawah.1) ?.....606060 000 Acba
2) ?.....60120120 000 C cba
d. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sudut
hitunglah sisi segi tiga bola di bawah.
1) ?.....1206060 000 aC B A
2) ?.....6015060 000 cC B A
e. Dengan menggunakan rumus cosinus hitunglah bagian
segi tiga bola yang tidak diketahui.
000 15012060 C ba
f. Dengan menggunakan rumus sinus hitunglah bagian yang
belum diketahui.
0000 9513560120 Acba
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
39/70
KONFIDENSIAL33
KONFIDENSIAL
g. Dengan menggunakan aturan cosinus hitunglah c.
Selanjutnya dengan aturan sinus hitunglah bagian lain jika
diketahui
000 6015060 C ba
h. Diketahui segitiga bola siku-siku dengan C = 090 dengan073 B dan 0127a .
Hitunglah A, b dan c.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
40/70
KONFIDENSIAL34
KONFIDENSIAL
15. Definisi dan Notasi
Definisi dan notasi yang akan dibahas di sini adalah definisi dan notasi
terkait dengan penerapan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi.
Definisi dan notasi diturunkan dari gambar bola bumi, berikut.
n P
EWO
A B
Q
FC
T1 A
2 A
s P
BAB IIIPENGGUNAAN ILMU UKUR SEGITIGA BOLAPADA BOLA BUMI
Kompetensi :
Setelah selesai mempelajari bab III, Kadet dapat :
Menggunakan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi
Menghayati nilai-nilai disiplin, teliti, dan kerja keras dalam menyelesaikan
persoalan segitiga bola
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
41/70
KONFIDENSIAL35
KONFIDENSIAL
Definisi:
Sumbu adalah garis lurus yang melalui pusat bola (O) yangmenembus bola di Pn dan Ps (garis PnPs)
Ps disebut kutub selatan
Pn disebut kutub utara
Equator (katulistiwa) adalah lingkaran besar yang terjadi akibat
perpotongan bidang datar yang tegak lurus sumbu PnPs
dengan bola. Pada gambar tampak bahwa lingkaran WABEW
adalah equator. Parallel of lattitude (lingkaran kecil) yang sejajar dengan
lingkaran equator. Pada gambar CTQFC adalah parallel of
lattitude .
Meridian adalah setengah lingkaran besar yang ujung-ujungnya
adalah kutub utara dan kutub selatan. Pada gambar, PnWPs,
PnEPs, PnAPs dan PnBPs adalah meridian.
Lattitude (lintang) suatu tempat di bumi adalah besar sudut yang
diukur dari equator sepanjang meridian melalui tempat tersebut.
Sehingga busur EF adalah lintang dari titik F beserta seluruh titik
yang berada di parallel of lattitude yang sama dengan titik F.
Untuk utara katulistiwa ditulis dengan tanda positif, sedangkan
untuk selatan katulistiwa ditulis dengan tanda negatif. Dapat
juga ditentukan dengan memberikan tanda N untuk di utara
katulistiwa dan S di selatan katulistiwa, misalnya: A1 = L 20 N.
Prime meridian (meridian utama) ialah meridian yang melalui
Royal Observatory di kota Greenwich England.
Longitude (bujur) suatu tempat di bumi adalah sudut di kutub
diantara meridian yang lewat titik tersebut dengan meridian
utama (prime meridian). Garis besar ini diukur ke timur atau ke
barat arah Greenwich sehingga jaraknya antara0
1800 .
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
42/70
KONFIDENSIAL36
KONFIDENSIAL
16. Contoh:
Kota A dan B di permukaan bumi
2. Segitiga Bola Bumi PnAB
n P
EWO
A B
Q
Greenwich
s P
P r i m e
m e r
i d i a n
n P
EWO
A B
Q
Greenwich
s P
P r i m e
m e r
i d i a n
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
43/70
KONFIDENSIAL37
KONFIDENSIAL
Contoh:
Hitunglah jarak pelayaran dari Kota Kupang 010 LS dan 0124 BT menuju
ke pelabuhan Port Lewis di Mauritius 020 LS dan 059 BT. Jika kapal
berlayar dengan kecepatan 13 knot berapa waktu yang dibutuhkan
untuk kegiatan pelayaran tersebut ?
Berapa haluan yang digunakan pada pelayaran tersebut ?
