Download - Limit Fungsi Bab7
�������� ��� ����� �/#���� 227
LIMIT FUNGSI���
BAB
Tujuan Pembelajaran
�������������� ����� ������������������� ����������
�� ������������ ��������*���������������������
�� ��������������*������������ ����������������
!� ��������������*������� ��#�#�� �����������������
"� �������������*�����*��� ��������������������� �������� �����
$� ������������ ���������������������� �� ����� *������������ �
%� ������������������ �������������������
&� �������������*�����*��� ��������������������� �������������*�����
�����������������
'� ���������� ������� ������������ *������ �� ����������������� ��
<� ��������������*������ �������� ����������#������� �����
�� ��� �������������������������228
���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����
���������� ��������� )� �� �� ����������������� � ������ �������� ������������
�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������� ���
� ���������������� ��)� �� ��� ������������ ����������� ����������E�������� ���
������ ������������������*�����
2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +
��������:����������������oC ������$��������� ��������������>�����4��)������� ���
�� ��� ������ ������������������0� ����������� ������������������*������$-�����������
���� ������-�/������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� -�3����
������� ������ �� ��)��-
2������� ������������ �������� �� ������� ������� ������� ����������������� ���
�#��������������#������������������������������������� ��� ��#�#�� �������*������
������2���:#���#�"���#� ������ ��
�#������� ��������%���8�����$7!"���
Pengantar
�������� ��� ����� �/#���� 229
>� ���������������
3#����������*������� ����������� �������������� ����������������������������
����� �� ���������������� �#���+��� � ��0�3�<��������(��������@�' �'�����&��:�����
�� �����������������&�������������#����������*�������� �������������#������ ���
���� ����0 2���������������'�
3#���������� *��������������������� �������������������� �������������������������
�������*�� ���������������������������������������� *��������� ������ � ������ �� ������
�� ��)����������������������� �����������)#��#�������� �������*������8� � �������� ����
#��
2 1( )
1x
f xx−
=−
,� �������>����� �� ������� �� 8� � ������ �������������� ����'� � ��)�����'�;� ��
�� ��� (1)f ������������3����������� ��������������*������8���������'������������������
��������������������4��������'����������������=����$=���$=���&$=���<=���<<=���<<<=���<<<<
�������� ��� ���(������������������������������'� ������������������������������
��)��� ���D����������� *������ � 8� � ������� ���� ��� �������� �����5����� &����3�������
��������'���������������������������� ������������� ����� �����'����������������=
��&$=���$=����$=����=�����=������=�������=������������������ ��� ���9����5�����&���
)�&�'� >� )�&�'� >�!
(� ������������������������������ �������>�������'��� �� �������������������������
�� ��� ���� ���������� ��� ��������������8�'���� �� �����������������������������
)#��#���� ��5�����&���������'�;���<<<������8�'��;���<<<��G����������'��������)����������� �
�������8�'���������)������������ ����
(� ��5�����&���������'�;������������8�'��;�������� �����������'���������� �������� ����
�����8�'����������� ��������� ����
����������� �����������������>������������������������� � 8� �'����������� �
������������� ���������'� )����������������������������������� � (1)f � ����������
�����������)���������)� �������������������������������
1lim ( ) 2x
f x→
=
,� �����)���������������>��������� 2 (1)f≠ ���� ����8��������� ��*���������'�;������)� �
� �*��������������������������� ������>���������'�;����� �*��� ���� ��������� ��������
(
�
���$
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
!
� �
() (
(
−= −�
���$
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
(
�
��&$
��$
���$
���
����
�����
������
!
� �
() (
(
−= −!
��&$
��$
���$
���
����
�����
������
�� ��� �������������������������230
���������2�����8���2( 1) ( 1)x xy − −=
��)� ��������������������#������� �����
������ �� >�
9����8��'���������'����������%�����������������������������������
lim ( )x c
f x L→
=
����������������������������8��'������ ���� ���������������������������
��������������������)� ����������������'� �����������������%��������
�����������������%�
3��� � ���������8��'��������������������������������������'����������������%���� �����
������������� x c≠ ��(�*��������)� ��*# ������������������� ��������������������� ���������
����� �� �����������
D#����� ���� ����*������
lim ( )x c
f x L→
=
�����
( )f x L→ ��� � �� x c→ ������)� ���������)��I8��'��������������������'����������%I�
3������ ����������������I������� x c≠ I��������*����������������� �������>�
��������������������8��'���������'����������%��������������� �������������'�;�%�
0�����8��'��������� ����� ��*���������'�;�%��5������ ����� �����������������������
����������8���� ��*���������������%�
(��������������������������� ��������>���#���������� ��>�� �����lim ( )x c
f x→
����� ����� �� ������ �������� ���� ��� ��*��� ���� ���� ����� �������� �������� �������
��������'��� '�����
−=−
�
�
�
'
&
'
&
�����������������������������������������������!
!
�
�
'
�������� ��� ����� �/#���� 231
A��� � &�!���� ��������� �*����� �� ����� *�������3������ ���������>����
����������� ( )L f c≠ ������������������������)�� ( )f c ��������� ��*�������5�����������������
�������������� ������ ��������%��� lim ( )x c
f x L→
= �
L L L
c c c0 x
y y y
x x0 0
(a) (c) (b)
������2��� lim ( )x c
f x L→
= �!����� �������#�
����� � >��
5������������� 22
2lim
4x
xx→
−−
�
�����������
,� ���������>��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ��������� ��*���������'�;�����������������
������������������� �� ���� ������ ��� ����� �� �����������������������
2lim ( )x
f x→
������� ��������������������� ���������������'�;����5������� �������� ����
������ 8� �'�� �������������������������������'� ������������� �� �������� ���������
�����������(������� �������������������������������������������������>�
22
2 1lim
4 4x
xx→
−=
−���������)�&�'�>�$ )�&�'� >��
(�A�!
��$
��&$
��<
��<<
��<<<
��<<<<
���'$&�"
���%%%%&
���$%"��
���$�%�%
���$��%!
���$���%
)�(� (�B�!
��$
���$
���
����
�����
������
��������
���!$�<"
���"!�<�
���"<!&&
���"<<!'
���"<<<"
)�(�
�� ��� �������������������������232
.���� ����� �*������� �����#������� �&�"��� ����
������2�����8���8#�����2( 2) ( 4)y x x= − −
�
����� � >��!
+������E��J������=�����*���������#��
0 , untuk 0( )
1 , untuk 0t
H tt<
=≥
⎧⎨⎩
W+�����������������#��������� �����# ��������� � ������ ����'�1���6��1� ������'$�
8��<�$���A �*��� ������ �����#���A��� �&�"��� �����
������2�*�/#�����=��>���!�
3������ �������������� ��� ���� ���=� �������������������������� �������������� ��� �
�������=� ��������������7����� ����������������������������������� �������������#��
=� ��������� �������������(���������������� ����������������������>��
0lim ( )t
H t→
������
����
&
'
��&$
��$
���$
��������������������������������������������������������������!
