Download - deret_materi
![Page 1: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/1.jpg)
11
DERETMINGGU
KE TOPIK DOSEN PENGAJAR METODE & MEDIA AJAR
1• Deret• Deret Konvergen dan Divergen SUN LCD, Papan Tulis, Transparansil
2• Deret Positif• Deret Selang-seling SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi
3• Deret pangkat• Ekspansi fungsi SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi
4• QUIZ I• Vektor SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi
1
![Page 2: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/2.jpg)
BARISANB i d l h t bil di t l• Barisan adalah urutan bilangan yang disusun menurut polatertentu.
• Secara umum, barisan dapat dinyatakan sebagai urutan bilangan berikut: a0, a1, a2, a3, …, an
Atau singkatnya {an} dengan an menyatakan suku ke‐n barisan. Suku anmenyatakan pola umum suku ke‐n dari barisan tersebutmenyatakan pola umum suku ke‐n dari barisan tersebut.
Contoh 1: 1, 3, 5, 7, …Adalah urutan bilangan ganjil yang suku sukunya dapat diuraikan sbb:Adalah urutan bilangan ganjil yang suku‐sukunya dapat diuraikan sbb:
1=2.0+1=2.n+1; dengan n=03=2.1+1=2.n+1; dengan n=15=2 2+1=2 n+1; dengan n=25 2.2+1 2.n+1; dengan n 27=2.3+1=2.n+1; dengan n=3
Jadi urutan bilangan: 1, 3, 5, 7, … dapat ditulis a0, a1, a2, a3, …, an, dengan an=(2n+1) dan n=0,1,2,3, …
2
n ( )
![Page 3: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/3.jpg)
…lanjutan
Contoh 2: 2, 6, 18, 54, …Adalah barisan berpola an=2.3n‐1, dengan n=1, 2,3, … Pembuktian sbb:
n=1, maka a1=2.31‐1=2n=2, maka a2=2.32‐1=6n=3, maka a3=2.33‐1=18n=7, maka a4=2.34‐1=54
Contoh 3: 12, ‐22, 32, ‐42, …Dapat dinyatakan: an=(‐1)n‐1n2, dengan n=1, 2, 3, …Bagaimana kalau n=0, 1, 2, 3, …?
Barisan berhingga dan tak berhingga:•Barisan berhingga mempunyai an dengan nmaks≠∞•Barisan tak berhingga mempunyai an dengan nmaks=∞gg p y n g maks
3
![Page 4: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/4.jpg)
DERETDERET• Deret adalah hasil penjumlahan semua suku dalam barisan.• Misalkan terdapat barisan: a1, a2, a3, a4, …, an, maka deretnya adalah:1 2 3 4 n
∑∞
=
=++++1
321 ...n
nn aaaaaP b d tPenamaan bermacam‐macam deret:Deret bilangan: deret yang mempunyai suku berupa bilangan tetap.Deret variabel/pangkat: deret yang memp. suku berupa bil. variabel.
i if bil d k d l l i ifDeret positif: bila tanda suku deret selalu positif.Deret selang‐seling: bila tanda suku deret berganti secara selang‐seling antara positif dan negatif
∞
Contoh 1: ∑=
+++++=1
...4321n
nn
Merupakan deret bilangan positif, yang biasa dikenal sebagai deret hitung. Ciri deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku
4
deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku sesudah atau sebelumnya. Beda suku deret hitung di atas adalah 1.
![Page 5: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/5.jpg)
…lanjutan
n1...
41
31
211 +++++Contoh 2:
nn 1)1(...4321 −−++−+−Contoh 3:
Merupakan deret bilangan positif yang disebut deret harmonis
nn )31()1(...
271
91
311 −++−+−
Merupakan deret bilangan selang‐seling atau deret bolak‐balik
Contoh 4:
Merupakan deret bilangan selang‐seling atau dinamakan deret ukur. Ciri deret ini adalah bahwa suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan sebuah bilangan dengan suku sebelumnya. Bilangan pengali ini disebut PEMBANDINGt RASIO P b di d d t k i i d l h (1/3)atau RASIO. Pembanding pada deret ukur ini adalah (1/3).
Contoh 5: ∑∞
+++++= 33
2210 ... n
nn
n xaxaxaxaaxa
Merupakan deret variabel atau pangkat
∑=0
3210n
nn
Contoh 6: )12(153
)!12(1)1(
!5!3−−−++− nn xxxx Merupakan deret pangkat
5
)!12()(
!5!3 −n
![Page 6: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/6.jpg)
…lanjutan
Latihan:Tentukan jenis deret dan tentukan pola umum untuk suku ke‐n dari setiap deret di bawah ini, dan nyatakan pula deret tersebut dalam bentuk Σ
139511.
2.11111
...171
101
51
21
...13951
++++
++++
3.
4....
