Download - MT Persamaan Diferensial Ordiner.pdf
Ordinary Differential Equations – ODE
PERSAMAAN DIFERENSIAL
ORDINER
Persamaan Diferensial Ordiner 2
Acuan
Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd
Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
Chapter 19 dan 20, hlm. 576-640.
Persamaan Diferensial 3
FU = −c v
FD = m g
Benda bermassa m jatuh bebas dengan
kecepatan v
m
FF
m
Fa UD Hukum Newton II
c = drag coefficient (kg/s)
g = gravitational acceleration (m/s2)
persamaan diferensial
suku diferensial laju perubahan (rate of change)
vm
cg
t
v
d
d
t
v
d
d
Persamaan Diferensial 4
FU = −c v
FD = m g
Sebuah benda jatuh bebas
Jika pada saat awal benda dalam keadaan diam:
syarat awal (initial condition) 00 tv
vm
cg
t
v
d
d
tmcec
gmtv 1
Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial
v variabel tak bebas (dependent variable)
t variabel bebas (independent variable)
Persamaan diferensial ordiner, ODE
hanya terdiri dari satu variabel bebas
Persamaan diferensial parsial, PDE
terdiri dari dua atau lebih variabel bebas
vm
cg
t
v
d
d
vm
cg
t
v
d
d
02
2
x
CD
t
C
5
Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial
orde tertinggi suku derivatif
Persamaan diferensial orde 1
suku derivatif berorde 1
Persamaan diferensial orde 2
suku derivatif berorde 2
vm
cg
t
v
d
d
0d
d
d
d2
2
kxt
xc
t
xm
6
Persamaan Diferensial Ordiner
Beberapa contoh ODE di bidang engineering
Hukum Newton II ttg gerak
Hukum Fourier ttg panas
Hukum Fick ttg difusi
m
F
t
v
d
d
x
Tk
d
dflux Heat
x
CD
d
dflux Mass
7
Persamaan Diferensial Ordiner 8
15.81045.0 234 xxxxy
5.820122d
d 23 xxxx
y
diketahui:
fungsi polinomial orde 4
diperoleh: ODE
di-diferensial-kan
Persamaan Diferensial Ordiner
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4
-8
-4
0
4
8
0 1 2 3 4
9
15.81045.0 234 xxxxy 5.820122d
d 23 xxxx
y
X X
x
y
d
dY
Persamaan Diferensial Ordiner 10
5.820122d
d 23 xxxx
y
diketahui: ODE
fungsi asal
di-integral-kan
Cxxxxy
xxxxy
5.81045.0
d5.820122
234
23
C disebut konstanta integrasi
Persamaan Diferensial Ordiner
-8
-4
0
4
8
0 1 2 3 4
-4
0
4
8
0 1 2 3 4
11
Cxxxxy 5.81045.0 2345.820122d
d 23 xxxx
y
X X
x
y
d
dY
C = 3
2
1
0
−1
−2
Persamaan Diferensial Ordiner 12
Cxxxxy 5.81045.0 234
Hasil dari integrasi adalah sejumlah tak berhingga polinomial.
Penyelesaian yang unique (tunggal, satu-satunya) diperoleh dengan
menerapkan suatu syarat, yaitu pada titik awal x = 0, y = 1 ini disebut
dengan istilah syarat awal (initial condition).
Syarat awal tersebut menghasilkan C = 1.
15.81045.0 234 xxxxy
Persamaan Diferensial Ordiner 13
Syarat awal (initial condition)
mencerminkan keadaan sebenarnya, memiliki arti fisik
pada persamaan diferensial orde n, maka dibutuhkan sejumlah n syarat
awal
Syarat batas (boundary conditions)
syarat yang harus dipenuhi tidak hanya di satu titik di awal saja, namun
juga di titik-titik lain atau di beberapa nilai variabel bebas yang lain
Persamaan Diferensial Ordiner 14
Metoda penyelesaian ODE
Metoda Euler
Metoda Heun
Metoda Euler Modifikasi (Metoda Poligon)
Metoda Runge-Kutta
Metoda Euler
Penyelesaian ODE 15
Metoda Satu Langkah
Dikenal pula sebagai metoda satu
langkah (one-step method)
Persamaan:
new value = old value + slope x step size
Dalam bahasa matematika:
jadi, slope atau gradien φ dipakai untuk
meng-ekstrapolasi-kan nilai lama yi ke
nilai baru yi+1 dalam selang h
hyy ii 1
16 16
xi xi+1
step size = h
x
y
slope = φ
hyy ii 1
Metoda Satu Langkah
Semua metoda satu langkah dapat
dinyatakan dalam persamaan tsb.
