Download - Ortogonal_1

5/11/2018 Ortogonal_1 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/ortogonal1 1/42

Ortogonal



Yang dibahas :

• Ortogonal• Basis ortogonal

• Ortonormal

• Matrik ortogonal

• Komplemen ortogonal

• Proyeksi ortogonal

• Faktorisasi QR



Ortogonal

• Himpunan vektor {v 1 , v 2 , ….., v k } dalam Rn disebut

himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam

himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika :

• Basis standar {e1 , e2 , ….., en} dalam Rn adalah

himpunan ortogonal.

v i . v j = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k



Contoh :

Tunjukkan bahwa {v 1 , v 2 , v 3} adalah himpunan ortogonal

dalam R3

jika :

Jawab :

Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal

v 1

. v 2

= 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0

v 2 . v 3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0

v 1 . v 2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0

Kesimpulan : {v 1 , v 2 , v 3} adalah himpunan ortogonal

1 2 3

2 0 1

1 , 1 , -1

-1 1 1

v v v



Teori 1. Jika {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah himpunan vektor

bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor

tersebut adalah bebas linier.

Bukti :

Jika c1 , c2 , …., ck adalah skalar sehingga : c1v 1+ …+ ck v k =0

kemudian (c1v 1+ …+ ck v k ) . v i = 0 . v i = 0

Atau hal yang sama :

c1(v 1. v i )+ ….. +ci (v i . v i )+ ……+ ck (v k . v i ) = 0

Karena {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah himpunan ortogonal,

semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol

kecuali (v i . v i ), sehingga persamaan dapat diringkas

menjadi : ci (v i . v i ) = 0



Dengan hipotesa : v i ≠ 0 sehingga v i . v i ≠ 0, oleh karena

itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci . Hal ini juga

berlaku untuk semua i = 1, ….. k , sehingga disimpulkan

bahwa {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah bebas linier.

Basis Ortogonal

Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn

adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal.

Contoh soal :

Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :

: 2 0

x

W y x y z

z



Jawab :

Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari

persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri

dari vektor dengan bentuk :

Jadi vektor u =

ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan

vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah

satu vektor tersebut.

2 1 -2

1 0

0 1

y z

y y z

z

1

1

0

dan v =

-2

0

1

adalah basis W, namun tidak



Anggap

dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka

u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0.

Dengan menyelesaikan SPL :

x-y+2z = 0 x+y = 0

Didapatkan : x = -z dan y = z

Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :

x

w y

z

adalah vektor dalam W yang ortogonal

-

z

w z

z



Jika diambil

bahwa [u,w ] adalah himpunan ortogonal dalam W ,

sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W =2.

Teori 2. Jika {v 1 , v 2 , ….., v k } adalah basis ortogonal dari

subruang W dari Rn dan w merupakan vektor

dalam W , maka skalar unik c1 ,…., ck dapat

ditulis : w = c1v 1+ …+ ck v k

Menghasilkan :

-1

1

1

w dengan mudah dapat dibuktikan

.

.

ii

i i

w vc

v vuntuk i = 1, ……, k



Contoh soal :

Carilah koordinat

dari B = {v 1 , v 2 , v 3} dengan

Jawab :

1

2

3

w yang menjadi basis ortogonal

1 2 3

2 0 1

1 , 1 , -1

-1 1 1

v v v

11

1 1

. 2 2 3 1

. 4 1 1 6w vcv v

22

2 2

. 0 2 3 5

. 0 1 1 2

w vc

v v

33

3 3

. 1 2 3 2

. 1 1 1 3

w vc

v v



Jadi : w = c1v 1+ c2v 2 + c3v 3 = 1/6 v 1 + 5/2 v 2+ 2/3 v 3

Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B

adalah :16

52

32

Bw



Ortonormal

Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan

ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari

Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan

ortonormal.

