1 |
BARISAN DAN DERET
A. POLA BILANGAN
Berbagai jenis bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai
pola tertentu. Pola ini sering digunakan dalam menentukan urutan / letak
bilangan dari sekumpulan bilangan yang ditentukan, contoh bilangan ganjil
ke-5 dari bilangan : 1, 3, 5, 7,β¦ yaitu 9.
B. BARISAN BILANGAN
Barisan adalah himpunan sembarang unsur-unsur yang ditulis
secara berurutan. Barisan bilangan adalah bilangan yang disusun menurut
suatu aturan tertentu.
Contoh :
a. 1, 3, 5, β―
b. 10, 9, 8, 7, β―
Contoh Soal
1. Carilah 4 suku pertama dari barisan berikut, jika :
a. ππ = π2
π + 1
b. ππ = π + 1
π2 β 2π + 1
c. ππ = 1
(4πβ3)(2πβ1)
2. Tuliskan tiga suku berikutnya dari setiap barisan berikut ini dan tentukan
rumus sederhana suku ke β n !
2 |
a. β8, β4, 0, β―
b. 1, β2, 2, β―
c. 4, 2, 1, β―
3. Tentukan rumus sederhana suku ke-n dari barisan berkut.
a. β1, β1
2, β
1
4, β
1
2, β―
b. 1
1 Γ 2,
1
3 Γ 4,
1
5 Γ 8,
1
7 Γ 16, β―
c. 1
2,
1
2β2 ,
1
2β3,
1
2β4, β―
d. β5 β β2, β7 β β4, β9 β β6, β―
e. 1
β2 + 1,
1
β3 β β2,
1
2 + β3,
1
β5 β 2, β―
4. Rumus umum suku ke-n suatu barisan adalah ππ = ππ2 + ππ. Suku ke-2
dan suku ke-7 barisan tersebut masing-masing 8 dan 63.
a. Hitunglah π dan π serta rumus umum suku ke-n
b. Tentukan suku ke-10
5. Suku ke-n sebuah barisan ditentukan dengan rumus :
ππ = (β1)π π3 β 1
π2+ π + 1
a. Tentukan suku ke-5, suku ke-10 dan suku ke-15
b. Suku ke berapakah yang nilainya β24
C. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET
Barisan yaitu susunan bilangan yang didapatkan dari pemetaan
bilangan asli yang dihubungkan dengan tanda β,β. Jika pada barisan tanda
β,β diganti dengan tanda β+β, maka disebut deret.
3 |
Barisan banyak macamnya, tetapi yang akan dipelajari yaitu barisan
Aritmetika dan barisan Geometri.
1. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA (HITUNG)
1.1 BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan
menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap
itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Contoh-contoh barisan Aritmetika :
1) 1,3,5,.... bedanya b = ...
2) 0,5,10,... bedanya b = ...
3) 100,97,94,... bedanya b = ...
4) 3 2 , 7 2 ,11 2 ,... bedanya b = ... .
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = U1 = a dan beda = b, maka :
Un a + (n β 1) b Un : suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
b = 1 nn UU
Contoh 1 : Tentukan beda dari :
a) 1, 5, 9 b) 10,81
2,7,...
Jawab : a) β¦β¦β¦β¦.
b) β¦β¦β¦β¦.
4 |
Contoh 2 : Tentukan suku ke-50 dari barisan 2,5,8, ..... !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦
Contoh 3 : Tentukan banyak suku dari barisan 50,47,44,...,-22 !
Jawab : β¦β¦β¦β¦..
Contoh 4 : Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 1,5,9,... !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦.
Contoh 5 : Pada barisan Aritmetika diketahui U5 21 dan U10 41 . Tentukan
U15 !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut !
a) 3.5.7,... c) 20,17,14,...
b) 1,11
2,2,... d) 5 2 , 4 2 , 3 2 ,...
