Download - Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
1/30
BAHAN KULIAH
GEOMETRI ANALITIKA
BAGIAN KEDUA
LINGKARAN
Dosen Pengampu :
PENDIDIKAN MATEMATIKA
FPMIPA IKIP PGRI SEMARANG
200
1
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
2/30
LINGKARAN
Θ De!"n"s"
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak sama
terhadap sebuah titik tertentu.
Jarak yang sama disebut radius (jari-jari).
Titik tertentu disebut pusat .
Θ Pe#samaan L"ng$a#an %engan Pusa& L ' ( )
PL = R
( ) ( ) 22 β α −+− y x = R
(x - α2 ! (y - β2 = R 2
Jadi" persamaan lingkaran dengan pusat (α" β adalah #
Jika pusat lingkaran $ (%" % maka α = %& β = % maka persamaan lingkaran
dengan pusat (%" % adalah #
Jika lingkaran (x - α2 ! (y - β2 = R 2 diuraikan" maka #
x2 - 2αx ! α2 ! y2 - 2βy ! β2 ' R 2 = %
x2 ! y2 - 2αx - 2βy ! (α2 ! ! β2 ' R 2 = %
dimisalkan # -2α =
-2β = ) didapat #
α2 ! β2 ' R 2 = *
2
o
*
+
P (x" y
L (α" β
'+ , )2 - '* , )2 . R 2
+2 - *2 . R 2
Rumus Umum L"ng$a#an
+2 - *2 - A+ - B* - / . 0
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
3/30
Θ Pusa& L"ng$a#an
dari pemisalan diatas #
-2α = α =2
1−
-2β = ) β =2
1− )
Θ Ra%"us
α2 ! β2 ' R 2 = *
R 2 = α2 ! β2 ' *
R = C B A −
+
22
2
1
2
1
Θ /a&a&an
1. Persamaan parameter (perantara lingkaran dengan pusat (%" %
x = R +,s θ
y = R sin θ
Bu$&" :
x = R +,s θ x2 = R 2 +,s2 θ
y = R sin θ y2 = R2 sin 2 θ
x2 ! y2 = R 2 (+,s2 θ ! sin2 θ
x2 ! y2 = R 2 . 1
x2 ! y2 = R 2 (terbukti
2. Persamaan parameter lingkaran dengan pusat L (α" β
x = α ! R +,s θ
y = β ! R sin θ
Bu$&" :
x = α ! R +,s θ x2 = α2 ! 2 α R +,s θ ! R 2 +,s2 θ
y = β ! R sin θ y2 = β2 ! 2 β R sin θ ! R2 sin 2 θ !
x2 ! y2 = α2 ! β2 ! 2α R +,s θ ! 2β R sin θ ! R 2 +,s2 θ ! R 2 sin2 θ
didapat # 2
1 "
2
1( B A −−
Pusa& L"ng$a#an
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
4/30
x2 ! y2 = α2 ! β2 ! 2α (x - α ! 2β (y - β ! R 2 (+,s2 θ ! sin2 θ
x2
! y2
= α2
! β2
! 2α x - 2α2
! 2β y - 2β2
! R 2
. 1
x2 ! y2 ! α2 ! β2 - 2α x - 2β y = R 2
x2 - 2α x ! α2 ! y2 - 2β y ! β2 = R 2
(x - α2 ! (y - β2 = R 2 (terbukti
/on&o :
Tentukan pusat dan radius lingkaran x2 ! y2 ' x ! /y ' 10 = %
Jawab :
x2 ! y2 ' x ! /y ' 10 = %
= -
) = /
* = -10
Pusat
−− B A
2
1"
2
1 Pusat (" -
R = 10((- 22 −−−+
= 101 ++
= %
= 2 1%
*ara lain dari rumus p3 x2 ! px ± 3
(x !2
1 p2 = 3 ! (
2
1 p2
x2
! y2
' x ! /y ' 10 = %
(x2 ' x ! (y2 ! /y = 10
(x - 2 ! (y ! 2 = 10 ! 2 ! 2
(x - 2 ! (y ! 2 = %
Pusat (" -
R = %
= 2 1%
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
5/30
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik ("
) (" -2 dan * (" 1 Jawab :
4isal Lingkaran L = x2 ! y2 ! x ! )x ! * = %
4elalui (" ! 1 ! ! ) ! * = %
! ) ! * = -20 5555..(1
4elalui ) (" -2 ! ! ' 2) ! * = %
' 2) ! * = -1 55555(2
4elalui * (" 1
! 1 ! ! ) ! * = % ! ) ! * = -6 5555....(
