-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
1/32
Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data
Data-data yang dikumpulkan dari suatu percobaan atau penelitian, analisis statistic akan dimintauntuk merinkas sifat-sifat dari rangkaian data. Hal ini memungkinkan seorang analis untuk
memeriksa sifat dari data tersebut. Dua sifat yang paling sering digunakan untuk menjelaskan
sifat dari suatu rangkaian data adalah sifat memusat (kecenderunagan) dan variabelitas.
Pentingnya parameter-parameter ini dan metode-metode ini yang digunakan untuk
menjabarkannya secara matematis akan dibahas dalam makalah ini.
2.1. Pengukuran Kecenderungan Memusat
Estimasi sifat memusat dari data mungkin merupakan perhitungan statistic yang paling umum
digunakan oleh sebagian besar pelajar. hususnya, sifat memusat dari data dapat dijelaskan
dengan mudah melalui sejumlah metode dan istilah, meliputi rerata (misalnya, rerata aritmatika,
rerata berbobot), median dan modus. !stilah-istilah tersebut, perhitungannya dan dasar
penggunaannya diuraikan pada bagian ini.
2.1.1 Rerata aritmatika
"ebagian besar pembaca pasti mengenal istilah (‘avarage’ atau, seperti yang digunakan oleh
para ahli statistic, mean). #erata merupakan metode yang paling terkenal untuk menjelaskan
sifat memusat data, dan berkenaan dengan pusat distribusi data. $entu saja, penggunaan
rerata paling sesuai ketika data terdistribusi secara simetris di sekitar nilai rerata, yaitu
distribusi %aussian. "ecara matematis, rerata aritmatika digambarkan sebagai berikut&
∑ j=1 N
N
X j
Dengan ' merupakan notasi untuk jumlah, j mengacu pada semua data dari nilai j*
sampai j+ dan + merupakan jumlah data yang masuk dalam perhitungan.
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
2/32
ntuk menggambarkan suatu perhitungan rerata aritmatika, perhatikan contoh berikut.
CONTOH .* Penurunan tekanan darah (mmHg) dari 6 pasien 4 jam setelah pemberian
satu dosis baku suatu obat anti hipertensi baru ditunjukkan pada table 2. Hitunglah rerata
penurunan tekanan darah dari 6 pasien tersebut.
Dengan memasukkan nilai-nilai dari $able .* kedalam persamaan untuk rerata
aritmatika, kita akan mendapatkan hasil
∑ j=1 N
N
X j= (20+25+21+34+41+37 )
6=178
6=29,67mmHg
"ecara khusus, dalam hal ini, istilah /rerata aritmatika0 disingkat menjadi /rerata0 dan
dilambangkan dengan simbol (rerata sampel) atau 1 (rerata populasi).
2.1.2 Rerata (aritmatika) berbbt
#erata (aritmatika) berbobot (2ighted mean) merupakan suatu contoh khusus dari rerata
ketika tiap datum dalam distribusi tidak memberikan konstribusi yang sama kepada
perhitungan keseluruhan rerata.dalam perhitungan rerata yang dijelaskan di atas, penurunan
tekanan darah yang ditunjukkan oleh tiap pasien memberikan kontribusi yang sama terhadap
keseluruhan perhitungan, artinya tiap pasien memberikan kontribusi yang sama. 3leh karena
itu, rerata berbobot sering digunakan ketika data dibagi dalam kelompok-kelompok, tiap
kelompok memiliki bobot (yaitu, kepemtingan) yang berbeda. Penggunaan dan perhitungan
rerata berbobot dicontohkan dalam 4ontoh ..
CONTOH . !fek suatu dosis tertentu dari obat analgesi" #ang etrsedia di pasaran untuk
menekan rasa n#eri setelah pemberian rangsangan n#eri di$
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
3/32
Tabe! 2.1 Efek suatu obat antihipertensi terhadap penurunan teknan darah dari 5 pasien
+omor pasien Penurunan tekanan darah (mmHg)
*
6
7
8
5
9
8
*
67
7*
6:
Tabe! 2.2 penilaian rasa sakit yang dicatat dari 9 sukarela2an setelah pemberian analgesic
yang ada di pasaran dan pemaparan pada rangsangan nyeri.
;umlah sukarela2an Penilaian rasa sakit menurut para sukarela2an
*
5
6 (sangat nyeri)
(cukup nyeri)
* (sedikit nyeri)
!valuasi pada 2% sukarela&an menggunakan skala analog visual. Hasiln#a disajikan dalam
'abel 2.2. Hitunglah rerata penilaian rasa n#eri menurut 2% sukarela&an
Dalam contoh klinis ini, ketiga subkelompok tersebut menjelaskan efek-efek klinis yang
berbeda dan karenanya tidak sama besarnya (pembobotannya). Perhitungan rerata berbobot
dilakukan menggunakan persamaan berikut.
#
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
4/32
Dengan j merupakan semua data dari j * sampai j +, + adalah data yang memberikan
kontribusi pada perhitungan dan 2 j adalah pemberatan (frekuensi) dari tiap kelompok atau
rangkaian. 3leh karena itu, rerata (berbobot) dari contoh di atas dihitung sebagai berikut.
