Download - Handout Fix
-
7/26/2019 Handout Fix
1/44
1
Pendahuluan
1.
Sistem Koordinat Tegak Lurus
Sebagaimana layaknya titik pada bidang, letak suatu titik pada ruang juga
dapat dinyatakan dalam urutan bilangan-bilangan tertentu yang lebih dikenal
dengan istilah sistem koordinat.
Suatu system koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan dengan memilih
suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling
tegak lurus dan berpotongan di suatu titik, dan ditentukan pula oleh himpunan
semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilang nyata.
Dengan melukis sebarang dua garis XOX dan YOY yang saling tegak lurus,
maka akan tertentu sebuah bidang XOY. Melalui titik O kemudian dilukis
sebuah garis ZOZ yang tegak lurus bidang XOY sedemikian sehingga ketiga
garis tersebut masing-masing saling tegak lurus. Ketiga garis XOX, YOY, dan
ZOZ disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat tegak lurus. Selanjutnya
disingkat sebagai sumbu X, Y, dan Z.
Ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang , menentukan tiga buah bidang XOY,
XOZ, dan ZOX atau secara singkat ditulis bidang XY, XZ, dan YZ. Masing-
masing disebut bidang-bidang koordinat tegak lurus.
Q
A
X
Y
Z
O
P
R
S
B
C
-
7/26/2019 Handout Fix
2/44
2
Jika diambil salah satu titik sudut dari balok di atas, misalkan titik P. Titik P
merupakan sebarang titik pada ruang. Melalui P dapat dilukis tiga buah bidang
yang masing-masing sejajar dengan bidang koordinat dan tentu akan tegak
lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Misalkan memotong sumbu-X di A,sehingga OA = x, memotong sumbu-Y di C sehingga OC=y, dan memotong
sumbu-Z di R, sehingga OR = z. Ketiga bilangan x, y, dan z dengan urutan
(x,y,z) disebut koordinat dari titip P dan dapat dituliskan P(x,y,z) dengan x
disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat.
Oleh karena itu, setiap titik pada ruang dapat diwakili oleh satu dan hanya satu
bilangan-bilangan nyata (x,y,z), begitu juga sebaliknya setiap tripel terurut
bilangan-bilangan nyata (x,y,z) memiliki satu dan hanya satu titik di dalam
ruang. Masing-masing satuan x, y, dan z dapat bernilai positif atau negative
tergantung arah pengukurannya.
Dengan diterapkannya system tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi 8
bagian. Masing-masing bagian disebut Oktan dan diberi nomor menurut
aturan sebagai berikut:
Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0
Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0
Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0
Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0
Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0
Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan < 0
Oktan VII berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0
Oktan VIII berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0
2. Jarak Antara Dua Titik di Ruang
Jika diketahui sebarang dua titik pada ruang, misalkan titik K(x1, y1, z1) dan
titik Q(x2, y2, z2) maka jarak antara kedua titik dapat ditentukan.
Perhatikan gambar balok pada ruang berikut:
Perhatikan bahwa:
LM = |x2-x1|
KL = |y2-y1|
K L
MN
O
PQR
-
7/26/2019 Handout Fix
3/44
3
MQ = |z2-z1|
Sehingga, menurut aturan Phytagoras akan diperoleh:
KM
2
= LM
2
+ KL
2
= |x2-x1|
2+ |y2-y1|2
KQ2 = KM2+ MQ2
= |x2-x1|2+ |y2-y1|
2+ |z2-z1|2
Dengan demikian, diperoleh:
Jika titik K merupakan titik asal O (0, 0, 0), maka jarak antara titik K dan Q
ditentukan oleh rumus:
Contoh:
1. Tentukan jarak antara dua titik berikut:
a. P(7, 3, 0) dan Q(5, 1, -1)
b.
K(0, 0, 0) dan R(4, 3, 0)
Penyelesaian;
a. Jarak antara titik P dan Q, yaitu:
3
144
0131)75( 222
PQ
b. Jarak antara titik K dan R, yaitu:
5
0916
0003)04( 222
KR
3. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Garis atas Perbandingan m : n
Misalkan sebarang dua titik P(x1, y1, z1) dan Q(x2, y2, z2). Jika terdapat titik
R(x, y, z) membagi ruas garis PQ atas dua bagian dengan PR : RQ = m : n,maka koordinat dari titik R dapat ditentukan sebagai berikut:
KQ = 2122
12
2
12 zzyyxx
KQ = 222
2
2
2 zyx
-
7/26/2019 Handout Fix
4/44
4
Gambarlah PL, QM, dan RN
tegak lurus bidang XOY. LNM
adalah perpotongan bidangXOY dengan bidang PRQMNL.