Penyelesaian :
Diketahui
a. Kota Kupang 010 LS dan 0124 BT
b. Port Lewis di Mauritius 020 LS dan 059 BT
c. Kecepatan berlayar = 13 knot
Ditanyakan :
a. Waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran dari Kupang sampai
Port Lewis
b. Haluan yang digunakan pada pelayaran tersebut
Untuk mempermudah penyelesaian persoalan tersebut perlu
diperhatikan ilustrasi berikut.
Pn
P
K
p
pn
k
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
44/70
KONFIDENSIAL38
KONFIDENSIAL
Pn = sudut yang dibentuk jika dibuat segitiga bola pada kedua kota
tersebut pada kutub utara =0
124 -0
59 =0
65
K= kota Kupang
P = Port Lewis
k = jarak kutub utara dengan Port Lewis = 000 1102090
p = jarak kutub utara dengan Kupang = 000 1001090
Masalah pertama yang diajukan adalah mencari jarak KP atau pn.
Selanjutnya untuk menghitung pn digunakan aturan cosinus
sebagaimana disajikan pada penyelesaian di persoalan pertama.
0
00000
22493037,63
450489118,0cos
450489118,0cos
391097944,0059391174,0cos
422618261,0.984807753,0.93969262,0)173648177,0).(342020143,0(cos
65cos.100sin.110sin100cos.110coscos
cos.sin.sincos.coscos
pn
arc pn
pn
pn
pn
pn
Pn pk pk pn
Jadi jarak pelayaran dari Kupang ke Port Lewis adalah 022493037,63 x
60 mil laut = 3.793,495822 mil laut.
Karena diketahui kecepatan berlayar adalah 13 knot atau 13 mil per
jam, maka waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran tersebut adalah :
jam8073709,29113495822,793.3
atau sekitar 291 jam 48 menit atau 12 hari 3 jam 48 menit.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
45/70
KONFIDENSIAL39
KONFIDENSIAL
Sedangkan untuk menjawab persoalan kedua perlu diperhatikan
aturan haluan yaitu :
Pertama, haluan (course) adalah sudut pelayaran yang diukur dari
arah utara searah jarum jam. Sehingga haluan pelayaran dari Kupang
ke Port Lewis adalah K sudut besar 0360 . Dengan demikian yang perlu
dihitung adalah besar sudut K terlebih dahulu.
0
00
000
4595133,107
)300031803,0(cos
300031803,0cos879218554,0263793528,0
cos
984807753,0.892781918,0)173648177,0.(450489118,0)342020143,0(cos
100sin.22493037,63sin
100cos.22493037,63cos110coscos
sin.sincos.coscos
cos
sin.sincos.coscos
cos
cos.sin.sincos.coscos
K
arc K
K
K
K
K
p pn p pnk
K
p pn p pnk
K
K p pn p pnk
Sehingga haluan dari kota Kupang ke Port Lewis adalah
000 5404867,2524595133,107360 .
Contoh
Suatu muhibah ke berbagai wilayah dilakukan untuk kepentingan
diplomasi TNI AL menggunakan KRI Dewaruci. Pelayaran dimulai dari
Pantai Nunukan menuju ke Hawai dan singgah di sana selama
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
46/70
KONFIDENSIAL40
KONFIDENSIAL
maksimal 3 hari. Kemudian dilanjutkan menuju ke Terusan Panama
untuk menghadiri festival kapal layar tiang tinggi ( tallship festival ) yang
diadakan pada tanggal 10 Desember 2009. Jika kecepatan KRI
Dewaruci rata-rata 15 knot kapan waktu berangkat yang terbaik ?
Penyelesaian :
Untuk menjawab pertanyaan di atas, perlu dicari terlebih dahulu
koordinat ke tiga kota tersebut, yaitu :
Nunukan : LU dan BT 00 4117
Hawai : LU dan BB 00 22156
Terusan Panama : LU dan BB 00 979
agar lebih mudah dibuat sketsa berikut ini.
Selanjutnya, hal yang diketahui adalah :
Kecepatan KRI adalah 15 knot = 15 mil laut / jam
Berlayar dari Nunukan (N) menuju ke Hawai (H) dan beristirahat 3 hari
dan dilanjutkan ke Terusan Panama (TP).
Harus mengikuti lomba layar tiang tinggi di Terusan Panama tanggal
19 Desember 2009.
Pn
N
H
TP
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
47/70
KONFIDENSIAL41
KONFIDENSIAL
Ditanyakan waktu terbaik untuk berangkat dari N.
