-
1
PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
DWI NOVIATI
NIM : 993114020
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2007
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
4
Cita-cita adalah semangat hidup
karena hidup tanpa cita-cita bagaikan menghitung bintang di langit
Dan seandainya pohon-pohon di bumi menjadi pena, dan laut
menjadi tinta, ditambahkan kepadanya tujuh laut lagi sesudah keringnya,
niscaya tidak akan babis-habisnya dituliskan kalimat Allah.
Sesungguhnya Allah Maha Perkasa Lagi Maha Bijaksana.
( Surat luqman, ayat 27 )
Kupersembahkan karya ini untuk :
Tuhan Y.M.E Ayah ( Alm ) dan Ibu sebagai tanda cinta dan wujud baktiku
Almamater tercinta
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
5
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesugguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebut dalam kutipan dan
daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, ……………………...
Penulis
Dwi Noviati
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
6
ABSTRAK
Pengujian hipotesis dua nilai rata-rata dilakukan dengan menggunakan uji z dan uji t. Namun bila terdapat tiga atau lebih nilai rata-rata maka pengujian dilakukan dengan menggunakan metode Analisis Variansi (ANOVA). ANOVA adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman. Model umum ANOVA klasifikasi satu arah adalah ijiijy εαμ ++= . ANOVA dapat diselesaikan dengan pendekatan regresi, yaitu membawa model ANOVA kedalam model regresi dengan menggunakan variabel boneka. Pengunaan variabel boneka bertujuan untuk merubah data yang bersifat kualitatif menjadi kuantitatif, karena dalam ANOVA ada perbedaan sifat variabel. Variabel tak bebas bersifat kuantitatif dan variabel bebas bersifat kualitatif. Sedangkan dalam regresi antara variabel bebas dan variabel tak bebas, keduanya bersifat kuantitatif.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
7
ABSTRACT
The hypothesis testing of two mean values is done by using the z-tests and t-tests. But if there are three or more mean values then the testing is done by using Analysis of Variance (ANOVA). ANOVA is a method to descript the total variance of the data into some components coming from many sources of variance. The common model of one way classification ANOVA is
ijiijy εαμ ++= . ANOVA can be done by regression approach. Which is bringing the ANOVA model into the regression model by using dummy variables. The aim of using dummy variable is change the qualitative variable into quantitative, unlike in ANOVA, the independent variable and the dependent variable, both are quantitative.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
8
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
rahmat, kasih, dan karuniaNya, sehingga penyusunan skripsi yang berjudul
“Pendekatan Regresi Untuk Analisis Variansi” dapat diselesaikan..
Dalam menulis skripsi ini banyak kesulitan dan hambatan yang penulis
hadapi. Namun berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak, akhirnya dapat
terselesaikan. Untuk itu penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-
besarnnya kepada :
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc sebagai dosen pembimbing skripsi
yang telah meluangkan waktunya dengan kesabarannya membantu dan
membimbing penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Romo Dr. Frans. Susilo, SJ. selaku dosen pembimbing akademik.
3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Matematika
FMIPA USD Yogyakarta.
4. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si dan ibu Enny Murwaningtyas,
S.Si, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih atas kritik, saran, dan
masukkan serta bimbingan selama menyelesaikan revisi.
5. Ibu Dra Maria Agustiani, M.Si. (Alm) yang telah memberi dorongan dan
semangat selama perkulihan.
6. Ibu dan bapak dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu yang sangat
berguna bagi penulis.
7. Ibu Suwarni dan mas Tukijo atas pelayanan administrasi yang diberikan
selama penulis menjalani kuliah dan dalam penulisan skripsi ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
9
8. Ayah (Alm) dan ibu tercinta, terimakasih atas kasih sayang, doa,
dukungan moral dan material yang diberikan selama ini.
9. Terimakasih untuk adik-adikku lina, Erna, Bayu, ika, dini dan jepri yang
memberiku semangat yang tiada henti-hentinya selama ini.
10. Sahabat-sahabat terbaikku : Ria, vivin, Chres, Vera, terimakasih atas doa,
dukungan, dan tidak bosan-bosannya memberiku semangat.
11. Teman-teman seperjuanganku angkatan “99 : Apri, Nana, Desi, Yoslin,
Eny, Yuda, Wondo, Antok, Hebby, Nia, Thomas, Delisa, Sigit, Mike,
Andri, Alie, Catur, Ice, Wiwid, Johan, Naga, Nadi, Tanto, Yuli, Karlo,
terimakasih atas kebersamaannya selama ini.
12. Semua angkatan “98, “00 dan “01. Buat Ajeng, very, makasih atas doa dan
dukungannya selama ini.
13. Teman-teman kostku : Iin, Ita, Silvi, Tiyas, Valen, elly, Diah, Nety,
terimakasih atas persahabatan yang indah selama ini.
14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah
membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Meskipun
demikian, penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi
bagi pembaca.
Yogyakarta, ………………
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
10
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …………………………… ii
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………… iii
HALAMAN PERSEMBAHAN …………………………………………… iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA …………………………………… v
ABSTRAK ………………………………………………………………… vi
ABSTRACT ………………………………………………………………… vii
KATA PENGANTAR ……………………………………………………… viii
DAFTAR ISI ……………………………………………………………….. x
DAFTAR TABEL …………………………………………………………... xiii
DAFTAR LAMPIRAN……………………………………………………... xiv
BAB I PENDAHULUAN …………………………………………….. 1
A. Latar Belakang Masalah …………………………………… 1
B. Perumusan Masalah ………………………………………... 2
C. Pembatasan Masalah ……………………………………… 3
D. Tujuan Penulisan …………………………………………… 3
E. Manfaat Penulisan ………………………………………… 3
F. Metode Penulisan ………………………………………… 3
G. Sistematika Penulisan ……………………………………… 4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
11
BAB II LANDASAN TEORI ………………………………………...... 5
A. Analisis Variansi …………………………………………… 5
1. Distribusi F …………………………………………… 6
2. Analisis Variansi Klasifikasi Satu Arah ………………… 10
3. Analisis Variansi Kasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi … 18
4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi 28
5. Contoh Analisis Variansi ………………………………… 41
B. Analisis Regresi …………………………………………….. 44
1. Regresi linier Sederhana ………………………………… 44
2. Metode Kuadrat Terkecil ……………………………….. 46
3. Regresi Berganda ………………………………………… 51
4. Pengujian Hipotesis ……………………………………… 55
C. Matriks Tak Singular………………………………………… 56
BAB III PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS VARIANSI… 59
A. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Satu Arah …………… 60
B. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah tanpa
Interaksi ……………………………………………………. 65
C. Pendekatan Regresi untuk Klasifikasi Dua Arah dengan
Interaksi …………………………………………………… 70
BAB IV APLIKASI PENDEKATAN REGRESI UNTUK ANALISIS
VARIANSI … ………………………………………………….. 75
A. Tingkat Sisa Kerusakan Otak Selama Proses Penyembuhan 75
B. Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam ………… 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
12
BAB V KESIMPULAN ………………………………………………… 87
DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………… 88
LAMPIRAN ………………………………………………………………… 89
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
13
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Klasifikasi Satu Arah dengan k Sempel Pengamatan …………... 10
Tabel 2.2 Analisis Variansi Satu Arah …………………………………… 17
Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Per Sel ……….. 18
Tabel 2.4 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi …………………… 27
Tabel 2.5 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan Per Sel…… 28
Tabel 2.6 Analisis Variansi Dua Arah dengan Interaksi…………………… 39
Tabel 2.7 Hasil Perbandingan Tiga Varietas Kentang dengan Empat Lokasi 41
Tabel 2.8 Anlisis Variansi dari data tabel 2.7 …………………………… 43
Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk Regresi linier Sederhana ……………… 50
Tabel 2.10 Analisis Variansi untuk Regresi Berganda …………………… 55
Tabel 4.1 Tingkat Sisa Kerusakan otak selama Proses Penyembuhan …… 75
Tabel 4.2 Analisis Variansi dari data tabel 4.1 …………………………… 79
Tabel 4.3 Perkembangan Pembentukan Embrio Telur Ayam …………… 80
Tabel 4.4 Analisis Variansi dari data tabel 4.3 …………………………… 86
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 ………………………………………………………………… 89
Lampiran 2 ………………………………………………………………… 93
Lampiran 3 ………………………………………………………………… 101
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
15
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Variansi merupakan suatu ukuran penyebaran atau pemencaran nilai.