#
dalam komponen ujian dan tugas dalam sebuah hasil, mata kuliah ini tidak memberikan
kontribusi yang sama terhadap nilai akhir, misalnya masing-masing berbobot ?9> dan 9>
dalam contoh ini nilai akhir (rerata berbobot) yang diperoleh oleh mahasis2a tersebut
dihitung sebagai berikut.
#
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
5/32
alternatif untuk menjelaskan sifat memusat dari data yang relati@e tidak terpengaruh oleh
sifat dari sebaran data. "ecara sederhana, median merupakan nilai tengah atau rerata dari dua
nilai tengah, dari serangkaian data yang diatur berurutan besarnya. Perhitungan median dan
perbandingannya dengan rerata dari satu rangkaian data asimetris (data yang terdistribusi
secara tidak merata di sekitar rerata) dijelaskan dalam contoh .6
CONTOH 2." perlekatan patogen "andida albi"ans opertunistik pada % sel epitelial bukal
(!) se"ara in vitro diperiksa dan datan#a ditunjukkan dalam tabel 2.*. hitunglah nilai
rerata dan median untuk profil perlekatan patogen ini.
'ahap perhitungan rerata
#
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
6/32
*
6
7
8
5
:
?
A
*9
9
9
5
7
7
A
5
*
9
$ahap 6 kesimpulan
Deskripsi sifat memusat data menggunakan rerata dan median dapat menghasilkan hasil-
hasil numerik yang berbeda. Hal ini disebabkan oleh nilai-nilai ekstrim dalam satu rangkaian
data tertentu.
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
7/32
5
:
?
A
*9
**
59
6*
8
89
:8
699
Pengukuran ke"enderungan memusat dan variasi data
4ondong, yaitu distribusi yang mempunyai nilai-nilai ekstrim dalam hal ini, nilai rerata
menyimpang dalam batas yang tidak diterima, sementara nilai median relatif tidak
terpengaruh.
2.1.# Mdus
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
8/32
#angkaian data mungkin mempunyai lebih dari satu modus. ;ika dua modus terdapat dalam
satu rangkaian data, data tersebut disebut bimodal. ;adi, dalam rangkaian data berikut ini &
9, , 6, 8, 8, 8, 8, ?, A, A, 69, 6*, 6*, 6*, 6*, 6*, 66
$erdapat dua modus & 6* ( disebut modus ma#or ) dan 8 (disebut modus minor ) . distribusi
ketika tiap pengamatan terdapat dengan frekuensi yang sama dianggap tidak memiliki
modus. Dalam distribusi asimetris, sebuah hubungan empiris antara rerata, median dan
modus
#erata-modus 6 (rerata-median)
Tabe! 2.% konsentrasi suatu obat dalam *9 @ial produk yang tersedia secara komersial.
+omor @ial onsentrasi obat (mgBml)
*
6
7
8
5
:
?
A
*9
99
98
98
9*
*AA
*A8
9
98
98
9:
Dibandingkan rerata dan median modus jarang digunakan untuk menjelaskan sifat memusat data.
+amun, modus dapat berguna untuk menjelaskan jumlah modus dalam suatu distribusi,
khususnya bila terdapat lebih dari * modus.
nilai-nilai tersebut ada dalam rangkaian data indi@idu, simpangan baku rangkaian tersebut akan
meningkat. "ebaliknya, besarnya rerata secara relatif tidak dipengaruhi oleh masuknya data
ekstrim. edua efek ini ditunjukkan dalam tabel .*. kita dapat melihat bah2a rerata menekan
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
9/32
efek nilai ekstrim dan akibatnya, simpangan baku dari suatu rangkaian dengan rerata tersebut
akan menjadi lebih rendah&
#
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
10/32
$abel .* #angkaian data hipotesis, menggambarkan efek dari nilai-nilai ekstrim pada
simpangan baku dan rerata
2.2.%.1 uraian umum mengenai sim&angan baku dan kesa!a$an baku rerata
Pada tahap ini pembaca seharusnya telah mengidentifikasi perbedaan-perbedaan utama antara
simpangan baku dan simpangan (kesalahan) baku rerata. arakteristik-karakteristik&
• "impangan baku sampel yang berasal dari populasi digunakan sebagai suatu perkiraan
@ariabelitas populasi. Ckibatnya, nilai dari simpangan baku tidak diharapkan menurun
jika jumlah pengamatan dalam sampel meningkat.
• "impangan baku rerata merupakan ukuran @ariabilitas (presisi) dari perkiraan suatu
parameter populasi yang ditentukan, yaitu rerata. +ilai numerik dari kesalahn baku rerata
tergantung pada jumlah pengamatan yang dimasukkan dalam perhitungannya. "ecara
khusus, jika ukuran sampel meningkat untuk meningkatkan presisi pengukuran, besarnya
kesalahan baku rerata menurun. Hal ini ditunjukkan dengan penggunaan notasi √ N
dalam penyebut pada persamaan untuk menghitung parameter ini.
oefisien @ariasi ("oeffi"ient of variation, 4) adalah suatu istilah statistic yang menun
jukkan @ariabilitas suatu rangkaian data dan didefinisikan sebagai perbandingan antara
simpangan baku (s) dengan rerata rangkaian data ( ´ X ).
