Download - Mf113 kalkulus
KALKULUS
POLITEKNIK TELKOM
BANDUNG
2009
Penyusun
Teten Kustendi, Hanung N P, Heru Nugroho, Gelar Budiman
Editor
Agus Pratondo
Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik
sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara
apapun tanpa izin tertulis dari Politeknik Telkom.
Hak cipta dilindungi undang-undang @ Politeknik Telkom 2009
No part of this document may be copied, reproduced, printed,
distributed, modified, removed and amended in any form by any means
without prior written authorization of Telkom Polytechnic.
Politeknik Telkom Kalkulus
Kalkulus iii PAGE 10
Kata Pengantar
Assalamu’alaikum Wr. Wb
Segala puji bagi Allah SWT karena dengan karunia-Nya
courseware ini dapat diselesaikan.
Atas nama Politeknik Telkom, kami sangat menghargai dan ingin
menyampaikan terima kasih kepada penulis, penerjemah dan
penyunting yang telah memberikan tenaga, pikiran, dan waktu
sehingga courseware ini dapat tersusun.
Tak ada gading yang tak retak, di dunia ini tidak ada yang
sempurna, oleh karena itu kami harapkan para pengguna buku
ini dapat memberikan masukan perbaikan demi pengembangan
selanjutnya.
Semoga courseware ini dapat memberikan manfaat dan
membantu seluruh Sivitas Akademika Politeknik Telkom dalam
memahami dan mengikuti materi perkuliahan di Politeknik
Telkom.
Amin.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Bandung, Agustus 2009
Politeknik Telkom Kalkulus
iv Kalkulus PAGE 10
Christanto Triwibisono
Wakil Direktur I
Bidang Akademik & Pengembangan
Politeknik Telkom Kalkulus
Kalkulus v PAGE 10
Daftar Isi
Kata Pengantar .......................................................................... iii Daftar Isi ..................................................................................... v 1 Pendahuluan...................................................................... 1 1.1 Sistem Bilangan Riil .................................................................................. 3 1.1.1 Bilangan Asli ............................................................................................... 3 1.1.2 Bilangan Bulat ............................................................................................ 3 1.1.3 Bilangan pecahan...................................................................................... 4 1.1.4 Bilangan Rasional ...................................................................................... 4 1.1.5 Bilangan Irrasional .................................................................................... 5 1.1.6 Bilangan Riil ................................................................................................ 6 1.2 Garis Bilangan Riil ..................................................................................... 7 1.3 Operasi Pada Bilangan Riil ..................................................................... 7 1.3.1 Sifat – Sifat Medan.................................................................................... 7 1.3.2 Sifat – Sifat Urutan .................................................................................... 8 1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar.............................................................. 8 1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran................. 9 1.6 Interval (Selang) ......................................................................................... 9 2 Persamaan dan Pertidaksamaan ...................................... 16 2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat.............................. 17 2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat ................... 23 2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak .......................................................... 45 (6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus : .......... 48 2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak ........................ 52 3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS........................................ 60 Definisi Koordinat Kartesius............................................................................. 61 4 Vektor di Bidang dan di Ruang ........................................ 91 4.1. Pengertian skalar dan vektor ................................................................. 93 4.2. Operasi pada Vektor .............................................................................. 94 5 Matriks ...........................................................................116 SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE ........................................121 6 FUNGSI ...........................................................................157
Politeknik Telkom Kalkulus
vi Kalkulus PAGE 10
6.1 Definisi Fungsi ........................................................................................158 6.2 Menyatkan Fungsi .................................................................................159 6.3 Nilai Fungsi..............................................................................................159 6.4 Daerah Asal, dan Daerah Hasil .........................................................160 6.5 Jenis-Jenis Fungsi..................................................................................163 6.5.1 Fungsi Konstan ......................................................................................163 6.5.2 Fungsi Identitas .....................................................................................163 6.5.3 Fungsi Polinom ......................................................................................164 6.5.4 Fungsi linear............................................................................................165 6.5.5 Fungsi Kuadrat .......................................................................................166 6.5.6 Fungsi Nilai Mutlak (Modulus) ..........................................................166 6.5.7 Fungsi Tangga........................................................................................167 6.5.8 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil .......................................................169 6.6 Operasi Aljabar Pada Fungsi .............................................................171 6.7 Komposisi Fungsi ..................................................................................173 6.8 Invers Fungsi...........................................................................................174 6.9 Menyelesaikan Soal dengan Matcad ..............................................177 7 Limit dan Kekontinuan ...................................................183 7.1 Definisi Limit Fungsi .............................................................................185 7.2 Limit Sepihak ..........................................................................................186 7.3 Teorema-Teorema dalam Limit ........................................................186 7.4 Pemecahan Soal Limit .........................................................................187 7.5 Limit Takhingga .....................................................................................192 7.6 Limit di Tak Hingga ..............................................................................195 7.7 Limit Fungsi Trigonometri ..................................................................198 7.8 Kekontinuan Fungsi ..............................................................................199 7.9 Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad ................................205 8 TURUNAN FUNGSI..........................................................211 8.1 Definisi Turunan di Satu Titik ............................................................213 8.2 Turunan Sepihak....................................................................................215 8.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan...............................................216 8.4 Turunan Fungsi Pada Suatu Interval ...............................................217 8.5 Rumus-Rumus Dasar Turunan ..........................................................218 8.6 Aturan Untuk Menentukan Turunan...............................................221
Politeknik Telkom Kalkulus
Kalkulus vii PAGE 10
8.7 Turunan Tingkat Tinggi .......................................................................226 8.8 Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad .........................228 9. Penggunaan Turunan .....................................................234 10. Integral Tak Tentu ..........................................................254 10.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN ..................255 10.3 METODE INTEGRASI ..............................................................................257 11. Integral Tentu .................................................................271 12. Penggunaan Integral ......................................................289 Daftar Pustaka ........................................................................... vi
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 1
1 Pendahuluan
Overview
Pada bab ini akan dijelaskan tentang sistem bilangan real yang mana
merupakan bahan utama untuk materi kalkulus. Bab ini diawali
dengan menjelaskan jenis-jenis dari bilangan real yang dilengkapi
dengan struktur pohon bilangan real. Berikutnya akan dijelaskan
tentang garis bilangan, menggambar interval (selang), operasi
himpunan pada interval, dan akan diberikan rumus-rumus dasar
operasi aljabar untuk bilangan real.
Tujuan
1. Memahami sistem bilangan real dan jenis-jenis serta ciri-cirinya.
2. Memahami struktur sistem bilangan real secara diagram.
3. Memahami definisi interval (selang) dan mampu menggambar
berbagai jenis interval.
4. Mahir melakukan operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi
minus pada interval (selang).
Politeknik Telkom Kalkulus
2 Pendahuluan PAGE 10
5. Mahir dalam menggunakan rumus-rumus dasar aljabar.
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 3
1.1 Sistem Bilangan Riil
Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep
tentang himpunan. Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur yang
berbeda. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S.
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong,
ditulis dengan notasi atau { }.
Jika a merupakan anggota himpunan S, maka dituliskan a S
dan dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka
dituliskan a S dan dibaca “a bukan elemen S”.
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2
cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai
Contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9
dapat dinyatakan sebagai: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A
Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang
dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh
unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila
himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:
{ bilanganbulat positif kurangdari 10}A x x
1.1.1 Bilangan Asli
Bilangan asli adalah salah satu sistem bilangan yang paling sederhana,
anggota-anggotanya adalah: 1, 2, 3, 4, …… Himpunan bilangan asli
diberi nama N, jadi N = {1, 2, 3, 4, …………}.
1.1.2 Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol.
Bilangan bulat diberi lambang Z, jadi Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, 4,…}
Dengan kata lain, bilangan bulat terdiri atas : bilangan bulat negatif,
bilangan nol, dan bilangan bulat positif (Bilangan Asli)
Politeknik Telkom Kalkulus
4 Pendahuluan PAGE 10
1.1.3 Bilangan pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan-bilangan yang berbentuk m
n di
mana m dan n adalah bilangan bulat, dan m tidak habis dibagi n.
Bilangan pecahan diberi lambang C.
C = 8 3 5 182 1 15 7 53 9 6 2........, , , , , , , ,.......
1.1.4 Bilangan Rasional
Bilangan rasional terdiri atas bilangan-bilangan bulat dan bilangan-
bilangan pecahan. Definisi persis dari bilangan rasional adalah
sebagai berikut.
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bentuk a
b, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan 0b .
Contoh-1
Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai 12
2atau
30
5, dan
sebagainya.
Bilangan negatif -2 dapat dinyatakan sebagai 30
15atau
8
4
, dan
sebagainya.
Bilangan 0 dapat dinyatakan sebagai 0
2 atau
0
5, dan sebagainya.
Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanya desimal berulang. Sebagi
Contoh 3
7 merupakan bilangan rasional!
Karena 3/7 = 0,428571428571428571 ….
memiliki desimal berulang dengan pengulangan “428571”. Dengan
demikian dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan dengan desimal
berulang adalah bilangan rasional.
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 5
Contoh-2
Buktikan bahwa 0,753753753753…. Adalah rasional
Bukti
Misal x = 0,753753753753….
1000 x = 753,753753753…
1000 x – x = 753
999 x = 753
753
999x (terbukti)
Contoh-3
Buktikan bahwa 3,7561561561561….. adalah rasional
Bukti
Misal x = 3,7561561561561561…..
10000 x = 37561,561561561561…..
10 x = 37,561561561561…..
9990 x = 37424
jadi 37424
9990x (terbukti)
Bilangan Rasional kita nyatakan dengan Q .
1.1.5 Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukan rasional, persisnya
adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk a
b di
mana a dan b adalah bilangan bulat dan 0b .
Contoh-4
Politeknik Telkom Kalkulus
6 Pendahuluan PAGE 10
= 3,141592653358…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak
berulang)
e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidak beraturan/ tidak
berulang)
2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidak beraturan/tidak
berulang
Semua bilangan bentuk akar adalah irrasional. Bilangan Iraasional
kita nyatakan dengan I
1.1.6 Bilangan Riil
Bilangan riil adalah gabungan dari himpunan bilangan rasional dan
irrasional. Himpunan bilangan riil kita nyatakan dengan R
Kompleks
Riil Imajiner
RasionalIrrasional
PecahanBulat
NolBulat Negatif Bulat Positif
Komposit1 Prima
Gambar: Struktur Pohon Bilangan Riil
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 7
1.2 Garis Bilangan Riil
Suatu garis bilangan adalah suatu penyajian bilangan-bilangan
riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus. Untuk setiap
bilangan riil terdapat satu dan hanya satu titik, dan sebaliknya. Dengan
kata lain titik dan bilangan riil berkorespondensi satu-satu.
Cara menggambar garis bilangan (gambar – 2)
(1) Pilih sembarang titik pada suatu garis lurus sebagai titik asal beri
label 0 (nol).
(2) Pilih arah positif (umumnya ke kanan), dan ditunjukkan dengan
sebuah ujung panah, kemudian
(3) Dengan sembarang satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1
pada jarak satu satuan dari 0 ke arah kanan.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6
2 1,4142
2 1,4142 3,14159
2
1100
2,7182e
Gambar – 2 : Garis Bilangan
1.3 Operasi Pada Bilangan Riil
Dengan dua bilangan riil x dan y, kita dapat menambahkan atau
mengalikan keduanya untuk mendapatkan bilangan riil baru x y dan
x y. Sifat-Sifat penambahan dan pengalian pada bilangan riil dibagi
menjadi dua, yaitu sifat-sifat medan dan sifat – sifat urutan.
1.3.1 Sifat – Sifat Medan
a. Hukum komutatif x y y x dan x y y x
b. Hukum asosiatif ( ) ( )x y z x y z dan ( ) ( )x y z x y z
c. Hukum distributive ( )x y z x y x z
d. Elemen-elemen identitas : Terdapat dua bilangan riil 0 dan 1
yang memenuhi 0 0x dan 1x x
Politeknik Telkom Kalkulus
8 Pendahuluan PAGE 10
e. Balikan (invers) : setiap bilangan riil x mempunyai balikan
penjumlahan (balikan aditif) atau disebut juga sebuah negatif yaitu
– x yang memenuhi ( ) 0x x
Juga setiap bilangan riil x kecuali 0 (nol), mempunyai balikan
perkalian
(atau kebalikan) x-1 yang memenuhi 1 1x x
1.3.2 Sifat – Sifat Urutan
a. Trikotomi : Jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka salah
satu harus berlaku x < y atau x = y atau x > y
b. Ketrasitifan : Jika x < y dan y < z maka x < z
c. Penambahan : x < y x + z < y + z
d. Perkalian : Jika z > 0 dan x > y xz > yz
Jika z < 0 dan x > y xz < yz
1.4 Rumus – Rumus Dasar Aljabar
Untuk setiap bilangan real a, b, c, dan d berlaku :
1. &a b a c b c ac bc
2. a c b c a b
3. 0 ac bc dan c a b
4. ( )a a
5. ( )a b c ab ac
6. 0 0 0a a
7. ( ) ; ( )a b ab b b
8. ( )( )a b ab
9. ; 0, 0a c
ad bc b db d
10. ; 0a c a c
bb b b
11. ; 0, 0a c ad bc ad bc
b db d bd bd bd
12. ; 0, 0a c ad bc ad bc
b db d bd bd bd
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 9
13. ; 0, 0a c ac
b db d bd
14. ; 0, 0a c a d ad
b cb d b c bc
15. 0 0 atau 0ab a b
1.5 Rumus – Rumus Perkalian Istimewa dan Pemfaktoran
Berikut beberapa rumus perkalian istimewa dan pemfaktoran yang
dapat membantu untuk mengerjakan soal-soal.
1. 2 2 2( ) 2 x y x xy y
2. 2 2 2( ) 2 x y x xy y
3. 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y xy y
4. 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y xy y
5. 2 2 ( )( ) x y x y x y
6. 2 2 2( ) 2 x y x y xy
7. 3 3 2 2( )( ) x y x y x xy y
1.6 Interval (Selang)
Interval atau selang adalah suatu himpunan bagian tidak kosong dari
himpunan bilangan riil R yang memenuhi suatu ketidaksamaan
tertentu
Jika digambarkan pada garis bilangan (garis riil), maka interval akan
berupa suatu segmen garis (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.
Ada dua jenis selang, yaitu selang berhingga dan selang tak berhingga.
Politeknik Telkom Kalkulus
10 Pendahuluan PAGE 10
Selang Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Selang Grafik
1 |x a x b
,a b a b
2 |x a x b
,a b a b
3 |x a x b
,a b a b
4 |x a x b
,a b a b
Selang Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Selang Grafik
1 |x x a ,a
a
2 |x x a [ , )a
a
3 |x x b , b
b
4 |x x b , b
b
Contoh-5 : Menggambar Selang
1. 2 4x
2. -1,5 4,7x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 11
3. 2 x
4. 3,5x
5. 2 3 6 x atau x
6. 5 2 4 7 x atau x
7. 5 x 2 atau 0 x 2 atau x 4
I.7 Operasi Himpunan Pada Himpunan Bilangan Real
Operasi (Union), operasi (irisan), dan operasi minus (-) adalah
operasi-operasi pada himpunan yang sering digunakan pada saat kita
menyelesaikan suatu pertidaksamaan.
Operasi-operasi tersebut didefinisikan sebagai berikut
A B = { x | xA atau xB }
A B = { x | xA dan xB }
A - B = { x | xA dan xB }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Politeknik Telkom Kalkulus
12 Pendahuluan PAGE 10
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 13
Contoh-6 : Penggunaan Operasi himpunan
Diketahui A = {x | x < -4 atau 1 x < 5 }
B = {x | -2 x < 2 atau x 3 }
C = {x | x < -3 atau -2 x < 4 }
a. Gambarkan interval-interval tersebut
b. Tentukanlah operasi-Operasi berikut
A B, A B, A – B , B – A, (A - B) (B - A)
Jawab
A
B
C
A B = { x | x < -4 atau x -2 }
A B = { x | 1 x < 2 atau 3 < x < 4 }
A - B = { x | x < -4 atau 2 x 3 }
B - A = { x | -2 x < 1 atau x 4 }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Politeknik Telkom Kalkulus
14 Pendahuluan PAGE 10
(A - B) (B - A) = { x | x < -4 V -2 x < 1 V 2 x 3 V x 4 }
Rangkuman
1. Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda
2. Himpunan Bilangan Asli N={1, 2, 3, 4, ....}
3. Himpunan Bilangan Bulat Z={......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, .......}
4. Himpunan Bilangan Bulat Positif (Asli) A = {1, 2, 3, 4, .......}
5. Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bentuk a/b di mana a dan b bilangan bulat dan b 0
6. Ciri lain dari bilangan rasional adalah bentuk desimal berulang
misal 2,31456456456456456 ......
7. Bilangan irrasional adalah bilangan riil selain bilangan rasional,
misal e = 2,7182818285……, = 3,1415926536,
2 = 1,414113562373………
8. Tiga operasi Himpunan yang sering digunakan pada saat
menyelesaikan pertidaksamaan adalah:
A B = { x | xA atau xB }
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Politeknik Telkom Kalkulus
Pendahuluan 15
A B = { x | xA dan xB }
A - B = { x | xA dan xB }
Politeknik Telkom Kalkulus
16 Persamaan dan Pertidaksamaan
2 Persamaan dan Pertidaksamaan
Overview
Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu hal yang sangat
fundamental dalam matematika. Sangatlah kecil kemungkinannya
pertidaksamaan dapat diselesaikan jika tidak bisa menyelesaikan
persamaan. Sehingga mutlak menyelesaikan persamaan merupakan
syarat sebelum dapat menyelesaikan pertidaksamaan.
Tujuan
1. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan satu
variabel
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan linier dengan dua
variabel
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
satu variabel
4. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan linier dengan
satu variabel
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
dengan satu variabel
6. Mahasiswa memahami penggunaan nilai mutlak
7. Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan dan
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 17
pertidaksamaan dengan nilai mutlak
8. Mahasiswa mampu menggunakan Mathcad untuk melakukan
perhitungan penyelesaian soal pada bab ini.
2.1 Menyelesaikan Persamaan Linier dan Kuadrat
Menyelesaikan persamaan linier pada dasarnya hanyalah
memindahkan variabel yang dicari nilainya ke ruas kiri sendirian,
sehingga di ruas kanan hanya ada bilangan-bilangan konstanta yang
tinggal dilakukan operasi matematika untuk mencari hasil akhirnya,
dengan demikian dapat diketahui nilai dari variabel tersebut.
Contoh 1 :
Selesaikan persamaan berikut : 3 3 4x x
Penyelesaian :
3 3 4
2 7
7
2
x x
x
x
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat diperlukan sedikit
kejelian dalam mencari akar-akarnya. Ada beberapa cara penyelesaian
persamaan kuadrat, mulai dengan pemfaktoran dan rumus. Yang
memerlukan kejelian adalah pemfaktoran, sementara rumus hanya
perlu dihapalkan.
Contoh 2 :
Selesaikan persamaan berikut : 2 3 10 0x x
Pindahkan semua variabel x ke ruas kiri
dan pindahkan semua angka ke ruas
kanan
Politeknik Telkom Kalkulus
18 Persamaan dan Pertidaksamaan
Penyelesaian :
Cara pemfaktoran
2 3 10 0x x ,
Maka 10pq dan 3p q
Kemungkinan nilai p dan q :
p q pq p+q
-1 10 -10 9
-2 5 -10 3
-5 2 -10 -3
-10 1 -10 -9
Maka nilai p=-5 dan q=2 karena memenuhi kriteria diatas, selanjutnya : 2
2
1 1
2 2
10 0
5 2 10 0
( 5) 2( 5) 0
( 2)( 5) 0
2 0, maka 2
5 0, maka 5
x px qx
x x x
x x x
x x
x x
x x
Dengan demikian Himpunan penyelesaian :
HP : 1 2| 2, 5x x x
Tabel diatas tidaklah perlu dibuat jika perhitungannya dilakukan
langsung oleh kepala kita, disitulah gunanya kejelian untuk
memfaktorkan persamaan kuadrat.
Cara rumus
Jika diketahui persamaan 2 0ax bx c , cari bilangan p
dan q sedemikian sehingga pq ac dan p q b , setelah p
dan q ditemukan maka persamaan akan menjadi 2 0ax px qx c sehingga tinggal difaktorkan.
Jika diketahui persamaan 2 0ax bx c , maka
12x dapat
dicari dengan rumus abc berikut :
2
12 , dimana : 42
b Dx D b ac
a
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 19
2 3 10 0x x ,
Maka 1, 3, 10a b c ,
2
12
2
12
12
4
2
( 3) ( 3) 4.1.( 10)
2.1
3 7
2
b b acx
a
x
x
Sehingga : 1
2
3 72
2
3 75
2
x
x
Dengan demikian HP : 1 2| 2, 5x x x
Hasil akhirnya sama dengan cara sebelumnya.
Dalam rumus abc diatas tampak D, yang merupakan nilai Diskriminan
dari persamaan kuadrat tersebut. Ada 3 kemungkinan nilai D :
D>0 D=0 D<0
Ada 2 nilai x yang
real
Hanya ada satu nilai x
yang real
Tidak ada nilai x
yang real
Menyelesaikan persamaan dengan Mathcad
1. Bukalah Mathcad
Politeknik Telkom Kalkulus
20 Persamaan dan Pertidaksamaan
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 21
2. Dalam Mathcad, dalam menu klik view toolbars Math, maka
akan tampil toolbar berikut :
3. Pada toolbar Math klik icon Boolean toolbar dan icon Symbolic
keyword Toolbar
Politeknik Telkom Kalkulus
22 Persamaan dan Pertidaksamaan
4. Mulailah mengetikkan persamaan, tanda = diambil dari toolbar
Boolean
5. Dari toolbar symbolic klik solve, kemudian ketikkan variabel yang
dicari, x, dan tekan enter. Maka akan terlihat hasilnya berikut :
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 23
2
5
yang ditunjukkan adalah hasilnya dimana : 1 2x dan
2 5x .
2.2 Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat
Menyelesaikan suatu pertaksamaan adalah mencari semua
himpunan bilangan riil yang membuat pertaksamaan berlaku. Pada
kenyataannya, di dalam menyelesaikan suatu pertaksamaan sering
dihadapkan pada operasi himpunan khususnya gabungan (∪) dan
irisan (∩). Untuk itu kita bahas kembali mengenai operasi pada
himpunan dengan beberapa Contoh yang mewakili.
Operasi Pada Himpunan
JIka A dan B adalah himpunan-himpunan maka :
1. A U B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
2. A B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
3. A – B = { x | x ∈ A dan x B }
4. A + B = (A U B) – (A ⋂ B)
Politeknik Telkom Kalkulus
24 Persamaan dan Pertidaksamaan
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 25
Contoh 1 :
Jika A = { x | -4 ≤ x <6 } dan B = { x| x < -2 atau x ≥ 4}
Tentukan : a). A B b). A B c). A – B d). B–A
e). A+B
Penyelesaian :
Himpunan A dan B dapat digambarkan pada garis bilangan berikut :
-2-4 4 6
A
B
a) A U B = {x | x ∈ R } = (-∞,∞) = R
b) A B = {x | -4 ≤ x < -2 atau 4 ≤ x < 6 } = [-4,-2) [4,6)
c) A–B = {x | -2 ≤ x < 4} = [-2,4)
d) B–A={x | x < -4 atau x ≥ 6 } = (-∞,-4) U [6,∞)
e) A+B={x | x < -4 atau x ≥ 6 atau -2 ≤ x < 4}
= (-∞,-4) U [6,∞) U[-2,4)
Contoh 2 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan 2x – 7 <
5 – 4x !
Penyelesaian :
2x – 7 < 5 – 4x
2x + 4x < 5 + 7
6x < 12
x < 2
Jadi himpunan penyelesaiannya : HP : {xl x <2} = (-∞,2)
Politeknik Telkom Kalkulus
26 Persamaan dan Pertidaksamaan
2
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 27
Contoh 3 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x + 4 ≤
3x – 8 < 2x + 5 !
Penyelesaian :
x + 4 ≤ 3x – 8 < 2x + 5
x+4 ≤ 3x-8 dan 3x-8 < 2x+5
-2x≤-12 dan x < 13
12
2x
dan x < 13
x ≥ 6 dan x < 13
HP = {x |x ≥6 dan x < 13} = {x| 6≤x<13} = [6, ∞) (-∞,13)= [6,13)
6 13
Contoh 4 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 7x
+ 10 <0 !
Penyelesaian :
1. Tentukan pembuat nol ruas kiri, didapat x=2 atau x=5
x2 – 7x + 10 <0 (x - 2) (x - 5) < 0 …………(*)
2. Gambarkan pada garis bilangan, sehingga terbentuk beberapa
selang (yaitu x < 2,2 < x <5, dan x>5)
3. Tentukan tanda pada masing-masing interval (selang) dengan
cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu
wakil), misal kita ambil : x=0; x=3; dan x = 6.
x = 0 (x - 2)(x - 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)
Maka pada selang x <2 beri tanda (+)
x = 3 (x - 2)(x - 5)= (1) (-2) = -2 < 0 (negatif)
Maka pada selang 2<x <5 beri tanda (-)
x = 0 (x - 2) (x - 5) = (4) (1) = 4 >0 (positif)
Politeknik Telkom Kalkulus
28 Persamaan dan Pertidaksamaan
Maka pada selang x>5 beri tanda (+) sehingga diperoleh gambar :
2 5
++++ ++++ - - - --
Sekarang perhatikan gambar pertidaksamaan (*) yaitu < 0, atau negatif
(-).
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah interval yang bertanda (-) yaitu
:
HP = {xl 2 < x < 5} = (2,5)
Contoh 5 :
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 9
≥ 0 !
Penyelesaian :
x2 – 9 ≥ 0 (x + 3) (x - 3) ≥ 0
Pembuat nol persamaan : x = -3 dan x = 3
Uji untuk x<-3, misal x=-4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)
Uji untuk -3<x<3, misal x=0, maka (x+3)(x-3)<0 (-)
Uji untuk x>3, misal x=4, maka (x+3)(x-3)>0 (+)
Sehingga garis bilangannya menjadi seperti di bawah :
-3 3
++++ ++++- - - --
Karena bagian yang dicari adalah bagian yang lebih besar sama
dengan 0, maka bagian penyelesaiannya adalah daserah positif,
sehingga : HP={x|x≤3 atau x≥-3}
Contoh 6 :
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 29
-5 4
++++ ++++ - - - --
HP2
-3 2
++++ ++++ - - - --
HP1
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan :
2x-1 ≤ x-1 < 3x+2
Penyelesaian :
Pertidaksamaan diatas dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan
berikut :
2x–1 ≤ x – 1 dan x-1 < 3x+2
2x-x-1+1 ≤ 0 dan x-3x-1-2 <0
x≤0 dan -2x-3-1-2 < 0
x≤0 dan -2x-3 < 0
x≤0 dan 2x+3 > 0
x≤0 dan 2x > -3
x ≤ 0 dan x > -3/2
maka HP : { x|x≤0 dan x > -3/2 } atau
HP : { x|-3/2 < x ≤ 0 }
Contoh 7 :
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :
6 ≤ x² + x < 20
Penyelesaian :
6 ≤ x² + x dan x² + x < 20
0 ≤ x² -x -6 dan x² + x -20 < 0
x² + x -6 ≥ 0 dan x² + x -20 < 0
(x + 3)(x -2) ≥ 0 dan (x+5)(x-4) < 0
HP1=(-∞,-3]U[2,∞) dan HP2=(-5,4)
HPtot = HP1 ∩ HP2 = (-∞,-3]U[2,∞)∩(-5,4)
Politeknik Telkom Kalkulus
30 Persamaan dan Pertidaksamaan
-5 1/2
++++ ++++ - - - --
HP
-3-5 2 4
HPtot
Maka berdasarkan garis bilangan tersebut : HPtot=(-5,-3] U [2,4)
Contoh 8
Carilah himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut :
2x² + 9x – 5 < 0
Penyelesaian :
1. Faktorkan dulu 2x² + 9x – 5, cari p dan q sedemikian sehingga
p + q = 9 dan pq = -10
Maka didapat p = 10 q = -1
Sehingga 9x dapat diperoleh menjadi 10x – x = px + qx
2x² + 9x – 5 < 0
2x² + 10x –x -5 < 0
( 2x² + 10 ) – (x + 5 ) < 0
2x(x + 5 ) - ( x + 5 ) < 0
(2x - 1 ) ( x + 5 ) < 0
2. Gunakan garis bilangan untuk menentukan daerah Hp dari x.
Cek x = 0
maka : Hp = { x | -5 < x < ½ }
Hp = ( -5, ½ )
Contoh 9
Carilah himpunan penyelasaian dari
2 10
5
x
x
Penyelesaian :
Gunakan garis bilangan untuk mengecek Hp dari x dan penyebut tidak
boleh nol. Dan cek x = 0.
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 31
-5 1/2
++++ ++++ - - - --
HP
-5 1/2
++++ ++++ - - - --
HP
Maka : Hp : {x | -5< x < 1/2 }
Hp : { -5, ½ }
Bandingkan dengan Contoh 8!