Sehingga harus dicari terlebih dahulu jarak dari N ke H dan dari H ke TP.
Pertama, harus dicari jarak N ke H atau pn.
dengan
Nunukan : LU dan BT 00 4117
Hawai : LU dan BB 00 22156 .
Sehingga besar sudut Pn adalah 0000 87)156117(360 .
Jarak dari N ke Pn atau h adalah 000 86490 .
Jarak dari H ke Pn atau n adalah 000 682290 .
Pertanyaannya adalah jarak dari N ke H atau pn.
Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan aturan cosinus yaitu :
0
00000
72531789,85
074538082,0cos
074538082,0cos
048406848,0026131234,0cos
052335956,0.99756405,0.927183854,0069756473,0.374606593,0cos
87cos.86sin.68sin86cos.68coscos
cos.sin.sincos.coscos
pn
arc pn
pn
pn
pn
pn
Pnhnhn pn
Kemudian dihitung jarak dalam mil laut yaitu
laut mil laut mil 519073,143.5/6072531789,85 00
.
Pn
N
H
n
h
pn
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
48/70
KONFIDENSIAL42
KONFIDENSIAL
Selanjutnya akan dicari waktu yang digunakan untuk pelayaran dari
Nunukan ke Hawai yaitu :
jam9012716,34215519073,143.5
Atau 14 hari 6, 9012716 jam.
Selanjutnya, akan dicari jarak H ke TP atau pn.
dengan
Hawai : LU dan BB 00 22156 .
Terusan Panama : LU dan BB 00 979
Sehingga besar sudut Pn adalah 000 7779156 .
Jarak dari H ke Pn atau n adalah 000 682290 .
Jarak dari TP ke Pn atau h adalah 000 81990
Pertanyaannya adalah jarak dari H ke TP atau pn.
Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan aturan cosinus yaitu :
Pn
HTP
h
tp
pn
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
49/70
KONFIDENSIAL43
KONFIDENSIAL
Kemudian dihitung jarak dalam mil laut yaitu
laut mil laut mil 392753,479.4/6065654588,74 00 .
Selanjutnya akan dicari waktu pelayaran dari Hawai ke Terusan
Panama yaitu :
jam6261835,29815392753,478.4
atau 12 hari 10,6261835 jam.
Kemudian untuk menentukan waktu terbaik keberangkatan dari
Nunukan, dilakukan perhitungan mundur.
Karena waktu perlombaan adalah 19 Desember 2009 waktu Terusan
Panama maka waktu sampai terbaik adalah tanggal 16 Desember
2009.
Kemudian waktu keberangkatan dari Hawai adalah 13 hari sebelum
tanggal 16 Desember 2009 yaitu tanggal 3 Desember 2009.
Apabila di Hawai selama 3 hari maka waktu terbaik untuk sampai di
Hawai adalah 30 Nopember 2009. Maka keberangkatan dari
Nunukan adalah 15 hari sebelumnya yaitu 15 Nopember 2009.
0
00000
65654588,74
264604511,0cos
264604511,0cos20600313,0058601381,0cos
224951054,0.98768834,0.927183854,0156434465,0.374606593,0cos
77cos.81sin.68sin81cos.68coscos
cos.sin.sincos.coscos
pn
arc pn
pn pn
pn
pn
Pnhnhn pn
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
50/70
KONFIDENSIAL44
KONFIDENSIAL
Jadi waktu terbaik keberangkatan dari Nunukan adalah tanggal 15
Nopember 2009 agar dapat mengikuti lomba layar tiang tinggi di
terusan Panama tanggal 19 Desember 2009.
17. Latihan
Kadet dibagi dalam lima kelompok. Setiap kelompok mendiskusikan
penyelesaian dari tiga persoalan di bawah ini. Selanjutnya, setiap
kelompok dapat memaparkan hasil diskusinya di depan kelas untuk
didiskusikan.
1. Dengan bantuan gambar pada peta di bawah ini,
a. Carilah jarak dan haluan pelayaran dari Dubai ke Selat
Sunda.
b. Jika pelayaran dimulai tanggal 27 Desember 2009 waktu
setempat, kapan pelayaran akan diakhiri ?