Perbedaan antara satu metoda dengan
metoda yang lain dalam metoda satu
langkah ini adalah perbedaan dalam
menetapkan atau memperkirakan slope φ.
Salah satu metoda satu langkah adalah
Metoda Euler.
hyy ii 1
17
xi xi+1
step size = h
x
y
slope = φ
hyy ii 1
Metoda Euler 18
Dalam metoda Euler, slope di xi diperkirakan
dengan derivatif pertama di titik (xi,yi).
Metoda Euler dikenal pula dengan nama
Metoda Euler-Cauchy.
Jadi nilai y baru diperkirakan berdasarkan
slope, sama dengan derivatif pertama di titik
x, untuk mengekstrapolasi nilai y lama secara
linear dalam selang h ke nilai y baru.
hyxfyy iiii ,1
ii yx
iix
yyxf
,d
d,
Metoda Euler 19
Pakailah metoda euler untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x = 0
s.d. x = 4 dengan selang langkah h = 0.5:
5.820122d
d, 23 xxx
x
yyxf
Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x= 0,
y = 1
Ingat, penyelesaian eksak ODE di atas adalah:
15.81045.0 234 xxxxy
Metoda Euler 20
Selang ke-1, dari x0 = 0 s.d. x1 = x0 + h = 0.5:
5.85.802001202, 23
00 yxf
25.55.05.81
, 0001
hyxfyy
21875.3
15.05.85.0105.045.05.0 234
1
y
Nilai y1 sesungguhnya dari penyelesaian eksak:
Error, yaitu selisih antara nilai y1 sesungguhnya dan estimasi:
03125.225.521875.3 tE atau %6321875.303125.2 t
Metoda Euler
i xi yi(eksak) yi(Euler) t
0 0 1 1
1 0.5 3.21875 5.25 -63%
2 1 3 5.875 -96%
3 1.5 2.21875 5.125 -131%
4 2 2 4.5 -125%
5 2.5 2.71875 4.75 -75%
6 3 4 5.875 -47%
7 3.5 4.71875 7.125 -51%
8 4 3 7 -133%
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4
21
X
Y
Euler
Eksak
Metoda Euler 22
Error atau kesalahan terdiri dari dua aspek
Truncation or discretization errors (kesalahan pemotongan) yang
disebabkan oleh teknik penyelesaian dalam mengestimasikan nilai y.
local truncation error, yaitu kesalahan pada satu langkah
propagated truncation error, yaitu kesalahan-kesalahan pada langkah-
langkah terdahulu
Round-off errors yang disebabkan oleh keterbatasan jumlah digit
dalam hitungan atau jumlah digit dalam alat hitung (kalkulator,
komputer).
Metoda Euler 23
Deret Taylor
x
yyxfy
d
d,
nn
n
ii Rhn
yh
yhyyy
!...
22
1
11
1!1
,
n
n
nii hn
yRxxh
adalah sembarang titik di antara xi dan xi+1.
Deret Taylor dapat pula dituliskan dalam bentuk lain sbb.
1
12
1!
,...
2
,,
nniin
iiiiii hOh
n
yxfh
yxfhyxfyy
O(hn+1) menyatakan bahwa local truncation error adalah proporsional terhadap
selang jarak dipangkatkan (n+1).
Metoda Euler 24
1
12
1!
,...
2
,,
nniin
iiiiii hOh
n
yxfh
yxfhyxfyy
Euler Error, Et
true local truncation error of the Euler method (Et)
untuk selang h kecil, error mengecil seiring dengan
peningkatan orde
error Et dapat didekati dengan Ea
2
2
,h
yxfEE iiat
2hOEa atau
Metoda Euler 25
5.820122, 23 xxxyxf
Hitunglah error yang terjadi (Et) pada penyelesaian ODE tersebut;
hitunglah komponen error setiap suku pada persamaan Et.
Selesaikan ODE tersebut dengan memakai h = 0.25;
bandingkan dengan penyelesaian sebelumnya;
bandingkan juga error yang terjadi.
Baca buku acuan pada hlm 580-584 untuk membantu Sdr dalam membuat
diskusi hasil hitungan Sdr.
