MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
1
Soal 1 :
Diketahui premis :
Premis 1 : Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali
tidak mendapat hadiah
Premis 2 : Jika Ali tidak mendapat hadiah, maka
Ali bersedih
Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang
sah adalah ...
a. Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali bersedih
b. Jika Ali rajin belajar, maka Ali bersedih
c. Ali bersedih
d. Ali tidak rajin belajar
e. Ali mendapat hadiah
Soal 2 :
Kesimpulan dari argumentasi berikut :
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
~𝑟
adalah ...
a. 𝑝
b. ~𝑝
c. 𝑞
d. 𝑟
e. ~𝑞
Soal 3 :
Diketahui premis :
1 : Jika guru tidak datang, maka semua siswa
senang
2 : Ada siswa yang tidak senang
Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang
sah adalah ...
a. Semua siswa senang
b. Ada siswa yang tidak senang
c. Guru datang
d. Guru tidak datang
e. Guru senang
Solusi 1 :
Misalkan :
𝑝 : Ali tidak rajin belajar
𝑞 : Ali tidak mendapat hadiah
𝑟 : Ali bersedih
Argumentasi : 𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
Bentuk Silogisme
Kesimpulannya adalah 𝑝 → 𝑟
“Jika Ali tidak rajin belajar maka Ali bersedih”
(A)
Solusi 2 :
Perhatikan dua argumentasi pertama
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
Bentuk Silogisme, kesimpulannya 𝑝 → 𝑟
𝑝 → 𝑟
~𝑟
Bentuk modus Tollens
Kesimpulan : ~𝑝 (B)
Solusi 3 :
Misalkan
𝑝 : Guru tidak datang
𝑞 : Semua siswa senang
Perhatikan bahwa “Ada siswa yang tidak
senang” merupakan negasi dari “Semua siswa
senang”, maka
~𝑞 : Ada siswa yang tidak senang
𝑝 → 𝑞
~𝑞
Modus Tollens, kesimpulannya adalah ~𝑝
“Guru datang” (C)
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis
Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑞 𝑝 → 𝑞
𝑝 ~𝑞 𝑞 → 𝑟
∴ 𝑞 ∴ ~𝑝 ∴ 𝑝 → 𝑟
Bentuk ekuivalen : 𝒑 → 𝒒 ≡ ~𝒒 → ~𝒑 𝒑 → 𝒒 ≡ ~𝒑 ∨ 𝒒
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
2
Soal 4 :
Ingkaran dari “Jika banjir terjadi, maka semua
orang mengungsi” adalah ...
a. Banjir terjadi dan semua orang tidak
mengungsi
b. Banjir tidak terjadi atau ada orang
mengungsi
c. Banjir terjadi dan ada orang mengungsi
d. Banjir terjadi dan ada orang tidak mengungsi
e. Banjir tidak terjadi dan semua orang
mengungsi
Solusi 4 :
Misalkan
𝑝 : Banjir terjadi
𝑞 : Semua orang mengungsi
Ingkaran dari 𝑝 → 𝑞 adalah 𝑝 ∧ ~𝑞
~𝑞 : Ada orang tidak mengungsi
Sehingga ingkarannya adalah
“Banjir tejadi dan ada orang tidak mengungsi”
Indikator : Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan
berkuantor
Kuantor Universal (∀) : “semua”, “untuk setiap”, “seluruh”, ...
Kuantor Eksistensial (∃) : “ada”, “beberapa”, “terdapat”, ...
bentuk baca ingkaran
Konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 dan 𝑞 ~(𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∨ ~𝑞
Disjungsi 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 atau 𝑞 ~(𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ~𝑝 ∧ ~𝑞
Implikasi 𝑝 → 𝑞 Jika 𝑝 maka 𝑞 ~(𝑝 → 𝑞) ≡ 𝑝 ∧ ~𝑞
Biimplikasi 𝑝 ↔ 𝑞 𝑝 jhj 𝑞 ~(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ (𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑞 ∧ ~𝑝)
Ingkaran dari Kuantor Universal (∀) adalah Kuantor Eksistensial (∃)
Kesetaraan
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞
𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝
𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)
𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
Misalkan 𝑝 : Semua orang afrika berkulit hitam
maka (ingkarannya)
~𝑝 : Ada orang Afrika yang tidak berkulit hitam
Misalkan 𝑎 : jika ada guru yang tidak masuk, maka semua siswa senang
𝑝 : ada guru yang tidak masuk ~𝑝 : semua guru masuk
𝑞 : semua siswa senang ~𝑞 : ada siswa yang tidak senang
𝑎 : 𝑝 → 𝑞 , maka ~𝑎 : 𝑝 ∧ ~𝑞
maka (ingkarannya) ~𝑎 : ada guru yang tidak masuk dan ada siswa yang tidak senang
Misalkan implikasi 𝑝 → 𝑞 , maka
Konvers : 𝑞 → 𝑝 (tukar posisi) konvers ≡ invers
Invers : ~𝑝 → ~𝑞 (beri negasi) implikasi ≡ kontraposisi
Kontaposisi : ~𝑞 → ~𝑝 (tukar posisi dan beri negasi)
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
3
Soal 5 :
Bentuk rasional dari 6
15− 10 adalah ...
Soal 6 :
Dalam bentuk pangkat positif,
𝑥−1 + 𝑦−1
𝑥 − 𝑦
−1
= ⋯
Soal 7 :
Jika 2− 3
2+ 3= 𝑎 + 𝑏 6 ; 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan
bulat, maka 𝑎 + 𝑏 = ⋯
Solusi 5 :
6
15− 10=
6
15− 10×
15+ 10
15+ 10=
6 15+ 10
15−10
= 6.15+ 6.10
5=
3.2.3.5+ 2.3.2.5
5=
3 10+2 15
5
Solusi 6 :
𝑥−1 + 𝑦−1
𝑥 − 𝑦
−1
=𝑥 − 𝑦
𝑥−1 + 𝑦−1=
𝑥 − 𝑦
1𝑥 +
1𝑦
=𝑥 − 𝑦𝑥 + 𝑦𝑥𝑦
=(𝑥 − 𝑦)(𝑥𝑦)
𝑥 + 𝑦=
𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2
𝑥 + 𝑦
Solusi 7 :
Dengan merasionalkan penyebut
2− 3
2+ 3=
2− 3
2+ 3×
2− 3
2− 3=
2− 3 2
2−3=
2−2 6−3
−1
=−1−2 6
−1= 1 + 2 6
𝑎 = 1, 𝑏 = 2, maka
𝑎 + 𝑏 = 1 + 2 = 3
2. 𝑎𝑚
𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 4. .
𝑎
𝑏/
𝑚
=𝑎𝑚
𝑏𝑚 6. 𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
𝑎𝑚/𝑛 = 𝑎𝑚𝑛
𝑖) 𝑎𝑏𝑛
= 𝑎𝑛
× 𝑏𝑛
𝑖𝑖) 𝑎
𝑏
𝑛=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) 𝑐
𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 = (𝑎 − 𝑏) 𝑐
𝑎 𝑐 × 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑐 𝑏𝑑
𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏×
𝑏
𝑏=
𝑎 𝑏
𝑏
𝑎
𝑏 + 𝑐=
𝑎
𝑏 + 𝑐×
𝑏 − 𝑐
𝑏 − 𝑐=
𝑎 𝑏 − 𝑐
𝑏2 − 𝑐
𝑎
𝑏 − 𝑐=
𝑎
𝑏 − 𝑐×
𝑏 + 𝑐
𝑏 + 𝑐=
𝑎 𝑏 + 𝑐
𝑏 − 𝑐
𝑎 + 2 𝑏 = 𝑥 + 𝑦 3 + 2 2 = 1 + 2
Indikator : menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma
Aturan pangkat
1. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛 5. (𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚𝑏𝑚
Bentuk akar
Merasionalkan penyebut
dengan 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 dan 𝑥𝑦 = 𝑏 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = 3 𝑥𝑦 = 2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
4
Soal 8 :
Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010 maka
nilai dari log 75 adalah
a. 0,7781
b. 0,9209
c. 1,0791
d. 1,2552
e. 1,8751
Soal 9 :
2 log 4 + 2 log 12 − 2 log 6 = ⋯
a. 8
b. 6
c. 5
d. 4
e. 3
Soal 10 :
Jika 7 log 2 = 𝑎 dan 2 log 3 = 𝑏 , maka
6 log 98 = ⋯
a. 𝑎
𝑎+𝑏
b. 𝑎+1
𝑏+2
c. 𝑎+2
𝑏+1
d. 𝑎+2
𝑎(𝑏+1)
e. 𝑎+2
𝑏(𝑎+1)
Soal 11 :
Nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 log1
16= −2 adalah ...
a. 0,25
b. 0,5
c. 1
d. 2
e. 4
Solusi 8 :
log 75 = log (3 × 52)
= log 3 + log 52
= log 3 + 2 ⋅ log 5
Mencari log 5. Dari log10
2= log 10 − log 2
log 5 = 1 − 0,3010 = 0,6990
log 75 = log 3 + 2 ⋅ log 5
= 0,4771 + 2 × 0,6990 = 1,8751 (𝐸)
Solusi 9 :
2 log 4 + 2 log 12 − 2 log 6
= 2 log 22 + 2 log (22 × 3) − 2 log (2 × 3)
= 2 2 log 2 + 2 2 log 2 + 2 log 3
− 2 log 2 − 2 log 3
= 2 . 1 + 2 . 1+ 2 log 3 − 1− 2 log 3
= 3 (𝐸)
Solusi 10 :
6 log 98 = 2 log 98
2 log 6=
2 log (2.72)
2 log(3.2)
= 2 log 2 + 2 . 2 log 7
2 log 2 + 2 log 3
Karena 7 log 2 = 𝑎 , maka 2 log 7 =1
𝑎
6 log 98 = 2 log 2 + 2 . 2 log 7
2 log 2 + 2 log 3
=1 +
2𝑎
1 + 𝑏 =
𝑎 + 2
𝑎(1 + 𝑏) (𝐷)
Solusi 11 :
Sesuai definisi,
𝑥 log1
16= −2 ↔ 𝑥−2 =
1
16
1
𝑥2 =1
16 ↔ 𝑥2 = 16
𝑥 = ±4
Karena basis yang memenuhi hanya yang
positif, maka 𝑥 = 4 (E)
𝒂𝒙 = 𝒃 ↔ 𝒙 = 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒃 , 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1
log𝑎
𝑏= log 𝑎 − log 𝑏 𝑎 log 1 = 0
𝑎 log 𝑏 =log 𝑎
log 𝑏=
1
𝑏 log 𝑎 𝑎
𝑛log 𝑏𝑚 =
𝑚
𝑛⋅ 𝑎 log 𝑏
Logaritma
log 𝑎𝑏 = log 𝑎 + log 𝑏 𝑎 log 𝑏 ⋅ 𝑏 log 𝑐 = 𝑎 log 𝑐
log 𝑎𝑛 = 𝑛 . log 𝑎 𝑎 log 𝑎 = 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
5
Soal 12 :
Akar-akar persamaan dari 2𝑥2 + 6𝑥 = 1 adalah
𝑝 dan 𝑞. Nilai dari 𝑝2 + 𝑞2 adalah …
a. −2
b. −8
c. 9
d. 10
e. 12
Soal 13 :
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan
3𝑥2 − 9𝑥 + 4 = 0 adalah …
a. −4
9
b. −3
4
c. 9
4
d. 3
4
e. −9
4
Soal 14 :
Akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 8𝑥 + 𝑐 = 0
adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Jika 𝑥2 = 3𝑥1 , maka nilai c
sama dengan …
a. 10
b. 12
c. 14
d. 16
e. 18
Soal 15 :
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali
dari akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 + 3𝑥 +
4 = 0 adalah ...