&
'
�
�
�������� ��� ����� �/#���� 233
������ +���� +� �
,����)#��#�&�������>��=� �������������������� �������������� ��� ���� �����
=� �������������������� �������������� ��� ������������� �������������������)#��#
�������>��
0lim ( )t
H t→
������������D������)� ��������������������������������>�
0lim ( ) 0t
H t−→
= �����
0lim ( ) 1t
H t+→
=
���#�� 0" "t −→ ��������������>�� ����������� ������������� ���������� �� ���
�������)����� �����(������������� 0" "t +→ ��������������>�� ����������� ���������
�� ���������� � ������������� ��� �������)� �������������� �����*�������� ���������
Definisi 7.2
Limit kiri f (x) ketika x mendekati c sama dengan L, kita tuliskan dengan
lim ( )x c
f x L−→
= jika kita dapat membuat f (x) sembarang dekat dengan L dengancara mengambil nilai x cukup dekat ke c, dan x lebih kecil daripada c.
/��������������������(�*������&����������(�*������&����� ������� ����������>�
������ � ������'�� ����������)����� ������%��(������)� ���� ���������������� � ������'
� ������������ ��� ������%��������� #���I'����������������)��(���������(�����������*
������������������I������������#��������������
lim ( )x c
f x L+→
=
(������������������(�*������&���������*�������������������������� ���������� ���������
)������� >�
lim ( )x c
f x L→
= jika dan hanya jika lim ( )x c
f x L−→
= dan lim ( )x c
f x L+→
=
����� � >��$
4�������
3 , untuk 1( )
3 , untuk 1x x
f xx x+ ≤
=− + >⎧⎨⎩
E�������������������
��
1lim ( )x
f x−→
��
1lim ( )x
f x+→
)�
1lim ( )x
f x→
�����������
�� /��������������'�������������� ��� ���� �������������8��'�����������"��7����� ��������
1lim ( ) 4x
f x−→
=
�� /��������������'�������������� ��� �������������������8��'���������������(��������������
1lim ( ) 2x
f x+→
=
�� ��� �������������������������234
)� (� �� ���� ��>����� ��� ������
1 1lim ( ) lim ( )x x
f x f x− +→ →
≠ �� ��� ��� 5�# ��� &��� ����
�����������>�
1lim ( )x
f x→
����������
������������� ������������������ �*���*������8����� �����#������� �&�%�
������ 2�1
4����������������>��������8�����;�"���������� � ���
1lim ( ) 4x
f x→
= �
(��������
2 1( )
1x
f xx−
=−
�
�� ?� ����
1lim ( )
xf x
+→�����
1lim ( )
xf x
−→�
�� ������
1lim ( )x
f x→
���-
)� A��� ������������ �*���8�
����� � >��*
4��������
2 1 , untuk 2( )
5 , untuk 2x x
f xx
− ≠=
=⎧⎨⎩
���5�������� 2lim ( )x
f x→ �
�����������
(�����������8�����;�$�������������� 2x ≠ �����'� ����)�������������������������������8��'�
�������������!��/����
2lim ( ) 3x
f x→
=
�
&
$
"
!
�
�
����"������!��������������������������������������!�����" '
&�+�8�P�
Tugas Mandiri
�������� ��� ����� �/#���� 235
,� ������� ����� ����� �*��� ����������� �&�&�
������ 2�2
(� �� )#��#� &����� ���� ����� ����� ���� ��� �>��� ���������������� ��� ���� )� �
���������������������*������������������������������#����� �������� �����������
�����������*�������,������������������������������ ����*����������������������������
��*���# ����������������� ������������ ��������������)#��#�&�������>�������� 2x ≠
����� 2 0x − ≠ ��*������2( ) ( 2) ( 4)f x x x= − − ���������������� �������������
22 2 1
( )4 ( 2)( 2) 2
x xf x
x x x x− −
= = =− − + +
3����������������������'��������������������� ������������������ ���� ��������
������8��'������������K"��7����� ��������
22 2 2
2 2 1 1lim lim lim
4 ( 2)( 2) 2 4x x x
x xx x x x→ → →
− −= = =
− − + +
�
(��������������������#�#������������������������������������������� �����
�������
2
2 2
3 3lim
2x
x ax ax x→−
+ + ++ −
�����/��������������������������������������� ���3������������������������ ��
�
&
$
"
!
�
�
����"������!��������������������������������������!�����" '
&�+�8�P�
��
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������236
�� /������������������������������ �������� ��������������������� �����
2lim ( ) 7x
f x→−
=
4����������� � �������������� ������ ��� ( 2) 7f − = ��/��������
�� /�������������� ����������������������������
1lim ( ) 5x
f x−→
= �����
1lim ( ) 4x
f x+→
= −
(��������������������������
1lim ( )x
f x→
����-�/��������
!� 2�����*������ ����� �*��� ������ ������ ����������������� ��� �������� �����
����������/������������������������������-
��
1lim ( )x
f x→
��
3lim ( )x
f x→
�� (3)f
��
3lim ( )x
f x−→
)�
3lim ( )x
f x+→
������ 2�3
"� A��� ������������ �*��� *������ 8� ��� ����������������������������������
������%��������� lim ( )x c
f x→
�����
2 5 , untuk 1( )
6 , untuk 1 x x
f xx x+ <
=≥
⎧⎨⎩
$� �(���������'��'������/����������������������������� �������� ������� ������/���
�����������������-
��
2lim 3 2x
x→−
+ )�
2
2lim
2x x→ +
��2
2lim ( 2 1)x
x x→
+ − ��
2
1
1lim
2 2x
xx→−
−+
"
�
������������������������������������"
&
'
Latihan 7.1
�������� ��� ����� �/#���� 237
%� 5����������������������������� �������� ���������
��
2lim ( )x
f x→
����������
3 2 , untuk 2( )
5 , untuk 2x x
f xx k x+ ≤
=+ >
⎧⎨⎩
��
1lim ( )x
f x→−
���������� 2
3 , untuk 1( )
, untuk 1kx x
f xx k x
− ≤ −=
+ > −⎧⎨⎩
&� ��# �������������� �������������$����#�����������"�����A �*�������������
��� ��� ��8�� ��#��������������� ����� ��������� �����5�������
12lim ( )
xf t
−→�����
��
�� � �
'
8 +→
�������������� ���������������������� ������
������ 2�4
'� (������# �� �����J������������� ������ ������ �� ������������)�������>������
02 21
mm
v c=
−
������� 0m � ������������� ��������������� %� ��������)������� )�� ������
������ ������������� v c−→ -
>�! )������������
,������������������ ���������������������������# ������ �*���������������
������ ���������� �������� �� ������������� ������ �������(�����#��� �� ������ �� �����
�� �����*��������������������������#������� ���������������������������������
�������������*�����*���������� ������ ������������)���������������������������
�����������*�������5�# �����# ���������� ������������������������������ ���������� �
�������������*������*# ���� ����������� ��������������������
8���
!��
�$�
�������������"��������������'�������������������������������%
�� ��� �������������������������238
Teorema 7.2 (Teorema Limit)
1. lim x c
k k→
= , k adalah suatu konstanta
2. lim x c
x c→
=
3. lim n n
x cx c
→= , n bilangan asli
4. Jika k adalah suatu konstanta, dan
lim ( )x c
f x→
dan lim ( )x c
g x→
maka :
a. lim ( )( ) lim ( )x c x c
kf x k f x→ →
=
b. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
f g x f x g x→ → →
+ = +
c. lim ( )( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c
fg x f x g x→ → →
= ⋅
d.lim ( )
lim ( )lim ( )x c
x cx c
f xfx
g g x→
→→
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, asalkan lim ( ) 0x c
g x→
≠
e. lim ( ) lim ( )n
n
x c x cf x f x
→ →= ⎡ ⎤⎣ ⎦ , untuk n bilangan asli
f. lim ( ) lim ( )n nx c x c
f x f x→ →
= , n bilangan asli, dan lim ( ) 0x c
f x→
>
����� � >�!�
E������������� ����������� ���������������������
��2
3lim ( 8 6)x
x x→
+ − )�
3 2
2
2 1lim
5 3x
x xx→
+ −−
��3 2
2lim ( 3)( 5 )x
x x x→−
+ −
�����������
���2 2
3 3 3 3lim ( 8 6) lim lim8 lim 6x x x x
x x x x→ → → →
+ − = + − �5�# ���&����������"��
������
2
3 3 3lim 8lim lim 6x x x
x x→ → →
= + − �5�# ���&����������"��
������23 8 3 6= + ⋅ − �5�# ���&����������������!�
������ 27=
�������� ��� ����� �/#���� 239
��3 2 3 2
2 2 2lim ( 3)( 5 ) lim ( 3) lim ( 5 )x x x
x x x x x x→− →− →−
+ − = + ⋅ − �5�# ���&����������")�
( ) ( )3 2
2 2 2 2lim lim 3 lim 5limx x x x
x x x→− →− →− →−
= + −⋅ ��5�# ���&���������
����"������"��
( ) ( )3 2( 2) 3 ( 2) 5( 2)= − + − − −⋅ �5�# ���&����������������!�
;��8$���"��;�8&�
)�
3 23 22
22
lim 2 1)2 1 15lim 15
5 3 lim(5 3 ) 1
(x
xx
x xx xx x
→
→→
+ −+ −= = = −
− − −�5�# ���&����������"��
�
(��������������������#�#��������������������#����#����� ���������
�� 0� �����)#��#���������*������8��������������� lim ( )x c
f x→
������ lim ( )x c
g x→
������
������������ lim [ ( ) ( )]x c
f x g x→
+ �����
�� 0� �����)#��#���������*������8���������������������������������������������
(����� ������ ������� �� ������������������� �
( ) 0lim
( ) 0x c
f xg x→
= �� �������� ��*��
�����"��������������������� ��������)� �������������� ����������������������������
�#�� ������������ �����9����#���� ���� �� ������������ �������� '�����&������ ���� ������
?� ����������������������������� �������������������� ����������������� ���#������
�� ����� ������� 0� ����� ���� ���� ���� )#��#� ���� �� ������� ������� ��������
���������������� �������������������
����� � >�!�!
5���������
2
3
9lim
3x
xx→
−−
�
�����������
3� ����
3lim ( 3) 0x
x→
− = ����������� ��������������� ������ ��*��� ����� "���(�����
�*���# �������������������� #��
2 9 ( 3)( 3)3 3
x x xx x− − +
=− −
Tugas Kelompok
�� ��� �������������������������240
/���� 3x ≠ �� 3 0x − ≠ ����������������������� ������������������������� 3x − �
2 9 ( 3)( 3)3
3 3x x x
xx x− − +
= = +− −
3� ������������������������������ ����� �������������'���������� �!�������
�����������������!��������������������������� �#�������/����
2
3 3
9lim lim( 3) 6
3x x
xx
x→ →
−= + =
−�
����� � >�!�$
4�������2( ) 3 1f x x x= + − �����������
0
( ) ( )lim h
f x h f xh→
+ −�
�����������
3� ���� 0h ≠ ������������� #��
2 2( ) ( ) [( ) 3( ) 1] [ 3 1]f x h f x x h x h x xh h
+ − + + + − − + −=
22 3xh h hh
+ +=
2 3x h= + +/����
0 0
( ) ( )lim lim (2 3 ) 2 3h h
f x h f xx h x
h→ →
+ −= + + = +
�
�� (����������>�
lim ( ) 2x c
f x→
= − lim ( ) 0x c
g x→
= lim ( ) 16x c
h x→
=�
5��������������� �����������������/������������������������������-
�� lim [ ( ) ( )]x c
f x h x→
+ ��
( )lim
( )x c
f xh x→
��3lim [ ( )]
x cf x
→��
( )lim
( )x c
f xg x→
)�4lim ( )
x ch x
→*�
3 ( )lim
( ) 2 ( )x c
f xh x f x→ −
Latihan 7.2
�������� ��� ����� �/#���� 241
�� 5�������������������� �������� ��������������������������# ��������*������
��
2
3lim (2 5)x
x x→
− + ��
24 2
41
6lim
2 3x
x xx x→
+ −+ +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��
3 2
2lim ( 2)( 8 )x
x x x→
+ − ��4
2lim 3 6t
t t→−
+ +
)� 21
2 1lim
3 4x
xx x→−
+− +
*�2
4lim 16x
x−→
−
!� �� ���� ������������������ �������� ����-
2 3 44
1x x
xx+ −
= +−
�� (������*������������������������������������ ���������
2
1 1
3 4lim lim ( 4)
1x x
x xx
x→ →
+ −= +
−���� �
"� E���������������������� ���������������
��
2
5
25lim
5t
tt→−
−+
)�
2
23
5 6lim
12x
x xx x→−
+ +− −
��
2
3/ 2
4 9lim
2 3x
xx→−
−+
��
2
22
2 3 2lim
16 6y
y yy y→−
− −+ −
��
9
9lim
3x
x
x→
−−
� 21
1 2lim
1 1x x x→−
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
*�
0
9 3lim x
xx→
− −��
4 2 2
20
2lim x
x x xx→
− −
��
5
5lim
4 3x
x
x→
−+ −
��
3
0
1 1lim t
tt→
+ −
$� 5��������
0
( ) ( )lim h
f x h f xh→
+ −��������������*������ �������� �����
��2( ) 3 6f x x x= − + �� ( ) 2f x x=
��3( ) 8f x x= − ��
1( ) , 2
2f x x
x= ≠ −
+
)�
1( ) , 0f x x
x= ≠
%� 5��������0
(3 ) (3)lim h
f h fh→
+ −��������������*������8��������#����## �$�
�� ��� �������������������������242
>�$ ��������&� ��� �����2����
4��������&����������������� ��� ������ ����������������� ��������'����������
&�������*�������� ��'�������������������������&�;�8��'���/����'��� ������ �� x c= ������
x c h= + �������� ������'������
( )x c h c hΔ = + − =� xΔ ����)��H������'I�������� �������������� �������
( ) ( )y f c h f cΔ = + −E����������������
( ) ( )y f c h f cx hΔ + −
=Δ
���������������'��������&� �������� �����(��������������� J���[ , ]c c h+ ����������*�� ���
����������� ��������������� ��)���������� �&����
������2��5��0�� ����A#�"�#��6��
3������������������ ������ � ������������� J��� �������������)��� [ , ]c c h+ ���������
6�������������9����������� ������ � ����������������'��������&� ��� � ��������� ����
(������ x c= �� ��������*�� ��������������� �������� ������������������� J�� ( )y f x=��� ( , ( ))P c f c �
���������������������� ������� ������������
0 0
( ) ( )lim lim x h
y f c h f cx hΔ → →
Δ + −= =
����������������&���
�����������������������*�� ���*�������� ���������������������������� ���������
�� �������� ��������� � ������ ���� ������������ ����� �>��� ����� ���
������ �������������� )#��#��� �����
����� � >�$�
���� ������ ������� ��������� � ������ ���� �������� ����� ����������� �����
�������������������)� ���� ������������������ ������ �������� ������������
�#�#��������� #��������������>���������������2��������������� ������ ���������
����� ������������������)� ����� ������������ ����������� ����������E�������
���������� ������������������*�����
2( ) 0,1 2,155 20T w w w= + +
��������:����������������oC ������$��������� ��������������>����
�������������������������%����������������%�:�6
'
&
�F%� 8F%@@
)F%�9�6� 8F%�9
6@@
Δ '
Δ &
�������� ��� ����� �/#���� 243
�� 0� ������������� ������������ ������� ���������$-������������ �-
�� /������ �� ������ �����������������>������������������ �������� ���� ����������
������� ������ �� ��)��-
�����������
�� 4��� ��� �����&��������� �������� ������������ ������� ���������$������
0 0
( ) ( )lim lim h h
T T w h T ww h→ →
Δ + −=
Δ3���������������
2 2( ) ( ) [0,1( ) 2,155( ) 20] [0,1 55 20]2,1T w h T w w h w h w wh h
+ − + + + + − +=
+
���
20, 2 2,155 0,1wh h hh
+ +=
��� 0, 2 2,155 0,1w h= + +(��������������
0 0 0
( ) ( )lim lim lim (0, 2 2,155 0,1 ) 0, 2 2,155h h h
T T w h T ww h w
w h→ → →
Δ + −= = + + = +
Δ/��������� �������� ������������ ������� ���������$������� 0, 2 2,155w + �
0��� ����������� ����������o wattC �
�� (� �� ���� �� ������ ������ � �����>�����(� �� *������ ����� �� ����������� ����
�� �������� ���� ��� ������������$�;������������ ��)��������$�;����/����
������� �������� ���� �;������������:�����$;������$$o wattC �
������� �������� ��)���;���������:�����$;����$$�o wattC �
�
�� ������ �#��� ����������� ������� *���� ,������������� � ��>�� � � �� ������
������� ���������������# ���� ����������*������� �����#���*�����
2 3( ) 120 2p t t t= − �������� 0 40t≤ ≤0� ���������������� � ��*������������� �;����� �;���������� �;�"�-
�� A��#�������� ������������������ �������4���5��� ��� � � ������� �����
����������:��������
20,1(400 40 ), 0 12T t t t= − + ≤ ≤�� 5�������� � ����������� �������� ��:��� ����� �������� �����$���������
���%������
�� 5��������������� �������������:��� ����� ���������$������
!� �������� �������������� #�� ����������"�,�� �� �� ������,�����������#�#
��������� ������������������ ������������"� ����� ������������
2( ) 50.000 18.000 600p t t t= + +5�������� ������� �������������������#�# �������"�,�� �� �����&�
Latihan 7.3
�� ��� �������������������������244
>�� =����������� �����2����
,�����>������������������*������8�����*���������#��
2 1( )
1x
f xx−
=−
3������ ���������>��8� ��� ��*�����������������'���)��������'�;������������ �*��� �
�� �� ���� �������������������� ���&�+�'�9�����)����������������������������������������
&�����A �*���*������������ �������������������������������� ����� ����>��*�������8�����
������������������� ��������������������3�����#�������������� ������� ����8���������������
������2������8���2( 1) ( 1)x xy − −=
/���� *������ 8���� �������� ������ ��������� ����������� 8� ���� ;� !������� �*��� �����
�� ��������� ������'�;�������� *������ 8� � �� ������ ������ �����#��������� ���5������� ���������
����*���������8�����;���������������� ������������ �*��� ������ ������������*���������
���� *������ 8������������������� ��� �����������'��E��� ���� �����#��J������*�����
�� �����
������ �� >�$
+������8������������#���������������%��������������������� � ����� �����
��� 8��%�����
��� lim ( )x c
f x→
����
�!� lim ( ) ( )x c
f x f c→
=/��������������������� ���������� � ������������������������%������*������8
����������������������������� �����������%��+������ �����#���������������������
�� ������ ������� ���������� ���� ����������
����� � >���
5�����������>��*������3( ) 4 7f x x x= + − �� x∈� ���#���������'�;���
°2
0 x2
y
1 3
1
3
2 1
1
xy
x
−=
−
�������� ��� ����� �/#���� 245
�����������
3�������������������������� � ������#��������
���3(1) (1) 4(1) 7 2f += − = − �!� �
1lim ( ) 2 (1)x
f x f→
= − =
���
1 1
3lim ( ) lim ( 4 7) 2x x
f x x x→ →
= + − = −
3������� � ������#�����������������/������8���#����������'�;���
�
����� � >���!
5�����������>��*������ 2
1( )
6f x
x x=
− −������#���������'�;�!�����'�;�8���
�����������
/����������������������������'�;�!�����'�;�8����������*������8������8��!������8��8��������� �
����������
/������ � ������#�������� ������ ������������ �������(���������������*������8�����
�#���������'�;�!�����'�;�8��
�
����� � >���$
5����������� ������� �� ������ ��������������� *�������� ������#������
�� 2
1( )
4 3x
f xx x
+=
− +�� ( ) 3g x x= +
�����������
�� +������8��#������������������������� ����'����)�����������'� ���������
2 4 3 0x x− + = �� ,� �����
2 4 3 0x x− + = �⇔ � ( 1)( 3) 0x x− − =����⇔ �'�;��������'�;�!