#umus
#angkaian data C #angkaian data = #angkaian data 4
8
:
?
A
*8
´ X ?,?
ˢ 6,?
8
:
?
A
*
´ X *9.9
ˢ 5,6
8
:
?
A
*
´ X *5.9
ˢ *A,5
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
11/32
+ (>) s
´ X *99
;ika rerata kurang dari simpangan baku dari dua rangkaian data adalah (C)899 kurang dari
*8 dan (=)89 kurang 68, sekilas seseorang dapat salah mengira bah2a @ariasi dari rangkaian
data = (simpangan baku 68) kurang dari rangkaian data =(simpang baku *8). Ckan
tetapi, berbandingan tersebut tidak berarti dan menyesatkan karena besarnya nilai rerata dari
kedua kelompok belum dipertimbangkan .koe@isien @ariasi dari kedua rangkaian data
tersebut adalah &
#umus
#angkaian data C& + (>) s
´ X *99 125
2500 ×100 8>
#angkaian data =& + (>) s
´ X *99 35
50×100 :9>
3leh karena itu, koefisien @ariasi dari rangkaian data C jelas lebih kecil daripada rangkaian
=. Hal ini menggambarkan @ariabilitas yang lebih besar pada data =. =esarnya koefisien
@ariasi tergantung pada sifat data terkait.
2." 'kurasi dan Presisi
!stilah akurasi dan presisi sering digunakan untuk menjelaskan sifat dan @ariabilitas data.
Penggunaan khusus istilah tersebut dan aspek-aspek tertentu dari ilmu farmasi, misalnya
analisis farmasi, pada tahap ini istilah istilah ini, akan dibandingkan dan di bedakan serta
dijelaskan penerapan penerapannya.
2.".1 'kurasi
Ckurasi didefinisikan dengan tepat sebagai kedekatan suatu nilai terukur dengan nilai
sebenarnya yaitu nilai yang diharapkan tanpa adanya kesalahan. Dalam analisis farmasi,
akurasi dari suatu metode analitis umumnya dijelaskan sebagai kedekatan nilai yang diamati
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
12/32
(dianalisis) dengan nilai yang diharapkan. "ejumlah metode dapat digunakan untuk
menjelaskan perbedaan anatara nilai yang diamati dan nilai yang diharapkan, dan beberapa
diantaranya dijelaskan diba2ah ini &
.6.*.* esalahan
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
13/32
"pektroskopi
fluoresens
,*A ,89 -9,6*
oleh besarnya pengukuran. ;adi, dalam contoh diatas, metode spektroskopi fluoresens dapat
dianggap relatif akurat (,*A dibandingkan dengan ,89 mgBml), dengan nilai kesalahan
mutlak sebesar-9,6* mgBml. namun, pertimbangkan suatu contoh dengan konsentrasi
kuininsulfat dalam larutan kedua adalah 9,8 mgBml dan konsentrasi larutan yang diukur
dengan spektroskopi fluoresens adalah 9,*A mgBml.
.6.*. esalahan relati@e
!stilsh ini dikembangkan untuk mengatasi masalah yang dijelaskan dalam paragraph
sebelumnya dan menggambarkan kesalahan sebagai bagian dari nilai sebenarnya
(diharapkan) dalam perhitungan, tanda perbedaan (positif dan negati@e) diabaikan sehingga,
#
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
14/32
2.".2 Presisi
Presisi adalah suatu istilah statistic yang menejelaskan sebaran (@ariabilitas) dari satu
rangkaian pengukuran. $etapi, tidak seperti akurasi. Presisi tidak memberikan indikasi
kedekatan suatu pengamatan dengan kuantitas ter-
$C=EF .*7
$entu yang diharapkan. "ecara khusus secara khusus, presisi yang tinggi berhubungan
dengan sebaran yang rendah dari nilai-nilai disekitar nilai tengah dengna kata lain,
simpangan baku yang rendah. Perbedaan-perbedaan presisi dan akurasi dijelaskan dalam
contoh berikut, yang menggambarkan @olume pengisian akhir dari suatu suspense antasida
(@olume nominal, yaitu yang diharapkan, sebesar 89 ml).
esalahan relati@e sampel C identik dengan kesalahan relati@e sampel = dan karenanya
kedua sampel dianggap sebagai pengukuran yang sama akurat terhadap @olume pengisian
sebenarnya (diharapkan). "ebaliknya, akurasi dari rerata @olume pengisian sampel 4 tidak
baik (kesalahan relati@e 76,5 >), oleh karena itu, ini dianggap menjadi gambaran yang jelek
dari @olume pengisian yang sebenarnya.