a. 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0
b. 𝑥2 + 6𝑥 + 16 = 0
c. 𝑥2 − 6𝑥 − 8 = 0
d. 𝑥2 − 6𝑥 + 16 = 0
e. 𝑥2 + 3𝑥 + 8 = 0
Solusi 12 :
2𝑥2 + 6𝑥 = 1 ↔ 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0
𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 2𝑝𝑞
= .−6
2/
2− 2 .−
1
2/
=9
1+ 1
= 10 (D)
Solusi 13 :
Jumlah kebalikan akar-akar, yaitu 1
𝑥1+
1
𝑥2=
𝑥1 + 𝑥2
𝑥1𝑥2
persamaan 3𝑥2 − 9𝑥 + 4 = 0, maka
𝑥1 + 𝑥2 = −(−9)
3= 3
𝑥1𝑥2 =4
3
1
𝑥1+
1
𝑥2=
𝑥1+𝑥2
𝑥1𝑥2=
34
3
=9
4 (C)
Solusi 14 :
𝑥1 + 𝑥2 = −(−8)
1= 8
Karena 𝑥2 = 3𝑥1 , maka
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥1 + 3𝑥1 = 4𝑥1 = 8
𝑥1 = 2
Maka, 𝑥2 = 3𝑥1 = 3 ⋅ 2 = 6
Sehingga, 𝑥1𝑥2 = 𝑐
𝑐 = 2 ⋅ 6 = 12
Solusi 15 :
Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat
𝑥2 + 3𝑥 + 4 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
adalah 2𝑥1 dan 2𝑥2 adalah
𝑥2 − (2𝑥1 + 2𝑥2)𝑥 + 2𝑥12𝑥2 = 0
𝑥2 − 2(𝑥1 + 𝑥2)𝑥 + 4𝑥1𝑥2 = 0
𝑥2 − 2(−3)𝑥 + 4.4 = 0
𝑥2 + 6𝑥 + 16 = 0 (𝐵)
𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎 𝑥1𝑥2 =
𝑐
𝑎
(𝑝 + 𝑞)2 = 𝑝2 + 𝑞2 + 2𝑝𝑞 ↔ 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 + 𝑞)2 − 2𝑝𝑞
(𝑝 − 𝑞)2 = 𝑝2 + 𝑞2 − 2𝑝𝑞 ↔ 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑝 − 𝑞)2 + 2𝑝𝑞
Indikator : Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Jika diketahui persamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai akar-akar 𝑥1 dan 𝑥2 , maka
Beberapa hubungan yang perlu diketahui :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
6
Soal 16 :
Tentukan nilai 𝑐 sehingga grafik fungsi
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 𝑐 tidak memotong sumbu-𝑥 di
dua titik ...
a. 𝑐 < 1
b. 𝑐 > 1
c. 𝑐 ≥ 1
d. 𝑐 ≤ −1
e. 𝑐 ≤ 1
Soal 17 :
Persamaan kuadrat 𝑥2 − 𝑝𝑥 + 4 mempunyai
akar-akar bukan bilangan real. Maka nilai 𝑝
yang memenuhi jika 𝑝 adalah bilangan asli
adalah ...
a. {1, 2}
b. *0, 1, 2, 3, 4+
c. {1, 2, 3, 4}
d. *1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8+
e. *1, 2, 3+
Soal 18 :
Manakah pernyataan yang benar untuk fungsi
berikut : 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 2𝑥 − 4
a. Memotong sumbu 𝑥 di dua titik
b. Memotong sumbu 𝑥 di satu titik
c. Selalu bernilai positif
d. Selalu bernilai negatif
e. mempunyai nilai maksimum ketika 𝑥 = 1
Solusi 16 :
Tidak memotong sumbu-𝑥 di dua titik, artinya
grafik tersebut,
Memotong sumbu-𝑥 di satu titik (𝐷 = 0) ;
Atau tidak memotong sumbu-𝑥 (𝐷 < 0)
Sehingga 𝐷 ≤ 0, yaitu
𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≤ 0
4 − 4𝑐 ≤ 0
𝑐 ≥ 1 (C)
Solusi 17 :
Akar-akar bukan bilangan real, artinya 𝐷 < 0
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0
𝑝2 − 16 < 0
(𝑝 − 4)(𝑝 + 4) < 0
𝑝 = 4 ∨ 𝑝 = −4
+ − +
−4 4
Bilangan asli yang memenuhi adalah {1, 2, 3} (E)
Solusi 18 :
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝐷 = 4 − 4(−2)(−4)
= 4 − 32
= −28
𝐷 < 0
𝐷 < 0 menunjukkan bahwa grafik fungsi
tersebut tidak memotong sumbu-𝑥
Karena masih belum diperoleh solusi, maka kita
perhatikan nilai 𝑎,
𝑎 = −2
menunjukkan bahwa grafik fungsi menghadap
ke bawah. Karena tidak memotong sumbu-𝑥
dan grafik fungsi menghadap ke bawah, maka
fungsi tersebut “selalu bernilai negatif” (D)
Indikator : menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan
diskriminan
Jika diberikan fungsi kuadrat 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , maka
Diskriminan (D), adalah 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Jika,
𝐷 < 0, maka dua akar kompleks / tidak ada akar real (grafiknya tidak memotong sumbu-𝑥)
𝐷 = 0, maka akar kembar (grafiknya memotong sumbu-𝑥 di satu titik)
𝐷 > 0, maka dua akar real berbeda (grafiknya memotong sumbu-𝑥 di dua titik)
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
7
Soal 19 :
Nilai dari 𝑥 − 𝑦 , dari sistem persamaan
3𝑥 + 4𝑦 = 17000
5𝑥 + 7𝑦 = 28000
adalah ...
a. 8000
b. 9000
c. 11000
d. 15000
e. 21000
Soal 20 :
Harga 2 buah apel dan 2 buah jeruk adalah
8800. Jika harga sebuah apel adalah 600 lebih
murah dari pada harga sebuah jeruk. Maka,
harga sebuah apel adalah ...
a. 1400
b. 1600
c. 1900
d. 2000
e. 2500
Solusi 19 :
3𝑥 + 4𝑦 = 17000
5𝑥 + 7𝑦 = 28000
Gabungan antara kaidah Sarrus dengan
Substitusi.
Menggunakan kaidah Sarrus, diperoleh
𝑥 = 17000 428000 7
3 45 7
=
119000 − 112000
21 − 20= 7000
Dengan substitusi 𝑥 = 7 ke persamaan
3𝑥 + 4𝑦 = 17000
Diperoleh,
3(7000) + 4𝑦 = 17000
𝑦 = −1000
Sehingga 𝑥 − 𝑦 = 7000 − (−1000) = 8000 (A)
Solusi 20 :
Misalkan, 𝑥 : harga apel 𝑦 : harga jeruk
2𝑥 + 2𝑦 = 8800
𝑥 = 𝑦 − 600
Sehingga bisa ditulis :
𝑥 + 𝑦 = 4400
𝑥 − 𝑦 = −600 _
2𝑦 = 5000
𝑦 = 2500
Sehingga
𝑥 = 𝑦 − 600
= 2500 − 600 = 1900
𝐷 = 1 −23 4
, 𝐷𝑥 = 6 −28 4
, 𝐷𝑦 = 1 63 8
𝑥 = 6 −28 4
1 −23 4
=
24 + 16
4 + 6=
40
10= 4 𝑦 =
1 63 8
1 −23 4
=
8 − 18
4 + 6=
−10
10= −1
Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
SPL (Sistem Persamaan Linear)
Metode Eliminasi, Substitusi (Gabungan)
Misalkan :
𝑥 − 2𝑦 = 6 × 3 3𝑥 − 6𝑦 = 18 𝑥 − 2𝑦 = 6 , karena 𝑦 = −1 , maka
3𝑥 + 4𝑦 = 8 × 1 3𝑥 + 4𝑦 = 8 _ 𝑥 − 2(−1) = 6
−10𝑦 = 10 𝑥 + 2 = 6
𝑦 = −1 𝑥 = 4
Menggunakan Kaidah Sarrus
Pada contoh di atas!
𝑥 =𝐷𝑥
𝐷 dan 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
dengan,
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
8
Soal 21 :
Agar lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 6𝑦 + 𝑎 = 0
mempunyai jari-jari 5, maka 𝑎 = ⋯
a. −20
b. −12
c. −3
d. 12
e. 20
Soal 22 :
Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
menyinggung sumbu 𝑥 di titik …
a. (1,0)
b. (−1,0)
c. (0,0)
d. (2,0)
e. (−2,0)
Soal 23 :
Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2)
dan menyinggung sumbu-𝑥 adalah ...
Solusi 21 :
𝑟 = 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 =
1
4(16) +
1
4(36) − 𝑎
5 = 4 + 9 − 𝑎
25 = 13 − 𝑎
𝑎 = −12
Solusi 22 :
Menyinggung sumbu-𝑥, yaitu ketika 𝑦 = 0 ,
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0
Untuk 𝑦 = 0, maka
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0
(𝑥 + 1 )2 = 0
𝑥 = −1
Jadi, lingkaran tersebut menyinggung sumbu-𝑥
di titik (−1, 0)
Solusi 23 :
Mencari jari-jari, yaitu jarak antara pusat
dengan titik singgung. Sumbu-𝑥 adalah 𝑦 = 0.