/�������� ���������������8���#������������ { }| 1 atau 3fD x x x= ∈ ≠ ≠� �
�� +���������#��������� ���������������� ����'� �������� 3 0x + ≥ � ������� ��*��� ��� ��
3� ���� 3 0x + ≥ ��������������� 3x ≥ − ��������� ������� ������ �������
�#�������������� { }| 3gD x x= ∈ ≥ −� �
�
����� � >����
4�������3 7 , untuk 4
( )1 , untuk 4
x xf x
kx x+ ≤
=− >
⎧⎨⎩
��5������������������������8���#���������'�;�"�
�����������
� � ������� �*������8���#���������'�;�"�������
4lim ( ) (4)x
f x f→
= ��3������ ���������>�
8��"��;�!�Q�"�:�&�;��<
������������ 4x ≤ �
44lim ( ) lim (3 7) 19
xxf x x
−− →→= + =
�� ��� �������������������������246
2����� 4x > �
44lim ( ) lim ( 1) 4 1
xxf x kx k
++ →→= − = −
��� �
4lim ( )x
f x→
������ �����
4 4lim ( ) lim ( )
x xf x f x
− +→ →= �� ����
"��8���;��<��⇔ ���;�$�
/�������� �*������8���#���������'�;�"�� �������;�$�
�
�� 5�������������������� �������� ������� *������ �� ����� ���� �#��������� �����������
�� ������
��
2 6( )
3x x
f xx+ −
=+
�� ( )2 3
xk x
x=
−
�� 2
3( )
6x
g xx x
+=
+ −��
2
2
4( )
3 2
xp x
x x
−=
− +
)�
5 , untuk 2
( ) 22 , untuk 2
xh x x
x
≠ −= +
= −
⎧⎪⎨⎪⎩
�� 5����������� ������� ������ ���������������*�������� ������#������
�� �8��'��;�'��'�:���
�)� 2
2( )
2 8x
h xx x
−=
+ −
��
1( )
2 7x
g xx−
=+
��
2( 2) , untuk 0( ) 2 2 , untuk 0
x xk x
x x
+ ≤=
+ >
⎧⎪⎨⎪⎩
!� �� ������*�������#������� �������*�������#�����-
�� ������*�������������� �������*������ �����#�����-
)� ������*���������� ���� �������*�������#�����-
"� 5���������#��������%���������������*������ �������� ������#��������������� ���
���� �����
�� 2
1 , untuk 2( )
, untuk 2kx x
f xkx x
− <=
≥⎧⎨⎩
� �������'�;��
��
, untuk 1( ) , untuk 1 4
2 , untuk 4
x xg x cx k x
x x
≤= + < <
− ≥
⎧⎪⎨⎪⎩
���������'�;�������'�;�"
Latihan 7.4
�������� ��� ����� �/#���� 247
$� A� ��� �J���������� ���������)� ����#���0������������������������ ���
�� ����������� ������ ��������������������
3
2
, untuk ( )
, untuk
r RF r
r R
GMrR
GMr
<=
≥
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
�������������������������0��� ���� ��������������#�������� �J������������
*������/��#�������� ���-
>�* ������)���6������ �����2����
4���������8��*������ ��������*���������#��
2
1( )
( 2)f x
x=
−�������� �*���*�������������� �����#������� �&������3����������� ��������������*�����
8���������'�������������4��������'�������������� ��� ����������� �������������8��'�
�������� ����������5�����&�%��(� �� ������ ��������� ����� ��)� �� �������*���>��������'
������ �� ����������������������������������������'� ������������� ��� ��������
������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����
22
1lim
( 2)x x+→= +∞
−
1 2 3 4x
2
4
6
8
y
0
������2������8���8#�����2( ) 1 ( 2)f x x= −
�� ��� �������������������������248
���������������)�&�'�>�- )�&�'� >�>
���� ���� �����'���������� �� �� �� � �� �� ��� �� ������� ��>�������� 8� �'�� ���
���� ����������5�����&�&��(� ��������������)� ���������*�������������������>��������'
������ �� ����������������������������������������'� �����������)����� ��������
������8��'������� ������� �������(���������������������������������#����
22
1lim
( 2)x x−→= +∞
−7����� ���� �����������'���������� ��������� �� �������������� �� �� ��� ������ 8� �'�
����� � ��������������������������������������
22
1lim
( 2)x x→= +∞
−.���� ��������������#��J������*�������� �����
������ �� >��
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���3�������������
lim ( )x c
f x→
= +∞
�����������'����������%�������������������������%�������������8��'�������
������ �����
,� ���������� ���������� �������>�� +∞ � ������ ���������������� ����� �������
�������������������� lim ( )x c
f x→
= +∞ �� ��� ������������������� lim ( )x c
f x L→
= ��������
�� ��������� �����D#����� lim ( )x c
f x→
= +∞ � �� ���������������������>���� �����
������*������8�������'��� �� �����������������������%������� ������� ������� ������
(������)� �� �������������������������������� ������������*������ ���������� �
����)����������������,� �������*�������� ��������*���������#��
2
1( )
( 2)g x
x−
=−
�������/ ��/��C�
( )21
x -2�������/ ��/��C�
( )21
x -2
! � � �
��$ " ��$ "
���$ �% ��&$ �%
���� ��� ��< ���
���� ������ ��<< ������
����� ��������� ��<<< ���������
������ ����������� ��<<<< �����������
�������� ��� ����� �/#���� 249
�������� �*���*��������������������������������� �&��!�
1 2 3 4x
-2
-4
-6
-8
y
0
������2��(����8���8#�����2( ) 1 ( 2)g x x= − −
D�����*�������� �����'�������������� ���� ����������������'������)�������������������
����������������������
22
1lim
( 2)x x→
−= −∞
−
������ �� >�*
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���3������������
lim ( )x c
f x→
= −∞
�����������'����������%�������������������������%�������������8��'������)��
������������
�������������� ������ ����)#��#��������� ��������# ����� ���������� ���
������������������������� ���������� ��������������������
Teorema 7.3/���������������������#����*�����
1.0
1lim rx x+→
= + ∞ 2.0
jika ganjil1lim
jika genaprx
rrx−→
−∞=
+∞⎧⎨⎩
����� � >�*�
5���������������� ��
��
5
1lim
5x x+→ −��
3
2 1lim
3x
xx+→
+−
)� 21
2lim
( 1)x
xx→
+−
�� ��� �������������������������250
�����������
(�����������������5�# ���&�!�
�� 4������������������ �+�'�8�$������������� 5x +→ �������������� 0t +→ �
5 0
1 1lim lim
5x tx t+ +→ →= = +∞
−�� /��������������� �+�'�8�!�����
3 3 0
2 1 2( 3) 7 2 7lim lim lim
3 3x x t
x xx x t t+ + +→ → →
+ − += = + = +∞
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
)� /��������������� �+�'�8��������
����������� 2 21 1
2 1 3lim lim
( 1) ( 1)x x
x xx x→ →
+ − +=
− −
� 2 21 0
1 3 1 3lim lim
1 ( 1)x tx x t t→ →= + = + = +∞
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠�
E�������������������� �������� ������� ���������
�� 30
2limx x→
%�
2
21lim
2 1x
xx x→ − +
�� 40
1limx x→
−&�
2
23
4lim
9x
xx+→ −
!�
2
1lim
2x x−→ −'�
3 2
23
9 20lim
20x
x x xx x−→
+ ++ −
"�32
1lim
( 2)x x−→ −<�
2
24
12lim
6 8x
x xx x−→
− −− +
$�
2
1lim
1x
xx→ −
���
2
24
12lim
6 8x
x xx x+→
− −− +
>�- ���������)���6�����
���� ���������������������������*��������������������������'������������� ��
������ �������9�������)�������� ��*����������������������� �� �*���*������
(�������� ����� ���������� ���� ������������������������������������������������
���� ��*�������������������� �����
3����������������*������ �����������4������������*���������#��
2
1( )f x
x=
Latihan 7.5
�������� ��� ����� �/#���� 251
�������� �*���*�������������� �����#������� �&��"��4��������'�����������������������
���!��"��$������������������������ ��� ����������'������ ���� �� �������D����������� *�����
�� ��������� ����������5�����&�'��(� ���������� �������������������������>�������������
*������8��'����������������������������������������'����������������� ��������
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4x
1
2
3
y
������2������8���8#�����2( ) 1f x x=
���)�&�'�>�? �������)�&�'�>�D
��)� �����������������������������>��������8��'��������������������������������������'
)��������� ��2������������������������������#�������
2
1lim 0
x x→+∞=
D#����� x → +∞ ������� ��������>��������'������������ ��������������������������#����*�
����+∞ ���������������� �����7����� ����������#����� x → +∞ ���������������� ����� �
������� 10x → ��.���� �������������#��J������*�������� �����
������ �� >�-
4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��3���
��������
lim ( )x
f x L→+∞
=
�����������'��#����*� ������������� ��������������������8��'��������������
(
�
�
$
��
���
�����
�
���$
���"
����
������
��������
!� �
) (
(
= (
8�
8�
8$
8��
8���
8�����
�
���$
���"
����
������
��������
!� �
) (
(
=
�� ��� �������������������������252
���� ����������������*�������8������������������'����������������������8���8���8!��8
"�� 8$�� 8���� 8����� 8�����M����� ���� ��� ����������'� �� ���������������� ������*� ���
�� �������5�����&�<���� �����������������*������8��'���� �����
��)� �����������������������������>��������8�'��������������������������������������'
)�������)����� �����������������*��(�������������������������
2
1lim 0
x x→−∞=
������ �� >�>
4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��3������������
lim ( )x
f x L→−∞
=
�����������'�������*� ������ �����)���������������������8��'�������������
5�# �����# ��� �������� ��������&�������&�"� �������� ������������� x c→ � ����
������������� x → +∞ ������ x → −∞ ��3�������� �����# ������������ ���������
�����������������������������
)������� >��
/���������������������#����*�����
���
1lim 0rx x→+∞
= ���
1lim 0rx x→−∞
=
����� � >�-�
5���������������� ��
��
4 7lim
3 5x
xx→+∞
−+
��
2
3 2
5 4lim
1x
xx x→+∞
++ +
�����������
2����������������5�# ���&�"���������������������������� �������������������
�� ������� ������)������������������������� �����
��
744 7
lim lim53 5 3
x x
x xx
x→+∞ →+∞
−−=
+ +
4 0 43 0 3−
= =−
)�
2
3 2
5 4lim
1x
xx x→+∞
++ +
;�
2
3 3
3 2
3 3 3
5 4
lim1x
xx x
x xx x x
→+∞
+
+ +;�
3
3
5 4
lim1 1
1x
x x
x x→+∞
+
+ +
;�
0 06 0 0
++ + �;�
06
�;��
�
�������� ��� ����� �/#���� 253
����� � >�-�!
E������������� �������� �����
��2
5lim
2 3x
x
x→−∞
+
−�� ( )2 2lim 2
xx x x x
→+∞+ − −
�����������
�� ,������� �� ��������� ��'� �������� ������)��������>�� ��������� ��3� ���� ���
���������������� ����������������������2x x= ��3� ���� x → −∞ ������ 0x <
���� x x= − ��/����
2
5lim
2 3x
x
x→−∞
+
− ;�
2
5
lim3
2x
xx x
x
→−∞
+
−�;�
2
5
lim3
2x
xx x
x
→−∞
+− −
−
;�
2
51
lim3
2x
x
x
→−∞
− −
−
;�
1 02 0− −− �;�
12−
�� 3���� ���#����������������� �����
( )2 2lim 2x
x x x x→+∞
+ − −
;� ( )2 2
2 2
2 2
2lim 2
2x
x x x xx x x x
x x x x→+∞
+ + −+ − − ⋅
+ + −
;�
2 2
2 2
2lim
2x
x x x x
x x x x→+∞
+ − +
+ + −
;�
3lim
2 11 1
x
x
x xx x
→+∞+ + −
;�
3lim
2 11 1
x
x x
→+∞+ + − ;�
31 0 1 0+ + − �;�
32
�
�� ��� �������������������������254
5�������������������� �������� �����
��
3 1lim
4 9x
xx→+∞
++
<�2lim 1
xx x
→+∞+ −
��
2
2
4 8lim
2 3x
x xx→+∞
+−
���2lim )(
xx x x
→+∞+ −
!� 2
8 1lim
2 3x
xx x→+∞
+− +
���2lim 4 (2 3))(
xx x x
→+∞+ − +
"�
24 3 3lim
1y
y yy→+∞
− ++
���3 33 3lim 1)(
xx x x
→−∞+ − +
$� 2
3lim 5
xx
x→−∞+
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�!�
2 1 3lim
2 2x
x
x→+∞
+ −
− −
%� 2
5lim 4
yy
y→−∞−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�"�
12 2lim
3 1
x
xx
+
→ −∞
++
&�
2 9lim
3x
x
x→+∞
++
�$� 2
1 2 3 ...lim
x
xx→+∞
+ + + +
'�
4
2
1lim
2 3t
tt→−∞
++
>�> ������ 5��� ��)�����������
2������������������#��������*������� ��#�#�� ��������������������������������
��������� ������� �
0
sinlim
x
xx→
�������
0
tanlim
x
xx→
7����� ����������� ���������������� ������������������� ����������������������2����
������������>��������������������������������������������# ��� ����������
�� ��������������������� �����5�# ���������4����������# ������������ ��������� ����
������������
Latihan 7.6
�������� ��� ����� �/#���� 255
)�������>�-� �)������������
4��������8�������6�*������ ������ ��*��������������� J����� ������� ��������
%���)���������������%������ ����������� ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ �������������� x I∈ �
x c≠ ��/���� lim ( ) x c
f x→
;� lim ( ) x c
h x→
;�������� lim ( ) x c
g x L→
= �
(������5�# �������������������������������������������� ���������
)������� >�>
0
sinlim 1
x
xx→
= ��������������
0
tanlim 1→
=x
xx
�� �
4�������������� ������������ ���� ������������� ��/������ ���������� ��� ���������
������������'� ����������AB ������������������� ��������
�AB �;�'
(� ������ ������>����������� ��
����� �,�< ������ ���< ������ �-
x
A
B
D
r
O C
������ 2��*
������� ��
�1 1 1. . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <
�1 1 1. . . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < � . . .BC OC AB r OA AD⇔ < <
�
2 2 2
. . .
BC OC AB r OA ADr r r
⇔ < <
�� ��� �������������������������256
�1 1 1. . . . .
2 2 2BC OC AB r OA AD< < 2 2
. . .