Variansi dapat menggambarkan tingkat atau taraf keberagaman antar nilai.
Variansi bersama dengan rata-rata banyak digunakan untuk menentukan
kesimpulan mengenai populasi, melalui pendugaan dan pengujian hipotesis
parameter. Variansi dari sekumpulan data menggambarkan derajat perbedaan atau
variasi nilai yang ada dalam kelompok yang diperoleh dengan menghitung rata-
rata dari kumpulan data tersebut.
Pengujian kesamaan rata-rata dari dua populasi dengan menggunakan
sampel bebas, adalah dengan menggunakan uji z dan uji t. Uji z digunakan untuk
menguji hipotesis mengenai rata-rata dari populasi normal, dengan sampel lebih
dari 30 serta variansi populasi diketahui. Uji t digunakan untuk menguji hipotesis
mengenai rata-rata dari dua populasi dengan sampel kurang dari 30 dan variansi
populasi tidak diketahui. Pengujian hipotesis dengan uji z dan uji t hanya terbatas
pada dua populasi saja. Jika lebih dari dua populasi maka menjadi tidak efisien
karena:
1. Harus melalui pengujian tiap-tiap pasang sebanyak dua kombinasi k
populasi )(2 kC .
2. α akan semakin meningkat karena pengujian harus dilakukan tiap-tiap
pasang populasi yang mungkin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
16
Sekarang bagaimana menguji atau membandingkan dua atau lebih rata-rata
populasi secara bersamaan atau simultan. Untuk melakukan pengujian secara
simultan tersebut digunakan metode lain yang disebut analisis variansi (ANOVA).
Uji Statistik dalam analisis variansi menggunakan distribusi F.
Namun analisis variansi dapat juga diselesaikan melalui pendekatan
regresi. Analisis variansi dan analisis regresi digunakan untuk menyatakan
hubungan antara variabel bebas dengan variabel tak bebas. Dalam analisis regresi
variabel tak bebas dan variabel bebas bersifat kuantitatif. Sedangkan dalam
analisis variansi, variabel tak bebas bersifat kuantitatif, tetapi variabel bebasnya
bersifat kualitatif. Variabel kualitaif adalah variabel yang tidak memungkinkan
dilakukannya pengukuran numerik. Pengamatannya berupa memasukkan suatu
kriteria kedalam satu dari beberapa kategori yang saling terpisah. Pengamatan –
pengamatan tersebut tidak dapat diurutkan secara berarti ataupun diukur, hanya
diklasifikasikan. Agar dapat dilakukan perhitungan maka variabel yang sifatnya
kualitatif diubah lebih dahulu kebentuk yang bersifat kuantitatif. Analisis variansi
dengan variabel bebas bersifat kualitatif, dapat diselesaikan melalui pendekatan
regresi yang variabel bebasnya bersifat kuantitatif, dengan menambahkan variabel
boneka (Dummy variable).
B. Perumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah :
1. Bagaimana menyusun model ANOVA dengan menggunakan model regresi?
2. Bagaimana menerapkan model regresi untuk ANOVA pada analisis data?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
17
C. Pembatasan Masalah
Pada skripsi ini akan dibahas bentuk-bentuk analisis variansi dengan efek
tetap saja. Asumsi-asumsi yang mendasari analisis regresi tidak diuji karena pada
penulisan skripsi ini hanya menggunakan metodenya saja. Sedangkan mengenai
matriks tak singular, teorema yang mendukung tidak dibuktikan.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan penulis menyusun skripsi ini adalah untuk:
1. Menyusun model regresi melalui data yang berasal dari analisis variansi.
2. Melakukan pengujian hipotesis rata-rata dengan menggunakan pendekatan
regresi.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan ini adalah untuk memperdalam analisis variansi dan
analisis regresi, serta mengetahui bahwa ANOVA dapat diselesaikan dengan
menggunakan analisis regresi.
F. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka,
yaitu dengan mengumpulkan bahan dan mempelajari bahan atau buku-buku yang
berkaitan langsung dengan topik tulisan yang dibicarakan, sehingga penulis dapat
memahami lebih lanjut tentang topik tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
18
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan dalam pembahasan mengenai pendekatan regresi
untuk analisis variansi adalah sebagai berikut:
Bab I pendahuluan memberi gambaran umum mengenai isi skripsi
meliputi latar belakang masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan
penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.
Bab II membahas tentang landasan teori meliputi distribusi F , bentuk-
bentuk analisis variansi, analisis regresi dan matriks tak singular.
Bab III membahas tentang pendekatan regresi untuk analisis variansi
dengan masing-masing bentuk klasifikasinya serta pengujian hipotesis.
Bab IV berisi tentang aplikasi pendekatan regresi untuk analisis variansi
dengan menggunakan data.
Bab V berisi tentang kesimpulan dari pembahasan bab-bab sebelumnya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
19
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Analisis Variansi
Analisis variansi (ANOVA) adalah suatu metode untuk menguraikan
keragaman total data menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai
sumber keragaman. Dasar pengujian yang digunakan didasarkan pada distribusi F.
Distribusi F digunakan untuk menguji :
1. Apakah dua sempel berasal dari populasi dengan variansi yang sama.
2. Membandingkan dua atau lebih rata-rata populasi secara simultan.
Dalam ANOVA memerlukan syarat-syarat berikut:
1. Populasi-populasi yang diteliti memiliki distribusi normal.
2. Populasi-populasi tersebut memiliki standar deviasi yang sama atau
variansi yang sama.
3. Sampel yang diambil dari populasi tersebut bersifat bebas dan sampel
yang diambil secara acak.
Dalam ANOVA akan dibandingkan keragaman yang ada di antara kelompok dan
keragaman yang ada di dalam kelompok itu sendiri. Apabila keragaman di antara
kelompok lebih besar dari pada keragaman di dalam kelompok, maka populasi-
populasi tersebut mempunyai rata-rata yang berbeda.
Selanjutnya dibahas terlebih dahulu distribusi F yang merupakan landasan
pengujian variansi, kemudian dilanjutkan dengan model analisis variansi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
20
1. Distribusi F
Distribusi F didefinisikan sebagai distribusi dari perbandingan dua
variabel random Chi-square yang saling bebas, masing-masing dibagi dengan
derajat bebasnya. Statistik F dapat ditulis sebagai
2
1
rVrUF = .
U dan V menyatakan variabel random bebas, masing-masing berdistribusi Chi-
square, dengan derajat bebas 1r dan 2r .
Teorema 2.1
Misalkan dua variabel random Chi-square yang saling independent u dan v yang
mempunyai derajat bebas 1r dan 2r .
2
1
rVrU
F =
Variabel random F dikatakan memiliki distribusi F dengan derajat bebas 1r dan
2r bila fungsi densitasnya :
( )( )
( ) ( )( )
selainnya,
w,
rwr
wrr
rrrr
wg rr
)r(r
0
0
122
2
2
2
1
22
21
22121
1 21
1
1
=
∞
-
21
( ) ( )selainnya
vuvuvurr
vuhrr
rr
,0
0,0,2
)(exp222
1),( 2)2(
2)2(
2)(21
21
21
=
∞
-
22
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−−−
−∞
+∫2
122
22
222
2
2
1
02
21
2111
212221
rzr)z()w()z(
rr
rr
)r()r()r()r(
/rr
dzrwrzexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 1
2 21
( ) ( ) ( ) )z()z()z()w(rzr
rr
rr
)r()r()r()r(
/rr2
22
22
2
2
12
2
2
1
02
21
2111
212221 −−−
−∞
+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
= ∫
dzrwrzexp ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− 1
2 21
( ) ( ) ( ) dzrwrzexp)z()w(
rr
rr
)rr()r(r
/rr⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΓΓ
=−+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞
+∫ 122221
2
122
222
2
1
02
21
2111
21
( )
( ) ( )dz
rwrzexpz
rr
)w(rr )rr()rr(
rr
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ
= ∫∞ −+
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
12
222 21
0
22
221
22
22121
21
11
Jika variabel integrasinya diubah dengan ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 1
2 21
rwrzy , dapat diperlihatkan
bahwa ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 1
2 21
rwrzy maka
1
1
1 12−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
rwryz
sehingga dyrwrdz
1
2
1 12−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
masukkan kedalam persamaan berikut
( )
( ) ( )( ) dy
rwrzz
rr
wrrwgrr
rr
rr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ= ∫
∞ −+
+
−
12
exp222
)()(2
1
0
2)2(
2)(
21
2)2(
2211
21
21
11
maka persamaannya akan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
23
( )
( ) ( )dy
rwrzz
rr
wrrwgrr
rr
rr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ΓΓ= ∫
∞ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
+
−
12
exp)(222
)()(2
1
0
22
2)(
21
2)2(
2211
21
21
11
= ( )
( ) ( ) 2)(
21
2)2(
22121
11
222
)(rr
rr
rr
wrr+
−
ΓΓ∫∞
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
0
22
1
2
1
21
12
rr
rwry
( ) dyrwryexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−1
2
1 12
( )
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+
−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ= ∫
22
1
2
1
0
22
22
221
22
221
21
2121
21
11
12222
rrrrrr
)rr(
)r(r
rwry
rr
)w(rr
( ) dyrwryexp
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−1
2
1 12
( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+
− 1
2
12
21
2
122
221
22
221 1212222
21
21
21
11
rwr
rwr
rr
wrrrr
rr
)rr(
)r(r
( )dyyexpyrr
−∫∞
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
0
2221
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
1
2
12
2
112
221
22
221 121122222
2121
21
11 −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
rwr
rwr
rwr
rr
wrrrr
rr
)rr(
)r(r
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−+Γ 1
2221 rr
( ) ( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +Γ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ΓΓ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
21
2221
2
2
1
21
2)2(
221
2111
rrrwr
rrwrr
rrrr
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
24
( )
( ) ( )( )
selainnya
w
rwr
wrr
rrrr
rr
rr
,0
0,
122
2
2
2
1
2)2(
21
22121
21
1
1
=
∞
-
25
Dimana
.iT = Total semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..T = Total semua nk pengamatan.
