8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 1/10
Makalah Fisika Kuantum
“OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR
”
D
I
S
U
S
UN
OLEH
ERVINA
KRISNA (4113240016)
MUTIA AMALIA
VICKY ( 4103240039)
FISIKA Non_Dik 2011
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2013
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 2/10
Kata pengantar
Puji dan Syukur Penulis Panjatkan ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena berkat
limpahan Rahmat dan Karunia-Nya sehingga penulis dapat menyusun makalah ini yang
berjudul " OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR " serta tepat pada waktunya.
Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan
tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam
kesempatan ini penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.
Akhir kata semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca.
Penulis menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari bentuk
penyusunan maupun materinya. Kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk
penyempurnaan makalah selanjutnya.
Medan, 06 November 2013
Penulis
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 3/10
A. Operator dan Mekanika Kuantum
Dalam mekanika kuantum, percobaan fisika (seperti energy, momentum, posisi, dsb)
diwakilkan secara matematika oleh operator. Sebagai contoh, operator yang memiliki
hubungan dengan energy adalah operator Hamiltonian
∑
Dimana sebuah indeks menyeluruh dari partikel dari system tersebut. Kita telah menemui
Hamiltonian partikel-tunggal didalam persamaan. Nilai rata-rata dari sebuah A yang tampak
diwakilkan oleh sebuah operator untuk sebuah molekul kuantum keadaan diberikan
oleh “ nilai dugaan” rumus :
B. Sifat Dasar Operator
Kebanyakan sifat dari operator adalah nyata, tetapi mereka meringkasnya dibawah dari yang
kompleks. .
Hasil penjumlahan dan pengurangan dari dua operator are diberikan
( ) ( )
Hasil dari dua operator ditentukan dengan
Dua operator sama, jika
Untuk semua fungsi f
Identitas operator tidak berpengaruh apa-apa. (atau dikalikan dengan 1)
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 4/10
Biasanya sebuah trik matematika menuliskan operatornya sebagai sebuah jumlah lebih
sebuah paket lengkap keadaan
∑| |
Hukum asosiatif menuliskan untuk operator
() Hukum komutatif tidak secara umum diterapkan untuk operator. Pada umumnya,
. menentukan besarnya dengan mudah dilakukan
[ ] Yg mana disebut komutator dari dan . catatan bahwa urutan persoalan , maka
[ ] [ ]. Jika dan terjadi untuk mempermudah lalu [ ]
Kekuatan n-th dari sebuah operator ditentukan sebagai aplikasi yang berhasil
dari operator seperti
Pangkat dari operator
ditentukan lewat seri besar
C. Operator Linier
Hamper semua pertor dalam mekanika kuantum adalah operator linier. Sebuah operator linier
adalah sbuah operator yang sesuai dengan dua kondisi di bawah :
Dimana adalah sebuah konstana dan dan adalah fungsi. Sebagai contoh , berdasarkan
operator dan ()2. Kita dapat melihat bahwa adalah operator linier sebab
⁄
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 5/10
namun, ()2 bukanlah operator linier sebab,
Kategori lain dari operator hanya yang relevan terhadap mekanika kuantum adalah kumpulan
dari operator antilinier, yang mana
D. Fungsi Eigen dan Nilai Eigen
Sebuah fungsi eigen dari sebuah operator adalah sebuah fungsi seperti penerapan dari pada
memberikan
lagi, waktu adalah konstanta.
Dimana k adalah konstanta yang disebuat nilai eigen. Sangatlah mudah untuk menunjukkan
bahwa adalah operator linier dengan fungsi eigen lalu bahyak perkalian dari adalah
juga fungsi eigen dari .Ketika system dalam sebuah keadaan eigen dari hasil pengukuran A (seperti : ketika fungsi
gelombang sebuah fungsi eigen dari operator lalu nilai yang diharapkan dari A adalah nilai
eogen dari fungsi gelombang. Dengan demikian,
Asumsikan bahwa fungsi elombang dinormalkan ke 1, sebagai kasus pada umumnya. Pada
suatu peristiwa bahwa tidak dapat diormalkan (partikel bebas,dll) lalu kita bisa
menggunakan rumus ini :
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 6/10
∫
Bagaimana jika fungsi gelombang adala sebuah kombinasi dari keadaan eigen? Mari kita
asumsikan bahwa kita mempunyai fungsi gelombang yang merupakan sebuah kombinasi dari
dua keadaan eigen dari dengan nilai eigen dan
dimana dan lalu apa kira-kira nilai dari A?