Contoh 10
Carilah himpunan penyelesaian dari
2 10
5
x
x
Penyelesaian :
Cek x = 0
Karena penyebut tidak boleh nol,maka
x + 5 ≠ 0
x ≠ -5
Maka Hp : { x | -5 < x ≤ ½ }
Hp : {-5,1/2 }
Bandingkan dengan Contoh 8 dan 9 !
Contoh 11
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
x²(x-6)(x+3)(x-2)³≤ 0
Penyelesaian :
1. Buatlah garis bilangan dan tempatkanlah pembuat nol
2. Uji nilai x di setiap selangnya dan berilah tanda
3. Himpunan penyelesaiannya berada pada tanda sesuai
pertidaksamaan
Politeknik Telkom Kalkulus
32 Persamaan dan Pertidaksamaan
1.
2. Uji nilai x di selang x < -3,misal x = -4,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(-)(-) = (-)
Uji nilai x di selang -3 < x < 0,misal x = -1,maka
x² (x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)
Uji nilai x di selang 0 < x < 2,misal x = 1,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(-) = (+)
Uji nilai x di selang 2 < x < 6,misal x=3,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)³ = (+)(-)(+)(+)=(-)
Uji nilai x di selang x>6,misal x=7,maka
x²(x-6)(x+3)(x-2)² = (+)(+)(+)(+) = (+)
maka garis bilangannya akan menjadi sebagai beriku
3. Hp : { x | x ≤ -3 atau 2 ≤ x ≤ 6 }
Hp : {-∞ -3] atau [2, 6]
Contoh 12
Carilah himpunan penyelesaian 2
3
( 6)0
( 3)( 2)
x x
x x
Penyelesaian :
Sama dengan Contoh
3 0 62
x x x x
x x x x
-3 0 2 6
- - - - + + + + - - - - - + + + +
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 33
o x o x
-3 0 2 6
penyebut
penyebut3 0
3
x
x
2 0
2
x
x
Uji nilai x di selang x <-3 ; 2
3
( 6) ( )( )( )
( 3)( 2) ( )( )
x x
x x
Uji nilai x di selang -3 < x <0 ; 2
3
( 6) ( )( )( )
( 3)( 2) ( )( )
x x
x x
Uji nilai x diselang 0 < x < 2 ; 2
3
( 6) ( )( )( )
( 6)( 3) ( )( )
x x
x x
Uji nilai x diselang 2 < x < 6; 2
3
( 6) ( )( )( )
( 6)( 3) ( )( )
x x
x x
Maka garis bilangannya akan menjadi seperti berikut
o x o x
+ + + + - - - - + + + +
-3 0 2 6
Sehingga Hp = { x | x < -3 atau 2 < x ≤ 6}
Hp = (-∞, -3) atau (2, 6]
Bandingkan dengan Contoh 11 !
Politeknik Telkom Kalkulus
34 Persamaan dan Pertidaksamaan
Contoh 13
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
-5 < x4 –x² - 5 < 1
Penyelesaian :
Seperti Contoh 7, kita pecah pertidaksamaan tersebut menjadi dua
pertidaksamaan, namun kita misalkan y = x², maka pertidaksamaan itu
menjadi : -5 < y²-y-5 < 1
-5<y²-y-5< dan y²-y-5<1
y²-y>0 dan y²-y-6<0
y(y-1)>0 dan (y-3)(y+2)<0
o o o o1 -2
- - - + + + + + - - -dan
Y< 0 atau y > 1 dan -2 < y < 3
0 0 0 0
-2 0 1 3
Maka ; -2 < y < 0 atau 1< y < 3
Dari pertidaksamaan terakhir,kita dapat mensubstitusikan kembali y
dengan x²,maka :
-2 < x² < 0 atau 1 < x² < 3
x² + 2 > 0 dan x²<0 atau x²-1 > 0 dan x² - 3 < 0
Kondisi 1 x² + 2 > 0
x² = 2 tidak dapat difaktorkan, maka tinggal uji coba saja x dengan
semua bilangan, diperoleh bahwa x² + 2 > 0,diperoleh
Hp : {x | x ϵ ℝ }
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 35
Kondisi 2 x² < 0
Uji x² dengan bilangan real apapun,maka pertidaksamaan ini tidak
pernah akan terpenuhi sehingga Hp : {x | x = ϕ} (himpunan kosong)
akibatnya dari kondisi 1 dan kondisi 2 diperoleh
Hptot1 : {x | x ϵ ℝ dan x = ∅} = Hp1 ∩ Hp2
Hptot2 : {x | x = ∅} (himpunan kosong)
Kondisi 3 x² - 1 > 0
(x-1)(x+1)>0
o o
-1 1
+ + + + - - - -
Hp3 : { x | x < -1 atau x > 1 }
Kondisi 4 x²-3<0 (x-√3)(x+√3)<0
O O
- - - - + + + ++ + + +
-v3 v3
Hp4 : {x | -√3 < x < √3}
Maka : Hptot2 = Hp3 ∩ Hp4
={x| -√3 < x < -1 atau 1 < x < √3 }
O O O O
-3 -1 1 V3
Hptot = Hptot1 ∪ Hptot2 = ∅ ∪(-√3,-1)∪(1,√3)
=(-√3,-1) ∪(1,√3)
Politeknik Telkom Kalkulus
36 Persamaan dan Pertidaksamaan
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 37
Contoh 14
Carilah himpunanpenyelesaian dari pertidaksamaan
6/x – 5 ≤ -x
Penyelesaian :
1. Buat ruas kanan 0
2. seluruh komponen di ruas kiri sampai diperoleh hanya pembilang
dan penyebut saja
3. Penyebut tidak boleh nol dan faktorkan pembilang dan penyebut
4. Buat garis bilangan dan pembuat nol
5. Uji setiap selang dari garis bilangan tersebut
6. Hitinglah himpunan penyelesaiannya
1. 6
5 0xx
2. 26 5
0x x
x
3. ( 2)( 3)
0, 0x x
xx
4.
5. Untuk x < 0 ; ( 2)( 3) ( )( )
( )( )
x x
x
Untuk 0 < x<-2 ; ( 1)( 3) ( )( )
( )( )
x x
x
Untuk 2<x<3 ; ( 2)( 3) ( )( )
( )( )
x x
x
Untuk x>3 ; ( 2)( 3) ( )( )
( )3 ( )
x x
Maka garis bilangannya akan menjadi
o x x
0 -2 3
Politeknik Telkom Kalkulus
38 Persamaan dan Pertidaksamaan
o x x
0 2 3
+ + + + - - - - - - - - + + + +
6. Hp : { x | x ≤ 0 atau 2 ≤ x ≤ 3 }
Contoh 15
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
|x+1| < 4
Penyelesaian :
Cara 1 : Gambarkan definisi tanda mutlak :
|x| : +x, x ≥ 0
-x, x < 0
Maka :
untuk x ≥ 1 atau untuk x < 0
|x+1|< 4 atau -(x+1) < 4 |x-1
x+1< 4 atau x+1 > -4
x < 3 atau x >5
karena x ≥ 0, maka : Hp1 : {x| 0≤x<3} atau
karena x < 0,maka : Hp2 : {x|-5 < x< 0}
Hp tot : Hp1 atau Hp2 : Hp1∪ Hp2
: {x|-5 < x <3}
Cara 2 : Gunakan rumus |x² = x²
|x+1|<4 ; |x+1|²< 4²
((x+1)-4)((x+1)+4) < 0…………… ingat: a² - b² =(a-b)(a+b)
(x-3)(x+5)< 0
o o
-5 3
+ + + + - - - - + + + +
Maka : Hp : {x| -5<x<3}
Contoh 16
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 39
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
|x-2|< 3 |x+2|
Penyelesaian :
Agar tidak terlalu panjang, maka yang digunakan adalah
|x|² = x²,
maka :
|x-2|² < 3²|x+2|²
(x-2)² < 9 (x²+4x+4)
X²-4x-4 < 9x²+36x+36
0 < 8x²+ 40x+32
X²+5x+4 > 0
(x+1)(x+4) > 0
Hp : {x | x < -4 atau x > -1}
Contoh 17
Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut
3(x-1)² + 8|x-1| ≤ 3
Penyelesaian :
Ingat prinsip |x| = x, x > 0
-x, x < 0
|x-1| = x – 1, x ≥ 1
-(x-1), x ≤ 1
Untuk x ≥ 1
3(x-1)² + 8 (x-1) ≤ 3
3(x-1)² + 8(x-1)-3 ≤ 0
anggap : x-1= u,
maka :
3u²+8u-3 ≤ 0
3u² +9u-u-3≤ 0
3u(u+3) – (u+3) ≤ 0
(3u-1)(u+3) ≤ 0
Untuk x ≤ +1
3(x-1)²-8(x-1) ≤ 3
3(x-1)²-8(x-1)-3 ≤ 0
anggap x-1 = u, maka :
3u²-8u-3 ≤ 0
3u²-9u-u-3 ≤0
3u(u-3) + (u-3) ≤ 0
(3u+1)(u-1) ≤ 0
o o
-4 -1
- - - -+ + + + + + + +
Politeknik Telkom Kalkulus
40 Persamaan dan Pertidaksamaan
x x x x
-3 1/3 -1/3 3
+ + + + - - - - + + + + + + + + - - - - + + + +
Dari garis bilangan diatas
-3 ≤ u ≤ 1
3
Ganti kembali u dengan x-1
-3 ≤ x-1 ≤ 1
3
Tambahkan semua ruas dengan
x≥1
x≤1 - 3+1 ≤ x-1+1 ≤ 1
3+1
-2 ≤ x ≤ 4
3
Karena diatas sudah disyaratkan
x ≥ 1, maka
-2 ≤ x ≤4
3 harus diiriskan dengan
x ≥ 1
Dari garis bilangan diatas
1
3 ≤ u < 3
Ganti kembali u dengan x-1
1
3 + 1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1
Tambahkan semua ruas
dengan x≤1 -
-1
3+1 ≤ x-1+1 ≤ 3+1
2
3 ≤ x ≤ 4
Karena diatas sudah di
syaratkan x≤1
maka : 2
3≤ x ≤ 4 harus
diiriskan
Dengan x ≤ 1
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 41
x x x x x x
-2 1 4/3 2/3 1 4
Sehingga Hp1 {x|1 ≤ x ≤ 4
3}=[1,
4
3]
Sehingga Hp2 : {x| 2
3≤ x≤ 1} = [
2
3,1]
Dengan demikian
Hp tot = Hp1 ∪ Hp2 = [1,4
3] ∪ [
2
3,1]
Hp tot = [2
3,4
3]
Politeknik Telkom Kalkulus
42 Persamaan dan Pertidaksamaan
Contoh 18
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 4 2 0x x
Penyelesaian : 4 2 0x x 2 2( 1) 0x x
2( 1)( 1) 0x x x
++++++++++++++0 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 +++++++++++++++++
Contoh 19
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2
1xx .
Penyelesaian :
21x
x
x+1-2
0x
2 20
x x
x
0
0 1-2
++++++++++++++ +++++++++ - - - - - - - - - 0
+++++++++++++++++
Contoh 20
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 2 6x x .
Penyelesaian : 22 6x x 22 x x dan 2 6x x
2 2 0x x dan 2 6 0x x
( 1)( 2) 0x x dan ( 2)( 3) 0x x
( 1x atau 2)x dan ( 2 3)x
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 43
Himpunan jawab:
, 1 2, 2,3 2,1 2,3 .
-2 -1 2 1
Contoh 21
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 1
.2 3
x x
x x
Penyelesaian : 1
2 3
x x
x x
1
3 2
x x
x x
10
3 2
x x
x x
2 22 4 30
3 2
x x x x
x x
22 2 30
3 2
x x
x x
Karena faktor 22 2 3x x definit positif, maka pertaksamaan ini setara
dengan
10
3 2x x
Jadi himpunan pertaksamaan adalah selang 3,2 .
Contoh 22
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 3 111 ... 0.x x x x
Penyelesaian :
Misalkan 2 3 111 ... ,A x x x x maka 2 3 11 12... .Ax x x x x x
2 3 11 12...Ax x x x x x 2 3 111 ...A x x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
44 Persamaan dan Pertidaksamaan
______________________________ _ 12( 1) 1A x x
Ini mengakibatkan pertaksamaannya dapat ditulis dalam bentuk 12
2 3 11 11 ... 0.
1
xA x x x x
x
Tanda12 1:x
- - - - - - - - - - - - 0 0 +++++++++++++++++++++++++++
Tanda 1:x
0 ++++++++++++++++++- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1
Untuk 1x berlaku 12 1,x sehingga
12 1 0x .
Untuk 1 1x berlaku 12 1,x sehingga
12 1 0x
Untuk 1x berlaku 12 1x , sehingga
12 1 0x
Himpunan jawab pertaksamaan ini tercapai bila tanda
pembilang dan penyebut keduanya positif, atau keduanya positif, atau
keduanya negative, yang terjadi bila 1x .Jadi himpunan jawab
pertaksamaan 2 3 111 ... 0x x x x adalah selang 1, .
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan Mathcad
Dalam Mathcad ketiklah pertidaksamaan 1
2 3
x x
x x
,
Tanda ≥ diambil dari toolbar Boolean, pembagi diambil dari tanda /,
kemudian klik solve dan masukkan variabel x, akhiri dengan menekan
enter, maka akan muncul hasil berikut :
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 45
2.3 Teorema-teorema Nilai Mutlak
a. Nilai mutlak suatu bilangan real x dinyatakan oleh IxI,
didefinisikan sebagai:
Misalnya :
I7I = 7; I4I = 4; I0I = 0; I 2 – 5 I = I-5I = 5
x selalu positif atau nol , atau ditulis x ≥ 0
; jika 0
; jika 0
x x
x xx
Politeknik Telkom Kalkulus
46 Persamaan dan Pertidaksamaan
Q ( x2,0) 0 P ( x1,0)
O( 0,0)
x mendefinisikan suatu jarak antara x dengan titik asal
x a adalah jarak antara x dan a
b. Teorema Nilai Mutlak
(1.) Untuk setiap bilangan real x berlaku :
(2.) Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :
(3.) Misalkan a , maka :
(4.) Misalkan diberikan δ > 0, maka :
-2 -1 0 1 2 3 4 5
OA = 2 = 2 ; OB = 4 = 4
(a.) x ≥ 0 (b.)
0x x
(b.) =
(d.)
(a.) x a -a < x < a x2 = a2
(b.) x a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2
(a.) x a -a < x < a x2 = a2
(b.) x a x ≤ -a atau x ≥ a x2 ≥ a2
(a.) x < δ -δ < x < δ
(b.) x a < δ a – δ < x < a + δ
x a < δ memberikan arti bahwa selisih antara
x dan a kurang dari δ
Ix1I Ix2I
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 47
Politeknik Telkom Kalkulus
48 Persamaan dan Pertidaksamaan
(5.) Mengkuadratkan bentuknya, dengan rumus :
(6.) Menuliskan bentuknya tanpa nilai mutlak dengan rumus :
Contoh 1
Hitunglah 1x x dengan membongkar tanda mutlaknya !
Penyelesaian :
,
Ingat x a x a
x a x ax a
1, 1
( 1), 11 x x
x xx
maka 1 1, 1
1 2 1, 11 x x x
x x x xx x
(a). x a 2 2x a
2 2x a
(b). x a 2 2x a
2 2x a
(a). , jika
, jika
x a x a
a x x ax a
(b).
, jika
( ), jika
bax b x
ab
ax b xa
ax b
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 49
Contoh 2
Hitunglah 2x x dengan membongkar tanda mutlaknya !
Penyelesaian :
, 0
, 0
2 , 0
2 , 0
, 0
3 , 0
maka
2
x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
x x
, 0
, 0karena
3 , 0 dan 0 (1)
, 0 dan 0 (2)dan 3
3 , 0 dan 0 (3)
3 , 0 dan 0 (4)
x x
x xx
x x x
x x xx
x x x
x x x
Contoh 3
l 2x – 3l < 4
Penyelesaian :
l 2x – 3l < 4 -4 < 2x – 3 < 4
-4 + 3 < 2x < 4+3
-1 < 2x < 7
-1/2 < x < 7/2
HP = { x / -1/2 < x < 7/2 } = (-1/2, 7/2)
Contoh 4
l 5x + 1l ≥ 9
Penyelesaian :
l 5x + 1l ≥ 9 5x + 1 ≤ -9 atau 5x + 1 ≥ 9
5x ≤ -10 atau 5x ≥ 8
x ≤ -2 atau x ≥ 8/5
Uraikan / bongkar dulu tanda mutlak di bagian dalam, baru
kemudian di bagian luar
Politeknik Telkom Kalkulus
50 Persamaan dan Pertidaksamaan
HP = { x / x ≤ -2 atau x≥ 8/5 }
= (-∞ ,-2 ] U [ 8/5, ∞)
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 51
-13 2 1/5
Contoh 5
l 3x + 1l < 2 lx – 6l
Penyelesaian :
l 3x + 1l < 2 lx – 6l l 3x + 1l < l2x – 12l
(3x + 1)2 < (2x – 12)2
9x2 + 6x + 1 < 4x2 – 48x + 144
5x2 + 54x – 143 < 0
(5x - 11) (x + 13) < 0
Pembuat nol kiri x = 2 1/5 dan x = -13
HP = { x l -13 < x < 2 }
Contoh 6 : x l xl – x ≤ 6
Menurut definisi nilai mutlak lxl :
Ada dua kemungkinan yaitu untuk x < 0 atau x ≥ 0
Penyelesaian :
Selalu (+) untuk x € R
l x l = -x
X < 0 dan
X (-x) –x ≤ 6
-x2 –x ≤ 6
X2 + x +6 ≥ 0
l x l = x
X > 0 dan
X (x) –x ≤ -6
x2 –x -6 ≤ 0
(x+2) (x-3) ≤ 0
Politeknik Telkom Kalkulus
52 Persamaan dan Pertidaksamaan
HP1 = (x > 0 dan x € R) = (-∞,0) HP2= [0, ∞) n [-2,3] = [0,3]
HP = HP1 U HP2 = (-∞,0) U [0,3] = (-∞,3]
2.4 Pertidaksamaan yang Mengandung Nilai Mutlak
Proses penyelesaian pertaksamaan yang membuat nilai mutlak
adalah mengubah bentuk persamaan yang diketahui sehingga tidak
memuat nilai mutlak lagi, kemudian, selesaikan pertaksamaan yang
muncul pada setiap kasus. Untuk itu kita dapat menggunakan sifat nilai
mutlak berikut.
Jika 0,a maka 2 2.x a a x x x a
Jika 0,a maka x a x a atau 2 2x a x a
, bila
,bila
x a x ax a
a x x a
Catatan
Berdasarkan sifat pertama dan kedua, kita dapat mengkuadratkan
bentuk pertaksamaan dengan nilai mutlak bila syaratnya telah
dipenuhi. Untuk pertaksamaan yang memuat lebih dari satu bentuk
nilai mutlak, sifat ketiga digunakan pada garis bilangan.
Contoh 1
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 3 2 1x .
Penyelesaian
3 2 1x
3 2 1x atau 3 2 1x
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 53
3 1x atau 3 3x
1
3x atau 1x
Himpunan Jawab = 1
, 1, .3
Politeknik Telkom Kalkulus
54 Persamaan dan Pertidaksamaan
Contoh 2
Tentukan himpuinan jawab pertaksamaan 2 3 2x x
Penyelesaian :
2 3 2x x
2 2
2 3 2x x
2 24 12 9 4 4x x x x 23 16 5 0x x
3 1 5 0x x
15
3x
Himpunan jawab =1
5, .3
Contoh 3
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 22x x
Penyelesaian : 2 22x x
2
2 42x x
4 2 44 4x x x 24 4 0x
2 1 0x
1 1 0x x
1 1x
Himpunan jawab = 1,1
Contoh berikut memperlihatkan penyelesaian pertaksamaan nilai
mutlak dengan memanfaatkan garis bilangan.
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 55
Contoh 4
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2 1 2.x x
Penyelesaian :
Tuliskan pertaksamaannya tanpa bentuk mutlak dengan menggunakan
sifat
, bila 0
, bila 0
x xx
x x
dan
1,bila 11
1 ,bila 1
x xx
x x
Proses penyelesaian pada garis bilangan adalah sebagai berikut
0x 0 1x 1x
x x
1 1x x
Gantikan ke pertak-
samaannya
2 1 2x x
3 1 2x 1
3x
Himpunan Jawab=
1 1
,0 , ,0 .3 3
x x
1 1x x
Gantikan ke pertak-
samaannya
2 1 2x x
1 2x
1x
Himpunan jawab=
0.1 ,1 0,1 .
x x
1 1x x
Gantikan ke pertak-
samaannya
2 1 2x x
3 1 2x
3 3x
Himpunan jawab =
1, ,1 1 .
Perhatikan cara mencari himpunan jawab disetiap selang bagiannya,
hasil perhitungan pada penyelesaian pertaksamaan harus selalu
diiriskan dengan tempat berlakunya pertaksamaan tersebut. Disini
himpunan jawab pertama harus diiriskan dengan selang ,0 ,
himpunan jawab kedua dengan 0,1 ,dan himpunan jawab ketiga
dengan selang 1, .
Karena proses penyelesaian pertaksamaan ini terbagi atas tiga kasus
yang selang pemecahannya saling terasing, maka himpunan jawab
pertaksamaanya adalah gabungan dari ketiga himpunan jawab di atas.
Himpunan jawab = 1 1
,0 0,1 1 ,1 .3 3
Politeknik Telkom Kalkulus
56 Persamaan dan Pertidaksamaan
Catatan
Proses penyelesaian soal ini terbagi atas tiga kasus, diagram di atas
bermanfaat untuk melihat setiap kasus yang muncul secara
keseluruhan.
Pada Contoh berikut kita akan menyelesaikan pertaksamaan
yang berbentuk pecahan linear yang memuat nilai mutlak. Prosesnya
lebih cepat dengan cara mengkuadratkan kedua ruasnya, kemudian
menggunakan sifat-sifat aljabar elementer. Contoh lainnya adalah
tentang cara mencari batas sebuah bentuk pecahan dengan penyebut
definit positif jika rentang nilai peubah x diketahui.
Contoh 5
tentukan himpunan jawab pertaksamaan 2.
1 1
x x
x x
Penyelesaian :
Penyelesaian masalah ini dikerjakan dengan mengkuadratkan kedua
ruasnya, membuat ruas kannya nol, dan menggunakan rumus 2 2 ( )( ).a b a b a b
2
1 1
x x
x x
2 22
1 1
x x
x x
2 20
1 1 1 1
x x x x
x x x x
2 2 2 23 2 3 20
1 1 1 1
x x x x x x x x
x x x x
2
2 2
18 1
20
1 1
x x x
x x
.
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 57
Karena faktor 2 1 x x definit positif, maka bentuk ini setara dengan
2 2
1
2 01 1
x
x x
Tentukan himpunan jawab pertaksamaan ini dengan bantuan garis
bilangan.
11/2-1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ++++++++ +++++++++++++
Himpunan jawab = 1
,1 1, .2
Contoh 6
Jika 2,x buktikan 2
2
2 3 5.
2 4 3
x x
x x
Penyelesaian :
Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan
22 2 4 1 3 3,x x x Maka
2
1 1.
2 4 3x x
Ini mengakibatkan
2
2 2
2 2
2 3 1 12 3 2 3 .
2 4 2 4 3
x xx x x x
x x x x
Untuk 2,x kita akan menentukan batas dari 2 2 3 .x x Untuk ini,
tulislah 2 22 3 ( 1) 4,x x x
Kemudian gunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, mka diperoleh
hasil berikut.
2x
2 2x
3 1 1x
2
0 1 9x
Politeknik Telkom Kalkulus
58 Persamaan dan Pertidaksamaan
2
4 1 4 5x
25 4 2 3 5x x 2 2 3 5.x x
Dengan menggunakan hasil ini diperoleh
22
2
2 3 1 1 52 3 .5 ,
2 4 3 3 3
x xx x
x x
Sehingga terbuktilah yang diinginkan.
Rangkuman
8. Cara menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan cara
pemfaktoran dan cara rumus abc.
9. Rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah
2
12 , dimana : 42
b Dx D b ac
a
10. Ada 3 kemungkinan nilai D (Diskriminan), jika D>0, ada 2 nilai x
yang nyata, jika D=0,hanya ada satu nilai x yang nyata, dan jika
D<0 tidak ada nilai x yang nyata.
11. Definisi nilai mutlak : ; jika 0
; jika 0
x x
x xx
atau
, jika
, jika
x a x a
a x x ax a
12. x a adalah jarak antara x dan a.
13. Pertidaksamaan dalam nilai mutlak dapat diselesaikan dengan
membuka tanda mutlaknya dan mengkuadratkan masing-masing
ruas dengan kondisi tertentu.
Politeknik Telkom Kalkulus
Persamaan dan Pertidaksamaan 59
Politeknik Telkom Kalkulus
60 Sistem Koordinat
3 SISTEM KORDINAT KARTESIUS
Overview
Bab ini menjelaskan konsep dasar persamaan garis linier yang
berbasiskan sistem koordinat kartesius. Hal-hal terkait dengan bab ini
adalah panjang garis lurus, persamaan garis lurus, kaitan antar dua
garis, gradien suatu garis, gradien dua garis yang saling tegak lurus,
dan jarak titik ke garis.
Tujuan
1. Mahasiswa memahami sistem koordinat berbasis kartesius.
2. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung panjang ruas
garis lurus antara dua titik di luar kepala.
3. Mahasiswa memahami persamaan dasar garis lurus dan
menghitung gradiennya.
4. Mahasiswa memahami beberapa kaidah persamaan garis lurus
dan mampu menggunakannya dalam menyelesaikan soal.
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 61
5. Mahasiswa memahami kaitan antar dua garis.
6. Mahasiswa mampu memahami dan menghitung gradien dua
garis yang saling tegak lurus.
7. Mahasiswa memahami dan mampu menghitung jarak titik ke
suatu garis lurus.
Definisi Koordinat Kartesius
b
a
P(a,b)
0
Gambar 2.1 Koordinat Kartesius
Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis
horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak
lurus di titik O (titik asal). Kedua sumbu ini membagi bidang datar atas
4 bagian, yang dinamakan kuadran 1 sampai dengan kuadran 4, seperti
halnya dengan himpunan bilangan real dengan garis, disini terdapat
korespondensi satu-satu diantara setiap titik di bidang dengan
pasangan terurut 2 bilangan real. Jika garis vertikal dan horizontal
yang melalui titik sebarang P memotong sumbu x di a dan sumbu y di
b, maka koordinat titik P adalah (a, b), dan sebaliknya.
Perhatikan Gambar 2.1 yang memperlihatkan situasinya. Dalam hal ini a
dan b berturut-turut dinamakan absis (koordinat x) dan ordinat
(koordinat y) dari titik P. Sistem koordinat kartesis seringkali ditulis 2R ,
atau ,R R yang menyatakan himpunan semua pasangan terurut (x,y),
x dan y R . Jadi kita mempunyai 2 ,R R R yang menyatakan
Politeknik Telkom Kalkulus
62 Sistem Koordinat
himpunan semua pasangan terurut (x,y) dan y R . Jadi kita
mempunyai 2 , : , .R R R x y x y R
Kuadran yang memuat semua garis batasnya (sebagian dari
sumbu x dan sumbu y) dinamakan kuadran tertutup, dan yang sama
sekali tidak memuat garis batasnya dinamakan kuadran terbuka.
Pemberian nama ini sejalan dengan konsep selang tertutup dan selang
terbuka pada garis bilangan real.
Kuadran 1 mempunyai 4 kemungkinan , yaitu
, : 0 dan y 0 , kuadran tertutup,
, : 0 dan y>0 , kuadran terbuka,
, : 0 dan y>0 , dan
, : 0 dan y 0 .
x y x
x y x
x y x
x y x
Kedua himpunan terakhir tidak terbuka dan tidak tertutup.
Selanjutnya, bila hanya disebutkan kuadran 1 saja, kemungkinan yang
terjadi bergantung pada konteks pembicaraannya. Dalam hal ini boleh
memuat garis pembatasnya, yang bergantung pada permasalahan
yang muncul dan akan dibahas.