(1 ! ) ! * = -20
(2 ' 2) ! * = -1 7
) = -12 ) = -2
(1 ! ) ! * = -20
(2 ! ) ! * = -6 7 - ! ) = 12
) = -2 - ' =12
- = 1/ = -
dari hasil diatas" disubtitusikan ke persamaan (1
= - & ) = -2
! ) ! * = -20 55..(1
(- ! (-2 ! * = -20-1/ - / ! * = -20
* = -20 ! 2 * = 1
Jadi" Lingkaran L = x2 ! y2 ' x ' 2y ! 1 = %
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik" (1"& ) (" -2 dan
* (0" 1 kunci : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25
x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0
0
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
6/30
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik" (-2" -& ) (6" 1 dan
* (2" .Θ Ga#"s SInggung L"ng$a#an
Pandang garis g ≡ y = m x ! +
Lingkaran L ≡ x2 ! y2 = R 2
Jika g dip,t,ng lingkaran L #
x2 ! (mx ! +2 = R 2
x2 ! m2x2 ! 2m+x ! +2 ! - R 2 = %
(1 ! m2
x2
! 2m+x ! (+2
' R 2
= %
Persamaan kuadrat daam ! :
1. Jika 8 9 % maka ada 2 harga x yang berbeda" berarti garis mem,t,ng
lingkaran pada dua titik.
2. Jika 8 = % maka ada 2 harga x yang kembar (x1 = x2 berarti garis g
menyinggung lingkaran.
. Jika 8 : % maka harga x imajiner" berarti garis g di luar lingkaran.
Jadi" syarat garis menyinggung lingkaran aadalah 8 = %8 = % b2 ' a+ = %
(2m+2 ' (1 ! m2 (+2 ' R 2 = %
m2+2 ' +2 ' m2+2 ! R 2 ! m2R 2 = %
+2 = R 2 ! R 2m2
+2 = R 2 ! (1 ! m2
+ = ± R 21 m+
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x2
! y2
= R 2
Θ Ga#"s S"nggung L"ng$a#an '+ , )2 - '* , )2 . R 2 %engan g#a%"en& m
a%a1a :
)ukti #
y = mx ± R 21 m+
(y - β = m (x - α ± R 21 m+
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
7/30
;aris g ≡ y = mx ! +
L ≡ (x - α2
! (y - β2
= R 2
;aris g dip,t,ngkan lingkaran L #
(x - α2 ! (mx ! + - β2 = R 2
x2 - 2αx ! α2 ! m2x2 ! +2 ! β2 ! 2m+x ' 2mβx - 2β+ ' R 2 = %
(1 ! m2 x2 ' (2α - 2m+ ! 2mβ x ! (α2 ! +2 ! β2 - 2βx - 2β+ ' R 2 = %
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
8/30
y =
-−x !
mg = -
-
Lingkaran L ≡ x2 ! y2 = 20
g 55 l sehingga mg = ml = -
-
Persamaan garis singgungnya # y = mx ± R 21 m+
y = -
-x ± 0
2
-1
−+
y = -
-x ± 0
1
1+
y = -
-x ± 0
1
1+
y = -
-x ± 0 . 20
1
y = -
-x ± 0 .
0
y = -
-x ±
20
Jadi persamaan garis singgungnya #
y =
-−x !
20 atau y =
-−x -
20
2. ;aris g ≡ x ' y = 10
-y = -x ! 10
y =-
x - 0
mg =-
Lingkaran x2 ! y2 =
;aris g dan lingkaran l membentuk θ = 0%
tg θ =m m"
m m"
.1+
−
/
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
9/30
tg 0
%
= m
m
-1
-
+
−
(i 1 =m
m
-
1
-
+
−
-
-
-
-m =
-
- !
-
m
-
m !
-
-m =
-
--
-
-
6m
= -
1
⇒ ml = 21
-
= 6
1
Persamaan garis singgung lingkaran melalui gradient ml =6
1
adalah #
y = mx ± R 21 m+
y =6
1x ±
11+
y =61 x ±
6. 0%
y =6
1x ±
6
2-%
(ii
#
#
m
m
-
1
-
+ = -1 55555..silahkan itungen deek>
/on&o Soa1 :
1 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 20 yang tegak
lurus garis x ! y = .