.iy = Rata-rata semua pengamatan sampel dari populasi ke i .
..y = Rata-rata semua nk pengamatan.
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ijiijy εμ += (2.1)
Bila ijε adalah simpangan pengamatan ke j dalam sampel ke i dari rata-rata
populasi ke i . Bentuk lain dari persamaan ini diperoleh dengan substitusi
ii αμμ += , sedangkan μ adalah rata-rata semua iμ artinya
k
k
ii∑
== 1μ
μ
maka persamaan (2.1) menjadi
ijiijy εαμ ++= (2.2)
dengan ketentuan
( ) 011
=−=∑∑==
k
ii
k
ii μμα
dengan iα sebagai pengaruh populasi ke i .
Dari persamaan (2.2) tersusun atas tiga hal yaitu iαμ, dan ijε . Dengan demikian
persoalannya bagaimana memperoleh nilai iαμ, dan ijε . Salah satu cara yang
digunakan adalah metode kuadrat terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
26
Jadi menduga iαμ, dan ijε dengan membuat jumlah kuadrat sisa atau galat
sekecil mungkin. Jumlah kuadrat galat ditulis dengan ( )JKG .
( ) ∑∑= =
=k
i
n
jijJKG
1 1
2ε
( )∑∑= =
−−=k
i
n
jiijy
1 1
2αμ (2.3)
Penduga bagi μ adalah μ̂ maka
( )( )
01 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂
=∂
∂∑∑= =
μ
αμ
μ
k
i
n
jiijy
JKG
( ) 021 1
=−−− ∑∑= =
k
i
n
jiij ˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiij ˆy αμ
∑∑ ∑∑= = = =
=−−k
i
n
j
k
i
n
jij ˆy
1 1 1 1
00μ
∑∑ ∑∑= = = =
=k
i
n
j
k
i
n
jijyˆ
1 1 1 1
μ
kn
yˆ
k
i
n
jij∑∑
= == 1 1μ
..yˆ =μ (2.3a)
Penduga bagi iα adalah iα̂ maka
( )( )
01 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂
=∂
∂∑∑= =
i
k
i
n
jiij
i
yJKG
α
αμ
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
27
( ) 021 1
=−−− ∑∑= =
k
i
n
jiij ˆˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiij ˆˆy αμ
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
−=k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
jiji ˆyˆ
1 1 1 1 1 1μα
karena ..yˆ =μ maka
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
−=k
i
n
j
k
i
n
j
k
i
n
j..iji yyˆ
1 1 1 1 1 1α
∑=
−=n
j...ii yknyˆkn
1α
kn
yknyˆ
n
j...i
i
∑=
−= 1α
kn
yknnyˆ ...ii−
=α
...i
i ykyˆ −=α
...ii yyˆ −=α (2.3b)
Apabila ijε adalah galat, penduganya adalah ije , akan diperoleh dengan
memasukkan parameter iαμ ˆ,ˆ pada persamaan (2.2) sehingga didapat
( )...i..ijij yyyye −−−=
.iijij yye −= (2.3c)
Parameter yang didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.2) menjadi
( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−+=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
28
Dengan sedikit merubah susunannya menjadi
( ) ( ) ( ).iij...i..ij yyyyyy −+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan diperoleh bentuk berikut
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( )∑∑
∑∑∑∑
∑∑
∑∑ ∑∑
= =
= == =
= =
= = = =
−+
−−+−=
−+−−+−=
−+−=−
k
i
n
jiij
k
i
n
jiiji
k
i
n
ji
k
i
n
jiijiijii
k
i
n
j
k
i
n
jiijiij
yy
yyyyyy
yyyyyyyy
yyyyyy
1 1
2.
1 1....
1 1
2...
1 1
2.....
2...
1 1 1 1
2....
2..
2
2
Penjumlahan yang ditengah sama dengan nol, karena
( ) .in
jij
n
j.iij ynyyy −=− ∑∑
== 11
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑
∑ == n
yny
n
jijn
jij
1
1
0=
Penjumlahan yang pertama tidak mempunyai j sebagai subkrip, maka dapat
dituliskan sebagai
( ) ( )∑∑ ∑= = =
−=−k
i
n
j
k
i...i...i yynyy
1 1 1
22
sehingga menjadi
( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ∑= == = =
−+−=−k
i
n
j.iij
k
i
n
j
k
i...i..ij yyyynyy
1 1
2
1 1 1
22 (2.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
29
Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total, ditulis dengan ( )JKT . Ruas kanan suku
pertama disebut jumlah kuadrat antar kelompok, ditulis ( )JKK . Suku kedua
disebut jumlah kuadrat dalam kelompok, ditulis ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKGJKKJKT +=
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus berikut
( )
( )
∑ ∑ ∑∑∑∑
∑∑
∑∑
= = = ===
= =
= =
+−=
+−=
−=
k
i
k
i
k
i
n
j
n
jij
n
jij
k
i
n
jijij
k
i
n
jij
yyyy
yyyy
yyJKT
1 1 1 1
2..
1..
1
2
1 1
2....
2
1 1
2..
2
2
dengan ∑∑= =
=k
i
n
jij.. yy
1 1 dan
kny
y .... =
∑∑= =
+−=k
i......
n
jij yknyykny
1
2
1
2 2
∑∑= =
+−=k
i....
n
jij yknykny
1
22
1
2 2
∑∑= =
−=k
i..
n
jij ykny
1
2
1
2
∑∑= =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
k
i
..n
jij kn
ykny
1
2
1
2
∑∑= =
−=k
i
..n
jij kn
yy
1
2
1
2 (2.4a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
30
( )∑=
−=k
i...i yynJKK
1
2
( )∑=
+−=k
i.....i.i yyyyn
1
22 2
∑∑∑===
+−=k
i
k
ii
k
ii ynyynyn
1
2..
1...
1
2. 2
dengan ..k
i.i yky =∑
=1 dan
n
yy
n
jij
.i
∑== 1
∑∑
=
= +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=k
i......
n
jij
yknykynn
yn
1
2
2
1 2
22
1..
k
i
.i yknny
n −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
kny
knn
y..
k
i.i
kny
n
y..
k
i.i 2
1
2
−=∑= (2.4b)
JKKJKTJKG −= (2.4c)
Jumlah jumlah kuadrat tersebut diatas dapat dituliskan kedalam tabel anova untuk
memudahkan analisis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
31
Tabel 2.2 analisis variansi satu arah
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah hitungF
Kelompok JKK 1−k ( )121 −= kJKKs 2221 ssf = Galat JKG ( )1−nk ( )122 −= nkJKGs Total JKT 1−nk
Langkah-langkah pengujian Hipotesis
1. Rumusan hipotesis
kH μμμ === ...: 210 .