Metoda Euler 26
Error pada Metoda Euler dapat dihitung dengan memanfaatkan Deret Taylor
Keterbatasan
Deret Taylor hanya memberikan perkiraan/estimasi local truncation error, yaitu error yang
timbul pada satu langkah hitungan Metoda Euler, bukan propagated truncation error.
Hanya mudah dipakai apabila ODE berupa fungsi polinomial sederhana yang mudah
untuk di-diferensial-kan, fi(xi,yi) mudah dicari.
Perbaikan Metoda Euler, memperkecil error
Pakailah selang h kecil.
Metoda Euler tidak memiliki error apabila ODE berupa fungsi linear.
Metoda Heun
Penyelesaian ODE 27
Metoda Heun 28
xi xi+1
step size = h
x
y
slope = φi
2slope
01
ii
slope = φ0i+1
Slope di selang antara xi dan di xi+1 ditetapkan
sebagai nilai rata-rata slope di awal dan di akhir
selang, yaitu di xi dan di xi+1:
iii yxfy ,
hyxfyy iiii ,01 Euler sebagai prediktor
0111 ,
iii yxfy
2
,,
2
0111
iiiiii yxfyxfyyy
h
yxfyxfyy iiiiii
2
,, 011
1
sebagai korektor
Metoda Heun 29
Pakailah Metoda Heun untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x = 0
s.d. x = 4 dengan selang langkah h = 1
yex
yy x 5.04
d
d 8.0
Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada x = 0,
y = 2
Penyelesaian eksak ODE tsb yang diperoleh dari kalkulus adalah:
xxx eeey 5.05.08.0 23.1
4
Metoda Heun 30
Selang ke-1, dari x0 = 0 s.d. x1 = x0 + h = 1:
325.042,0, 08.000 efyxf
5132, 00001 hyxfyy
slope di titik ujung awal, (x0, y0)
prediktor y1
slope di titik ujung akhir, (x1, y1) 4021637.655.045,1, 18.0011 efyxf
slope rata-rata selang ke-1 70108185.42
4021637.63
y
7010819.6170108185.4201 hyyy korektor y1
Metoda Heun 31
i xi yi (eksak) f(xi,yi)awal yi (prediktor) f(xi,yi)akhir f(xi,yi)rerata yi (korektor) εt
0 0 2 3 --- --- --- 2 ---
1 1 6.1946 5.5516 5.0000 6.4022 4.7011 6.7011 -8%
2 2 14.8439 11.6522 12.2527 13.6858 9.6187 16.3198 -10%
3 3 33.6772 25.4931 27.9720 30.1067 20.8795 37.1992 -10%
4 4 75.3390 --- 62.6923 66.7840 46.1385 83.3378 -11%
Metoda Heun 32
0
30
60
90
0 1 2 3 4
Y
X
Eksak
Heun
Metoda Heun 33
Metoda Heun dapat diterapkan secara iteratif pada saat
menghitung slope di ujung akhir selang dan nilai yi+1
korektor
nilai yi+1 korektor pertama dihitung berdasarkan nilai yi+1
prediktor
nilai yi+1 korektor tersebut dipakai sebaga nilai yi+1 prediktor
hitung kembali nilai yi+1 korektor yang baru
ulangi kedua langkah terakhir tersebut beberapa kali
Perlu dicatat bahwa
error belum tentu selalu berkurang pada setiap langkah iterasi
iterasi tidak selalu konvergen
h
yxfyxfyy iiiiii
2
,, 011
1
h
yxfyxfyy iiiiii
2
,, 011
1
Metoda Heun 34
Iterasi kedua pada selang ke-1, dari x0 = 0 s.d. x1 = x0 + h = 1:
prediktor y1 = korektor y1(lama)
slope di titik ujung akhir, (x1, y1)
5516228.5
7010819.65.04
7010819.6,1,18.0
011
e
fyxf
slope rata-rata selang ke-1 2758114.42
5516228.53
y
2758114.6127581145.4201 hyyy korektor y1
7010819.6old101 yy
Iterasi di atas dapat dilakukan beberapa kali
Metoda Poligon
(Modified Euler Method)
Penyelesaian ODE 35
Metoda Poligon 36
xi xi+1
step size = h
x
y
slope = φi slope = φi+½
Slope di selang antara xi dan di xi+1 ditetapkan
sebagai nilai slope di titik tengah selang, yaitu di
xi+½:
iii yxfy ,
2
,21
hyxfyy iiii
slope di titik awal
21
21
21 ,
iiiyxfy
hyxfyyiiii
21
21 ,1
slope = φi+½
xi+½
ekstrapolasi ke titik tengah
slope di titik tengah
ekstrapolasi ke titik akhir