271
91
311
...9753
1
2
2222
+−+−
++++−
xx5.
6....
432
...32
1
2
4
2
3
2
2
2
+−+−
++−
xxxx
xx
7.
8...
312111
...9
sin43
sin2sin
32
++
++
++
+++
xxx
xxx
6
8.
9....)1(
41)1(
31)1(
21)1(
312111432 +−−−+−−−
+++
xxxx
![Page 7: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/7.jpg)
Deret Konvergen dan Divergen:Jika hasil penjumlahan deret dituliskan Sn, maka:p j n
S1=a1S2=a1+a2S3=a1+a2+a33 1 2 3
Sn=a1+a2+a3+…+anSn disebut jumlah sebagian deret. Karena deret tak berhingga mempunyai n=∞, maka S dapat dicari dengan limit.
nnSS
∞→= lim
Jika S menuju nilai tertentu, deretnya disebut deret konvergen.Jika S menuju nilai ± ∞ atau bernilai tak tunggal, disebut deret divergen.Contoh 1: Tinjau deret selang seling: a‐a+a‐a+…Jawab:
Sn=0, jika n genap (1,3,5,7,…)Sn=1, jika n genap (0,2,4,6,…)
Ketidak‐tunggalan nilai Sn menunjukkan bahwa deret tersebut bersifat d
7
divergen.
![Page 8: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh 2: Tinjau deret hitung: a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…b
…lanjutan
Jawab:Jumlah deret hitung dengan n buah suku dan beda b dapat dinyatakan sbb:
{ }bnanSn )1(22
−+=
{ } ∞=−+= bnanS )1(22
lim
maka:
{ }∞→n 2
Jadi, deret hitung adalah deret yang divergen.
Contoh 3: Tinjau deret ukur dengan pembanding (rasio)=r sbb: a+ar+ar2+ar3+…+arn‐1
Jawab:Jumlah deret tersebut sampai suku ke‐n adalah: )1( raS
n
n−
=)1( rn −Hal ini dapat dibuktikan sbb:
132 ... −+++++= nn ararararaS
nn arararararrS +++++= −132
8
n arararararrS +++++= ...__
)1()1( nn rarS −=−
![Page 9: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/9.jpg)
Untuk n→∞, maka:
…lanjutan
)1(lim raSn−
=
Jika |r|<1 dan n→∞, maka rn=0, sehingga S menjadi:Karena nilai a dan r tertentu maka juga diperoleh S tertentu Jadi suatu deret
)1( rn −∞→
)1( raS−
=Karena nilai a dan r tertentu, maka juga diperoleh S tertentu. Jadi, suatu deret ukur akan konvergen jika |r|<1
Jika |r|>1 dan n→∞, maka rn=∞, sehingga S juga bernilai ∞. Jadi, deret ukur akan divergen jika |r|>1akan divergen jika |r|>1.
Jika r=1, maka (1‐rn)=0 dan (1‐r)=0, sehingga S=0/0 (tak terdefinisi).
Jika r=‐1, maka (1‐rn) bernilai 2 untuk n ganjil, dan 0 untuk n genap, sehingga S bernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil Jadi karena nilai tak tunggalbernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil. Jadi karena nilai tak tunggal, maka deret ukur akan divergen jika |r|≥1.
Kasus untuk: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+…, adalah deret ukur dengan pembanding r=(1/2) Karena r<1 maka deret ini konvergenpembanding r=(1/2). Karena r<1, maka deret ini konvergen.
9
![Page 10: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 4: Tentukan deret berikut konvergen atau divergen:
…lanjutan
g g
Jawab:...
)1(1...
5.41
4.31
3.21
2.11
++
+++++nn
1 21121
1 =S43
121
61
21
3 =++=S32
61
21
2 =+=S
=nS n
Karena S mempunyai nilai limit tertentu maka deret di atas adalah
)1( +=
nSn 1
)1(limlim =
+==
∞→∞→ nnSS
nnn
Karena S mempunyai nilai limit tertentu, maka deret di atas adalah konvergen
10
![Page 11: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh‐contoh uji konvergensi/divergensi dengan BASIC:
Contoh 5: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)Contoh 5: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)
Jawab:
100 A=0
110 For N 1 to 20110 For N=1 to 20
120 A=A+1/2^N
130 Print A
140 Next N140 Next N
Hasil:
0.5
0 750.75
0.875
.
.
0.9999981
0.9999991
K i l S d k ti 1
11
Kesimpulan: Sn mendekati 1
![Page 12: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/12.jpg)
…lanjutan
Contoh 6: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…Contoh 6: 1 (1/2) (1/3) (1/4) … Jawab:100 A=0110 For N=1 to 100120 A=A+1/N130 Print A140 Next NHasil:11.51 8333331.833333..5 1873785.187378Kesimpulan: Semakin banyak suku semakin besar Sn, S=∞, divergen.