Tarik HRK//LNM. HPR
sebangun dengan KQR.
nm
nzmz
zz
zzz
NRMQ
LPNR
KQ
HP
QR
PR
n
m
12
12
1
Dengan cara yang analog, maka akan diperoleh:
nm
nxmxx
12
nm
nymyy
12
Jadi, koordinat titik R, yaitu:
Dengan demikian, koordinat titik tengah (m : n = 1 : 1), yaitu:
Secara umum, kita tulis perbandingan m : n = k, dimana k boleh positif
ataupun negative. Tanda positif atau negative tergantung apakah R terletang
diantara P dan Q atau pada perpanjanganya. Berikut ini beberapa
ketentuannya:
Jika: k > 0, R terletak diantara P dan Q
-1 < k < 0, R terletak di perpanjangan QP
k = -1 , R terletak di tak berhingga
k < -1, R terletak di perpanjangan PQ
dalam hal ini, koordinat R menjadi:
Z
X
Y
L NM
P
HK
Q
m
nR
nm
nzmz
nm
nymy
nm
nxmxR 121212 ,,
2,
2,
2
121212 zzyyxxR
k
zkz
k
yky
k
xkxR
1,
1,
1
121212
-
7/26/2019 Handout Fix
5/44
5
dimana k -1
Contoh:
Tentukan koordinat titik R yang membagi ruas garis PQ denganperbandingan -4 : 1, dimana P(-4, 5, -6) dan Q(2, -4, 3).
4.Vektor
Vektor didefinisikan sebagai ruas garis lurus yang mempunyai arah.
Notasi:Vektor dituliskan dengan dua huruf kapital serta satu strip atau tanda
panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan
huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Vektor juga sering diberi nama
dengan hurup kecil yang dicetak tebal.
Vektor diatas dinotasikan denga:AB atau a
Panjang vektor
AB dinotasikan dengan AB atau
a
Vektor Nol, jika titik awal dan titik ujungnya berimpit.
Kesamaan vector-vektor.Vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris
serta mempunyai panjang dan arah yang sama. Jika sebuah vektor arahnya
berlawanan dengan a tetapi memiliki panjang yang sama maka dinyatakan
dengana.
Jumlah dari dua Vektor
A
B
a
a
a
b
ba
a
-
7/26/2019 Handout Fix
6/44
6
Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah vektor c = a + b yang dapat
ditentukan dengan metode segitiga atau dengan metode jajar genjang.
Metode Segitiga. Tempatkan titik ujung vektor a berimpit dengan titik awal
vektor blalu hubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b.
Metode Jajar genjang. Tempatkan titik-titik awal vektor a dan b secara
berimpit, lalau membentuk sebuah jajar genjang dengan dua buah sisinya a
serta b. Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang tersebut yang
bertitik awal pada titik awal adan b.
Selisih Dua Vektor: absama artinya dengan menjumlahkan adenganb.
jadi
ab = a + (-b)
Jika a, b,dan cvektor serta m, n skalar-skalar, maka beberapa Hukum yang
berlaku pada operasi vektor adalah sebagai berikut:
1) a + b= b+ a
2) a+ (b+ c) = (a+ b) + c
3) ma= am
a
b
a
b
bac
a
b
a
b
bac
a
b
a
b
bac
-
7/26/2019 Handout Fix
7/44
7
4) m(na) = (mn)a
5) (m + n) a= ma+ na
6) m (a+ b) = ma+ mb
1.
Vektor dan Sistem KoordinatSuatu vektor dikatakan vektor satuan jika panjangnya satu. Sekarang coba
perhatikan sistem koordinat Cartesian berikut;
Vektor di atas dapat dituliskan:
i = 1i + 0j + 0k
j = 0i + 1j + 0k
k = 0i + 0j + 1k
Atau:
i = [1, 0, 0]
j = [0, 1, 0]
k = [0, 0. 1]
Pandang sebarang vektor ayang titik awalnya (0, 0, 0) dan titik ujungnya titik
(a1, a2, a3). Maka menurut metode segitiga diperoleh:
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3].