2. KRI Nusantara melakukan perjalanan muhibah dari Pantai
selatan Argentina menuju ke Tanjung Harapan di Afrika Selatan dan
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
51/70
KONFIDENSIAL45
KONFIDENSIAL
beristirahat selama 48 jam dan kemudian melanjutkan perjalanan ke
Perth Australia masing-masing dengan kecepatan rata-rata 15 knot.
a. Hitung jarak dan haluan dari pelayaran tersebut.
b. Jika Kapal berangkat tanggal 27 Februari 2010 pukul 09.00 Waktu
setempat, kapan kapal sampai di Perth ?
3. Pada tahun berikutnya, KRI Nusantara melakukan perjalanan
muhibah dari Selat Sunda menuju ke Eropa melalui dua termpat di
Afrika Selatan dan Amerika Serikat serta beristirahat selama 36 jam di
masing-masing pelabuhan tersebut dengan kecepatan rata-rata 15
knot (lihat gambar).
a. Hitung jarak dan haluan dari pelayaran tersebut.
b. Jika Kapal berangkat tanggal 27 Februari 2011 pukul 09.00 WIB,
kapan kapal sampai di Eropa ?
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
52/70
KONFIDENSIAL46
KONFIDENSIAL
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
53/70
KONFIDENSIAL47
KONFIDENSIAL
18. Melukis Ellips
Dengan persamaan ini, sebuah ellips dapat dilukis titik demi titiksebagai berikut.
Definisi:
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap
dua titik tetap adalah sama dan dinyatakan dengan:
122
2
2
b y
a x
Atau dapat dinyatakan dengan persamaan parameter:
20
sin
cos
q
qb y
qa x
Hq
y
F A
D
B
O
C
G E
x
BAB IVPROYEKSI ORTHOGRAFIK
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
54/70
KONFIDENSIAL48
KONFIDENSIAL
Langkah-langkah melukis ellips datar ( a > b ):
a. Buat dua lingkaran yang konsentris dengan radius a dan b
dengan b < a.
b. Buat garis OA yang membentuk sudut q dengan sumbu x ( arah
berlawanan dengan arah jarum jam). Garis OA memotong
kedua lingkaran di titik A dan titik B.
c. Buat garis sejajar dengan sumbu y dari A dan buat garis sejajar
sumbu x dari B. Kedua garis berpotongan di titik D. Titik D
adalah salah satu titik ellips.
d. Secara sama (a sampai c) untuk membuat titik-titik ellips yang
lain, dari 0 sampai dengan 2 .
e. Setelah dicapai banyaknya titik yang cukup, setiap titik ellips
dihubungkan dengan kurva mulus dan diperoleh ellips.
Langkah melukis ellips seperti tersebut di atas, dapat dilakukan jika
ellips akan berbentuk mendatar. Jika ellips yang akan dilukis adalahtegak, maka langkah c diubah dengan menarik garis dari A sejajar
dengan sumbu x dan dari B sejajar dengan sumbu y.
19. Melukis Proyeksi Orthografik
Dalam proyeksi orthografik, proyeksi pendekatan dilakukan
dalam melukis segitiga bola dan bagian-bagiannya. Penyelesaian
persoalan segitiga bola dengan pendekatan proyeksi orthografik akanmemberikan hasil yang kasar.
Gambar di bawah ini adalah gambar setengah bola, dimana P
terletak pada bola dan diproyeksikan pada bidang ABAB dengan
proyeksinya adalah titik P.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
55/70
KONFIDENSIAL49
KONFIDENSIAL
Selanjutnya, gambar di bawah ini sebagai representasi dari proyeksi
setengah bola ke bidang ABAB.
Busur PQ adalah proyeksi dari pq.
Lingkaran BpqB direbahkan dengan diameter BB sebagai sumbu
putar p menjadi P dan q menjadi Q.
PQ panjang busur sesungguhnya.
Bila P dan Q adalah proyeksi dari setengah lingkaran pada bidang
primitif dengan siameter BB.
Beberapa definisi pendukung proyeksi orthografik:
1. Bidang ABAB disebut bidang primitif (primitive plane).
2. Lingkaran ABAB disebut lingkaran pr imitif (primitive circle).
3. Ellips APA merupakan proyeksi dari setengah lingkaran APA.
4. Proyeksi orthografik dari setengah lingkaran adalah ellips
dengan panjang adalah diameter dari lingkaran primitif.
p
P
d
D
A A
CB
B C
O
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
56/70
KONFIDENSIAL50
KONFIDENSIAL
Untuk mencari panjang busur IQ yang sesungguhnya, dibuat garis
melalui P tegak lurus BB dan melalui Q yang memotong di P dan Q.