Metoda Poligon 37
Pakailah Metoda Poligon untuk mengintegralkan ODE di bawah ini, dari x =
0 s.d. x = 4 dengan selang langkah h = 1
yex
yy x 5.04
d
d 8.0
Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa pada x = 0,
y = 2
Ingat penyelesaian eksak ODE tsb yang diperoleh dari kalkulus adalah:
xxx eeey 5.05.08.0 23.1
4
Metoda Poligon 38
Selang ke-1, dari x0 = 0 sd x1 = x0 + h = 1:
325.042,0, 08.000 efyxf
5.321322
, 00021
hyxfyy
slope di titik ujung awal, (x0, y0)
titik tengah y½
slope di titik tengah, (x½, y½) 2173.45.35.045.3,5.0, 5.08.0
21
21 efyxf
ekstrapolasi y0 ke y1 2173.612173.42,21
2101 hyxfyy
Metoda Poligon 39
i xi yi (eksak) f(xi,yi) xi +½ yi +½ f(xi +½,yi +½) yi εt
0 0 2 3 --- --- --- 2 ---
1 1 6.1946 5.7935 0.5 3.5000 4.2173 6.2173 -0.4%
2 2 14.8439 12.3418 1.5 9.1141 8.7234 14.9407 -0.7%
3 3 33.6772 27.1221 2.5 21.1116 19.0004 33.9412 -0.8%
4 4 75.3390 --- 3.5 47.5022 42.0275 75.9686 -0.8%
Metoda Poligon 40
0
30
60
90
0 1 2 3 4
Y
X
Eksak
Poligon
Metoda Runge-Kutta
Penyelesaian ODE 41
Metoda Runge-Kutta 42
Metoda Euler
kurang teliti
ketelitian lebih baik diperoleh dengan cara memakai lebar pias kecil
atau memakai suku-suku derivatif berorde lebih tinggi pada Deret
Taylor
Metoda Runge-Kutta
lebih teliti daripada Metoda Euler
tanpa memerlukan suku derivatif
Metoda Runge-Kutta 43
Bentuk umum penyelesaian ODE dengan Metoda Runge-Kutta adalah:
hhyxyy iiii ,,1
Fungsi φ dapat dituliskan dalam bentuk umum sbb:
hyx ii ,, adalah increment function yang dapat
diinterpretasikan sebagai slope atau gradien
fungsi y pada selang antara xi s.d. xi+1
nnkakaka ...2211
a adalah konstanta dan k adalah:
hkqhkqhkqyhpxfk
hkqhkqyhpxfk
hkqyhpxfk
yxfk
nnnnninin
ii
ii
ii
11,122,111,11
22212123
11112
1
...,
,
,
,
setiap k saling terhubung dengan
k yang lain k1 muncul pada
pers k2 dan k2 muncul pada pers
k3 dst.
Metoda Runge-Kutta 44
Terdapat beberapa jenis Metoda Runge-Kutta yang dibedakan dari jumlah
suku pada persamaan untuk menghitung k:
RK orde 1 (first-order RK): n = 1
RK orde 2 (second-order RK): n = 2
RK orde 3 (third-order RK): n = 3
RK orde 4 (fourth-order RK): n = 4
Order of magnitude kesalahan penyelesaian Metoda RK orde n:
local truncation error = O(hn+1)
global truncation error = O(hn)
nnii
iiii
kakakahyx
hhyxyy
...,,
,,
2211
1
Second-order Runge-Kutta Method 45
hkakayy ii 22111
hkqyhpxfk
yxfk
ii
ii
11112
1
,
,
a1, a2, p1, q11 unknowns perlu 4 persamaan
Deret Taylor
2
,,2
1
hyxfhyxfyy iiiiii
x
y
y
f
x
fyxf ii
d
d,
2d
d,
2
1
h
x
y
y
x
x
fhyxfyy iiii
Bentuk umum persamaan penyelesaian ODE dengan 2nd-order RK
Second-order Runge-Kutta Method 46
2111111112 ,, hO
y
fhkq
x
fhpyxfhkqyhpxfk iiii
Bentuk di atas diterapkan pada persamaan k2
...,,
y
gs
x
gryxgsyrxg
321121221
3211212211
,,,
,,,
hOhx
fyxfqa
x
fpahyxfayxfay
hOx
fyxfhqa
x
fhpayxhfayxhfayy
iiiiiii
iiiiiiii
Ingat, Deret Taylor untuk fungsi yang memiliki 2 variabel
Bentuk umum penyelesaian ODE metoda 2nd-order RK menjadi:
Second-order Runge-Kutta Method 47
3211212211 ,,, hOh
x
fyxfqa
x
fpahyxfayxfayy iiiiiiii
Bandingkan persamaan di atas dengan persamaan semula
Agar kedua persamaan di atas equivalen, maka:
2d
d,
2
1
h
x
y
y
x
x
fhyxfyy iiii
21
112
21
12
21 1
qa
pa
aa Karena hanya ada 3 persamaan untuk 4 unknowns, maka nilai
salah satu variabel harus ditetapkan.