Catatan : Jika S= {q1 ,….., qk } adalah himpunan vektor

ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan

Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan

dengan kata lain : qi . qi = 1.Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :

1iq

0 jika.

1 jika

i j

i jq q

i j



Contoh soal :

1. Tunjukkan bahwa S = {q1 ,q2} adalah himpunan

ortonormal dalam R3 jika :

Jawab :

Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah

ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap

vektor himpunan ortogonal tersebut.

1 13 6

1 21 23 6

1 1

3 6

- danq q

1 2 11 2 18 18 18. 0q q

1 1 13 3 31 1. 1q q

1 4 16 6 62 2. 1q q

ortonormal



2. Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor :

Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v 1 ,

v 2 , dan v 3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi

setiap vektor diperoleh :

Jadi {q1 , q2 , q3} merupakan basis ortonormal untuk R3

1 2 3

2 0 1

1 , 1 , -1

-1 1 1

v v v

26

11 1 6

11

6

21 1

16

-1 -

q vv

12 2 2

21

2

0 01 1

12

1

q vv

,

13

13 3 3

31

3

11 1

-1 -3

1

q vv



Teori 3. Jika {q1 , q2 .….., qk } basis ortonormal dari subruang

W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka :

w = (w . q1 )q1 + (w . q2 )q2 +………+ (w . qk ) qk

Matrik ortogonal

Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom

berbentuk himpunan ortonormal disebut:

matrik ortogonal .

Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentukhimpunan ortonormal jika dan hanya jika QT Q = In

Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan

hanya jika Q

-1

= Q

T



Contoh soal :

Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah

ortogonal dan carilah matrik inversnya !

Jawab :

Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar

dari R3 jelas merupakan ortonormal , sehingga A adalah

ortogonal dan

0 1 0cos sin

0 0 1 dansin cos

1 0 0

A B

1

0 0 1

1 0 0

0 1 0

T A A



Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut :

Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan

cos sin cos sin

sin cos sin cosT B B

2 2

2 2

cos sin cos sin sin cos

sin cos cos sin sin cos

1 01

0 1

1cos sin

sin cos

T B B



Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut

ini memiliki arti yang sama :

a. Q adalah ortogonal.

b.

c.

Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen

baris merupakan himpunan ortonormal.

Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal.

a. Q -1 adalah ortogonal

b. det Q =

c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka

d. Jika Q 1 dan Q 2 adalah matrik ortogonal nxn,

maka demikian juga untuk Q 1Q 2

. . untuk setiap dan dalam nQx Qy x y x y R

11

untuk setiap dalam nQx x x R



Komplemen ortogonal

Definisi :Ambil

W subruang dari

Rn

. Sebuah vektorv

dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan

setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang

ortogonal dengan W d isebut komplemen ortogonal dari

W ditulis sebagai:

W

v

w

W

= {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W }W

dan W = W l



Teori 9. Ambil W subruang dari Rn.

a.

b.c.

d. Jika W = span (w 1 , ……, w k ), maka v berada dalam

jika dan hanya jika v. w i = 0 untuk semua i = 1, …….,k

Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang

baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal

dari ruang kolom A adalah ruang null AT

W

W adalah subruang dari Rn.

( )W W

( ( )) ( ) dan ( ( )) ( )T baris A null A kolom A null A

= {0}W W



Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :

baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn

kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm

Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n

baris (A)kolom (A)

null (A) null (AT)

0 0

R m R n

T A



Contoh soal :

1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :

dan buktikan bahwa :

Jawab :

Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :

1 1 3 1 6

2 -1 0 1 -1

-3 2 1 -2 1

4 1 6 1 3

A

( ( )) ( ) dan ( ( )) ( )T baris A null A kolom A null A



Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan :

r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4}

Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0

diperoleh :

1 0 1 0 -1

0 1 2 0 3

0 0 0 1 4

0 0 0 0 0

R

baris (A) = baris (R)

1

2

3

4

5

- s t -1 1

-2s-3t -2 -3

s 1 0

-4t 0 -4

t 0 1

x

x

x x s t su tv

x

x



Null (A) = span (u, v) dengan :

Untuk menunjukkan

menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan

u dan v .