Tinjau ulang tentang garis lurus pada bidang datar
Panjang ruas garis lurus dengan teorema phytagoras , panjang
ruas garis di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah
PQ= 2 2
1 2 1 2 .x x y y
Persamaan garis lurus Bentuk umum persamaan garis lurus
adalah
0, a dan b tidak semuanya nol. ax by c
Beberapa hal khusus persamaan garis yang :
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 63
Sejajar dengan sumbu x adalah y=p;
Sejajar dengan sumbu y adalah x=q;
Tidak sejajar dengan sumbu y adalah y=mx+n (fungsi linear);
Melalui titik asal (0,0) adalah ax+by =0;
Melalui titik (p,0)dan (0,q) p dan q tidak nol adalah 1;x y
p q
Melalui titik (x1, y1) dan mempunyai gradien m adalah y-
y1=m(x-x1);
Melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2)adalah 1 1
2 1 2 1
.y y x x
y y x x
Kaitan antar dua garis
Garis g: ax + by + c =0 dan h: px+qy+r=0 dikatakan :
Sejajar (ditulis g // h) jika a b c
p q r
Berimpit (ditulis g h), jika a b c
p q r
Berpotongan, jika a b
p q dan berpotongan tegak lurus jika
0, , 0ap bq b q
Gradien suatu garis
Pada persamaan garis g : y=mx+n, besaran m dinamakan gradient
suatu garis g. Arti geometri dari gradient suatu garis tersebut dengan
sumbu x positif . Perhatikan situasinya pada Gambar 2.2
Politeknik Telkom Kalkulus
64 Sistem Koordinat
θ
g : y =mx+n
x
y
0
m= tanӨ,Ө=sudut garis g dengan sb-x positif
Gambar 2.2 Persamaan Linier
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 65
Gradien dua garis yang saling tegak lurus
Garis g : y= mx+n dan h : y=px+q saling tegak lurus 1.mp Jadi
dua garis saling tegak lurus jika dan hanya jika perkalian gradiennya
sama dengan -1.
Bukti : tanpa mengurangi keumuman pembuktian, andaikan garis g
dan h melaui titik asal (0,0). Pada gambar 2.3, pilihlah titik P(x1,y1) pada
garis g dan titik Q(x2,y2) pada garis h, dengan x1 dan x2 keduanya tidak
nol.
P(X1,Y1)
Q(X2,Y2)
x
y
g
h
0
Gambar 2.3 Jarak antar 2 titik
Dengan rumus jarak dua titik bidang dapat diperoleh
2 2 2 2 2
1 1 2 2
22 2
1 2 1 2
, , dan
( ) .
OP x y OQ x y
PQ x x y y
Kemudian, dengan rumus Phytagoras dan kebalikannya, serta
penyederhanaan bentuk diperoleh
2 1 22( ) 0g h x x y y
1 2
1 2
1 . 1,g h
y ym m
x x
Politeknik Telkom Kalkulus
66 Sistem Koordinat
Karena 1
1
g
ym
x dan 2
2
h
ym
x , dengan demikian terbuktilah apa yang
diinginkan.
Jarak titik ke garis
Jarak titik P(x0, y0) ke garis g:
0 0
2 2( , )
ax by cd P g
a b
Pada gambar di bawah ini, jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PQ.
P(x0,y0)
d(P,g)Q
g : ax+by+c=0
x
y
0
Gambar 2.4 Jarak titik terhadap garis
Terdapat banyak cara untuk membuktikan jarak titik ke garis, yang
paling sederhana dengan cara geometri. Buatlah garis sejajar sumbu y
dan melalui P sehingga memotong garis g di R. Buatlah garis sejajar
sumbu y dan melaui P sehingga memotong garis g di S. Tentukan
koordinat R dan S serta panjang ruas garis PR, PS, dan RS. Dengan
rumus geometri :
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 67
.
,PR PS
d P g PQRS
.
Politeknik Telkom Kalkulus
68 Sistem Koordinat
Contoh 1 :
Hitunglah gradien dari persamaan linier berikut:
3 2 4 0y x
Penyelesaian :
Buatlah komponen y sendirian di ruas kiri, yang lainnya di ruas kanan
3 2 4 0
3 2 1
3 4
2 3
y x
y x
y x
y mx c
Sehingga gradiennya 3
2
Contoh 2 :
Dari gambar berikut tentukan gradiennya :
8
0 2 x
y
Penyelesaian :
Gunakan rumus : 2 1
2 1
y ym
x x
Perhatikan dan lengkapi grafiknya :
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 69
y
x
(0,3)
x1 y1
(2,0)
x2 y2
Maka :
m=0 - 3
2 - 0
m = -3
2
Contoh 3 :
Buatlah grafik dari persamaan berikut:
4 8 2y x
Penyelesaian :
Buatlah 2 titik yang melewati persamaan linier tersebut :
1.Titik pertama
0
:
4. 8.0 2
4 2
2 1
4 2
1(0, )
2
x
maka
y
y
y
Politeknik Telkom Kalkulus
70 Sistem Koordinat
2. Titik Kedua
0
:
4.0 8. 2
2 1
8 4
1( ,0)4
y
maka
x
x
Hubungan kedua titik tersebut :
1/2
1/4
y
x
Contoh 4 :
Buatlah persamaan linier dari persamaan berikut:
y
x2
-1
(2,0)
(0,-1)
x1 y1
x2 y2
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 71
Penyelesaian :
2 1
2 1
0 ( 1)
2 0
1
2
y ym
x x
m
m
1( 1) ( 0)
2
12
2
12
2
y x
y x
y x
Contoh 5 :
Hitunglah gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan
persamaan berikut:
2 2 4y x
Penyelesaian :
1.Hitunglah gradien persamaan garisnya
2.Gunakan rumus 2
1
1m
m
1
1
21
2 2 4
2 2 4
2
1
1 11
1
y x
y x
y x
y m x c
m
mm
Maka gradien persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan
diatas adalah 1
Contoh 6:
Hitunglah persamaan garis yang sejajar dengan persamaan garis
3 4 1 0y x dan melewati titik (2,3)!
Penyelesaian :
1.Hitung gradient garis yang ada
Politeknik Telkom Kalkulus
72 Sistem Koordinat
2.Dengan tersebut gunakan rumus 1 1( )y y m x x
Ingat : jika 1m sejajar dengan
2m ,maka 1 2m m
1
3 4 1 0
3 4 1
4 1
3 3
4
3
y x
y x
y x
m
Karena sejajar 2 1
4
3m m , maka :
1 2 1( )
43 ( 2)
3
4( 2)
3
4 83
3 3
4 8 9
3 3
4 1
3 3
y y m x x
y x
y x
y x
y x
y x
1 1( , ) (2,3)x y
Contoh 7 :
Hitunglah persamaan garis yang tegak lurus dengan persamaan garis
7 3 2 0y x dan melewati titik (0,6) !
Penyelesaian :
1.Hitung gradient garis yang ada
2.Hitung gradient garis yang tegak lurus dengan gradien dari (1)
dengan rumus 2
1
1m
m (sejajar)
3. Gunakan rumus : 1 1( )y y m x x 1 1(0,6) ( , )x y
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 73
Contoh 8
Dari grafik disamping, tentukanlah
persamaan garis yang tegak lurus dengan
garis tersebut dan melewati titik asal .
Penyelesaian :
ingat : titik asal adalah titik (0,0)
1. Hitung gradien garis tersebut.
2. Hitung gradien yang tegak lurus dengan gradien dari (1)
3. Hitung persamaan menggunakan y – y 1 = m2 (x – x1)
x 3
( 3,0 )
3
y1 x1
( 0,4 ) 4
4
y
2 11
2 1
0 4 4
3 0 3
y ym
x x
2
1 1 3
43 4
3
m
1 2 1( )
34 ( 0)
4
34
4
y y m x x
y x
y x
Politeknik Telkom Kalkulus
74 Sistem Koordinat
Y1 X1
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 75
Contoh 9
Hitunglah titik potong antara 2 garis berikut :
4y – 2x = 3 dan 3y – 2x = 6
Penyelesaian :
gunakan subtitusi atau eliminasi
Cara 1 : subtitusi
4y – 2x = 3
-2x = 3 – 4y ..........................(1)
3y -2x -6 Ganti -2x dengan persaman (1)
3y +3-4y = 6
-y +3 = 6
-y = 6-3 = 3
Y = -3 , maka
-2x = 3-4y = 3- 4 (-3) = 3 + 12 = 15
X = 2
15
-7,5
Sehingga tiik potong nya adalah (-7,5 , -3)
Cara 2 : Eliminasi
4y – 2x = 3
3y – 2x = 6
____________ -
y+ 0 = -3
y= -3
4y – 2x = 3 2x = 4y – 3
=-4.3 – 3
2x = -15
x= -7,5
sehingga (-7,5 , -3 )
Contoh 10
Hitunglah jarak antara 2 titik berikut (-2,5) dengan (-1,-3)
Politeknik Telkom Kalkulus
76 Sistem Koordinat
Penyelesaian :
Gunakan rumus d = 2 2
2 1 2 1( ) ( )X X Y Y
(-2, 5 ) (-1, -3)
X1 Y1 X2 Y2
2 2( 1 ( 2) ( 3 5)d
1 65
65
Contoh 11
Hitunglah jarak antara titik (7,-1) dengan titik (-2, 5)
Penyelesaian :
Seperti Contoh sebelumnya
(7,-1) (-2, 5)
X1 Y1 X2 Y2
2 2( 2 7) (5 ( 1)d
81 36
117
Contoh 12
Hitunglah jarak antara titik (!,2) dengan garis y = 2x + 3
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 77
Penyelesaian :
Gunakan rumus d(P,q)= 0 0
2 2
aX bY c
a b
dimana P (X0, Y0) dan q adalah garis ax + by + c = 0
1. Ubah bentuk y = 2x+3 menjadi ax+by+c=0
y= 2x+3
-2x + y -3 = 0 maka a =-2
b= 1
c= -3
ax + by + c = 0
2.Gunakan rumus jarak titik terhadap garis.
d(P,q)= 0 0
2 2
aX bY c
a b
=22 1)2(
32.11.2
= 5
3
= 55
3
Contoh 13
Diketahui titik A (-1,2) dan titik B (2,3). Tentukan persamaan garis g
yang tegak lurus dengan garis AB dan melalui titik A !
Politeknik Telkom Kalkulus
78 Sistem Koordinat
Penyelesaian :
1. Hitung dulu gradient garis AB.
2. Tentukan gradien yang tegak lurus dengan gradien garis AB.
3. Buat persamaan garis yang melalui A (-1,2)
1.A (-1 , 2) B (2 , 3)
X1 Y1 X2 Y2
2 11
2 1
3 2 1
2 ( 1) 3
y ym
x x
2.
2
1
1 13
13
mm
3.
1 2 1( )
2 3( ( 1)) 3 3
3 1
y y m x x
y x x
y x
Contoh 14
Diketahui titik A(-1,2), B(3,2) dan C(-2,3). Tentukan persamaan garis g
yang sejajar dengan garis AC dan melalui titik tengah AB.
Penyelesaian :
1. Hitunglah gradien garis AC
2. Hitunglah koordinat titik tengah AB
3. Buatlah persamaan garis dengan gradien dari (1) dan
melewati titik tengah AB dari (2).
1. A (-1, 2) C (-2 , 3)
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 79
X1 Y1 X2 Y2
2 1
2 1
2 2 44
2 ( 1) 1
y ym
x x
2. A (-1,2) B (3,2)
0
1 3
2x
0
2 22
2y
0 1x
3.
0 0( )
2 4( 1)
4 4 2
4 2
y y m x x
y x
y x
y x
Contoh 15
Diketahui titik A(1,1), B(3,-1), dan C(2,2). Hitunglah luas segitoiga ABC!
Penyelesaian :
1. Sketsalah secara asal segitiga ABC
2. Anggap salah satu sebagai alas mislnya AB, berarti tinggal
dicari tinggi dengan menghitung jarak titik C ke garis AB
3. Hitung luas segitiga (2
1x alas x tinggi )
1.
C
Politeknik Telkom Kalkulus
80 Sistem Koordinat
A B
Garis AB :
A ( 1, 1) B ( 3 , -1)
X1 Y1 X2 Y2
2 1
2 1
1 11
3 1
y ym
x x
1 1( )
1 1( 1)
2
2 0
1, 1, 2
y y m x x
y x
y x
x y
a b c
2. 0 0
2 2
aX bY cd
a b
C (2 , 2 )
X0 Y0
d
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 81
2 2
1.2 1.2 2 2 12
282 2d
3. Luas segitiga = 1
2AB . 2 21 1
(3 1) ( 1 1) 22 2
d
Luas segitiga = 1
4 4 44
= 1 satuan
Carilah dengan menganggap BC sebagai alas.
Contoh 16
Diketahui persamaan kuadrat y = 2x2 -2x -4. Hitunglah Diskriminannya!
Apakah persamaan tersebut berpotongan / bersinggungan / sama
sekali tidak bersinggungan atau berpotongan sumbu x?
Penyelesaian :
Ingat : Diskriminan : D =b2-4ac dari y = ax2 + bx +c
a. Jika D > 0 maka ada 2 titik potong antara sb.x dengan garis y =
ax2 + bx +c dan diperoleh 2 solusi unuk x.
b. Jika D=0 maka garis y= ax2 + bx +c bersinggungan engan sumbu
x dan diperoleh satu solusi untuk x.
c. Jika D < 0 , maka garis y= ax2 + bx +c sama sekali tidak
berpotongan/bersinggungan dengan sumbu x dan solusi untuk x
bukan bilangan nyata.
Y= 2x2 -2x -4
a b c
D = (-2)2 -4.2 (-2)
= 4 + 32
D = 36
D> 0
Politeknik Telkom Kalkulus
82 Sistem Koordinat
Maka persamaan y = 2x2 -2x -4 berpotongan dengan sumbu x
menghasilkan 2 solusi x bilangan nyata
Contoh 17
Diketahui persamaan kuadrat y=-3x2-2x+1. HItunglah koordinat titik
kritis dari persamaan tersebut.
Penyelesaian :
a = -3, maka a < 0 sehingga titik kritisnya adalah titik
max
2
2
1 2
1 2
3 2 1 0
3 3 1 0
3 ( 1) ( 1) 0
( 3 1)( 1) 0
1, 1
3
1 21
13 3
2 2 2 3
y x x
x x x
x x x
x x
x x
x xx
1 13( ) 2( ) 1
3 3
1 23. 1
9 3
1 21
3 3
1 2 3 4
3 3
y
Sehingga Koordinat titik puncak /max adalah1 4
( , )3 3
Contoh 18
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 83
Diketahui persamaan kuadrat y=-4x+4x+3. Sketsalah persamaan
parabola tersebut !
Penyelesaian :
y = -4x2+4x+3
maka persamaan tersebut berpotongan dengan sumbu x dan
karena a < 0, maka titik kritisnya adalah titik puncak.
c b a
1. HItunglah D, tentukanlah apakah persamaan tersebut
berpotongan / bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap
sumbu x ?
D = b2-4ac
= 42 – 4(-4)3
= 16 + 48
= 64 > 0
Politeknik Telkom Kalkulus
84 Sistem Koordinat
2
2
1 2
4 4 3 0
4 6 2 3 0
2 (2 3) (2 3) 0
( 2 1)(2 3) 0
1 3,
2 2
y x x
x x x
x x x
x x
x x
maka diperoleh dua titik yang dilalui persamaan garis tersebut
yaitu 51
( ,0)2
dan
3( ,0)2
1 2
2
1 312 2
2 2 2
1 1 44( ) 4. 3 2 3 4
2 2 4
x xx
y
maka titik puncaknya adalah 1
( ,4)2
y = -4(0)2+4.0+3 = 3
2. HItunglah akar-akar persamaan kuadrat tersebut atau hitung x
pembuat y = 0
3. Hitunglah titik puncak / max persamaan parabola tersebut
4. Hitunglah titik di sumbu y yang dilewati oleh persamaan
tersebut, atau hitung y saat x = 0
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 85
maka koordinat (0,3) juga dilalui persamaan garis tersebut.
Sehingga dari 4 modal diatas dapat langsung kita sketsa
grafiknya berikut ini :
1
2
0 1
2
1 3
2
1
2
3
4
Contoh 19
Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2-2x-5. Sketsalah persamaan
parabola tersebut !
Penyelesaian :
y = 3x2 – 2x – 5
b c a
1. HItunglah D, tentukan apakah persamaan tersebut berpotongan
/ bersinggungan atau tidak sama sekali terhadap sumbu x !
D = b2-4ac
= (-2)2 – 4.3.(-5)
= 4 + 60
= 64 > 0
Politeknik Telkom Kalkulus
86 Sistem Koordinat
maka persamaan tersebut dengan sumbu x dan karena a > 0,
maka titik kritisnya adalah titik minimum.
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 87
y = 3x2 – 2x – 5 = 0
= 3x2 – 5x + 3x – 5 = 0
= x(3x - 5) + (3x - 5) = 0
= (x + 1)(3x - 5) = 0
x1 = -1 x2 =
maka persamaan kuadrat tersebut berpotongan dengan titik (-1,0) dan
( ,0)
1 2
5 21
13 3
2 2 2 3t
x xx
21 13( ) 2( ) 5
3 3
3 2 1 15 5
9 3 3 3
16
3
ty
maka titik minimalnya adalah 1 16
( , )3 3
y = 3(0)2 - 2.0 - 5 = -5
maka titik potong dengan sumbu y adalah (0,-5)
2. Hitunglah akar-akar x pembuat y = 0
3. Hitunglah titik minimum persamaan kuadrat tersebut
4. Hitunglah titik potong grafik dengan sumbu y dimana x = 0
Politeknik Telkom Kalkulus
88 Sistem Koordinat
dengan demikian grafiknya dapat digambarkan berikut
1 1
3
1x
y
2
3
4
5
Contoh 20
Diketahui persamaan kuadrat y = x2 - x – 2 dan persamaan linier y = -x
– 1
Apakah kedua garis ini berpotongan? Jika iya, tentukan titik potong
kedua garis tersebut !
Penyelesaian
1. Subtitusikan y dari persamaan linier ke persamaan kuadrat
sehingga akan membentuk pesamaan kuadrat baru dengan
variabel x.
2. Dari persamaan kuadrat baru tersebut tentukanlah D, jika D > 0 , 2
garis tersebut berpotongan. Jika D = 0 , 2 garis tersebut
bersinggungan. Jika D < 0, 2 garis tersebut tidak bersinggungan
dan tidak berpotongan.
3. Hitung akar-akar persamaan tersebut maka diperoleh x1 dan x2 (jika
berpotongan)
4. Masukkan nilai x1 dan x2 ke dalam persamaan linier untuk
menentukan koordinatnya
Politeknik Telkom Kalkulus
Sistem Koordinat 89
Silakan dikerjakan sendiri !
Rangkuman
1. Sistem koordinat Kartesius terdiri dari dua sumbu, garis horizontal
(sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) berpotongan tegak lurus
di titik O (titik asal)
2. Suatu titik (a,b), a disebut absis (koordinat x) dan b disebut ordinat
(koordinat y)
3. Panjang ruas garis lurus di titik P(x1,y1) ke titik Q(x2,y2) adalah
PQ= 2 2
1 2 1 2 .x x y y
4. Bentuk umum persamaan garis lurus
adalah 0, a dan b tidak semuanya nol. ax by c
5. Jika gradien garis g adalah m dan gradien garis l adalah p, garis g
dan l tegak lurus jika mp=-1, garis g dan garis l sejajar jika m=p.
6. Jarak titik P(x0, y0) ke garis g: 0 0
2 2( , )
ax by cd P g
a b
Politeknik Telkom Kalkulus
90 Sistem Koordinat
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 91
4 Vektor di Bidang dan di Ruang
Overview
Bab ini akan menjelaskan tentang vektor di bidang(R-2) dan di
ruang(R-3). Diawali dengan penjelasan tentang definisi skalar dan
vektor, menyatakan vektor, memberi nama vektor, menggambar vektor
di bi bidang. Kemudian akan dijelaskan tentang operasi-operasi yang
dapat diberlakukan terhadap vektor seperti menjumlahkan dua vektor,
perkalian skalar dengan vektor, mementukan panjang vektor, perkalian
titik dan perkalian silang antara dua vektor, sudut antara dua vektor.
Terakhir akan dibahas cara menentukan luas segitiga dengan vector
apabila tiga titik sudutnya diketahui di R-3.
Tujuan
1. Memahami definisi skalar dan vektor
2. Memahami cara memberi nama dan menggambar vektor di
bidang
3. Memahami cara menyatakan vektor dalam beberapa notasi
4. Mampu menentukan jumlah dan selisih dua vektor
5. Mampu menentukan perkalian titik dan perkalian silang.
Politeknik Telkom Kalkulus
92 Vektor
6. Mampu menentukan sudut antara dua vektor
7. Mampu menghitung luas segitiga dengan vector apabila tiga titik
sudutnya diketahui di R-3.
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 93
4.1. Pengertian skalar dan vektor
Banyak besaran yang kita jumpai dalam ilmu pengetahuan, seperti luas,
panjang, massa, temperatur, volume, muatan listrik, dan sebagainya
dapat dinyatakan oleh suatu bilangan. Besaran demikian dinamakan
skalar. Ada besaran lain, seperti kecepatan, gaya, dan pergeseran,
untuk menggambarkannya memerlukan tidak hanya bilangan, tetapi
juga arah. Besaran demikian dinamakan vektor.
Vektor–vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai ruas
garis berarah atau anak panah; arah panah menentukan arah vektor
dan panjang panah menyatakan besarnya, perhatikan gambar-1.
Ekor panah dinamakan titik awal (initial point ) dari vektor, dan
ujung panah dinamakan titik terminal ( terminal point ). Vektor
umumnya dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya a, v, w, u, x.
Vektor dapat pula dinyatakan dengan huruf kecil tipis dengan tanda
garis atau anak panah di atas huruf tersebut seperti a , v , dan w .
Satu cara lagi menyatakan vektor adalah dengan menulis dua huruf
besar berdampingan yang di atasnya diberi garis atau anak panah
seperti AB di mana A adalah titik awal vektor dan B adalah titk ujung
vektor. Untuk menyatakan skalar akan digunakan huruf kecil tipis tanpa
A
B
Gambar 4.1 (a) Vektor AB. (b) Vektor-vektor ekivalen
(a) (b)
v
a
b
c
w
Politeknik Telkom Kalkulus
94 Vektor
garis atau anak panah di atasnya seperti a, b, c, k, m, dan sebagainya.
Jika seperti pada gambar 4.1a. titik awal vektor v adalah A
dan titik ujungnya adalah B, maka kita dapat menuliskan bahwa
v = AB .
Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti
vektor-vektor pada gambar 4.1b, dinamakan ekivalen. Vektor-vektor
yang ekivalen dianggap sama walaupun vektor-vektor tersebut
diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda. Jika v dan w ekivalen
maka kita tuliskan
v = w
4.2. Operasi pada Vektor
Penjumlahan dua vektor
Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka jumlah
v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut. Tempatkan
vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik ujung v. Vektor
v+w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik ujung
w(gbr 4.2a)
Dalam gambar 4.2b telah dibentuk dua jumlah, yakni v+w
dan w+v. Jelas bahwa
v
w
v+w v
w
v+w v
w
Gambar 4.2
(a) (b)
w+v
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 95
v+w = w+v
dan bahwa jumlah tersebut berimpit dengan diagonal jajaran genjang
yang ditentukan oleh v dan w bila vektor-vektor ini diatur lokasinya
sehingga vektor -vektor tersebut mempunyai titik awal yang sama.
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol (zero
vektor) dan dinyatakan dengan o . Kita definisikan
o + v = v + o = v
untuk tiap vektor v. Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka -v
adalah negatif v, didefinisikan bagi vektor yang mempunyai besaran
sama seperti v, tetapi arahnya berlawanan dengan v (gambar 4.3).
Vektor ini mempunyai sifat
v + (- v) = 0
Pengurangan dua vektor
Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w
dari v didefinisikan oleh
v - w = v + ( - w)
v
- v
Gambar 4.3
Politeknik Telkom Kalkulus
96 Vektor
(Gambar 4.4a)
Untuk mendapatkan selisih v–w tanpa menggambarkan -w,
maka tempatkanlah v dan w sedemikian sehingga titik awalnya
berimpit; vektor dari titik ujung w ke titik ujung v adalah vektor v- w
(gambar 4.4b)
Gambar 4.5 melukiskan hubungan di antara vektor v dan vektor-vektor
2v, (-1)v, (1½)v, dan (-3)v
- w w
v v- w
w
v v-w
Gambar 4.4
(a) (b)
Definisi. Jika v adalah vektor tak nol dan k adalah bilangan real tak
nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang
panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k
> 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Kita definisikan kv =
o, jika k=0 atau v = o
v
2v (-1)v (1½)v
(-3)v
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 97
Perhatikan bahwa vektor (-1)v mempunyai panjang yang sama dengan
vektor v tetapi arahnya berlawanan dengan vektor v.
4.3. Vektor di Bidang, Komponen vektor
Misalkan v adalah sebarang vektor pada bidang, dan
anggaplah seperti pada gambar 4.6, bahwa vektor v telah ditempatkan
sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal system koordinat
kartesius. Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titk ujung v dinamakan
komponen-komponen v, dan kita tuliskan sebagai
v = (v1, v2)
Jika vektor-vektor ekivalen, v dan w, keduanya digambarkan
sedemikian sehingga kedua titik awalnya terletak di titik asal system
koordinat, maka jelas bahwa titik-titik ujung kedua vektor ini akan
berimpit (karena kedua vektor ini mempunyai panjang dan arah yang
sama). Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen-komponen
yang sama. Sebagai akibatnya adalah bahwa vektor dengan
komponen yang sama harus mempunyai panjang dan arah yang sama
dan vektor-vektor tersebut adalah ekivalen, sehingga kita dapat
mengatakan bahwa dua vektor
v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)
ekivalen jika dan hanya jika
Gambar 4.5
(v1, v2)
x
y
Gambar 4.6
v
Politeknik Telkom Kalkulus
98 Vektor
v1 = w1 dan v2 = w2
Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar
sangat mudah dilakukan dalam bentuk komponen-komponen seperti
yang diperlihatkan pada gambar 4.7 di bawah ini. Jika
v = (v1, v2) dan w = (w1, w2)
maka
Jadi, misalnya, jika v = ( 2, -3) dan w = ( 4, 7) maka
v + w = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( 6, 4)
(v1, v2)
x
y
Gambar 4.7 v
w
( w1, w2 )
(v1 + w1, v2 + w2)
v + w
v + w = (v1 + w1, v2 + w2) (4.1 a)
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 99
Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka
Jadi, 5v = 5(2, -3) = (10, -15)
Merujuk pada rumus (4.1 a) dan (4.1 b) dan karena v – w = v + (-
1)w maka
v – w = (v1 - w1, v2 - w2)
misalnya untuk Contoh di atas,
v – w = (v1 - w1, v2 - w2) = ( 2, -3) + ( 4, 7) = ( -2, -10)
kv = (k v1, k v2)
(4.1 b)
(v1, v2)
x
y
Gambar 4.8
v
kv
( kv1, kv2)
Politeknik Telkom Kalkulus
100 Vektor
Vektor di ruang-3
Seperti halnya vektor-vektor pada bidang(ruang-2) dapat
digambarkan oleh pasangan dua bilangan real, maka vektor-vektor di
ruang dapat digambarkan oleh tripel bilangan real, dengan
menggunakan sistem koordinat siku-siku .
Setiap pasang sumbu koordinat membentuk bidang yang dinamakan
bidang koordinat (gambar 4.9a). Bidang-bidang ini disebut sebagai
bidang-xy, bidang-xz, dan bidang-yz. Untuk setiap titik P di dalam
ruang kita tetapkan tripel bilangan (x, y, z) yang dinamakan koordinat-
koordinat P
Koordinat-koordinat P didefinisikan sebagai panjang bertanda (gambar
4.9b)
x = OX y = OY z = OZ
x
z
y
O
y
z
x
P
Z
X
Y O
(a) (b)
Gambar 4.9
z
y
O
P ( 2, 5, 3 )
3
2
5
Q ( 2, 5, 0 )
R ( 0, 5, 3 )
S ( 2, 0, 3 )
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 101
Jika vektor v di dalam ruang dilokasikan sedemikian sehingga titik
awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku (gambar 4.11),
maka koordinat titik ujungnya adalah komponen-komponen v, dan
dituliskan sebagai
v = ( v1, v2, v3 )
Jika v = ( v1, v2, v3 ) dan w = ( w1, w2, w3 ) adalah dua vektor di
ruang-3, maka:
(1) v dan w ekivalen jika dan hanya jika v1= w1 , v2 = w2, dan v3 = w3
x
z
y O
( v1, v2, v3 )
Gambar 4.11
v
v1
v2
v3
Politeknik Telkom Kalkulus
102 Vektor
(2) v + w = ( v1+ w1, v2+ w2, v3 +w3 )
(3) kv = ( kv1, kv2, kv3 ) di mana k adalah sembarang skalar.