Sehingga 𝑟 = 2 − 0 = 2. Persamaannya
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 22
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑟 = 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶
(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟^2
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1
Indikator : menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran
Lingkaran
Persamaan Lingkaran yang berpusat di (𝑎, 𝑏) dan berjari-jari 𝑟
Persamaan Umum Lingkaran
dengan, Pusat Lingkaran di .−1
2𝐴, −
1
2𝐵/
dan jari-jari lingkaran
Garis Singgung Lingkaran
Diketahui Titik Singgungnya
Persamaan Garis Singgung melalui titik (𝑥1 , 𝑦1) pada lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah
Diketahui Gradiennya (Kemiringannya)
Persamaan Garis Singgung dengan kemiringan (gradien) 𝑚 pada lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 +
(𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 adalah
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
9
Soal 24 :
Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 mempunyai
jari-jari 2. Garis 𝑦 = 𝑥 menyinggung lingkaran
tersebut. Nilai 𝑎 positif yang memenuhi adalah
...
a. 2
b. 2 2
c. 4
d. 2
e. 4 2
Soal 25 :
Persamaan garis singgung lingkaran yang
berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5, yang tegak
lurus terhadap garis 2𝑦 − 𝑥 = 1 adalah ...
a. 𝑦 = −2𝑥 ± 5 5
b. 𝑦 = 3𝑥 ± 2 5
c. 𝑦 = −4𝑥 ± 5 5
d. 𝑦 = −2𝑥 ± 5 2
e. 𝑦 = 2𝑥 ± 5 2
Solusi 24 :
Garis menyinggung lingkaran, yaitu 𝐷 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑦 = 𝑥
Substitusi, diperoleh
𝑥2 + 𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
2𝑥2 − 4𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝐷 = (4𝑎)2 − 4. 𝑏. 2 = 16𝑎2 − 8𝑏 = 0
2𝑎2 = 𝑏 … 1)
Jari-jari 2, artinya 𝑟 = 1
4𝐴2 +
1
4𝐵2 − 𝐶 = 2
2 = 1
416𝑎2 − 𝑏 ↔ 4 = 4𝑎2 − 𝑏 … 2)
Substitusikan pers. ...1) ke pers. ...2)
4 = 4𝑎2 − 2𝑎2
4 = 2𝑎2
2 = 𝑎2
𝑎 = ± 2
Nilai 𝑎 yang positif adalah 2
Solusi 25 :
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
𝑥2 + 𝑦2 = 25
Garis singgung yang dimaksud tegak lurus
terhadap garis 2𝑦 − 𝑥 = 1
2𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 =1
2𝑥 +
1
2
𝑚1 =1
2
Karena tegak lurus, 𝑚2 yang digunakan adalah
−1 = 𝑚1 × 𝑚2
−1 =1
2× 𝑚2
𝑚2 = −2
p.g.s yang dimaksud adalah
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟 𝑚2 + 1
𝑦 = −2𝑥 ± 5 5
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Misalkan lingkaran dengan persamaan 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
dan garis dengan persamaan 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑞
Substitusi nilai 𝑦 dari persamaan garis ke persamaan lingkaran akan didapatkan suatu
persamaan kuadrat baru.
Jika,
𝐷 < 0 , garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran
𝐷 = 0 , garis tersebut menyinggung lingkaran (memotong di satu titik)
𝐷 > 0 , garis tersebut memotong lingkaran di dua titik berbeda.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
10
Soal 26 :
Salah satu persamaan garis singgung pada
lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 4 yang melalui titik (0, 4)
adalah ...
a. 𝑦 = − 6𝑥 + 4
b. 𝑦 = 2 3𝑥 + 2
c. 𝑦 = 3𝑥 + 4
d. 𝑦 = − 3𝑥 + 3
e. 𝑦 = 2 3𝑥 − 4
Solusi 26 :
Titik (0,4) berada pada luar lingkaran. Karena
𝑥2 + 42 = 16 dan 16 > 4
Misalkan p.g.s. yang terbentuk adalah
𝑦 − 4 = 𝑚(𝑥 − 0)
𝑦 = 𝑚𝑥 + 4
Untuk mencari 𝑚, kita substitusikan p.g.s. di
atas ke pers. lingkaran. Diperoleh,
𝑥2 + (𝑚𝑥 + 4)2 = 4
𝑥2 + 𝑚2𝑥2 + 8𝑚𝑥 + 16 = 4
(1 + 𝑚2)𝑥2 + 8𝑚𝑥 + 12 = 0
Karena menyinggung, maka 𝐷 = 0, yaitu
(8𝑚)2 − 4. (1 + 𝑚2). 12 = 0
64𝑚2 − 48 − 48𝑚2 = 0
16𝑚2 − 48 = 0
𝑚2 − 3 = 0
𝑚2 = 3
𝑚 = ± 3
Sehingga, p.g.s yang dimaksud adalah
𝑦 = ± 3𝑥 + 4
Garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran
Lingkaran berpusat di 𝑂 dan berjari-jari 𝑟. Kemudian diberikan suatu titik 𝐴(𝑥1 , 𝑦1) di luar
lingkaran. Menentukan p.g.s yang terbentuk.
Langkah-langakhnya :
Misalkan p.g.s. tsb. mempunyai persamaan 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (karena melalui (𝑥1 , 𝑦1))
Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka kita substitusikan p.g.s pada langkah
awal ke persamaan lingkaran, kemudian kita anggap 𝐷 = 0
𝐴(𝑥1 , 𝑦1)
𝑟
𝑂
Kedudukan titik terhadap lingkaran
Misalkan titik (𝑥1 , 𝑦1) dan persamaan lingkaran (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
Substitusikan titik tersebut ke (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 , bandingkan nilainya dengan 𝑟2
Jika kurang dari 𝑟2, maka letaknya di dalam lingkaran.
Jika sama dengan 𝑟2, maka letaknya pada lingkaran.
Jika lebih besar dari 𝑟2, maka letaknya berada di luar lingkaran.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
11
Soal 27 :
Suku banyak 𝐹(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 2) sisanya 8.
Dan jika dibagi oleh (𝑥 + 3) sisanya −7. Sisa
pembagian suku banyak 𝐹(𝑥) oleh (𝑥2 + 𝑥 − 6)
adalah ...
a. 3𝑥 + 2
b. 2𝑥 + 3
c. 3𝑥 + 3
d. 2𝑥 + 2
e. 𝑥 + 3
Soal 28 :
Sisa pembagian jika suku banyak
𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 8
dibagi oleh 𝑥 − 1 adalah ...
a. −3
b. −1
c. 4
d. 6
e. 7
Soal 29 :
Suku banyak jika dibagi oleh (𝑥 − 2) bersisa 11.
Jika dibagi oleh (𝑥 + 1) sisanya adalah −4. Sisa
pembagian suku banyak tersebut jika dibagi
dengan (𝑥2 − 𝑥 − 2) adalah ...
Solusi 27 :
𝐹(𝑥) = (𝑥 − 2) . 𝐻(𝑥) + 8 → 𝐹(2) = 8
𝐹(𝑥) = (𝑥 + 3) . 𝐼(𝑥) − 7 → 𝐹(−3) = −7
Misalkan
𝐹(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 6) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)
Untuk 𝑥 = 2, 𝐹(2) = 2𝑎 + 𝑏
8 = 2𝑎 + 𝑏 ... 1)
Untuk 𝑥 = −3, 𝐹(−3) = −3𝑎 + 𝑏
−7 = −3𝑎 + 𝑏 ... 2)
Substitusi kedua pers. diperoleh :
𝑎 = 3 dan 𝑏 = 2
Sehingga, sisa yang dimaksud adalah 3𝑥 + 2
Solusi 28 :
Mencari sisa pembagian tersebut, sama dengan
mencari nilai 𝑓(1).
𝑓(1) = 2(1)3 − 4(1)2 + 1 + 8
= 2 − 4 + 1 + 8
= 7
Solusi 29 :
Misalkan suku banyak tersebut adalah 𝐺(𝑥)
𝐺(𝑥) = (𝑥 − 2) . 𝐻(𝑥) + 11 → 𝐺(2) = 11
𝐺(𝑥) = (𝑥 + 1) . 𝐼(𝑥) − 4 → 𝐺(−1) = −4
Misalkan
𝐺(𝑥) = (𝑥2 − 𝑥 − 2) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝐺(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) . 𝐽(𝑥) + (𝑎𝑥 + 𝑏)
Untuk 𝑥 = 2, 𝐺(2) = 2𝑎 + 𝑏
11 = 2𝑎 + 𝑏 ... 1)
Untuk 𝑥 = −1, 𝐺(−1) = −𝑎 + 𝑏
−4 = −𝑎 + 𝑏 ... 2)
Substitusi 1) dan 2) diperoleh
𝑎 = 5 dan 𝑏 = 1
Sehingga sisa yang dimaksud adalah 5𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑘) . 𝐻(𝑥) + 𝑆
𝑓(𝑘) = (𝑘 − 𝑘) . 𝐻(𝑥) + 𝑆
𝑓(𝑘) = 𝑆
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor
Teorema Sisa
Suku banyak 𝑓(𝑥) dibagi oleh (𝑥 − 𝑘), maka akan diperoleh hasil bagi 𝐻(𝑥) dan sisa pembagian
𝑆 , yang mempunyai hubungan
Untuk menentukan sisa (𝑆), maka kita bisa mencari nilai 𝑓(𝑘) , karena
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
12
Soal 30 :
Suku banyak 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 9𝑥 + 9 jika
dituliskan dalam bentuk perkalian faktor linear-
linearnya menjadi ...
a. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
b. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
c. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2)
d. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
e. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
Soal 31 :
Salah satu faktor dari
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 − 2
adalah 𝑥 + 2. Salah satu faktor yang lain dari
𝑓(𝑥) adalah ...
a. (𝑥 − 2)
b. (𝑥 + 1)
c. (𝑥 + 4)
d. (𝑥 − 3)
e. (𝑥 + 3)
Solusi 30 :
Faktor-faktor dari 9 yang berupa bilangan bulat
adalah : ±1, ±3, ±9
Oleh karena itu kita coba dari yang terkecil.
+1
Kita gunakan
1 1 −1 −9 9
1 0 −9
1 0 −9 0
Sisanya 0.
Maka 𝑥 = 1 atau (𝑥 − 1) adalah salah satu
faktor dari 𝑓(𝑥).
Hasil pembagian 𝑓(𝑥) dengan (𝑥 − 1) bisa
dilihat di atas yaitu 𝑥2 + 0𝑥 − 9
Atau sama dengan 𝑥2 − 9
Dengan pemfaktoran kuadrat, kita peroleh
𝑥2 − 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
Jadi,
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
Solusi 31 :
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 𝑥 − 2
Karena 𝑥 + 2 adalah salah satu faktornya, maka
𝑓(−2) = 0
𝑓(−2) = (−2)3 + 𝑎(−2)2 − (−2) − 2
0 = −8 + 4𝑎
𝑎 = 2
Jadi,
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Hasil bagi 𝑓(𝑥) oleh 𝑥 + 2 adalah
−2 1 2 −1 − 2
−2 0 2
1 0 −1 0
yaitu
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 1)
Dengan pemfaktoran
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
Teorema Faktor
Jika 𝑓(𝑥) adalah suatu suku banyak, maka (𝑥 − 𝑘) merupakan faktor dari 𝑓(𝑥) jika dan hanya
jika 𝑓(𝑘) = 0
Misalkan bentuk 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Kita bisa mencoba mencari faktor dari 𝑓(𝑥) yaitu (𝑥 − 𝑘)
dengan 𝑘 adalah faktor-faktor bilangan bulat dari 𝑎0
Jika 𝑓(𝑘) = 0 , maka (𝑥 − 𝑘) adalah faktor dari 𝑓(𝑥).