12
![Page 13: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh 7: 1‐(1/2)+(1/3)‐(1/4)+(1/5)‐(1/6)+… J b
…lanjutan
Jawab:100 A=0110 For N=1 to 100120 A=A‐1/N*(‐1)^N130 Print A140 Next NHasil:110.50.833334..0.6687713 (N=20)..0.699 (N=100)..
( )
13
0.69264 (N=1000)Kesimpulan: Deret konvergen.
![Page 14: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/14.jpg)
Latihan:
/Uji konvergensi/divergensi deret berikut:
1. (1/3)+(6/3)‐(11/3)+(16/3)+…
2. 1‐(1/4)+(1/16)‐(1/64)+…
3 (2/3)+(1/2)+(3/8)+(9/32)+3. (2/3)+(1/2)+(3/8)+(9/32)+…
4. 1‐(3/2)+(9/4)‐(27/8)+…
14
![Page 15: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/15.jpg)
DERET POSITIF
adalah deret yang semua sukunya terdiri dari bilangan konstan bertanda positif
∑∞
=
++++=1
321 ...n
nn aaaaa1n
Beberapa untuk menentukan konvergensi deret positif:p
1.Uji awal
2 Uji banding2.Uji banding
3.Uji nisbah D’Alembert
15
4.Uji integral
![Page 16: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/16.jpg)
UJI AWAL:
Uji awal dapat digunakan untuk mendeteksi deret yang sudah pasti divergen.j p g y g p g
Misalkan diberikan deret sbb:
∑∞
=
++++=1
321 ...n
nn aaaaali1n
Untuk menerapkan uji awal, dihitung nilai: nna
∞→lim
Jika:1). ,maka deret tersebut pasti divergen0lim ≠
∞→ nna) , p g
2). ,maka deret tersebut mungkin konvergen∞→n
0lim =∞→ nna
Contoh 1:1‐(1/3)+(1/9)‐(1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun1 (1/3)+(1/9) (1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun
menuju nol.Contoh 2:1+3+9+27+…, deret divergen karena sukunya terus bertambah tidak menuju , g y j
nol.Contoh 3:Deret harmonis: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…+(1/n), limitnya: 0/1lim =n
16
yDeret mungkin konvergen/divergen, perlu uji konvergensi yang lain.
∞→n
![Page 17: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/17.jpg)
UJI BANDING:
Deret positif akan konvergen jika setiap suku dalam deret < suku seletak pada p g j p pderet positif lain yang konvergen.(UB01)Deret positif akan divergen jika setiap sukunya > suku seletak pada deret positif lain yang divergen.(UB02)Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/33)+(1/44)+…+(1/nn)Diambil deret konvergen lain (deret ukur) sebagai pembanding:
1+(1/22)+(1/23)+(1/24)+…+(1/2n)Jika dibandingkan suku leletaknya, mulai suku ketiga diperoleh:
(1/33)<(1/23), (1/44)<(1/24), …, jadi: 1/nn<1/2n untuk n=3,4,5,…Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
CATATAN:Deret pembanding: (1/1p)+(1/2p)+(1/3p)+(1/4p)+…+(1/np)
Jika p>1, maka deretnya konvergenJika p≤1, maka deretnya divergen
17
p , y g
![Page 18: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh 2:…lanjutan
Ujilah deret berikut ini: (1/(1.2))+(1/(2.3))+(1/(3.4))+(1/(4.5))+…+(1/(n.(n+1)))+…
Jawab:
Jika digunakan deret pembanding untuk p=2, maka:
(1/12)+(1/22)+(1/32)+(1/42)+…
Dari pembandingan suku seletak diperoleh:Dari pembandingan suku seletak diperoleh:
1/(1.2)<1/12, 1/(2.3)<1/22, 1/(3.4)<1/32
Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.
18
![Page 19: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/19.jpg)
UJI NISBAH D’ALEMBERT:
Untuk menentukan konvergensi/divergensi suatu deret positif: ∑∞
naCaranya sbb (UND):1.Tentukan suku ke‐n dari deret positif tersebut: an2.Tentukan suku ke‐(n+1): an+1
∑=1n
3.Hitung besaran berikut:
Jika:ρ<1 maka deret konvergen; ρ>1 maka deret divergen
n
n
n aa 1lim +
∞→=ρ
ρ<1, maka deret konvergen; ρ>1, maka deret divergenρ=1, maka deret mungkin divergen, mungkin pula konvergen (uji D’Alembert tidak dapat digunakan)
Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: (1/1)+(3/2)+(5/22)+(7/23))+…=Jawab: mengacu UND, maka:
∑∞
=
+
0 212
nn
n
12 32g
Sehingga:
nnna2
12 += 11 2
32+++
= nnna
21
122.
232lim 1 =
++
= +∞→ nn n
nnρ
19Kesimpulan: karena ρ<1, maka deret KONVERGEN.
