Download - Matematika I K3!11!11 2013 Plg
Materi
Matematika I
Program Studi Teknik Mesin
Fakultas Teknik
Universitas Sriwijaya
Kampus Palembang
Palembang, 11 November 20132013MATRIKS dan DETERMINAN
Matriks:adalah susunan berurutan dari angka-angka atau elemen-elemen yang disusun berdasarkan baris dan kolom.
Contoh:
A =
B =
C =
Catatan:1. Gunakan huruf besar untuk menyatakan suatu matriks.
2. Gunakan square bracket (tanda kurung persegi) untuk membatasi angka-angka atau elemen-elemen dari suatu matriks.
Matriks A disebut matriks 2 x 2 (terdiri dari 2 baris dan 2 kolom).
Matriks B disebut matriks 2 x 3 (terdiri dari 2 baris dan 3 kolom).
Matriks C disebut matriks 3 x 2 (terdiri dari 3 baris dan 2 kolom).
Secara umum, matriks A (m x n) dapat ditulis sebagai:
A =
Dimana: elemen a12 berada pada baris 1 dan kolom 2. Secara umum elemen pada baris i & kolom j ditulis sebagai: aij.
Suatu matriks dimana m = n (jumlah baris sama dengan jumlah kolom) disebut matriks kuadrat (square matrix). Pada matriks kuadrat, elemen-elemen a11, a22, ..., amn membentuk diagonal utama (leading/principal diagonal). Penjumlahan nilai dari elemen-elemen pada diagonal utama tersebut disebut Jejak (Trace) matriks.
Setiap kolom pada suatu matriks disebut vektor kolom dan setiap baris pada suaru matriks disebut vektor baris.Contoh Soal:
1. Diketahui: A = B = C = D =
a). Berapa ukuran dari masing-masing matriks.b). Tuliskan nilai dari a12, b22, c23, dan d24.
c). Matriks mana yang kuadrat atau bujur sangkar dan dapatkan juga jejak dari matriks tersebut.
Solusi:
a). Matriks A adalah matriks 2 x 2, matriks B adalah matriks 2 x 3, matriks C adalah matriks 3 x 3, dan matriks D adalah matriks 2 x 5.
b). a12 = -1 ; b22 = 4 ; c23, = 1 ; d24 = 3
c). Matriks bujur sangkar adalah matriks A dan C.
Jejak A = 1 + 3 = 4
; Jejak C = 1 + 2 + 4 = 7
Matriks Kosong/Nol adalah matriks yang semua anggotanya bernilai nol.
Matriks Diagonal (D) adalah suatu matriks bujur sangkar dimana semua elemen yang berada tidak pada diagonal utama sama dengan nol.D = D = matriks diagonal, biasanya ditandai dengan huruf D.
Matriks Identitas/Satuan adalah matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama bernilai 1.
I = I = matriks identitas/satuan (identity/unit matrix), ditandai dgn I.
Suatu matriks dimana aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah (lower triangle matrix) dan aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas (upper triangle matrix).
A = A = matriks segitiga bawahB = B = matriks segitiga atas
Contoh Soal:
2. Klasifikasikan matriks-matriks berikut:A = B = C = L =
E = F = G = H =
J = K = Solusi:
L adalah satu-satunya matriks yang bukan matriks bujur sangkar.
B dan L adalah matriks-matriks nol.
C, H, J dan K adalah matriks-matriks diagonal.
C dan H adalah matriks-matriks identitas/satuan.
F adalah matriks segitiga bawah.
G adalah matriks segitiga atasCatatan:1. Matriks Identitas adalah juga merupakan Matriks Diagonal.
2. Suatu matriks diagonal sudah pasti matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas.
3. Suatu matriks identitas biasanya ditandai dengan huruf I dan jika kita ingin menekankan/menunjukkan ukurannya maka dapat ditulis misalnya I2 untuk menunjukkan matriks identitas 2 x 2 dan I3 untuk menunjukkan matriks identitas 3 x 3, dst.
Matriks Simetris adalah suatu matriks bujur sangkar dimana elemen aij = aji atau AT = A.Catatan:
Transpos suatu matriks adalah mengubah suatu matriks (A) menjadi suatu matriks baru (AT) dimana baris-baris pada matriks A menjadi kolom-kolom pada matriks AT (dan tentunya kolom-kolom pada matriks A menjadi baris-baris pada matriks AT).
Contoh:
A = AT =
Catatan: (AT)T = A
Matriks Simetris: A = AT =
dimana: a12 = a21 = 4
a13 = a31 = 6
a23 = a32 = 2
Matriks Simetris Tidak Lurus (skew-symmetric matrix) adalah suatu matrik dimana tanda dari suatu elemen adalah kebalikan dari tanda elemen transposnya atau dapat dituliskan: AT = - AContoh:
1. H = HT = 2. B = BT =
Catatan: B dan H adalah matriks-matriks simetris tidak lurus.
PERKALIAN MATRIKS
1. Perkalian Skalar
Dalam perkalian suatu bilangan tunggal (skalar) dengan suatu matriks, maka masing-masing elemen matriks harus dikalikan dengan bilangan tunggal tersebut.
Contoh:
1. 5 x =
Atau dapat dituliskan: k x =
Dalam hal ini, kita juga dapat mengeluarkan suatu faktor persekutuan (skalar) dari setiap elemen pada suatu matriks.
Contoh: A = dapat ditulis sebagai: A = 5 x
2. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan satu sama lain apabila jumlah kolom matrik pengali sama dengan jumlah baris pada matriks yang dikalikan.
Atau dapat dituliskan: A (a x b) x B (b x c) = C (a x c)
Contoh: x = =
Secara Umum dapat dituliskan:
Misal: A = dan B =
Maka: A.B =
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
Syarat untuk penjumlahan dan pengurangan Matriks adalah harus berorde sama (mempunyai baris dan kolom yang sama). Penjumlahan atau pengurangan matriks dilakukan dengan penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posisi yang sama.
Misal: A = dan B =
A + B = A B =
Contoh Soal:
1. Diketahui: A = dan B =
Hitunglah: a). A + B
b). A B
c). 2A + 3B
Solusi:
a). A + B = =
b). A B = =
c). 2A + 3B = 2 x + 3 x = + =
diagonal utama
_1338690849.unknown
_1338698708.unknown
_1338702109.unknown
_1338758173.unknown
_1338758775.unknown
_1338758819.unknown
_1338758985.unknown
_1338759398.unknown
_1338759453.unknown
_1338759331.unknown
_1338758964.unknown
_1338758565.unknown
_1338758599.unknown
_1338704286.unknown
_1338757887.unknown
_1338758121.unknown
_1338705191.unknown
_1338704530.unknown
_1338704706.unknown
_1338703815.unknown
_1338703896.unknown
_1338703711.unknown
_1338699079.unknown
_1338701795.unknown
_1338701968.unknown
_1338699159.unknown
_1338701759.unknown
_1338698861.unknown
_1338694891.unknown
_1338695115.unknown
_1338695143.unknown
_1338694940.unknown
_1338690957.unknown
_1338691014.unknown
_1338690897.unknown
_1338688033.unknown
_1338690534.unknown
_1338690780.unknown
_1338690837.unknown
_1338690615.unknown
_1338690036.unknown
_1338690439.unknown
_1338689582.unknown
_1338684775.unknown
_1338686102.unknown
_1338687016.unknown
_1338685870.unknown
_1338685706.unknown
_1338685729.unknown
_1338684185.unknown
_1338684234.unknown
_1338684084.unknown