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
13
Soal 32 :
Diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 6 dan
𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1. Jika nilai (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 101
maka, nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ...
a. 2 dan −2
b. −11
3 dan 2
c. 11
3 dan −2
d. 2 dan 7
3
e. 11
3 dan
7
3
Soal 33 :
Jika diketahui 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 dan diketahui
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 ,
maka , 𝑓(𝑥) = ⋯
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 3
d. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5
e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1
Soal 34 :
Diketahui (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 12𝑥 − 2 dan diketahui
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2. Maka 𝑔(𝑥) = ⋯
a. 2𝑥 + 1
b. 3𝑥 + 1
c. 3𝑥 − 1
d. 3𝑥 + 2
e. 2𝑥 + 3
Solusi 32 :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥)
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥 − 1)
= 3(2𝑥 − 1)2 − 4(2𝑥 − 1) + 6
= 3(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) − 8𝑥 + 4 + 6
= 12𝑥2 − 12𝑥 + 3 − 8𝑥 + 10
= 12𝑥2 − 20𝑥 + 13
101 = 12𝑥2 − 20𝑥 + 13
12𝑥2 − 20𝑥 − 88 = 0
3𝑥2 − 5𝑥 − 22 = 0
(3𝑥 − 11)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 =11
3 atau 𝑥 = −2
Solusi 33 :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 3𝑥 + 1
Misalkan
𝑥 + 1 = 𝑘
maka,
𝑥 = 𝑘 − 1
Sehingga,
𝑓(𝑘) = (𝑘 − 1)2 + 3(𝑘 − 1) + 1
= 𝑘2 − 2𝑘 + 1 + 3𝑘 − 3 + 1
= 𝑘2 + 𝑘 − 1
Jadi,
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1
Solusi 34 :
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 12𝑥 − 2
𝑓 𝑔(𝑥) = 12𝑥 − 2
4 𝑔(𝑥) + 2 = 12𝑥 − 2
4 𝑔(𝑥) = 12𝑥 − 4
𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1
Jadi,
𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 1
(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔) ∘ (𝑥) = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ) (𝑥)
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers
Fungsi Komposisi
Sifat-sifat penting
Umumnya tidak komutatif
Bersifat asosiatif
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
14
Soal 35 :
Diketahui 𝑓(𝑥) =1
2𝑥+1 . Jika 𝑓−1(𝑥) adalah suatu
fungsi invers dari 𝑓, dan 𝑓−1(𝑎) = −1, maka
nilai 𝑎 adalah ...
a. −1
b. 0
c. 1
d. 2
e. 3
Soal 36 :
Misalkan diketahui 𝑓(𝑥) =3𝑥+5
2𝑥−3 , maka
𝑓−1(𝑥) = ...
a. 3𝑥+5
2𝑥−3
b. 3𝑥+5
2𝑥+3
c. 3𝑥+3
2𝑥−5
d. 3𝑥+2
5𝑥−3
e. 5𝑥+3
3𝑥−2
Soal 37 :
Nilai 𝑓−1(2) dari 𝑓(𝑥) =3𝑥+4
2𝑥−1 adalah ...
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
Solusi 35 :
𝑓(𝑥) =1
2𝑥+1 ↔ 𝑦 =
1
2𝑥+1
2𝑥 + 1 =1
𝑦
2𝑥 =1
𝑦− 1
𝑥 =1
2𝑦−
1
2 , maka 𝑓−1(𝑥) =
1
2𝑥−
1
2
𝑓−1(𝑎) =1
2𝑎−
1
2 ↔ −1 =
1
2𝑎−
1
2
−1 +1
2=
1
2𝑎 ↔ −
1
2=
1
2𝑎
−2𝑎 = 2 ↔ 𝑎 = −1
Jadi, nilai 𝑎 = −1
Solusi 36 :
Dengan rumus di atas, maka
𝑓−1(𝑥) =3𝑥 + 5
2𝑥 − 3
Solusi 37 :
𝑓(𝑥) =3𝑥+4
2𝑥−1 , dengan menggunakan rumus di
atas, maka diperoleh 𝑓−1(𝑥) =𝑥+4
2𝑥−3
𝑓−1(2) =2+4
2(2)−3
=6
4−3
= 6
Jadi, nilai 𝑓−1(2) = 6
Fungsi Invers
Syarat memiliki fungsi invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi berkorespondensi satu-satu
Langkah-langkah menentukan fungsi invers
Ubah 𝑦 = 𝑓(𝑥) dalam bentuk 𝑥 sebagai fungsi 𝑦
Bentuk tersebut dinamakan 𝑓−1(𝑦)
Mengganti 𝑦 pada 𝑓−1(𝑦) dengan 𝑥, sehingga diperoleh 𝑓−1(𝑥)
𝒇(𝒙) =𝒂𝒙 + 𝒃
𝒄𝒙 + 𝒅
𝒇−𝟏 =−𝒅𝒙 + 𝒃
𝒄𝒙 − 𝒂
Misalkan diberikan
Maka,
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
15
Soal 38 :
Diketahui 𝑓(𝑥) =𝑥+4
𝑥−6 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 1
maka, (𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) adalah ...
a. 𝑥+3
𝑥−2
b. 7𝑥+3
2𝑥−2
c. 𝑥+3
2𝑥−2
d. 2𝑥+7
2𝑥−2
e. 3𝑥+3
𝑥−2
Soal 39 :
Nilai maksimum 4𝑥 + 5𝑦 dengan
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 2𝑦 ≤ 10 dan 𝑥 + 𝑦 ≤ 7
adalah ...
a. 28
b. 30
c. 31
d. 35
e. 40
Solusi 38 :
Ada 2 cara yang bisa dilakukan. Bisa mencari
𝑓 ∘ 𝑔 terlebih dahulu kemudian diinverskan.
Bisa juga menggunakan rumus di atas.
Kita akan menggunakan rumus di atas!
𝑓−1(𝑥) =6𝑥+4
𝑥−1 dan 𝑔−1(𝑥) =
𝑥+1
2=
1
2𝑥 +
1
2
𝑔−1(𝑥) ∘ 𝑓−1(𝑥) = 𝑔−1 𝑓−1(𝑥)
= 𝑔−1 .6𝑥+4
𝑥−1/
=1
2.
6𝑥+4
𝑥−1/ +
1
2
=3𝑥+2
𝑥−1+
1
2
=6𝑥+4+(𝑥−1)
2(𝑥−1)
=7𝑥+3
2𝑥−2
Jadi, (𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) =7𝑥+3
2𝑥−2
Solusi 39 :
(𝑓 ∘ 𝑔)−1(𝑥) = 𝑔−1(𝑥) ∘ 𝑓−1(𝑥)
Invers dari Fungsi Komposisi
Indikator : menyelesaikan masalah program linear
Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear
Menggambar semua daerah yang diketahui (Jika soal cerita, ubah terlebih dahulu
permasalahannya ke dalam bentuk matematika / persamaan/pertidaksamaan linear)
Menentukan titik ekstrim
Melakukan unji titik ekstrim
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
16
Soal 40 :
Jika diketahui 𝐴 = 2 𝑥 +
1
𝑦
8 + 𝑥 2𝑦 + 5𝑧 dan
𝐵 = 02 39 11
1, dan 𝐴 = 𝐵 . maka nilai 𝑧 adalah ...
a. 1
2
b. 1
c. 3
2
d. 2
e. 3
Solusi 40 :
2 𝑥 +
1
𝑦
8 + 𝑥 2𝑦 + 5𝑧 = 0
2 39 11
1
Kesamaan matriks, syaratnya adalah elemen-
elemen yang seletak bernilai sama.
8 + 𝑥 = 9 , maka 𝑥 = 1
𝑥 +1
𝑦= 3 , maka 1 +
1
𝑦= 3 ↔
1
𝑦= 2 ↔ 𝑦 =
1
2
2𝑦 + 5𝑧 = 11 , maka
2 .1
2/ + 5𝑧 = 11 ↔ 1 + 5𝑧 = 11
5𝑧 = 10 ↔ 𝑧 = 2
Jadi, nilai 𝑧 = 2
𝐴2×3 = .1 2 32 0 0
/
.1 2 32 0 0
/ + .2 1 01 2 −3
/ = 1 + 2 2 + 1 3 + 02 + 1 0 + 2 0 + (−3)
= .3 3 33 2 −3
/
𝑛𝐴 = 2 .1 23 4
/ = .2 × 1 2 × 22 × 3 2 × 4
/ = .2 46 8
/
𝐴 × 𝐵 = .𝑎 𝑏𝑐 𝑑
/ .𝑖 𝑗 𝑘𝑙 𝑚 𝑛
/ = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑙 𝑎𝑗 + 𝑏𝑚 𝑎𝑘 + 𝑏𝑛𝑐𝑖 + 𝑑𝑙 𝑐𝑗 + 𝑑𝑚 𝑐𝑘 + 𝑑𝑛
Indikator : menyelesaikan operasi matriks
Ordo/Ukuran Matriks
Matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 ditulis 𝐴𝑚×𝑛 (dengan 𝑚 banyak baris dan 𝑛 banyak kolom)
Matriks Persegi : matriks dengan ukuran baris = kolom
Transpose Matriks
Misal 𝐴 = .1 2 32 0 0
/, maka 𝐴𝑇 = 1 22 03 0
... Baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris
Penjumlahan / Pengurangan
Syarat : ordo harus sama
Perkalian Skalar
Bilangan real 𝑛, dikalikan dengan matriks 𝐴
Misalkan 𝑛 = 2 , dan 𝐴 = .1 23 4
/
maka
Perkalian Matriks 𝐴𝐵 harus memenuhi syarat:
Jumlah kolom matriks 𝐴 sama dengan jumlah kolom matriks 𝐵
(𝐴𝑚×𝑛 × 𝐵𝑛×𝑘) hasilnya nanti adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑘
Sifat-sifat Matriks
(𝐴𝑇)𝑇 = 𝐴
(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇
(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
17
det(𝐴) = 𝑎1𝑗𝐶1𝑗 + 𝑎2𝑗𝐶2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝐶𝑛𝑗
det(𝐴) = 𝑎𝑖1𝐶𝑖1 + 𝑎𝑖2𝐶𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝐶𝑖𝑛
Determinan dan Invers Matriks
Syarat suatu Matriks mempunyai invers adalah determinan dari matriks tidak sama dengan 0.