BC OC rx r r ADr r r r
⇔ < <
BC OC AD
xr r r
⇔ < <
sin .cos tan x x x x⇔ < < ����������������X�
1 cos
sin cos x
xx x
⇔ < <
3� ����
0lim cos 1
xx
→= �����������
0
1lim 1
cos x x→= �������������5�# �������
0lim 1
sin x
xx→= ����������
0
sin lim 1
x
xx→
=
��������� ���� �� �X����������� ��
����'���)#��'�< �'�< �����'�2 cos 1
tan x
xx
⇔ < <
3� ����
0lim cos 1
xx
→= �������������5�# ����������������� ��
0
tanlim 1
x
xx→
= ��������
0
tan lim 1
x
xx→
=
�
(������)� �� ������������������� ������������� �������������������� ��
��# ������������������������� �����
0
sin lim 1
x
axax→
= ������� 0
tan lim 1
x
axax→
=
����� � >�>�
5���������������� ��
��
0
sin 2lim
x
xx→
��
0
sin 2lim
tan 5x
xx→
�����������
��
0
sin 2lim
x
xx→
;�
0
sin 2 2lim .
2x
x xx x→
�;�
0
sin 2lim . 2
2x
xx→
;���Q���;��
��
0
sin 2lim
tan 5x
xx→
;�
0
sin 2 5 2lim . .
2 tan 5 5x
x x xx x x→
;� 0
sin 2 3 2lim . .
2 tan 5 5x
x xx x→
;� 0 0
2 sin 2 5 lim lim
5 2 tan 5x x
x xx x→ →
⋅
;�
2 21 1
5 5⋅ ⋅ =
�
�������� ��� ����� �/#���� 257
����� � >�>�!
5���������������� ��
��
1lim sin
xx
x→ ∞)�
12
12
1 sin lim
x
xxπ π→
−−
�� 3 0
tan sin lim
2x
x xx→
−
�����������
�� 4�������������������
1y
x= ��3� ���� x →∞ ������� 0y → �
/����
0 0
1 1 sin lim sin lim sin lim 1
x y y
yx y
x y y→ ∞ → →= = =
��3 3 0 0
tan sin sin sin coslim lim
2 2 cosx x
x x x x xx x x→ →
− −=
;�
122
3 3 0 0
sin 2sin sin (1 cos )lim lim
2 cos 2 cosx x
x xx xx x x x→ →
⋅−=
;�
122
1 2 02
sin sin 1 1lim
( ) cos 4x
xxx x x→
⋅ ⋅ ⋅
�;�
2 1 11 1 1
4 4⋅ ⋅ ⋅ =
)� 4��������12y x π= − ����������������
12x π→ �� ������� 0y → �
�/����
12
12
1 sinlim
xx xπ π→
−− ;�
12
0
1 sin( )lim
y
y
y
π→
− +
;� 0
1 cos lim
y
yy→
−
;
122
0
2sinlim
y
y
y→
;�
122
1 2 02
sin 0lim 2 2 1 0
( ) 4 4y
y yy→
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
�
�� ��� �������������������������258
���� ������������������������������������������ �������)�������������� ���
��
0
2lim
sin 3x
xx→
���
0
sin( ) sinlim
h
x h xh→
+ −���
4
sin coslim
1 sin 2x
x xxπ→
−−
��
0
sin 5lim
sin 7x
xx→
��� 0
sinlim
1 cosx
x xx→ −
��� 2 0
tan 2 2 tanlim
x
x xx→
−
!�
2
2 0
sinlim
3x
xx→
�!�
2
1 cos 2lim
cosx
xxπ→
+�!� �
2
1 cos2lim cosπ→
+x
xx
"�
3
2 0
sinlim
x
xx→
�"�
0
tanlim
1 cos 3x
x xx→ −
�"�
2
0
3lim
sin x
x xx→
+
$� 0lim
cosx
xx→
�$�2 2lim 1 cos
xx x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠→ ∞− �$�
0
sin lim
1 1x
x
x→ − −
%�
0
1 coslim
1 cos 2x
xx→
−−
�%�
0
sin sin 3lim
1 cos 4x
x xx→ −
&� 2 0
1 coslim
a
aa→
−�&�
4lim sin
xx
x→ ∞
'�
0
tanlim
sin 2y
yy→
�'�
2
0
sin tanlim
1 cosx
x x xx→
+−
<�
0
sinlim
tanx
pxqx→
�<� 5lim ( 5) cot
xx xπ
→−
���
2 2
1 2 02
sin tanlim
x
x xx→
+���
4
sin coslim
1 sin 2x
x xxπ→
−−
�%� 5��������
0
( ) ( )lim
h
f x h f xh→
+ −��������������*������ �������� �����
�� �8��'��;�����' )� �8��'��;�����!'
�� 8��'��;�)#��' �� 8��'��;�)#��!'
��&� �5��������
( ) ( )4 4
0lim
h
f h f
h
π π
→
+ −��� ��*������*������������#����## ��%�
Latihan 7.7
�������� ��� ����� �/#���� 259
�� 9����8��'���������'����������%���������������������������������lim ( )x c
f x L→
=�
����������������������������8��'������ ���� ���������������������������� ���
����������������)� ����������������'� �����������������%������������������
�������%�
�� 9���� �� �� 8� �'�� ������� '���������� %� ���� ���������� ����� ��������� ������
lim ( )x c
f x L−→
= � ����������������������8��'������ ������������������� �������
)� ����������������'�)��������������%������'��������)����� ������%�
!� /��������� ������� � ������'� � ��� ��������� ��� ������ %���������� #��� ����
�������� ��8��'����������#��������������� lim ( )x c
f x L+→
= �
"� lim ( )x c
f x L→
= ����������� ������� lim ( )x c
f x L−→
= ����� lim ( )x c
f x L+→
= �
$� 7�� ���������� ��� ������� �������� ����� *������
%� 9���� �� ������ ������� �� �� *������ � 8� ��� ������ %� ����*��������� �������
0
( ) ( )lim h
f c h f ch→
+ −�
&� +������8������������#���������������%��������������������� � ��������8��%�����=�����
lim ( )x c
f x→
=����=������!�� lim ( ) ( )x c
f x f c→
= �
'� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�
�����������8��'������� ������������������������� lim ( )x c
f x→
= +∞ �
<� 4���������8� �*������ ������ ��*���������������������� J����� ����� ���������%�
��)���������������%������ ���/����������'����������%�������������������������%�
�����������8��'������)��������������� lim ( )x c
f x→
= −∞ �
��� 4���������8��*������ ������ ��*��������������� �������� J��� ( , )a +∞ ��/����������'
�#����*� ���� ����� ���� � �������� ���� ������ � 8� �'�� � ��������� ��
���������� lim ( )x
f x L→+∞
= �
��� 4���������8��*������ ������ ��*���������������������� J��� ( , )b−∞ ��/����������'�������*
������ �����)���������������������8��'������������������������� lim ( )x
f x L→−∞
= �
���
0
sinlim 1
x
xx→
= ��������������
0
tanlim 1
x
xx→
=
Rangkuman
�� ��� �������������������������260
���� �������� ����0 2
>?D�E�?*>
���������9#����?��) ���� ����,� ������������������L)#���,#� ��)��V����3� ���
��������� ������ ������������������������������������� �����������������
�������� � � ��� ��������������� ����� L)#���,#� ��)��V���� �# �#����� ���
?#������ ��� + ��)��� ������������������ �������� �� )�� ����� ���
���������������� ����� ���, #�����J����� �� ������������ ���������)���
,� ������������������������� ��������� ������������� ����������
�������������� ����� ��?��) �
?��) � ��# �����������3��#���
������������������6���� ���������
(��������#���� �� ����� �����
������� ��� ����� ,� ��)��� ���
�� ������ ����� ����� �'!��� ��
������������ �� �� ��� .������ �����
���� ���� ����� ���� ������ � ��
���� ���� ���������������������,� ��
������������������������������
������� �J#������'"'�
?��) ����� ��� �� �����
������.����)�������������������� ���
����������������� ������ �������
������G������3������� ������
�� ����� ������� � ��� 4���
��#��# �� �� ��� �#����� ������ �������
����������������� ��������
Y�������� ��������� ��)�������
�������� ������������������������� �
���� � �� ��������)��������� �������
������?��) ����� ����� ���� �� �
�A������������ ����0#�F��#������������ ����������� ������3������?��) � ����
�� ����������� ������� �������� �����������������*������ ������������ ���#����
�����
�#���D�����#�#��!�����7�� ������� ����433�6�����(
������2��1��#�#� ����7#���,�#%6&
�#�����$$$��%��6��#��!#�6�
Math Info
�������� ��� ����� �/#���� 261
�� ���� ��������������������������������������������������������
���������������� �!���� ������� ������������
�� D�����2 2
1 4lim
2 4x x x→−
− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������M�
�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "
��
2
2 2
5 6lim ...
