Download - Kapita Selekta Matematika "Garis Terhadap Bidang

Anggota Kelompok

• Fadilah Shaomi

• Fitri Sabrina

• Fitriani Juwita

• Lucy Dewan

• Sholihatun Azizah

Garis Terhadap Bidang

Jarak Garis ke Bidang

Sudut antara Garis dengan Bidangyang Berpotongan

Jarak Garis Ke Bidang

Misalkan garis g dan bidang sejajar.Jarak antara garis g dan bidang yang sejajaritu dapat digambarkan melalui langkah-langkah berikut :

Ambil sebarang titik P pada garis g

Buatlah garis k yang melalui P dan tegaklurus bidang

Garis k memotong atau menembus bidang

di titik Q

Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagaijarak antara garis g dan bidang yang sejajar

Q

Pg

k

.

.

Contoh :

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusukAB = 5 cm, BC = 4 cm, dan AE = 3 cm. Hitunglahjarak antara garis AE dan bidang BCGF!

Jawab :

Garis AE dan bidang BCGF merupakan garis danbidang yang sejajar. Jarak antara garis AE dan bidangBCGF ditentukan oleh panjang ruas garis AB sebabAB tegak lurus garis AE dan juga tegak lurus bidangBCGF.

Sudut Antara Garis dan Bidang

• Ambil sebarang titik Q, pada garis g.

• Melalui ttik Q, buatlahgaris h yang tegak lurusterhadap bidang α. Garis h ini menembusbidang α di titik Q’.

• Sudut QPQ’ ditetapkansebagai ukuran besarsudut antara garis g danbidang α yang berpotongan.

g

Q’

h

. .P

α

Q

Definisi

Sudut antara garis dan bidang yang berpotongan

“ Sudut antara garis g dan bidang α adalah sudutlancip yang dibentuk oleh garis g denganproyeksinya pada bidang α.”

• sudut antara garis BH dengan bidang alas ABCD atau <(BH, Bidang ABCD) ditentukan oleh sudutyang dibentuk oleh garis BH dan garis BD (yaitu<DBH) sebab garis BD merupakan proyeksidarigaris BH pada bidang alas ABCD.

A B

CD

EF

GH

• Sudut antara garis TB dengan bidang alas ABCD atau <(TB, bidang ABCD) ditentukan oleh sudutyang dibentuk oleh garis TB dan garis BO (yaitu<TBO), sebab garis BO merupakan proyeksi darigaris TB pada bidang alas ABCD.

A

CD

B

T

O

Contoh Soal

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm.

a) Hitung besar besar <(AH, bidang ABCD),

b) Jika sudut antara diagonal ruang AG denganbidang alas ABCD adalah α. Hitunglah sin α

Jawab

a) <(AH, bidang ABCD) = <DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh garis AH dan garis AD, sebabAD adalah proyeksi AH, dan garis AD, ∆ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga<DAH = 45o.

Jadi, besar <(AH, bidang ABCD) = 45o

b) <(AG, bidang ABCD) = <CAG, yaitu sudut yang dbentuk oleh garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang ABCD (perhatikan Gambar ).

• ∆ACG merupakan segitiga siku-siku di C, dengan AC = cm, AG = cm dan cg = 6 cm.

• Dengan mengambil sinus, kosinus, dantangent sudut α pada ∆ACG, diperoleh:

• Sin α =

A B

CD

EF

GH

(b)

Jadi Sin α = 33

1

Contoh 2

• Bidang alas dari limas T.ABCD berbentukpersegi panjang dengan AB = 12 cm, AD = 5cm, dan TA = TB = TC = TD = 7cm, Hitunglahpanjang AC dan tinggi limas TO.

a) Hitunglah panjang AC dan tinggi limas TO.

b) Hitunglah sin <(TA, bidang alas ABCD).

Jawab

a) Panjang AC;

A

CD

B

T

O

Gambar 2.3

• Tinggi limas TO;

b) Sudut antara rusuk TA dengan bidang alas ABCD adalah <TAO, sebab proyeksi TA padabidang alas ABCD adalah AO, ∆TAO adalahsegitiga siku-siku di O, sehingga :

A

CD

B

T

O

Gambar 2.3Jadi, , sin <(TA, bidang alas ABCD) =

Kemungkinan:

• Dua bidang berimpit

• Dua bidang sejajar

• Dua bidang berpotongan

Sudut yang dibentuk antara Dua bidangberimpit atau Dua bidang sejajar samadengan nol.

Definisi :

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalahsudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan(sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garislagi pada bidang yang kedua), garis-garis tersebut tegaklurus terhadap garis potong antara kedua bidangtersebut.

Misalkan bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong(α,β), sudut antara bidang α dan bidang β ditentukan melaluilangkah :

1. Ambil sembarang titik P pada garis potong (α, β).

P

2. Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α, dangaris PR pada bidang β yang masing-masing tegaklurus terhadap garis potong (α, β).