#angkaian data yang berhubungan dengan sampel C mempunyai simpangan baku yang
rendah (dan juga koefisien @ariasi yang rendah, yaitu 6,6>), halk ini menunjukan tingkat
penyebaran yang kecil dari rangkaian data rerata. 3leh karena itu rangkaian data ini
dikatakan presisi. Data yang berhubungan dengan sampel 4, data ini mempunyai simpangan
baku yang rendah (dan koefisien @ariasi yang rendah, yaitu 5,7>), dan juga dianggap presisi.
"ebaliknya simpangan baku data yang terdapat dalam sampel = tinggi menunjukan
@ariabilitas yang besar disekitar rerata) koefisien @ariasi sebesar 6,>, dan
$C=EF .*8
arenanya rangkaian data ini dianggap tidak presisi atau menunjukan presisi yang rendah.
esimpulannya &
• "ampel C menunjukan akurasi tinggi dan presisi tinggi
• "ampel = menunjukan akurasi tinggi dan presisi rendah
• "ampel 4 menunjukan akurasi rendah dan presisi tinggi
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
15/32
4ontoh ini menggambarkan perbedaan utama antara akurasi dan presisi dan juga
menunjukan bah2a suatu sampel dapat memiliki akurasi tinggi dan presisi rendah dan
sebaliknya.
.7 esimpulan
Dalam makalah ini telah dijelaskan berbagai metode yang digunakan untuk
menggambarkan kecenderungan memusat dan @ariasi dari suatu rangkaian data atau
suatu populasi. kuran-ukuran ini disebut sebagai statistic deskriptif dan membentuk
sebagian terpadu baik dari deskripsi data atau populasi maupun dari analisis data yang
menggunakan metode statistic parametrik.
2.2. Pengukuran Variasi Data
Tambahan pengetahuan tentang sifat memusat data, sangat diperlukan
adanya pengkuran variabilitas atau dispers data. Informasi tersebut
memberikan suatu ukuran kedekatan relatif dari rangkaian data. Konsep ini
dapat djelaskan melalui perbandingan dua rangkaian data yang ada pada
Tabel 2.6. Dengan hanya melihat sifat memusat nilai tengah! dari tiap
rangkaian data, seseorang bisa menganggap bah"a kedua rangkaian data
tersebut sama. #kan tetapi, sangat jelas terlihat dari Tabel 2.6 bah"a
rangkaian$rangkaian data tersebut tidak sama. %leh sebab itu, dalam
statistik biasanya sifat memusat dari hasil disajikanbersama dengan suatu
ukuran variasi data. &agian$bagian selanjutnya akan menguraikan
berma'am$ma'am metode untuk menghitung dan menampilkan variasi
data.
2.2.1.
Kisaran dapat dide(nisikan sebagai perbedaan antara nilai terbesar dan
terke'il dari satu rangkaian hasil pengukuran. Kisaran dari rangkaian
data # dan & dalam Tabel 2.6 adalah sebagai berikut)
*angkaian data #) Kisaran + -$-+2-
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
16/32
*angkaian data &) Kisaran + -$2/+2
Tabel 2.6
Rangkaian data A Rangkaian data B
-
2-
-
2-
-
0ilai tengah + -
2/
21
-
21
2/
0ilai tengah + -
enggunaan kisaran untuk menjelaskan variasi data se'ara akurat
sangatlah terbatas karena perhitungannya hanya melibatkan dua ukuran
dari rangkaian data yaitu titik tertinggi dan terendah dari data!. %leh
karena itu, kisaran tidak benar$benar menejelaskan variasi dari
keseluruhan rangkaian data. 3elanjutnya, dalam estimasi variabilitas
populasi dari data sampel, kisaran dianggap tidak sesuai karena ke'il
kemungkinan suatu sampel akan mengandung nilai tertinggi dan juga
nilai terendah dalam suatu populasi. Dengan demikian, kisaran sampeldianggap sebagai estimasi yang lemah yaitu penaksiran rendah! dari
kisaran suatu populasi. enggunaan utama dari kisaran adalah untuk
mende(nisikan variabiitas yang berhubungan dengan data yang tidak
terdistribusi se'ara normal.
2.2.2 Simpangan Rerata
3impangan rerata mean deviation, 4D! umumnya diistilahkan momen
mutlak pertama adalah suatu ukura variasi data yang dihitung sebagai
simpangan rata$rata dari rerata. 4engetahui kegunaan rerata sebgaia
ukuran ke'enderungan memusat, suatu istilah yang menjelaskan
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
17/32
simpangan di sekitar parameter pusat ini dapat merupakan relevansi
statistik langsung.
Dalam istilah matematis, simpangan rerata dituliskan sebagai berikut)
X j− ´ X ¿∑¿
MD=¿
dengan (X j- ´ X ) adalah nilai mutlak dari simpangan perbedaan! nilai$
nilai dalam rangkaian data dari rerata rangkaian data dan N adalah
jumlah pengamatan dalam rangkaian data.
5ontoh berikut menguraikan perhitungan simpangan rerata.