2. Tentukan suku yang diminta ! a) 4,10,16,... suku ke-25
b) 20 3 ,18 3 ,16 3 ,... suku ke-40
3. Tentukan unsur yang diminta pada barisan Aritmetika berikut :
a) b = 4, U6 21 , a = ...
b) a = -5, U20 33 , b = ...
c) a = 9, b = -2, Un 19 , n = ...
d) U4 1 , U7 8 , a = ... , b = ...
e) U3 71
2 , U6 15 , U10 ...
5 |
4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlahnya 21 dan
hasilkalinya 280, maka tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika !
6. Ali pada bulan Januari 1999 menabung Rp. 100.000. Tiap awal bulan Ali
menabung Rp.25.000. Tentukan jumlah tabungan Ali pada bulan April 2000
jika bunganya tidak diperhitungkan !
1.2 DERET ARITMETIKA
Jika pada barisan aritmetika tanda β,β diganti dengan tanda β+β maka didapat
deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Jumlah n suku pertama deret aritmetika
abababUbUUS
UbUbUbabaaS
UUUUUS
nnnn
nnnn
nnn
)()2(.......)2()(
)()2(..........)2()(
....... 1321
+
)(2
)()()(........)()()(2
nn
nnnnnnn
UanS
UaUaUaUaUaUaS
S n a Un n 1
2( ) , karena U a n bn ( )1 , maka :
])1(2[2
1bnanSn Sn : jumlah n suku pertama
U S Sn n n 1
Contoh 1: Hitunglah jumlahnya !
a) 1+3+5+...sampai 50 suku
b) 2+5+8+...+272
Jawab : a) β¦β¦β¦β¦β¦..
6 |
b) β¦β¦β¦β¦β¦.
Contoh 2: Tentukan π₯ jika 5+7+9+β¦β¦+ x = 192
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦
Contoh 3: Tentukan jumlah bilangan antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 4
tetapi tidak habis dibagi 5 !
Jawab : Yang habis dibagi 4 yaitu 4 + 8 + 12 + β¦β¦β¦.. + 100 = 1S =β¦β¦..
Yang habis dibagi 4 dan 5 atau habis dibagi 20 yaitu 20 + 40 + 60 +
80 + 100 = 2S = β¦β¦
Jadi jumlah bilangan yang habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5 =
1S - 2S = β¦β¦..
Contoh 4: Tentukan U10 jika S nn 2
Jawab : β¦β¦β¦β¦
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 3+6+9+ ... sampai 20 suku
b) 18+14+10+ ... sampai 20 suku c) -7-3+1+ ... + 53
d) 25+21+17 + ... + 1
2. Tentukan x jika ; a) 1+3+5+ ... + x = 441
b) 1+5+9+ ... + x = 561
3. Tentukan unsur yang diminta dari deret aritmetika berikut :
a) a = 2, S b22 737 , ...
b) b=5, U S10 1546 , ...
c) U U S4 7 109 18 , , ...
4. Tentukan jumlah bilangan antara 100 dan 200 yang habis dibagi 4 tetapi
tidak habis dibagi 3
7 |
6. Tentukan U8 jika S n nn 2 2
2. BARISAN DAN DERET GEOMETRI (UKUR)
2.1 BARISAN GEOMETRI
Barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan
tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut rasio
(pembanding) dilambangkan dengan r.
Contoh 1: Tentukan rasio dari barisan 1,2,4,8,...
Jawab : β¦β¦β¦β¦
Suku ke-n barisan geometri
Jika suku pertama u a1 dan rasio = r, maka :
1 n
n arU
Dimana 1
n
n
U
Ur
Contoh 1: Tentukan suku ke-8 dari barisan :1,2,4,....
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦.
Contoh 2: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 3,6,12,...
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦
8 |
Contoh 3: Pada barisan geometri diketahui U3 4 dan U5 16 . Tentukan U8 !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦.
Contoh 4: Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 13 dan
hasilkalinya 27, tentukan ketiga bilangan itu !