1H : jiji ≠≠∃ ,μμ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis.
0H ditolak bila ( )[ ]1,1 −−< nkkff hitung α .
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
Telah diketahui bahwa setiap pengamatan ditulis sebagai berikut
ijiijy εμ +=
dan diketahui pula bahwa
ii αμμ += atau ii αμμ =−
Untuk menguji rata-rata dalam suatu populasi yang terdiri dari beberapa
kelompok, maka diuji juga rata-rata kelompok apakah sama atau tidak Maka
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
32
kedua hipotesis kH μμμ === ...: 210 dan 0...: 210 ==== kH ααα adalah
sama. Jadi pada dasarnya menguji kesamaan rata-rata antara kelompok adalah
sama dengan menguji pengaruh perlakuan.
3. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Tanpa Interaksi
Segugus pengamatan dapat diklasifikasikan menurut dua kriteria dengan
menyusun data tersebut dalam r baris dan c kolom, seperti pada tabel berikut.
Tabel 2.3 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan per Sel
Kolom
Baris 1 2 … j … c Total Rata-rata
1 11y 12y … jy1 … cy1 .1T .y1
2 21y 22y … jy2 … cy2 .2T .y2
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
i 1iy 2iy … jiy … icy .iT .iy
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ
r 1ry 2ry … jry … rcy .rT .ry
Total 1.T 2.T … jT. … cT. ..T
Rata-rata 1.y 2.y … j.y … c.y ..y
Dimana
.iT = Total semua pengamatan dalam baris ke i .
jT. = Total semua pengamatan dalam kolom ke j .
..T = Total semua rc pengamatan
.iy = Rata-rata semua pengamatan dalam baris i .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
33
Rata-rata populasi pada baris ke i adalah
c
c
jij
i
∑== 1.
μμ
Rata-rata populasi bagi kolom ke j adalah
r
r
iij
j
∑== 1.
μμ
Rata-rata rc populasi adalah
rc
r c
ij∑∑=
μμ
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentuk
ijijijy εμ += (2.5)
Dimana ijε adalah simpangan nilai pengamatan ijy dari rata-rata populasi ijμ .
Bila iα adalah pengaruh baris ke i dan jβ adalah pengaruh kolom ke j maka
diperoleh
jiij βαμμ ++=
Sehingga persamaan diatas menjadi
ijjiijy εβαμ +++= (2.6)
Kemudian disyaratkan
∑ ∑= =
==r
i
c
jji
1 100 βα
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
34
Nilai ,,, ji βαμ dapat diperoleh dengan metode kuadrat terkecil. Nilai tersebut
didapatkan dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat, dan ditulis ( )JKG .
∑∑= =
=r
i
c
jijJKG
1 1
2ε
( )∑∑= =
−−−=r
i
c
jjiijy
1 1
2βαμ (2.7)
Penduga nilai μ adalah μ̂ maka
( )( )
01 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
μ
βαμ
μ
r
i
c
jjiijy
JKG
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij ˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij ˆy βαμ
0001 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑= = = =
r
i
c
j
r
i
c
jij ˆy μ
01 1
=−∑∑= =
μ̂rcyr
i
c
jij
rc
yˆ
r
i
c
jij∑∑
= == 1 1μ
..yˆ =μ (2.7a)
Penduga nilai iα adalah iα̂ maka
( )( )
01 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
i
r
i
c
jjiij
i
yJKG
α
βαμ
α
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
35
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij ˆˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij ˆˆy βαμ
001 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jiij ˆˆy αμ
01 1 1 1 1 1
=−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jiij ˆˆy αμ
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
jij
r
i
c
ji ˆyˆ
1 1 1 11 1μα
karena ..yˆ =μ maka
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
j..ij
r
i
c
ji yyˆ
1 1 1 11 1α
∑=
−=c
i...ii yrcyˆrc
1α
rc
yrcyˆ
..
c
i.i
i
−=∑=1α
rcyrcycˆ ...ii
−=α
...i
i yryˆ −=α
...ii yyˆ −=α (2.7b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
36
Penduga nilai β adalah jβ̂ maka
( )( )
01 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−∂
=∂
∂∑∑= =
j
r
i
c
jjiij
j
yJKG
β
βαμ
β
( ) 021 1
=−−−− ∑∑= =
r
i
c
jjiij
ˆˆˆy βαμ
01 1 1 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjiij
ˆˆˆy βαμ
001 1 1 1 1 1
=−−−∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
jjij
ˆˆy βμ
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
jij
r
i
c
jj ˆyˆ
1 1 1 11 1μβ
karena ...ii yyˆ −=α maka
∑∑ ∑∑∑∑= = = == =
−=r
i
c
j
r
i
c
j..ij
r
i
c
jj yyˆ
1 1 1 11 1β
..r
ij.j yrcyˆrc −= ∑
=1
β
rc
yrcyˆ
..
r
ij.
j
−=∑=1β
rc
yrcyrˆ ..j.j
−=β
..j.
j ycyˆ −=β
..j.j yyˆ −=β (2.7c)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
37
Apabila ijε adalah galat, diduga dengan ije , akan diperoleh melalui substitusi
penduga ji ,, βαμ kedalam persamaan (2.6) sehingga didapat
( ) ( )..j....i..ijij yyyyyye −−−−−=
..j..iijij yyyye +−−= (2.7d)
Parameter yang telah didapat disubstitusikan dalam persamaan (2.6) menjadi
( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−+=
Dengan sedikit merubah susunannya akan menjadi
( ) ( ) ( ) ( )..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy +−−+−+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlakan diperoleh persamaan berikut
( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∑∑= = = =
+−−+−+−=−r
i
c
j
r
i
c
j..j..iij..j....i..ij yyyyyyyyyy
1 1 1 1
2222
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )....1 1
...
....1 1
...
...1 1
...
1 1
2....
1 1 1 1
2...
2...
2
2
2
yyyyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyyyy
jiij
r
i
c
jj
jiij
r
i
c
ji
j
r
i
c
ji
r
i
c
jjiij
r
i
c
j
r
i
c
jji
+−−−+
+−−−+
−−+
+−−+−+−=
∑∑
∑∑
∑∑
∑∑∑∑ ∑∑
= =
= =
= =
= == = = =
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑∑∑= = = == =
+−−+−+−=−r
i
c
j
r
i
c
j..j..iij..j....i
r
i
c
j..ij yyyyyyryycyy
1 1 1 1
222
1 1
2
……………………………………………………………………… (2.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
38
Ruas kiri disebut jumlah kuadat total ( )JKT , sedang ruas kanan suku pertama
disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah kuadrat
karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
JKGJKKJKBJKT ++=
Untuk memudahkan perhitungan maka dilakukan penyederhanaan rumus sebagai
berikut
( )∑∑= =
−=r
i
c
j..ij yyJKT
1 1
2
( )∑∑= =
+−=r
i
c
j....ijij yyyy
1 1
22 2
∑∑ ∑∑ ∑∑= = = = = =
+−=r
i
c
j
r
i
c
j
r
i
c
j..ij..ij yyyy
1 1 1 1 1 1
22 2
dengan ∑∑= =
=r
i
c
jijy..y
1 1
dan rcy
y .... =
∑∑= =
+−=r
i......
c
jij yrcyrcyy
1
2
1
2 2
∑∑= =
+−=r
i....
c
jij yrcyrcy
1
22
1
2 2
∑∑= =
−=r
i..
c
jij yrcy
1
2
1
2
2
1 1
2∑∑= =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
r
i
..c
jij rc
yrcy
∑∑= =
−=r
i
..c
jij rc
yy
1
2
1
2 (2.8a)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
39
( )∑=
−=r
i...i yycJKB
1
2
( )∑=
+−=r
i.....i.i yyyyc
1
22 2
∑ ∑∑= ==
+−=r
i
r
i...i..
r
i.i ycyycyc
1 1
2
1
2 2
dengan ..r
i.i yry =∑
=1
dan c
yy
c
jij
.i
∑== 1
2
2
1
1 2 ..,,..r
i
c
jij
yrcyrycc
yc +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑
=
=
222
1
2 ....r
i
.i yrcyrccy
c +−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
212
..
r
i.i
yrcc
y−=
∑=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcy
rcc
y..
r
i.i
rcy
c
y..
r
i.i 2
1
2
−=∑= (2.8b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
40
( )∑=
−=c
j..j. yyrJKK
1
2
( )∑=
+−=c
j....j.j. yyyyr
1
22 2
∑ ∑∑= ==
+−=c
j
c
i..j...
c
jj. yryyryr
1 1
2
1
2 2
dengan ..c
jj. ycy =∑
=1
dan r
yy
r
iij
j.