Minor
Misal 𝐴 adalah matriks persegi
Minor anggota 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan suatu matriks yang masih tersisa setelah baris ke-𝑖 dan
kolom ke-𝑗 dihilangkan dari 𝐴
Contoh : 𝐴 = .2 34 5
/ = .𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22/
𝑀11 = 5 , 𝑀12 = 4 , 𝑀21 = 3 , 𝑀22 = 2
Kofaktor
Kofaktor anggota 𝐶𝑖𝑗 sama dengan (−1)𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗
𝐶11 = (−1)1+1 × 5 = 5 , 𝐶12 = −4 , 𝐶21 = −3 , 𝐶22 = 2
Determinan
Misal 𝐴 adalah matriks persegi. Dengan perluasan kofaktor
Perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke-𝑗
Perluasan kofaktor di sepanjang baris ke-𝑖
det(𝐴) = 𝑎11𝐶11 + 𝑎12𝐶12 = 2(5) + 3(−4) = 10 − 12 = −2
Matriks Kofaktor
Matriks kofaktor dari 𝐴. Misal 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐶𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑎𝑖𝑗 , maka
matriks
𝐶11 𝐶12
𝐶21 𝐶22
… 𝐶1𝑛
… 𝐶2𝑛
⋮ ⋮𝐶𝑛1 𝐶𝑛2
⋱ ⋮… 𝐶𝑛𝑛
, pada contoh di atas, .5 −3
−4 2/
Adjoin
Misal 𝐴 adalah matriks persegi. Adjoin 𝐴 ditulis 𝑎𝑑𝑗(𝐴) adalah transpose dari matriks kofaktor
dari 𝐴. Pada contoh di atas, 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = .5 −4
−3 2/
Invers Matriks
𝐴−1 =1
det (𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴) , pada contoh di atas, 𝐴−1 =
1
−2.
5 −4−3 2
/ = −
5
22
3
2−1
Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks
𝐴 ± 𝐵 = 𝐴 ± 𝐵
𝐴𝐵 = 𝐶 → 𝐴 𝐵 = 𝐶
𝐴𝑇 = 𝐴
𝐴−1 =1
𝐴
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
18
Soal 41 :
Diketahui vektor 𝑎 = 132 , 𝑏 =
5−14
, dan
𝑐 = 41
−1 . maka vektor 𝑎 − 3𝑐 + 2𝑏 adalah ...
a. 1
−27
d. −12
−3
b. −113−2
e. −1−213
c. −12
13
Soal 42 :
Diketahui 𝑎 = 3 , 𝑏 = 1 dan 𝑎 − 𝑏 = 1 ,
panjang vektor 𝑎 + 𝑏 adalah ...
a. 3
b. 5
c. 7
d. 2 2
e. 3
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏
𝑚(𝑛𝑎 ) = (𝑚𝑛)𝑎
(𝑚 + 𝑛)𝑎 = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑎
Indikator : menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu
Panjang Vektor
Misalkan 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2) maka panjang 𝑎 yaitu 𝑎 = 𝑎12 + 𝑎2
2
Misalkan 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2) maka panjang 𝑏 yaitu 𝑏 = 𝑏12 + 𝑏2
2
Sifat Operasi Vektor
Perkalian Skalar
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
19
Soal 43 :
Jika vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 membentuk sudut
60° . 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 5. Maka 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 = ⋯
a. 5
b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
Soal 44 :
Jika sudut antara vektor 𝑎 = 𝑖 + 2𝑗 + 𝑝𝑘 dan
𝑏 = 𝑖 − 2𝑗 + 𝑝𝑘 adalah 60° , maka nilai 𝑝
adalah ...
a. −1
2 atau
1
2
b. −1 atau 1
c. − 2 atau 2
d. − 5 atau 5
e. −1
2 5 atau
1
2 5
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑏 ⋅ 𝑎
𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑏
𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑎 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan
trigonometri sudut antara dua vektor
Perkalian Skalar Dua Vektor
Dengan, 𝜃 =sudut terkecil antara dua vektor
Misalkan
𝑎 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
𝑑𝑎𝑛 𝑏 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
maka 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
Sifat-sifat
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
20
Soal 45 :
Diketahui vektor 𝑧 adalah vektor hasil proyeksi
dari vektor 𝑥 = − 3, 3, 1 pada vektor
𝑦 = 3, 2, 3 . Maka panjang vektor 𝑧 adalah ...
a. 3
2
b. 2
c. 2
3
d. 3
e. 4
3
Soal 46 :
Panjang proyeksi ortogonal vektor 𝑎 = −𝑖 3 +
𝑝𝑗 + 𝑘 pada vektor 𝑏 = −𝑖 3 + 2𝑗 + 𝑝𝑘 adalah 3
2. Nilai 𝑝 = ⋯
a. 3
b. 2
c. 1
3
d. −2
e. −3
Soal 47 :
Diketahui : 𝑎 = (1, 2, 2), 𝑏 = (0, 1, 0) dan
𝑐 = (2, −1, −1) maka panjang proyeksi 𝑎𝑐 pada
𝑎𝑏 adalah ...
a. 1
4 6
b. 6
c. 8 6
d. 3
2 3
e. 4
3 3
Solusi 45 :
𝑧 =𝑥 ⋅ 𝑦
𝑦
𝑥 ⋅ 𝑦 = − 3 (3) + 3.2 + 1.3 = −3 + 6 + 3 = 6
𝑦 = 3 2
+ (2)2 + (3)2 = 3 + 4 + 9
= 16 = 4
Sehingga,
𝑧 =𝑥 ⋅ 𝑦
𝑦 =
6
4=
3
2
Solusi 46 :
𝑐 =𝑎 ⋅ 𝑏
𝑏
𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑏
𝑏 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi
Misalkan vektor 𝑎 diproyeksikan terhadap vektor 𝑏 . Dan misalkan hasilnya adalah vektor 𝑐 .
Tentu saja vektor 𝑐 adalah vektor yang searah dengan vektor 𝑏 .
Panjang vektor 𝑐
Vektor 𝑐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
21
Soal 48 :
Garis 𝑥 + 𝑦 = 3 dicerminkan terhadap sumbu-𝑦
kemudian dicerminkan terhadap sumbu-𝑥.
Maka persamaan bayangannya adalah ...
a. 𝑦 = 𝑥 + 3
b. 𝑦 = −𝑥 − 3
c. 𝑦 = 3 − 𝑥
d. 𝑦 = 𝑥 − 3
e. 𝑦 = 3𝑥 + 3
𝑥′𝑦′
= 𝑀 .𝑥𝑦/
𝑥′𝑦′
= .𝑎 𝑏𝑐 𝑑
/ .𝑥𝑦/
(𝑇2 ∘ 𝑇1)(𝐴) = 𝑇2 𝑇1(𝐴)
Indikator : menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih
Transformasi Oleh Matriks
Dengan 𝑀 adalah matriks transformasi yang digunakan.
Pergeseran Matriks translasi 𝑇 = .𝑎𝑏/
𝑥′𝑦′
= .𝑎𝑏/ + .
𝑥𝑦/
Pencerminan Terhadap sumbu-𝑥
𝑥′𝑦′
= .1 00 −1
/ .𝑥𝑦/
Terhadap sumbu-𝑦 𝑥′𝑦′
= .−1 00 1
/ .𝑥𝑦/
Terhadap titik asal 𝑂(0,0) 𝑥′𝑦′
= .−1 00 −1
/ .𝑥𝑦/
Terhadap garis 𝑦 = 𝑥 𝑥′𝑦′
= .0 11 0
/ .𝑥𝑦/
Terhadap garis 𝑦 = −𝑥 𝑥′𝑦′
= .0 −1
−1 0/ .
𝑥𝑦/
Perputaan
(Rotasi)
Dengan pusat (0,0) dan
Sudut 𝜃 yang ditentukan 𝑥′𝑦′
= .cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
/ .𝑥𝑦/
Dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan
sudut 𝜃 yang ditentukan 𝑥′𝑦′
= .cos 𝜃 − sin 𝜃sin 𝜃 cos 𝜃
/.𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏/ + .
𝑎𝑏/
(Dilatasi)
Perkalian
Titik pusat (0,0) dan
Faktor skala 𝑘 𝑥′𝑦′
= .𝑘 00 𝑘
/ .𝑥𝑦/
Titik pusat (𝑎, 𝑏) dan
Faktor skala 𝑘 𝑥′𝑦′
= .𝑘 00 𝑘
/ .𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑏/ + .
𝑎𝑏/
Komposisi Dua Transformasi
Transformasi 𝑇1 dilanjutkan Transformasi 𝑇2 terhadap suatu titik 𝐴 ditulis
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
22
Soal 49 :
12 log (𝑥2 − 3) < 0
Nilai 𝑥 yang memenuhi adalah ...
a. −2 < 𝑥 < 2
b. −2 < 𝑥 < 3
c. −2 < 𝑥 < − 3
d. − 3 < 𝑥 < 3
e. −2 < 𝑥 < 2
Soal 50 :
Nilai 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan
32𝑥+2 ≥ 1
9
𝑥+1
adalah ...
a. 𝑥 ≥ −3
2
b. 𝑥 ≥ −1
c. 𝑥 ≥ 0
d. 𝑥 ≥1
2
e. 𝑥 ≥ 1
Solusi 49 :
12 log (𝑥2 − 3) < 0
12 log (𝑥2 − 3) <
12 log 1
Perhatikan Syaratnya, yaitu :
(𝑥2 − 3) > 0
𝑥2 > 3
Diperoleh − 3 < 𝑥 < 3
Perhatikan aturan di atas. Karena 0 < 𝑎 < 1
Maka
1 < 𝑥2 − 3
𝑥2 > 4
Diperoleh −2 < 𝑥 < 2
Iriskan kedua hasil!
Jadi, HP : − 3 < 𝑥 < 3
Indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma
Pertidaksamaan Eksponen
Jika 𝑎𝑓(𝑥) > 𝑎𝑔(𝑥) , maka :
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) , untuk 𝑎 > 1
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), untuk 0 < 𝑎 < 1
Pertidaksamaan Logaritma
Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) > 𝑎 log 𝑔(𝑥) , maka :
𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) , untuk 𝑎 > 1
𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥), untuk 0 < 𝑎 < 1
Langkah-langkah penyelesaiannya :
Perhatikan syarat-syaratnya. Misalkan pada pertidaksamaan logaritma, 𝑓(𝑥) > 0 dan 𝑔(𝑥) > 0
Kemudian iriskan dengan aturan di atas!