Jawab : Misal ketiga bilangan itu xrxr
x,, maka
32727.. 3 xxxrxr
x
Jadi
9,3,13
1,3,93
1
0)3)(13(0310313333 2
abilangannyr
abilangannyr
rrrrrxrr
Contoh 5: Tentukan x jika x-1, x+2 dan 3x membentuk barisan geometri !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦..
LATIHAN SOAL
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan :
a) 1,3,9,..... suku ke-7
b) 3,6,12,....suku ke-8
c) 16,8,4, ... suku ke-10
2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan :
a) 1
4
1
21, , ,....
9 |
b) 2 2 2 4, , ,....
3. Tentukan unsur yang diminta dari barisan geometri berikut :
a) a U U 4 324 6, , ...
b) b U a 1
335, , ...
c) U U U3 6 58 64 , , ...
d) U U U3 5 21 25 , , ...
4. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlahnya 21 dan
hasilkalinya 216, tentukan ketiga bilangan itu !
5. Tentukan x jika x-4, x, 2x membentuk barisan geometri !
6. Suatu bakteri pada pukul 20.00 jumlahnya 4. Tiap 10 menit sekali tiap-tiap
bakteri membelah menjadi 2. Tentukan banyaknya bakteri sampai pukul
21.20 !
2.2 DERET GEOMETRI
Jika pada barisan geometri tanda β,β diganti dengan tanda β+β maka didapat
deret geometri.
Jumlah n suku pertama deret geometri
nnn
n
nnn
n
ararararararrS
rxarararararaS
1232
1232
.............
..............
-
n
nn ararSS
1,1
)1(
1
)1(
r
r
ra
r
raS
nn
n dimana U S Sn n n 1
10 |
Contoh 1: Tentukan jumlah 8 suku pertama dari 1+2+4+....
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦
Contoh 2 : Tentukan jumlah dari 1+3+9+...+243
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦
Contoh 3: Tentukan n jika 1 2 2 2 2552 .... n
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦
LATIHAN SOAL
1. Tentukan jumlah dari :
a) 1
4
1
21 10 .... ...S
b) 36+18+9+.... S6 ...
c) 2 2 2 2 8 ... ...S
2. Tentukan jumlah dari :
a) 1/3+1+3=....+81
b) 32+16+8+....+1/8
3. Tentukan n jika :
a) 3 3 3 3 3632 3 ... n
b) 2 2 2 2 10222 3 1 ... n
4. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a) U U S1 3 550 200 , , ...
11 |
b) a r S nn 1 3 29524, , , ...
c) S r a8 155
6
1
2 , , ...
5. Jumlah penduduk suatu kota setiap 3 tahun menjadi dua kali lipat. Setelah
27 tahun jumlah penduduk menjadi 6,4 juta jiwa. Hitung jumlah penduduk
semula !
2.3 DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Sa r
r
a
r
r
rn
n n
( )1
1 1 1
Untuk n maka :
S n
Lim )
11(
r
r
r
a n
Untuk β1 < r < 1 maka :
Srr
a
1
0
1 sehingga S
r
a
1 syarat β1 < r < 1
Jadi suatu deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah)
jika β1 < r < 1
Contoh 1: Hitung ....4
1
2
11
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦
Contoh 2: Hitung 1 + 3 + 9 + β¦. (Beri alasannya !)
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦.
12 |
Contoh 3: Suku pertama deret geometri adalah 6. Jika jumlah sampai tak hingga sama
dengan 9, maka tentukan rasionya !
Jawab : β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah jumlahnya dari :
a. 32+16+8+β¦. e. 0,1+0,01+0,001+β¦.
b. 125+5+1+β¦. f. 8+2+1/2+β¦.
c. 12+8+16/3+β¦. g. 1+1+1+β¦.
d. 1/2+1/3+2/9+β¦. h. ....122
2. Tentukan unsur yang diminta dari deret geometri berikut :
a. r = -2/5, S 15 maka a = β¦.
b. a = 2, 8
13 U maka S β¦.
c. 27
1,9 72 UU maka S β¦.
d. 8
1,
2
9531 UUU maka S β¦.
3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 100 m . Bola memantul 3/5 dari tinggi
semula. Hitung jarak seluruhnya yang ditempuh bola sampai bola berhenti
4.