Bilangan-bilangan a1, a2, a3disebut komponen-komponen dari vektor a. Vektor
a disebut sebagai vektor posisi
X
Y
Z
i
j
k
-
7/26/2019 Handout Fix
8/44
8
Panjang (besar) vektor a:
Jika titik pangkalnya tidak di (0, 0, 0). Misalkan titik pangkalnya pada titik P
(p1, p2, p3) dan titik ujungnya pada titik Q (q1, q2, q3), maka vektor
PQ= [(q1-
p1),( q2-p2), (q3p3)]
2.
Perkalian Titik (Dot Product)
Jika adan bvektor, adalah sudut antara vektor adan vektor bdengan
0 , maka hasil kali titik antara vektor adan vektor bmemenuhi:
Vektor adan vektor bjuga memenuhi operasi:
1)
a . b = b . a
2) a. (b + c) = ab+ ac
3) m (a. b) = (ma).b= a(mb) = (ab) m
4) Jika a = [a1, a2, a3] dan b = [b1, b2, b3] maka:
a . b= [a1i+ a2j+ a3k] . [b1i+ b2j+ b3k]
= (a1b1) i.i + (a2b1)j.i + (a3b1)k.i + (a1b2)i.j + (a2b2)j.j +
(a3b2)k.j
+ (a1b3)i.k+ (a2b3)j.k+ (a3b3)k.k
X
Y
Z
a1i
a2j
a3k
[a1, a2, a3]
-
7/26/2019 Handout Fix
9/44
9
= a1b1+ a2b2+ a3b3
=
3
1j
jjba
5)
a.a= a1+ a2+ a3= |a|2
6) a.b = 0 (a 0, b 0) a tegak lurusb
Contoh:
Tentukan a.bdan cosinus sudutnya jika diketahui a= [3, 4, 6] dan b= [-1, 4,
8].
Solusi:
a.b= (3)(-1) + (4)(4) + (6)(8)
= -3 + 16 + 48
= 61
|a| = 222 643
= 36169
= 61
|b| = 222 841
= 64161
= 81
= 9
ba
baCos
.
. =
)9(61
61
3.
Pekalian Silang (Cros Product)
Jika adan bvektor, adalah sudut antara vektor adan vektor bdengan
0 , maka hasil kali siang antara vektor adan vektor bmemenuhi:
Dimana u adalah vektor satuan yang tegak lurus bidang (a,b).
Vektor adan vektor bjuga memenuhi operasi:
1)a x b = -b x a
-
7/26/2019 Handout Fix
10/44
10
2) ax (b + c) = a x b+ a x c
3) m (ax b) = max b= ax mb= (a x b)m
4) i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k, j x k = i, k x i = j5) Jika a = [a1, a2, a3] = a1i + a2j + a3k
b = [b1, b2, b3] = b1i + b2j + b3k
maka:
a x b=
21
21
13
13
32
32,,
bb
aa
bb
aa
bb
aa
=
321
321
bbb
aaa
kji
6) Panjang a x b yaitu |a x b|= |a||b| sin menyatakan luas jajar
genjang yang dua buah sisinya a dan b
7) Panjang ax b= 0 dan a 0, b 0 maka asejajar dengan b
Contoh:
Jika a= [2, 1, 1] dan b= [-3, 6,7] tentukan ax b!
Latihan Soal:
1. Jika ruas garis yang menghubungkan P (3, 1, -1) dan P2(-1, 2, 1) tegak
lurus dengan ruas garis yang menghubungkan titik P3 (-3, 2, 4) dengan titik
P4(x, -2, 3). Tentukan nilai x!
2. Hitunglah luas segitiga ABC dengan A (1,3,2), B(2, -1, 1) dan C (-1, 2, 3)!
4.Arti Suatu Pesamaan
Hubungan di antara koordinat-koodinat x, y, z yang dinyatakan oleh suatu
persamaan f (x, y, z) = 0 merupakan suatu persamaan (bidang lengkung
ataupun bidang rata).
Persamaan yang bebas dari suatu peubah (variabel):
Persamaan f (x, y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar Z
-
7/26/2019 Handout Fix
11/44
11
Persamaan f (x, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar Y
Persamaan f (y, z) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan
semua garis pelukisnya sejajar X
Contoh:
1 Persamaan 5x + 2y + 4z = 0 menyatakan permukaan bidang datar
2 Persamaan x2+ y2 + z2= 9 menyatakan suatu permukaan yang berbentuk
bola.
5.
Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat
Jika pada garis lengkung c: f(x, y, z) = 0 dan g(x, y, z) = 0 salah satu
variabelnya dieliminasi (misalnya variabel z) maka akan diperoleh persamaan:
F (x, y) = 0 merupakan silinder yang garis pelukisnya sejajar sumbu Z serta
melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c ke bidang
XOY. Jadi proyeksinya mempunyai persamaan F (x,y) = 0 ; z = 0. Untuk
proyeksi ke bidang YOZ dan XOZ dapat dijelaskan analog dengan cara di atas.
Contoh:
Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola:
x2+ y2+ z2= 1(1)
x2+ (y1)2+ (z1)2= 1..(2)
ke bidang XOY!
Penyelesaian:
Kita tentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan (1)
dan (2), diperoleh: z = 1y (3)
Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (1) atau (2), diperoleh:
x2+ y22y = 0 merupakan persamaan silinder proyektor.
Jadi persamaan proyeksi: x2+ y22y = 0
z = 0
-
7/26/2019 Handout Fix
12/44
12
yang dapat dijabarkan menjadi: 0,1
41
)2
1(
21
22
zyx
merupakan persamaan
ellips dengan pusat (0, , 0) dan direktrik 22
1dan
2
1
-
7/26/2019 Handout Fix
13/44
13
II
Bidang Rata Dan Garis Lurus
2.1
Persamaan Vektoris Bidang Rata
Suatu bidang rata akan tertentu apabila diketahui tiga buah titik (yang tidak
segaris) yang terletak pada bidang rata tersebut.
Misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V:
P (x1, y1, z1)
Q (x2, y2, z2)
R (x3, y3, z3)
PQ = [x2x1, y2-y1, z2-z1]
PR = [x3-x1, y3-y1, z3-z1]
Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada bidang rata V berlaku:
PX = PQ + PR ; (-
-
7/26/2019 Handout Fix
14/44
14
2.2 Persamaan Linier Bidang Rata
Jika dan di eliminasi dari persamaan (3) dan (4) akan diperoleh:
C
xxyyyx
C
yyxxxy
aa
bb
)()(
)()(
11
11
Dengan C= xaybyaxb=bb
aa
yx
yx..(6)
Dimana C 0
Kemudian, jika dan di atas disubstitusikan ke persamaan (5) maka akan
diperoleh:
C (zz1)za{yb( xx1)xb(yy1)}- zb{xa(yy1)ya(xx1)} = 0
C (zz1)zayb( xx1) + zaxb(yy1)- zbxa(yy1) + zbya(xx1)= 0
C (zz1)zayb( xx1) + zbya(xx1)+ zaxb(yy1)- zbxa(yy1) = 0
(yazbzayb)( xx1) + (zaxb -xazb) (yy1) + C (zz1)= 0
(yazbzayb) x(yazbzayb) x1+ (zaxb -xazb)y(zaxb -xazb) y1+ C zC z1=
0
(yazbzayb) x + (zaxb -xazb)y + Cz(yazbzayb) x1(zaxb -xazb) y1C z1=
0 (7)
Jika:
yazbzayb =bb
aa
zy
zy=A
zaxb -xazb=bb
aa
xz
xz= B
Ax1+ By1+ Cz1= -DMaka persamaan (7) dapat dituliskan:
..(8)
yang merupakan persamaan linier ( Persamaan Umum)bidang rata.
2.3 Vektor Normal dari Bidang Rata V : Ax + By + Cz + D = 0
Perhatikan kembali persamaan (8). Terlihat bahwa Vektor [A, B, C]:
Ax + By + Cz + D = 0
-
7/26/2019 Handout Fix
15/44
15
[A, B, C] = kyx
yxj
xz
xzi
zy
zy
bb
aa
bb
aa
bb
aa
=bbb
aaa
zyxzyx
kji
= ax b
Merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh adan
b, dalam hal ini bidang rata V: Ax + By + Cz + D = 0
n = [A, B, C] disebut vektor normaldari bidang rata V = 0 tersebut.
Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu
titik (x1, y1, z1) dengan vektor normal [A, B, C] persamaannya berbentuk:
..(9)
Beberapa hal khusus dalam persamaan bidang rata (V: Ax + By + Cz + D =
0), diantaranya:
a.