PQ adalah panjang busur yang sesungguhnya.
Pada gambar berikut, AMNA menunjukkan proyeksi setengah
lingkaran.
Panjang sesu ngguhnya dari MN adalah MN = 030 .
Panjang sesungguhnya dari OD adalah AR = 030 .
Panjang sesungguhnya dari DS adalah RS =0
57 . Busur- busur OS, OA, OA dan AD = 090 .
Besar sudut A sesuai dengan panjang busur SR = 057 .
Untuk menggambar proyeksi suatu lingkaran pada bidang primitif V
yang membentuk sudut dengan bidang tersebut, gambar diameter
DD tegak lurus VV dengan DK= .
KK tegak lurus DD gambar ellips melalui V, K, V dengan metode
yang telah diberikan.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
57/70
KONFIDENSIAL51
KONFIDENSIAL
1
Contoh 1:
Carilah dengan menggunakan proyeksi orthografik pendekatan
penyelesaian segitiga bola bila diketahui:
0
0
0
60
120
60
C
b
a
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
58/70
KONFIDENSIAL52
KONFIDENSIAL
Langkah-langkah penyelesaian:
a. Lukis sebuah lingkaran primitif dengan dua diameter yang saling
tegak lurus CC dan DD.
b. DK = 060
OG = 060
GB tegak lurus CC.
c. Buat garis luru s melalui titik B yang tegak lurus AA,
d. AR = 083 sesuai dengan panjang sisi c = 083 .
e. Dengan membuat panjang FS sejajar dengan AA kita dapat
mengetahui panjang busur SF = 049 yang langsung dapat
diketahui pula besar sudut A.
G
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
59/70
KONFIDENSIAL53
KONFIDENSIAL
f. Untuk mengetahui besar sudut B pada hasil proyeksi ini,
dilakukan dengan cara sama dengan mengetahui besar sudut
A yaitu dengan meletakkan titik B pada lingkaran primitif seperti
besar sudut A.
Contoh 2.
Tentukan dengan proyeksi orthografik, jarak dan haluan pada
penerbangan yang dilakukan oleh Pesawat Tempur Angkatan Laut
Amerika Serikat dalam muhibah antar negara dari dari Gibraltar
(L= 036 N dan 05 W) ke New York (L= 041 N dan 064 W).
Penyelesaian:
Dua sisi dari segitiga bola ialah:
n = 010 5490 L
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
60/70
KONFIDENSIAL54
KONFIDENSIAL
g = 020 4990 L
dan sudut pada kutub 00 59 DL P n .
Jadi diperoleh segi tiga bola N GP n dengan unsur-unsur yang diketahui
00 49,54 g n .
Sedangkan yang harus dicari adalah n P .
Lukisan:
a. Ukur EK= 059 .
b. Tarik garis KK WE.
c. Ellips sn P K P ' dapat dilukis.
d. Ukur 054G P n .
e. Titik N dapat ditentukan. Ellips GnCdapat dilukis.
f. GN = 048 (atau 2880 mile).
g. Initial course (haluan) adalah .29961360 000
G
N
n P
n p
054
049
059
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
61/70
KONFIDENSIAL55
KONFIDENSIAL
20. Latihan Aplikasi Proyeksi Orthografik pada Pelayaran
Kadet dibagi dalam kelompok dua-dua untuk mendiskusikan
persoalan berikut ( think pair share ).
Dalam suatu pelayaran dari muhibah dari Aceh menuju pantai timur
Madagaskar dilakukan dengan KRI Dewaruci sebagaimana tampak
pada gambar.
a. Cari posisi koordinat Aceh dan pantai timur Madagaskar.
b. Carilah jarak Aceh sampai dengan pantai timur Madagaskar
dengan proyeksi orthografik.
c. Apabila kecepatan KRI Dewaruci rata-rata 10 knot, berapa
waktu yang dibutuhkan pada pelayaran tersebut ?
d. Apabila diharapkan pada tanggal 12 Desember 2009 KRI
Dewaruci mengikuti acara parade kapal tiang tinggi di
Madagaskar, kapan sebaiknya KRI Dewaruci berangkat dari
Aceh ?