|| ||
|| ||
Asumsikan bahwa dan adalah ortonormal (seingkatnya kita akan menunjukkan
bahwa vekor eigen dari operator Hermitian adalah tegak lurus). Dengan demikian rata-rata
nilai A adalah rata-rata berat dari nilai eigen, dengan berat adalah akar dari koefisien dari
vector eigen di semua fungsi gelombang.
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 7/10
E. Hermitian Operators
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, nilai yang diharapkan dari sebuah operator diberikan dengan :
Dan semua pengamatan fisika diwakili oleh nilai harapan. Jelaslah bahwa nilai dari
pngamatan fisika seperti energy atau massa jenis haruslah nyata, maka kita membuat <A>
menjadi nyata. Ini berarti bahwa kita harus membuat <A>=<A>* atau
Operator yang sesuai kondisi ini disebut Hermitian. Satu dapat juga ditunjukkan untuk
sebuah operator Hermitian.
Untuk dua keadaan dan .
Sebuah sifat yang penting dari operator Hermitian adalah nilai eigennya nyata. Kita dapat
melihat ini sebagai : jika kita mempunyai sebuah fungsi eigen dari dengan nilai eigen i.e
lalu untuk sebuah operator Hermitian ()
||
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 8/10
Sejak || tidak pernah negative , kita harus mempunyai atau . Sejak
tidak diterima oleh fungsi gelombang , maka adalah nyata.
Sifa penting lainnya dari operator Hermitian adalah bahwa vector eigen mereka adalah
orthogonal (atau dapat dipilih untuk menjadi demikian ) . anggap bahwa dan adalah
fungsi eigen dari dengan nilai eigen dan . Dengan jika Hermitian lalu
()
||
Sejak eperti yang ditunjukkan di atas. Sebab kita menganggap baha , kita
harus memiliki ∫ , i.e. dan adalah tegak lurus (orthogonal) . dengan
demikian kita dapat menunjujjan bahwa fungsi eigen dari operator Hermitian dengan nilai
eigen yang berbeda adalah tegak lurus. daInlam kasus ini (lebih dari satu fungsi eigen dengan
nilai eigen yang sama), kita dapat memilih fungsi eigen untuk menjadi tegak lurus. Kita dapat
dengan mudah menunjukkan ini untuk kasus dari dua fungsi eigen dari
dengan nilai eigen
yang sama. Maka kita punya
Sekarang kita ingin membuat kombinasi linier dari dan untuk membentuk dua fungsi
eigen dan , dimana dan . sekarang kita ingin dan
untuk menjadi orthogonal , maka
( )
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 9/10
Maka kita harus memilih
∫ ∫
Dan kita memperoleh fungsi eigen yang tegak lurus(ortogonal). Langkah Schmidt-
ortogonalixation ini dapat cakupan luas untuk kasus dari n-lipat degenerasi, maka kita dapat
menujukkan bahwa untuk sebuah operator Hermitian, vector eigen dapat dibuat ortogonal
(tegak lurus).
8/14/2019 kelompok 1. Makalah OPERATOR LINIER DAN ALJABAR OPERATOR.docx
http://slidepdf.com/reader/full/kelompok-1-makalah-operator-linier-dan-aljabar-operatordocx 10/10
Daftar Pustaka
Eisberg, Robert M., Quantum Physics. 1985. USA: John Wiley and Sons ,Inc.
Gasiorowicz, Stephen. Quantum Physics. 2003. Minnesota: University Minnesota Press.
Polkinghorne, John. Quantum Theory . 2002. New York: Oxford University Press
Rae, Alastair I.M., Quantum Physics: A Beginner’s Guide. 2005. England: One World Publications.
Yosi, R. Pendalaman Materi Fisika Kuantum. 2008. Jurnal Ilmu Pendidikan.