2 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 1 yang sejajar
dengan garis yang menghubungkan titik (1" 2 dan )(" .
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 12 ! (y - 2 = 20 yang
sejajar garis x ' y = .
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 ' x ' 2y ' 10 = %
yang tegak lurus garis x ' y = 2.
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
10/30
Θ Ga#"s S"nggung L"ng$a#an %engan T"&"$ S"nggung P '+6( *6)Pandang L ≡ x2 ! y2 = R 2
Titik P (x1" y1 pada L
∴ x12 ! y12 = R 2 555555..(1
;radien $P = m1
m1 =%
%
1
1
−−
x
y
;aris g ⊥ $P m2 =1
1
m m2 =
1
1
y
x−
Jadi garis singgung g melalui P (x1" y1 dan gradient m =1
1
y
x− adalah #
y ' y1 = m (x ' x1
y ' y1 =1
1
y
x−(x ' x1
y1y = y12 = -x1x ! x1
2
x1x ! y1y = x12 ! y1
2 555555..(2
dari persamaan (1 dan (2 didapatkan #
Rumus ga#"s s"nggung 1"ng$a#an %engan &"&"$ s"nggung P '+6( *6)
Θ /a&a&an :
;aris singgung lingkaran x2 ! y2 ! x ! )x ! * = % yang melalui titik
singgung P (x1" y1 adalah #
Bu$&" :
1%
O
P (x1" y
1
m1 =
x2 ! y2 = R 2
+6+ - *6* . R 2
x1x ! y1y !2
1(x ! x1 !
2
1)(y ! y1 ! * = %
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
11/30
L ≡ x2 ! y2 ! x ! )y ! * = %
Titik singgung P(x1" y1 pada L" maka #x1
2 ! y12 ! x1 ! )y1 = -*555555(1
;radien garis LP = m1 =
A x
B y
2
12
1
1
1
+
+
;radien g ⊥ LP m2 =
+
+
− B y
A x
2
1
2
1
1
1
Jadi garis g melalui P (x1" y1 adalah #y ' y1 = m (x ' x1
y ' y1 =
+
+−
B y
A x
2
1
2
1
1
1
. (x ' x1
(y1 !2
1) y ' (y1 !
2
1) y1 = - (x1 !
2
1 x ! (x1 !
2
1 x1
y1 . y ! 2
1)y ' y12 - 2
1)y1 = -x1x - 2
1x ! x12 ! 2
1x1
x1 x ! y1 y !2
1x !
2
1)y = x2 ! y2
2 !2
1x1 !
2
1)y1
2
1x1 !
2
1)y1 =
2
1x1 !
2
1)y1
x1x ! y1y !2
1 (x ! x1 !
2
1) (y ! y1 = x1
2 ! y12 ! x1 ! )y1 5555.(2
(1 (2 x1x ! y1y !2
1 (x ! x1 !
2
1) (y ! y1 = - *
11
P (x1" y
1
L(-1?2" 1?2)
g
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
12/30
x1x ! y1y !2
1 (x ! x1 !
2
1) (y ! y1 ! * = % (terbukti
/on&o :
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran di titik ("
lingkaran x2 ! y2 = 20
a3a4 :
x2 ! y2 = 20
! 1 = 20
Jadi P(" adalah titik singgung
;aris singgung melalui P(" adalah #
g ≡ x1 . x ! y1 . y = R 2
x ! y = 20
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 22 ! (y - 12 = 20
yang melalui titik (0" 0
a3a4 :
L ≡ (x - 22 ! (y - 12 = 20
x2 ! y2 ' x ' 2y ' 2% = %
P (0" 0 20 ! 20 ' 2% ' 1% ' 2% = %
Jadi titik P (0" 0 adalah titik singgung.
;aris singgung x1x ! y1y !2
1 (x ! x1 !
2
1) (y ! y1 ! * = %
0x ! 0y ' 2 (x ! 0 ' (y ! 0 ' 2% = %
0x ! 0y ' 2x ' 1% ' y ' 0 ' 2% = % x ! y ' 0 = %
Θ Ga#"s Ku&u4 5 Ga#"s Po1a#
Jika titik P (x1" y1 di dalam atau di luar lingkaran" maka titik P disebut titik
kutub ($%ar).