Contoh-1
Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1). maka
v + w = (5, -1, 3), 2v = (2, -6, 4), -w = (-4, -2, -1),
v – w = v + (-w) = (-3, -5,1)
Kadang-kadang suatu vektor ditempatkan sedemikian rupa sehingga
titik awalnya tidak di titik asal sistem koordinat. Jika vektor vektor PQ
mempunyai titik awal (x1, y1, z1) dan titik ujung (x2, y2, z2), maka
PQ = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)
Yakni, komponen-komponen PQ diperoleh dengan mengurangkan
koordinat titik awal dari koordinat titik ujung. Hal ini dapat dilihat
dengan menggunakan gambar 4.12; vektor PQ adalah selisih vektor
OQ dan vektor OP , sehingga
PQ = OQ - OP = (x2, y2, z2) - (x1, y1, z1) = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
z
y O
Q(x2, y2, z2)
OQ
PQ
v2 OP
P(x1, y1, z1)
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 103
Contoh-2
Komponen-komponen vektor v = PQ dengan titik awal P(-3, 1, 7)
dan titik ujung Q(2, -3, 1) adalah
v = (2 – (-3), -3 - 1, 1 - 7) = (5, -4, -6)
Analog dengan itu, maka di ruang-2, vektor dengan titik awal
P(x1, y1) dan titik ujungnya Q(x2, y2) adalah:
PQ = (x2- x1, y2 - y1)
4.4. Norma Vektor (Panjang Vektor)
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan
dinyatakan dengan |v|
x
Gambar 4.12
x
z
y O
P( v1, v2, v3 )
|v|
Q
v3
R
S
Gambar 4.13b
|v|
(v1, v2)
Gambar 4.13a
Politeknik Telkom Kalkulus
104 Vektor
Berdasarkan teorema Phytagoras, maka norma vektor v = (v1, v2) di
ruang-2 adalah (perhatikan gambar-4.13a)
|v| = 2 21 2v v
Misalkan v = (v1, v2, v3) adalah vektor di ruang-3. Dengan
menggunakan gambar-413b dan dengan dua penerapan teorema
Phytagoras, maka kita peroleh
|v|2 = (OR)2 + (RP)2
= (OQ)2 + (OS)2 + (RP)2
= 2 2 21 2 3v v v
Jadi
|v| = 2 2 21 2 3v v v (4-2)
Jika P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2) adalah dua titik di ruang-3, maka
jarak d di antara kedua titik tersebut adalah norma vektor PQ (Gambar-
4.14). Karena
PQ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
z
P( x1, y1, z1 )
Q( x2, y2, z2 )
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 105
maka berdasarkan (4-2) jelas bahwa jarak d di antara kedua titik
tersebut adalah
d 2 2 22 1 2 1 2 1(x x ) (y y ) (z z )
Demikian juga, jika P(x1, y1) dan Q(x2, y2) adalah dua titik di ruang-2,
maka jarak d di antara kedua titik tersebut diberikan oleh
d 2 22 1 2 1(x x ) (y y )
Contoh-3
Norma vektor v = (2, -3, 4) adalah
|v | 2 2 2(2) ( 3) (4) 4 9 16 29
Jarak d di antara titik P(-3, 2, 1) dan titik Q(4,1,-2) adalah
2 2 2 2 2 2d (4 ( 3)) (1 2) ( 2 1) (7) ( 1) ( 3)
49 1 9 59
4.5. Hasil kali titik (dot product)
x
y O
Gambar 4.14
Politeknik Telkom Kalkulus
106 Vektor
Misalkan u dan v adalah dua vector tak nol di ruang-2 atau
di ruang-3, yang titik awalnya berimpit. Hasil kali titik (dot product)
dinotasikan u.v didefinisikan oleh
u.v | u | . | v | .cos jika u o dan v o
0 jika u o atau v o
(4-3)
di mana adalah sudut antara vector u dan vector v , dengan
0
Contoh- 4
Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2) dan sudut antar vector u dan vector v
adalah = 60o
Jawab
|u | 2 2 2(2) ( 1) (1) 4 1 1 6
|v | 2 2 2(1) (1) (2) 1 1 4 6
Cos 60o = ½
Jadi, u.v = | u |.| v |. Cos 60o = (6) (6) ½ = 3
Gambar 4.15
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 107
Bentuk Lain Rumus Hasil Kali Titik
Selain bentuk rumus (4-3), hasil kali titk dirumuskan dalam bentuk lain
yang lebih praktis (dapat diturunkan dari rumus cosinus pada segitiga)
Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vector-vektor di R3
maka
(4-4)
Jika u = (u1, u2) dan v = (v1, v2) adalah vector-vektor di R2 maka
(4-5)
Contoh- 5
Tentukan hasilkali titik antara vector u dan vector v jika
u = (2, - 3, - 4) dan v = (1, 5, - 6)
Jawab: u.v = (2)(1) + (-3)(5) + (-4)(-6) = 2 –15 +24 = 11
Dari rumus (4-3) dapat diturunkan rumus untuk mencari sudut antara
dua vektor yaitu
u.v
Cos| u | . | v |
(4-6)
Contoh- 6
Tentukan besar sudut antara vector u dan vector v jika
u = (2, -1, 1) dan v = (1, 1, 2)
Jawab: u.v = (2)(1) + (-1)(1) +(1)(2) = 3
u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
u.v = u1 v1 + u2 v2
Politeknik Telkom Kalkulus
108 Vektor
| u | 2 2 2(2) ( 1) (1) 4 1 1 6
| v | 2 2 2(1) (1) (2) 1 1 4 6
u.v 3 3 1
Cos| u | . | v | 6 26. 6
, jadi = 60o
HUBUNGAN ANTARA HASIL u.v DAN SUDUT ANTARA u DAN v
Teorema. Misalkan u dan v adalah vektor di R-2 atau R-3, dan
adalah sudut di antara kedua vector tersebut, maka
lancip jika dan hanya jika u.v > 0
tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
= ½ jika dan hanya jika u.v = 0
Contoh-7: jika u = (2,5), v = (6, 5) dan w = (-5, 2), maka
u.v = (2)(6) + (5)(5) = 12 + 25 = 37 > 0
u.w = (2)(-5) + (5)(2) = -10 + 10 = 0
v.w = (6)(-5) + (5)(2) = -30 + 10 = - 20 < 0
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
u
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 109
Maka: u dan v membentuk sudut lancip ( < 90o )
u dan w membentuk sudut ½ = 90o
v dan w membentuk sudut tumpul ( > 90o )
PERKALIAN SILANG DUA VEKTOR
Perkalian silang (Cross Product) antara dua vector hanya
didefinisikan pada vector di R3.
Gambar 4.16
v
w
Definisi : Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah
vector-vektor di R3, maka hasilkali silang u x v adalah vector
yang didefinisikan oleh
u x v = (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)
Atau dalam notasi determinan
u x v = 2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u, ,
v v v v v v
Politeknik Telkom Kalkulus
110 Vektor
Contoh-8
Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka
u x v = 4 1 2 1 2 4
, ,1 3 5 3 5 1
= 13, 11, 18
VEKTOR SATUAN
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 dan terletak
sepanjang sumbu koordinat (gambar-4.17)
Setiap vektor v = (v1, v2, v3) di R-3 dapat dinyatakan dengan I, j, dan k
yaitu
v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k
misal: ( 3, -4, 7 ) = 3i + -4j + 7k
Hasilkali silang dapat dinyatakan secara simbolis dalam bentuk
determinan 3x3:
Gambar 4.17
( 1, 0, 0 )
( 0, 1, 0 )
( 0, 0, 1 )
i
j k
Z
Y
X
i = ( 1, 0, 0 )
j = ( 0, 1, 0 )
k = ( 0, 0, 1 )
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 111
u x v = 1 2 3
1 2 3
i j k
u u u
v v v
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j kv v v v v v
Untuk Contoh di atas, u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), maka
u x v =
i j k
2 4 1
5 1 3
4 1 2 1 2 4
1 3 5 3 5 1
i j k
= 13 i +11j –18k = (13, 11, -18 ) =
13
11
18
4. 6 Menyelesaikan Soal Vektor Dengan Mathcad
Jika u = (-2, 4, 1) dan v = (5, -1, 3), tentukan :
a. u v
b. u v
Politeknik Telkom Kalkulus
112 Vektor
Solusi
Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
Ketikan u := kemudian akan muncul
Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan
muncul
Tekan tombol akan muncul
,
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 113
Isikan vektor yang bersesuaian dengan soal
Dengan cara yang sama buat vektor v sehingga diperoleh:
Untuk memperoleh Perkalian Titik dan Perkalian Silang kedua
matriks tersbut, pada toolbars matriks pilih tombol dan
disertai tanda ” ” sehingga akan muncul:
Politeknik Telkom Kalkulus
114 Vektor
Rangkuman
1. Skalar adalah besaran tanpa arah. Contoh: luas, suhu, jarak, dll.
2. Vektor adalah besaran yang memiliki arah. Contoh: Kecepatan,
Gaya dorong, dll.
3. Menyatakan vektor: v = ( 2, -3, 5 ) = 2i – 3j + 5 k =
4. Panjang vektor u = (u1, u2, u3) adalah |u | = 2 2 21 2 3v v v
5. Perkalian titik (Dot Product) antara u = (u1, u2, u3) dan
v = (v1, v2, v3) adalah u.v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3
Perkalian titik menghasilkan skalar (bilangan real)
6. Sudut antara vektor u dan v diperoleh dari rumus
7. lancip jika dan hanya jika u.v > 0
tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
= ½ jika dan hanya jika u.v = 0
8. Perkalian silang antara u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah
u x v =
= (u2 v3 – u3 v2, u3 v1 – u1 v3, u1 v2 – u2 v1)
Perkalian silang menghasilkan vektor lagi
2
3
5
u.vCos
| u | . | v |
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u, ,
v v v v v v
Politeknik Telkom Kalkulus
Vektor 115
Politeknik Telkom Kalkulus
116 Matriks
5 Matriks
Overview
Pada bab ini akan dijelaskan tentang matriks dan operasinya. Diawali
dengan definisi matriks, ukuran matriks(ordo), memberi nama sebuah
matriks, dan menentukan elemen-elemen matriks. Berikutnya akan
dijelaskan operasi-operasi yang berlaku pada matriks, di antaranya:
menjumlahkan dua matriks, mengalikan skalar dengan matriks,
mengalikan dua matriks, mentranspose matriks. Jenis-jenis matriks
adalah hal yang harus segera diketahui, karena operasi-operasi
berikutnya akan tergantung pada jenis matriks tertentu. Selanjutnya
akan diperkenalkan operasi baris elementer (OBE), yang mana
merupakan operasi yang sangat ampuh untuk memecahkan berbagai
kasus yang berhubungan dengan matriks. Materi berikutnya adalah
Determinan dari suatu Matriks persegi, diawali dengan definisi
determinan, kemudian cara-cara memperoleh determinan, sifat-sifat
determinan. Salah satu penggunaan determinan adalah untuk
menentukan Matriks balikan dan menentukan solusi sistem
persamaan linear yang akan dijelaskan di bagian akhir dari materi
matriks ini.
Tujuan
1. Memahami Definisi Matriks dan kegunaannya.
2. Mampu menjumlahkan dan mengurangkan dua matriks
3. Mahir melakukan perkalian dua matriks
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 117
PAGE 10
4. Mahir dalam melakukan Operasi Baris Elementer (OBE)
5. Mampu menentukan determinan matriks dengan beberapa
metode
6. Mampu mencari Invers Matriks dengan beberapa metode
7. Mampu menentukan solusi Sistem Persamaan Linear dengan
beberapa metode.
Politeknik Telkom Kalkulus
118 Matriks
5.1 Definisi Matriks
Sebuah matriks adalah susunan dari bilangan–bilangan berbentuk
persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa atau
kurung siku. Bilangan–bilangan di dalam susunan tersebut disebut
elemen matriks.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks atau disebut juga elemen atau unsur.
Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada
matriks tersebut
5.2 Ordo Matriks
Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada
matriks tersebut
Ordo Matriks – a : 3 X 3, Ordo Matriks – b : 3 X 4
Ordo Matriks – c : 1 X 3, Ordo Matriks – d: 3 X 1
Ordo Matriks – e : 1 X 1
5.3 Notasi Matriks
Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-unsurnya
dinyatakan dengan huruf kecil.
Jika A adalah sebuah matriks, kita dapat juga menggunakan a ij untuk
menyatakan entri/unsur yang terdapat di dalam baris i dan kolom j dari
A sehinga A = [aij]
2 8 5 41 4 3 6
1 3 2 7 20 3 5 8 1 4 3
6 0 4 5 1 0 3e
(a) (b) (c) (d) (e)
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 119
PAGE 10
5.4 Jenis-jenis Matriks
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilangan pada
entrinya.
Matriks Nol Matriks nol didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah bilangan nol.
Matriks Satu Matriks satu didefinisikan sebagai matriks yang setiap entri atau
elemennya adalah 1.
Matriks Baris
Matriks baris didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu baris.
Matriks Kolom
Matriks kolom didefinisikan sebagai matriks yang entri atau elemennya
tersusun dalam tepat satu kolom.
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ; 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
A B
1 1 1
1 1 1
1 1 1
C 2 1 0 3 B
0
1
2
C
Matriks nol
Politeknik Telkom Kalkulus
120 Matriks
Matriks Persegi
Matriks persegi didefinisikan sebagai matriks yang jumlah baris dan
kolomnya sama,
Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i > j.
Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk j < i.
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j.
Matriks satu Matriks baris Matriks kolom
2 4 6 4
6 3 7 3
6 7 0 2
4 3 2 8
A
2 1 3
0 4 2
0 0 4
A
2 0 0
1 7 0
3 2 4
B
Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah
2 0 0
0 7 0
0 0 4
A
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 121
PAGE 10
Matriks Identitas
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang entri/elemennya
memenuhi syarat: aij = 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
Matriks Transpose
Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dari
perpindahan baris menjadi kolom atau sebaliknya.
Contoh 5-1
SIFAT- SIFAT MATRIKS TRANSPOSE
1) ( A + B )T = AT + BT ; A dan B berordo sama
2) (AT)T = A
3) (AT) = ( A)T ; Suatu skalar
4) (A B)T = BTAT ; A dan B harus memenuhi sifat
perkalian.
5). Setiap Matriks Dapat Dikalikan Dengan Transposenya
Contoh –Contoh :
A =
2 1 2
3 0 1 dan B =
1
2
0
BT = 1 2 0
2 3 4
1 0 0 01 0 0
1 0 0 1 0 0; 0 1 0 ;
0 1 0 0 1 00 0 1
0 0 0 1
I I I
1 2 31 3 2 9
3 4 62 4 3 1
2 3 53 6 5 0
9 1 0
TA A
Politeknik Telkom Kalkulus
122 Matriks
AT =
2 3
1 0
2 1
( AT )T =
2 3
1 0
2 1
T
=
2 1 2
3 0 1 = A
A B =
2 1 2
3 0 1
1
2
0
= 4
3
(A B)T = 4 3
BT . AT = 1 2 0
2 3
1 0
2 1
= 4 3 = (A B)T
AT . BT =
2 3
1 0
2 1
1 2 0 = ? Tidak dapat dikalikan.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 123
PAGE 10
5.5 Kesamaan dua matriks
Definisi: Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :
aij = bij, yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut
adalah sama.
Contoh 5-2
Jika
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
5.6 OPERASI PADA MATRIKS
1. Penjumlahan Dua Matriks
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka
jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan
entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut
Contoh 5-3
maka
2. Pengurangan
Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama maka
selisih
A - B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri
yang bersesuaian pada matriks B dari entri-entri pada matriks A
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33
;
a a a b b b a b a b a b
A a a a B b b b A B a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
1 2 1 1 2
2 3 4 2 4
0 4 5 4
w
A dan B x
y z
11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23
31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33
;
a a a b b b a b a b a b
A a a a B b b b A B a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
3 2 5 4 6 7
1 6 4 0 8 2A dan B
7 4 12
1 2 6A B
Politeknik Telkom Kalkulus
124 Matriks
untuk matriks pada Contoh 5-3,
3. Perkalian Skalar Pada Matriks
Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masingentri dari A
oleh c.
Contoh 5-4
maka:
4. Perkalian Dua Matriks
Jika A = [ aij ] berordo m x p dan
B = [ bij ] berordo p x n , maka
Perkalian AB adalah suatu matriks C = [ Cij ] berordo m x n dimana :
Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aip bpj
Untuk setiap i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n.
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ca ca ca
A a a a cA ca ca ca
a a a ca ca ca
1 8 2
1 14 2A B
7 4 12
1 2 6Jika A
7 4 12 14 8 242. 2.
1 2 6 2 4 12A
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 125
PAGE 10
Contoh 5-5
Maka AxB =
B(2x4).A(3x4) = Tidak dapat dilaksanakan, karena syarat perkalian tidak
dipenuhi, yaitu banyak kolom matriks kiri banyak baris matriks kanan
Sifat-Sifat Perkalian Dua Matriks
Jika A, B, dan C matriks – matriks yang memenihi syarat perkalian
matriks yang diperlukan , maka :
1. A ( B + C ) = AB + AC
2. ( B + C ) A = BA + CA ( distribitif )
3. A ( BC ) = ( AB ) C ( asosiatif )
4. Perkalian tidak komutatif , AB BA
5. Jika AB = 0 ( matriks nol ) yaitu matriks yang semua elemennya
nol, maka kemungkinan – kemungkinannya adalah :
A = 0 dan B = 0 ; A = 0 dan B 0 ; A 0 dan B 0
6. Bila AB = AC belum tentu B = C
5.7 OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu:
(1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj )
(2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi )
(3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )
8 16 4 2 5
7 22 1 5 2 ;
6 33 0 7 9
5 4
Jika A B
(48 28 12 25) (6 8 6 20) 63 0
( 16 7 30 10) ( 2 2 15 8) 31 23
(24 0 42 45) (3 0 21 36) 111 60
C
Politeknik Telkom Kalkulus
126 Matriks
CONTOH-5.6 : Menukar Baris
A =
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
, maka :
b1 b3
3 6 9 12
2 5 8 11
1 4 7 10
baris ke-1 dan baris ke-3 Dipertukarkan
b2 b3
1 4 7 10
3 6 9 12
2 5 8 11
baris ke-2 dan baris ke-3 Dipertukarkan
CONTOH-5.7 : Mengalikan skalar k terhadap baris ( k.bi )
A =
2 5 6
1 4 7
8 0 9
(-3).b2
2 5 6
1 4 7
8 0 9
Baris ke-2 dikali (-3)
(1/2).b3
12
2 5 6
1 4 7
4 0 4
Baris ke-3 dikali (1/2)
CONTOH-5.8 : Menambah Baris Ke-I Dengan K Kali Baris Ke-J
2 5 6
1 4 7
8 0 9
b2 + 2.b1
2 5 6
5 6 5
8 0 9
Baris ke-2 ditambah 2 kali baris ke-1
2 5 6
1 4 7
8 0 9
b3 + 4.b2
2 5 6
1 4 7
12 16 36
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 127
PAGE 10
Baris ke-3 ditambah 4 kali baris ke-2
5.8 DETERMINAN SUATU MATRIKS PERSEGI
Setiap Matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut DETERMINAN matriks tersebut.
Determinan dari matriks A ditulis dengan : det ( A ) atau A
Determinan dari matriks persegi berordo ( 2 x 2 ) dan (3 x 3)
didefinisikan sebagai berikut :
Jika A = a b
c d
maka det ( A ) = A = a b
c d
= ad - bc
Contoh 5.9
Jika A = 2 3
4 5
maka det ( A ) = A =2 3
4 5
= 10 – 12 = -2
Jika A = 1 2
2 4
maka det ( A ) = A = 1 2
2 4
= 4 – 4 = 0
Determinan Matriks Persegi ( 3 X 3 )
Jika : A =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
, maka determinan dari A adalah
det ( A ) = | A | = a11 . a22 . a13 . + a12 . a23 . a31 + a13 . a22 . a31 . – a12 .
a21 . a33 – a11 . a23 . a32
+
- 11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12
21 22
31 32
a a
a a
a a
Metode Sarrus
Politeknik Telkom Kalkulus
128 Matriks
CONTOH 5.10: hitunglah Determinan dari matriks
M =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
det(M) =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= (45)+(84)+(96)–(105)–(-48)– (-72) = 240
Metode di atas tidak berlaku untuk matriks persegi berordo (4x4) atau
yang lebih besar.
5.9 SIFAT-SIFAT DETERMINAN
Sifat-1 :
Sifat-2: Tanda Determinan berubah jika dua baris atau kolom situkar
tempatnya
2 5 0
3 2 1
1 2 4
= -
3 2 1
2 5 0
1 2 4
= +
1 2 4
2 5 01
3 2 1
Jika dua baris / kolom suatu matriks A sama, maka det (A) = 0
Contoh 5.11
5 3 2
8 7 9
5 3 2
= 0 ;
3 4 3
1 5 1
7 2 7
= 0 ;
2 3 1 5
6 5 2 7
2 3 1 5
3 7 7 2
= 0
Sifat-3 : Harga Determinan menjadi k kali, bila suatu baris / kolom
dikalikan dengan k (Suatu Skalar ).
det (A) = det (AT )
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 129
PAGE 10
Contoh 5-12
Misalkan : A =
2 3 2
4 1 1
0 3 2
Det (A) =
2 3 2
4 1 1
0 3 2
misalkan baris ke-1 dikalikan 5 maka :
10 15 10
4 1 1
0 3 2
= 5
2 3 2
4 1 1
0 3 2
= 5 A
Jadi, kita dapat memasukkan atau mengeluarkan skalar dari suatu
determinan secara bebas pada tiap-tiap baris atau kolom, misalnya :
Contoh 5-13
8 4 6
12 5 21
10 7 9
= 2
4 2 3
12 5 21
10 7 9
=
4 4 3
12 10 21
10 14 9
=
4 4 1
12 10 7
10 14 3
Catatan : Jika dilakukan satu kali transformasi elementer Bj(λ) (A)
terhadap matriks A, maka determinannya menjadi
kali.
Akibat : Kalau dalam suatu matriks A salah satu baris/ kolom nol
semua maka det (A) = 0
Contoh 5-14
2 5 7
0 0 0
8 1 4
= 0 ,
8 3 0 4
1 7 0 7
2 4 0 9
6 20 0 2
= 0
Politeknik Telkom Kalkulus
130 Matriks
Sifat-4 : Harga determinan tidak berubah apabila suatu baris diberikan
perintah OBE yaitu b i + (k).bj
Contoh 5-15:
2 3 1
2 1 0
4 2 3
b2+(-1).b1
2 3 1
0 2 1
4 2 3
b3+(-2).b1
2 3 1
0 2 1
0 4 1
b3+ (-
2).b2
2 3 1
0 2 1
0 0 3
Akibat : Bila pada sustu matriks A terdapat baris / kolom
berkelipatan, maka harga determinan yaitu det (A) =0
Catatan : Sebuah determinan selalu dapat dituliskan sebagai
penjumlahan dua determinan atau lebih.
Contoh 5-16
2 1 4
3 0 2
4 2 8
=
1 1 1 4
2 1 0 2
2 2 2 8
=
1 1 4
2 0 2
2 2 8
+
1 1 4
1 0 2
2 2 8
5.10 MINOR dan KOFAKTOR
Definisi : jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij
dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks
yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.
Jadi, bila dilakukan operasi baris elementer B ij (λ) (A) pada matriks A, maka harga determinan A tidak berubah.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 131
PAGE 10
Bilangan (-1) i+j Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri
aij.
Contoh 5-17 A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
,maka
Minor Entri a11 adalah M11 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 5 6
8 9 = 45 – 48 = -3
Kofaktor a11 adalah: c11 = (-1 ) 1+1 M11 = (-1)2 (-3) = -3
Demikian juga, minor entri a32 adalah :
M32 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1 3
4 6 = 6 – 12 = -6
Kofaktor a32 adalah : c32 = (-1) 3+2 M32 = (-1) 5 .M32 = (-1) (-6) = 6
5.11 MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN EKSPANSI KOFAKTOR
TEOREMA LAPLACE
Jika A suatu matriks persegi A [a ij].
maka determinan matriks A adalah jumlah perkalian elemen-elemen
dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya. Dengan
perkataan lain :
Atau
Baris-1 dan kolom-1 dihapus
Baris-3 dan kolom-2 dihapus
A =
n
j 1
a ij . cij = a i 1 ci 1 + a i 2 . ci 2 + . . .+ a i n . ci
Politeknik Telkom Kalkulus
132 Matriks
Contoh 5-18
Misalkan A =
3 1 0
2 4 3
5 4 2
Hitung det (A) dengan metoda ekspansi sepanjang kolom-1
Jawab :
det (A) = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31
= 3
4 3
4 2 -(-2 )
1 0
4 2 + 5
1 0
4 3 = 3 (-4) – (-2) (-2) + 5 (3) = -1
Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-1
A =
3 1 0
2 4 3
5 4 2
= a11 c11 + a12 c12 + a13 c13
= 3
4 3
4 2- 1
2 3
5 2 + 0
2 4
5 4
= 3 (-4) –(1) (-11) +0 = -12 + 11 = -1
Det (A) akan dihitung dengan ekspansi sepanjang baris-3
Det (A) = a31 c31 + a32 c32 + a33 c33
= 5
1 0
4 3-4
3 0
2 3+(-2)
3 1
2 4
A =
n
i 1
a ij . cij = a1 j c1 j + a2 j . c2 j + . . .+ an j . cn
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 133
PAGE 10
= 5 (3) – (4) (9) + (-2) (-10)
= +15 – 36 +20 = 35 - 36 = -1
Untuk menyederhanakan perhitungan determinan, ekspansikan
sepanjang baris atau kolom yang banyak mengandung elemen 0
(nol), karena suku-suku ini hasilnya nol.
Misal B =
2 3 5
4 0 0
8 1 7
Kita ekspansi sepanjang baris-2 (karena banyak nol nya),
Det (B) = - 4
3 5
1 7 + 0
2 5
8 7 - 0
2 3
8 1=-4(16)=-64
5.12 MATRIKS INVERSE
Definisi : Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :
A =
11 11 1
21 22 2
31 32 3
1 2
.... ....
... ...
.... ....
.... .... .... .... ....
.... ....
n
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
a a a
Disebut mempunyai inverse (invertible) bila ada suatu matrik B
sedemikian sehingga :
AB = BA = In
Politeknik Telkom Kalkulus
134 Matriks
Matrik B disebut invers dari matrik A, ditulis A-1 , adalah juga matriks
bujur sangkar berordo n.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 135
PAGE 10
Contoh 5-19
Carilah invers dari A = 2 1
4 3
Penyelesaian misalkan A-1 = 1 2
3 4
a a
a a
maka berlaku
2 1
4 3
.
43
21
aa
aa=
1 0
0 1
Bila dikalikan : 1 3 2 4
1 3 2 4
2 2
4 3 4 3
a a a a
a a a a
= 1 0
0 1
, atau
2a1 + a3 = 1 , 2a2 + a4 = 0 dan bila kita selesaikan
4a + 3a = 0 , 4a + 3a = 1 diperoleh
a1 = 3/2 , a2 = -1/2 , a3 = -2 ,a4 = 1. Jadi A-1 = 3 12 2
2 1
5.13 Menentukan Invers Matriks A dengan Matriks Adjoin
Matriks Kofaktor
Matriks kofaktor dari matriks A adalah matriks C seperti di bawah ini
C =
11 12 1
21 22 2
1 2
.... ....
... ...
.... .... .... .... ....
.... .... .... .... ....
.... ....
n
n
n n nn
c c c
c c c
c c c
Di mana c ij = (-1)i+j.Mij
dengan Mij adalah minor baris-I kolom-j yaitu determinan dari
matriks A di mana baris-I dan kolom-j dihilangkan.
Politeknik Telkom Kalkulus
136 Matriks
Matriks Adjoin
Matriks Adjoin adalah Transpose dari matriks kofaktor, jadi
Adj(A) = CT =
11 21 1
12 22 2
13 23 3
1 2
.... ....
... ...
.... ....
.... .... .... .... ....
.... ....
n
n
n
n n nn
c c c
c c c
c c c
c c c
Contoh 5-19
Tentukan matrik Invers dari A =
2 3 4
0 4 2
1 1 5
, jika ada.
Langkah-1: Menentukan Determinan Matriks A (metode bebas)
Det(A) =
2 3 4
0 4 2
1 1 5
= 2 4 2
1 5
+
3 4
4 2
= - 36 - 10 = -46
Catatan: Jika Det(A) = 0, maka A tidak punya invers, dan proses stop.
Langkah-2:
Menentukan Matriks Kofaktor
Maka kofaktor dari ke 9 elemen dari A adalah sebagai berikut :
c11 = + 4 2
1 5
= -18 ; c12 = - 0 2
1 5
= 2 , c13 = + 0 4
1 1
= 4
,
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 137
PAGE 10
c21 = - 3 4
1 5
= -11 , c22 = + 2 4
1 5
= 14 , c23 = - 2 3
1 1
= 5,
c31 = + 3 4
4 2
= -10 , c32 = - 2 4
0 2
= -4 , c33 = + 2 3
0 4
= -
8 ,
Matriks Kofaktornya adalah : C =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
c c c
c c c
c c c
=
18 2 4
11 14 5
10 4 8
Langkah-3 : Menentukan Matriks Adjoin
Jadi, adj(A) = CT =
18 11 10
2 14 4
4 5 8
Langkah-4: Menentukan Invers A dengan Rumus:
A-1 = 1
. ( )det( )
Adj AA
, dengan syarat det (A) 0
Jadi, A-1 = 1
. ( )det( )
Adj AA
= 1
46
18 11 10
2 14 4
4 5 8
5.14 Menentukan Invers Matriks A dengan OBE
Politeknik Telkom Kalkulus
138 Matriks
AA : II OBE I : A-1
Lakukan OBE pada matriks A : I sedemikian sehingga matriks A menjadi
matriks identitas, dan secara otomatis matriks Identitas yang ada di
sebelah kanan A akan menjadi matriks invers dari A.