CONTOH 2.6 Suatu larutan tetrasiklin hidroklorida telah dikirim ke
laboratorium pengedalian mutu pada sebuah perusahaan farmasi untuk
dianalisis. Kandungan obat dari alikuot larutan ini diukur menggunakan
spektroskopi ultraiolet dan hasiln!a disajikan dalam "abel #.$. %itunglah
simpangan rerata kandungan obat larutan.
Table 2.7. Kandungan tetrasiklin hidroklorida dalam enam alikuot suatu
larutan
Nomor alikuot Kandungan tetrasiklin hidrklorida
(mg&ml)
2
--,6
1/,
1/,1
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
18/32
7
6
17,
-,7
-7,7
Tahap 4enghitungan rerata
*8483
∑ j=1 N
N
X j=¿ (100,6+98,3+98,9+95,1+104,5+105,5)
6=100,5mg
∑ j=1 N
N
X j
+(251+255+250+245+265+260+231+225+250+275+300)
11 + 277,2 mg
Tahap 2 4engitung perbedaan rerata
*8483
X
X j−¿́¿∑¿
MD=¿
+
[ (100,6−1005 )+(98,3−100,5 )+(98,9−100,5 )+(95,1−100,5 )+(104,5−100,5 )+(105,5−100,5 )]6
[ (0,1 )+ (2,2 )+ (1,6 )+(5,4 )+ (4,0 )+ (5,0 )]6
=3,1mg /ml
3impangan rerata dihitung menggunakan nilai$nilai mutlak dari
perbedaan antara hasil pengukuran rerata yaitu tanpa tanda aljabar.
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
19/32
Karna penggunanan nilai mutak dai perhitungan simpangan rerata ini,
beberapa engarang mengusulkan bah"a istilah simpangan mutlak rerata
merupakan terminalogi yang lebih sesuai untuk parameter$parameter
statistik ini. Dapat dinyatakan bah"a istilah simpangan median juga
sesuai dan dide(nisikan sebagai jumlah dari simpangan mutlak dari
median.
2.2.3 Varians
Dalam perhitungan rerata tanda aljabar diabaikan untuk memeberikan
hasil numerik yang positif. 3atu metode lebih lanjut yang dapat
digunakan untuk menghindari muatan aljabar yang dihasilkan dari
pengulangan rerata dari hasil pengukuran tertentu adalah dengan
mengkuadratkan perbedaan simpangan! tersebut. enjumlahan
perbedaan yang dikuadratkan se'ara berturut$turut menghasilkan suatu
istilah statistik dasar, yaitu jumlah kuadrat . 3e'ara matematis jumlah
kuadrat sum of s'uares SS! diuraikan sebagai
33+9 X - X)2 dengan X dan X mempunyai de(nisi yang sama seperti
sebelumnya.
:arians sering disebut sebgai rerata jumlah kuadrat dan dituliskan
sebagai
*8483
SS * + (X j - X
¿́ ¿
Dengan σ 2 adalah varians dari suatu populasi, ; j adalah nilai numerik
dari tiap hasil pengukuran, μ adalah nilai rerata populasi dan
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
20/32
3elanjutnya, varians sampel S#! , yaitu estimasi varians populasi ( σ # ),
yang paling sesuai digambarkan dengan)
*umus
S# *
X j−¿ ´ X ¿2
N −1∑¿¿
Dengan ´ X adalah rerata data sampel dan 0 adalah jumlah
pengamatan dalam sampel.
engertian dari persamaan yang menyatakan varians harus
diperhatikan.
• ertama, penulisan varians σ 2 $ atau s# tergantung dari
apakah data populasi atau sampel yang sedang digunakan.• Kedua, persamaan$persamaan yang menggambarkan varians
data populasi dan sampel pada dasarnya berbeda pada
penyebutnya,yakni 0 untk varian populasi dan 0$ untuk varias
sempel.#lasan utama adanya perbedaan antara kedua persamaan ini
berhubungan dengan ketidakakuratan relatif terhadap estimasi
varians populasi dari varians sampel ketika persamaan untuk
sampel hanya meiputi 0,jumlah pengamatan sebagai penyebut.
Dalam situasi ini, varias sampel dianggap menjadi perkiraan
yang bias dari vrians populasi, dan penulisam 0$! digunakan
untuk menghilangkan bias ini.ada tahap ini, pemba'a disarankan untuk memperhaikan
hubungan antara varians sampel dengan varians populasi.
Tidak seperti varians populasi, varians simpel adalah ukuran
variabel. %leh karena itu, jika suatu sampl a'ak diambil dari
suatu populasi misalnya jika -- tablet diambil dari suatu bets
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
21/32
berisi ------ tablet populasi! dan berat tiap tablet
ditimang.varians sampel kelompok -- tablet! tidak akan tepat
sama dengan varians populasi. Tentu saja, jika sampel berulag
diambil dari bets berisi juta tablet dan varians berat dari tiap
rangkaian sampel tersebut diukur,varians dari tiap$tiap sampel
yang berbeda ini akan sedikit berbeda. erbedaan$perbedaan
ini merupkan akibat langsung dari sifat variabel dari varians
sampel,yang disebabkan oleh faktor$faktor yang dijelaskan
dalam bab pertama 'ontohnya perbedaan dalam berat tiap
bets, variabilitas yang disebabkan ketidakakuratan timbang,
ketidakakuratan operator, dll!. #kan tetapi jik sampel$sampel
sebanyak 4 diambil se'ara a'ak berulang dari populasi dan
varians$variansnya ditentukan menggunakan 0$ sebagai
penyebut!, rerata dari semua varians sampel terhitung akan
sama dengan varians populasi.#nggaplah suatu populasi tersusun dari tiga titik data yaitu ,7,
dan =. Dari informasi ini, varians populasi dapat diperoleh
mengunakan persamaan berikut.