2122 +∞→ nn
![Page 20: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/20.jpg)
UJI INTEGRAL:
Untuk uji konvergensi/divergensi deret positif: dengan uji integral, lebih ∑∞
naj g g p g j gdulu dihitung:
Jika:
∑=1n
n
∫∞
=1
dnaI n
I bernilai tertentu, maka deret konvergenI=±∞, maka deret divergen
Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…
Jawab:Bentuk umum suku ke‐n: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…+(1/n2)=maka:
∑∞
=1
2/1n
nmaka:
Kesimpulan: karena I=1 maka deret KONVERGEN
∫∞
∞ =+∞−=−==1
12 11/1/1|/1/1 ndnnI
20
Kesimpulan: karena I 1, maka deret KONVERGEN.
![Page 21: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/21.jpg)
LATIHAN:1. Ujilah kedivergenan deret berikut dengan uji awal:j g g j
a. 1/3 + 2/5 + 3/7 + …
b. 1+ 1/22 + 1/33 +1/44 + …
c 1/2 + 2/3 + 3/4 +c. 1/2 + 2/3 + 3/4 + …
2. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji banding:
a. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/n.(n+1) + …
√ √b. 1 + 1/√2 + 1/ √3 + …3. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji nisbah d’Alembert:
a. ½ + (1/2).(2/22) + (1/3).(3/23) + …( / ) ( / ) ( / ) ( / )
b. 1 + 1/2! + 1/3! + …
4. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji integral:
a 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +a. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
b. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/27 + …
21
![Page 22: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/22.jpg)
5. Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:…lanjutan
a. ∑∞
= +12 91
n n
b. ∑∞
=2 ln1
n nn
c.
2n
∑∞
323
n
d.
=0 2n
∑∞ ne
d. ∑=0 !n n
∑∞ 1
22
e. ∑=2
2/3
1n n
![Page 23: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/23.jpg)
Adalah deret bilangan yang mempunyai tanda suku berganti‐ganti antara positif
DERET SELANG‐SELINGAdalah deret bilangan yang mempunyai tanda suku berganti‐ganti antara positif
dan negatif.
Secara umum deret selang‐seling dinyatakan sebagai berikut:∞
Syarat deret selang‐seling konvergen adalah:
∑∞
=
−− −+−+−=−1
1321
1 )1(...)1(n
nn
nn aaaaa
1. Limit dari nilai mutlak suku an adalah 0:
2. Harus merupakan deret monoton turun untuk setiap suku mutlaknya:
0||lim =∞→ nn
a
|||| 1 aa <Konvergensi deret selang‐seling dapat dikelompokkan sbb: (SDSK)
1. Deret konvergen mutlak:
adalah deret selang seling konvergen yang deret mutlaknya juga bersifat
|||| 1 nn aa <+
adalah deret selang‐seling konvergen yang deret mutlaknya juga bersifat konvergen.
2. Deret konvergen bersyarat:
d l h d l l k d l k d
23
adalah deret selang‐seling konvergen yang deret mutlaknya divergen.
![Page 24: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 1:
T t k d t l li b ik t k tl k t b t
…lanjutan
Tentukan deret selang‐seling berikut konvergen mutlak atau bersyarat.
1‐(1/2)+(1/3)‐(1/4)+…+(‐1)n‐11/n
Jawab:
Sesuai SDSK, maka:
1/2<1, 1/3<1/2, dst. atau
Berdasarkan kedua sifat tersebut, maka deret tsb. konvergen.
0/1lim||lim ==∞→∞→
nannn
|||| 1 nn aa <+
e dasa a edua s a e sebu , a a de e sb o e ge
Deret positifnya: 1+ 1/2 + 1/3 + …, merupakan deret harmonis, yaitu sebuah deret divergen.
Kesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN BERSYARATKesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN BERSYARAT.
Contoh 2:
/ /
∑∞
=
− −+−=−1
2221 ...3/12/11/1)1(n
n n
/li||li 2Jawab: , 1/6 <1/4, ½<1,…
Deret positifnya: 1 + 1/22 + 1/ 32 + 1/42 + .. + 1/n2, uji integral deret positifnya:
,deret konvergen∫∞
∞ =−=2 1|/1/1 ndnn
0/1lim||lim 2 ==∞→∞→
nannn
24
Kesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN MUTLAK.∫ =−=1
1 1|/1/1 ndnn
![Page 25: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/25.jpg)
LATIHAN:Tentukan, apakah deret berikut konvergen mutlak atau bersyarat:
1. ...21
21
21
21
432 +−+−∞ )1( n
2.
3
∑=
−
2 ln)1(
n nn
2222432
3.
4.
...!4!3!2
2 +−+−
∑∞ − )1( n
5.
∑=1n n
∑∞ − )1( n
n6.