Jika D = 0 maka bidang rata V melalui titik O (0, 0, 0) dan sebaliknya
b. Jika D 0 maka persamaan bidang V: Ax + By + Cz + D = 0 akan
memotong sumbu X pada titik (A
D, 0, 0), memotong sumbu Y pada titik
(0,B
D,0), dan memotong sumbu Z pada titik (0, 0,
C
D)
c. Bila A = 0, bidang V sejajar sumbu X
Bila B = 0, bidang V sejajar sumbu YBila C = 0, bidang V sejajar sumbu Z
d. Bila A = B = 0 , bidang V sejajar bidang XOY
Bila A = C = 0, bidang V sejajar bidang XOZ
Bila B = C = 0, bidang V sejajar bidang YOZ
Contoh:
A (x x1) + B (y y1) + C (z z1) = 0
-
7/26/2019 Handout Fix
16/44
16
Tentukan Persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier
(umum) dari bidang rata yang diketahui melalui titik P (1, 2, 2), Q (2, 4, 5), dan
R(1, 2,6)!
Penyelesaian:
Persamaan vektoris:
[x, y, z]= [1, 2, 2]+[2-1, 4-2, 5-2]+ [1-1, 2-2, 6-2]
=[1, 2, 2] + [1, 2, 3] + [0, 0, 4]
Persamaan parameternya:
x = 1 +
y = 2 + 2
z = 2 + 3+ 4
Persamaan Linier (umum):
Untuk menentukan persamaan Liniernya, dapat dilakukan dengan mencari
vektor normalnya terlebih dahulu:
[A, B, C]= [1, 2, 3] x [0,0,4]=[(2)(4)-(0)(3), (3)(0)-(4)(1), (1)(0)-(0)(2)] = [8,
-4, 0]
Sehingga persamaan bidang yang melalui titik P (1, 2, 2) dengan vektor
normal [8, -4, 0] yaitu:
8 (x -1) + (-4)(y -2) + 0 (z2) = 0
8x84y + 8 = 0
8x4y = 0
2xy = 0
Dengan melakukan manipulasi aljabar dari persamaan (7) maka:
1. Persamaan bidang rata yang melalui titik P(x1, y1, z1) dengan vektor arah a
= [xa, ya, za] dan b= [xb, yb, zb] dapat ditentukan dengan rumus:
0
111
bbb
aaa
zyx
zyx
zzyyxx
.(10)
-
7/26/2019 Handout Fix
17/44
17
2. Persamaan bidang rata yang diketahui melalui tiga titik yang berbeda P (x1,
y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), yaitu:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
..(11)
3. Empat buah titik P (x1, y1, z1), Q (x2, y2, z2), R (x3, y3, z3), dan S(x4, y4, z4)
akan sebidang jika dan hanya jika:
0
141414
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
.(12)
Contoh:Tentukan Persamaan Linier bidang rata yang melalui titik-titik: (2, -1, 1), (3, 2,
1), dan (-1, 3, 2).
Penyelesaian:
Dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
0
121321
111223
112
zyx
0
143
031
112
zyx
((3)(1)-(4)(0))(x -2) + ((0)(-3)-(1)(1))(y + 1) + ((1)(4)-(-3)(3))(z -1) = 03 (x2) - 1 (y + 1) + 13 (z1) = 0
3x6 - y - 1 + 13z13 = 0
3x - y + 13z20 = 0
Latihan Soal
1. Tentukan titik-titik potong bidang rata: 3x 4y + 2z + 8 = 0 tehadap
ketiga sumbu koordinat!
-
7/26/2019 Handout Fix
18/44
18
2. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang
melalui (1, 2, 1), (3, 2, 1), dan (4, 1, -1)!
3. Tentukan persamaan Linier (umum) bidang rata pada soal nomor 2!
4.
Tuliskan persamaan linier bidang rata yang melalui P1(-1, 2, 3), P2(3, 1,1), dan P3(1, 3, -2)
5. Tuliskan persamaan parameter bidang rata yang melalui A (4, 3, 1), B(-2,
3, 5), dan C (6, 2, 5)!
2.4 Persamaan Normal Bidang Rata
Diketahui sebuah bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0, maka n= [A, B, C]
merupakan vektor normal dari bidang H. Jika , , berturut-turut merupakan
sudut antara n dengan sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh
vektor i, j , dan k)
Dengan menggunakan aturan
cosines, maka diperoleh:
Cos =n
A
Cos =
n
B ..(13)
Cos =n
C
Dengan menggunakan (13), dapat dijabarkan vektor berikut:
[cos, cos , cos ]=n
n
n
CBA
],,[..(14)
Merupakan vektor satuan yang searah dengan n.
Vektor
n= [cos, cos , cos ]disebut vektor cosinus dari bidang H, atau
disebut juga vektor normal yang panjangnya satu.
