Download - Model Kronig Penney
![Page 1: Model Kronig Penney](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022072922/563db902550346aa9a992007/html5/thumbnails/1.jpg)
MODEL KRONIG PENEY
Sebuah potensial periodik yang persamaan gelombang dapat di pecahkan dalam hal fungsi dasar adalah array persegi. Persamaan gelombang pada Gambar 4
โั2
2m d2
dx2 + u(x) ๐ = ฯต ๐ ( 11)
dimana U (x) adalah energi potensial dan merupakan nilai eigen energi.
Di kawasan itu 0 <x < ๐ผ dimana U = 0, fungsi eigen adalah linear kombinasi,
๐= A eikx + Be-ikx (12)
Pada gelombang pesawat ke kanan dan ke kiri, dengan energi
ฯต =ั2 K2 / 2 m (13)
Di kawasan itu -b < x < o dalam penghalang solusinya adalah dalam bentuk
๐= CeQ3 + De-Qx (14)
Dengan
U0 โฯต = ั2Q2/2m (15)
Gambar 4 Potensial persegi periodikdiperkenalkan oleh Kronig dan Penney.
solusinya memiliki bentuk Bloch (7). Jadi di wilayah ๐ผ < x < ๐ผ + b harus berhubungan dengan solusi (14) di wilayah -b < x < 0 dengan teorema Bloch yaitu
![Page 2: Model Kronig Penney](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022072922/563db902550346aa9a992007/html5/thumbnails/2.jpg)
๐ (๐ผ <x< ๐ผ +b) โ ๐ ( - b <x < o ) eik (๐ผ +b) (16)
dimana berfungsi untuk mendefinisikan vector gelombang k digunakan sebagai indeks untuk
label solusi. Konstanta A, B, C, D dipilih sehingga ๐ dan d ๐ / dx yang kontinu pada x = 0 dan
x = ๐ผ. Ini adalah kondisi batas kuantum mekanik biasa dalam masalah yang melibatkan potensial persegi Pada x = 0,
A+ B = C+ D (17)
Ik ( A-B) = Q ( C- D ) (18)
dengan Q dari (14). Pada x = ๐ผ, dengan menggunakan (16) untuk ๐ (๐ผ) di bawah penghalang di
hal ๐ (- h),
A e ik ๐ผ + Be-ik = (Ce-Qb + DeQb )eik (๐ผ +b) (19)
Ik ( A e ik ๐ผ โ Be-ik ๐ผ ) = Q ( Ce- Qb โDe Qb ) eik (๐ผ + b ) ( 20)
Pada pertanyaan (17) ke (20) memiliki solusi hanya jika determinan koefisien dari A, B, C, D menghasilkan
[(Q2-K2)/2QK ] sin h Qb sin K ๐ผ + cos h Qb cos k ๐ผ = cos K (๐ผ + b ) (21 a)
Hasil disederhanakan untuk mendapatkan persamaan ini. Hasilnya disederhanakan jika kita mewakili potensial oleh delta periodic Fungsi diperoleh ketika kita melewati batas b = 0 dan Uo
= โ sedemikian rupa bahwa Q2b ๐ผ /2 = p, jumlah terbatas. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian (21a) tereduksi menjadi
( p/ K ๐ผ) sin K๐ผ + cos K๐ผ = cos k ๐ผ ( 21 b)
Kisaran K yang persamaan ini memiliki solusi lsa kembali diplot pada Gambar. 5,
untuk kasus P = 3 ๐/ 2. Nilai nilai yang sesuai pada energi diplot di Gambar. 6. Perhatikan celah energy pada batas. vector gelombang k dari Fungsi Bloch adalah indeks penting, bukan K di (12), yang terkait dengan energy oleh (13). Sebuah cara dalam masalah ini dalam ruang vector gelombang diberikan kemudian dalam bab ini.
Model Kronig-Penney di Ruang timbal balik
Sebagai contoh penggunaan persamaan (31) untuk masalah yang sama dipecahkan, digunakan model Kronig-Penney dari periodik fungsi delta potensial:
![Page 3: Model Kronig Penney](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022072922/563db902550346aa9a992007/html5/thumbnails/3.jpg)
U(x) 2 โG>OUG cos Gx = A ๐ผโฮด ( x - s ๐ผ ) (33)
dimana A adalah konstan dan jarak kisi. Jumlah ini atas semua bilangan bulat s antara 0 dan l/a. Kondisi batas periodik satuan panjang, yang lebih dari atom l / 0. Dengan demikian koefisien Fourier dari potensialnya adalah :
UG = โซ0
1
dxU ( x )cosGx=A ฮฑโฮดโซ
0
1
dx ฮด(xโsa) (34)
Semua UG adalah sama untuk potensial fungsi delta. Ditulis persamaan pusat dengan k sebagai indeks Bloch. Jadi persamaan (31) Menjadi
(ฮป k - ฯต ) C ( k ) + A โn
C (kโ2ฯn /a) (35)
dimana ฮปk = ั2k2/ 2m dan jumlahnya lebih dari semua bilangan bulat n, memecahkan Persamaan (35) untuk ฯต (k), didefinisikan sebagai berikut :
F( k) = โn
C (kโ2ฯn /a) (36)
Kemudian Persamaan 35 menjadi
C ( k ) = โ(2m A /ั2) f (k )ยฟ/ยฟ (37 )
Karena Persamaan (36) di atas semua koefisien C, yang dimiliki, untuk setiap n adalah
F ( k ) = f ( k โ 2 ๐ n / a ) (38)
Hubungan ini memungkinkan bisa ditulis sebagai berikut :
C (( k โ 2 ๐ n / aยฟ = - ( 2 m A/ ั2 ) f ( k ) [ ( k - 2 ๐ n / a )2 - 2 mฯต /ั2) ] -1 ( 39 )
Jumlah sisi atas segala n untuk mendapatkannya, menggunakan Persamaan (36) dan membatalkan f (k) dari kedua belah pihak,
ยฟยฟ / 2 m A ) = - โn
ยฟยฟ/ ฮฑ )2 โ (2 mฯต /ั2) ] -1 (40)
Jumlah tersebut dapat dilakukan dengan bantuan hubungan standar yaitu sebagai berikut :
Etn x = โn
1nฯ+x (41)
Setelah manipulasi trigonometri di mana kita menggunakan hubungan untuk perbedaan
dua cotangents dan produk dari dua sinus, jumlah dalam Persamaan (40) menjadi
![Page 4: Model Kronig Penney](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022072922/563db902550346aa9a992007/html5/thumbnails/4.jpg)
a sin ka4 kaยฟยฟ
(42)
di mana ditulis k2 = 2 m ฯต / ั2, seperti pada Persamaan (13). Hasil akhir untuk Persamaan (40) adalah sebagai berikut :
( m Aa2/ 2 ั2 ) ( ka ) -1 sin ka + cos k a = cos ka ( 43)
yang setuju dengan hasil Kronig-Penney (21b) dengan P ditulis untuk m A๐ผ2 / 2 ั2