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
62/70
KONFIDENSIAL56
KONFIDENSIAL
21. Definisi
Beberapa definisi penting tentang segitiga bola terkait dengan
perbintangan.
Celestial sphere adalah permukaan bola jagat raya dengan bumi
sebagai pusat bola dan panjang radiusnya tak hingga.
Kutub utara celestial sphere ( n P ) ( celestial sphere north pole )
adalah titik potong pada celestial sphere dengan garis lurus dari
pusat bumi yang melalui kutub utara bumi.
Kutub selatan celestial sphere ( s P ) adalah titik lawan dari kutub
utara selestial sphere.
Celestial equator atau equinoctial adalah perpotongan antara
celestial sphere dengan bidang datar yang melalui equator bumi.
Zenith (Z) adalah titik potong celestial sphere dengan garis yang
dibuat dari bumi lurus ke atas.
Nadir (Na) adalah titik lawan dari Zenith.
Horizon circle adalah lingkaran besar pada celestial sphere yang
kutubnya adalah zenith dan nadir.
Kompetensi:
Setelah mempelajari penggunaan segitiga bola dalam
perbintangan, Kadet mampu:
a. Mengetahui pengertian-pengertian pada celestial sphere.
b. Mengaplikasikan ilmu ukur segitiga bola dalam perbintangan
untuk membantu pelayaran.
BAB VPENGGUNAAN DALAM PERBINTANGAN
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
63/70
KONFIDENSIAL57
KONFIDENSIAL
Titik-titik W, N, E dan S adalah titik-titik pada horizon circle yang
menunjukkan barat, utara, timur dan selatan yang masing-masing
berjarak 090 .
Lingkaran vertikal adalah lingkaran besar yang melalui zenith dan
nadir.
Prime vertikal adalah lingkaran vertikal yang melalui timur dan
barat.
Lingkaran waktu adalah lingkaran besar yang melalui kutub utara
n P dan kutub selatan s P .
Celestial meridian adalah lingkaran waktu yang melalui titik-titik
utara dan selatan.
22. Segitiga Astronomi
Definisi:
Segitiga astronomi adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnya
celestial pole, zenith dan sebuah titik pada celestial sphere.
Declinasi d dari sebuah benda angkasa/ titik pada celestial sphere
adalah jarak angular dari celestial equator sampai dengan benda
angkasa tersebut.
Deklinasi diukur menurut lingkaran waktu (tanda positif atau negatif,
sama artinya dengan utara atau selatan).
Earth
W
S N
E
Z
Horizon
Primevertical
NorthCelestialPole
n P
Verticalcircle
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
64/70
KONFIDENSIAL58
KONFIDENSIAL
Deklinasi sama artinya dengan latitude di bumi.
Altitude h dari sebuah benda angkasa/ titik pada celestial sphere
adalah jarak angular dari horizon circle sampai dengan benda
angkasa tersebut.
Altitude diukur menurut lingkaran vertikal, besarnya antara 00
sampai dengan 090 .
Sudut azimuth (azimuth angle) dari benda angkasa/ titik di celestial
sphere adalah sudut pada zenith antara celestial meridian dan
lingkaran vertikal yang melalui benda angkasa tersebut.
Sudut ini diukur dari celestial meridian ke arah timur atau ke arah
barat.
Besarnya antara 00 sampai dengan 0180 dan dinyatakan dengan
(misalnya) W N 090 atau E S 060 . Dengan N dan S menyatakan
kutub dari pengamat, sedangkan W dan E menyatakan benda
angkasa tersebut terletan di langit sebelah barat atau timur.
Earth
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
65/70
KONFIDENSIAL59
KONFIDENSIAL
Azimuth Zn dari sebuah benda di angkasa/ titik di celestial sphere
adalah sudut pada zenith antara celestial meridian dan lingkaran
vertikal yang melalui benda angkasa tersebut diukur dari utara ke
timur.
Azimuth Zn diukur pada horizon mulai dari N (utara) ke arah timur
sampai memotong lingkaran vertikal yang melalui benda angkasa
tersebut, besarnya antara 00 sampai dengan 0360 .
Meridian angle t sebuah benda angkasa adalah sudut antara
celestial meridian dan lingkaran waktu yang melalui benda
angkasa tersebut.
Meridian angle diukur dari celestial ke arah timur atau arah barat.
Besar meridian angle antara 00 sampai dengan 0180 atau h0
sampai dengan h12 .