*8483
σ # *
X j−¿µ¿2
N
∑¿¿
0ilai$nilai individu ( X j) X j−µ ( X j−µ)
$2 7 - -= >2
%leh karena itu)*8483
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
22/32
σ # *
X j−¿ µ¿2
N =(4+0+4)
3=2,67
∑¿¿
Dari popuasi diatas, sembilan sampel individu, masing$masing
tersusun dari dua nilai, diambil dengan 'ara pengambilan
sampel berulang. ada tiap pengambilan, sampel$sampel
dikembalikan sebelum dilakukan pengambilan sampel kembali
sehingga menjamin bah"a tiap nilai individu mempunyai
kesempatan yang sama untuk dipilih. ?asil dari pengambilan
sampel, yaitu berbagai pasangan data yang dapat diperoleh,
adalah sebagai berikut*8483
Sampel Nilai (, j - ´ x )# X j−´ x¿2
∑¿
&N-
S#
, $ ¿2
+-
$ ¿2
+-
->-!@ -
2 7,7 7$7 ¿2
+-
7$7 ¿2
+-
->-!@ -
=,= =$= ¿2
+-
=$7
¿¿2 +-
->-!@ -
,7 $ ¿2
+-
7$ ¿2
+-
>!@ 2
7 7,= 7$6 ¿2
+-
=$6 ¿2
+-
>!@ 2
6 7, 7$ ¿2
+-
$ ¿2
+-
>!@ 2
= =,7 =$6 ¿2
+-
7$6 ¿2
+-
>!@ 2
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
23/32
/ ,= $7 ¿2
+-
=$5
¿¿2 +-
>!@ /
1 =, =$7 ¿2
+-
$7 ¿2
+-
>!@ /
:arians sampel rerata kemudian dapat dihitung)*erata s2 + ->->->2>2>2>2>/>/!@1 +2,6=
2.2.! Simpangan bakuSimpangan baku merupakan suatu ukuran dispersi data yang
umum digunakan dari dide(nisikan sebagai akar kuadrat positif
dari varians. 3impagan baku dapat ditulis se'ara matematis
sebagai berikut.3impangan baku dari suatu populasi*8483
σ *
X j−¿µ¿2
N
∑¿¿√ ¿
3impangan baku dari suatu sampel*8483
s *
X j−¿ ´ X ¿2
N
∑¿¿√ ¿
3ekali lagi, penyebut yang digunakan dalam perhitungan
simpangan baku populasi dan sampel berturut$turut adalah N
dan 0 A !8ntuk mempermudah perhitungan$perhitungan manual seperti
itu, metode$metode yang lebih singkat tersedia untukperhitungan simpangan baku dan juga varians!. 4etode$
metode yang dimodi(kasi untuk perhitungan simpangan baku
didasarkan pada persamaan$persamaan berikut*8483
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
24/32
9; j $´ X ¿2 + 9;2 $
∑X ¿2
¿¿¿
?al ini mengarah pada pengembangan$pengembangan berikut
untuk simpangan baku)3impangan baku suatu populasi*8483 X
j−¿µ¿2
N ¿
∑x¿2/ N ¿¿
∑x2−¿¿∑ ¿¿
σ =√ ¿
3impangan baku suatu sampel*8483 X
j−¿ ´ X ¿2
N −1¿
∑x¿2/ N ¿¿
∑x2−¿¿∑ ¿¿
s=√ ¿
Tabel 2./ "aktu yang dibutuhkan untuk disolusi 7-B masa a"al
obat dari 7 tablet bolus yang berasal dari satu bets tunggal.tabel
0omor bolus 7-B jam!