Contoh 5-20
Tentukan invers dari matriks A =
1 2 3
2 5 3
1 0 8
Penyelesaian : A I
1 2 3 | 1 0 0
2 5 3 | 0 1 0
1 0 8 | 0 0 1
B21(-2)
B31(-1)
1 2 3 | 1 0 0
0 1 3 | 2 1 0
2 0 5 | 1 0 1
B32(2)
1 2 3 | 1 0 0
0 1 3 | 2 1 0
0 0 1 | 5 2 1
B3(-1)
1 2 3 | 1 0 0
0 1 3 | 2 1 0
0 0 1 | 5 2 1
Baris-2 ditambah -2
kali baris-1, dan Baris-
3 ditambah –1 kali
baris-1
Baris-3 ditambah 2 kali baris-2
Baris-3 dikalikan -1
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 139
PAGE 10
B23(3) dan B13
(-3) menghasilkan
1 2 0 | 14 6 3
0 1 0 | 13 5 3
0 0 1 | 5 2 1
B12(-2)
1 0 0 | 40 16 9
0 1 0 | 13 5 3
0 0 1 | 5 2 1
Jadi, Invers dari A adalah A-1 =
40 16 9
13 5 3
5 2 1
Tidak semua matriks persegi mempunyai invers.
Suatu matriks yang DETERMINAN-nya NoL , disebut MATRIKS
SINGULIR, dan matriks yang demikian Tidak mempunyai Invers.
Berikut ini adalah Contoh matriks yang tidak mempunyai
invers.
A =
1 6 4
2 4 1
1 2 5
B21(-2)
1 6 4
0 8 9
1 2 5
B31(1)
Baris-2 tambah 3 kali
baris-3, dan Baris-1
ditambah –3 kali baris-3
Baris-1 ditambah -2
kali baris-2
Politeknik Telkom Kalkulus
140 Matriks
1 6 4
0 8 9
0 8 9
Setelah dilakukan beberapa Operasi Baris, Terlihat bahwa ada dua
baris yang sama/ berkelipatan, maka sudah pasti determinannya =
0 , dan oleh karena itu Matriks A tidak mempunyai Invers, atau
tidak dapat dibalik.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 141
PAGE 10
Jika dilakukan pencarian invers seperti pada Contoh-1, maka hasilnya
adalah sbb:
A I
1 6 4
2 4 1
1 2 5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B21(-1) dan B31
(1)
1 6 4
0 8 9
0 8 9
1 0 0
2 1 0
1 0 1
B32(-1)
1 6 4
0 8 9
0 0 0
1 0 0
2 1 0
1 1 1
Karena terdapat satu baris nol pada matrik kiri, maka matriks A tidak
dapat dibalik.
5.15 Sitem Persamaan Linear
Persamaan Linear
Definisi:
Secara umum persamaan linear untuk n peubah x1, x2, …, xn dapat
dinyatakan dalam bentuk:
1 1 2 2 ... n nax a x a x b
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.
Contoh:
3 7x y
1 2 3 42 3 7x x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
142 Matriks
1
3 12
y x z
Sistem Persamaan Linear
Definisi:
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam
peubah x1, x2, …, xn dinamakan system persamaan liniear atau system
linear. Sebuah system sembarang yang terdiri dari m persamaan linear
dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
dimana x1, x2, …, xn adalah bilangan-bilangan tak diketahui dan a, b
adalah konstanta.
Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk :
11 11 1
11 11 2
1 1
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
1
2
n
x
x
x
1
2
m
b
b
b
atau
AX = B
dimana: A dinamakan matriks koefisien
X dinamakan matriks peubah
B dinamakan matriks konstanta
Augmented Matrix
Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalam bentuk matriks yang
diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 143
PAGE 10
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
Contoh:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x x x
x x x
x x x
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
Solusi Sistem Persamaan Linear
Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan bilangan
Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan
memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.
Contoh:
x – 2y = 7
2x + 3y = 7
{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut
Kemungkinan solusi dari sebuah sistem persamaan linear (SPL) adalah:
SPL mempunyai solusi tunggal
Politeknik Telkom Kalkulus
144 Matriks
Artinya : SPL 2x – y = 2
x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
SPL mempunyai solusi tak
hingga banyak
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 0
Jika digambar dalam kartesius
- Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit
- Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis
tersebut
- Artinya SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
SPL tidak mempunyai solusi
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 2
Jika digambar dalam
kartesius
- Terlihat bahwa dua
garis tersebut adalah
sejajar
- Tak akan pernah
diperoleh titik potong
kedua garis itu
- Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
Sistem Persamaan Linear Konsisten dan Tak Konsisten
Berdasarkan pemecahannya, Sistem Persamaan Linear dikelompokkan
menjadi dua, yaitu:
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 145
PAGE 10
1. Sistem Persamaan Linear konsisten
Merupakan system persamaan linear yang memiliki sebuah
pemecahan atau tak hingga banyaknya pemecahan.
Contoh:
1 3
1 2 3
1
2 3
x x
x x x
memiliki tak hingga banyaknya
pemecahan
2. Sistem Persamaan Linear tak konsisten
Merupakan system persamaan linear yang tidak memiliki
pemecahan
Contoh:
4
2 2 6
x y
x y
Contoh:
Selesaikanlah sitem persamaan linear berikut ini!
1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
x y z
x y z
x y z
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
1 2
1
1 3
1 1 2 91 1 2 9 1 1 2 92 1 7 172 4 3 1 0 2 7 17 0 1 2 23 2
3 6 5 0 0 3 11 27 0 3 11 27
b bb
b b
2 3 3
1 1 2 9 1 1 2 9
7 17 7 173 0 1 2 0 12 2 2 20 0 1 3310 0 2 2
b b b
Politeknik Telkom Kalkulus
146 Matriks
3 1
1 2
3 2
35111 0 2 2 1127 170 1 2 2 7
20 0 1 3
b bb b
b b
1 0 0 1 1
0 1 0 2 2
0 0 1 3 3
x
y
z
Eliminasi Gauss – Jordan
Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan untuk
memecahkan system persamaan linear.
Prosedur ini didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang
diperbesar (augmented marrix) menjadi bentuk yang sederhana.
Langkah-langkah dalam prosedur ini di antaranya adalah:
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan
taknol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (kita namakan
ini 1 utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka
kelompokkan baris seperti ini di bawah matriks.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 147
PAGE 10
3. Dalam sembarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya
tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih
rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari satu utama dalam
baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama
mempunyai nol di bawah satu utamanya.
5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama
mempunyai nol di atas satu utamanya.
Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4 dikatakan berada
dalam bentuk eselon baris (Eliminasi Gauss). Jika matriks tersebut juga
memiliki sifat 5 maka dikatakan berada dalam bentuk eselon baris
tereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)
Contoh:
Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris
1 4 3 7 1 1 0 0 1 2 6 0
0 1 6 2 , 0 1 0 , 0 0 1 1 0
0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 0 1
Matriks-matriks yang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi
1 0 0 1 1 0 0 4
0 1 0 2 , 0 1 0 7
0 0 1 3 0 0 1 1
Contoh:
Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan
eliminasi Gaus-Jordan
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Solusi:
Politeknik Telkom Kalkulus
148 Matriks
1 2 2 1
2
1 3 2 3
1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8
1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93 3
3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14
b b b bb
b b b b
3 1
3
3 2
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 3 371
0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 1 1552
0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2 2
xb b
b yb b
z
Aturan Cramer
Untuk mencari solusi suatu Sitem Persaman Linear selain
menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan juga dapat menggunakan aturan
cramer.
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
11 11 1
11 11 2
1 1
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
1
2
n
x
x
x
1
2
m
b
b
b
Jika determinan A tidak sama dengan nol maka solusi dapat ditentukan
satu persatu (peubah ke-i, xi)
Langkah-langkah menentukan solusi SPL dengan Aturan Cramer
adalah sebagai berikut:
1. Hitung determinan A (|A|)
2. Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
1 12 1
2 21 21
2
n
n
n n nn
b a a
b a aA
b a a
11 1 1
11 2 22
1
n
n
n n nn
a b a
a b aA
a b a
3. Hitung |Ai|
4. Solusi SPL untuk peubah xi adalah det( )
det( )
ii
Ax
A
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 149
PAGE 10
Contoh
Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan
aturan cramer
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Politeknik Telkom Kalkulus
150 Matriks
Solusi:
Bentuk SPL menjadi AX = B
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
x
y
z
1 1 2
1 2 3
3 7 4
A
,
x
X y
z
,
8
1
10
B
det (A) = |A|(ekspansi baris ke-1)
2 3 1 3 1 21 1 2
7 4 3 4 3 7
1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)
13 13 26 52
A
Tentukan Ai
1
8 1 2
1 2 3
10 7 4
A
, 2
1 8 2
1 1 3
3 10 4
A
, 3
1 1 8
1 2 1
3 7 10
A
Hitung |Ai|
1
2 3 1 3 1 28 1 2
7 4 10 4 10 7
8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)
8(13) 26 26 156
A
2
1 11 3 1 31 8 2
3 1010 4 3 4
1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)
26) 104 26 52
A
3
1 12 1 1 21 1 8
3 107 10 3 7
1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)
13 13 104 104
A
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 151
PAGE 10
det( )
det( )
ii
Ax
A
31 2 det( )det( ) det( )156 52 1043; 1; 2
det( ) 52 det( ) 52 det( ) 52
AA Ax y z
A A A
Menyelesaikan Soal Matriks dengan Mathcad
Jika diketahui matriks
2 2 1
1 3 0
5 4 3
A
dan matriks
1 2 2
2 3 2
1 5 3
B
,
tentukan:
a. 2AB A
b. det (A) dan det (B)
c. 1A
Solusi
Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
Ketikan A := kemudian akan muncul
Politeknik Telkom Kalkulus
152 Matriks
Pilih tombol Matriks dan Vector Toolbars sehingga akan
muncul
Tekan tombol akan muncul
Isikan matriks yang bersesuaian yang bersesuaian dengan soal
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 153
PAGE 10
Ketikan A*B – 2*A [enter] sehingga akan muncul
Untuk menentukan det(A) dan det(B), pilih tombol pada
toolbar matrix. Sehingga muncul |A| kemudian [enter]
sehingga muncul:
Politeknik Telkom Kalkulus
154 Matriks
Untuk mencari A-1 , ketik A pilih tombol pada toolbars
matrix.
Politeknik Telkom Kalkulus
Matriks 155
PAGE 10
Rangkuman
1. Sebuah matriks adalah susunan dari bilangan–bilangan berbentuk
persegi panjang yang diapit oleh dua buah tanada kurung biasa
atau kurung siku. Bilangan–bilangan di dalam susunan tersebut
disebut elemen matriks.
2. Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom
pada matriks tersebut
3. Matriks dinotasikan dengan huruf besar sedangkan unsur-
unsurnya dinyatakan dengan huruf kecil.
4. Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika :aij = bij,
yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut
adalah sama.
5. Jika A dan B adalah sembarang dua matriks yang ordonya sama
maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan
menambahkan entri-entri yang bersesuaian pada kedua matriks
tersebut
6. Ada 3 macam OBE yang dapat dilakukan yaitu:
(1). Mempertukarkan baris-I dan baris-j ( bi bj )
(2). Mengalikan skalar k terhadap suatu baris ( k.bi )
(3). Baris-I ditambah dengan k x Baris-j ( bi + k.bj )
7. jika A adalah matriks persegi, maka minor entri aij dinyatakan oleh
Mij dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap
setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A.
8. Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear
dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan system persamaan liniear
atau system linear
Politeknik Telkom Kalkulus
156 Matriks
9. Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalah himpunan
bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL
akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut
10. Eliminasi Gauss merupakan prosedur sistematik yang digunakan
untuk memecahkan system persamaan linear.
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 157
6 FUNGSI
Overview
Setiap pemain sepakbola mengenakan kaos tim dengan nomor
punggung yang berbeda-beda. Misalkan himpunan A terdiri dari 11
pemain Tim Nasional Indonesia dan himpunan B merupakan 11 kaos
Tim yang digunakan oleh Timnas untuk bertanding. Jika diperhatikan
setaip pemain mengenakan tepat satu kaos tim untuk sebuah
pertandingan. Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B kita sebut
fungsi. Pada bab ini akan dipelajari definisi fungi, menyatakan fungsi,
nilai fungsi, daerah asal dan daerah hasil, jenis-jenis fungsi, operasi
aljabar pada fungsi, fungsi komposisi, dan invers fungsi.
Tujuan
1. Mahasiswa memahami konsep fungsi
2. Mahasiswa mempu menentukan daerah asal dan daerah hasil
sebuah
fungsi
3. Mahasiswa mengatahui jenis-jenis fungsi
Politeknik Telkom Kalkulus
158 Fungsi
4. Mahasiswa mampu melakukan operasi aljabar pada fungsi
5. Mahasiswa memahami konsep fungsi komposisi
6. Mahasiswa mampu menentukan invers dari sebuah fungsi
6.1 Definisi Fungsi
Pembahasan mengenai fungi tidak dapat dilepaskan dari
masalah pemetaan atau pengaitan. Suatu pemetaan f dari himpunan A
ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A
dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B.
Perhatikan gambar berikut!
1
2
3
4
a
b
c
d
A B
f
Gambar 6.1: Fungsi
Setiap anggota himpunan A = {1, 2, 3, 4} dipetakan tepat satu pada
anggota di himpunan B.
Contoh
Misalkan 1,2 dan 3,6X Y .
Himpunan (1,3), (2,3) merupakan
fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota
himpunan X dikaitkan atau dipetakan
dengan tepat satu anggota himpunan Y.
1 3
2 6
Gambar 6.2
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 159
Himpunan (1,3),(1,6),(2,3) bukan
merupakan fungsi, karena ada anggota
himpunan X, yaitu 1, yang dikaitkan
lebih dari satu pada anggota himpunan
Y.
6.2 Menyatkan Fungsi
Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh
huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan
sebagainya.
Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke
himpunan B dinotasikan dengan :
:f A B
Jika x A dan y B, maka notasi pernyataan fungsi tersebut dapat
diganti dengan:
:f x y
“y” adalah peta dari x oleh f, atau “y” adalah fungsi dari “x” dan
umumnya ditulis sebagai:
( )y f x
Bentuk terakhir ini disebut dengan rumus fungsi. x disebut variabel
bebas dan y disebut variabel tak bebas karena nilainya tergantung
pada x.
6.3 Nilai Fungsi
Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika
x diberi suatu harga (nilai). Misal diberikan rumus fungsi 2( ) 2y f x x , maka :
Nilai fungsi untuk : x = -3 adalah 2(3) (3) 2 9 2 7f
: x = -1 adalah 2( 1) ( 1) 2 1 2 1f
1 3
2 6
Gambar 6.3
(2 – 1)
Politeknik Telkom Kalkulus
160 Fungsi
: x = 0 adalah 2(0) (0) 2 0 2 2f
: x = a adalah 2( ) ( ) 2f a a
: x = a + 3 adalah 2( 3) ( 3) 2f a a
2
2
6 9 2
6 7
a a
a a
: x = 2 adalah 2( 2) ( 2) 2 2 2 0f
: x = 1
2 adalah
21 1 1 3
2 2 12 2 4 4
f
: x = t2 adalah 2 2 2 4( ) ( ) 2 2f t t t
6.4 Daerah Asal, dan Daerah Hasil
Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan
domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan
himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi
f.
Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak
disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah
himpunan terbesar di dalam sehingga f terdefinisikan atau
ada.
: ( )fD x f x
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A
dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau
Im(f).
( )f fR f x x D :
Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A
mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan
bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan
ditulis y = f(x).
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 161
A B
fx y
Gambar 6.4 : fungsi dari himpunan A ke B
Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan
variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Contoh
Tentukan daerah asal (Domain) dan daerah hasil (Range) dari fungsi
berikut ini:
1. ( ) 3f x x 2. 2( )f x x 3. ( ) 2 6f x x
4. 2( ) 9f x x 5. 3
( )4
f xx
6. 2
2( )
6 8f x
x x
Politeknik Telkom Kalkulus
162 Fungsi
Jawab
1. ( ) 3f x x
Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada dan ( )f x . sehingga
{ | }fD x x dan fR y y
2. 2( )f x x
Untuk setiap x nilai dari ( )f x selalu ada dan memiliki nilai positif
( ( )f x + ) sehingga { | }fD x x dan fR y y
3. ( ) 2 6f x x
Jika kita memasukan nilai x = 1 maka (1) 2(1) 6 4f (tak
terdefinisi), karena “akar” hanya didefinisikan untuk bilangan yang
lebih dari atau sama dengan nol.
2 6 0 2 6 3x x x .
Jadi daerah asalnya dalah: { | 3, }fD x x x
Daerah hasil diperoleh dengan cara memasukan nilai x pada daerah
asal. 0, 0,~fR y y y
4. 2( ) 9f x x
f(x) akan terdefinisi jika bilangan dibawah tanda akar lebih dari atau
sama dengan nol, sehingga 2 9 0 ( 3)( 3) 0x x x
Dan nilai–nilai x yang memenuhi pertidak samaan terakhir adalah 3x
atau 3x jadi daerah asalnya adalah 3 3fD x x atau x .
0, 0,~fR y y y
5. 3
( )4
f xx
-3 0 3
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 163
Suatu pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan
nol. Jadi agar f(x) terdefinisi maka 4 0 4x x sehingga
4 4 atau 4,fD x x x x x x
Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :
0, 0,~fR y y y
6. 2
2( )
6 8f x
x x
f(x) akan terdefinisi jika 2 6 8 0 ( 2)( 4) 0x x x x . Nilai x yang
menyebabkan nol adalah x = 2 atau x = 4. Jadi daerah asalnya adalah :
2 atau 4, 2 atau 2 4 atau 4,fD x x x x x x x x x
Nilai f(x) tidak mungkin nol sehingga :
0, 0,~fR y y y
6.5 Jenis-Jenis Fungsi
6.5.1 Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah sebuah
fungsi yang dirumuskan dengan f(x)
= k, dengan k adalah konstanta riil.
Grafiknya berupa sebuah garis
mendatar yang berjarak k satuan
dari sumbu x
6.5.2 Fungsi Identitas
Fungsi Identitas adalah sebuah
fungsi yang dirumuskan dengan f(x)
= x. Grafiknya berupa sebuah garis
4
2 4
x =
k
y =
f(x)
Gambar 6.5
Gambar 6.6 Gambar 6.6
Politeknik Telkom Kalkulus
164 Fungsi
yang melalui titik asal (0,0) dengan
gradien (tanjakan) =1
6.5.3 Fungsi Polinom
Fungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari
fungsi identitas dengan memakai operasi – operasi, penambahan,
pengurangan, dan perkalian.
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 165
Bentuk umum dari polinom adalah: 1
1 1 0( ) ...n n
n nf x a x a x ax a
di mana koefisien a adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak
negatif (0,1,2,3,… n). Jika an 0, maka n adalah derajat dari fungsi
polinom tersebut.
6.5.4 Fungsi linear
Fungsi Linear adalah fungsi polinom
berderajat satu.
Bentuk umum fungsi linear adalah :
( )f x ax b
a dan b adalah konstan riil grafiknya
berupa garis yang melalui titik –
titik ,0 dan 0,b
ba
jika a > 0 dan b < 0, maka grafiknya
seperti pada gambar disamping.
Koefisien x yaitu a, adalah gradien
atau tanjakan atau kemiringan dari
garis tersebut. Jika a > 0 (positif).
Grafik naik ke kanan, jika a < 0
(negatif) grafik turun kekanan.
Jika b = 0, maka garis
melalui titik asal O(0,0).
Jika a =1 dan b = 0, maka
adalah fungsi identitas
Jika a = 0 dan b 0, maka
adalah fungsi konstan
b
f(x) = ax +
b
f(x) = ax +
b
Gambar 6.7
Gambar 6.8
Politeknik Telkom Kalkulus
166 Fungsi
Gambar 6.10
6.5.5 Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah fungsi
polinom berderajat dua. Bentuk
umumnya adalah : 2( )f x ax bx c ; a 0
Gafiknya berbentuk parabola.
Parabola terbuka keatas jika a >
0, dan terbuka ke bawah jika a <
0.
6.5.6 Fungsi Nilai Mutlak (Modulus)
Nilai mutlak dari suatu bilangan riil x dilambangkan dengan x ,
didefinisikan sebagai :
x
Fungsi yang dirumuskan oleh : ( )f x x , disebut
fungsi nilai mutlak. Karena |x| selalu lebih dari
atau sama dengan nol, maka grafik fungsi nilai
mutlak selalu berada di atas atau pada sumbu x.
Grafik dari ( )f x x adalah seperti pada gambar.
Grafik dari y = |x| dapat diperoleh dengan cara
menggambar y = x, kemudian bagian grafik yang
berada dibawah sumbu x dicerminkan terhadap
sumbu x.
Contoh
Diberikan rumus fungsi f(x) = | x – 2 |
a. Tentukanlah nilai – nilai dari : f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3),
f(4)
b. Gambarkan grafiknya
Jawab
x ; jika x 0
x ; jika x < 0
3 2 1 0 1 2 3
3
2
1
1
2
3
a > 0 a < 0
Gambar 6.9
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 167
f(x) = |x – 2|
a) f(-2) = |-2 – 2| = |-4| = 4 b) Grafik dari f(x) = |x – 2|
f(-1) = |-1 – 2| = |-3| = 3
f(0) = |0 – 2| = |-2| = 2
f(1) = |1 – 2| = |-1| = 1
f(2) = |2 – 2| = |0| = 0
f(3) = |3 – 2| = |1| = 1
f(4) = |4 – 2| = |2| = 2
Grafiknya dapat diperoleh dengan cara menggambar y = x – 2,
kemudian bagian grafik dibawah sumbu x dicerminkan pada
sumbu x.
6.5.7 Fungsi Tangga
Fungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi yang
dilambangkan dengan :
f (x) = ||x||
Didefinisikan sebagai : Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau
sama dengan x.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Dengan bantuan gambar di atas kita dapat dengan mudah
menentukan nilai-nilai fungsi bilangan bulat terbesar pada –7 x 7.
Perhatikan uraian berikut!
|| -3 || = 3; || 2 || = 2; || ½ || = 0; || 23 || = 1; || 5 ½ || = 5
|| -3 || = -3; || -3 ½ || = -4; || - ½ || = || -1||; || -6 ½ || = -7
|| 2 || = 1; || || = || 3,14 || = || 3 ||; || 3 || = || -1,732 || = -2
Pada selang :
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
3
Gambar 6.11
Gambar 6.12 Garis
Bilangan
Politeknik Telkom Kalkulus
168 Fungsi
-2 x < -1 f(x) = -2
-1 x < 0 f(x) = -1
0 x < 1 f(x) = 0
1 x < 2 f(x) = 1
2 x < 3 f(x) = 2
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 169
sehingga grafiknya adalah seperti pada gambar berikut.
6.5.8 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan :
(1) Fungsi Genap, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x
(2) Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x
Jika (1) dan (2) tidak dipenuhi, dikatakan bahwa fungsi tak genap dan
tak ganjil.
Contoh
Periksalah apakah fungsi-fungsi berikut ini genap, ganjil atau tak genap
dan tak ganjil.
a. f(x) = x d. f(x) = 4x g. f(x) = x4 – 3x2
b. f(x) = x2 e. f(x) = x2 – 4 h. f(x) = 2x3 – 5x
c. f(x) = x3 f. f(x) = |x| I. f(x) = x2 + 2x – 8
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
Gambar 6.13
Politeknik Telkom Kalkulus
170 Fungsi
Jawab
a. f(x) = x f. f(x) = |x|
f(-x) = -x = -f(x) f(-x) = |-x| = |-1| |x| = 1 |x| = |x|
Jadi f Ganjil Jadi f Genap
b. f(x) = x2 g. f(x) = x4 – 3x2
f(-x) = (-x)2= x2= f(x) f(-x) = (-x)4 – 3(-x)2= x4 – 3x2
Jadi f Genap Jadi f Genap
c. f(x) = x3 h. f(x) = 2x3 – 5x
f(-x) = (-x)3 = -x3 = -f(x) f(-x) = 2(-x)3 – 5(-x) = -2x3 + 5x
Jadi f Ganjil = -[2x3 – 5x] = -f(x)
Jadi f Ganjil
d. f(x) = 4x i. f(x) = x2 + 2x - 8
f(-x) = 4(-x) = -4x = -f(x) f(-x) = (-x)2 + 2(-x) – 8
Jadi f Ganjil = x2 – 2x - 8 = -[-x2 + 2x + 8]
f(x) -f(x)
Jadi f tak Genap dan tak Ganjil
e. f(x) = x2 – 4 j. f(x) = x ; x 0
f(-x) = (-x)2 – 4 f(-x) = x (tak terdefinisi)
= x2 – 4 = f(x) Jadi f tak Genap dan tak Ganjil
Jadi f Genap
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 171
6.6 Operasi Aljabar Pada Fungsi
Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f g ,
selisih f g , hasil kali skalar f , hasil kali .f g , dan hasil bagi
f gmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:
a. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x
b. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x
c. ( )( ) ( )f x f x
d. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x
e. ( )
( )( ) , asalkan ( ) 0( )
f f xx g x
g g x
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f
dan domain g, yaitu f g f g f g f gD D D D D . Sedangkan untuk f g ,
: ( ) 0f g f gD x D D g x .
Contoh
Jika f dan g masing-masing:
( ) 2 5f x x ( ) 4g x x
maka tentukan: f g , f g , .f g , dan f g beserta domainnya.
Jawab
( ) 2 5 4 ( ) 2 5 4
2 5. ( ) 2 5. 4 ( )
4
f g x x x f g x x x
xf g x x x f g x
x
{ | }fD x x R dan { | 4}fD x x
{ | 4}f g f g f g f gD D D D D x x
: ( ) 0 | 4f g f gD x D D g x x x
Contoh
Jika f dan g masing-masing: ( ) 1f x x dan 1
( )5
g xx
maka tentukan: f g , f g , .f g , dan f g beserta domainnya.
Jawab
Politeknik Telkom Kalkulus
172 Fungsi
1 1( ) 1 ( ) 1
5 5
1 1. ( ) 1. ( )
5 5
f g x x f g x xx x
xf g x x f g x
x x
Karena [1, ) dan { 5}f gD D R , maka f g , f g , .f g , dan gf
masing-masing mempunyai domain: [1, ) .
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 173
6.7 Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi dari f dan g didefinisikan sebagai:
( ) ( ( )), g ff g x f g x R D
Dengan domain : ( )f g g fD x D g x D
( ) ( ( )), f gg f x g f x R D
Dengan domain : ( )g f f gD x D f x D
Contoh
Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut
beserta domainnya.
a. f g b. g f c. f f d. g g
Jawab
a. 2( ) ( ( )) ( 1) ( 1)f g x f g x f x x , dengan domain f gD .
b. 2 2( ) ( ( )) ( ) 1g f x g f x g x x , dengan domain g fD .
c. 2 4( ) ( ( )) ( )f f x f f x f x x , dengan domain f fD .
d. ( ) ( ( )) ( 1) ( 1) 1 2g g x g g x g x x x , dengan domain
g gD .
Contoh
Jika 2( ) 1f x x dan 2( ) 2g x x maka tentukan fungsi-fungsi berikut
ini beserta domainnya.
a. f g b. g f
Jawab
a. 2 2 2 4( ) ( ( )) (2 ) 1 (2 ) 1 4f g x f g x f x x x , dengan domain:
2
2
: ( ) : 1 2 1
1 1: 0 12 : 2 2
2 2
f g g fD x D g x D x x
x x x x
.
Politeknik Telkom Kalkulus
174 Fungsi
b. 2 2( ) ( ( )) ( 1 ) 2(1 )g f x g f x g x x , dengan domain:
: ( ) : 1 1g f f gD x D f x D x x .
6.8 Invers Fungsi
Fungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x),
fungsi f–1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f –1 (y).
Rumus untuk fungsi invers dari f diperoleh dengan cara mengganti x
dengan y dan y dengan x pada bentuk x = f –1 (y) sehingga diperoleh
rumus : y = f –1 (x)
Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai berikut.
1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x
sebagai fungsi dari y)
2. Namakanlah x sebagai f –1 (y), sehingga f –1 (y) = f(y)
3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi
invers f –1 (x)
Contoh
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut dan gambarkan
fungsi tersebut dan inversnya pada satu salib sumbu.
a). ( ) 3 2f x x
b). 3( )f x x
Jawab
a. 3 2y x
3 2x y
2 1 2
3 3 3
yx y ……Langkah (1)
1 1 2( )
3 3f y y ……….Langkah (2)
1 1 2( )
3 3f x x ………..Langkah (3)
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
3 2y xy x
1 2
3 3y x
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 175
Jadi fungsi invers dari
( ) 3 2f x x adalah
1 1 2( )
3 3f x x
Pada gambar tampak jelas bahwa grafik 1 1 2( )
3 3y f x x merupakan
pencerminan dari grafik ( ) 3 2y f x x terhadap garis y x dan
sebaliknya.
b. 3y x
3x y
1 1 13 3 3 3( )x y x y …Langkah (1)
11 3( )f y y ……………..Langkah (2)
11 3( )f x x …………… Langkah (3)
Jadi fungsi invers dari
3( )f x x adalah 11 3( )f x x
Pada gambar tampak jelas bahwa
grafik 11 3( )y f x x merupakan
pencerminan dari grafik
3( )y f x x terhadap garis
y xdan sebaliknya.