Selanjutnya, dapat dilihat bahwa :

r 3 = r 1 + 2r 2 dan r 5 = -r 1 + 3r 2 + 4r 4

dan v =

-1

-2

1

0

0

u =

1

-3

0

-4

1

( ( )) ( )baris A null A cukup dengan



Dengan demikian r 3 dan r 5 tidak memberikan kontribusi

apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r 1 , r 2

dan r 4 adalah bebas linier dan merupakan vektorsatuan. Jadi basis kolom A = span{a1 , a2 , a3} dengan :

Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :

1 2 4

1 1 1

2 -1 1, ,

-3 2 -24 1 1

a a a

1 2 -3 4 0 1 0 0 1 0

1 -1 2 1 0 0 1 0 6 0

0 3 0 1 6 0 0 0 1 3 0

1 1 -2 1 0 0 0 0 0 0

6 -1 1 3 0 0 0 0 0 0

T A



Jika y didalam null(AT) dengan y 1 = - y 4, y 2 = -6 y 4 dan

y 3 = -3y 4 , maka dapat diperoleh hasil :

null(AT) =

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut

ortogonal dengan a1 , a2 , a3 sehingga terbukti bahwa :

4

4

4

4

- y 1

-6y 6

-3y 3

1y

span

( ( )) ( )T kolom A null A



2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :

Tentukan basis dari

Jawab : subruang W dibangun oleh w 1 ,w 2 dan w 3 sama dengan

ruang kolom dari :

1 2 3

1 -1 0

-3 1 -1

5 , 2 , 4

0 -2 -1

5 3 5

w w w

W

1 -1 0-3 1 -1

5 2 4

0 -2 -1

5 3 5

A



Teori 10 menyatakan

Sehingga dapat dihitung :

y didalamy 1= –3 y 4 – 4 y 5, y 2= – y 4 – 3 y 5 dan y 3= –2 y 5

Sehingga diperoleh :

Ada 2 vektor basis untuk

( ( )) ( )T W kolom A null A

1 -3 5 0 5 0 1 0 0 3 4 0

0 -1 1 2 -2 3 0 0 1 0 1 3 0

0 -1 4 -1 5 0 0 0 1 0 2 0

T A

W jika dan hanya jika :

4 5

4 5

5

4

5

-3 - 4 -3 -4

- - 3 -1 -3

-2 0 -2

1 0

0 1

y y

y y

W y span

y

y

W



Proyeksi ortogonal

Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1 , u2 .….., uk }

merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v

dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefini-

sikan sebagai :

Komponen v ortogonal ke W adalah vektor :

11

1 1

..( ) .....

. .

k w k

k k

u vu v proy v u u

u u u u

( ) ( )w w perp v v proy vv

u

proyu (v )

perpu (v

)

W

v

pp1

p2

u1

u2



Contoh soal :

Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0

dan

komponen v yang ortogonal ke W !

Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk :

3

-1

2

v Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan

2 1 -2

1 0

0 1

y z

y y z

z



Diperoleh vektor basis W :

u1=

Proyeksi ortogonal v pada W adalah :

1

1

0dan u2 =

-1

11

1 21 2

1 1 2 2

5

313

23

. .( )

. .

1 -12 2

1 12 3

0 1 -

w

u v u v proy v u u

u u u u

v

W

proyw

(v )

perpw (v )



Dan komponen v ortogonal pada W adalah :

perpw(v) = v – projw(v)=

Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v)

berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan

bidang.

Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalahortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari

vektor normal

5 4

3 3

1 43 3

2 83 3

3-1 -

2 -

1

-1

2

terhadap W.



