Download - Derivatif Parsial ( Slide 2 )
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 11
Derivatif ParsialDerivatif Parsial((Slide 2Slide 2))
Dosen PengampuDosen Pengampu
Dra. Harmastuti M.KomDra. Harmastuti M.Kom
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 22
PengantarPengantar
Dalam pertemuan ini akan dibahas Dalam pertemuan ini akan dibahas
derivatif untuk fungsi dua perubah atau derivatif untuk fungsi dua perubah atau lebih dan aplikasinya. Untuk mempelajari lebih dan aplikasinya. Untuk mempelajari
materi ini diharapkan mahasiswa telah materi ini diharapkan mahasiswa telah mengambil matakuliah kalkulus 2 yang mengambil matakuliah kalkulus 2 yang
berkaitan dengan derivatif dan integral .berkaitan dengan derivatif dan integral .
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 44
1.Derivatif Fungsi dua 1.Derivatif Fungsi dua PerubahPerubah
Derivatif Parsial.Derivatif Parsial.
Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :Karena x dan y independen maka :
(i ). x berubah-ubah sedangkan y (i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.tertentu.
(ii). y berubah - ubah sedangkan (ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentux tertentu..
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 55
Derivatif Fungsi dua Derivatif Fungsi dua Perubah Perubah
Definisi 2.1Definisi 2.1
i)i). . Derivatif parsial terhadap perubah xDerivatif parsial terhadap perubah x
Jika x berubah-ubah dan y tertentu Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsimaka z merupakan fungsi
x , derivatif parsial z = x , derivatif parsial z = ff(x,y) terhadap x (x,y) terhadap x sbb : sbb :
x
)y,x()y,xx(lim)y,x(
0xx
fff
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 66
Derivatif Fungsi dua Derivatif Fungsi dua Perubah Perubah
ii).ii). Derivatif parsial terhadap perubah yDerivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z
merupakan fungsimerupakan fungsi
y, derivatif parsial z = y, derivatif parsial z = ff(x,y) terhadap y sbb :(x,y) terhadap y sbb :
disebut derivatif parsial z = disebut derivatif parsial z = ff (x,y) (x,y) terhadap y.terhadap y.
y
)y,x(f)yy,x(f
0ylim)y,x(yf
y
z
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 77
Menentukan nilai derivatif Menentukan nilai derivatif
Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limitlimit
aa. . Tentukan derivatif parsial fungsi Tentukan derivatif parsial fungsi ff terhadap terhadap xx jika jika
ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y
JawabJawab : : ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y maka maka
)xx2(lim0x
x2
x
)y,x()y,xx(lim)y,x(
0xx
fff
x
)y2x()y2)xx((lim
22
0x
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 88
Menentukan nilai derivatifMenentukan nilai derivatif
b. b. Tentukan derivatif parsial fungsi Tentukan derivatif parsial fungsi ff terhadap terhadap yy jika jika
ff(x,y) = x(x,y) = x22 + 2y + 2y
y
)y,x()yy,x(lim)y,x(
0Δyy
fff
y
)y2x())yy(2x(lim
22
0Δy
22lim0Δy
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 99
Menentukan nilai derivatifMenentukan nilai derivatif
Contoh 2.2. Contoh 2.2. JikaJika z = ln (x z = ln (x22 + y + y22) tunjukkan ) tunjukkan bahwabahwa
Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu terlebih dahulu
Selanjutnya tentukan nilaiSelanjutnya tentukan nilai
y
zdan
x
z
2y
zy
x
zx
y
zy
x
zx
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1010
Lanjutan Contoh 2.2.Lanjutan Contoh 2.2.
z = ln (xz = ln (x22 + y + y22) , derivatif parsial terhadap x ) , derivatif parsial terhadap x dan y dan y
dandan
maka :maka :
= = 2= = 2y
zy
x
zx
22
22
yx
x2
x
)yxln(
x
z
22
22
yx
y2
y
)yxln(
y
z
2222 yx
y2y
yx
x2x
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1111
2. Dreivatif Parsial Tingkat n2. Dreivatif Parsial Tingkat n
Jika fungsi z = Jika fungsi z = ff(x,y) mempunyai derivatif (x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka maka
dandan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. dua. Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:
)y,x(x
zxf
)y,x(y
zyf
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1212
Menentukan nilai derivatif parsial tingkat nMenentukan nilai derivatif parsial tingkat n
Contoh- 2.3.Contoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk ff(x,y) = x(x,y) = x22y – 3xy + 2 xy – 3xy + 2 x22yy22
Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu ffxx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y(x,y) = 2xy – 3y +4 x y22
ffyy (x,y) = x(x,y) = x22 – 3x + 4 x – 3x + 4 x22y y Jadi derivatif parsial tingkat dua Jadi derivatif parsial tingkat dua
ffxxxx (x,y) = 2y + 4y(x,y) = 2y + 4y22
ffyyyy (x,y) = 4 x(x,y) = 4 x22
ffyxyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3 dan dan
ffxyxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3 (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1313
3.Diferensial Total3.Diferensial Total
Tinjau kembali fungsiTinjau kembali fungsi z = z = ff(x,y) ; x dan y perubah bebas.(x,y) ; x dan y perubah bebas.
derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x dan ydan y
dan dan
dengan mengambil dx = dengan mengambil dx = x dan dy = x dan dy = y. y.
diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz didefinisikan sbb :didefinisikan sbb :
),( yxfx
zx
)y,x(yfy
z
dyy
zdx
x
zdz
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1414
Diferensial Total n variabelDiferensial Total n variabel
1. Jika z = 1. Jika z = ff( x( x11 , x , x22,…. x,…. xnn ) maka ) maka
dz = + + … + dz = + + … +
2. Jika 2. Jika ff(x(x11 , x , x22,…. x,…. xnn ) = c maka d ) = c maka dff = 0, = 0,
catatan xcatatan x11 , x , x22,…. x,…. xnn bukan merupakan variabel bukan merupakan variabel independent.independent.
11
dxx
f
22
dxxf
nn
dxxf
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1515
Contoh soal diferensial totalContoh soal diferensial total
Contoh-2.4Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk . Tentukan diferensial total untuk
r = sr = s22θ θ + 3 s + 3 sθθ22
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1616
Contoh soal diferensial totalContoh soal diferensial total
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1717
4. Aplikasi Derivatif Parsial4. Aplikasi Derivatif Parsial
Contoh Contoh 2.6. Diketahui R = R(E,C) = 2.6. Diketahui R = R(E,C) = Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai Jika nilai E = 100 dengan pertambahan 0,05 dan nilai C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan C = 20 mengalami penurunan sebesar 0,1. Tentukan perubahan
yang dialami R dan tentukan nilai Ryang dialami R dan tentukan nilai R
Jawab :Jawab : Langkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan CLangkah 1. Derivatifkan R terhadap E dan C
Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 2. Tulis rumus diferensial total Langkah 3. Tentukan perubahan yang dialami RLangkah 3. Tentukan perubahan yang dialami R subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus )subtitusikan nilai (langkah 1 ke rumus )
Langkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan RLangkah 4. Nilai R = nilai pendekatan R + perubahan R
C
E
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1818
Soal-soal LatihanSoal-soal Latihan1.Derivatif fungsi dua perubah 1.Derivatif fungsi dua perubah
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 1919
Soal-soal LatihanSoal-soal Latihan
2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif 2. Diferensial total dan Aplikasi dervatif parsialparsialDiferensial total
1. Tentukan dF dan dG apabila
F(x,y) = x2y – 5x y2 +8y3 dan G(x,y) = x2yz – 5x y2z
2. Apabila z = x2y – 5x y2 +8y3 , x = 5; y = 4; dx = -0,2 ; dy = 0,1 tentukan nilai z
dengan memperhatikan factor kesalahan (dz).
Aplikasi derivatif parsiil
1. Diketahui segitiga yang kaki-kakinya 7,98 dan 6,01cm, dengan menggunakan
diferencial hitung panjang garis miring segitiga tersebut.
2. Diketahui R = R( R1 ,R2) = 21
21
RR
RR
Tentukan perubahan R jika untuk R1= 8 bertambah 0,2 dan R2 = 6 berkurang 0,1.
3. Diberikan kerucut dengan jari-jari alas 10 cm, jari-jari tersebut menyusut 0.3 cm
sedangkan tinggi kerucut 15 cm bertambah 0.2cm. Tentukan volume kerucut
setelah berubah.
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2020
ResumeResume
Derivatif Parsial:Derivatif Parsial:
Diketahui z = f (x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :
(i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.
(ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu.
Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi x dan derivatifnya terhadap x
adalah
y
)y,x()y,xx(lim)y,x(
x
z0x
x
fff
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap x.
Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y dan derivatifnya terhadap y
adalah
y
)y,x()yy,x(lim)y,x(
y
z0y
y
fff
disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2121
ResumeResume
Derivatif TotalDerivatif Totalz = f(x,y) fungsi dengan dua perubah bebas x dan y, derivatif parsial fungsi
tersebut
)y,x(x
zxf
dan )y,x(
y
zyf
dengan mengambil dx = x , dy = y dan
jika x berubah-ubah sedangkan y tertentu maka z hanya merupakan fungsi x,
diferensial parsial, fungsi z terhadap x didefinisikan : dxz = dx)y,x(dxx
zx
f
jika y berubah-ubah sedangkan x tertentu maka z hanya merupakan fungsi y
diferensial parsial fungsi z terhadap y didefinisikan, dyz = dy)y,x(dyy
zyf
maka diferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah kedua diferensial tersebut,
yaitu
dz = dxx
z
+ dy
y
z
by.tuti & Krisby.tuti & Kris 2222
Meteri pertemuan Meteri pertemuan selanjutnyaselanjutnya
Derivatif fungsi composit,Derivatif fungsi composit,
Derivatif parsial menggunakan Derivatif parsial menggunakan determinan Jacobi.determinan Jacobi.
Transformasi koordinat (Transformasi koordinat (mapping one to mapping one to
oneone ). ).