Jika sisi bujur sangkar terbesar pada gambar di
samping 8 cm, maka tentukan jumlah luas
keseluruhan bujur sangkar jika diteruskan hingga tak terhingga jumlahya.
13 |
5. NOTASI SIGMA
Untuk mempersingkat bentuk penjumlahan yang sifatnya mempunyai sifat
keteraturan digunakan notasi sigma yang dilambangkan dengan ""
b
ai
ix
dimana I sebagai indeks dengan batas bawah a dan batas atas b sedangkan
ix adalag rumus sigma sesuai dengan indeks yang digunakan. Indeks
menggunakan huruf kecil.
b
ai
x1 dibaca βsigma dari ix untuk harga i dari a sampai bβ.
Contoh 1 : Tentukan bentuk penjumlahan dan nilainya dari
5
1
)12(k
k
Jawab :
5
1
)12(k
k = β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦ = β¦β¦β¦β¦
Contoh 2 : Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan 1 + 4 + 7 + β¦β¦. +
28
Jawab : 1 + 4 + 7 + β¦β¦. + 28 = β¦β¦β¦β¦..
Jika batas bawah diubah maka otomatis rumus sigmanyapun akan berubah. Jadi
rumus sigma sifatnya tidak unik.
ck
cn
cn
k
n
n xx0
14 |
Contoh 3 : Ubahlah
5
0
)34(k
k menjadi bentuk sigma dengan batas bawah 7 !
Jawab :
12
7
75
7
5
0
)254(3)7(4)34(kkk
kkk
LATIHAN SOAL
1. Tulislah dalam bentuk penjumlahan dari :
n
k
k
n
k
ki
i
k
xe
n
nd
kc
ib
ka
1
6
0
10
1
7
3
2
7
1
2.
2.
3)1(.
.
)45(.
2. Tulislah dalam notasi sigma dari bentuk penjumlahan berikut :
144.........941.
56.........642.
256.......421.
20
21......
3
4
2
32.
101......261710.
41......951.
74......852.
g
f
e
d
c
b
a
3. Ubahlah bentuk sigma berikut dengan batas bawah = 5
15 |
n
i
x
x
n
k
i
id
c
nb
ka
0
10
7
10
3
8
0
2
1.
2.
)210(.
)43(.
6. INDUKSI MATEMATIKA
Induksi matematika adalah salah satu bentuk pembuktian suatu rumus
dalam matematika dengan menggunakan pola bilangan asli.
Misalkan Pn suatu pernyataan dan nAsli sedemikian sehingga :
1. nP benar untuk n = 1
2. Misal kP benar dimana k sembarang bilangan antara 1 dan n
sehingga menyebabkan 1kP benar pula, maka nP benar untuk n
Asli. Hal ini bisa digambarkan dengan penataan kartu berdiri yang dijajarkan dengan
jarak yang sama sehingga jika kartu yang pertama jatuh maka semua kartu akan
jatuh pula.
Contoh 1 : Buktikan )1(2
.....321 nn
n dengan menggunakan
induksi matematika !
Jawab : Untuk n = 1 (suku pertama) maka 1 = )11(2
1 benar.
Misal untuk sembarang n = k maka )1(2
.....321 kk
k benar.
Sehingga untuk n = k+1 :
16 |
)2(2
1
2
)1(2)1(
2)1()1(
2)1(......321
k
kkk
kkk
kkk
benar.
Jadi )1(2
.....321 nn
n benar untuk nAsli.
LATIHAN SOAL
Buktikan dengan induksi matematika !
738.9
33.8
2.7
1222........222.6
)11(2
5)530(.......152025.5
11)212(.....6810.4
2
)15()35(.......1272.3
)12(.......531.2
)1(2.....642.1
2
3
2
32
2
2
n
nn
darifaktor
nndarifaktor
nndarifaktor
nnn
nnn
nnn
nn
nnn