P

Q

R

3. Sudut QPR ditetapkan sebagai sudut antara bidang αdan β yang berpotongan (sudut tumpuan).

P

Q

R

4. Jika bidang α tegak lurus dengan bidang β makabesar sudut antara bidang α dan β sama dengan90⁰, dan sebaliknya.

5. Jika sudut antara dua bidang itu bukan sudutistimewa, maka perhitungan dilakukan melalui nilaiperbandingan trigonometri dari sudut tersebut.

P

Q S

R

Contoh 1

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10cm

a) Hitunglah besar sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD!

b) Titik-titik P dan Q berturut-turut adalah titiktengah rusuk tegak BF dan CG. Hitunglahsinus sudut antara bidang EPQH dan bidangEFGH!

Jawaba.

b.

Contoh 2

Pada limas segiempat T.ABCD. Bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan TA = TB = TC = TD = 13 cm. Sudutα adalah sudut antara bidang TBC denganbidang alas ABCD dan sudut β adalah sudutantara bidang TAB dengan bidang TCD.

a. Hitunglah tan α

b. Hitunglah cos β

Jawab

a.

Irisan Bangun Ruang

K

M

F

D

A B

C

E

GH

P

R

Q

L

SU

T

Bidang yang mengiris bangun ruang akanmembagi bangun ruang menjadi dua bagian

Bidang irisan ini berupa segi banyak yang sisi-sisinya merupakan garis potong bidangpengiris dengan bidang-bidang sisi bangunruang tersebut.

Bidang yang terbentuk dari irisan bidangpengiris dan bangun ruang disebut bidangirisan.

Bagaimana cara melukis irisan bangun ruang ?

2. Perpotongan Bidang Diagonal

1. Sumbu Afinitas

3. Perluasan Sisi Tegak

Salah satu cara untuk melukis irisanadalah dengan membuat Sumbu Afinitas(garis koliniasi = garis dasar)

Sumbu afinitas adalah garis potongbidang pengiris dengan bidang alas.

Dua titik menentukan garis. Garis dapat diperpanjang pada

kedua ujungnya. Bidang dapat diperluas.

Postulat yang diperlukan dalammelukis bidang irisan:

1. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletaksebidang pada bangun ruang.

2. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut.

3. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruangsehingga memotong garis pada langkah 2.

4. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangunruang. Garis yang diperoleh adalah sumbuafinitas.

5. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut.

LANGKAH-LANGKAH MELUKIS

CONTOHDiketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik-titik P, Q, dan R berturut–turut terletak pada pertengahan AB, CG, dan GH. Lukislah bidangirisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R!

C

BA

D

E

H G

F

Q

R

P

K

L

M

F

D

A B

C

E

GH

P

Q

R

Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

K

S

T

L

Lukislah bidang irisan

limas T.ABCD yang melalui

titik P, Q, dan R

B C

D

A

T

R

Q

P

K

L

M

S

K

L

M

FG

A

E

D

B

C

H

QP

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik E, P, dan Q

R

Lukislah bidang irisan limas T.ABCD yang melalui titik P, Q, dan R

dengan titik Q pada bidang TCD.

L

K

B C

D

A

T

R

Q

P

S

U

TQ’

1. Menggambar irisan bangun ruang dengan cara

perpotongan bidang diagonal dilakukan dengan

memanfaatkan garis potong bidang diagonal bangun

ruang tersebut.

2. Menggambar irisan dengan cara ini tidak memerlukan

perluasan daerah gambar, tetapi jika alasnya merupakan

segi-n dengan n yang cukup besar, maka gambarnya

menjadi lebih rumit.

Perpotongan Bidang Diagonal

A B

CD

EF

GH

P

Q

R


K

L

MS

B C

D

A

T

R

Q

P

S


K

L

FG

A

E

D

B

C

H

QP


L

K

M

R

Menggambar irisan bangun ruang dengan cara

perpotongan perluasan sisi tegak dapat dilakukan jika

sisi-sisi tegaknya berpotongan pada daerah bidang

gambar, bukan di luar bidang gambar.

Perluasan Sisi Tegak


E

KB C

D

A

T

P

Q

R

S

FG

A

E

D

B

C

H

QP


R

K

L

S

A B

CD

EF

GH

P

Q

R

K

L

M

S

T

U


A

D

B

C

E F

GH

R

P

Q


K

L

M

S

T

U

Lukislah bidang irisan

kubus ABCD.EFGH yang

melalui titik P, Q, dan R.

Dimana R pada

perpanjangan DH dan Q

pada bidang BCGF

Q’L

N

P

Q

A B

CD

EF

GH

R

M

S

T

U

N

V

P

Q

A B

CD

EF

GH

R

R’

T

S

K

L

M

N

U


Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui

titik P, Q, dan R

A

B C

D

E

F G

H

P

Q

R

K

M

S

L

Lukislah bidang irisan prisma ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R

A

B C

D

E

F G

H

P

Q

R

I

J

K

S

Merci (:

Download - Kapita Selekta Matematika "Garis Terhadap Bidang

Top Related