2-,2
2 2,6
2,7
2/,6
7 22,6
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
25/32
6 2,-
= 2,1
/ 22,-
1 26,
- 27, 2,
2 2-,
2,7
2,-
7 27,1
salah satu sifat tablet bolus yang harus diukur adalah "aktu
yang dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan a"al obat
dalam bolus t7-B! menggunakan uji disolusi yang dijelaskan
dalam the &ritish harma'opoeia 11/!. Tabel 2./ menunjukan nilai t7-B dari 7 bolus yang disampel
se'ara a'ak dari bets tersebut. ?itunglah rerata dan simpangan
baku dari "aktu yang dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan
a"al obat dari bolus. Tahap menghitung rerata*8483; +
(20,2+21,6+24,5+28,6+22,6+24,0+21,9+22,0+26,1+25,3+23,4+20,1+24,0+25,9)15
Tahap 2 menghitung simpangan baku sampel*8483
s +
∑x¿2/ N ¿¿
∑x2−¿¿√ ¿
; ;2
2-,2 -/,-
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
26/32
2,6 66,6
2,7 6--,
2/,6 //,-
22,6 7-,/
2,- 7=6,-
2,1 =6,6
22,- /,-
26, 6/,2
27, 6-,
2, 7=,6
2-, -,-
2,7 772,
2,- 7=6,-
27,1 6=-,/
9; + 7,= jam 9;2 + /7, jam2
3ehingga
*8483
3 +
∑x¿2/ N ¿¿
∑x2−¿¿√ ¿
+
(353,7 ¿
2 ❑15 )
¿8415,3−¿
¿√ ¿
Cadi rerata dan simpang baku dari t7-B sampel yang diambil dari
suatu bets tablet bolus adalah 2,6 2, jam.
3atu titik praktis dalam perhitungan seperti itu adalah
hubungan numerik anatara simpangan baku dan kisaran.
&iasanya, simpangan baku bernilai senilai seperlima samapai
seperenam dari nilai numerik kisaran. ?al ini dianggap sebagai
suatu hubungan aturan ibu jari dan harus diingat kapan saja
pemba'a sedang memeriksa perhitungan.
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
27/32
2.2.!.1 "raian umum mengenai Simpangan #aku3impangan baku merupakan ukuran dispersi data yang paling
sering digunakan kaena ini dapat berhubungan dengan
probabilitas dari ukuran yang terjadi dalam "ilayah tertentu
pada distribusi frekuensi. Cadi dalam distribusi normal 3imetris!
dan tentunya dalam distribusi 'ukup 'ondong #simetris! )*8483
• 6/B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik
yang dinyatakan dengan´ X > s dan
´ X A s, yaitu satu
simpangan baku disekitar rerata• 17B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran nuymerik
yang dinyatakan dengan ´ X > 2s dan ´ X $ 2s, yaitu
dua simpangan baku disekitar rerata• 17B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran nuymerik
yang dinyatakan dengan´ X > s dan
´ X $ s, yaitu
dua simpangan baku disekitar rerataDalam 'ontoh yang digambarkan diatas mengenai "aktu yang
dibutuhkan untuk pelepasan 7-B muatan a"al obat, rerata dan
simpangan baku dihitug sebesar 2,6 2, jam oleh karenaitu )
*8483• 6/,2=B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik
yang dinyatakan dengan 2, jam yaitu, 2,6 A 2, jam!
sampai 27,1 jam yaitu 2,6 > 2, jam!. 4aka, pada
'ontoh ini, 2- dari 7 nilai terdistribusi dalam kisaran ini• 17,7B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik
yang dinyatakan dengan 1,- jam yaitu, 2,6 A 2, jam!
sampai 2/,2 jam yaitu 2,6 > ,6 jam!. 4aka, pada
'ontoh ini, dari 7 nilai terdistribusi dalam kisaran ini
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
28/32
• 11,=B dari semua nilai ter'akup dalam kisaran numerik
yang dinyatakan dengan 6,= jam yaitu, 2,6 A 6,1 jam!
sampai -,7 jam yaitu 2,6 > 6,1 jam!. 4aka, pada
'ontoh ini, semua nilai terdistribusi dalam kisaran ini
5ontoh 2.1Konsentrasi antibiotik penisilin (mg& ml) dalam botol
suspensi untuk anak-anak telah diperiksa menggunakan teknik
iodometri. %itunglah rerata dan simpangan baku serta
pertimbangan kontribusi tiap pengamatan arians sampel. Tabel 2.1 konsentrasi antibiotik penisilin dalam masing$masing
dari 7 botol suspensi untuk anak$anak. Tabel
0omor botol Konsentrasi penisilin
27
2 2
2
2
7 6
Tahap menghitung rerata*8483125+124+121+123+16
¿¿
´ X =¿
Tahap 2 menghitung varians*8483
s# *
X j− ´ X ¿2
¿∑¿
¿
* /
16,0−101,8 ¿2
124,0−101,8 ¿2+…+¿125,0−101,8 ¿2+¿
¿¿
* #01#$ (mg& m2 ¿2
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
29/32
Tahap menghitung simpangan bakuDengan mengingat bah"a simpangan baku adalah akar kuadrat
dari varians, simpangan baku dapat dengan mudah dihitung
sebagai E 2-2, = + /,- mg@ 7 ml.
Tahap mempertimbangkan kontribusi tiap pengamatanterhadap varians sampelKontribusi dari tiap pengamatan terhadap varians keseluruhan
botol ,2,,,7! dan juga simpangan baku, dapat dihitung
dengan mudah menggunakan rumus baku.*8483
s# *
X j− ´ X ¿2
¿∑¿¿
5ontohnya dalam botol konsentrasi penisilin ter'atat adalah
27 mg@7 ml.*8483
125−101,8¿2
¿mg/5mL
¿s12=¿
Cadi kita mempunyai data yang ditunjukan dalam tabel 2.- Tabel 2.- konsentrasi antibiotik penisilin dalam masing$masing
dari 7 botol suspensi untuk anak$anak, menjelaskan kontribusi$
kontribusi masing$masing vial terhadap varians total.