∑== 1
2
2
1
1 2 ..,,..r
j
r
iij
yrcycyrr
yr +−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑
=
=
222
2
2 ....r
i
j. yrcyrcr
yr +−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
=
212
..
c
ij.
yrcc
y−=
∑=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcy
rcr
y..
c
ij.
rcy
r
y..
c
jj. 2
1
2
−=∑= (2.8c)
JKKJKBJKTJKT −−= (2.8d)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
41
Jumlah-jumlah kuadrat tersebut dapat diringkas dalam tabel anova untuk
memudahkan analisis.
Tabel 2.3 Analisis Variansi Dua Arah tanpa Interaksi
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah
hitungF
Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 23211 ssf =
Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 23222 ssf =
Galat JKG ( )( )11 −− cr ( )( )1123 −−= crJKGs
Total JKT 1−rc
Langkah-langkah pengujian hipotesis
1. Rumusan hipotesis.
a. 0...: 210 ====′ rH ααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α .
b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α .
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
42
4. Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi
Tabel 2.4 Klasifikasi Dua Arah dengan Beberapa Pengamatan per Sel
Kolom
Baris 1 2 … c
Total
Rata-rata
111y 121y … 11cy
112y 122y … 21cy
1 . . . ..1T ..y1
. . .
ny11 ny12 … cny1
211y 221y … 12cy
212y 222y … 22cy
2 . . . ..2T ..y2
. . .
ny21 ny22 … cny2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
11ry 21ry … 1rcy
12ry 22ry … 2rcy
. . .
r . . . ..rT ..ry
. . .
nry 1 nry 2 … rcny
Total .1.T .2.T … ..cT ...T
Rata-rata ..y 1 ..y 2 … .c.y ...y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
43
Dimana :
.ijT = Total pengamatan dalam sel ke ij .
..iT = Total pengamatan dalam baris ke i .
.. jT = Total pengamatan dalam kolom ke j .
...T = Total semua rcn pengamatan.
.ijy = Rata-rata pengamatan dalam sel ke ij .
..iy = Rata-rata pengamatan dalam baris ke i .
.j.y = Rata-rata pengamatan dalam kolom ke j .
...y = Rata-rata semua rcn pengamatan.
Rata-rata umum pengamatan adalah
rcn
yy
r
i
c
j
n
kijk
...
∑∑∑= = == 1 1 1
Rata-rata baris ke i adalah
cn
yy
c
j
n
kijk
..i
∑∑= == 1 1
Rata-rata kolom ke j adalah
nr
yy
r
i
n
kijk
.j.
∑∑= == 1 1
Rata-rata sel ke ij adalah
n
yy
n
kijk
.ij
∑== 1
Setiap pengamatan dalam sel ijky dapat dituliskan dalam bentuk
ijkijijky εμ += (2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
44
Dimana ijkε merupakan simpangan nilai ijky yang teramati pada sel ke ij dari
rata-rata populasi ijμ . Misalkan ( )ijαβ melambangkan pengaruh interaksi baris ke
i dan kolom ke j , maka iα adalah pengaruh baris ke i , dan jβ adalah
pengaruh kolom ke j serta μ adalah rata-rata umum.
Sehingga persamaannya menjadi
( )ijjiij αββαμμ +++=
maka persamaan (2.9) menjadi
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++= (2.10)
dan kemudian dikenakan syarat
01
=∑=
r
iiα 0
1
=∑=
c
jjβ ( ) 0
1=∑
=
r
iijαβ ( ) 0
1
=∑=
c
jijαβ
Nilai dari μ , )(,, αββα diperoleh melalui pendugaan dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil, sehingga jumlah kuadrat semua simpangan itu minimum.
Jumlah kuadrat semua simpangan disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
∑∑∑= = =
=r
i
c
j
n
kijkJKG
1 1 1
2ε
( )( )∑∑∑= = =
−−−−=r
i
c
j
n
kijjiijky
1 1 1
2αββαμ (2.11)
Penduga untuk nilai μ adalah μ̂ maka
( )( )( )
01 1 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
μ
αββαμ
μ
r
i
c
j
n
kijjiijky
JKG
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
45
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk ˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆy αββαμ
00001 1 11 1 1
=−−−−∑∑∑∑∑∑= = == = =
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆy μ
01 1 1
=−∑∑∑= = =
μ̂rcnyr
i
c
j
n
kijk
rcn
yˆ
r
i
c
j
n
kijk∑∑∑
= = == 1 1 1μ
...yˆ =μ (2.11a)
Penduga untuk nilai iα adalah iα̂ maka
( )( )( )
01 1 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
i
r
i
c
j
n
kijjiijk
i
yJKG
α
αββαμ
α
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk ˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= = == == = == = == = =
c
j
n
k
r
iij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αββαμ
0001 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αμ
01 1 11 1 11 1 1
=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk ˆˆy αμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
46
karena ...yˆ =μ maka
∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
−=r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
ki yy
1 1 1...
1 1 11 1 1α̂
...
c
j
n
k..ii yrcnyˆrcn −= ∑∑
= =1 1α
rcn
yrcnyˆ
c
j...
n
k..i
i
∑∑= =
−= 1 1α
rcnyrcnycnˆ .....ii
−=α
.....i
i yryˆ −=α
.....i yyˆ −=α (2.11b)
Penduga untuk nilai jβ adalah jβ̂ maka
( )( )( )
01 1 12
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂
∂∑∑∑= = =
j
r
i
c
j
n
kijjiijk
j
yJKG
β
αββαμ
β
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk
ˆˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆy αββαμ
( ) 01 1 11 11 1 11 1 11 1 1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−− ∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= = == == = == = == = =
r
i
n
k
c
jij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆy αββαμ
0001 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆy βμ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
47
01 11 1 11 1 1
=−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= == = == = =
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆy βμ
karena ...yˆ =μ maka
∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = =
−=r
i
c
j
n
k...
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
kj yyˆ
1 1 11 1 11 1 1β
...r
i
n
k.j.j yrcnyˆrcn −= ∑∑
= =1 1
β
rcn
yrcnyˆ
r
i...
n
k.j.
j
∑∑= =
−= 1 1β
rcn
yrcnynrˆ ....j.j
−=β
....j.
j ycyˆ −=β
....j.j yyˆ −=β (2.11c)
Penduga untuk nilai ( )ijαβ adalah ( )ijβα ˆˆ maka
( )( )
( )( )( ) 0
1 1 1
2
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−∂
=∂∂
∑∑∑= = =
ij
r
i
c
j
n
kijjiijk
ij
yJKG
αβ
αββαμ
αβ
( )( ) 021 1 1
=−−−−− ∑∑∑= = =
r
i
c
j
n
kijjiijk
ˆˆˆˆˆy βαβαμ
( ) 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
=−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = == = == = == = == = =
r
i
c
j
n
kij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kijk
ˆˆˆˆˆy βαβαμ
karena
...yˆ =μ .....ii yyˆ −=α ....j.j yyˆ −=β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
48
maka
( ) ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑= = = = = = = = == = == = =
−−−=r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
k
r
i
c
j
n
kji
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
kij
ˆˆˆyˆˆ1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1
βαμβα
( ) ( ) ( )....j......i...r
i
c
j
n
kijkij yyrcnyyrcnyrcnyˆˆrcn −−−−−= ∑∑∑
= = =1 1 1βα
( ) ....j......i...n
kijkij yrcnyrcnyrcnyrcnyrcnynrˆˆrcn +−+−−= ∑
=1
βα
( )rcn
yrcnyrcnyrcnynrˆˆ
....j...i
K
kijk
ij
+−−=
∑=1βα
( ) ....j...i.ijij yyyyˆˆ +−−=βα (2.11d)
Bila ijkε merupakan galat dan penduga bagi ijkε adalah ijke sehingga akan
diperoleh nilai dugaan bagi ijke yaitu
( )ijjiijkijk ˆˆˆˆˆye βαβαμ −−−−=
( ) ( ) ( )....j...i.ij....j......i...ijkijk yyyyyyyyyye +−−−−−−−−=
.ijijkijk yye −= (2.11e)
Sehingga bila parameter ini dimasukkan dalam persamaan (2.10) akan diperoleh
bentuk
( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−+=
Dengan sedikit merubah susunannya akan diperoleh persamaan berikut
( ) ( ) ( ) ( ).ijijk....j...i.ij....j......i...ijk yyyyyyyyyy)yy( −++−−+−+−=−
Kemudian kedua ruas dikuadratkan dan dijumlahkan maka diperoleh persamaan
berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
49
( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]21 1 11 1 1
2.ijijk....j...i.ij....j.
r
i
c
j
n
j.....i
r
i
c
j
n
k...ijk yyyyyyyyyyyy −++−−+−+−=− ∑∑∑∑∑∑
= = == = =
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = == = =
= = == = =
−+−−+
−−+
+−−−+
−−+
+−−−+
−−+
−++−−+
−+−=
r
i
c
j
n
kijijkjiij
ijijk
r
i
c
j
n
kj
jiij
r
i
c
j
n
kj
ijijk
r
i
c
j
n
ki
jiij
r
i
c
j
n
ki
j
r
i
c
j
n
ki
r
i
c
k
n
jijijk
r
i
c
j
n
kjiij
r
i
c
j
n
kj
r
i
c
j
n
ki
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
yyyyyy
yyyy
1 1 1.........