=1n n
∑∞
=
−
1
2
)!2()!()1(
n
n
nn
25
)(
![Page 26: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/26.jpg)
Adalah deret yang sukunya berbentuk: anxn di sekitar x=0, atau yang sukunya
DERET PANGKATy g y n , y g y
berbentuk an(x‐b)n di sekitar x=b. Secara umum dinyatakan sbb:
Deret pangkat sekitar x=0:
(DP0) ∑∞
++++= 33
2210
n xaxaxaaxa(DP0)
Deret pangkat sekitar x=b:
(DPB)
b d l h b h b l
∑=
++++0
3210 ...n
n xaxaxaaxa
∑∞
=
+−+−+=−0
2210 ...)()()(
n
nn bxabxaabxa
b adalah sebuah bilangan tetap.
Jika dimasukkan nilai x tertentu, dapat menghasilkan deret positif atau selang‐seling. Jadi konvergensi deret pangkat tergantung nilai x yang dib ik
=0n
diberikan.
Nilai x tertentu yang dapat menghasilkan deret pangkat yang konvergen dihitung menggunakan uji nisbah d’Alembert:
na 1li +
n
n
n a1lim +
∞→=ρ
1||lim1
1 <==+
+ xa
xan
nn
nn ρρ
26
∞→ xa nn
n
![Page 27: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/27.jpg)
Dengan berpedoman pada uji nisbah, bahwa deret pangkat konvergen bila: ρn<1 atau ρ|x|<1, maka deret pangkat akan konvergen untuk daerah nilai
…lanjutan
ρn ρ| | , p g g|x|<1/ρ.
Jadi deret ini konvergen pada selang ‐1/ρ<x<+1/ρ.Daerah x tergantung dari nilai ρ:Daerah x tergantung dari nilai ρ:1. Jika ρ=0, maka deret dikatakan konvergen untuk semua nilai.
2. Jika ρ=~, maka deret dikatakan konvergen hanya untuk nilai x=0.
k / / k d d k k k k d h3. Jika ‐1/ρ<x<+1/ρ, maka deret dikatakan konvergen untuk daerah x antara ‐1/ρ sampai +1/ρ. Dalam hal ini harus dipelajari kelakuan deret pada titik x=‐1/ρ dan x=+1/ρ dengan cara memasukkan kedua nilai x ini ke dalam deret mula mula Pada semua nilai ini harus diperiksa apakah diperolehderet mula‐mula. Pada semua nilai ini harus diperiksa apakah diperoleh deret bilangan bersifat konvergen atau divergen.
27
![Page 28: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh 1:
Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:
…lanjutan
g
x ‐ x2/2 + x3/3 – x4/4 + … (C1)
Jawab: deret ini identik dengan bentuk persaman DP0, maka deret ini adalah deret pangkat untuk sekitar x=0 dan nilai mutlak suku ke‐n dan ke‐(n+1)deret pangkat untuk sekitar x 0 dan nilai mutlak suku ke n dan ke (n+1) adalah:
nxxa
nn
n =||1
11
1 +=
++
+ nxxa
nn
n
Untuk menentukan selang x yang membuat deret ini konvergen, digunakan hubungan:
1+n
1.lim1
<=+
n
n
nnxρ
|x|<1 atau ‐1<x<1
Untuk x=1, pada (C1), maka menjadi deret selang‐seling yang konvergen
)1( + nn xnρ
bersyarat. Sedangkan untuk x=‐1, maka menjadi deret harmonis bertanda negatif yang divergen.
Jadi: deret konvergen untuk nilai x diantara x>‐1 sampai x≤+1. Di titik x=‐1,
28
deret divergen.
Kesimpulan: deret konvergen pada daerah ‐1<x ≤+1
![Page 29: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh 2:
Perhatikan deret pangkat sekitar x=a berikut:
…lanjutan
p g
Jawab: deret ini mempunyai suku a sbb:
...16
)2(9
)2(4
)2()2(432
+−
+−
+−
+−xxxx
Jawab: deret ini mempunyai suku an sbb:
2
)2(n
xan
n−
= 2
1
1 )1()2(
+−
=+
+ nxa
n
n 1)2(
.)1()2(lim
2
2
1
<−+
−=
+
∞→ n
n
nn xn
nxρ
|x‐2|<1 atau ‐1<x‐2<+1
1<x<3
Masukkan x=1 ke dalam deret: ∑∞ −
2
)2( nx
Diperoleh hasil:
‐1 + 1/4 ‐ 1/9 + 1/16 ‐ … (konvergen mutlak)
Untuk x=3 deret menjadi: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + (ini juga deret konvergen)
∑=1
2n n
Untuk x=3, deret menjadi: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (ini juga deret konvergen)
Kesimpulan: Daerah kekonvergenan deret adalah 1≤x ≤3
29
![Page 30: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/30.jpg)
Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:LATIHAN:
1. ...222
432
+−+−xxxx
2.
