Download - Model Kronig Penney

Transcript
Page 1: Model Kronig Penney

MODEL KRONIG PENEY

Sebuah potensial periodik yang persamaan gelombang dapat di pecahkan dalam hal fungsi dasar adalah array persegi. Persamaan gelombang pada Gambar 4

โˆ’ั’2

2m d2

dx2 + u(x) ๐›™ = ฯต ๐›™ ( 11)

dimana U (x) adalah energi potensial dan merupakan nilai eigen energi.

Di kawasan itu 0 <x < ๐›ผ dimana U = 0, fungsi eigen adalah linear kombinasi,

๐›™= A eikx + Be-ikx (12)

Pada gelombang pesawat ke kanan dan ke kiri, dengan energi

ฯต =ั’2 K2 / 2 m (13)

Di kawasan itu -b < x < o dalam penghalang solusinya adalah dalam bentuk

๐›™= CeQ3 + De-Qx (14)

Dengan

U0 โ€“ฯต = ั’2Q2/2m (15)

Gambar 4 Potensial persegi periodikdiperkenalkan oleh Kronig dan Penney.

solusinya memiliki bentuk Bloch (7). Jadi di wilayah ๐›ผ < x < ๐›ผ + b harus berhubungan dengan solusi (14) di wilayah -b < x < 0 dengan teorema Bloch yaitu

Page 2: Model Kronig Penney

๐›™ (๐›ผ <x< ๐›ผ +b) โ‰ˆ ๐›™ ( - b <x < o ) eik (๐›ผ +b) (16)

dimana berfungsi untuk mendefinisikan vector gelombang k digunakan sebagai indeks untuk

label solusi. Konstanta A, B, C, D dipilih sehingga ๐›™ dan d ๐›™ / dx yang kontinu pada x = 0 dan

x = ๐›ผ. Ini adalah kondisi batas kuantum mekanik biasa dalam masalah yang melibatkan potensial persegi Pada x = 0,

A+ B = C+ D (17)

Ik ( A-B) = Q ( C- D ) (18)

dengan Q dari (14). Pada x = ๐›ผ, dengan menggunakan (16) untuk ๐›™ (๐›ผ) di bawah penghalang di

hal ๐›™ (- h),

A e ik ๐›ผ + Be-ik = (Ce-Qb + DeQb )eik (๐›ผ +b) (19)

Ik ( A e ik ๐›ผ โ€“ Be-ik ๐›ผ ) = Q ( Ce- Qb โ€“De Qb ) eik (๐›ผ + b ) ( 20)

Pada pertanyaan (17) ke (20) memiliki solusi hanya jika determinan koefisien dari A, B, C, D menghasilkan

[(Q2-K2)/2QK ] sin h Qb sin K ๐›ผ + cos h Qb cos k ๐›ผ = cos K (๐›ผ + b ) (21 a)

Hasil disederhanakan untuk mendapatkan persamaan ini. Hasilnya disederhanakan jika kita mewakili potensial oleh delta periodic Fungsi diperoleh ketika kita melewati batas b = 0 dan Uo

= โˆž sedemikian rupa bahwa Q2b ๐›ผ /2 = p, jumlah terbatas. Dalam batas ini Q > K dan Qb < 1. Kemudian (21a) tereduksi menjadi

( p/ K ๐›ผ) sin K๐›ผ + cos K๐›ผ = cos k ๐›ผ ( 21 b)

Kisaran K yang persamaan ini memiliki solusi lsa kembali diplot pada Gambar. 5,

untuk kasus P = 3 ๐œ‹/ 2. Nilai nilai yang sesuai pada energi diplot di Gambar. 6. Perhatikan celah energy pada batas. vector gelombang k dari Fungsi Bloch adalah indeks penting, bukan K di (12), yang terkait dengan energy oleh (13). Sebuah cara dalam masalah ini dalam ruang vector gelombang diberikan kemudian dalam bab ini.

Model Kronig-Penney di Ruang timbal balik

Sebagai contoh penggunaan persamaan (31) untuk masalah yang sama dipecahkan, digunakan model Kronig-Penney dari periodik fungsi delta potensial:

Page 3: Model Kronig Penney

U(x) 2 โˆ‘G>OUG cos Gx = A ๐›ผโˆ‘ฮด ( x - s ๐›ผ ) (33)

dimana A adalah konstan dan jarak kisi. Jumlah ini atas semua bilangan bulat s antara 0 dan l/a. Kondisi batas periodik satuan panjang, yang lebih dari atom l / 0. Dengan demikian koefisien Fourier dari potensialnya adalah :

UG = โˆซ0

1

dxU ( x )cosGx=A ฮฑโˆ‘ฮดโˆซ

0

1

dx ฮด(xโˆ’sa) (34)

Semua UG adalah sama untuk potensial fungsi delta. Ditulis persamaan pusat dengan k sebagai indeks Bloch. Jadi persamaan (31) Menjadi

(ฮป k - ฯต ) C ( k ) + A โˆ‘n

C (kโˆ’2ฯ€n /a) (35)

dimana ฮปk = ั’2k2/ 2m dan jumlahnya lebih dari semua bilangan bulat n, memecahkan Persamaan (35) untuk ฯต (k), didefinisikan sebagai berikut :

F( k) = โˆ‘n

C (kโˆ’2ฯ€n /a) (36)

Kemudian Persamaan 35 menjadi

C ( k ) = โˆ’(2m A /ั’2) f (k )ยฟ/ยฟ (37 )

Karena Persamaan (36) di atas semua koefisien C, yang dimiliki, untuk setiap n adalah

F ( k ) = f ( k โ€“ 2 ๐œ‹ n / a ) (38)

Hubungan ini memungkinkan bisa ditulis sebagai berikut :

C (( k โ€“ 2 ๐œ‹ n / aยฟ = - ( 2 m A/ ั’2 ) f ( k ) [ ( k - 2 ๐œ‹ n / a )2 - 2 mฯต /ั’2) ] -1 ( 39 )

Jumlah sisi atas segala n untuk mendapatkannya, menggunakan Persamaan (36) dan membatalkan f (k) dari kedua belah pihak,

ยฟยฟ / 2 m A ) = - โˆ‘n

ยฟยฟ/ ฮฑ )2 โ€“ (2 mฯต /ั’2) ] -1 (40)

Jumlah tersebut dapat dilakukan dengan bantuan hubungan standar yaitu sebagai berikut :

Etn x = โˆ‘n

1nฯ€+x (41)

Setelah manipulasi trigonometri di mana kita menggunakan hubungan untuk perbedaan

dua cotangents dan produk dari dua sinus, jumlah dalam Persamaan (40) menjadi

Page 4: Model Kronig Penney

a sin ka4 kaยฟยฟ

(42)

di mana ditulis k2 = 2 m ฯต / ั’2, seperti pada Persamaan (13). Hasil akhir untuk Persamaan (40) adalah sebagai berikut :

( m Aa2/ 2 ั’2 ) ( ka ) -1 sin ka + cos k a = cos ka ( 43)

yang setuju dengan hasil Kronig-Penney (21b) dengan P ditulis untuk m A๐›ผ2 / 2 ั’2


Top Related