.1 1 1
.....
........1 1 1
.....
.1 1 1
.....
........1 1 1
.....
.....1 1 1
.....
1 1 1
2.
1 1 1
2........
1 1 1
2.....
1 1 1
2.....
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑
= = == =
=== = =
−++−−+
−+−=−
r
i
c
j
n
k.ijijk
r
i
c
j....j...i.ij
c
j....j.
r
i.....i
r
i
c
j
n
k...ijk
yyyyyyn
yynryycnyy
1 1 1
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1 1
2
…..………………………………………………………………... (2.12)
Ruas kiri disebut jumlah kuadrat total ( )JKT , sedangkan ruas kanan adalah suku
pertama disebut jumlah kuadrat karena baris ( )JKB , suku kedua disebut jumlah
kuadrat karena kolom ( )JKK , suku ketiga disebut jumlah kuadrat karena baris
dan kolom ( )( )BKJK . Suku terakhir disebut jumlah kuadrat galat ( )JKG .
Sehingga jumlah kuadrat total dapat dituliskan sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
50
( ) JKGBKJKJKKJKBJKT +++=
Untuk memudahkan perhitungan dilakukan penyederhanaan rumus-rumus jumlah
kuadrat sebagai berikut
( )
( )
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = == = == = =
= = =
= = =
+−=
+−=
−=
r
i
c
j
n
k...
r
i
c
j
n
k...ijk
r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
k......ijkijk
r
i
c
j
n
k...ijk
yyyy
yyyy
yyJKT
1 1 1
2
1 1 11 1 1
2
1 1 1
22
1 1 1
2
2
2
dengan ∑∑∑= = =
=r
i
c
j
n
kijk... yy
1 1 1 dan
rcny
y ...... =
2
1 1 1
2
1 1 1
22
2
1 1 1
2
2
1 1 1
2
2
1 1 1
2
2
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
+−=
+−=
+−=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
rcnyrcny
yrcny
yrcnyrcny
yrcnyyrcny
yrcnyyy
...r
i
c
j
n
kijk
r
i
c
j
n
k...ijk
......
r
i
c
j
n
kijk
.........
r
i
c
j
n
kijk
.........
r
i
c
j
n
kijk
rcnyy ...
r
i
c
j
n
kijk
2
1 1 1
2 −= ∑∑∑= = =
(2.12a)
( )∑=
−=r
i.....i yycnJKB
1
2
( )∑=
+−=r
i........i..i yyyycn
1
22 2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
51
∑∑∑===
+−=r
i...
r
i...i...
r
i..i ycnycnyycn
1
2
11
2 2
dengan ∑=
=r
i.....i yry
1 dan
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∑∑= =
cn
yy
c
j
n
kijk
..i1 1
∑∑∑
=
= = +−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=r
i.........
c
j
n
kijk
yrcnyrcnycn
ycn
1
2
2
1 1 2
21
2
...
r
i
..i yrcncny
cn −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcny
rcncn
y...
r
i..i
rcny
cn
y...
r
i..i 2
1
2
−=∑= (2.12b)
( )∑=
−=c
j....j. yynrJKK
1
2
( )∑=
+−=c
jjj yyyynr
1...
2........
2.. 2
∑∑∑===
+−=c
j......
c
j.j.
c
j.j. ynryynrynr
1
2
11
2 2
dengan ...c
j.j. ycy =∑
=1 dan
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∑∑= =
nr
yy
r
i
n
kijk
.j.1 1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
52
21
2
1 1 2 .........c
j
r
i
n
kijk
yrcnyyrcnnr
xrn +−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑∑∑
=
= =
21
2
...
c
j
.j. yrcnnr
ynr −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑
=
2
1
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∑=
rcny
rcnnr
y...
c
j.j.
rcny
nr
y...
c
j.j. 2
1
2
−=∑= (2.12c)
( ) ( )∑∑= =
+−−=r
i
c
j....j...i.ij yyyynBKJK
1 1
2
[]22
2
1 1
2
....j.........i.ij.......j..j...i.j..ij.j.
.....i.j...i..i
r
i
n
j.ij..i....ij.j..ij..i.ij.ij
yyyyyyyyyyyyyy
yyyyyyyyyyyyyyn
+−−+−++−
−++−+−−= ∑∑= =
[]2
22
1 1
2
22
2222
.......j......i
.j...i....ij.j...i.j..ij..i.ij
r
i
c
j.ij
yyyyy
yyyyyyyyyyyn
+−−
++++−−= ∑∑= =
⎥⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∑∑
= =
2
22
1 1
2
2
222
22
rny
rcny
nry
rcny
cny
nry
cny
rcny
ny
nry
cny
nry
ny
cny
ny
ny
n
.......j.
.....i.j...i....ij
.j...i.j..ij..i.ijr
i
c
j
.ij
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
53
2
1 11 1
1 11 1
1 1
2
1 1
2
1 1
1 1 1 1
2
1 1
2
22
2
22
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑
∑∑ ∑∑∑∑
= == =
= == =
= == == =
= = = == =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
r
i
c
j
......r
i
c
j
.j.
...r
i
c
j
..i.j.r
i
c
j
..i
r
i
c
j
....ijr
i
c
j
.j.r
i
c
j
..i
r
i
c
j
r
i
c
j
.j..ij..i.ijr
i
c
j
.ij
rcny
nrcny
nry
n
rcny
cny
nnr
ycny
n
rcny
ny
ncny
ncny
n
nry
ny
ncny
ny
nn
yn
rcny
rcny
rcny
rcny
rcny
nr
y
cn
y
nr
y
cn
y
n
y
...............
c
j.j.
r
i..i
c
j.j.
r
i..i
r
i
c
j.ij
22222
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
2222
22
+−−++
++−−=∑∑∑∑∑∑===== =
rcny
nr
y
cn
y
n
y...
c
j.j.
r
i..i
r
i
c
j.ij 2
1
2
1
2
2 1
2
+−−=∑∑∑∑=== = (2.12d)
( )BKJKJKKJKBJKTJKG −−−= (2.12e)
Jumlah-jumlah kuadrat tersebut diatas dapat diringkas dalam tabel anova untuk
memudahkan analisis
Tabel 2.5 Analisis Variansi Klasifikasi Dua Arah dengan Interaksi
Sumber Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Kuadrat Tengah F hitung
Baris JKB 1−r ( )121 −= rJKBs 24211 ssf =
Kolom JKK 1−c ( )122 −= cJKKs 24221 ssf =
Interaksi ( )BKJK ( )( )11 −− cr ( ) ( )( )1123 −−= crBKJKs 24231 ssf =
Galat JKG ( )1−nrc ( )124 −= nrcJKGs Total JKT 1−rcn
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
54
Langkah-langkah pengujian hipotesis
1. Rumusan hipotesis
a. 0...: 210 ====′ rH ααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0...: 210 ====′′ cH βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ .
c. ( ) ( ) ( ) 0...: 12110 ====′′′ rcH αβαβαβ .
:1H ′′′ ( ) 0≠∃ ijαβ .