Misalkan nilai a2 ditetapkan, maka a1, p1, dan q11 dapat dihitung.
Second-order Runge-Kutta Method 48
Jika a2 ditetapkan, maka:
21
112
21
12
21 1
qa
pa
aa
2
111
21
2
1
1
aqp
aa
Karena ada sejumlah tak berhingga nilai a2,
maka terdapat pula sejumlah tak berhingga
2nd-order RK methods.
Setiap versi 2nd-order RK akan memberikan
hasil yang persis sama jika fungsi
penyelesaian ODE yang dicari adalah fungsi
kuadrat, linear, atau konstanta.
Second-order Runge-Kutta Method 49
Metoda Heun dengan korektor tunggal
Metoda poligon yang diperbaiki (improved polygon method)
Metoda Ralston
1, 11121
121
2 qpaa hkkyy ii 221
121
1
21
11112 ,01 qpaa
12
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
hkkyy ii 232
131
1
hkyy ii 21
121
21
2
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
43
11131
132
2 , qpaa
143
43
2
1
,
,
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
Second-order Runge-Kutta Method 50
Pakailah berbagai 2nd-order RK methods untuk mengintegralkan ODE di
bawah ini, dari x = 0 s.d. x = 4 dengan selang langkah h = 0.5:
5.820122d
d, 23 xxx
x
yyxf
Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x= 0,
y = 1
Bandingkan hasil-hasil penyelesaian dengan berbagai metoda RK tsb.
Second-order Runge-Kutta Method 51
Single-corrector Heun
i xi yi (eksak) k1 k2 φ yi εt
0 0 1 8.5 1.25 4.875 1 0.0%
1 0.5 3.21875 1.25 -1.5 -0.125 3.4375 -6.8%
2 1 3 -1.5 -1.25 -1.375 3.375 -12.5%
3 1.5 2.21875 -1.25 0.5 -0.375 2.6875 -21.1%
4 2 2 0.5 2.25 1.375 2.5 -25.0%
5 2.5 2.71875 2.25 2.5 2.375 3.1875 -17.2%
6 3 4 2.5 -0.25 1.125 4.375 -9.4%
7 3.5 4.71875 -0.25 -7.5 -3.875 4.9375 -4.6%
8 4 3 --- --- --- 3 0.0%
Second-order Runge-Kutta Method 52
Improved Polygon
i xi yi (eksak) k1 k2 φ yi εt
0 0 1 8.5 4.21875 4.21875 1 0.0%
1 0.5 3.21875 1.25 -0.59375 -0.59375 3.109375 3.4%
2 1 3 -1.5 -1.65625 -1.65625 2.8125 6.3%
3 1.5 2.21875 -1.25 -0.46875 -0.46875 1.984375 10.6%
4 2 2 0.5 1.46875 1.46875 1.75 12.5%
5 2.5 2.71875 2.25 2.65625 2.65625 2.484375 8.6%
6 3 4 2.5 1.59375 1.59375 3.8125 4.7%
7 3.5 4.71875 -0.25 -3.21875 -3.21875 4.609375 2.3%
8 4 3 --- --- --- 3 0.0%
Second-order Runge-Kutta Method 53
Second-order Ralston Runge-Kutta
i xi yi (eksak) k1 k2 φ yi εt
0 0 1 8.5 2.582031 4.554688 1 0.0%
1 0.5 3.21875 1.25 -1.15234 -0.35156 3.277344 -1.8%
2 1 3 -1.5 -1.51172 -1.50781 3.101563 -3.4%
3 1.5 2.21875 -1.25 0.003906 -0.41406 2.347656 -5.8%
4 2 2 0.5 1.894531 1.429688 2.140625 -7.0%
5 2.5 2.71875 2.25 2.660156 2.523438 2.855469 -5.0%