4x
x xx→
+ +=
−�
��� �K� 0� �K" ?� � (� 8�K" L� 8�K�
!�
2 1
1lim ...
3 2x
x
x→
−=
+ −�
�� 8% 0� 8" ?� � (� " L� %
"�
1
( 3)( 3)lim ...
3x
x x
x→
− +=
−�
�� � 0� ! ?� % (� �� L� �$
$� 2 2
1 cos( 2)lim ...
4 4x
xx x→−
− +=
+ +�
�� � 0� �K" ?� �K� (� � L� "
%� /����
4
3lim
4 4x
ax b xx→
+ −=
−���������9���;�M�
��� ! 0� � ?� � (� 8� L� 8�
&�
2
2 0
tan 2 sin 8lim ...
sin 4x
x xx x→
⋅= �
��� !� 0� �" ?� �% (� ' L� "
'�
2
2 0
(cos 6 1)lim ...
sin 3 tan 2x
x xx x→
−=
⋅�
��� ! 0� � ?� 8! (� 8� L� 8�
Uji Kompetensi
�� ��� �������������������������262
<� /����2( ) 1 2f x x= ������
0
( ) ( )lim ...t
f x t f xt→
+ −= �
���� 1 4x− 0��31 x− ?��
31 4x (��1 4x L��31 x
���
( ) ( ) 1
1 1sin 1 cos 1lim ...
1x
x xx→
− −=
−�
��� � 0� �K� ?� � (� 8�K� L� 8�
��� ( )lim ( )( ) ...x
x p x q x→∞
+ + − = ��
�� � 0� "< ?� "�?�< (�12 ( )p q+ L� �"�?�<
��� ( )2lim (4 5) 4 3 ...x
x x x→∞
+ − − = ��
�� ∞ 0� ' ?� $K" (� �K� L� �
�!� ( )2 2lim sec 1 ...x
x x→∞− = ��
�� � 0� � ?� � (� 8� L� 8�
�"�
3 4lim (1 tan ) tan 2 ...
xx x
π→+ = �
�� ∞ 0� � ?� � (� � L� 8�
�$� 0
31 sin 2lim sin 2 cos 2 ...
cos 2t
tt t
t t→+ =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
��� � 0� �K� ?� � (� � L� ∞
B. ���� �������������"���������������������#�� ���� ���������
��� ������� �����
�%� E��������
2
6 2lim
3 1x
x
x→
− −− −
�
�&� E��������
3
0
1 1lim x
cxx→
+ −���������%��#�������
�'� ?� ����������������������������
0
2lim 1x
ax bx→
+ −= �
�������� ��� ����� �/#���� 263
�<� /���� lim [ ( ) ( )] 2x c
f x g x→
+ = ����� lim [ ( ) ( )] 1x c
f x g x→
− = ��)� ���� lim ( ) ( )x c
f x g x→
�
��� 4��������8��*������ ��������*���������#��
1 , untuk bilangan bulat( )
0 , untuk bukan bilangan bulatx
f xx
= ⎧⎨⎩
�� A��� ������������ �*���8�
�� 2�����������%� ����������������lim ( )x c
f x→ ����-
)� 2�������������� ����������8���#�����-
�� ����������������� ������ ������ �� ��������������� ����� ������������ �
���� �����#����� �������� ���34 6 2s t t= + + ��������� ������ ������������
5��������������� ���������������� t c= �� �;���� �;�������� �;�!�
�� 0�� ��� #������������������� ������'�������##�������� �����������
2( ) 5000 10 0, 05C x x x= + +�� 5�������� � ���� ������� �������� ��,� �� �����'�������� ��������� #�����
�����
�� �� ��'�;�����������'�;���$
�� �� ��'�;�����������'�;����
�� 5��������������� ��������������� ��,��� �����'�������'�;�������.����������
&��2���������'7�� ����������� �����������������������0���'�
!� ������ ������� ���� � �� ������� ������� �� ���� $������ ���� � �� �� ���� �����
���#�#�������� ����>������������������������E����5# �)������� ������
��>��J#������ � ������ ��������������������������� �����������
2
( ) 50.000 160t
V t = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� 0 60t≤ ≤
5���������������� ����� ������� ���������������� �������������C��� ����� ���������
*������ ��������������� �-�2�����>����� �;������������!���"���$�������%�������
����������������� ���������� �� ���� � ������ ������������������3�����������
��� �������������� -����������������������)��-
Soal Analisis
�� ��� �������������������������264
����1���
D�� ��MMMMM 5������ ��MMMM
3���� ��@. 4��� ��,#�#� ��9����+�����
3��#�#� ��MMMMM ������ ���������
3������� ��4������ ������ ��� ����������
5����� ��4������������������ � ���������� ��� ����������
A. �'�������&� ���2�������������
�� (�������
�� ��������#���� ���� �����<����� �
!� A��������
"� ����������������#����
$� 0����)������
%� ��#�>��)
�� ����������
�� 0���������#�#�� ������ ����#������"������$����>��
�� �����������#���� �������������� ����#�>��)����������������
!� ��� ������ ��� ���������� ��?�������� ��� ��J#������ � ��������� ��� �
�������� ���������������� �#���>�����$����������������������>��
�� ���'� �
�� 0����� �*����� ������� ����������� #������������/������������������
�#���� �
�� /������ ��C�������������������� �;��$��)� ������� ��������������� ��)��������
)������������������� �*���������� �;�$�������$�������$������!��
!� ,� �� �������� �������� ������������������������� ���� ������� �����
������������� �
"� A�������� �*���*��������������� �� �������� �������� �����������
������3�� ������ ������ ������������� �� � ���������� ��� ����������
��������$������
$� 5�*�� ��������������������������#����� �����
Aktivitas Proyek
��������������� ���$ ��� ��$ ���� ���$ ��!�
������+��'�����