Misalkan p adalah jarak antara titik O(0. 0. 0) ke bidang H (tentu p 0),
dan X (x, y, z) sebarang titik pada bidang H maka p adalah proyeksi OX pada
n, sehingga:
p = OX .
n = [x, y, z][ cos, cos , cos ]= x cos+ y cos+ z cos
-
7/26/2019 Handout Fix
19/44
19
atau:
. (15)
Persamaan (15) merupakan persamaan Normal (HESSE)bidang H.
Jika diketahui persamaan umum dari bidang rata H: Ax + By + Cz + D = 0,
maka persamaan ini dapat diubah ke persamaan normal dengan
menggunakan formula berikut:
n (x cos+ y cos+ z cos )= - D.(16)
Karena jarak (p) tidak pernah negative, maka:n
D= p positif sehingga:
Jika D negatif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan+n
Jika D positif, bagi masing-masing ruas persamaan (16) dengan - n
Contoh:
1. Tentukan persamaan Normal dari bidang rata H: 6x + 3y2z - 6 = 0.
Penyelesaian:
Diketahui D =- 6 (negatif)
Vektor normal dari H: n= [6, 3, -2] maka n = 74936
Jadi persamaan normalnya:7
6
7
2
7
3
7
6 zyx
2. Tentukan Persamaan Normal (HESSE) dari bidang rata K: x + 4y + 8 z
+ 25 = 0. Berapa satuan jaraknya dari Titik O (0, 0, 0)?
2.5 Sudut Antara Dua Bidang Rata
Sudut antara dua bidang rata adalah sudut antara vektor-vektor normalnya.
Jika diketahui dua bidang rata
H1 : A1x + B1y + C1z + D = 0 dan H2: A2x + B2y + C2z + D = 0, maka sudut
antar kedua bidang tersebut adalah sudut antara vektor n1= [a1, b1, c1]dan
n2= [a2, b2, c2] yaitu:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
121
21
.
212121.cos
CBACBA
CCBBAA
nn
nn
.(17)
Contoh:
x cos
+ y cos
+ z cos
= p
-
7/26/2019 Handout Fix
20/44
20
Tentukan sudut antara 2x + y + z + 4 = 0 dan 3x + 4y + z10 = 0
Penyelesaian:
n1= [2, 1, 1] dan n2= [3, 4, 1]
sehingga:15611
266146
1169.114)1)(1()4)(1()3)(2(]1,4,3[.]1,1,2[cos
21
nn
Catatan:
1. Jika dua bidang rata V1 dan V2 sejajar, maka n1 sama dengan n2 atau
berkelipatan. Dengan kata lain [A1, B1, C1] = [A2, B2, C2] dengan 0
2. Jika dua bidang rata V1 dan V2 saling tegak lurus maka hasil kali titik
dari vektor normalnya sama dengan nol. Dengan kata lain n1.n2= A1A2
+ B1B2+ C1C2= 0
Contoh:
1. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui titik P (1, 2, -1) dan
sejajar dengan bidang rata 2x + 3y + - 10 = 0
Penyelesaian:
2. Tentukan persamaan bidang rata yang melaui O (0, 0, 0) dan P (1, 2, 3)
serta tegak lurus dengan bidang rata 2x + 3y + 4z10 = 0
Penyelesaian:
2.6 Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Datar dan Jarak
Antara Dua Bidang yang Sejajar
Misalkan sebuah bidang datar V1 = p. Akan
ditentukan jarak sebuah titik sebarang R(x1, y1, z1) ke bidang V1. Langkah
pertama, lukislah sebuah bidang V2 sejajar dengan bidang V1. Dengan
demikian, vector normal dari bidang V1 dan V2sama. Disisi lain, jarak V2 ke
titik asal koordinat O (0,0,0) adalah pd (tergantung letak V1dan V2terhadap
titik O.
-
7/26/2019 Handout Fix
21/44
21
V2 = pd. Karena titik R(x1, y1, z1) pada V2, maka
cos -p| yang merupakan jarak antara titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1
+ y cos + z cos = p.
Jika bidang datar V1 dinyatakan dalam persamaan Ax + By + Cz + D = 0,
maka jarak titik R(x1, y1, z1) ke bidang V1dirumuskan sebagai berikut:
..(18)
Contoh:
Hitunglah jarak titik R (1, 2, 4) dengan bidang 2x + 3y + 6z + 3!