3
...42
12
+++xx
32 323.
4.
...32 32 +++ xxx
...!3!2
1 +++xx
5.
!3!2
∑∞
= −+
1 )3()2(
nn
n
nx
6. ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
1 51
n
nxn
30
![Page 31: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/31.jpg)
Salah satu cara memudahkan penyelesaian diferensiasi dan integrasi dari
PENGURAIAN FUNGSI DALAM DERETp y g
suatu fungsi f(x) adalah menguraikan fungsi tersebut menjadi sebuah deretpangkat.
Terdapat 2 macam deret pangkat, yaitu: deret pangkat dengan x berharga dip p g , y p g g gsekitar 0, dan deret pangkat dengan x berharga di sekitar suatu tetapan, misalb.
Uraian fungsi f(x) disekitar x=0 sbb: (PFD1)g ( ) ( )
Uraian fungsi f(x) di sekitar x=b sbb: (PFD2)
nn xaxaxaxaaxf +++++= ...)( 3
32
210 ∑∞
=
=0n
nn xa
Uraian fungsi f(x) di sekitar x=b sbb: (PFD2)
nn bxabxabxabxaaxf )(...)()()()( 3
32
210 −++−+−+−+= ∑∞
=
−=0
)(n
nn bxa
Dalam (PFD1) dan (PFD2) tetapan a0, a1, a2, … belum diketahui, sehinggaharus dihitung.
Jika fungsi f(x) diuraikan ke dalam deret pangkat di sekitar x=b, maka langkah
31
yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
![Page 32: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/32.jpg)
1.Masukkan nilai b ke dalam fungsi f(x) dan uraiannya. Diperoleh:
…lanjutan
nbbabbabbaabf )()()()( 2 ++++=sehingga:
d f( ) b d kk l
n bbabbabbaabf )(...)()()( 210 −++−+−+=
!0)()(0
bfbfa ==
2. Cari turunan pertama dari f(x) besera uraiannya. Kemudian masukkan nilai x=b pada turunan pertama, diperoleh:
3. Cari turunan kedua dari f(x) beserta uraiannya. Kemudian masukkan nilai b d k d d l h
!1)(')('1
bfbfa ==
x=b pada turunan kedua, diperoleh:
Jika dilakukan untuk turunan ketiga, keempat, kelima, dst., diperoleh:!2
)(''2
bfa =
,
Perhatikan bahwa a0 a1 a2 a3 a4 sebenarnya memiliki pola umum:!3
)('''3
bfa =!4
)(4
4bfa =
Perhatikan, bahwa a0, a1, a2, a3, a4 sebenarnya memiliki pola umum:
D d iki k l h dik h i il i!
)(n
bfan
n =
32
Dengan demikian, sekarang telah diketahui semua nilai tetapan an,
![Page 33: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/33.jpg)
sehingga fungsi f(x) dapat diuraikan ke dalam deret pangkat. Masukan a ke dalam uraian deret pangkat sekitar x=b, maka diperoleh:
…lanjutan
p g , p
(inilah deret Taylor)
Pada persoalan terapan numerik x adalah suatu tetapan Pada kasus ini jika
∑∞
=
−=0
)(!
)()(n
nn
bxn
bfxf
Pada persoalan terapan numerik, x adalah suatu tetapan. Pada kasus ini, jika pada deret Taylor dimasukkan b=x‐x0, maka diperoleh:
atau[ ]∑∞
−−−
= 00 )(
!)(
)( nn
xxxn
xxfxf [ ]∑
=0 !n n
∑∞
=
−=
00
0 )(!
)()(
n
nn
xn
xxfxf
Sekarang variabel x pada fungsi f(x) diganti dengan x+x0, dengan x0 berupa tetapan yang berharga kecil, maka:
0
∑∞
)()()( nn xff
Perhatian: x di sini adalah suatu nilai numerik!.
Kesimpulan: bahwa untuk menguraikan f(x+x ) hanya dibutuhkan turunan
∑=
=+0
00 )(!
)()(n
nxn
xxf
33
Kesimpulan: bahwa untuk menguraikan f(x+x0) hanya dibutuhkan turunan dari f(x).
![Page 34: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh 1:Hitung nilai sin 44o
b
…lanjutan
Jawab: Digunakan acuan sinus 45o=1/2√2, sehingga: sin 44o=sin (45o‐1o).Uraikan f(x)=sin (x) untuk x=45o dan turunanannya: (‐1o=‐0.01745)
f(x)=sin (x) maka:f(x)=sin (x), maka:f(45o)=sin 45o=1/2√2f’(45o)=cos 45o=1/2√2f’’(45o)=‐sin 45o=‐1/2√2f (45 ) sin 45 1/2√2f’’’(45o)=‐cos 45o=‐1/2√2f’’’’(45o)=sin45o=1/2√2, dan seterusnya
Dengan menggunakan deret Taylor, nilai sin 44o diselesaikan sbb:g gg y ,
Maka:√
no
n
oooo xn
xfxxfxxfxxfxfxxf!