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
23
Soal 51 :
Nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan
𝑥 log (6𝑥 − 8) − 2 = 0
adalah ...
a. 4 atau 2
b. 4 atau −4
c. 3 atau 4
d. 4 atau 8
e. 6 atau 7
Solusi 51 :
𝑥 log (6𝑥 − 8) − 2 = 0
𝑥 log (6𝑥 − 8) = 2
𝑥 log (6𝑥 − 8) = 𝑥 log 𝑥2
Syarat-syarat
6𝑥 − 8 > 0 → 𝑥 >8
6 dan 𝑥2 > 0 → 𝑥 > 0
Dan 𝑥 ≠ 1
Maka, 6𝑥 − 8 = 𝑥2 → 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0
(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) = 0
𝑥 = 4 atau 𝑥 = 2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma
Fungsi Eksponen
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ −1 dan 𝑥 ∈ ℝ
Jika 𝑎 > 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi naik
Jika 0 < 𝑎 < 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi turun
Fungsi Logaritma
𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑥 , dengan 𝑥 > 0, 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1
Jika 𝑎 > 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi naik
Jika 0 < 𝑎 < 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi turun
Persamaan Eksponen
Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑝 (𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑝
Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) (𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1) maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Jika 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑓(𝑥) (𝑎, 𝑏 > 0 ; 𝑎, 𝑏 ≠ 1 dan 𝑎 ≠ 𝑏) maka 𝑓(𝑥) = 0
Jika (𝑥) 𝑓(𝑥)
= (𝑥) 𝑔(𝑥)
, maka kemungkinannya adalah :
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
(𝑥) = 1
(𝑥) = 0. Asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) positif
(𝑥) = −1. Asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil / keduanya genap
Jika 𝑓(𝑥) (𝑥)
= 𝑔(𝑥) (𝑥)
, maka kemungkinannya adalah :
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
(𝑥) = 0 . Asalkan 𝑓(𝑥) ≠ 0 dan 𝑔(𝑥) ≠ 0
Persamaan Logaritma
Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑝 , maka 𝑓(𝑥) = 𝑝 (asalkan 𝑓(𝑥) > 0)
Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑏 log 𝑓(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 1 (asalkan 𝑎 ≠ 𝑏)
Jika 𝑎 log 𝑓(𝑥) = 𝑎 log 𝑔(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (asalkan 𝑓(𝑥) > 0 dan 𝑔(𝑥) > 0)
Jika (𝑥) log 𝑓(𝑥) = (𝑥) log 𝑔(𝑥) , maka 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (asalkan 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0,
(𝑥) > 0 dan (𝑥) ≠ 1)
Jika 𝑓(𝑥) log (𝑥) = 𝑔(𝑥) log (𝑥) , maka
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan (𝑥) ≠ 1, (𝑥) > 0
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan (𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) > 0, 𝑔(𝑥) > 0, 𝑓(𝑥) ≠ 1, 𝑔(𝑥) ≠ 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
24
Soal 52 :
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4
adalah 21 dan suku ke-10 adalah 57. Suku ke-19
adalah ...
a. 123
b. 99
c. 111
d. 88
e. 100
Soal 53 :
Barisan (2𝑘 + 25), (−𝑘 + 9), (3𝑘 + 7), …
adalah barisan aritmatika untuk nilai 𝑘 ...
a. −2
b. −1
c. 0
d. 1
e. 2
Soal 54 :
Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku
membentuk barisan aritmatika. Jika kelilingnya
adalah 84, maka luasnya sama dengan ...
a. 216
b. 294
c. 363
d. 382
e. 390
Solusi 52 :
𝑈4 = 𝑈1 + 3𝑏 = 21
𝑈10 = 𝑈1 + 9𝑏 = 57
Eliminasi 𝑈1 dari kedua persamaan, diperoleh
6𝑏 = 36
𝑏 = 6
Sehingga, 𝑈1 + 3(6) = 21 ↔ 𝑈1 = 3
Maka,
𝑈19 = 𝑈1 + 18𝑏 = 3 + 18(6) = 111
Solusi 53 :
𝑏 = (−𝑘 + 9) − (2𝑘 + 25) = −3𝑘 − 16
𝑏 = (3𝑘 + 7) − (−𝑘 + 9) = 4𝑘 − 2
Substitusi kedua persamaan,
−3𝑘 − 16 = 4𝑘 − 2
−14 = 7𝑘
𝑘 = −2
Solusi 54 :
Tripel Pythagoras yang membentuk barisan
aritmetika adalah (3𝑘, 4𝑘, 5𝑘) dengan 𝑘
bilangan asli.
Mencari nilai 𝑘 ,
3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 84
12𝑘 = 84
𝑘 = 7
Ukuran segitiga tersebut adalah (21, 28, 35)
Sisi miring adalah sisi terpanjang, sehingga
luasnya adalah =1
2× 21 × 28 = 21 × 14 = 294
𝑈𝑛 = 𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆𝑛 =
𝑛
2(𝑈1 + 𝑈𝑛)
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 ′ −
1
2𝑆𝑛
′′
Indikator : menyelesaikan masalah deret aritmetika
Barisan dan Deret Aritmetika
Jika 𝑈𝑛 adalah suku ke-𝑛 dan 𝑏 adalah beda, yaitu 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1, maka nilai suku ke-𝑛
dirumuskan
Jumlah suku pertama sampai suku ke-𝑛, disimbolkan 𝑆𝑛 , yaitu
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 Suku tengah , 𝑈𝑡 =1
2(𝑈1 + 𝑈𝑛) , untuk banyak 𝑛 ganjil.
Jika diketahui rumus 𝑆𝑛 , dan ditanya rumus 𝑈𝑛 , maka
dengan, 𝑆𝑛 ′ adalah turunan pertama dari 𝑆𝑛 , dan 𝑆𝑛
′′ adalah turunan keduanya.
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
25
Soal 55 :
Diketahui jumlah 𝑛 suku pertama dari barisan
aritmatika dirumuskan oleh 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 6𝑛.
Maka beda deret dari barisan aritmetika
tersebut adalah ...
a. −4
b. −2
c. 0
d. 2
e. 4
Soal 56 :
Suku ke-3 dan suku ke-10 dari barisan geometri
berturut-turut adalah 24 dan 3072. Suku ke-7
barisan tersebut adalah ...
a. 384
b. 428
c. 626
d. 680
e. 880
Solusi 55 :
Dengan rumus di atas, kita peroleh bahwa beda
dari barisan aritmatika yang dimaksud adalah
𝑏 = 2 × 2 = 4
Dengan penjabaran rumus 𝑆𝑛
𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 6𝑛 = 𝑛(2𝑛 − 6) =𝑛
2(4𝑛 − 12)
=𝑛
2(−8 + (𝑛 − 1)4)
Bandingkan dengan rumus
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑈1 + (𝑛 − 1)𝑏)
Maka, 𝑏 = 4
Solusi 56 :
𝑈3 = 𝑈1 × 𝑟2 = 24
maka, 𝑈1 =24
𝑟2 ... 1)
𝑈10 = 𝑈1 × 𝑟9 = 3072 … 2)
Substitusi ... 1) ke ... 2) 24
𝑟2 × 𝑟9 = 3072
24𝑟7 = 3072
𝑟 = 2
Maka, 𝑈1 =24
22 =24
4= 6
Sehingga,
𝑈7 = 6 × 26 = 384
Beda barisan aritmetika jika diketahui 𝑆𝑛
Misalkan 𝑆𝑛 = 𝑝𝑛2 + 𝑞𝑛 , maka beda = 𝑏 = 2𝑝
𝑈𝑛 = 𝑈1 × 𝑟𝑛−1
𝑆𝑛 =𝑎(𝑟𝑛 − 1)
𝑟 − 1 ; 𝑟 > 1
=𝑎(1 − 𝑟𝑛)
1 − 𝑟 ; 𝑟 < 1
𝑆 =𝑎
1 − 𝑟
Indikator : menyelesaikan masalah deret geometri
Deret Geometri
𝑟 adalah rasio, yaitu 𝑟 =𝑈2
𝑈1=
𝑈3
𝑈2= ⋯ =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1= ⋯
Suku ke-𝑛 dirumuskan dengan
Jumlah 𝑛 suku pertama dirumuskan dengan
Suku tengah, 𝑈𝑡 = 𝑈1 × 𝑈𝑛
Deret Geometri Tak Hingga
Banyak sukunya sebanyak tak hingga
Jumlahnya yaitu
Deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika −1 < 𝑟 < 1
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
26
Soal 57 :
Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻. Jika 𝜃 adalah sudut antara
diagonal 𝐴𝐺 dan rusuk 𝐴𝐷. Maka cos 𝜃 = ⋯
a. 2 d. 1
3 3
b. 1
2 2 e. 3
c. 1
2
Soal 58 :
Diketahui bidang empat 𝑇. 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan
𝑇𝐴 = 𝑇𝐵 = 5, 𝑇𝐶 = 2, 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 = 4 , 𝐴𝐵 = 6.
Jika 𝛼 adalah sudut antara 𝑇𝐶 dan bidang 𝑇𝐴𝐵.
Maka cos 𝛼 = ⋯
a. 15
16 d.
9
16
b. 13
16 e.
7
16
c. 11
16
Soal 59 :
Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 𝑎
cm. Jika 𝑆 merupakan proyeksi titik 𝐶 pada
bidang 𝐴𝐹𝐻, maka jarak titik 𝐴 ke titik 𝑆 adalah
...
a. 𝑎
3 3 d.
𝑎
2 3
b. 𝑎
3 6 e.
𝑎
2 6
c. 2𝑎
3 6
Soal 60 :
Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang rusuk 12
cm. 𝐾 adalah titik tengah rusuk 𝐴𝐵. Jarak titik 𝐾
ke garis 𝐻𝐶 adalah ...
a. 4 6 cm
b. 6 3 cm
c. 6 5 cm
d. 9 2 cm
e. 5 6 cm
Indikator : menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang dimensi
3
Kubus dengan panjang rusuk 𝑎
Panjang Diagonal Bidang = 𝑎 2
Panjang Diagonal Ruang = 𝑎 3
Rumus Pythagoras
Segitiga siku-siku 𝐴𝐵𝐶 siku-siku di 𝐵, maka 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐶𝐵2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
27
Soal 61 :
Jika panjang sisi segitiga 𝐴𝐵𝐶 berturut-turut
adalah 𝐴𝐵 = 4 cm , 𝐵𝐶 = 6 cm dan 𝐴𝐶 = 6 cm.
Dan 𝛼 = ∠𝐵𝐴𝐶, 𝛽 = ∠𝐴𝐵𝐶, 𝛾 = ∠𝐵𝐶𝐴. Maka
sin 𝛼 ∶ sin 𝛽 ∶ sin 𝛾 adalah ...
a. 4 : 5 : 6
b. 5 : 6 : 4
c. 6 : 5 : 4
d. 4 : 6 : 5
e. 6 : 4 : 5
Soal 62 :
Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐶 = 5 cm,
𝐴𝐵 = 7 cm dan ∠𝐵𝐶𝐴 = 120°. Keliling segitiga
𝐴𝐵𝐶 adalah ...
a. 14 cm
b. 15 cm
c. 16 cm
d. 17 cm
e. 18 cm
Soal 63 :
Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan panjang sisi
𝑎 = 7 cm, 𝑏 = 5 cm, 𝑐 = 3 cm. Nilai dari
sin 𝐴 = ⋯
a. 1
2 3 d.
1
3 3
b. −1
2 e.
2
3 3
c. 1
2
𝑎
sin 𝐴=
𝑏
sin 𝐵=
𝑐
sin 𝐶
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Indikator : menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
Aturan Sinus
Aturan Kosinus
𝑎 𝑏
𝑐
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
28
Soal 64 :
Himpunan penyelesaian dari persamaan
cos 2𝑥 − sin 𝑥 = 0
untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah ...
a. *30°, 150°, 270°+
b. *60°, 120°, 270°+
c. *90°, 180°, 300°+
d. *30°, 120°, 270°+
e. *30°, 180°, 300°+
Soal 65 :
Diketahui sin 𝛼 cos 𝛼 =8
25 . Maka, nilai dari
1
sin 𝛼−
1
cos 𝛼= ⋯
a. 3
5 d.