2. Tentukan α .
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( )[ ]111 −−> nrc,rff α
b. 0H ditolak bila ( )[ ]112 −−> nrc,cff α
c. 0H ditolak bila ( )( ) ( )[ ]1113 −−−> nrc,crff α
4. Perhitungan.
5. Tabel analisis variansi.
6. Kesimpulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
55
5. Contoh Analisis variansi
Tiga varitas kentang hendak dibandingkan hasilnya. Percobaan hendak
dilaksanakan dengan menggunakan 9 petak yang seragam di masing-masing 4
lokasi yang berbeda. Dari setiap lokasi setiap varitas dicobakan pada 3 petak yang
ditentukan secara acak. Hasilnya dalam kwintal per petak adalah sebagai berikut.
Tabel 2.7 Hasil perbandingan tiga varietas kentang dengan empat lokasi
Varitas Kentang
Lokasi A B C
1 15 20 22
19 24 17
12 18 14
2 17 24 26
10 18 19
13 22 21
3 9 12 10
12 15 5
6 10 8
4 14 21 19
8 16 15
11 14 12
Gunakan taraf nyata 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa:
a. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 3 varitas kentang yang berbeda.
b. Tidak ada pengaruh pada hasil diantara 4 lokasi yang berbeda.
c. Tidak intraksi antara lokasi dan varitas kentang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
56
Penyelesaian:
Model analisis variansi adalah
( ) ijkijjiijky εαββαμ ++++=
1. Rumusan hipotesis
a. 0H ′ : 04321 ==== αααα .
1H ′ : 0≠∃ iα .
b. 0H ′′ : 0321 === βββ .
1H ′′ : 0≠∃ jβ
c. 0H ′′′ : ( ) ( ) ( ) 0... 431211 ==== αβαβαβ .
1H ′′′ : ( ) 0≠∃ ijαβ .
2. 05,0=α
3. Wilayah kritis
a. 0H ditolak bila ( ) 01,324,305,0 => ff
b. 0H ditolak bila ( ) 40.324,205,0 => ff
c. 0H ditolak bila ( ) 51,224,605,0 => ff
4. Perhitungan
A B C total
1 46 62 53 161
2 40 64 66 170
3 27 37 23 87
4 33 51 46 130
total 146 214 188 548
36)548(1215198
510211926141722141621101512221824182420
118146129131017121915
22222
2222222222
2222222222
222222222222
−++++
++++++++++
++++++++++
+++++++++++=JKT
23,100078,83419342 =−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
57
22,48678,83418810
36548
913087170161 22222
=−=
−+++
=JKB
22,19678,83418538
36548
12188214146 2222
=−=
−++
=JKK
( )
45,7878,38418538818067,9084
78,8341853888103
46233
66535137646233274046
22
2222222222
=+−−=
+−−+
+
+++++++++=BKJK
33,25745,7822,19622,46823,1000 =−−−=JKG
5. tabel anova Tabel 2.8 Analisis Variansi dari data 2.7
Sumber Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah hitungF
Baris 3 468,22 156,07 14,56
Kolom 2 196,22 98,11 9,15
Interaksi 6 78,45 13,08 1,22
Galat 24 257,33 10,72
Total 35 1000,23
6. Kesimpulan
a. 0H ditolak karena 01,356,14 >
berarti ada pengaruh pada hasil 3 varitas kentang.
b. 0H ditolak karena 40,315,9 >
berarti ada pengaruh pada hasil 4 lokasi.
c. 0H diterima karena 51,222,1 <
berarti tidak ada interaksi antara lokasi dengan varietas kentang.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
58
B. Analisis Regresi
Istilah regresi diperkenalkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) seorang
ahli antropolog dari Inggris, mengenai sifat-sifat keturunan dalam biologi. Galton
mengungkapkan bahwa , ayah-ayah yang jangkung akan mempunyai anak laki-
laki yang jangkung pula, tetapi secara rata-rata tidaklah sejangkung ayah-ayah
mereka. Begitu pula ayah-ayah yang pendek akan mempunyai anak laki-laki yang
pendek juga, tetapi secara rata-rata tidaklah sependek ayah-ayah mereka, namun
selalu lebih mediaker (lebih mendekati rata-rata). Dengan demikian ada
kecenderungan bahwa secara rata-rata sifat-sifat beberapa kelompok tertentu pada
generasi selanjutnya akan bergerak kearah rata-rata populasi (tidak tepat sama
dengan generasi sebelumnya).
Regresi merupakan tempat kedudukan rata-rata populasi nilai suatu
variabel, misalnya nilai Y , untuk berbagai nilai atau selang nilai variabel yang
lain misalnya X , tempat kedudukan ini dapat berupa garis lurus atau kurva
tertentu lainnya yang disebut garis regresi Y pada X .
1. Model Regresi Linier Sederhana
Misal terdapat hubungan antara y dan x benar-benar linier maka
hubungan itu dapat ditulis sebagai
iii xy εββ ++= 10 ( 2.13)
dimana
iy = adalah variabel tak bebas atau variabel dependent
ix = adalah variabel bebas atau variabel independent
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
59
10 , ββ = adalah koefisien regresi
ε = adalah penyimpangan atau galat
Setiap pengamatan iy merupakan sampel random dari suatu populasi normal
dengan nilai rata-rata ix10 ββ + dan simpangan baku σ .
Asumsi dasar regresi linier :
1. Keaditifan artinya pengaruh komponen-komponen ruas kanan persamaan
(2.13) adalah saling menambah (linier).
2. Kehomogenan variansi artinya variansi antar pengamatan sama.
3. Kenormalan artinya pengamatan berasal dari populasi yang menyebar
normal.
Anggapan pertama sangat penting untuk memudahkan dalam penafsiran data.
Kehomogenan variansi diperlukan untuk menghasilkan penduga tak bias variansi
minimum melalui metode kuadrat terkecil. Anggapan kenormalan diperlukan
dalam inferensia statistika. Dengan kenormalan maka tata cara pengujian yang
baku dapat dilakukan dan tabel-tabel distribusi yang telah tersedia dapat
digunakan.
Apabila model linier telah dianggap tepat untuk menerangkan hubungan
antara Y dengan X maka langkah selanjutnya adalah pendugaan parameter 0β
dan 1β . Pendugaan kedua parameter ini dapat dibayangkan sebagai upaya untuk
memilih garis regresi “terbaik” pada diagram pencar, yaitu yang membuat jumlah
kuadrat penyimpangan terhadap pengamatan sekecil-kecilnya. Metode ini disebut
metode Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
60
2. Metode Kuadrat Terkecil
Misalkan niyx ii ,...,2,1),,( = data sampel dan akan ditentukan koefisien
regresi 0β dan 1β sedemikian hingga meminimumkan
( ) ( )∑∑∑===
−−=−==n
iii
n
iii
n
ii xyyyS
1
210
2
11
2 ˆ ββε (2.14)
Jumlah kuadrat galat minimum diperoleh dengan menurunkan secara parsial
terhadap 0β dan 1β yaitu 00
=∂∂βS dan 0
1
=∂∂βS
Turunkan terhadap 0β , maka diperoleh
( )0
0
1
210
0
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂=
∂∂ ∑=
β
ββ
β
n
iii xyS
( )∑−
=−−−n
iii xbby
110 02
021 1 1
10 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−− ∑ ∑ ∑
= = =
n
i
n
i
n
iii xbby
01 1
10 =−−∑ ∑= =
n
i
n
iii xbnby
∑ ∑= =
=+n
i
n
iii yxbnb
1 110 (2.15)
Turunkan terhadap 1β , maka diperoleh
( )0
1
1
210
1
=∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−−∂=
∂∂ ∑=
β
ββ
β
n
iii xyS
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
61
( ) 02 10 =−−−∑ iii xxbby
021 1 1
210 =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−− ∑ ∑ ∑
= = =
n
i
n
i
n
iiiii xbxbyx
∑ ∑∑= ==
=−−n
i
n
i
n
ixbxbxy
1 11
10 0
∑∑∑===
=+n
iii
n
ii
n
ii yxxbxb
11
21
10 (2.16)
Bila dinyatakan dalam n
xx
n
ii∑
== 1 dan n
yy
n
ii∑
== 1 maka persamaan (2.15) dan
(2.16) akan diperoleh
xbyn
xb
n
yb
n
ii
n
ii
11
11
0 −=−=∑∑== (2.17)