Contoh
Tentukan fungsi invers dari 3 4 1
( ) ,2 1 2
xf x x
x
!
Jawab
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4 3y x
y x
13y x
Gambar 6.14
Gambar 6.15
Politeknik Telkom Kalkulus
176 Fungsi
3 4
2 1
xy
x
(2 1) 3 4 2 3 4 2 3 4 (2 3) 4y x x xy y x xy x y x y y
4
2 3
yx
y
……(langkah 1)
1 4( )
2 3
yf y
y
…….(langkah 2)
1 4( )
2 3
xf x
x
…….(langkah 2)
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 177
6.9 Menyelesaikan Soal dengan Matcad
1. Jika diketahui 2( ) 2 5f x x x , tentukan nilai
1( 2), dan (1000)
2f f f
Buka software mathcad
Akan muncul halaman awal mathcad berikut
Politeknik Telkom Kalkulus
178 Fungsi
Pilih tombol evaluation toolbars akan muncul
Pilih “:=” dan akan muncul
Definisikan fungsi sehingga akan muncul
kemudian enter sehingga pada mathcad muncul tanda “+”
Ketikan ( 2)f disertai “=” yang ada pada tombol evaluation
toolbars kemudian enter sehingga akan muncul
Dengan cara yang sama kita akan mudah menghitung nilai dari
1 dan (1000)
2f f
f x( ) x
22x 5
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 179
Politeknik Telkom Kalkulus
180 Fungsi
Rangkuman
1. Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan
dengan tepat satu anggota dari himpunan B
2. Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf tunggal, boleh
huruf kecil ataupun huruf besar misalnya f, g, h, d, F, G, K, L, V dan
sebagainya.
3. Untuk menyatakan bahwa f adalah suatu fungsi dari himpunan A
ke himpunan B dinotasikan dengan :
:f A B
4. Nilai fungsi adalah nilai y yang diperoleh dari rumus fungsi jika x
diberi suatu harga (nilai).
5. Jika f : A B maka dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain
atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B
dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
6. Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A
dinamakan range atau daerah hasil fungsi f, ditulis fR atau Im(f).
7. Fungsi konstan adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan f(x)
= k, dengan k adalah konstanta riil.
8. Fungsi Identitas adalah sebuah fungsi yang dirumuskan dengan
f(x) = x. Grafiknya berupa sebuah garis yang melalui titik asal (0,0)
dengan gradien (tanjakan) =1
9. Fungsi Polinom adalah sebarang fungsi yang dapat dibangun dari
fungsi identitas dengan memakai operasi – operasi, penambahan,
pengurangan, dan perkalian
10. Fungsi Linear adalah fungsi polinom berderajat satu.
11. Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat dua.
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 181
12. Fungsi yang dirumuskan oleh : ( )f x x , disebut fungsi nilai
mutlak.
13. Fungsi tangga atau fungsi bilangan bulat terbesar adalah fungsi
yang dilambangkan dengan f (x) = ||x|| Didefinisikan sebagai :
Bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x.
Politeknik Telkom Kalkulus
182 Fungsi
14. Suatu fungsi yang didefinisikan oleh y = f(x) dikatakan :
Fungsi Genap, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x
Fungsi Ganjil, Jika dipenuhi ( ) ( )f x f x
15. Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f g ,
selisih f g , hasil kali skalar f , hasil kali .f g , dan hasil bagi
f gmasing-masing didefinisikan sebagai berikut:
a. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x
b. ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x
c. ( )( ) ( )f x f x
d. ( . )( ) ( ). ( )f g x f x g x
e. ( )
( )( ) , asalkan ( ) 0( )
f f xx g x
g g x
16. Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f g , didefinisikan sebagai
( ) ( ( ))f g x f g x dengan domain : ( )f g g fD x D g x D
17. Fungsi f memetakan x pada y, dirumuskan dengan y = f(x), fungsi f–
1 memetakan y pada x, dirumuskan dengan x = f –1 (y).
18. Langkah-langkah menentukan Fungsi Invers adalah sebagai
berikut.
1. Dari bentuk y = f(x) ubahlah menjadi bentuk x = f(y) (x
sebagai fungsi dari y)
2. Namakanlah x sebagai f –1 (y), sehingga f –1 (y) = f(y)
3. Gantilah huruf y dengan x sehingga diperoleh rumus fungsi
invers f –1 (x)
Politeknik Telkom Kalkulus
Fungsi 183
7 Limit dan Kekontinuan
Overview
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkataan
“hampir”. Seorang pembalap Moto Gp Valentino Rossi yang dijuluki
The Doctor memacu motornya dengan kecepatan hampir
(mendekati) 150 km/jam di sebuah tikungan. Dalam matematika
permasalahan tersebut ditemukan pada pembahasan mengenai limit.
Pada bab ini akah dipelajari definisi limit, limit sepihak, teorema-
teorema dalam limit, pemecahan soal limit, limit tak hingga, limit di
tak hingga, limit fungsi trigonimetri dan kekontinuan fungsi.
Tujuan
Politeknik Telkom Kalkulus
184 Limit dan Kekontinuan
1. Mahasiswa memahami definisi limit
2. Mahasiswa memahami konsep limit kiri dan limit kanan
3. Mahasiswa memahami teorema-teorema dalam limit
4. Mahasiwa memhami pemecahan soal limit
5. Mahasiswa memahami limit tak hingga dan limit di takhingga
6. Mahasiswa memahami limit fungsi trigonometri
7. Mahasiwa memahami konsep kekontinuan suatu fungsi
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 185
7.1 Definisi Limit Fungsi
Konsep limit merupakan dasar dari kalkulus diferensial dan
kalkulus integral. Perhatikan fungsi yang didefinisikan oleh 2 2 8
( )4
x xf x
x
.
Untuk x 4, f(x) dapat ditulis sebagai:
4 2( ) 2 ; 4
4
x xf x x x
x
Yang grafiknya adalah seperti di bawah ini.
Dari grafik terlihat, bahwa jika nilai x cukup mendekati 4, maka nilai
f(x) akan mendekati 6.
Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut!
Sehingga secara intuisi, limit di satu titik dapat didefinisikan sebagai
berikut : Misal f(x) terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan tidak
terdefinisi di c, nilai f(x) akan mendekati L, bila x mendekati
c.
X 3.5 3.899 4 4.001 4.011 4.1 4.2
f(x) 5.5 5.999 … 6.001 6.011 6.1 6.2
Politeknik Telkom Kalkulus
186 Limit dan Kekontinuan
limx c
f x L
7.2 Limit Sepihak
Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdefinisikan pada suatu interval buka
(a, b), yang memuat titik c, dan tidak terdefinisi di c, maka :
Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)
mendekati L. Notasi disebut limit kanan
limx c
f x L
Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)
mendekati G. Notasi disebut limit kanan
limx c
f x G
Dari definisi limit kiri dan limit kanan di atas, diperoleh suatu teorema
sebagai berikut:
lim ( ) lim ( ) dan lim ( ) x c x c x c
f x L f x L f x L
7.3 Teorema-Teorema dalam Limit
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut
ini sangat diperlukan dalam hitung limit.
1. limx c
A A
, ,Ac
2. limx c
x c
Jika lim ( )x c
f x
dan lim ( )x c
g x
keduanya ada dan k maka berlaku
pernyataan-pernyataan berikut:
1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
2 lim ( ) lim ( )x c x c
kf x k f x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 187
3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
4 lim ( )
( )lim
( ) lim ( )
x c
x cx c
f xf x
g x g x
, asalkan lim ( ) 0x c
g x
5 Untuk n :
(a). lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
(b). lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
, asalkan lim ( ) 0
x cf x
(c). 1
1lim ( ) lim ( )
nn
x c x cf x f x
, asalkan untuk n genap lim ( ) 0
x cf x
7.4 Pemecahan Soal Limit
Untukl menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa
cara. di antaranya adalah sebagai berikut.
1. Substitusi langsung
2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)
3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)
Contoh
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)
a. 2
lim (3 5)x
x
b. 2
2lim (2 7 6)x
x x
c. 1
lim 7 2 1x
x x
d. 1
2 3lim
5 2x
x
x
Jawab
a. 2
lim (3 5) 3(2) 5 6 5 1x
x
Politeknik Telkom Kalkulus
188 Limit dan Kekontinuan
b. 2 2
2lim (2 7 6) 2(2) 7(2) 6 8 14 6 0x
x x
c. 1
lim 7 2 1 7(1) 2(1) 1 7 1 7x
x x
d. 1
2 3 2( 1) 3 2 3 1lim
5 2 5( 1) 2 5 2 3x
x
x
Contoh
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)
a. 2
2
4lim
2x
x
x
b. 2
22
3 2lim
4x
x x
x
c. 1
1lim
1x
x
x
Jawab
a. 2 2
2
4 2 4 4 4 0lim (tidak terdefinisi)
2 2 2 2 2 0x
x
x
. Untuk
menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai
berikut. 2
2 2
( 2)4lim lim
2x x
xx
x
( 2)
2
x
x
2lim( 2) 2 2 4x
x
b. 2 2
2 22
3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0lim (tidak terdefinisi)
4 4 04 2 4x
x x
x
.
Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran
sebagai berikut. 2
22 2
( 2)3 2lim lim
4x x
xx x
x
( 1)
( 2)
x
x
2
1 2 1 1lim
( 2) 2 2 2 4x
x
x x
c. 1
1 1 1 0lim
01 1 1x
x
x
. Untuk menyelesaikannya maka
digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.
1 1
11lim lim
1x x
xx
x
1
1
x
x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 189
1
lim 1 1 1 2x
x
Contoh
Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan Akar)
a. 2
2 2lim
2x
x
x
b. 2
21
2 3lim
1x
x
x
Jawab
Politeknik Telkom Kalkulus
190 Limit dan Kekontinuan
a. 2
2 2 2 2 2 4 2 0lim (tidak terdefinisi)
2 2 2 2 2 0x
x
x
.
Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan
akar sebagai berikut.
2 2
2 2 2 2 2 2lim lim
2 2 2 2x x
x x x
x x x
2 2
2
2 2lim
2 2 2x
x
x x
2
( 2) 4lim
2 2 2x
x
x x
2
2limx
x
2x 2 2x
2
1lim
2 2x x
1 1 1 1
2 2 42 2 2 4 2
b.
22
2 21
2 ( 1) 32 3 2 4 0lim
1 1 01 1 ( 1)x
x
x
.
Untuk menyelesaikannya maka digunakan cara perasionalan
akar sebagai berikut.
2 2 2
2 2 21 1
2 3 2 3 2 3lim lim
1 1 2 3x x
x x x
x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 191
22 2
2 21
2
2 21
2
1
2 3 lim
1 2 3
4 3 lim
1 2 3
1 lim
x
x
x
x
x x
x
x x
x
21 x 2
21
2
2 3
1 lim
2 3
1 1 1 1
2 2 42 42 ( 1) 3
x
x
x
Contoh
Diketahui fungsi berikut: 2
2 ; 1
( ) ; 1 2
3 ; 2
x x
f x x x
x x
. Tentukanlah:
a. 1
lim ( )x
f x
b. 2
lim ( )x
f x
Jawab
a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang
digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju -1 dari
kanan aturan fungsi yang digunakan adalah 2x . Oleh karena
itu, untuk mencari 1
lim ( )x
f x
digunakan limit sepihak (limit kiri
dan limit kanan)
1 1lim ( ) lim ( 2) 1 2 1
x xf x x
2 2
1 1lim ( ) lim ( 1) 1
x xf x x
11 1lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1
xx xf x f x f x
Politeknik Telkom Kalkulus
192 Limit dan Kekontinuan
b. Perhatikan untuk x menuju 2dari kiri aturan fungsi yang
digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan
aturan fungsi yang digunakan adalah 3x . Oleh karena itu,
untuk mencari 2
lim ( )x
f x
digunakan limit sepihak (limit kiri dan
limit kanan) 2 2
2 2lim ( ) lim 2 4
x xf x x
2 2lim ( ) lim ( 3) 2 3 1
x xf x x
12 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak ada
xx xf x f x f x
7.5 Limit Takhingga
Sebelum membahas mengenai limit takhingga perhatikan
masalah perhitungan 20
1limx x
. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat
dengan 0, maka nilai-nilai 2
1( )f x
x diberikan pada tabel berikut ini.
x 2
1
x x 2
1
x
1 1 - 1 1
0,5 4 - 0,5 4
0,01 10.000 - 0,01 10.000
0,0001 100.000.000 - 0,0001 100.000.000
0,000005 40.000.000.000 - 0,000005 40.000.000.000
Dari Tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat
dengan 0, maka nilai 2
1( )f x
x menjadi semakin besar. Bahkan nilai
2
1( )f x
x akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 193
dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi 2
1( )f x
x dapat
dilihat pada gambar berikut
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak
hingga, ditulis:
0lim ( )x
f x
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
a. lim ( )x c
f x
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi
x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.
b. lim ( )x c
f x
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi
x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.
Contoh
Diketahui 1
( )1
f xx
beserta grafiknya.
Tentukan:
a. 1
lim ( )x
f x
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
4
3
2
1
1
2
3
4
1
Politeknik Telkom Kalkulus
194 Limit dan Kekontinuan
b. 1
lim ( )x
f x
c. 1
lim ( )x
f x
Jawab
a. Perhatikan grafik 1
( )1
f xx
! Jika 1x maka 1
1x
1 1
1 1lim ( ) lim
1 0x xf x
x
b. Perhatikan grafik 1
( )1
f xx
! Jika 1x maka 1
1x
1 1
1 1lim ( ) lim
1 0x xf x
x
c. 11 1
lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adaxx x
f x f x f x
Contoh
Hitunglah limit berikut ini!
a. 2
4lim
2x x
b. 2
4lim
2x x
c. 2
4lim
2x x
d. 2
4lim
2x x
e. 2
3
3lim
6x
x
x x
f. 2
3
3lim
6x
x
x x Jawab
a. 2
4 4lim
2 0x x
b. 2
4 4lim
2 0x x
c. 2
4 4lim
2 0x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 195
d. 2
4 4lim
2 0x x
e. 2
3 3
3 3 9 9lim lim
( 3)( 2) 0 (5) 06x x
x x
x xx x
f. 2
3 3
3 3 9 9lim lim
( 3)( 2) 0 (5) 06x x
x x
x xx x
7.6 Limit di Tak Hingga
Pada bagian sebelumnya telah
dijelaskan pengertian limit untuk
x c , dengan c suatu bilangan
berhingga. Lalu bagaimana nilai
( )f x apabila nilai x cukup besar. Untuk
memahami permasalahan tersebut
perhatikan bagaimana nilai 1
( )f xx
apabila nilai x cukup besar. Perhatikan tabel berikut!
x 1
( )f xx
10 0,1
1.000.000 0,000001
5.000.000 0,0000002
100.000.000 0,00000001
Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah
positif) nilai ( )f x semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini
dikatakan:
1lim 0x x
Bagaimana jika x semakin besar tak terbatas (arah negatif). Perhatikan
tabel berikut ini!
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
1
x
x
Politeknik Telkom Kalkulus
196 Limit dan Kekontinuan
x 1
( )f xx
- 1 - 1
- 1.000.000 - 0,000001
- 5.000.000 - 0,0000002
- 100.000.000 - 0,00000001
Pada tabel di atas terlihat jelas bahwa semakin besar nilai x (arah
negatif) nilai ( )f x semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini
dikatakan:
1lim 0
x x
Dari penjelasan tersebut diperoleh pengertian limit menuju tak hingga
sabagai berikut.
a. lim ( )x
f x L
jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup
besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah
positif) maka ( )f x mendekati L.
b. lim ( )x
f x L
jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup
besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah
negatif) maka ( )f x mendekati L.
Contoh
Hitunglah limit berikut ini!
a. 4
lim2x x
b. 6 1
lim2 10x
x
x
c. 2
4lim
2 2x
x
x x
d. 2
2
6lim
2 3x
x
x x
e. 2
lim1x
x
x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 197
f. 2lim 3
xx x x
g. 3
2lim
3x
x
x Jawab
a. 4 4
lim 02x x
b. 6 1
lim (tak tentu)2 10x
x
x
.
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi
dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:
16 6 0lim 3
10 2 02x
x
x
c. 2
4lim (tak tentu)
2 2x
x
x x
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi
dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh:
22
44 0lim lim 0
2 2 1 0 02 2 1x x
x x
x x x x
d. 2
2
6lim (bentuk tak tentu)
2 3x
x
x x
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi
dari pembilang dan penyebutnya, yaitu 2x sehingga diperoleh: 2
2
6 6 6lim lim 3
3 2 02 3 2x x
x
x x x
e. 2
lim (tak tentu)1x
x
x x
Untuk menyelesaikannya, kita bagi dengan pangkat tertinggi
dari pembilang dan penyebutnya, yaitu x sehingga diperoleh:
Politeknik Telkom Kalkulus
198 Limit dan Kekontinuan
2 2
2
22 2 2
1lim lim
1 1
1 1 lim lim
1 11 1
1 1
1 0 0
x x
x x
x
x x x xx
x xx xx x x
f. 2lim 3 (tak tentu)
xx x x
22 2
2
3lim 3 lim 3
3x x
x x xx x x x x x
x x x
2 2
2
2
( 3)lim
3
3lim
3
x
x
x x x
x x x
x
x x x
2
31lim
311 1x
x
x x
1 0 1
2( 1 0 0 1)
g. 3
2lim (tak tentu)
3x
x
x
3
23
1 1lim lim
31 0 03x x
x
x x x
7.7 Limit Fungsi Trigonometri
Beberapa rumus limit fungsi trigonometri di antaranya adalah
sebagai berikut:
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 199
(i)
0 0
sinlim lim 1
sinx x
x x
x x
(ii)
0 0
tanlim lim 1
tanx x
x x
x x
Contoh
Hitung
0
sin5lim
tan3!
Jawab
0 0
0 0 0
sin5 sin5 3 1lim lim 5
tan3 5 tan3 3
sin5 3 5 lim lim lim
5 tan3 3
untuk 0 berakibat 3 0 dan 5 0 , sehingga:
0 5 0 3 0 0
sin5 sin5 3 5lim lim lim lim
tan3 5 tan3 3
5 5 1.1.
3 3
7.8 Kekontinuan Fungsi
Fungsi ( )f x kontinu di x a jika memenuhi syarat-syarat berikut
ini:
1. f(a) ada atau terdefinisikan,
2. limx a
f x
ada
3. limx a
f x f a
Jika minimal salah satu syarat tersebut tidak dipenuhi maka f
dikatakan tidak kontinu di x a .
a
º
f ( )f a tidak ada
( )f x tidak kontinu di x a
Politeknik Telkom Kalkulus
200 Limit dan Kekontinuan
a
lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak adax ax a x a
f x f x f x
( )f x tidak kontinu di
x a
f
a
º
f 1. ( ) ada
2. lim ( ) ada
3. lim ( ) ( )
x a
x a
f a
f x
f x f a
( )f x tidak kontinu di x a
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 201
Contoh
Periksa apakah fungsi berikut kontinu di 2x , jika tidak sebutkan alasannya!
a. 2 4
( )2
xf x
x
b.
2 4, 2
2( )
3 , 2
xx
xf x
x
c. 2
1, 2( )
1, 2
x xf x
x x
Jawab
a.
2 4( )
2
xf x
x
22 4 0(2)
2 2 0f
(2)f tidak terdefinisi (ada) . ( )f x tidak
kontinu di 2x
b.
2 4, 2
2( )
3 , 2
xx
xf x
x
(2) 3f (ada)
f
a
º
1. ( ) ada
2. lim ( ) ada
3. lim ( ) ( )
x a
x a
f a
f x
f x f a
( )f x kontinu di x a
Politeknik Telkom Kalkulus
202 Limit dan Kekontinuan
2
2 2 2
( 2)4lim ( ) lim lim
2x x x
xxf x
x
( 2)
2
x
x
2lim( 2) 4x
x
2
lim ( ) (2)x
f x f
( )f x tidak kontinu di 2x
c. 2
1, 2( )
1, 2
x xf x
x x
2(2) 2 1 3f (ada)
2
lim ( )x
f x
2 2
lim ( ) lim ( 1) 2 1 3x x
f x x
2 2
2 2lim ( ) lim ( 1) 2 1 3
x xf x x
22 2
lim ( ) lim ( ) 3 lim ( ) 3xx x
f x f x f x
2
lim ( ) (2)x
f x f
( )f x kontinu di 2x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 203
Contoh
Diketahui fungsi
2
3 2, 1
( ) 5 ,1 3
1, 3
x x
g x x
x x
. Selidiki apakah ( )g x kontinu di
a. 1x
b. 3x
Jawab
a. 1x
(1) 3(1) 2 5g
1
lim ( )x
g x
1 1
lim ( ) lim(3 2) 5x x
g x x
1 1
lim ( ) lim 5 5x x
g x
11 1
lim ( ) lim ( ) 5 lim ( ) 5xx x
g x g x g x
1
lim ( ) (1)x
g x g
( )g x kontinu di 1x
b. 3x
(3) 5g
3
lim ( )x
g x
3 3
lim ( ) lim 5 5x x
g x
2 2
3 3lim ( ) lim ( 1) 3 1 8
x xg x x
3 1
lim ( ) lim ( )x x
g x g x
( )g x tidak kontinu di 3x
Contoh
Diketahui fungsi ; 1
( )3 ; 1
x a xf x
x x
. Tentukan nilai a agar ( )f x kontinu
1x !
Jawab
Politeknik Telkom Kalkulus
204 Limit dan Kekontinuan
(1) 3 1 2f
1 1 1
lim ( ) ada jika lim ( ) lim ( )x x x
f x f x f x
1 1
lim ( ) lim( ) 1x x
f x x a a
1 1
lim ( ) lim(3 ) 3 1 2x x
f x x
1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
1 2
1
a
a
1
lim ( ) (1) 2x
f x f
Jadi agar ; 1
( )3 ; 1
x a xf x
x x
kontinu di 1x maka 1a , sehingga
diperoleh 1; 1
( )3 ; 1
x xf x
x x
Contoh
Diketahui fungsi 2
6; 2
( ) ; 2 1
12; 1
ax x
f x ax bx x
ax x
. Tentukan nilai a dan b
agar ( )f x kontinu!
Jawab
Perhatikan batas fungsi ( )f x adalah 2 dan 1x x maka :
2x
2 2
lim ( ) lim ( 6) 2 6x x
f x ax a
2
2 2lim ( ) lim ( ) 4 2
x xf x ax bx a b
1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
2 6 4 2
2 2 6
3*
a a b
a b
a b
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 205
1x
2
1 1lim ( ) lim( )x x
f x ax bx a b
1 1
lim ( ) lim( 12) 12x x
f x ax a
1 1
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
12
2 12 * *
a b a
a b
Eliminasi * dan **
3
2 12 +
3 9 3, 6
a b
a b
a a b
Jadi 2
3 6; 2
( ) 3 6 ; 2 1
3 12; 1
x x
f x x x x
x x
7.9 Menyelesaikan Soal Limit dengan MathCad
Hitunglah llimit berikut ini!
a. 1
2 3lim
5 2x
x
x
b. 2
4lim
2x x
c. 6 1
lim2 10x
x
x
Solusi
Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
Politeknik Telkom Kalkulus
206 Limit dan Kekontinuan
Pilih tombol calculus toolbars
sehingga muncul.
Tekan tombol atau tekan [ctrl] L untuk memunculkan
operator limit
Untuk memperoleh operator limit kiri dan kanan tekan tombol
atau . Operator limit kiri dan kanan juga bias
dimunculkan dengan menekan [Ctrl][Shift] B dan [Ctrl][Shift]
A
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 207
Masukan ekspresi sesuai dengan soal
Untuk mendapatkan hasil, tekan tombol evaluation toolbar
, pilih tombol “ “ kemudian Enter
Politeknik Telkom Kalkulus
208 Limit dan Kekontinuan
Rangkuman
1. Misal f(x) terdefinisi pada interval I yang memuat c, dan tidak
terdefinisi di c, nilai f(x) akan mendekati L, bila x mendekati c.
limx c
f x L
2. Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan Nilai f(x)
mendekati L. Notasi disebut limit kanan
limx c
f x L
3. Untuk suatu x yang cukup dekat dengan c dari kanan, Nilai f(x)
mendekati G. Notasi disebut limit kanan
limx c
f x G
Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema
berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.
1. limx c
A A
, ,Ac
2. limx c
x c
4. Jika lim ( )x c
f x
dan lim ( )x c
g x
keduanya ada dan k maka berlaku
pernyataan-pernyataan berikut:
1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
2 lim ( ) lim ( )x c x c
kf x k f x
3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x c
f x g x f x g x
4 lim ( )
( )lim
( ) lim ( )
x c
x cx c
f xf x
g x g x
, asalkan lim ( ) 0x c
g x
Politeknik Telkom Kalkulus
Limit dan Kekontinuan 209
5 Untuk n :
(a). lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
(b). lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
, asalkan lim ( ) 0
x cf x
(c). 1
1lim ( ) lim ( )
nn
x c x cf x f x
, asalkan untuk n genap lim ( ) 0
x cf x
5. Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa
cara. di antaranya adalah sebagai berikut.
1. Substitusi langsung
2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)
3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)
6. lim ( )x c
f x
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi
x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.
7. lim ( )x c
f x
jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi
x c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.
8. lim ( )x
f x L
jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup
besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah
positif) maka ( )f x mendekati L.
9. lim ( )x
f x L
jika ( )f x terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup
besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah
negatif) maka ( )f x mendekati L.
10. Fungsi ( )f x kontinu di x a jika memenuhi syarat-syarat
berikut ini:
1. f(a) ada atau terdefinisikan,
2. limx a
f x
ada
3. limx a
f x f a
Politeknik Telkom Kalkulus
210 Limit dan Kekontinuan
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 211
8 TURUNAN FUNGSI
Overview
Dalam sebuah lintasan balap atau sirkut seorang pembalap
terkadang menemukan lintasan yang berupa turunan atau tanjakan.
Dalam matematika konsep turunan memiliki arti geometris gradien
garis singgung pada sebuah fungsi di sebuah titik. Pada bab ini akan
dipelajari definisi turunan di satu titik, turunan sepihak,
keterdiferensialan dan kekontinuan, turunan pada suatu interval,
rumus dasar turunan, aturan menentukan turunan, dan turunan
tingkat tinggi.
Tujuan
1. Mahasiswa memahami definisi turunan di suatu titik
2. Mahasiswa memahami turunan kiri dan turunan kanan
Politeknik Telkom Kalkulus
212 Turunan Fungsi
3. Mahasiwa memahami hubungan keterdiferensialan dengan
kekontinuan
4. Mahasiwa memahami rumus-rumus dasar turunan
5. Mahaiswa memahami aturan menentukan turunan
6. Mahasiswa memahami turunan tingkat tinggi
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 213
8.1 Definisi Turunan di Satu Titik
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat
c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan
sebagai:
( ) ( )'( ) lim
x c
f x f cf c
x c
bila limitnya ada.
Dengan penggantian x c h , jika 0x c h dan x c h ,
turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
Perhatikan gambar berikut:
y
xc x
f(c)
f(x)
Garis
SInggung
f
Arti geometri dari turunan fungsi f di titik c adalah gradien garis
singgung pada grafik fungsi f di titik ( , ( ))c f c seperti telihat pada
gambar. Jika ( ) ( )
limx c
f x f c
x c
maka '( )f c ada dan kita katakana fungsi f
Politeknik Telkom Kalkulus
214 Turunan Fungsi
terdiferensialkan di c (mempunyai turunan/dapat
diturukan/diferensiabel di c).
Contoh
Hitunglah '(2)f jika diketahui fungsi berikut:
a. ( ) 2f x x
b. 2( )f x x
Jawab
a. ( ) 2f x x
(i) ( ) ( )
'( ) limx c
f x f cf c
x c
2 2 2
2( 2)( ) (2) 2 2(2)'(2) lim lim lim
2 2x x x
xf x f xf
x x
2x 2lim 2 2x
(ii) 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
0 0 0
0
(2 ) (2) 2(2 ) 2(2) 4 2 4'(2) lim lim lim
2 lim
h h h
h
f h f h hf
h h h
h
h 0
lim 2 2h
b. 2( )f x x
(i) ( ) ( )
'( ) limx c
f x f cf c
x c
2 2 2
2 2 2 2
( 2)( ) (2) 2 4'(2) lim lim lim lim
2 2 2x x x x
xf x f x xf
x x x
( 2)
2
x
x
2 lim( 2) 2 2 4
xx
(ii) 0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 215
2 2 2
0 0 0
2
0 0
(2 ) (2) (2 ) 2 4 4 4'(2) lim lim lim
4 lim lim
h h h
h h
f h f h h hf
h h h
h h h
h
(4 )h
h
0lim(4 ) 4 0 4h
h
8.2 Turunan Sepihak
Sejalan dengan konsep limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit
kanan pada turunan juga terdapat konnsep turunan sepihak. Turunan
kiri dan turunan kanan dari sautau fungsi di satu titik didefinisikan
sebagai berikut:
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari
fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau
'
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan
dari fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau
'
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada
Sembarang fungsi mememiliki turunan di sebuah titik jika
turunan kiri dan turunan kanannya sama. Oleh karena itu, diperoleh
definisi sebagai berikut.