)(...!3
)(!2
)(''!1
)(')()( 33
2 +++++=+
Sin (45o‐1o)=1/2√2(1 + (‐0.01745)/(1!) – (‐0.01745)2/(2!) – (‐0.01745)3 /(3!) + …)
=0.69466Jadi: sin 44o=0 69466
34
Jadi: sin 44o=0.69466
![Page 35: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/35.jpg)
Contoh 2:
Tunjukkan bahwa jika h kecil, maka:
…lanjutan
22
2
211
)1(2
1tan)(tan
xxh
xhxhx
+−
++=+ −−
Jawab: dimisalkan f(x)=tan‐1x dan xo=h, maka:222 )1(1 xx ++
211)('x
xf+
= 22''
)1(2)(xxxf
+−=
Dimasukkan ke Taylor, maka:
U t k h k il k l i k k ti d t di b ik
...)1(
21
tantan 22
2
211 +
+−
++= −−
xxh
xhxx
Untuk h kecil, maka mulai suku ketiga dapat diabaikan.
Deret Taylor untuk x=b: , untuk b=0, maka:∑∞
=
−=0
)(!
)()(n
nn
bxn
bfxf
)0(nf , bersesuaian dengan deret pangkat di sekitar x=0,
dan dikenal dengan nama deret Maclaurin.
Contoh 3:
∑∞
=
=0
)(!
)0()(n
nn
xn
fxf
Contoh 3:
Uraikan f(x)=ex dalam deret Maclaurin, maka:
Jawab: Deret Maclaurin menguraikan fungsi di sekitar x=0Nil i t f( ) x d l h
35
Nilai turunan f(x)=ex adalah:
![Page 36: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/36.jpg)
f(x)=f’(x)=f’’(x)=f3(x)=…=fn(x)=ex, untuk x=0, maka:
f(0)=f’(0)=f’’(0)=…=fn(0)=eo=1, dimasukkan ke uraian Maclaurin:
…lanjutan
( ) ( ) ( ) ( ) ,
∑∞
=
=0 !
1n
nx xn
e
...132 xxxx n
+++++=
Contoh 4:
Carilah deret Maclaurin dari f(x)=ln (1+x)
!...
!3!2!1 n
( ) ( )
Jawab: ,f(0)=ln 1=0
,f’(0)=1
)1ln()( xxf +=
1)1(1)(' −+== xxf ( )
,f’’(0)=‐1
)(1
)(+ x
22
)1(1)1()(''x
xxf+−
=+−= −
,f’’’(0)=233
)1(2)1(2)('''x
xxf+
=+= −
)1l ()(5432 xxxxf
36
Jadi: ...5432
)1ln()( −+−+−=+=xxxxxxxf
![Page 37: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/37.jpg)
…lanjutan
Fungsi x Uraian Konvergensix 1 + ( /1!) + ( 2/2!) + ( 3/3!) + | | <ex 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + … |x| < ∞
sin x x – (x3/3!) + (x5/5!) – (x7/7!) + … |x| < ∞
cos x 1 – (x2/2!) + (x4/4!) – (x6/6!) + |x| < ∞cos x 1 – (x /2!) + (x /4!) – (x /6!) + … |x| < ∞
ln (1+x) x – (x2/2) + (x3/3) – (x4/4) + … -1< x ≤1
(1+x)-1 1 - x + x2 - x3 + … |x| < 1( ) | |
(1+x)α 1 + αx + (1/2!) α(α-1)x2 + … |x| < ∞
sinh x x + (x3/3!) + (x5/5!) + … |x| < ∞
Contoh 5:
cosh x 1 + (x2/2!) + (x2/4!) + … |x| < ∞
Carilah deret sin x2, untuk x sekitar 0
Jawab: Dari deret dasar sin x pada tabel, dan ganti x dengan x2, maka:sin x2 = x2 – (x6/3!) + (x10/5!) – (x14/7!) + …
37
sin x x (x /3!) + (x /5!) (x /7!) + …
![Page 38: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh 6:
Uraikan fungsi f(x) = xex dalam deret MacLaurin.
…lanjutan
g ( )
Jawab: Dari deret dasar ex pada tabel, dan mengalikan dengan x, maka: x.ex = x (1 + x + (x2/2!) + (x3/3!) + …)
Jadi: f(x) = xex mempunyai uraian sebagai berikut:Jadi: f(x) xe mempunyai uraian sebagai berikut:
x.ex = x + x2 + (x3/2!) + (x4/3!) + …
Contoh 7:
B k h j l h k k (S ) d i d b ik1111 ++Berapakah jumlah suku ke‐n (Sn) dari deret berikut:
Jawab: Dari fungsi dasar ln(1+x) pada tabel, untuk x=1 diperoleh:
ln(1+1) = 1 – (1/2) + (1/3) – (1/4) + … atau
...432
1 +−+−
1 – (1/2) + (1/3) – (1/4) + … = ln 2
Catatan:Catatan:
Fungsi dasar pada tabel berguna untuk membantu menguraikan fungsi yang agak rumit, menyelesaikan fungsi integral, dan mencari jumlah suku ke‐n dari suatu deret.