Jika P (x1" y1 di luar lingkaran x2 ! y2 = R 2 maka #
Titik singgung @ (x2" y2 pada lingkaran x2
! y2
= R 2
.
12
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
13/30
;aris singgung g1≡ x2 x ! y2 y ! R 2 555555.(1
Titik singgung R (x" y pada lingkaran x2
! y2
= R 2
.;aris singgung g2≡ x x ! y y ! R 2 555555.(2
Titik P (x1" y1 pada g1 x2 x1 ! y2 y1 = R 2 555555.(
Titik P (x1" y1 pada g2 x x1 ! y y1 = R 2 555555.(
&ari $ers' ()
x1 x2 ! y1 y2 = R 2 berarti pada titik @ (x2" y2
terletak pada garis l ≡ x1x ! y1y = R 2 .
&ari $ers' (4)
x1 x ! y1 y = R 2 berarti pada titik @ (x" y
terletak pada garis l ≡ x1x ! y1y = R 2 .
Jadi garis yang melalui @ dan R adalah #
8isebut garis kutub ($%ar)
Θ /a&a&an
1. Jika P (x1" y1 di luar lingkaran x2 ! y2 ! x ! )x ! *= % maka garis kutub
adalah #
l ≡ x1x ! y1y !2
1(x1 ! x !
2
1)(y1 ! y ! * = %
2. Jika P (x1" y1 di luar lingkaran maka garis singgung yang melalui P (x1" y1
diper,leh dengan +ara mem,t,ngkan garis kutub dengan lingkaran
sehingga diper,leh dua titik p,t,ng yang berAungsi sebagai titik singgung.
/on&o :
1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 ! y2 = 20 yang melalui
P(6" 1
Jawab :
1
1 ≡ +6+ - *6* . R 2
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
14/30
x2 ! y2 = 20
! 1 = 20 0% 9 20. Titik di luar lingkaran" maka P(6" 1 di luar
lingkaran.
;aris kutub l ≡ x1 x ! y1 y = R 2
6x ! y = 20
y = 20 ' 6x
8ip,t,ngkan lingkaran x2 ! (20 ' 6x2 = 20
x2 ! 20 ' 0%x ! x2 ' 20 = %
0%x2 ' 0%x ! %% = %
x2 ' 6x ! 12 = %
(x - (x - = %
x = B x =
⇒ Cntuk x = y = 20 ' 6x y =
Titik singgung ("
;aris singgung x ! y = 20
⇒Cntuk x = y = 20 ' 2/ y = -
Titik singgung (" -
;aris singgung x ' y = 20
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x - 2 ! (y - 2 = 20 yang
melalui titik (1%" 0
Jawab :
L ≡ (x - 2 ! (y - 2 = 20
x2 ! y2 ' x ' /y = %
P (1%" 0 1%% ! 20 ' % ' % 9 %
Jadi P (1%" 0 diluar lingkaran.
;aris kutub l ≡ 1%x ! 0y ' (x ! 1% ' (y ! 0 = %
6x ! y ' 0% = %
y = 0% ' 6x
1
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
15/30
8ip,t,ngkan ke lingkaran x2 ! y2 ' x ' /y = %
x2 ! (0% ' 6x2 ' x ' /(0% ' 6x = %
x2 ! 20%% ' 6%%x ! x2 ' x ' %% ! 0x = %
0%x2 ' 0%x ! 21%% = %
x2 ' 1x ! 2 = %
(x - (x - 6 = %
x = B x = 6
⇒ Cntuk x = y = 0% ' 6x y = /
Titik singgung (" /
;aris singgung x ! /y ' (x ! ' (y ! / = %
x ! /y ' x ' 1/ ' y ' 2 = %
x ! y ' 0% = %
⇒ Cntuk x = 6 y = 0% ' 6x y = 1
Titik singgung (6" 1
;aris singgung 6x ! y ' (x ! 6 ' (y ! 1 = %
6x ! y ' x ' 21 ' y ' = %
x ' y ' 20 = %
. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-" 2 dan menyinggung
garis x ' y = /
Jawab :
;aris singgung x ' y = /
y = x ' /
y =
-
x ' 2
8ip,t,ngkan ke lingkaran #
(x ! 2 ! (y - 22 = R 2
(x ! 2 !2
-
− x = R 2
x2 ! x ! !1
2x2 ' x ! 1 ' R 2 = %
1.
