![Page 1: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/1.jpg)
METODE ELIMINASI GAUSS
(untuk sistem linier dengan 3 variabel)
• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier
dengan 3 variabel
• Jika diketahui sistem persamaan linier:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a12 a13 x1 b1
a21 a22 a23 x2 = b2
a31 a32 a33 x3 b3
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3
• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks
segitiga atas, yaitu berbentuk:
a11 a12 a13 b1
0 a22 a23 b2
0 0 a33 b3
sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward
substitution).
![Page 2: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/2.jpg)
• Metode eliminasi dilakukan dgn cara:
� Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 dengan cara:
� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1
� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1
� Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 dengan cara:
� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2
Catatan:
� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:
- a11, a12, a13, b1
� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:
- a21, a22, a23, b2
� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:
- a31, a32, a33, b3
� Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.
Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward
substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, dan x3.
![Page 3: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/3.jpg)
METODE ELIMINASI GAUSS
(untuk sistem linier dengan 4 variabel)
• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier
dengan 4 variabel
• Jika diketahui sistem persamaan linier:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3
a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4
maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:
a11 a12 a13 a14 x1 b1
a21 a22 a23 a24 x2 = b2
a31 a32 a33 a34 x3 b3
a41 a42 a43 a44 x4 b4
atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:
a11 a12 a13 a14 b1
a21 a22 a23 a24 b2
a31 a32 a33 a34 b3
a41 a42 a43 a44 b4
• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks
segitiga atas, yaitu berbentuk:
a11 a12 a13 a14 b1
0 a22 a23 a24 b2
0 0 a33 a34 b3
0 0 0 a44 b4
sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward
substitution).
![Page 4: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/4.jpg)
• Metode eliminasi dilakukan dgn cara:
� Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 , a41 dengan cara:
� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1
� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1
� R4 baru = R4 – (a41/a11).R1
� Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 ,a42 dengan cara:
� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2
� R4 baru = R4 – (a42/a22).R2
� Tahap 3. Eliminasi (nol-kan) nilai a43 dengan cara:
� R4 baru = R4 – (a43/a33).R3
Catatan:
� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:
- a11, a12, a13, a14, b1
� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:
- a21, a22, a23, a24, b2
� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:
- a31, a32, a33, a34, b3
� R4 berarti setiap elemen pada baris ke-4, yaitu:
- a41, a42, a43, a44, b4
� Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.
Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward
substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, x3, dan x4.
![Page 5: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/5.jpg)
CONTOH SOAL METODE ELIMINASI GAUSS
• Diketahui sistem persamaan linier berikut:
x1 + x2 + x3 + x4 = 14
2x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 51
3x1 + x2 + 4x3 + 6x4 = 61
4x1 + 7x2 + x3 + 2x4 = 38
Sistem linier ini memiliki 4 variabel.
Maka dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1 1 1 14
2 4 3 5 51
3 1 4 6 61
4 7 1 2 38
• Tahap 1
� Baris 2. R2 baru = R2 – (2/1)R1
� a21 = 2 – 2.1 = 0
� a22 = 4 – 2.1 = 2
� a23 = 3 – 2.1 = 1
� a24 = 5 – 2.1 = 3
� b2 = 51 – 2.14 = 23
� Baris 3. R3 baru = R3 – (3/1)R1
� a31 = 3 – 3.1 = 0
� a32 = 1 – 3.1 = -2
� a33 = 4 – 3.1 = 1
� a34 = 6 – 3.1 = 3
� b3 = 61 –3.14 = 19
� Baris 4. R4 baru = R4 – (4/1)R1
� a41 = 4 – 4.1 = 0
� a42 = 7 – 4.1 = 3
� a43 = 1 – 4.1 = -3
� a44 = 2 – 4.1 = -2
� b4 = 38 –4.14 = -18
� Matriks berubah menjadi:
1 1 1 1 14
0 2 1 3 23
0 -2 1 3 19
0 3 -3 -2 -18
• Tahap 2
� Baris 3. R3 baru = R3 – (-2/2)R2, maka R3 baru = R3 + R2
� a31 = 0 + 0 = 0
� a32 = -2 + 2 = 0
� a33 = 1 + 1 = 2
� a34 = 3 + 3 = 6
![Page 6: Metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022081718/5571f39149795947648e3fdc/html5/thumbnails/6.jpg)
� b3 = 19 + 23 = 42
� Baris 4. R4 baru = R4 – (3/2)R2, maka R4 baru = R4 – 1,5R2
� a41 = 0 – 1,5.0 = 0
� a42 = 3 – 1,5.2 = 0
� a43 = -3 – 1,5.1 = -4,5
� a44 = -2 – 1,5.3 = -6,5
� b4 = -18 – 1,5.23 = -52,5
� Matriks berubah menjadi:
1 1 1 1 14
0 2 1 3 23
0 0 2 6 42
0 0 -4,5 -6,5 -52,5
• Tahap 3
� Baris 4. R4 baru = R4 – (-4,5/2) R3, maka R4 baru = R4 + 2,25R3
� a41 = 0 + 2,25.0 = 0
� a42 = 0 + 2,25.0 = 0
� a43 = -4,5 + 2,25.2 = 0
� a44 = -6,5 + 2,25.6 = 7
� b4 = -52,5 + 2,25.42 = 42
� Matriks berubah menjadi:
1 1 1 1 14
0 2 1 3 23
0 0 2 6 42
0 0 0 7 42
• Pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.
• Matriks di atas dapat dituliskan dalam bentuk sistem persamaan linier berikut:
x1 + x2 + x3 + x4 = 14
2x2 + x3 + 3x4 = 23
2x3 + 6x4 = 42
7x4 = 42
Dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution) dapat dicari nilai
dari:
x4 = 6
x3 = 3
x2 = 1
x1 = 4