38
suatu deret.
![Page 39: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh 8:Selesaikan integral berikut:
…lanjutan
∫ =1.0
2 ....cos dxxJawab: Dari fungsi dasar cos x pada tabel, untuk cos x2 diperoleh:
cos x2=1 – (x4/2!) + (x8/4!) – (x12/6!) + …Sehingga:
0
=0.1 – 0.000001= 0.099999∫ ∫ −+−=1.0
0
1.0
0
842 ...)!4/!2/1(cos dxxxdxx 1.00
95 |...!4.9/!2.5/ −+−= xxx
Contoh 9:???Uraikan f(x)=(x2‐4)‐1
Jawab: Bentuk fungsi ini tidak terdapat dalam tabel, sehingga perlu dilakukan g p gg plangkah‐langkah sbb:‐Uraikan menjadi faktor sbb: (x2‐4)‐1=(x+2)‐1(x‐2)‐1
(x‐2)‐1=[‐2(1‐(x/2)]‐1
⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛32
= ‐1/2 – x/4 – x2/8 – x3/16 ‐ …
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛++−= ...
2221
21 32 xxx
39
1/2 x/4 x /8 x /16 …
![Page 40: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/40.jpg)
(x+2)‐1=[2(1+(x/2)]‐1…lanjutan
⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛1 32 xxx
= 1/2 – x/4 + x2/8 – x3/16 + …
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+−= ...
2221
21 xxx
Jika kedua fungsi dijumlahkan, diperoleh:(x‐2)‐1+(x+2)‐1=2x(x2‐4)‐1=‐x/2 – x3/4 ‐ x5/16 ‐ …
atau (x2‐4)‐1=1/2x‐1[(x‐2)‐1+(x+2)‐1]Jadi: uraiannya adalah:(x2‐4)‐1=‐1/4 – x2/8 – x4/32 ‐ …
Contoh 10:
Hitung uraian deret Maclaurin dari tan‐1x
Jawab:∫ +
=−x
tdtx
02
1
1tan
1Dengan menggunakan tabel, fungsi dapat diuraikan sekitar x=0, maka:
+ t0 1
211t+
...11
1 422 −+−= tt
t
40
1 2+ t
![Page 41: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/41.jpg)
Sehingga diperoleh:
…lanjutan
∫∫xx dt
d l h d 1 k k k ( k d
∫∫ −+−=+
=− dtttt
dtx0
42
02
1 ...)1(1
tan
53tan
531 xxxx +−=−
Deret yang diperoleh dari tan‐1x akan konvergen untuk x=1 (gunakan uji deret selang‐seling). Dengan memasukkan nilai x=1 ke dalam persamaan tan‐1x, maka:
53
11
Karena tan‐11=π/4, maka:
...51
3111tan 1 −+−=−
π/4=1 – 1/3 + 1/5 ‐ …π=4(1 – 0.333 + 0.20 ‐ …)
41
![Page 42: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/42.jpg)
1. Hitung nilai sin 31o dan cos 59o.
LATIHAN:g
2. Uraikan fungsi f(x) berikut ini:
ln x untuk sekitar x=1
3 Uraikan f(x) di bawah ini dalam deret Maclaurin sampai suku ke lima:3. Uraikan f(x) di bawah ini dalam deret Maclaurin sampai suku ke lima:
a. exsin x, b. , c. , d. , e. ,f. xx +1 ∫ −=
−+ x
tdt
xx
0211
1ln ∫ −x
t dte0
2
xx
−+
11 xe −
4. Gunakan uraian fungsi dasar dalam deret Maclaurin untuk menghitung integral, limit dan turunan fungsi f(x) berikut:
a. b. c. d. ∫ −01.0
0
dtet t ∫−1
0
1dxx
ex
3sinlim
0
xxx
−→ x
xx
)1(lnlim0
−→
e. f.2.0
34
4
)1ln( =+ xxdxd
04
6
6
)( =xxex
dxd
42
![Page 43: deret_materi](https://reader033.vdokumen.com/reader033/viewer/2022051516/55cf9bf8550346d033a80fd9/html5/thumbnails/43.jpg)
5. Buktikan dengan menggunakan uraian deret fungsi dasar bahwa:
…lanjutan
a.4
...71
51
311 π
=+−+−
b. 1...!7!5!3
642
=−+−πππ
c. 2...!3)3(ln
!2)3(ln3ln
32
=+++!3!
43