Meridian angle selalu memakai tanda E atau W, merupakan arah
terdekat ke timur atau ke barat.
Sudut Waktu (hour angle) sebuah benda angkasa adalah sudut
antara celestial meridian dan lingkaran waktu yang melalui bendaangkasa tersebut.
Sudut waktu diukur dari celestial meridian ke arah barat.
Besar sudut waktu antara 00 sampai dengan 0360 atau h0 sampai
dengan h24 .
Latitude (pada celestial sphere) adalah jarak antara equinoctial
sampai dengan zenith diukur melalui celestial meridian.
Pada gambar ZQ = L dan ZPn = Co L.
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
66/70
KONFIDENSIAL60
KONFIDENSIAL
Contoh:
Gambar proyeksi orthografik dari sebuah segi tiga astronomi bila
diketahui :
W Angle Meridian
S D
N L
0
0
0
50
15
40
Carilah :
a. altitude h
b. sudut azimuth z
c. Azimuth Zn.
Jawab:
Deklinasi diambil positif atau negatif tergantung letaknya di utara atauselatan.
NS menyatakan horizon.
QQ equinoctial.
PnZM segi tiga astronomi.
Dari gambar diperoleh:
n P
Z
O
LC o
d C o
hC o
M
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
67/70
KONFIDENSIAL61
KONFIDENSIAL
000
0
0
232128360
128
18
Zn
Z
h
23. Waktu Setempat
Dalam pelajaran ilmu falak, planet-planet termasuk bumi kita berputar
mengelilingi matahari yang lintasannya berbentuk ellips (sesuaidengan hukum kepler).
Tetapi, pada kehidupan sehari-hari seolah-olah matahari yang
bergerak mengelilingi bumi dari timur ke barat dalam waktu 24 jam
dalam satu putaran.
Sehingga secara matematis terdapat hubungan bahwa 24 jam = 0360 .
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
68/70
KONFIDENSIAL62
KONFIDENSIAL
Contoh:
'3517
'5'30215
'4
204
10151
20101
0
00
00
smh
Karena matahari pada jam 12 siang terletak pada meridian, maka
meridian angle matahari dapat ditentukan pada waktu pagi (sebelum
jam 12) dan pada waktu sore (sesudah jam dua belas). Kemudian
meridian angle ini dinyatakan dalam jam, menit dan detik.
Contoh:
Seorang pengamat pada N L 040 , dengan menggunakan sextant
mendapatkan deklinasi matahari hd 023 dan altitude 050h .
Bila matahari ada di langit sebelah timur, tentukan waktu dan azimuth
matahari pada waktu itu.
Penyelesaian:
Gambar berikut menunjukkan proyeksi orthografik dari segitiga
astronomi.
Dari 050h dan N d 023 , maka titik M dapat ditentukan sehingga
ellips sn KP P dan ZLN dapat digambarkan.
Maka didapat meridian angle mht 52243 0 .
Jadi waktu setempat = mhmh 8952212 (jam 9 lebih 8 menit).
Azimuth 0102n Z .
1 jam = 0151 h menit h
4151
10
1 menit = '151 m
ik
m
det415
1
'1
1 detik = ''151 s 151
''1 s
h = hour m = menit s = second
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
69/70
KONFIDENSIAL63
KONFIDENSIAL
24. Latihan
a. Dengan menggunakan proyeksi orthografik hitunglah h dan Zn
jika diketahui :
1). E t N d N L 000 616046
2). E t N d N L 000 35839
3). W t N d S L 000 401035
b. Dengan menggunakan proyeksi orthografik dari segitiga bola
astronomi, hitunglah sudut jam dan azimuth dari soal berikut.
1). E h N d N L 000 201540
2). E hS d N L 000 301020
3) W h N d N L 000 302045
-
8/12/2019 p.i. Segitiga Bola
70/70
KONFIDENSIAL64
DAFTAR PUSTAKA
Dillon, Vik, 2005, The Celestial Sphere, diakses dari www.shef.ac.uk /
/physics/people/vdhillon/teaching.html
Soewito, 1987, Ilmu Ukur Segi Tiga Bola , Surabaya : AAL
Todhunter, I., 2006, Spherical Trigonometry , diakses dari www.pgdp.net
Wolfe, H.E., 1945, Introduction to Non-Euclidean Geometry , NewYork:Holt, Rinehart and Winston, Inc.
http://www.shef.ac.uk/http://www.shef.ac.uk/