∑ ∑∑= ==
=−−n
i
n
ii
n
iiii xbxbxy
1 1
21
10 0
( ) 0211 =−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− ∑∑∑∑∑ iiiiii xbxn
xb
ny
xy
0211 =−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−∑ ∑∑ ∑∑ ∑ iiiiiii xbn
xxb
nxy
xy
0211 =−+− ∑∑ ∑∑ ∑∑ iiiiiii xbnxx
bn
xyxy
( ) ( )
02
21 =
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−− ∑∑∑ ∑∑ nx
xbn
xyxy ii
iiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
62
( ) ( )
( )nx
x
nx
yxyb
ii
iiii
2
2
1
∑∑
∑∑∑
−
−= (2.18)
Penduga persamaan regresi dapat ditulis
( )xxbyxbxbyxbby iiii −+=+−=+= 11110ˆ (2.19)
Sekarang perhatikan kesamaan berikut:
( ) ( ) ( )iiii yyyyyy ˆˆ −+−=−
Ruas kiri dan kanan dikuadratkan dan dijumlahkan akan diperoleh
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )( )∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = =
= =
−−+−+−=
−+−=−
n
i
n
i
n
iiiiii
n
i
n
iiiii
yyyyyyyy
yyyyyy
1 1 1
22
1 1
22
ˆˆ2ˆˆ
ˆˆ (2.20)
Perkalian silang yang terakhir pada persamaan (2.20) adalah
( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −−−=−− iiiiiiii yyyyyyyyyy ˆˆˆˆˆ
Bagian kedua ruas kanan sama dengan nol menurut persamaan (2.15) adalah
( ) ( ) 0ˆ 10 =−−=−∑ ∑ iiii xbbyyy
Bagian pertama ruas kanan juga sama dengan nol karena
( ) ( )( )( ) ( )
( )00
ˆˆ
ˆˆˆ
101
10
10
=
−−+=
−+−=
−+=−
∑∑ ∑
∑ ∑
iii
iiiii
iiiiii
xxbbyb
xyybyyb
yyxbbyyy
Jadi persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai
( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ iiii yyyyyy (2.21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
63
Persamaan (2.21) merupakan persamaan dasar dalam analisis regresi dan analisis
variansi. Ruas kiri disebut Jumlah Kuadrat Total (JKT) menyatakan jumlah
penyimpangan Y disekitar nilai rata-ratanya. Bagian pertama ruas kanan disebut
Jumlah Kuadrat Regresi (JKR), merupakan variansi respons disekitar nilai rata-
ratanya. Bagian kedua ruas kanan disebut Jumlah Kuadrat Galat (JKG), bagian ini
mengukur galat dari variansi total (JKT) yang tidak dapat diterangkan oleh X
atau bagian yang sifatnya acak. Jadi persamaan (2.21) dapat ditulis sebagai
JKT=JKR+JKG
Jika pengaruh X terhadap Y besar maka diharapkan JKR cukup besar
dibandingkan dengan JKG. Bila JKR membesar maka JKG mengecil, dan
sebaliknya, sedangkan JKT tetap. Untuk menentukan apakah pengaruh suatu
variabel bebas X besar atau kecil terhadap variabel respon Y diperlukan
pembanding baku. Pembanding tersebut tidak dipengaruhi oleh baik buruknya
model yang digunakan. Pembanding baku tersebut adalah penduga tak bias dari
2σ , variansi ε . Umumnya 2σ tidak diketahui, jadi harus diduga dari sampel.
Penduga 2σ yang tidak bias dapat diperoleh dari jumlah kuadrat galat yaitu
(JKG)/(n-2) disebut Rata-rata Kuadrat Galat. Rata-rata kuadrat galat hanya akan
menduga tanpa bias bila model yang digunakan tepat. Bila model yang digunakan
keliru maka akan menduga dengan bias. Jadi penggunaan rata-rata kuadrat galat
sebagai penduga selalu dengan anggapan bahwa modelnya telah tepat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
64
Tabel 2.9 Analisis Variansi untuk regresi Linier Sederhana
Sumber Jumlah Kuadrat db Rata-rata kuadrat F
Regresi ( )∑ −= 2ˆ yyJKR i 1 RKR=JKR/1 RKGRKRF =
Galat ( )∑ −= 2ˆ ii yyJKG
n-2 RKG=JKG/(n-2)
Total ( )∑ −= 2yyJKT i n-1 Pada kolom keempat memberikan jumlah kuadrat dibagi dengan derajat bebas
untuk regresi dan galat. Tidak dituliskan jumlahnya pada baris total karena hal itu
tidak berlaku bagi JKT. Dalam praktek akan menghitung rasio RKR/RKG. Bila
rasio lebih besar dari 1 secara berarti (significant) maka disimpulkan bahwa
0≠β . Bila rasio sama dengan 1 maka kesimpulannya 0=β yaitu X tidak
mempengaruhi respon Y . Dalam prakteknya kendati 0=β tidak mengharapkan
RKR/RKG tepat sama dengan 1 disebabkan fluktuasi sampel sehingga rata-rata
RKR/RKG akan berfluktuasi disekitar 1. Untuk menentukan apakah rasio ini
sama atau lebih besar 1 digunakan bantuan tabel t atau tabel F. Rasio RKR/RKG
mempunyai distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n-2. Yang pertama derajat
bebas pembilang dan yang kedua derajat bebas penyebut. Dengan demikian dapat
didefinisikan statistik uji
( )( ) ( )∑∑
−−
−==
2/ˆ1/ˆ
2
2
nyy
yyRKGRKRF
ii
i (2.22)
Nilai F sering pula disebut F hitung, kemudian dibandingkan F tabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
65
3. Model Regresi Berganda
Dengan bertambah banyaknya variabel bebas yang disertakan dalam suatu
model regresi berganda, notasi yang dipergunakan dalam menganalisis model ini
akan menjadi bertambah kompleks. Oleh karena itu untuk memudahkan penulisan
dan pemeriksaan sifat regresi berganda, pendekatan yang digunakan adalah
dengan menggunakan notasi matriks.
Definisi:
Suatu model yang menghubungkan variabel tak bebas Y pada suatu himpunan
varibel bebas { }kx,...,x,x 21 yaitu
εββββ +++++= kk x...xxy 22110 (2.23)
disebut statistik linier.
Data yang diperoleh untuk menduga model berasal dari n individu dengan nilai
pengamatan sebagai berikut:
Nilai Pengamatan
Pengamatan y 1x 2x … kx
1 1y 11x 12x … kx1
2 2y 21x 22x … kx2
Μ Μ Μ Μ Μ
n ny 1nx 2nx … nkx
Keseluruhan pengamatan diatas masing-masing memenuhi model (2.23) dan
memberikan bentuk persamaan berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
66
1112211101 ... εββββ +++++= kk xxxy
2222221102 ... εββββ +++++= kk xxxy (2.24)
…………………………………………
nnkknnn xxxy εββββ +++++= ...22110
Secara umun persamaan regresi berganda dapat diringkas menjadi
ikikiii x...xxy εββββ +++++= 22110 (2.25)
Persamaan (2.25) dapat ditulis lebih sederhana dengan notasi matriks menjadi
εXβY += (2.26)
atau
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
ny
yy
Μ2
1
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nknn
k
k
xxx
xxxxxx
ΛΜΜΜΜ
ΛΛ
21
22221
11211
1
11
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
kβ
ββ
Μ1
0
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nε
εε
Μ2
1
Pendugaan nilai parameter β dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat
terkecil, yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat simpangan antara nilai-
nilai pengamatan niYi ,.....,1, = terhadap nilai-nilai harapannya,
( ) niYE i ,.....,1, = . Dengan ( )YEYe −= maka jumlah kuadrat simpangan adalah
∑=
=n
i 1ee'e2
( )( ) ( )( )YEYYEY −′−=
( ) ( )XbYXbY −′−=
( )( )XbYX'b'Y' −−=
XbX'b'YX'b'-XbY'YY' +−=
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-
67
XbX'b'YX'b'YX'b'YY' +−−=
karena YX'b' adalah skalar maka
XbX'b'YX'2b'YY' +−=
Penentuan nilai-nilai dugaan b dari parameter-parameter yang meminimumkan
ee' dengan mencari turunan parsial pertama ee' , terhadap setiap unsur dari β ,
dan menyamakan dengan nol, kemudian menyelesaikan persamaan yang
diperoleh.
( ) 0=∂
∂bee'
( ) 0=∂
+−∂b
XbX'b'YX'2b'YY'
( ) ( ) ( ) 0=∂
∂+
∂∂
−∂
∂b
Xb