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat
titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan
hanya jika ' '( ) ( )f c f c
Contoh
Selidiki apakah ; 0
( ) ; 0
x xf x x
x x
mempunyai turunan di 0x !
Jawab
Turunan kiri fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:
Politeknik Telkom Kalkulus
216 Turunan Fungsi
'
0 0 0
( ) (0) 0(0) lim lim lim ( 1) 1
0x x x
f x f xf
x x
Turunan kanan fungsi f di 0x adalah sebagai berikut:
'
0 0 0
( ) (0) 0(0) lim lim lim (1) 1
0x x x
f x f xf
x x
' '(0) (0) ( ) tidak mempunyai turunan di 0f f f x x
Contoh
Diketahui
2 3 , 1( )
1 2 , 1
x x xf x
x x
a) Selidiki apakah ( )f x diferensiabel di 1x
b) Jika ya, tentukan '(1)f
Jawab:
a) 2
'
11
( ) (1) 3 (1 2 1)(1) lim lim
1 1xx
f x f x xf
x x
2
1 1
( 1)lim lim 1
1 1x x
x x x x
x x
b) '
1 1
( ) (1) 1 2 (1 2 1)(1) lim lim
1 1x x
f x f xf
x x
1 1
2 2 1lim 2 lim 1
1 ( 1)( 1)x x
x x
x x x
Jadi, f diferensiabel di x = 1. ' ' '(1) (1) 1 , maka (1) 1.f f f
8.3 Keterdiferensialan dan Kekontinuan
Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c. Pernyataan
tersebut dapat juga dinyatakan sebagai: Jika f(x) tidak kontinu di c
maka f tidak mempunyai turunan di c. Dengan kata lain kekontinuan
adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan. Sifat tersebut tidak
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 217
berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f
diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh
Tunjukkan bahwa 1, 1
( ) | 1|1, 1
x xf x x
x x
kontinu di x = 1 tetapi
tidak diferensiabel di x = 1
Jawab :
(i) Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1
f(1) = 0
1 1
lim ( ) lim ( 1) 0x x
f x x
1 1
lim ( ) lim 1 0x x
f x x
1
lim ( ) 0x
f x
Jadi 1
lim 1x
f(x) f( )
Jadi ( ) | 1|f x x kontinu di x = 1
(ii) Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau ' '(1) (1)f f ?
'
1 1 1
( ) (1) | 1| | 0 | ( 1)(1) lim lim lim 1
1 1 1x x x
f x f x xf
x x x
'
1 1 1
( ) (1) | 1| | 0 | 1(1) lim lim lim 1.
1 1 1x x x
f x f x xf
x x x
Karena ' '(1) (1)f f maka ( ) | 1|f x x tidak diferensiabel di x
= 1.
8.4 Turunan Fungsi Pada Suatu Interval
Turunan fungsi pada suatu selang dikenal sebagai turunan
pertama didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan fungsi ( )y f x terdefinisi pada interval I. Turunan fungsi f
pada interfal I ditulis 'f adalah suatu fungsi yang aturannya untuk
setiap x I ditentukan oleh:
( ) ( )'( ) lim
t x
f t f xf x
t x
atau
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
jika limitnya ada.
Politeknik Telkom Kalkulus
218 Turunan Fungsi
Notasi Turunan
Turunan ( )y f x terhadap x dinotasikan dengan 'y atau '( )f x .
Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan ( )y f x
terhadap x di antaranya dalah: , ( ), , ( )x x
dy df x D y D f x
dx dx. Notasi
dy
dx
dikenal sebagai notasi Leibniz.
8.5 Rumus-Rumus Dasar Turunan
Dengan menggunakan definisi turunan fungsi f pada selang I,
yaitu 0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
dengan mudah akan diperoleh rumus-
rumus dasar turunan sebagai berikut:
Turunan Fungsi Konstan
Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka
'( ) 0f x
0 0 0 0
( ) ( ) 0'( ) lim lim lim lim 0 0
h h h h
f x h f x k kf x
h h h
Contoh
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a. ( ) 2f x
b. ( ) 15f x
c. ( ) 22f x
Jawab
a. ( ) 2 '( ) 0f x f x
b. ( ) 15 '( ) 0f x f x
c. ( ) 22 '( ) 0f x f x
Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil
Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 219
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
a. 3( ) 2f x x
b. 3( ) 15f x x
c. 14( ) 5f x x
Jawab
a. 3 3 1 2( ) 2 '( ) (3)(2) 6f x x f x x x
b. 3 3 1 4( ) 15 '( ) ( 3)(15) 45f x x f x x x
c. 31 1 14 4 4
1 5( ) 5 '( ) (5)
4 4f x x f x x x
Turunan Kelipatan Fungsi
Misalkan ( ) ( )n
f x k u x dimana ( )u x merupakan fungsi dari x maka
1
'( ) ( )( ) ( ) '( )n
f x n k u x u x
Politeknik Telkom Kalkulus
220 Turunan Fungsi
Contoh
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a. 3( ) 2(3 4)f x x
b. 3( ) 15(4 1)f x x
Jawab
a. 3( ) 2(3 4)f x x
3 1
2
2
'( ) (3)(2)(3 4) (3 4)'
6(3 4) (3)
18(3 4)
f x x x
x
x
b. 3( ) 15(4 1)f x x
3 1
4
4
'( ) ( 3)(15)(4 1) (4 1)'
( 45)(4 1) (4)
180(4 1)
f x x x
x
x
Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:
(i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x
(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x
(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x
(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x
(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x
(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec '( )f x u x f x x u x
Contoh
Tentukan rumus fungsi berikut:
a. ( ) sin(5 )f x x
b. 2( ) sin( 2 )f x x x
c. 1( ) cos( )5f x x
d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 221
e. ( ) tan(2 )f x x
f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x
Jawab
a. ( ) sin(5 )f x x
'( ) cos(5 ) (5 )' cos5 5 5cos(5 )f x x x x x
b. 2( ) sin( 2 )f x x x
2 2
2
2
'( ) cos( 2 ) ( 2 )'
cos( 2 ) (2 2)
(2 2)cos( 2 )
f x x x x x
x x x
x x x
c. 1( ) cos( )5f x x
1 1 1 1 1 1'( ) sin( ) ( )' sin( ) ( ) sin( )5 5 5 5 5 5f x x x x x
d. 3 2( ) cos(2 4 )f x x x x
3 2 3 2
3 2 2
2 3 2
'( ) sin(2 4 ) (2 4 )'
sin(2 4 ) (6 2 4)
(6 2 4)sin(2 4 )
f x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
e. ( ) tan(2 )f x x
2
2
2
'( ) sec (2 ) (2 )'
sec (2 ) 2
2sec (2 )
f x x x
x
x
f. 3 2( ) tan( 3 )f x x x
2 3 2 3 2
2 3 2 2
2 2 3 2
'( ) sec ( 3 ) ( 3 )'
sec ( 3 ) (3 6 )
(3 6 )sec ( 3 )
f x x x x x
x x x x
x x x x
8.6 Aturan Untuk Menentukan Turunan
Beberapa aturan yang digunakan untuk menentukan turunan
adalah sebagai berikut:
Politeknik Telkom Kalkulus
222 Turunan Fungsi
Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi
, , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I dengan
aturan sebagai berikut:
a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x
d.
'
2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
( ( ))
f f x g x f x g xx
g g x
Aturn tersebut dapat ditulikan dalam bentuk yang lain, yaitu:
a. ( )' ' 'u v u v
b. ( )' ' 'u v u v
c. ( )' ' 'uv u v uv
d. '
2
' 'u u v uv
v v
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!
a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x
b. 4
3
5( )
(2 1)
xf x
x
Jawab
a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x
Misalkan 32u x dan
5( 5)v x
2' 6u x dan 4' 5( 5)v x
2 5 3 4
2 5 3 4
( )' ' '
(6 )( 5) (2 )(5( 5) )
6 ( 5) 10 ( 5)
uv u v uv
x x x x
x x x x
2 5 3 4'( ) 6 ( 5) 10 ( 5)f x x x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 223
b. 4
3
5( )
(2 1)
xf x
x
Misalkan 45u x dan 3(2 1)v x
3' 20u x dan 2' 6(2 1)v x
'
2
3 3 4 2
23
3 3 4 2
6
' '
(20 )(2 1) 5 (6(2 1) )
(2 1)
20 (2 1) 30 (2 1)
(2 1)
u u v uv
v v
x x x x
x
x x x x
x
3 3 4 2
6
20 (2 1) 30 (2 1)'( )
(2 1)
x x x xf x
x
Aturan Rantai
Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di x
dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi
( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:
( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du
f g x f g x g xdx du dx
Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : dy dy du dv
dx du dv dx
Contoh
Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan
rantai!
a. 5(3 5)y x
b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x
c. 22 4 1y x x
d. 4 3sin(2 3 )y x x
Jawab
Politeknik Telkom Kalkulus
224 Turunan Fungsi
a. 5(3 5)y x
5 45dy
y u udu
dan 3 5 3du
u xdx
4
4
4
5 3
15
15(3 5)
dy dy du
dx du dx
u
u
x
b. 4 3 2 3(2 3 4 1)y x x x
3 23dy
y u udu
4 3 2 3 22 3 4 1 8 9 8du
u x x x x x xdx
2 3 2
3 2 2
3 2 4 3 2 2
3 (8 9 8 )
(24 27 24 )
(24 27 24 )(2 3 4 1)
dy dy du
dx du dx
u x x x
x x x u
x x x x x x
c. 22 4 1y x x
1 12 2
112 2
dyy u u u
du u
22 4 1 4 4du
u x x xdx
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 225
2
2
1 (4 4)
2
4( 1)
2 2 4 1
2( 1)
2 4 1
dy dy du
dx du dx
xu
x
x x
x
x x
d. 4 3sin(2 3 )y x x
sin cosdy
y u udu
dan 4 3 3 22 3 8 27du
u x x x xdx
3 2
4 3 3 2
sin (8 27 )
sin(2 3 )(8 27 )
dy dy du
dx du dx
u x x
x x x x
Contoh
Tentukan dy
dxdari 4 3( 5)y sin x
Jawab
Misal 3 5v x maka 23dv
xdx
sinu v maka 3cos cos( 5)du
v xdv
4y u maka 3 3 34 4 ( 5)
dyu sin x
du
Sehingga 2 3 3 3. . 12 ( 5) ( 5)
dy dy du dvx sin x cos x
dx du dv dx
Contoh
Jika diketahui '(0) 2, (0) 0 , '(0) 3f g g , tentukan ( )'(0).f g
Jawab
Politeknik Telkom Kalkulus
226 Turunan Fungsi
( )'( ) ' ( ) '( )
( )'(0) ' (0) '(0)
' 0 3
(2)(3)
6
f g x f g x g x
f g f g g
f
8.7 Turunan Tingkat Tinggi
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari turunan petama dari
fungsi f. Selain dapat dicari turunan pertama dari sebuah fungsi, kita
juga dapat menentukan turunan kedua, ketiga, dan seterusnya samapai
turunan ke-n dari sebuah fungsi.
Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama
yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh
turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi.
Jika ( )y f x maka
Turunan pertama : ' '( )dy df
y f xdx dx
Turunan kedua : 2 2
2 2'' ''( )
d y d fy f x
dx dx
Turunan ketiga : 3 3
3 3'' ' '''( )
d y d fy f x
dx dx
Turunan keempat : 4 4
(4) (4)
4 4( )
d y d fy f x
dx dx
. .
. .
. .
Turunan ke-n : ( ) ( )( )n n
n n
n n
d y d fy f x
dx dx
Contoh
Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi
berikut ini!
a. 6 32 5y x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 227
b. siny x
Jawab
a. 6 32 5y x x
5 2
4
3
(4) 2
' 12 15
'' 60 30
''' 240 30
720
y x x
y x x
y x
y x
Politeknik Telkom Kalkulus
228 Turunan Fungsi
b. siny x
(4)
' cos
'' sin
''' cos
sin
y x
y x
y x
y x
8.8 Menyelesaikan Soal Turunan dengan MathCad
Tentukan tuunan dari fungsi berikut ini!
a. 3 5( ) 2 ( 5)f x x x
b. 4
3
5( )
(2 1)
xf x
x
Solusi
Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
Pilih tombol calculus toolbars
sehingga muncul.
Tekan tombol atau tekan [Shift] / untuk memunculkan
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 229
operator turunan pertama
Untuk memperoleh operator turunan ke-n tekan tombol
atau [Ctrl][Shift] /
Masukan ekspresi sesuai dengan soal
Politeknik Telkom Kalkulus
230 Turunan Fungsi
Untuk mendapatkan hasil, tekan tombol evaluation toolbar
, pilih tombol “ “ kemudian Enter
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 231
Rangkuman
1. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.
Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis '( )f c didefinisikan
sebagai:
( ) ( )'( ) lim
x c
f x f cf c
x c
bila limitnya ada.
2. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari
fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau
'
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada.
3. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari
fungsi f di c, ditulis ' ( )f c didefinisikan sebagai:
' ( ) ( )( ) lim
x c
f x f cf c
x c
atau
'
0
( ) ( )( ) lim
h
f c h f cf c
h
bila limitnya ada
4. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat
titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika
dan hanya jika ' '( ) ( )f c f c
5. Misalkan fungsi ( )y f x terdefinisi pada interval I. Turunan fungsi
f pada interfal I ditulis 'f adalah suatu fungsi yang aturannya
untuk setiap x I ditentukan oleh:
( ) ( )'( ) lim
t x
f t f xf x
t x
atau
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
jika limitnya ada.
Politeknik Telkom Kalkulus
232 Turunan Fungsi
6. Misalkan ( )f x k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil
maka '( ) 0f x
Politeknik Telkom Kalkulus
Turunan Fungsi 233
7. Misalkan ( ) dimana ,nf x kx k n maka 1'( ) ( ) nf x nk x
8. Misalkan ( ) ( )n
f x k u x dimana ( )u x merupakan fungsi dari x
maka 1
'( ) ( )( ) ( ) '( )n
f x n k u x u x
9. Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:
(i) ( ) sin '( ) cosf x x f x x
(ii) ( ) sin( ( )) '( ) cos '( )f x u x f x x u x
(iii) ( ) cos '( ) sinf x x f x x
(iv) ( ) cos( ( )) '( ) sin '( )f x u x f x x u x
(v) 2( ) tan '( ) secf x x f x x
(vi) 2( ) tan( ( )) '( ) sec '( )f x u x f x x u x
10. Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka
fungsi , , , ( ( ) 0)ff g f g fg g xg terdiferensialkan pada selang I
dengan aturan sebagai berikut:
a. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
b. ( )'( ) '( ) '( )f g x f x g x
c. ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )fg x f x g x f x g x
d.
'
2
'( ) ( ) ( ) '( )( )
( ( ))
f f x g x f x g xx
g g x
11. Misalkan ( )y f u dan ( )u g x . JIka fungsi g mempunyai turunan di
x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi
( )( ) ( )y f g x f g x ditentukan sebagai berikut:
( )'( ) ' ( ) '( ) atau dy dy du
f g x f g x g xdx du dx
Politeknik Telkom Kalkulus
234 Penggunaan Turunan
9. Penggunaan Turunan
Overview
Turunan dapat digunakan untuk berbagai hal. Pada bab ini yang akan
dibahas adalah penggunaan turunan untuk menentukan
kemonotonan, nilai ekstrim, kecekungan, dan titik belok suatu fungsi
dan menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
meminimumkan atau memaksimumkan suatu besaran tertentu,
seperti meminimumkan biaya, memaksimumkan volume dan lain-lain
Tujuan
1. Mahasiswa mampu mementukan selang kemonotonan suatu
fungsi
2. Mahasiswa mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi
3. Mahasiswa mampu menentukan selang kecekungan suatu fungsi
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 235
4. Mahasiswa mampu menentukan titik belok suatu fungsi
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan ehari-hari
menggunakan
konsep turunan
Politeknik Telkom Kalkulus
236 Penggunaan Turunan
9.1 Kemonotonan Fungsi
Definisi. Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I
monoton turun pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .
Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton.
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1 x2 x1 x2
(a) monoton turun (b) monoton naik
Gambar 9.1 Fungsi monoton
Dari gambar (a) terlihat bahwa sudut yang dibentuk antara
garis singgung dan sumbu x positif adalah sudut tumpul, atau dengan
kata lain gradient (kemiringan) garis singgung bernilai negatif. Dari
gambar (b) terlihat bahwa sudut yang dibentuk oleh garis singgung
dan sumbu x positif adalah sudut lancip, dengan kata lain gradient
garis singgung bernilai positif. Sebelumnya sudah diketahui bahwa arti
geometris dari turunan pertama adalah gradien garis singgung.
Sehingga kita menentukan selang kemonotonan dengan
menggunakan uji turuna pertama.
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 237
Uji turunan pertama untuk kemonotonan.
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I
Politeknik Telkom Kalkulus
238 Penggunaan Turunan
Contoh
Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :
3 213( ) 3 4f x x x x
Jawab:
3 2 213( ) 3 4 '( ) 2 3f x x x x f x x x
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I
2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
f x
x x
x x
x x
f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (3, )
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I
2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 3
f x
x x
x x
x x
f(x) monoton turun pada selang ( 1,3)
Contoh
Tentukan selang kemonotonan
2( 1)
( )x
f xx
Jawab
2 2( 1) 2 1( )
x x xf x
x x
2 2 2 2
2 2 2
(2 2)( ) ( 2 1)(1) 2 2 2 1) 1'( )
x x x x x x x x xf x
x x x
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 239
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) 0f x x I
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang ( , 1) dan (1, )
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) 0f x x I
2
2
2
'( ) 0
10
( 1)( 1)0
f x
x
x
x x
x
f(x) monoton naik pada selang ( 1,0) dan (0,1)
9.2 Ekstrim Fungsi
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah
definisinya.
Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.
f(c) disebut nilai maksimum
minimum global dari f pada I jika
( ) ( )
( ) ( )
f c f xx I
f c f x
f(c) disebut nilai maksimum
minimum lokal dari f pada I jika terdapat
selang buka yang memuat c sehingga
( ) ( )
( ) ( )
f c f x
f c f x untuk setiap
x pada selang buka tadi.
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
Politeknik Telkom Kalkulus
240 Penggunaan Turunan
Eksistensi maksimum-minimum
Jika f kontinu pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai
maksimum dan minimum.
Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim
fungsi disebut titik kritis, kemungkinan titik kritis :
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c ) , secara
geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c))
c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada ), secara
geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))
Untuk jelasnya, perhatikan gambar 6.2 berikut .
x
y
a b c d e f
max lokal
min global
max global
min lokal
max lokal
min lokal
Gambar 9.2 Nilai ekstrim fungsi dan titik kritis
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 241
Titik x = a dan x = b merupakan ujung selang
Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner
Titik x = e merupakan titik singular.
Untuk menentukan apakah pada suatu titik kritis tertentu
terjadi nilai maksimum atau minimum gunakan uji turunan pertama.
Perhatikan di sekitar x = b, dimana terjadi minimum, disebelah
kiri x = b fungsi monoton turun ( f ’(x) <0) dan disebelah kanan x =
b fungsi monoton naik ( f ’(x) > 0).
Disekitar x = c dimana terjadi maksimum terjadi sebaliknya,
disebelah kiri x = c fungsi monoton naik dan disebelah kanan x = c
fungsi monoton turun.
Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal
Jika
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ( , )c c dan
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang
( , )c c , maka f(c) merupakan nilai maksimum
minimum lokal f.
Khusus untuk titik stasioner, untuk menentukan apakah terjadi nilai
maksimum atau nilai minimum dapat juga digunakan uji turunan
kedua.
Politeknik Telkom Kalkulus
242 Penggunaan Turunan
Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ( untuk titik stasioner)
Misalkan '( ) 0f c Jika
''( ) 0
''( ) 0
f c
f c maka f(c) merupakan nilai
maksimum
minimum
lokaldari f.
Contoh
Tentukan nilai ekstrim fungsi 3 213( ) 3 4f x x x x
Jawab:
3 2 21( ) 3 4 '( ) 2 3
3f x x x x f x x x
Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner
2
1 2
'( ) 0
2 3 0
( 1)( 3) 0
1 dan 3
f x
x x
x x
x x
3 2
3 2
3 2
1( ) 3 4
3
1 1 1 2( 1) ( 1) ( 1) 3( 1) 4 ( 1) (1) 4 1 3 4 5
3 3 3 3
1 1(3) (3) (3) 3(3) 4 (27) 9 4 9 9 9 4 5
3 3
f x x x x
f
f
Untuk menentukan apakah ( 1) dan (3)f f merupakan nilai maksimum
lokal atau minimum lokal kita menggunakan hasil pada contoh
sebelumnya.
Pada selang ( , 1) , '( ) 0f x
Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x
-1 3
(-) (+)(+)
f ’
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 243
Jadi 2
( 1) 53
f merupakan nilai maksimum lokal
Pada selang ( 1,3) , '( ) 0f x
Pada selang (3, ) , '( ) 0f x
Jadi (3) 5f merupakan nilai minimum lokal
Contoh
Tentukan nilai ekstrim fungsi
2( 1)
( )x
f xx
Jawab
Pada contoh sebelumnya diproleh
(a) '( ) 0 pada ( , 1) dan '( ) 0 padaf x f x (-1,0),
maka
2( 1 1)( 1) 0
1f adalah nilai maksimum lokal.
(b) '( ) 0 pada (0,1) dan '( ) 0 pada (1, )f x f x ,
maka
2(1 1)
(1) 41
f adalah nilai minimum lokal.
9.3 Kecekungan fungsi
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) akan cekung ke bawah
di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva di titik
tersebut. Sedangkan grafik fungsi y = f ( x ) akan cekung ke atas di
suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung kurva di titik
tersebut.
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila '( )f x naik
pada interval I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila '( )f x
turun pada interval I. Oleh karena itu dapat disimpulkan :
-1 1
(-) (+)(-)
f ’
0
(+)
Politeknik Telkom Kalkulus
244 Penggunaan Turunan
Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I
2. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Contoh
Tentukan selang kecekungan dari 3( )f x x
Jawab
2'( ) 3 dan "( ) 6f x x f x x
f cekung ke atas jika pada "( ) 0 ,f x x I
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞)
f cekung ke bawah jika pada "( ) 0 ,f x x I
"( ) 0 6 0
0
f x x
x
Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)
9.4 Titik belok
Definisi. Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok
dari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung
ke bawah atau sebaliknya.
Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku
"( ) 0f b atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b ( "( )f b tidak ada
).
Contoh
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a. 3( ) 2 1f x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 245
b. 4( )f x x
c. 13( ) 1f x x
Jawab
a. Dari 3( ) 2 1f x x maka "( ) 12f x x .
Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
"( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -
1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
b. Dari 4( )f x x maka 2"( ) 12f x x .
Bila "( ) 0f x maka x = 0 merupakan calon dari titik belok
Fungsi f kontinu di x = 0
Untuk x < 0 dan x > 0 maka "( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan.
Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
c. 13( ) 1f x x maka
53
2"( )
9f x
x.
Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka "( ) 0f x , sedangkan untuk x > 0 maka
"( ) 0f x .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) =
1.
Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.
Contoh: Menentukan Ekstrim dengan uji turunan ke-dua
Jika 23)( 23 xxxf , tentukan nilai ekstrimnya, dan tentukan
titik belok jika ada.
Jawab :
Politeknik Telkom Kalkulus
246 Penggunaan Turunan
2 2( ) 3 6 3( 2 )
( ) 6 6 6( 1)
6
f x x x x x
f x x x
f
2 2( ) 3( 2 ) 0 2 0 ( 2) 0f x x x x x x x
Jadi harga kritisnya adalah 0x dan 2x
(0) 6(0 1) 6f [negatif] Kurva cekung ke bawah
Jadi untuk 0x ada maksimum, dan nilai ekstrim
3 2(0) 0 3(0) 2 2f
(2) 6(2 1) 6f [positif] Kurva cekung ke atas
Jadi untuk 2x ada minimum, dan nilai ekstrimnya
3 2(2) 2 3(2) 2 8 12 2 2f
Mencari titik belok :
( ) 0f x atau tak ada
6 6 0 1x x
karena (1) 6f , maka untuk 1x ada titik belok
3 2(1) 1 3.1 2 1 3 2 0f
Jadi titik beloknya di (1,0).
9.5 Masalah Pengoptimuman
Seorang pebisnis ingin meminimumkan biaya dan memaksimumkan
keuntungan. Seorang manajer proyek ingin waktu pengerjaan suatu
proyeknya minimum. Dalam subbab ini akan dipecahkan masalah
seperti diatas dengan menggunakan turunan.
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 247
Langkah yang dilakukan :
Modelkan masalah tersebut dalam bentuk fungsi satu
peubah
Tentukan titik kritis dari fungsi tersebut
Tentukan nilai ektrimnya ( maksimum atau minimum)
Contoh
Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm.
Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong
keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan
ukuran kotak agar volume kotak maksimum.
Jawab :
Misalkan pojok yang dipotong adalah x, sehingga kita punya ukuran
kotak :
tinggi = x,lebar = 24 – 2x, dan panjang = 45 – 2x. Jadi kita punya
model matematika untuk volume kotak sebagai
V = x (24 – 2x)(45 – 2x)
= 4x3 - 138x2 + 1080x , 0 < x < 12
x
x
x
x
x x
24-2x
x x 45-2x
Politeknik Telkom Kalkulus
248 Penggunaan Turunan
2'( ) 12 276 1080V x x x
''( ) 24 276V x x
Titik kritis : 2'( ) 0 12 276 1080 0V x x x
2 23 90 0x x
( 18)( 5) 0x x
x = 18 atau x = 5
Di sini tidak mungkin x = 18, karena melebihi ukuran karton, jadi yang
mungkin adalah x = 5. Dan ''(5) 156 0V , berarti tercapai nilai
maksimum. Jadi agar volume kotak maksimum, maka ukuran kotak
adalah 5 x 14 x 35 cm.
9.6 Menyelsaikan Penggunaan Turunan dengan Mathcad
Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun!
3 213( ) 3 4f x x x x
Solusi
Buka software mathcad sehingga muncul halaman awal berikut
Pilih tombol calculus toolbars
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 249
sehingga muncul.
Untuk menentukan selang kemonotonan suatu fungsi maka
kita memerlukan turuan pertama fungsi tersebut.
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika '( ) ( ) 0d
f x f x x Idx
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika '( ) ( ) 0d
f x f x x Idx
Pilih Boolean toolbar sehingga muncul
Untuk menentukan selang dimana f monoton naik Tuliskan
ekspresi ( ) 0d
f xdx
kemudian pilih Symbolic Keyword Toolbar
sehingga muncul
Politeknik Telkom Kalkulus
250 Penggunaan Turunan
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 251
Pilih solve, dan ketikan x disertai tanda “” dan enter sehingga
akan muncul solusi yang diinginkan
f(x) monoton naik jika 1x atau 3x (pada selang
( , 1) (3, )
Dengan cara yang sama kita dapat menentukan selang dimana
f monoton turun
f(x) monoton turun jika 1x dan 3x (pada selang ( 1,3)
Politeknik Telkom Kalkulus
252 Penggunaan Turunan
Rangkuman
1. Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I
monoton turun pada interval I jika untuk
1 2 1 2 1 2, ,x x f x f x x x I .
2. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.
f(c) disebut nilai maksimum
minimum global dari f pada I jika
( ) ( )
( ) ( )
f c f xx I
f c f x
f(c) disebut nilai maksimum
minimum lokal dari f pada I jika terdapat
selang buka yang memuat c sehingga
( ) ( )
( ) ( )
f c f x
f c f x untuk setiap
x pada selang buka tadi.
3. Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim
fungsi disebut titik kritis, kemungkinan titik kritis :
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana '( ) 0f c ) , secara geometris :
garis singgung mendatar dititik (c,f(c))\
c. Titik singular ( x = c dimana '( )f c tidak ada ), secara geometris:
terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c))
4. Jika
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang ( , )c c dan
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x pada selang
( , )c c , maka f(c) merupakan nilai maksimum
minimum lokal f.
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Turunan 253
5. Misalkan '( ) 0f c
Jika
''( ) 0
''( ) 0
f c
f c maka f(c) merupakan nilai
maksimum
minimum lokaldari f.