20
x2
! 10 ' R 2
= %
10
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
16/30
20x2 ! %% ' 1R 2 = %
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
17/30
(x ! 12 ! (y ! 22 = 0
8an persamaan lingkaran dengan P2 (2" 1 dan jari-jari 0 adalah
(x - α2 ! (y - β2 = R 2
(x - 22 ! (y - 12 = 0
0. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (%" % menyinggung garis
x ' y = dan pusat pada garis x ' 2y ! = %
Jawab :
Persamaan lingkaran melalui (%" % α2! β2 = R 2 5555..(1
Pusat (α" β pada garis x ' 2y = -
α - 2β = - 5555..(2
Jarak P (α" β ke garis x ' y =
R =1
-
+−− β α
R =0
- −− β α α - β = 0R ! 55555..(
Pers. (2 dan ( α - β = 0R ! x 1 α - β = 0R !
α - 2β = - x α - /β = - 2 7
0β = 0R ! %
β = R !
α = 2β -
α = 2 (R ! '
α = 2R !
(1 α2 ! β2 = R 2
(2R ! 2 ! (R ! 2 = R 2
R 2 ! 2R ! ! R 2 ! 12R ! = R 2
R 2 ! R 2 ! 62 = %
R 2 ! R ! 1/ = %
(R ! (R ! = %
R = - B R = -
α1 = 2(- ! β1 = 0 !
16
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
18/30
α1 = % β1 = %
α2 = -12 ! β2 = %
α2 = -
Jadi pusatnya P1 (%" & P2 (-" %
P1 (%" persamaan lingkaran D ≡ x2 ! (y - 2 =
P2 (-" % persamaan lingkaran DD ≡ (x ! 2 ! y2 =
Θ Kuasa T"&"$ Te#a%ap L"ng$a#an
Jika P(x1" y1 diluar lingkaran L = % maka melalui P dapat dibuat garis banyak
sekali" sehingga mem,t,ng L = % di dan E & ) dan )E & * dan *E dan
seterusnya serta menyinggung L = % di @
Pandang ∆P@ dan ∆P@E
∠P =∠P (berimpit
∠@1 = ∠E (∩ @
∠= ∠@ (1/%% ' (∠P !∠@1
Jadi" ∆P@ − ∆PE@
∴ F PA
P)
= P)
PA
P@2
= P . PE
nal,g P@2 = P) ' P)E
P@2 = P* . P*E
Θ Rumus
Jika P(x1" y1 diluar lingkaran L = % dan garis melalui P mem,t,ng L di dan
E& ) dan )E& * dan *E dan seterusnya serta menyinggung L = % di @" maka
berlaku P@2 = P . PE = P) . P)E = P* . P*E = tetap harganya.
1/
P '+6( *
6) 7
A6
B6
/6
8
4
a
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
19/30
)ilangan yang tetap ini disebt kuasa P terhadap L = %.
Jika P diluar lingkaran maka kuasa P terhadap L = % p,sitiA.
Jika P pada lingkaran maka kuasa P terhadap L = % sama dengan %.
Jika P didalam lingkaran maka kuasa P terhadap L = % negatiA.
Θ Da1"1
Jika kuasa P(x1" y1 terhdap L ≡ x2 ! y2 ! x ! )x ! * = % adalah k 2 maka
berlaku #
Jika kuasa P (x1" y1 terhadap L ≡ (x - α2 ! (y - β2 = R 2
Θ Bu$&"
L ≡ (x - α2 ! (y - β2 = R 2
Pusat L (α" β
@L = R
PL = 212
1 (( β α −+− y x
P@2 = PL2 ' @L2
k 2 = P@2 = (x1 - α2 ! (y1 - β2 ' R 2 (terbukti
Θ Ga#"s Kuasa
Jika L1 ≡ x2 ! y2 ! ax ! by ! + = %
L2 ≡ x2 ! y2 ! px ! 3y ! r = %
4aka tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua
lingkaran k = % dan L2 = % berbentuk garis dengan persamaan #
Garis kuasa
1
k 2 = 2 P) = x12 ! y1
2 ! x1 ! )y1 ! *
k 2 = 2 P) = (x1 - α2 ! (y1 - β2 ' R 2
L6 . L2 . 0
P(x1" y
1
L(α" β
7
B
B9
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