Penyelesaian:
Diketahui: x1= 1, y1= 2, z1= 4, A = 2, B = 3, C = 6, dan D = 3, sehingga:
77
35
3694
32462
632
3)4)(6()2)(3()1)(2(
222
d
Untuk mencari jarak dua bidang V1dan V2yang sejajar, maka pilih sebarang
satu titik pada V2 kemudian hitung jarak titik tersebut ke bidang V1 dengan
menggunakan rumus yang telah disajikan sebelumnya.
Contoh: Hitunglah jarak antara bidang V1 x 2y + 3z -6 = 0 dan dengan
bidang V2 x 2y + 3z + 12 = 0 !
Penyelesaian:
Ambil sebarang titik pada V2, misalkan titik P(0,0,-4). Dengan demikian,
menghitung jarak bidang V1 dengan V2 analog dengan menghitung jarakantara bidang V1dengan titik P, sebagai berikut:
222
111
CBA
DCzByAxd
-
7/26/2019 Handout Fix
22/44
22
41
4130
41
30
3641
62400
6)2(1
6)4)(3()0)(2()0)(1(
222
d
2.7
Berkas Bidang Datar
Jika diketahui dua buah bidang V1= A1x + B1y + C1z + D1dan bidang V2= A2x
+ B2y + C2z + D2yang saling berpotongan menurut sebuah garis lurus, maka
setiap titik yang terdapat pada garis tersebut akan memenuhi persamaan 1V1
+ 2V2= 0 (dengan 1 dan 2merupakan sebuah parameter). Persamaan di ats
merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V1 dan V2. Bila
1 0, dapat dituliskan V1+1
2
V2= 0, atau dapat dituliskan dalam bentuk: V1
+ V2= 0 merupakan persamaan berkas bidang melalui garis potomg bidang-
bidang V1= 0 dan V2= 0.
Jika kedudukan antara V1 dan V2sejajar, maka berkas bidang V1+ V2= 0
merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V1 = 0 dan V2 = 0, dan
dapat ditulis sebagai berikut:
Dengan k suatu parameter.
Contoh:
Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0, 0, 0) serta melalui
garis potong bidang-bidang:
V1 = 2x + 3y + 24 = 0
V2 = xy + 2z = 12
Jawab:
Misalkan bidang yang diminta adalah V dengan persamaan: V1+ V2= 0, oleh
karena itu diperoleh:
2x + 3y + 24 + (x y + 2z - 12) = 0
2x + 3y + 24 + x y + 2z - 12 = 0
(2 + )x + (3 - )y + 2z + (24-12)= 0
Karena V melalui titi (0, 0, 0), maka:
(2 + )(0) + (3 - ) (0) + 2(0) + (24-12)= 0
-12 = -24
A1x + B1y + C1z= k
-
7/26/2019 Handout Fix
23/44
23
= 2
Jadi persamaan bidang yang diminta adalah: V 4x y + 4z = 0.
2.8
Jaringan Bidang DatarMisalkan terdapat bidang V1 = 0, V2 = 0, dan V3 = 0 yang tidak saling
berpotongan pada satu garis dan tidak saling sejajar satu sama lainnya.
Himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang di atas (titik
T) memenuhi persamaan:
.(19)
yang selanjutnya disebut jaringan bidang.
Contoh:
Tentukan persamaan bidang datar V yang sejajar bidang U x + y + z = 1
serta melalui titik potong bidang-bidang V1 x 3 = 0, V2 y -4 = 0, V3 z =
0.
Penyelesaian:
Bidang V yang diminta memenuhi persamaan:
V1+ V2+ V3 = 0 (x-3) + (y 4) + (z) = 0 x3 + y - 4 + z =
0 1x + y + z = 4 + 3.
Normal bidang ini adalah [1, , ]. Karena sejajar bidang U, berarti [1, , ]
kelipatan dari [1,1, 1], sehingga = = 1.
Jadi persamaan bidang yang diminta yaitu 1x + y + y - 4 3= 0 x + y +
z7 = 0
2.9 Persamaan Vektoris Garis Lurus
Sebuah garis lurus akan tertentu jika dikatahui dua titik pada garis tersebut.
Misalkan titik P(x1, y
1, z
1) dan Q(x
2, y
2, z
2) terletak pada garis lurus g, maka:
OP = [x1, y1, z1]
V1+ V2+ V3 = 0
T
-
7/26/2019 Handout Fix
24/44
24
OQ = [x2, y2, z2]
PQ = [x2-x1, y2-y1, z2-z1]
Untuk setiap titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = PQ, dengan - r.
Contoh:
Bagaimanakah kedudukan bola Sx2+ y2+ z2+ 2x + 4y + 4z 16 = 0
dan bidang x + 2y + 2z = 0?