6 3 4 2.5 0.800781 1.367188 4.117188 -2.9%
7 3.5 4.71875 -0.25 -5.18359 -3.53906 4.800781 -1.7%
8 4 3 --- --- --- 3.03125 -1.0%
Second-order Runge-Kutta Method 54
0
2
4
6
0 1 2 3 4
Exact
Heun
Improved Polygon
Ralston
X
Y
Third-order Runge-Kutta Method 55
Persamaan penyelesaian ODE 3rd-order RK methods:
Catatan:
Jika derivatif berupa fungsi x saja, maka 3rd-order RK sama dengan
persamaan Metoda Simpson ⅓
hkkkyy ii 32161
1 4
213
121
21
2
1
2,
,
,
hkhkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
Third-order Runge-Kutta Method 56
Third-order Runge-Kutta
i xi yi (eksak) k1 k2 k3 φ yi εt
0 0 1 8.5 4.219 1.25 4.438 1 0.0%
1 0.5 3.21875 1.25 -0.594 -1.5 -0.438 3.21875 0.0%
2 1 3 -1.5 -1.656 -1.25 -1.563 3 0.0%
3 1.5 2.21875 -1.25 -0.469 0.5 -0.438 2.21875 0.0%
4 2 2 0.5 1.469 2.25 1.438 2 0.0%
5 2.5 2.71875 2.25 2.656 2.5 2.563 2.71875 0.0%
6 3 4 2.5 1.594 -0.25 1.438 4 0.0%
7 3.5 4.71875 -0.25 -3.219 -7.5 -3.438 4.71875 0.0%
8 4 3 --- --- --- --- 3 0.0%
Fourth-order Runge-Kutta Method 57
Persamaan penyelesaian ODE 4th-order RK methods:
Catatan:
Jika derivatif berupa fungsi x saja, maka 4th-order RK sama dengan
persamaan Metoda Simpson ⅓
hkkkkyy ii 432161
1 22
34
221
21
3
121
21
2
1
,
,
,
,
hkyhxfk
hkyhxfk
hkyhxfk
yxfk
ii
ii
ii
ii
Fourth-order Runge-Kutta Method 58
Fourth-order Runge-Kutta
i xi yi (eksak) k1 k2 k3 k4 φ yi εt
0 0 1 8.5 4.219 4.219 1.25 4.44 1 0.0%
1 0.5 3.21875 1.25 -0.594 -0.594 -1.5 -0.44 3.21875 0.0%
2 1 3 -1.5 -1.656 -1.656 -1.25 -1.56 3 0.0%
3 1.5 2.21875 -1.25 -0.469 -0.469 0.5 -0.44 2.21875 0.0%
4 2 2 0.5 1.469 1.469 2.25 1.44 2 0.0%
5 2.5 2.71875 2.25 2.656 2.656 2.5 2.56 2.71875 0.0%
6 3 4 2.5 1.594 1.594 -0.25 1.44 4 0.0%
7 3.5 4.71875 -0.25 -3.219 -3.219 -7.5 -3.44 4.71875 0.0%
8 4 3 --- --- --- --- --- 3 0.0%
3rd- and 4th-order Runge-Kutta Methods 59
Pakailah 3rd-order dan 4th-order RK methods untuk mengintegralkan ODE
di bawah ini, dari x = 0 s.d. x = 4 dengan selang langkah h = 0.5:
5.820122d
d, 23 xxx
x
yyxf
Syarat awal yang diterapkan pada ODE tsb adalah bahwa di titik x = 0,
y = 1
3rd- and 4th-order Runge-Kutta Methods 60
Node Exact Solution Third-order RK Fourth-order RK
i xi yi yi εt yi εt
0 0 1 1 0.0% 1 0.0%
1 0.5 3.21875 3.21875 0.0% 3.21875 0.0%
2 1 3 3 0.0% 3 0.0%
3 1.5 2.21875 2.21875 0.0% 2.21875 0.0%
4 2 2 2 0.0% 2 0.0%
5 2.5 2.71875 2.71875 0.0% 2.71875 0.0%
6 3 4 4 0.0% 4 0.0%
7 3.5 4.71875 4.71875 0.0% 4.71875 0.0%
8 4 3 3 0.0% 3 0.0%
61