Download - Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor
![Page 1: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/1.jpg)
Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor
Teknik Informatika-UnitomoAnik Vega Vitianingsih
![Page 2: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/2.jpg)
TEORI KESALAHAN (GALAT)
-Penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis
-Penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat) terhadap nilai eksak
-Keandalan suatu nilai numerik dapat ditandai memakai konsep Angka Bena yaitu angka yang dapat dipergunakan dengan pasti.
![Page 3: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/3.jpg)
Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu ditambah dengan satu taksiran.
Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu :1. Kriteria untuk memerinci seberapa jauh
hampiran (aproksimasi) tersebut dapat dipercaya.
2. Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e, atau Å7 secara eksak memakai sejumlah berhingga bilangan.
Contoh : Å7 = 2,645751311…..
![Page 4: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/4.jpg)
Macam – macam kesalahan
Kesalahan Bawaan◦Merupakan kesalahan dari nilai data◦Kesalahan terjadi karena kekeliruan dalam
menyalin data◦Kesalahan dalam membaca skala◦kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai
hukum - hukum fisik dari data yang diukur
Kesalahan Pemotongan◦Kesalahan terjadi karena tidak dilakukannya
perhitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar
![Page 5: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/5.jpg)
Kesalahan Pembulatan ◦kesalahan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan Bilangan perkiraan digunakan sebagai
pengganti bilangan eksak Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n
dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol, sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n
![Page 6: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/6.jpg)
Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena kesalahan – kesalahan tersebut dikenal dengan galat.
Galat terbagi menjadi :
1. Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak)
2. Galat pemotongan (untuk menyatakan prosedure matematis).
![Page 7: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/7.jpg)
Galat yang berhubungan dengan perhitungan / pengukuran dicirikan:- ketelitian (merupakan nilai sejati yang dihitung)
- ketepatan (merupakan banyaknya angka bena yang menyatakan suatu nilai atau sebaran dalam perhitungan berulang atau pengukuran nilai yang teliti)sehingga :
Nilai sejati = aproksimasi + galat (Et)
Dimana :
Et = galat sejati = Nilai sejati – aproksimasi
![Page 8: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/8.jpg)
%100)(% xnilaigalat
ifGalat relat =e
Dimana:
-t : nilai sejati
-a : aproksimasi
- Ea : galat aproksimasi
aproksimasi sekarang – aproksimasi sebelumnya
![Page 9: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/9.jpg)
Deret Taylor
• Mrk penyelesaian persamaan Diferensial
• Jika suatu fungsi ƒ(X) diketahui dititik Xi dan semua turunan dari ƒ terhadap X diketahui pada titik tersebut deret Taylor dinyatakan nilai ƒ pada titik Xi+1 yang terletak pada jarak ∆X dari titik Xi .
![Page 10: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/10.jpg)
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)
!1)(')()( 1
xxfxfxf iii
3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2)
!2)(''
!1)(')()(
2
1
xxf
xxfxfxf iiii
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order 0)
)()( 1 ii xfxf
4. Iterasi akan berhenti jika Rn = 0
![Page 11: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/11.jpg)
y
xi i+1
)(xf
order 2
order 1
order 0
![Page 12: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/12.jpg)
Persamaan deret Taylor:
)!1(
).( )1()1(
n
hfR
nn
n
Ket: ƒ(Xi) : fungsi dititik 1
ƒ(Xi+1) : fungsi dititik i+1
ƒ’, ƒ’’ … ƒn : turunan pertama, kedua,…,ke n ∆X : jarak antara ƒ(Xi) dan ƒ(Xi+1)
Rn : kesalahan pemotongan
! : operator faktorial
![Page 13: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/13.jpg)
c/:Diketahui seuatu fungsi :dengan menggunakan Deret Taylor pada order berapa, hasil penyelesaian numerik sama dengan penyelesaian eksak? dimana order 0,1,2 dan 3 perkiraan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 1 & titik xi+1 =1 berada pada jarak=1 dari titik x = 0.
Jawab :f(0) = 0.5f(1) = 1.5
![Page 14: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/14.jpg)
Untuk order 0 :f(xi+1) = f(xi) f(0 +1) = f(0) f(1) = 0.5Kesalahan pemotongan :Rn = 1.5 – 0.5 = 1
Untuk order 1 :f(xi+1)= f(xi) + f’(xi) ∆X /1!f(0+1) = 0.5 +( ) 1 = 0.5 (0.75 (0) + 0 +0.25 = 0.75Kesalahan pemotonganRn = 1.5 – 0.75 = 0.75
25.075.0 2 xx
![Page 15: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/15.jpg)
Untuk Order 2 : f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25Kesalahan pemotongan:Rn = 1.5 – 1.25 = 0.25 Untuk Order 3 :f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5Kesalahan pemotongan :Rn = 1.5 – 1.5 = 0 (terbukti)
![Page 16: Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082321/56814f34550346895dbccb5f/html5/thumbnails/16.jpg)
Algoritma:1. Tentukan order dari deret Taylor2. Masukkan nilai x0 kedalam rumus deret Taylor3. Gabungkan semua perhitungan deret Taylor - looping sebanyak i=0; i= ƒ(Xi+1) - if (i==0) Rn=ƒ(x) else if ((i+1)%2==0) Rn=0 else if ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i