Tabel
0omor botol Konsentrasi
penisilin mg@7mF!
Kontribusi terhadap
varians
keseluruhan 27 ,7
2 2 2,2
2 12,2
2 2,
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
30/32
7 6 /-,
s2 + 2-2,= mg@7
mF!
3emakin suatu nilai individu menyimpang lebih jauh dari rerata
sampel, pengaruhnya pada varians akan semakin besar
dibandingkan nilai$nilai dengna penyimpangan yang tidak
terlalu men'olok. %leh sebab itu, pada beberapa data,
simpangan baku yang besar dapat dihubungkan dengan satu
atau lebih nilai sampel eksterm pen'ilan!. Dalam 'ontoh
diatas, konsentrasi penisilin dalam botol ke 7 menunjukan suatu
pen'ilan, dan dapat mengindikasikan adanya permasalahan
baik pada bets yang dibuat mapun metode analitis.3eperti yang disebutkan sebelumnya, distribusi ketika rerata
seara numerik lebih besar daripada median disebut 'ondong
positif. Data yang disajikan diatas memperlihatkan distribusi
seperti itu rerata+2, mg@ 7 mlG median 2 mg@7 ml!.
2.2.$ Simpangan #aku %kesala&an' rerata3impangan baku rerata, terkadang disebut sebagai kesalahan
baku rerata merupakan istilah yang uum digunakan dalamstatistik. 3ebagai akibat dari penggunaan dan penyalahgunaan
ini, mahasis"a statistik harus sangat memahami istilah ini.
8ntuk mendapatkan pemahaman yang sesuai mengenai 3H4,
pertama$tama sebaiknya kita membandingkan dan
membedakan pengertian simpangan baku rerata dan
simpangan baku, seperti yang diuraikan dalam bagian 2.2..
seperti yang dikemukakan sebelumnya simpangan baku
menejlaskan variabilitas dari serangkaian data disekitar nilai
tengah, dan suatu perkiraan dari variabilitas data dalam suatu
populasi yang dapat berasal darinya. 3ementara itu, simpangan
baku rerata adalah suatu ukuran variabilitas dari suatu
rangkaian nilai rerata yang dihitung dari kelompok$kelompok
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
31/32
ukuran individu yang berasal dari populasi. erbedaan$
perbedaan antara kedua istilah ini digambarkan dalam 'ontoh
berikut.5%0T%? 2.- Suatu bets suspensi amoksisilin trihidrat untuk
anak-anak telah diproduksi. Sebelum pengisian pabrik ingin
memastikan keseragaman konsentrasi obat !ang tersuspensi
dalam bets. 3ntuk memeriksan!a alikuot indiidual (11ml)
diambil dan konsentrasi tiap alikuot ditentukan kali
menggunakan metode kromatogra4. %asiln!a ditampilkan
dalam tabel #.. hitunglah kesalahan baku rerata dari
rangkaian.Kesalahan baku rerata dihitung menggunakan nilai rerata tiap
alikuot seperti berikut.*8483
s *
∑X ¿2/ N ¿
¿ N −1¿
119,9¿2 /5¿¿
2875,59−¿¿
∑X 2
−¿¿√ ¿
%leh karena itu rerata dan simpangan baku tiap alikuot dapat
dihitung dengan mudah, menghasilkan ukurn variabilitas dari
tiap alikuot individu. 0amun, pada beberapa keadaan, variasi
yang berhubungan dengan nilai rerata individu lebih
mendapatkan perhatian daripada variabilitas dari nilai$nilai
individu yang menyusun tiap sampel. 4aka, keseluruhan rerata
dan simpangan baku dari kelima alikuot yang dijelaskan diatas
dapat dihitung menggunakan rumus untuk simpangan baku.
Dalam 'ontoh diatas, rerata dan simpangan baku dapat
dihitung sebesar 2,- -, mg@ml. simpangan baku yang
-
8/17/2019 MAKALAH Pengukuran Kecenderungan Memusat Dan Variasi Data (KELOMPOK 2)
32/32
dihitung selanjutnya disebut sebagai simpangan baku rerata
dan dapat dianggap sebagai ukuran dari presisi rerata. Tabel 2. Konsentrasi amoksisilin dalam 7 alikuot yang diambil
dari sebuah bets untuk tujuan pengendalian mutu.
T#&HF
Konsentrasi amoksilin trihidrat mg@4l$!#likuot #likuot 2 #likuot #likuot #likuot 727, 2=,6 2, 2,1 27,=27, 27,7 26, 2,1 2,72,1 27,6 27, 26, 2,22,7 27,- 2=, 2=,- 27,=2, 2,2 27,- 27,2 2,´ X =¿
2,-s +,7
´ X =¿
2,2s + ,
´ X =¿
2,s + ,
´ X =23,9
s + ,2
´ X =23,5
s + ,-