9
25
b. 15
8 e.
3
25
c. 5
8
Soal 66 :
Diketahui 𝑥 + 𝑦 = 270°
Maka
a. cos 𝑥 + sin 𝑦 = 0
b. cos 𝑥 − sin 𝑦 = 0
c. cos 𝑥 + cos 𝑦 = 0
d. sin 𝑥 − sin 𝑦 = 0
e. sin 𝑥 + sin 𝑦 = −1
Solusi 64 :
Gunakan cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥
Sehingga
cos 2𝑥 − sin 𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 − sin 𝑥 = 0
Misalkan sin 𝑥 = 𝑝 , maka
1 − 2𝑝2 − 𝑝 = 0
−(𝑝 + 1)(2𝑝 − 1) = 0
𝑝 = −1 atau 𝑝 =1
2
sin 𝑥 = − 1 , maka 𝑥 = 270°
sin 𝑥 =1
2 , maka 𝑥 = 30° atau 𝑥 = 150°
Jadi, HP = *30°, 150°, 270°+
𝑎 cos 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 = 𝑐 ↔ 𝑘 cos (𝑥 − 𝛼) = 𝑐
Indikator : menyelesaikan persamaan trigonometri
Persamaan Trigonometri
1. sin 𝑥 = sin 𝑎
𝑥1 = 𝑎 + 𝑘 ⋅ 360° atau 𝑥2 = (180° − 𝑎) + 𝑘 ⋅ 360°
2. cos 𝑥 = cos 𝑎
𝑥 = ±𝑎 + 𝑘 ⋅ 360°
3. tan 𝑥 = tan 𝑎
𝑥 = 𝑎 + 𝑘 ⋅ 180°
dengan,
𝑘 = 𝑎2 + 𝑏2 dan tan 𝛼 =𝑏
𝑎
Dengan syarat : 𝑐2 ≤ 𝑎2 + 𝑏2
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
29
Soal 67 :
Nilai dari cos 75° + cos 15° = ⋯
a. 0
b. 1
4 2
c. 1
2 2
d. 1
2 6
e. 1
4 6
Soal 68 :
Nilai dari sin 75° + sin 15° = ⋯
a. 0
b. 1
4 2
c. 1
d. 1
2 6
e. −1
sin (𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏
sin (𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏
cos (𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏
cos (𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏
sin 𝑎 + sin 𝑏 = 2 sin 𝑎 + 𝑏
2 cos
𝑎 − 𝑏
2
sin 𝑎 − sin 𝑏 = 2 cos 𝑎 + 𝑏
2 sin
𝑎 − 𝑏
2
cos 𝑎 + cos 𝑏 = 2 cos 𝑎 + 𝑏
2 cos
𝑎 − 𝑏
2
cos 𝑎 − cos 𝑏 = −2 sin 𝑎 + 𝑏
2 sin
𝑎 − 𝑏
2
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang
menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen serta jumlah dan
selisih dua sudut
Nilai perbandingan trigonometri
Untuk segitiga siku-siku ABC seperti berikut,
Rumus Jumlah dan Selisih
𝛼
sin 𝛼° =depan
miring
cos 𝛼° =samping
miring
tan 𝛼° =depan
samping
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
30
Soal 69 :
limx→2
3𝑥2 − 6𝑥
𝑥 − 2= ⋯
a. 0 d. 6
b. 2 e. 8
c. 4
Soal 70 :
limx→0
1 − cos 𝑥
5𝑥2= ⋯
a. −1
5 d.
1
10
b. 1
5 e. −
1
10
c. 1
Soal 71 :
limx→0
sin 2𝑥
3 − 2𝑥 + 9= ⋯
a. 0 d. −3
b. 1 e. −6
c. 3
limx→a
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim
x→a 𝑓 ′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
limx→a
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)= lim
x→a 𝑓 ′′ (𝑥)
𝑔′′ (𝑥)
limx→∞
𝑎𝑥 + 𝑏 − 𝑐𝑥 + 𝑑 = ∞ , untuk 𝑎 > 𝑐0 , untuk 𝑎 = 𝑐
−∞ , untuk 𝑎 < 𝑐
limx→∞
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 =
∞ , untuk 𝑎 > 𝑑𝑏 − 𝑒
2 𝑎 , untuk 𝑎 = 𝑑
−∞ , untuk 𝑎 < 𝑑
Indikator : menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Teorema L’hospital
Misalkan limx→af(x)
𝑔(𝑥) menghasilkan bentuk tak tentu .
0
0/, maka bisa menggunakan rumus
Jika limx→a 𝑓 ′ (𝑥)
𝑔′ (𝑥) masih menghasilkan bentuk tak tentu .
0
0/, maka
Aturan Pencarian Limit :
1. Substitusi
2. Jika menggunakan langkah substitusi (langkah 1) menghasilkan bentuk tak tentu, maka
faktorkan! / jika bertemu bentuk akar, kalikan dengan sekawan.
Untuk 𝑛 bilangan asli dan 𝑎 bilangan real, maka : limx→∞ 𝑎
𝑥𝑛 = 0
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
31
Soal 72 :
Nilai maksimum dari 4𝑥3 − 18𝑥2 + 15𝑥 − 5
adalah ketika 𝑥 = ...
a. 1
2
b. 2
c. 5
2
d. 4
e. 5
Soal 73 :
Titik belok dari fungsi 𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 + 7
adalah ...
a. (−2, 3)
b. (−2, 7)
c. (−2, 5)
d. (2, 5)
e. (2, 10)
Soal 74 :
Persegi oanjang dengan keliling (2𝑥 + 24) cm
dan lebarnya (8 − 𝑥) cm. Agar luasnya
maksimum, maka panjangnya = ...
a. 4 cm
b. 8 cm
c. 10 cm
d. 12 cm
e. 13 cm
Solusi 72 :
𝑓 = 4𝑥3 − 18𝑥2 + 15𝑥 − 5
𝑓 ′(𝑥) = 12𝑥2 − 36𝑥 + 15
Stasioner untuk 𝑓 ′(𝑥) = 0
Maka, 12𝑥2 − 36𝑥 + 15 = 0
3(2𝑥 − 5)(2𝑥 − 1) = 0
𝑥1 =1
2 𝑥2 =
5
2
𝑓 ′′ (𝑥) = 24𝑥 − 36
𝑓 ′′ (𝑥1) = 𝑓 ′′ .1
2/ = 12 − 36 = −24
𝑓 ′′ (𝑥2) = 𝑓 ′′ .5
2/ = 60 − 36 = 24
Jadi, maksimum ketika 𝑥 = 𝑥2 =5
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Indikator : menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi
Persamaan Garis Singgung Kurva
Misalkan titik (𝑥1 , 𝑦1) pada kurva, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah
dengan 𝑚 = 𝑓 ′(𝑥1)
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
𝑓 ′(𝑥) > 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) naik pada 𝐼
𝑓 ′(𝑥) < 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) turun pada 𝐼
𝑓 ′(𝑥) = 0 untuk 𝑥 ∈ 𝐼 , maka fungsi 𝑓(𝑥) stasioner pada 𝐼
Maksimum, Minimum dan Belok
Maksimum di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) < 0
Minimum di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) > 0
Titik Belok di 𝑎 , jika 𝑓 ′(𝑎) = 0 dan 𝑓 ′′ (𝑎) = 0
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
32
Soal 75 :
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑𝑥 = ⋯
a. (𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
b. 1
8(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
c. 1
4(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
d. 2(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
e. 3(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
Solusi 75 :
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑(𝑥2 + 2𝑥 + 10)
2𝑥 + 2
= (𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑 𝑥2+2𝑥+10
2(𝑥+1)
= (𝑥2 + 2𝑥 + 10)7 𝑑(𝑥2 + 2𝑥 + 10) = 𝑢7 𝑑𝑢
=1
8𝑢8 + 𝐶
=1
8(𝑥2 + 2𝑥 + 10)8 + 𝐶
𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = ,𝐹(𝑥)-𝑎𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = − 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏) = − 𝑓(𝑥)
𝑎
𝑏
𝒇 𝒈(𝒙) 𝒈′(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒇(𝒖) 𝒅𝒖 = 𝑭(𝒖) + 𝑪 = 𝑭 𝒈(𝒙) + 𝑪
𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑𝑥 = 𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑(𝑥2 + 1)
2𝑥=
1
2(𝑥2 + 1)5 𝑑(𝑥2 + 1)5 =
1
2𝑢5 𝑑𝑢
𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − 𝒗 𝒅𝒖
𝑢 = 𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 , 𝑑𝑣 = (𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 → 𝑣 =1
6(𝑥 + 1)6
𝑥(𝑥 + 1)5 𝑑𝑥 = 𝑥 1
6(𝑥 + 1)6 −
1
6(𝑥 + 1)6 𝑑𝑥
=𝑥
6(𝑥 + 1)6 −
1
42(𝑥 + 1)7 + 𝐶
Indikator : menentukan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Integral
𝑥𝑛 𝑑𝑥 =1
𝑛+1𝑥𝑛+1 + 𝐶 |
1
𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 | 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 | 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎 + 𝐶
Integral Tentu
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥), maka
Integral Substitusi
Contoh : 𝑥 (𝑥2 + 1)5 𝑑𝑥
Jawab :
Tips Integral substitusi
Umumnya kita menggunakan substitusi ketika bertemu bentuk perkalian 𝑓(𝑥) ⋅ ,𝑔(𝑥)-𝑛
Kalau turunan dari 𝑔(𝑥) bisa menghilangkan variabel 𝑥 pada 𝑓(𝑥), kita bisa gunakan substitusi
Seperti pada contoh di atas.. 𝑓(𝑥) = 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 1)
Karena turunan dari 𝑥2 + 1 adalah 2𝑥 . dan kita bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥), maka kita bisa
gunakan substitusi
Kalau turunan 𝑔(𝑥) tidak bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥), gunakan parsial, seperti di bawah ini
Integral Parsial
Contoh : 𝑥 (𝑥 + 1)5 𝑑𝑥
bentuk perkalian 𝑓(𝑥) ⋅ ,𝑔(𝑥)-𝑛
tetapi turunan dari 𝑔(𝑥) tidak bisa menghilangkan variabel 𝑥 pada 𝑓(𝑥)
turunan dari 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1 adalah 1 , tidak bisa menghilangkan 𝑥 pada 𝑓(𝑥). Jadi, gunakan parsial
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
33
Soal 76 :
cos 2𝑥 sin 5𝑥 𝑑𝑥 = ⋯
a. −1
14cos 7𝑥 +
1
6cos 3𝑥 + 𝑐
b. −1
14cos 7𝑥 −
1
6cos 3𝑥 + 𝑐
c. 1
14cos 7𝑥 +
1
6cos 3𝑥 + 𝑐
d. 1
14cos 7𝑥 −
1
6cos 3𝑥 + 𝑐
e. −1
14cos 7𝑥 +
1
3cos 3𝑥 + 𝑐
Contoh ∶ sin5 𝑥 𝑑𝑥 = sin4 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = (1 − cos2 𝑥)2 sin 𝑥 𝑑𝑥
= −(1 − 2 cos2 𝑥 + cos4 𝑥) 𝑑(cos 𝑥)
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 =𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙
𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 =
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙
𝟐
Contoh ∶ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − cos 2𝑥
2 𝑑𝑥 =
1
2−
1
2cos 2𝑥 𝑑𝑥
Contoh ∶ sin3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = sin2 𝑥 cos2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
= (1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 sin 𝑥 𝑑(cos 𝑥)
− sin 𝑥= (1 − cos2 𝑥) cos2 𝑥 𝑑(cos 𝑥)
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 =𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙
𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 =
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙
𝟐
sin 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =1
2,sin(𝑚 + 𝑛)𝑥 + sin(𝑚 − 𝑛)𝑥-
sin 𝑚𝑥 sin 𝑛𝑥 = −1
2,cos(𝑚 + 𝑛)𝑥 − cos(𝑚 − 𝑛)𝑥-
cos 𝑚𝑥 cos 𝑛𝑥 =1
2,cos(𝑚 + 𝑛)𝑥 + cos(𝑚 − 𝑛)𝑥-
Integral trigonometri
cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 csc2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 csc 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶
Bentuk 𝐬𝐢𝐧𝐧 𝒙 atau 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙
Kalau 𝒏 ganjil, ubah dulu menjadi sin𝑛−1 𝑥 ⋅ sin 𝑥 . Kemudian manfaatkan identitas trigonometri,
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 . Gunakan Aturan Substitusi :
Kalau 𝒏 genap, manfaatkan kesamaan setengah sudut
Bentuk 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙
Kalau 𝒎 atau 𝒏 ganjil : pisah bagian ganjil menjadi perkalian yang salah satunya pangkat satu.
