Hitung Perataan Kuadrat Terkecil

Prinsip Kuadrat TerkecilDari suatu pengukuran yang tidak saling bergantung (independent): d1, d2, d3, d4, ...., dn. Dari pengukuran tersebut dapat dicari nilai rata-rata (d) yang merupakan nilai yang paling mungkin (Most Probable Value)

Residual masing-masing pengukuran:V1 = d1 – d

V2 = d2 - d

V3 = d3 - d

Vn = dn - d

d adalah besaran variabel yang mempunyai nilai probabilitas yang paling tinggi, probabilitas d yang maksimum diperoleh

jika: jumlah kuadrat residual minimun

Persamaan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

∑ v2 = v12 + v2

2 + v32 +....vn

2 = minimun............(1)

∑ v2 = (d1-d)2 + (d2-d)2 + (d3-d)2 + ...+ (dn-d)2 = minimun...........(2)

Hitung Kuadrat Terkecil Metode KondisiDalam Metode Kondisi dibuat satu set persamaan independen yang merupakan fungsi dari besaran-besaran pengukuran. Jumlah persamaan yang dibentuk adalah jumlah pengamatan dikurangi syarat minimal pengamatan

r = n – u

r = banyaknya persamaan kondisin = jumlah pengamatanu = syarat minimal pengamatan

Contoh kasusPengukuran Jarak AB diukur 5 kali d1,d2,d3,d4,d5

Persamaan yang dapat dibentuk:1) d1 – d2 = 02) d2 – d3 = 03) d3 – d4 = 04) d4 – d5 = 05) d1 – d3 = 06) d2 – d4 = 07) d3 – d5 = 08) d1 – d4 = 09) d2 – d5 = 010) d1 – d5 = 0

A B

Penyelesaian step 1Menghitung jumlah persamaan kondisi

1. Menghitung jumlah persamaan kondisinyaDari 10 persamaan yang dapat dibentuk tersebut dipilih sejumlah r persamaan yang independent.

n = 5u = 1Maka r = n – u = 5 – 1 = 4

Empat persamaan pertama merupakan sistem persamaan yang independent (bukan merupakan fungsi dari persamaan-persamaan yang lain)

Penyelesaian step 2Membuat persamaan kondisi1) d1 – d2 = 02) d2 – d3 = 03) d3 – d4 = 04) d4 – d5 = 0

Karena d1, d2, d3, d4 dan d5 merupakan hasil pengukuran, maka masing-masing mempunyai kesalahan acak sehingga persamaan diatas dapat ditulis

5) (d1+v1) – (d2+v2) = 0 v1-v2 + (d1-d2) = 06) (d2+v2) – (d3+v3) = 0 v2-v3 + (d2-d3) = 07) (d3+v3) – (d4+v4) = 0 v3-v4 + (d3- d4) = 08) (d4+v4) – (d5+v5) = 0 v4-v5 + (d4-d5) = 0

v1, v2, v3, v4 dan v5 (nilai yang akan dicari) merupakan nilai koreksi terhadap hasil pengukuran d1, d2, d3, d4 dan d5

Penyelesaian step 3Konversi persamaan kondisike matriks W + B. V = 0

Nilai v yang akan dicari adalah yang memenuhi sistem persamaan dengan kondisi jumlah kuadrat v (∑v2) harus minimum.

Jika persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks d1-d2 1 -1 0 0 0 v1 d2-d3 0 1 -1 0 0 v2 d3- d4 + 0 0 1 -1 0 v3 = 0 d4-d5 0 0 0 1 -1 v4 v5

W + B . V = 0

Penyelesaian step 3Cari nilai K dan V dengan rumus dibawah iniUntuk mencari matriks V (koreksi)V = BTK, dalam hal ini : K = - (BBT)-1.W

Nilai V yang didapat kemudian dikoreksikan terhadap besaran pengamatan (Lb), sehingga didapat nilai estimasi besaran yang diamat (La)

Penyelesaian step 4koreksikan data pengukuran (La) dengan nilai residu (v) yang didapatJika persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriksLa = Lb + v

d1 d1 v1 d2 d2 + v2 d3 = d3 v3 d4 d4 v4 d5 d5 v5

Pengamatan = Lb (mengandung kesalahan acak)Koreksi = VPengamatan Terkoreksi = La

Contoh kasus Pengukuran Panjang

D1 = 50,54D2 = 50,56

Cari nilai Estimasi AB

A B

Solusi pengukuran panjang1. Persamaan Kondisi

n = 2u = 1 r = n – u = 2 – 1 = 1

(d1 +v1) – (d2+v2) = 0d1-d2+v1-v2 = 0v1-v2+ (d1-d2) =0

2. W + B . V = 0F (Lb) + ∂ F / ∂ Lb . V = 0d1 – d2 + v1 – v2 = 0(50,54 – 50,56) + v1 – v2 = 0, dibuat matriksnya menjadi :

-2 + 1 -1 v1 = 0 v2

Solusi pengukuran panjang (lanjutan)3. Mencari Nilai Matriks Koreksi (V)