Jika berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran perpotongannya!
Penyelesaian:Sx2+ y2+ z2+ 2x + 4y + 4z16 = 0
-
7/26/2019 Handout Fix
42/44
42
Pusat Bola M (-1, -2, -2)
Jari-jari bola = 5
BidangV = x + 2y + 2z = 0 ..(1)
39
441
441
0)2(2)2(2)1(1
d
Karena d < r yaitu 3 < 5 maka bidang V = 0 memotong Bola S 0.
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perpotongan antara bola dan
bidang berbentuk lingkaran dengan pusat N (x, y, z) dan jari-jari NO.
Perhatikan segitiga MNO. Dengan menggunakan teorema phytagoras,
diperoleh:
4
9252
222
222
NO
NO
drNO
MNMONO
Ruas garis MN tegak lurus dengan bidang V sehingga arah garis MN =
vektor normal bidang V, yaitu: MN = [1,2, 2]. Dengan demikian, persamaan
vektoris dan persamaan parameter garis MN adalah sebagai berikut:
(x, y, z) = (-1, -2, -2)+[1, 2, 2] atau x = -1 + , y = -2 + 2, z = -2 +
2..(*)
Titik N(x,y,z) terletak pada ruas garis MN dan bidang V= x+ 2y + 2z = 0,
sehingga:
x+ 2y + 2z = 0
(-1 + ) + 2 (-2 + 2)+ 2(-2 + 2) = 0
-1 + -4 + 4- 4 + 4= 0
9= 9
= 1
Substitusi = 1 ke persamaan (*), diperoleh x = 0, y = 0, dan z = 0.
Jadi pusat lingkaran: N (0,0,0).
Persamaan Bidang singgung di N (x1, y1, z1) pada Bola.
Diketahui sebuah bola Sx2+ y2+ z2+ Ax + By + Cz + D = 0
dengan pusat M( CBA2
1,
2
1,
2
1 ) titik singgung N(x1, y1, z1), maka
persamaan bidang singgung dapat diturunkan sebagai berikut:
M
N O
-
7/26/2019 Handout Fix
43/44
43
Perhatikan gambar di atas:
MN =
CzByAx2
1,
2
1,
2
1111
MN adalah garis yang tegak lurus dengan bidang V=0, sehingga arah
vektor MN merupakan vektor normal dari bidang V=0, yaitu:
CzByAxn2
1,
2
1,
2
1
111
Bidang V=0 melalui titik N(x1, y1, z1) dengan vektor arah n, sehingga
persamaannya adalah:
)1..(02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
02
1
2
1
2
1
111
2
1
2
1
2
1111111
111
2
1
2
1
2
1111
1
2
111
2
111
2
11
111111
CzByxzyxCzByAxCzyBAxzzyyxx
CzByAxzyxCzyBAxzzyyxx
zAAzzzzyAAyyyyxAAxxxx
zzCzyyByxxAx
Perhatikan bahwa titik N(x1, y1, z1) selain terletak pada bidang V=0 juga
terletak pada bola S0, sehingga:
)2....(
0
111
2
1
2
1
2
1
111
2
1
2
1
2
1
DCzByxzyx
DCzByxzyx
Dengan mensubstitusi persamaan (3) ke persamaan (2) diperoleh persamaan (3)
yang merupakan persamaan bidang yang diharapkan:)3..(0)(
2
1)(
2
1)(
2
1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx
Contoh 1:
Tentukan persamaan bidang singgung pada bola Sx2+ y2+ z2- 4x + 2y -
6z- 11 = 0 di titik N (2,4,3)
Penyelesaian:
Diketahui bola dengan persamaan:
S x2 + y2 + z2 - 4x + 2y - 6z- 11 = 0 dan titik N (2,4,3) pada bola,
sehingga:A = -4, B = 2, C= -6, D= -11
M
N
-
7/26/2019 Handout Fix
44/44
x1= 2, y1= 4, z1= 3
Persamaan bidang yang diharapkan memenuhi persamaan berikut:
..(*)0)(2
1)(
2
1)(
2
1111111 DzzCyyBxxAzzyyxx
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai A = -4, B = 2, C= -6, D=-11,x1=2, y1=4, z1=3
ke persamaan (*), diperoleh persamaan bidang singgung sebagai berikut:
0205
01193442342
011)3(3)4()2(2342
011)3)(6(2
1)4()2(
2
1)2)(4(
2
1342
y
zyxzyx
zyxzyx
zyxzyx