Dekomposisi ortogonal

Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v

adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w

dalam W dan

Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka :

dim W + dim

w W dalam dapat dituliskan :

wv = w +

W = n



Faktorisasi QR

Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki

kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagaiQR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom

ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang

invertible.

Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1 ,… ,an adalah

kolom bebas linier dari matrik A dan q1 ,… ,qn adalah vektor

ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan

menggunakan metode Gramm-Schmidt.

Untuk setiap i = 1,…..,n : W i = span (a1 ,… ,ai ) = span (q1 ,… ,qi )

Sehingga jika terdapat skalar r 1i ,r 2i … ,r ii dapat dituliskan :

ai = r

1i q

1+ r

2i q

2+ …..+r

ii q

i untuk i = 1, ……, n



Diperoleh hasil :

a1 = r 11q1

a2

= r 12

q1

+ r 22

q2

an = r 1nq1 + r 2nq2 + …..+r nnqn

Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

11 12 1

22 2

1 2 1 2

...

0 ....... ....

0 0 ...

n

n

n n

nn

r r r

r r A a a a q q q QR

r

1 2 2



Contoh soal :

Cari faktorisasi QR dari :

Jawab :

Subruang W dibangun oleh x 1 ,x 2 dan x 3 sama dengan ruang

kolom dari matrik A. { x 1 ,x 2, x 3} adalah himpuan bebas linier,

sehingga merupakan basis dari W .Ambil v 1 = x 1 , selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt

dihitung komponen x 2 yang ortogonal pada W 1= span (v 1)

1 2 2

-1 1 2

-1 0 1

1 1 2

A

1

32

321 2

2 2 2 1 11 1 2

12

2 1

1 -1. 2( )

0 -1. 4

1 1

w

v xv perp x x v

v v



Untuk menghilangkan pecahan pada v 2 dilakukan perkali-

an skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian

v 2 dirubah menjadi :

Selanjutnya dihitung komponen x 3 ortogonal pada W 2

= span ( x 1 ,x 2) = span (v 1 ,v 2)= span

basis ortogonal

2 2

3

32

1

1

v v

1 2( , )v v menggunakan

1 2( , )v v

2

12

1 3 2 3

3 3 3 1 2 11 1 2 2 2

-2 1 3

2 -1 3 0. . 1 15( )

1 -1 1. . 4 20

2 1 1 1

w

v x v xv perp x x v v

v v v v



Kembali dilakukan penskalaan ulang :

Akhirnya diperoleh basis ortogonal

Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan

normalisasi setiap vektor

3 3

-1

0

2 1

2

v v

1 2 3, ,v v v untuk W

1

2

12

1 1 11 2

1

2

1

--11 1

-12 -

1

q vv



2 2

2

3 3

3

3 510

33 5

31 1 1012 5 5

1015

10

- 66-1

001 1

616 62

63

q vv

q v

v



3 5 612 10 6

3 512 10

1 2 35 6

12 10 6

5 612 10 6

-

- 0Jadi

-

Q q q q

A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan

kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QT Q = I.

Oleh karena itu : QT A=QT QR = IR=R

Diperoleh hasil akhir :

11 1 1 12

2 2 2 23 5 3 5 5 5 3 5

10 10 10 10 2

6 6 6 66 6 3 2

1 2 22 1- -

-1 1 20 5

-1 0 1- 0 0 0

1 1 2

T R Q A



Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri

Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai

ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrikdiagonal D sehingga diperoleh : QT AQ = D

Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A

adalah matrik simetri

Bukti :

Karena Q -1 = Q T diperoleh Q TQ = I = QQ T sehingga :

QDQ T = QQ TAQQ T = IAI = A

Tetapi juga : AT= (QDQ T)T = (Q T)T DTQ T = QDQ T = A

Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .



Latihan soal :

1. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3

Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1)

2. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3

W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)}

dan v = (1,2,3)

Tentukan proyeksi ortogonal v pada W

Download - Ortogonal_1

Top Related