20/30
G*aris yan" mem$unyai kuasa sama terada$ 2 in"karan,
g ≡ L1 ' L2 = %
L garis kuasa
g ≡ L1 - L2 = %
Θ Me1u$"s Ga#"s Kuasa
1. )uat sembarang L = % yang mem,t,ng L1 = % dan L2 = %
2. )uat garis kuasa g1 yaitu L2 ' L = %
. )uat garis kuasa g2 yaitu L1 ' L = %
. g1 dan g2 berp,t,ngan di T (titik kuasa
0. 4elalui T buat garis g yag L sentral
Titik kuasa adalah titik yang mempunyai kuasa yang sama dengan lingkaran
yaitu L1 = %" L2 = %" L = %
/on&o :
1. Tentukan sebuah titik pada garis x ' y ! 2 = % yang mempunyai kuasa
sama terhadaplingkaran x2 ! y2 ' y ! 2 = % dan x2 ! y2 ' x ! = %
Jawab :
L1 ≡ x2 ! y2 ' y ! 2 = %
L2 ≡ x2 ! y2 ' x ! = %
2%
76
72
L2
L6
L6
L2
1
L6 L2
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
21/30
;aris kuasa = L1 ' L2
L1 ≡ x2 ! y2 ' y ! 2 = %
L2 ≡ x2 ! y2 ' x ! = % 7
x ' y ' 2 = %
;aris kuasa ≡ x ' 2y ' 1 = %
D ≡ x ' y ! 2 = %
Jadi titik pada D yang mempunyai kuasa sama terhadap L 1 = % & L2 = %
adalah titik p,t,ng dan D
x =
11
2-
12
21
−
−
−−
−
=2-
1
+−
−−
= 0
y =1
21
1-
−
−
=1
1
−
−−
= 6
jadi titik itu (0" 6
2. Tentukan panjang garis singgung dari titik P(6" 1 terhadap lingkaran
x2 ! y2 = 20
Jawab :
Huasa P terhadap L
k 2 = 2 P)
jadi panjang garis singgung
P@ = kuasa
k 2 = 2 P) = x12 ! y1
2 = R 2
k 2 = 2 P) = ! 1 ' 20 = 20
jadi panjang garis singgung P@ = 20 = 0
/a#a La"n :
21
7
P'( 6)
+2 - *2 . 2;
g
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
22/30
P(6" 1 x2 ! y2 = 20
! 1 9 20Jadi" (6" 1 diluar lingkaran.
;aris kutub ≡ x1 .x ! y1 . y = R 2
6x ! y = 20
y = 20 ' 6x
8ip,t,ngkan Lingkaran #
x2 ! (20 ' 6x2 = 20
x
2
! 20 ' 0%x ! x
2
= 200%x2 ' 0%x ! %% = %
x2 ' 6x ! 12 = %
(x - (x - = %
x = B x =
⇒ x = y = 20 ' 21 =
Titik singgung @ = ("
Panjang garis singgung P@ = ( )
22
1(-6 −+−
= 20 = 0
⇒ x = y = 20 ' 2/ = -
Titik singgung @ (" -
P@ = ( ) 22 -1(6 ++−
= 20 = 0
Θ Ke%u%u$an Dua L"ng$a#an
1. Jika L1 = % dan L2 = % berp,t,ngan ⊥
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
23/30
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
24/30
0b = 21 b =0
21
Jadi lingkaran mempunyai pusat (0
2/−"0
21 dan R = 2
adalah22
0
21
0
2/
−+
+ y x =
⇒ Jika lingkaran bersinggungan di dalam
0
%.2(- +− = a
a = 0
12−
0
%.2-.- + = b
b =0
2
Jadi Lingkaan (x !0
122 ! (y -
0
22 =
/a#a 1a"n :
Jika menyinggung di luar
4issal # L1 ≡ (x - α2 ! (y - β2 =
Pusat L1 (α" β
R 1 = 2
L2 ≡ x2 ! y2 = 20
Pusat L2 (%" %
R 2 = 0
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
25/30
(1 I (2 α2 ! β2 =
α2
! β2
! /α - β = -21 7
-/α ! β = 6%
-α ! β = 0
β =-
-0 α + 555(
( subst (1 α2 ! β2 =
α2 !2
-
-0
+ α =
α2 !
1.2/%1220 2α α ++ =
α2 ! 1220 ! 2/%α ! 1α2 = 1
20α2 ! 2/%α ! 6/ = %
(0α ! 2/2 = %
α =0
2/−
β =
-
0
2/-0
−+
β =10
112160 −
10
.- β =
0
21
Jadi" lingkaran ≡ 2
0
2/
+ x !