Kemudian manfaatkan identitas trigonometri
Kalau 𝒎 dan 𝒏 genap : gunakan kesamaan setengah sudut
Bentuk : 𝐬𝐢𝐧𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙 ; 𝐬𝐢𝐧 𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬𝒏𝒙 ; 𝐜𝐨𝐬𝒎𝒙𝐜𝐨𝐬 𝒏𝒙
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
34
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Luas I = 𝑦 𝑑𝑥5
4
= 1
2(𝑥2 − 3𝑥 − 4)
5
4
𝑑𝑥
− 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
atau 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏
𝑎
Luas II = − 𝑦 𝑑𝑥4
2
= − 1
2(𝑥2 − 3𝑥 − 4)
4
2
𝑑𝑥
𝑦1 − 𝑦2
4
2
𝑑𝑥
Indikator : menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral
Integral Luas
Luas daerah yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0 (ada di atas sumbu-𝒙) dan dibatasi oleh garis
𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan sumbu-𝑥 adalah
Seperti contoh pada gambar di bawah,
kalau dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥) < 0 (ada di bawah sumbu-𝒙) dan dibatasi oleh garis 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏
dan sumbu-𝑥 adalah
Seperti contoh pada gambar di bawah,
Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva, (seperti contoh di bawah) maka kita bisa
menggunakan :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
35
Soal 77 :
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
𝑦 = 9 − 𝑥2 , dan garis 𝑦 = 𝑥 + 3 adalah ...
a. 125
6 satuan luas
b. 20 satuan luas
c. 22 satuan luas
d. 62
3 satuan luas
e. 21 satuan luas
Solusi 77 :
Karena dibatasi oleh fungsi kuadrat dan fungsi
linear, maka kita bisa menggunakan rumus
𝐿 =𝐷 𝐷
6𝑎2
Substitusi kedua persamaan
9 − 𝑥2 = 𝑥 + 3
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝐷 = 12 − 4(−6) = 25
Sehingga, luas yang dimaksud adalah
𝐿 =𝐷 𝐷
6𝑎2=
25 25
6.12=
25 × 5
6
=125
6
𝐿 = 𝐷 𝐷
6𝑎2
Beberapa tips mengerjakan integral luas seperti berikut ini :
Ketika bertemu dengan daerah yang dibatasi :
1. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat
2. Persamaan Kuadrat dan Sumbu-𝑥
3. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linear
Substitusikan 𝑦 pada kedua persamaan, kemudian kita gunakan rumus
dengan, 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Rumus 1/3
Rumus 2/3
𝐿 =1
3× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
Kalau bertemu dengan daerah seperti gambar di samping, kita
bisa menggunakan rumus
Syarat terpenting adalah daerahnya seperti itu!!!
Fungsi kuadratnya mempunyai minimum yang menempel pada
garis dasar pada daerah yang dimaksud.
Kalau pada gambar tersebut, menempel pada sumbu-𝑥
Contoh : 𝐿𝑢𝑎𝑠 =1
3× 4 × 8 =
32
3= 10
2
3
𝐿𝑢𝑎𝑠 =2
3× 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
𝐿𝑢𝑎𝑠 =2
3× 4 × 4 =
16
3= 5
1
3
Kalau daerahnya dibatasi oleh fungsi kuadrat dan sumbu-
𝑥 seperti gambar di bawah ini, kita bisa gunakan
Contoh :
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
36
𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
𝑀𝑒 = 𝑡𝑏 +
𝑛2 − 𝐹𝑘
𝑓 𝑝
𝑀𝑜 = 𝑡𝑏 + 𝑏1
𝑏1 + 𝑏2 𝑝
𝑄𝑖 = 𝑡𝑏 +
𝑖4 𝑛 − 𝐹𝑘
𝑓 𝑝
Indikator : menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel,
diagram atau grafik
Ukuran Pemusatan
Mean (Rataan)
Pada data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka 𝑥𝑖 yang digunakan adalah nilai tengah
Median
Jika 𝑛 ganjil, maka 𝑀𝑒 = 𝑥𝑛+1
2
, yaitu data ke-𝑛+1
2
Jika 𝑛 genap, maka 𝑀𝑒 =1
2 𝑥𝑛
2+ 𝑥𝑛+1
2
Tentu saja dengan syarat data harus sudah diurutkan.
Untuk data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka
Keterangan :
𝑡𝑏 : tepi bawah kelas modus
𝑛 : banyaknya data
𝐹𝑘 : frekuensi kumulatif sebelum kelas median
𝑓 : frekuensi kelas median
𝑝 : panjang kelas
Modus
Keterangan :
𝑏1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
𝑏2 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Ukuran Letak
Kuartil
Kuartil ke-𝑖 dirumuskan
Ukuran Penyebaran
Jangkauan/Rentang : 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Jangkauan Antar Kuartil : 𝑄3 − 𝑄1
Simpangan Kuartil : 1
2(𝑄3 − 𝑄1)
Simpangan Rata-rata = 𝑥𝑖−𝑥 𝑛
𝑖=1
𝑛
Ragam = (𝑥𝑖−𝑥 )2𝑛
𝑖=1
𝑛
Simpangan Baku = Ragam
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
37
Soal 78 :
Nilai rataan dari data pada tabel berikut
Nilai Frekuensi
150-154 3
155-159 4
160-164 16
165-169 10
170-174 6
175-179 1
adalah ...
a. 145,87
b. 173,84
c. 153,87
d. 183,84
e. 163,88
Solusi 78 :
Nilai Frekuensi 𝑑 𝑑 × 𝑓
150-154 3 152 456
155-159 4 157 628
160-164 16 162 2592
165-169 10 167 1670
170-174 6 172 1032
175-179 1 177 177
𝑛 = 40
𝑑𝑖𝑓𝑖 = 6555
Jadi, 𝑥 =6555
40= 163,875 ≈ 163, 88
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
38
Soal 79 :
Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih
kecil dari 300 yang dapat disusun dari angka-
angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah ...
a. 50
b. 60
c. 120
d. 180
e. 210
Solusi 79 :
Ada 3 tempat, mulai dari ratusan, puluhan dan
satuan
2 5 5
Tempat ratusan hanya bisa diisi oleh 1 dan 2
Tempat puluhan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5
Tempat satuan bisa diisi oleh 1, 2, 3, 4, 5
Sehingga, banyaknya bilangan yang dimaksud
adalah 2 × 5 × 5 = 50
𝑛2 × 𝑛2 × … × 𝑛𝑘
𝑛! = 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 2 × 1
𝑃(𝑛, 𝑟) =𝑛!
(𝑛 − 𝑟)!
𝑃(𝑛, 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘) =𝑛!
𝑟1! 𝑟2! …𝑟𝑘 !
𝐶(𝑛, 𝑟) =𝑛!
𝑟! (𝑛 − 𝑟)!
Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan,
permutasi atau kombinasi
Kaidah Perkalian
Jika tempat pertama dapat diisi dengan 𝑛1 cara, tempat kedua dapat diisi dengan 𝑛2 cara, ... ,
sampai tempat ke-𝑘 dapat diisi dengan 𝑛𝑘 cara. Maka banyaknya cara untuk mengisi 𝑘 tempat
yang disediakan adalah
Faktorial
dengan 𝑛 bilangan asli.
dan 0! = 1
Permutasi
Permutasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur
Permutasi Unsur Sama
Permutasi Siklis (permutasi dengan susunan melingkar)
Banyaknya permutasi siklis dari 𝑛 unsur yaitu (𝑛 − 1)!
Kombinasi
Kombinasi 𝑟 unsur dari 𝑛 unsur
MATEMATIKA XII IPA | From Asimtot For You
39
Soal 80 :
Sebuah kantong berisi 5 bola merah, 3 bola
putih dan 2 bola hijau. Diambil sebuah bola
secara acak, peluang terambilnya bola merah
atau hijau adalah ...
a. 7
10
b. 1
10
c. 1
5
d. 2
5
e. 4
5
Solusi 80 :
Peluang terambil bola merah adalah 5
10
Peluang terambil bola hijau adalah 2
10
Peluang terambil bola merah atau hijau adalah 5
10+
2
10=
7
10
𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴)
𝑛(𝑆)
𝐹(𝐴) = 𝑛 × 𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴′) = 1
Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian
Suatu kejadian 𝐴 dapat terjadi sebanyak 𝑛(𝐴). Sedangkan semua kemungkinan (ruang sampel)
dari hasil percobaan dapat terjadi sebanyak 𝑛(𝑆). Maka peluang terjadinya kejadian 𝐴 dalam
percobaan tersebut adalah
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan kejadian 𝐴 yaitu
dengan,
𝑃(𝐴) : peluang kejadian 𝐴
𝑛 : banyaknya percobaan yang dilakukan
Komplemen
dengan,
𝑃(𝐴) : peluang kejadian 𝐴
𝑃(𝐴′) : peluang kejadian bukan 𝐴