V = BTK, dimana K = - (BBT)-1.W

K= - 1 -1 1 -1 -2 -1

= - 2 -1 -2 = 1

V = BTK V = 1 1 = 1 -1 -1

Solusi pengukuran panjang (lanjutan)Didapat harga pengukuran terkoreksi :La = Lb + v d1 50,54 0,001 = +d2 50,56 -0,001

d1 = 50,55, d2 = 50,55 maka jarak AB terestimasi adalah 50,55

Pengukuran Beda Tinggi

h1 h2

h3

Diketahui tinggi titik A (HA) = 100,510 mDari pengukuran sipat datar diperoleh:H1 = 2,343 m (beda tinggi AB)H2 = 1,562 m (beda tinggi BC)H3 = 3,902 m (beda tinggi AC)Jarak AB = 1 kmJarak BC = 2 kmJarak AC = 3 km

Tentukan tinggi titik B (HB) dan titik C (HC)

C

B

A

Hitung Perataan Kuadrat Terkecil Metode Parameter

Hitung Kuadrat Terkecil metode parameter merupakan metode perataan kuadrat terkecil dengan model matematik yang disusun berdasrkan parameter yang dicari dan besaran ukuran merupakan fungsi dari parameter

Model matematik merupakan model persamaan linier sehingga semua persamaan harus dilinearkan terlebih dahulu menggunakan deret taylor

Model matematikLa = F (Xa)

La = nilai teoritis besaran ukuranXa = nilai teoritis parameter

La = F (Xa)Lb + v = F (Xo + X)

La = besaran ukuran terkoreksiXa = besaran parameter terkoreksiLb = harga ukuranV = Residual (koreksi harga ukuran)Xo = nilai pendekatan parameterX = nilai koreksi parameter

V = Ax + L = Ax + (Xo)-Lb dengan X = Xa – XoDapat dituliskan dalam bebtuk matriks v1 a11 a12 ... a1u x1 L1 v2 a21 a22.... a2u x2 L2 v3 = a31 a32.... a3u x3 + L3

vn an1 an2.... anu xu Lu

• V = Matriks residu dengan dimensi (nx1)

• A = Matriks koefisien dengan dimensi (nxu) yang didapatkan dari proses differensial parsial terhadap parameter yang dicari

• X = Matriks Parameter dengan dimensi (n x 1)

• L = Matriks sisa dengan dimensi (nx1)

nV1

nAu uX1 nL1

Apabila Pengamatan dengan bobot:P = σ0

2 ∑ Lb -1 = σ02/ σLb

2

σ02 = Varian apriori

σLb2 = Varian ukuran

Untuk mencari besaran parameter terkoreksi:V= Ax + LX = -(AT PA)-1 ATPLXa = Xo + X

D1 = 32,51 mD2 = 32,48 mD3 = 32, 52 mD4 = 32, 53 m

Tentukan jarak AB dari hasil perataan dengan metode parameter

A B

Penyelesaian 1Menyusun persamaan pengamatan:

n = 4 (Jumlah pengamatan)n0 = 1 (Banyaknya variabel yang dibutuhkan)u = 1 (Banyaknya parameter /(d))r=n – n0 = 4 – 1 = 3 (banyaknya ukuran lebih)Jumlah Persamaan:r + u = 3+1 = 4 (banyaknya persamaan)

Penyelesaian 1Menyusun persamaan pengamatan:

La = F (Xa)Lb + V = F (Xo + X)L1 + V1 = Xo + X V1 = X + Xo –

L1L2 + V2 = Xo + X V2 = X + Xo –

L2L3 + V3 = Xo + X V3 = X + Xo – L3L4 + V4 = Xo + X V4 = X + Xo – L4

Penyelesaian 2 Linearisasi dengan deret taylorV = AX + LMatriks A diperoleh dari deferensiasi dari F

(Persamaan pengamatan)A =∂F / ∂X, dalam hal ini ∂V1 / ∂X = 1 ∂V2 / ∂X = 1 ∂V3 / ∂X = 1 ∂V4/ ∂X = 1

Persamaan pengamatan dapat ditulis dalam matriksV1 1 L1V2 1 L2V3 = 1 x + L3V4 1 L4

Persamaan pengamatan dapat ditulis dalam matriks

V1 1 Xo - L1 X0 = Rata-rata , L1 : data ukuran

V2 1 Xo - L2V3 = 1 x + Xo - L3V4 1 Xo - L4V1 1 0V2 1 0,03V3 = 1 x + -0,01V4 1 -0,02

Penyelesaian 2 Linearisasi dengan deret taylor

Penyelesaian 3 Menghitung koreksi Parameter dan Parameter TerkoreksiRumus:

X = -(AT PA)-1 ATPLDidapat X = 0

Xa = Xo + XXa = 32, 51 + 0 = 32,51

Latihan: Pemotongan ke mukaengukuran koordinat

A

B

B2

B1

C??

Hitung Koordinat C pada pengukuran pemotongan kemuka tersebut dengan metode parameter jika diketahui:A (1000; 1000)B ( 1072,64 ; 1012,1210S1 = 40 °38 ’30”S2 = 51 ° 55’ 21”D1 = 58, 027 mD2 = 47, 9 m

D1 D2