2
0
21
− y =
Jika menyinggung di dalam
L1 L2 = R 1 ' R 2
4elalui (-"
(- - α2 ! ( - β2 =
α2 ! β2 ! /α - β ! 21 = % 5555.(1
α2 ! β2 = 5555.(2
Pers (1 dan (2
α2 ! β2 =
20
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
26/30
α2 ! β2 ! /α - β = -21 7
-/α ! β = %
-α ! β = 10
β =-
10 α +55555.(
( subst (2
α2 !2
-
10
+ α
=
α2
!
1.12%220 2α α ++=
α2 !220 ! 12%α ! 1α2 = /1
20α2 !12%α ! 1 = %
(0α ! 122 = %
α = -0
12
β =-
0
12(10
−+ β = 10/60 −
= 10
26 = 0
2
Persamaan lingkaran ≡ 2
0
12
+ x !
2
0
− y =
2 Tentukan persamaan lingkaran yang mem,t,ng lingkaran x2 ! y2 ' 2x ! 0y
' 0 = %
⊥ melalui titik (" 1 dan yang pusatnya terletak pada garis x ! y = 6
Jawab :
4isal # L2 = (x - α2 ! (y - β2 = R 2
Pusat L2 (α" β R 2 = R
L1 ≡ x2 ! y2 -2x ! 0y ' 0 = %
(x - 12 (y !2
02 0 ! 1 =
20
(x - 12 (y !2
02 =
2
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
27/30
Pusat L1 = (1" -2
0 R 1 =
2
6
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
28/30
( β =
6 α −
β =
-6 −
β =
1− = -
(1 α2 ! β2 - 2α ! 0β = R 2 ! 0
! 1 ' 1 ' 2% = R 2 ! 0
R 2 = 2
Jadi persamaan lingkaran ≡ (x - α2
! (y - β2
= R 2
(x - 62 ! (y ! 2 = 2
Tentukan persamaan tali busur lingkaran x2 ! y2 = 20 sehingga titik (2"
merupakan titik tengah tali busur itu.
Jawab :
2
21 x x + = 2
x1 ! x2 = 5..(1
2
21 y y + =
y1 ! y2 =
Persamaan tali busur yang melalui (2"
y ' = m (x - 2
y = mx ' 2m !
dip,t,ngkan lingkaran ≡ x2 ! y2 = 20
x2 ! (mx -2m ! 2 = 20
x2 ! m2x2 ! m2 ! ' m2x ! mx ' 12m ' 20 = %
(1 ! m2x2 ' (m2 ' mx ! (m2 ' 12m - 1 = %
x1 ! x2 = -a
-
2
2
1
.
m
mm
+−
555..(2
(1 dan (22
2
1
.
m
mm
+
−= m2 ' m = ! m2
2/
'2( =)
A'+6( *
6)
B'+2( *
2)
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
29/30
m = --
2
jadi persamaan tali busurnya #
y = mx ' 2m !
y = --
2x !
-
!
2x ! y ' 1 = %
Tentukan persamaan tali busur lingkaran (x - 22 ! (y -12 = 20 sehingga
titik (" merupakan titik tengah tali busur.
Jawab :
x1 ! x2 = / .......... 1
L = (x - 2
2
! (y - 1
2
= 20Persamaan tali busur yang melalui ("
y ' = m (x -
y = mx ' m !
8ip,t,ngkan lingkaran
(x - 22 ! ((mx ' m ! - 12 = 20
x2 ' x ! ! (mx ' m ! 2 = 20
x2 ' x ! ! (m2x2 ! m2 ! ' /m2x ! mx ! 2m ' 20 = %
(1 ! m2 x2 ' (/m2 - m x ! (m2 ! 2m - 21 = %
x1 ! x2 =a
-−
=2
2
1
./
m
mm
+−
55555..(2
(1 dan (22
2
1
./
m
mm
+
− = /
2
'>(>)
A'+6( *
6)
B'+2( *
2)
-
8/18/2019 Bahan Kuliah Geometri Lingkaran
30/30
/m2 -m = / ! /m2
m = -?
jadi persaman talibusur # y ' = -? ( x '
x ! y ! = %
0 Tentukan persamaan lingkaran yang mem,t,ng tegak lurus lingkaran x2 !
y2 ! 2x ! y ' = % melalui (" 2 dan pusatnya pada garis x ! y = .