6. Uji turunan kedua untuk kecekungan
a. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke atas pada I
b. Jika "( ) 0 ,f x x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
7. Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari
kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b
cekung ke bawah atau sebaliknya. Syarat perlu x = b merupakan
absis dari titik belok bila berlaku "( ) 0f b atau f(x) tidak
diferensiabel dua kali di x = b ( "( )f b tidak ada ).
8. Langkah-langkah menyelesaikan permasalahn pengoptimuman
adalah sebagai berikut:
Modelkan masalah tersebut dalam bentuk fungsi satu
peubah
Tentukan titik kritis dari fungsi tersebut
Tentukan nilai ektrimnya ( maksimum atau minimum)
Politeknik Telkom Kalkulus
254 Integral Tak Tentu
10. Integral Tak Tentu
Overview
Integral dapat dianalogikan seperti saat kita memakai baju kemeja,
kitapun dengan mudah melepaskannya kembali. Apabila cara memakai
kemeja dan melepaskannya dimodelkan sebagai dua operasi maka
operasi yang kedua menghapuskan operasi yang pertama. Kita dapat
katakan bahwa dua operasi tersebut merupakan operasi balikan
(inverse). Dalam hal ini matematika mempunyai banyak operasi balikan
seperti penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian,
pemangkatan dan penarikan akar. Sebagaimana kita telah mempelajari
differensial (turunan) sebagai sebuah operasi maka operasi balikannya
disebut sebagai Integral atau anti turunan.
Tujuan
1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar dari integral atau anti
turunan
2. Mahasiswa mampu memahami defenisi Integral tak tentu
3. Mahasiswa mampu memahami aturan Linieritas dalam integral tak
tentu
4. Mahasiswa mampu memahami intergral tak tentu dari fungsi
trigonometri.
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral tak tentu
dengan aturan integral.
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 255
6. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral tak tentu
dengan aturan substitusi
7. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral tak tentu
dengan metode Parsial.
10.1 KONSEP DASAR
Integral tak tentu atau anti turunan adalah operasi balikan dari
turunan atau dari pendiferensialan.
Perhatikan beberapa turunan di bawah ini :
3 8F x x turunannya 23F x x
3 12F x x turunannya 23F x x
3 3F x x turunannya 23F x x
Dapat kita lihat anti turunan dari 23x adalah 3 8x , atau 3 12x , atau 3 3x . Untuk ketiga jawaban tersebut hanya berbeda pada
konstantanya, jadi dapat kita perumum bahwa anti turunan dari 23x
adalah 3x c , dimana c adalah konstanta riil sembarang.
10.2 PENULISAN SIMBOL UNTUK ANTI TURUNAN
Karena salah satu dari lambang turunan adalah Dx , maka ada yang
menggunakan Ax sebagai anti turunan, jadi anti turunan dari 23x
ditulis sebagai :
Definisi :
Dikatakan bahwa F adalah anti turunan dari f pada selang s , jika
d
F fdx
pada selang s , yakni jika F x f x untuk semua
x dalam selang s
2 33Ax x x c
Politeknik Telkom Kalkulus
256 Integral Tak Tentu
Tetapi cara penulisan Leibniz untuk anti turunan adalah yang sangat
populer yaitu menggunakan lambang .....dx , jadi anti turunan dari
23x ditulis sebagai:
Lambang disebut “integral” , dan fungsi yang ada dibawah tanda
disebut “integran”.
Untuk membuktikan teorema diatas, cukup dengan menurunkan atau
mendiferensialkan ruas kanan yang harus menghasilkan integran dari
ruas kiri yaitu :
Jika pada Teorema (aturan Pangkat), n = 0, maka: 1ox dx dx x c
jadi
2 33x dx x c
TEOREMA A (Aturan Pangkat)
Jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1, maka
dx x c
xk xn
dk
n 1x
n 1 C
11 11
1 1
nn nd x n
c x xdx n n
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 257
CONTOH I-1
Contoh 1
1. 5 61
6x dx x c
2. 7 833
8x dx x c
3. 3 3 11
3 1x dx x c
4. 125 . 5x dx x dx
3
2
1 2
2 3x c
x
12
1
12
5
1x c
32
10
3x c 310
3x c
5. 2 52x x x dx 5 2 41 1
5 4x x x c
6. 123
3
1x dx x x dx
x
21
2x c
3221 2
2 3x x c
10.3 METODE INTEGRASI
10.3.1 Metode Substitusi
TEOREMA B (Kelinieran)
Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu)
dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka :
i. .k f x dx k f x dx
ii. f x g x f x dx g x dx
iii. f x g x f x dx g x dx
(I-4)
Politeknik Telkom Kalkulus
258 Integral Tak Tentu
Aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi yaitu : jika U g x
adalah suatu fungsi yang dapat diturunkan dan n suatu bilangan
rasional 1n , maka :
Jika 1n r , maka :
Jika U g x , maka :
Dari yang terakhir ini kita dapatkan teorema berikut :
Contoh 2
1. Cari a. 83 25 3 5x x x dx
TEOREMA (Aturan Pangkat yang diperumum)
Andaikan g suatu fungsi yang dapat diturunkan dan r suatu bilangan
rasional yang bukan –1 , maka :
cr
xgdxxgxg
rr
1
1
Atau dengan notasi Leibtniz
cn
UdUU
nn
1
1
1 11 n n nd n du duU U U
dx n n dx dx
1 1 11
1
r r rd du duU U U
dx r dx dx
11
1
rrdg x g x g x
dx r
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 259
b. 5Sin x Cos x dx
Jawab :
a. Misal 3 5U x x , maka 2(3 5)dU x dx , jadi
9
8 83 25 3 59
Ux x x dx U dU c
9315
9x x c
b. Misal U Sin x , maka dU Cos x dx , Jadi
65 5 61 1
6 6Sin x Cos x dx U dU U c Sin x c
Contoh 3:
Cari : a. 82 5 2x x dx e.
34 53 2 6x x dx
b. 6
5 3 5x dx f. 23 3 7x x dx
c. 53 24 7 12x x dx g. 2 25 1 5 3 2t t t dt
d. 43 24x x dx h.
2
3
2 5
ydy
y
Politeknik Telkom Kalkulus
260 Integral Tak Tentu
Penyelesaian
a. 82 5 2x x dx , Misal 2 5 2u x du x dx
Jadi , 82 85 2x x dx u du
9
92
1
9
15
9
u c
x c
b. 6
5 3 5x dx + , Misal 5 3 5u x du dx
Jadi, 6 65 3 5x dx u du
7
7
1
7
15 3
7
u c
x c
c. 53 24 7 12x x dx , misal 3 24 7 12u x du x dx
jadi, 52 24 7 12x x dx
5
6
63
1
6
14 7
6
u du
u c
x c
d. 43 24x x dx misal 3 24 3u x du x dx
2 1
3x dx du jadi
43 24x x dx
4 41 1.3 3
u du u du
55 31 1 1
43 5 15
u c x c
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 261
4
45
45
3 1
10 4
3 12 6
10 4
32 6
40
u c
x c
x c
e. 34 53 2 6x x dx Misal 52 6x u
4
4
10
1
10
du x dx
x dx du
Jadi 34 53 2 6x x dx
f. 23 3 7x x dx misal 23 7u x
6
1
6
du xdx
xdx du
jadi, 122 23 3 7 3 7 3x x dx x xdx
1 12 2
1 13.
6 2u du u du
12
32
1
12
3
2
1 1
2 1
1 2 1
2 3 3
13 7
3
u c
u c u c
x c
Politeknik Telkom Kalkulus
262 Integral Tak Tentu
4 .
1.
4
du y dy
y dy du
12
12
12
12
1
12
2
3 3
4
3 1
4 1
3 32 2 5
4 2
ydy u du
u
u c
u c y c
h. 2
3
2 5
ydy
y misal 22 5u y
jadi, 2
3
2 5
ydy
y
Setelah anda mahir dengan metode di atas coba untuk mencari
4 21x x dx
Jawab : misal 4 1u x maka 34du x dx dengan demikian
2 1
4x dx du
x
Untuk soal ini, metode yang digunakan sebagaimana contoh
sebelumnya gagal karena 1
4x tidak dapat dipindahkan ke depan tanda
integral (hanya konstanta yang dapat dipindahkan). Jadi soal ini dapat
diselesaikan dengan proses aljabar biasa sebagai berikut
4 2 6 2 7 31 11
7 3x x dx x x dx x x c
Contoh 4
a. Buktikan bahwa Sin x dx Cos x c dan
Cos x dx Sin x c
Bukti :
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 263
karena cosd
x Sin xdx
, maka menurut definisi bahwa
Cos x c adalah anti turunan dari Sin x , dan karena
dSin x Cos x
dx , maka Sin x c adalah anti turunan dari Cos x .
Dari rumus turunan: d duSin u Cos u
dx dx
dan d duCos u Sin u
dx dx
Diperoleh :
Sin u du Cos u c
dan Cos u du Sin u c
b. Cari 46 6Sin x Cos x dx
Jawab : misal : 6 6. 6u Sin x du Cos x dx
1
66
Cos x dx du
Jadi :
4 4 4
5
5
5
1
1 16 6 .
6 6
1 1
6 5
1 16
6 5
16
30
Sin x Cos x dx u du u du
u c
Sin x c
Sin x c
c. Cari 3. 3 5Sin x dx
Misal 1
3 5 33
u x du dx dx du
Jadi 3. 3 5Sin x dx Sin u du Cos u c
3 5Cos x c
d. Cari 2 2 .Cos x x dx
Politeknik Telkom Kalkulus
264 Integral Tak Tentu
Misal : 2 2 2 .u x du xdx , 1
2xdx du
Jadi :
2
2
1
1 12 . .
2 2
1 12
2 2
Cos x xdx Cos u du Cos udu
Sin u c Sin x c
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 265
e. Cari 5 2 2.Sin x x Cos x dx
Misal : 2 22 cosu Sin x du x x dx
2 1
2x Cos x dx du
Jadi : 5 2 2 5 1.2
Sin x x Cos x dx u du
6
6 2
1
1 1
2 6
1
12
u c
Sin x c
f. Cari f x jika diketahui 2 5f x x
Untuk mendapatkan f x diperlukan pengintegralan dua kali
terhadap f x , yaitu :
2 5f x f x dx x dx
3
15x x c
3
15f x f x dx x x c dx 21
24
2
5
4
1cxcxx
10.3.2 Metode Parsial
Apabila pengintegralan dengan aljabar biasa maupun metode subsitusi
tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan Ganda atau
yang lebih popular dengan sebutan integral Parsial dapat memberikan
hasil. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil
kali dua fungsi:
[ ( ) ( )] ( ) '( ) ( ) '( )xD u x v x u x v x v x u x
Dengan mengintegralkan dua ruas tersebut kita memperoleh :
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )u x v x u x v x dx v x u x dx
atau
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx
Politeknik Telkom Kalkulus
266 Integral Tak Tentu
Karena dv =v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan di atas dapat ditulis
sebagai berikut:
udv uv vdu
Contoh 5
Tentukan .cosx xdx
Penyelesaian: Kita ingin menulis x cos x dx sebagai u dv. Salah satu cara
ialah memisalkan u = x dan dv = cos x dx. Jadi du = dx dan v =
cosxdx = sin x. apabila kita ringkas substitusi ganda tersebut, kita
peroleh:
cos
sin
u x dv xdx
du dx v x
Rumus integral parsialnya menjadi:
. cos . sin sinx xdx x x x dx
u dv u v v du
= x . sin x + cos x + C
10.4 Menghitung dengan Mathcad
Contoh 6.
Hitung (3 cos )x x dx , Buka tampilan awal Mathcad
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 267
Politeknik Telkom Kalkulus
268 Integral Tak Tentu
Kemudian tekan tombol evaluation toolbar , pilih ‘:=’ untuk
mendefenisikan fungsi,
Kemudian akan muncul,
Ketikkan pendefenisian fungsi f(x):=3x-cos (x). Lalu enter,maka akan
muncul tanda ‘+ berwarna merah’. Tekan tombol calculus toolbar
, pilih tanda , sebagai integral tak tentu. Lalu akan
muncul,
Langkah berikutnya ketikkan fungsi ( )f x dx , tekan tanda
’’ pada evaluation toolbar dilanjutkan dengan tombol ‘=’, Maka akan
diperoleh hasil akhir
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tak Tentu 269
Rangkuman
1. operasi balikan dari differensial disebut sebagai Integral atau anti
turunan.
2. Jika n adalah sembarang bilangan rasional kecuali –1, maka
3. Solusi pengintegralan dapat menggunakan:
a. Metode Aljabar sederhana atau biasa
b. Metode Substitusi
c. Metode Parsial
xk xn
dk
n 1x
n 1 C
Politeknik Telkom Kalkulus
270 Integral Tak Tentu
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 271
11.Integral Tentu
Overview
Integral Tentu merupakan konsep lanjutan dari Integral tak tentu
karena seluruh aturan dalam integral tak tentu berlaku pula
dalam integral tentu. Gagasan awalnya di perkenalkan sekaligus
dikembangkan oleh Riemann. Hal paling penting dalam
pembahasan Integral tentu adalah kenyataan bahwa integral
tentu secara tepat berkaitan dengan konsep luas daerah.
Tujuan
1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar dari integral
tentu
2. Mahasiswa mampu memahami defenisi Integral tentu
3. Mahasiswa mampu memahami aturan Linieritas dalam
integral tentu
4. Mahasiswa mampu memahami intergral tentu dari fungsi
trigonometri.
5. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral
tentu dengan aturan integral.
6. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral
tentu dengan aturan substitusi
Politeknik Telkom Kalkulus
272 Integral Tentu
7. Mahasiswa mampu menyelesaikan permasalahan Integral
tentu dengan metode Parsial.
11.1 Konsep Dasar
Integral tentu di konstruksi dengan jumlah Riemann yang
menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada
selang tutup [ a,b ].
f(x)
0 a=x0 Δxk b=xn
Langkah-langkah :
1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik
pembagian 0 1 ... na x x x b
0 1 2{ , , ,..., }nP a x x x b x disebut partisi dari [a,b].
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
11
| |,k k k kk n
P Maks x x x x
.
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 273
3. Pilih 1[ , ]k k kc x x , k=1,2,..., n dan bentuk jumlah Riemann
1
( )n
k k
k
f c x
. Jika || || 0P maka diperoleh limit jumlah
Riemann || || 0
1
lim ( )n
P k kk
f c x
. Jika limit ini ada, maka f
dikatakan terintegralkan (Riemann) pada selang [a,b].
Politeknik Telkom Kalkulus
274 Integral Tentu
Definisi. Integral tentu fungsi f dari a ke b didefinisikan sebagai
:
( ) lim ( ) lim ( )|| || 0 1 1
b n nf x dx f c x f c x
k k k knPa k k
Jika f(x) positif pada [a,b] maka b
a
dx)x(f menyatakan luas daerah
yang dibatasi oleh sumbu x, grafik y = f(x), garis x = a, garis x =
b.
Contoh : Hitung 2
0
2x dx
Jawab : Langkah :
1. Partisi selang [0,2] menjadi n bagian yang sama
panjang 2
nx
Sehingga :
0x0
n2
1 x0x
n2.2
2 x20x
......
ni2
i xi0x
2. Pilih ci = xi
3. Bentuk jumlah reimann
0 2 X1 X2 Xi Xi-1
x x x
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 275
2
2 2 4 4
21 1 1 1 1
4 42 1
n n n n ni i
i i n n nni i i i i
f c x in n
n
22n
n
4
2
)1n(n
n
42
Politeknik Telkom Kalkulus
276 Integral Tentu
1. Jika 0 atau n diperoleh
2
0n2
n22limdx2x
a dan b berturut turut disebut batas bawah dan batas atas.
DEFINISI (Integral Tentu )
Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup
{a,b}. jik
n
k
kkn
xxfLim1
~
ada, maka dikatakan f diintegralkan pada [a,b], dan b
a
dxxf ,
disebut Integral tentu dari xf , terhadap x, dari x = 0 sampai x
= b, diberikan oleh
b
a
n
k
kkn
xxfLimdxxf1
~
a dan b berturut turut disebut batas bawah dan batas atas.
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 277
SIFAT – SIFAT INTEGRAL TENTU
1. 0a
af x dx
2. b
a
a
bdxxfdxxf
3. b
a
b
adxxfkdxxkf
4. b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
5. c
a
b
c
b
adxxfdxxfdxxf ; jika a < c < b
6. Jika u
adxxfuF , maka ufuF
du
d
11.2 TEOREMA DASAR KALKULUS
Jika xf kontinu pada selang bxa dan jika xF adalah
integral tak tentu dari xf , maka
Contoh 1
Hitunglah :
a. 3
2
223
2
2 252353552 xxdxx
10104159
b.
2
1
222
1
2 112
322
2
3
2
313 xxdxx
aFbFxFdxxf b
a
b
a
Politeknik Telkom Kalkulus
278 Integral Tentu
2
171
2
326
c. 2
1
2 .1 dttt misal dt.tdutu 21 2
dutdt2
1
Jadi
cuduuduutdtt 22
2
1
2
1.
2
1
2
1.1
1
2214
1ct
menurut teorema dasar
2
1
2
11
222 14
11 ctdt.tt
1
22
1
22 114
11
4
1cct
4
9
4
911
cc
d. 8
131 ?dx.x , Misal : dxduxu 331
dudx3
1
1
33 319
2
3
2
3
1
3
131 2
1
cxcuduudx.x
menurut teorema dasar,
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 279
8
1
8
1
3
319
231 xdx.x
33
312419
2
9
1348125
9
2425
9
2 33
Cara lain untuk menghitung Integral Tentu yang memakai
penggantian, yaitu dengan mengubah batas – batas integrasi.
[ untuk contoh c dan a ].
Perhitungan contoh c dengan mengubah batas
2
1
21 ?dt.tt
Misal dt.tdutu 21 2
dudt.t2
1
batas – batas integrasi : jika 1t maka
0112u
jika 2t maka
3212
u
Politeknik Telkom Kalkulus
280 Integral Tentu
jadi :
2
1
3
0
3
0
2
2
1
2
11 du.udu.udt.tt
22
3
0
2 02
13
2
1
2
1
2
1
2
1u
4
9
2
9
2
1
e. 8
131 ?dx.x misal : dxduxu 331
dudx3
1
Batas – batas : jika 41311 xux
258318 xux
8
1
25
4
25
42
3
2
32
3
2
1
4259
2
3
2
3
1
3
1.
3
1..31 uduuduudxx
9
1348125
9
2
f. 2
0
32 12 ?dx.xx
Batas – batas
baru
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 281
dudxxdxxduxu3
131 223
batas – batas : 1100 3 ux
9122 3 ux
Jadi : 2
0
5
1
9
1
32 2
1
3
2
3
1212 duudu.udx.xx
9
1
2
3
3
2
3
2u
9
10426
9
4
139
4
199
4
2
3
2
3
2
3
2
g. 3
01 ?dx.xx
Misal : dxdu.u.xuxu 211 2
12 ux
Politeknik Telkom Kalkulus
282 Integral Tentu
batas – batas : jika 1100 uux
jika 2133 uux
3
0
2
1
22 211 du.u.uudx.xx
15
116
15
582
15
5
15
3
15
40
15
962
3
1
5
1
3
8
5
322
3
1
5
12
2
.2.1
2
1
35
2
1
24
2
1
2
uu
duuu
duuuu
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 283
h. 4
3?2 dxx
Ingat definisi nilai mutlak ! 2 xxf kita tulis
sebagai
2x jika 2x ;
202 xx
xf 2 x jika 2x ; 202 xx
Jadi
4
3
2
3
4
2222 dxxdxxdxx
2
37
2
36
2
1
182
32
428862
942
2222
1424
2
1323
2
1222
2
1
22
12
2
1
2222
4
2
22
3
2
xxxx
Politeknik Telkom Kalkulus
284 Integral Tentu
i.
2
0
3 ?dx.xcos.xSin
Misal dx.xCosduxSinu
Batas – batas :
Jika 000 Sinux
Jika 122 Sinux
Jadi :
2
0
1
0
1
4
433
4
1
4
1uduudx.xcos.xSin
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 285
j. e
1
dxxln
(metode parsial)
Misal u = lnx maka dxx
1du
dv = dx maka v = x
jadi Cxxlnxdxx
1xxlnxdxxln .
Sehingga
1)1()eelne(|xxlnxdxxlne
1
e1
Menghitung integral tentu dengan menggunakan MathCad
Contoh 2.
Hitung
3
0
2 )3( dxxx
Buka tampilan awal Mathcad
Politeknik Telkom Kalkulus
286 Integral Tentu
Kemudian tekan tombol evaluation toolbar , pilih ‘:=’ untuk
mendefenisikan fungsi,
Kemudian akan muncul,
Ketikkan pendefenisian fungsi f(x):= 3x 2 - x. Lalu enter,maka akan
muncul tanda ‘+ berwarna merah’. Tekan tombol calculus toolbar
, pilih tanda , sebagai integral tentu
Lalu akan muncul,
Langkah berikutnya ketikkan fungsi 3
0
)( dxxf , tekan tanda ’=’
pada evaluation toolbar, Maka akan diperoleh hasil akhir
Politeknik Telkom Kalkulus
Integral Tentu 287
Rangkuman
4. Jika xf kontinu pada selang bxa dan jika xF
adalah integral tak tentu dari xf , maka
5. sifat – sifat integral tentu
a. a
adxxf 0
b. b
a
a
bdxxfdxxf
c. b
a
b
adxxfkdxxkf
d. b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
e. c
a
b
c
b
adxxfdxxfdxxf ; jika a < c < b
f. Jika u
adxxfuF , maka ufuF
du
d
aFbFxFdxxf b
a
b
a
Politeknik Telkom Kalkulus
288 Integral Tentu
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 289
12.Penggunaan Integral
Overview
Pembahasan singkat tentang luas di dalam bab sebelumnya diperlukan
untuk memberikan dasar tentang defenisi integral tentu. Setelah
konsep ini benar-benar dipahami kita akan berlanjut dan
menggunakan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang
bentuknya rumit. Pola yang sama akan dapat juga menentukan
volume bunda putar yang merupakan suatu benda padat yang
diperoleh dengan cara memutar suatu daerah di bidang datar
terhadap suatu garis di bidang tersebut. Penggunaan integral tentu
untuk mengitung volume benda sangat berguna manakala bentuk
benda tersebut tidak beraturan sebagaimana benda-benda lainnya
seperti kubus, kerucut dan sebagainya yang memiliki formula khusus
untuk menghitungnya pun dapat didekati dengan teknik
pengintegralan
Tujuan
Politeknik Telkom Kalkulus
290 Penggunaan Integral
1. Mahasiswa mampu memahami penerapan integral
2. Mahasiswa mampu menyelesaikan berbagai persoalan penerapan
integral
3. Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan Luas Daerah dengan
konsep Integral
4. Mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan Volume benda
dengan konsep integral
12.1 Luas daerah Bidang Rata
Pembahasan singkat tentang luas pada subbab 5.4 diperlukan untuk
memberikan dasar tentang definisi integral tentu. Setelah memahami
konsep ini, sekarang kita gunakan integral tentu untuk menghitung
luas daerah dengan bentuk yang rumit.
12.1.1 Daerah di atas sumbu X
Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh grafik )(xfy , ax ,
bx , dan 0y .
a b xi
xi
f(xi)
f(x)
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 291
b
a
i
iiP
n
i
ii
nnii
ni
dxxf
xxf
xxf
xxfxxfxxfxxf
RARARARARA
)(
)(lim
)(
)(...)(...)()(
)(...)(...)()()(
10||
1
2211
21
Sehingga diperoleh bahwa luas daerah di atas sumbu X adalah
b
a
dxxfRA )()( .
Sebagaimana dapat diperlihatkan dalam ilustrasi berikut
y
x
a b
12.1.2 Daerah di bawah sumbu X
Dengan cara yang sama seperti halnya mencari luas daerah diatas
sumbu X maka untuk luas daerah di bawah sumbu X diperoleh:
y = f(x)
R
Politeknik Telkom Kalkulus
292 Penggunaan Integral
b
a
dxxfRA )()( .
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 293
Contoh 1
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 33 23 xxxy , ruas
sumbu x antara x = -1 dan x = 2, dan oleh garis x = 2.
Penyelesaian
Perhatikan bahwa ada
sebagian daerah yang berada
di atas sumbu x dan ada yang
di bawah sumbu x. Sehingga
luas masing-masing bagian
harus dihitung secara terpisah.
4
23
4
74
324
324
3333)(
2
1
23
41
1
23
4
2
1
231
1
23
xx
xx
xx
xx
dxxxxdxxxxRA
1 -1 2
3
-3
3
Politeknik Telkom Kalkulus
294 Penggunaan Integral
12.1.3 Daerah di antara dua kurva
Tinjaulah kurva y =
f(x) dan kurva y =
g(x) dengan
)()( xfxg pada
selang bxa .
Dengan cara yang
sama seperti halnya
mencari luas daerah di
atas sumbu x maka
untuk luas daerah di
antara dua kurva
diperoleh:
b
a
dxxgxfRA )()()(
Contoh 2
Tentukan luas daerah antara kurva 4xy dan
22 xxy .
Penyelesaian
b a
x y = f(x)
y = g(x) f(x)-g(x)
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 295
15
7
5
1
3
11
53
2)(
1
0
532
1
0
42
xxx
dxxxxRA
12.2 Volume Benda Putar
Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas. Hal ini tidaklah
mengherankan karena integral tersebut memang diciptakan untuk
keperluan itu. Bahkan hampir setiap besaran yang dianggap sebagai
hasil pemotongan sesuatu menjadi bagian-bagian yang lebih kecil,
aproksimasikan tiap bagian, penjumlahan, dan pengambilan limit bila
tiap bagian mengecil dapat diartikan sebagai suatu integral.
12.2.1 Metode cakram
Suatu daerah rata yang terletak seluruhnya pada satu bagian bidang
yang terbagi oleh sebuah garis lurus dan diputar tehadap garis
tersebut maka daerah tersebut akan membentuk suatu benda putar.
22 xxy
4xy
1
2 1
Politeknik Telkom Kalkulus
296 Penggunaan Integral
Apabila daerah R yang dibatasi kurva xfy sumbu x, garis x = a,
dan garis x = b kemudian R diputar terhadap sumbu x maka volume
benda putar yang terjadi adalah
b
a
dxxfV2
.
Contoh 3
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang
dibatasi kurva xy sumbu x dan garis x = 4 bila R diputar
terhadap sumbu x.
Penyelesaian
Maka volumenya adalah 82
4
0
4
0
4
0
2
xdxxdxxV
12.3 Metode cincin (pengembangan metode cakram)
Apabila daerah R yang dibatasi kurva xfy , xgy , sumbu x,
garis x = a, dan garis x = b dengan xfxg untuk bxa
kemudian R diputar terhadap sumbu x maka volume benda putar yang
terjadi adalah
b
a
dxxgxfV22
.
x
y
x
x
x 4
xy
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 297
Contoh 4
Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh daerah R yang
dibatasi kurva 2xy dan xy 82 apabila R diputar terhadap
sumbu x.
Jadi volumenya adalah
5
48
5
3216
54
8
8
2
0
52
2
0
4
2
0
222
22
xx
dxxx
dxxx
dxxgxfV
b
a
12.4 Volume Benda Putar: Metode Kulit Tabung
Contoh 5
Daerah R adalah sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva 51 xxy sumbu x, sumbu y, dan garis x =1. Tentukan
volume dari benda putar yang terjadi bila daerah R diputar
mengelilingi sumbu y.
Penyelesaian
2
4
x
x8
2x
2xy
xy 82
51 xxy
y
x x
Politeknik Telkom Kalkulus
298 Penggunaan Integral
Jadi volumenya
21
41
7
1
3
1
2
12
73222
122
1
0
7321
0
62
1
0
5
xxxdxxxx
dxxxxdxxfxV
b
a
Rangkuman
Politeknik Telkom Kalkulus
Penggunaan Integral 299
1. Luas daerah di atas sumbu X dapat diperoleh
b
a
dxxfRA )()( .
2. Luas daerah di bawah sumbu X diperoleh:
b
a
dxxfRA )()( .
3. Luas daerah di antara dua kurva diperoleh:
b
a
dxxgxfRA )()()(
4. Volume benda putar dengan menggunakan metode cakram
adalah
b
a
dxxfV2
.
5. Volume benda putar dengan menggunakan metode kulit
tabung adalah
b
a
dxxfxV 2
Politeknik Telkom Kalkulus
vi PAGE 10
Daftar Pustaka
1. Martono, K. Kalkulus Differensial. Alvagracia, Bandung. 1987
2. Purcell, E.J, Varberg D. Kalkulus dan Geometri Analistis.Jilid
1.Terjemahan I. Nyoman susila dkk, Edisi 5. Erlangga. Jakarta. 1992
2. http://rasyid14.files.wordpress.com/2009/05/fungsi-turunan-bab-
akhir.pdf
3. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/limit_dan_fungsi_kontinu.doc
4. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/fungsi_dan_grafik_fungsi.doc
5. ftsi.files.wordpress.com/2007/09/pendahuluan_kalkulus.doc