90 Pengolahan Sinyal

BAB 3 ANALISIS FOURIER UNTUK SINYAL DAN

SISTEM WAKTU KONTINYU

Pertemuan ke : 9-12

Topik belajar : Analisis Fourier Waktu Kontinyu

Alokasi waktu : 2 sks / 2 js

Sub bahasan:

1. Respon Sistem LTI Kontinyu terhadap Eksponensial Kompleks2. Representasi Sinyal Periodik : Deret Fourier Waktu Kontinyu3. Representasi Sinyal Aperiodik : Transformasi Fourier Waktu Kontinyu4. Transformasi Fourier Sinyal Periodik dan Waktu Kontinyu5. Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Kontinyu6. Sifat Konvolusi7. Tabel Sifat-sifat Transformasi Fourier dan Deret Fourier8. Respon Frekuensi dari Sistem Berdasar Persamaan Diferensial Koefisien

Konstan

Tujuan pembelajaran :

1. Mahasiswa mampu memahami Respon Sistem LTI Kontinyu terhadapEksponensial Kompleks

2. Representasi Sinyal Periodik : Deret Fourier Waktu Kontinyu3. Representasi Sinyal Aperiodik : Transformasi Fourier Waktu Kontinyu4. Transformasi Fourier Sinyal Periodik dan Waktu Kontinyu5. Sifat-sifat Transformasi Fourier Waktu Kontinyu6. Sifat Konvolusi7. Tabel Sifat-sifat Transformasi Fourier dan Deret Fourier8. Respon Frekuensi dari Sistem Berdasar Persamaan Diferensial Koefisien

Konstan

PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas representasi alternatif dari sinyal dan sistem LTI

waktu kontinyu. Seperti halnya pada bab sebelumnya, pembahasan dimulai dengan

representasi penjumlahan sinyal yang diboboti dan integral dari beberapa sinyal

dasar. Dalam pembahasan disini sinyal dasar yang digunakan adalah unit impulse

yang tergeser dan eksponensial kompleks. Representasi ini menghasilkan deret dan

transformasi Fourier dalam waktu diskrit yang dapat digunakan untuk menyusun

banyak jenis sinyal yang berguna.

91

Pengolahan Sinyal

MATERI

3.1 RESPON SISTEM LTI KONTINYU TERHADAP EKSPONENSIAL KOMPLEKS

Banyak kelebihan yang diperoleh dalam mempelajari sistem LTI dengan

menyatakan sinyal sebagai kombinasi linier dari sinyal dasar yang mempunyai sifat-

sifat:

1. Sekumpulan sinyal dasar dapat digunakan untuk menyusun sebuah kels sinyal-

sinyal yang luas dan berguna.

2. Respon dari sistem LTI terhadap masing-masing sinyal dasar harus cukup

sederhana dalam struktur untuk menyediakan reperesentasi yang mudah untuk

respon dari sistem terhadap sebarang sinyal yang disusun sebagai sebuah

kombinasi linier dari sinyal-sinyal dasar ini.

Untuk sistem LTI waktu kontinyu kedua kelebihan tersebut diberikan oleh

kelompok eksponensial kompleks dalam bentuk est, dimana s adalah bilangan

kompleks biasa.Pentingnya eksponensial kompleks dalam mempelajari sistem LTI

berasal dari kenyataan yang dapat ditunjukkan di bawah ini bahwa respon sebuah

sistem LTI terhadap sebuah input eksponensial kompleks adalah sama dengan

eksponensial kompleks dengan hanya sebuah perubahan dalam amplitudonya, yaitu :

stst esHe )( ……………………………………………….……. (3.1)

dimana faktor amplitudo kompleks H[s] adalah sebagai fungsi biasa dari variabel

kompleks s. Sebuah sinyal yang menyebabkan output sistem berupa konstanta waktu

dari input disebut sebuah fungsi eigen (eigen function) dari sistem, dan faktor

amplitudonya disebut nilai eigen (eigenvalue).

Untuk menunjukkan bahwa eksponensial kompleks benar-benar fungsi eigen

dari sistem LTI, berikut diberikan sistem LTI dengan respon impulse h(t). Untuk

sebuah input x(t) dapat ditentukan melalui penggunaan integral konvolusi, sehingga

x(t) berbentuk x(t) = est, maka dari persamaan (3.1) diperoleh :

( )( ) ( ) ( ) ( ) s ty t h x t d h e d

……………………. (3.2)

Nyatakan es(t-) dalam bentuk est atau e-st sehingga semua est dapat dikeluarkan dari

integral, persamaan (3.2) menjadi:

92

Pengolahan Sinyal

dehety sst )()( …………………………………….. (3.3)

sehingga respon dari estmempunyai bentuk

stesHty )()( …………………………………………….. (3.4)

dimana H(s) adalah kostanta kompleks yang seluruh nilainya tergantung pada s dan

berkaitan dengan respon impulse sistem dengan berhubungan sebagai berikut:

dehsH s)()( …………………………………………….. (3.5)

Sehingga dapat ditunjukkan bahwa eksponensial kompleks sebarang merupakan

fungsi eigen dari sistem LTI. Konstanta H[s] untuk harga s tertentu adalah nilai eigen

yang berkaitan dengan fungsi eigen est. Analisis sistem LTI dengan menggunakan

fungsi eigen dapat juga dilihat dari contoh berikut. Sinyal x(t) menyatakan sebuah

kombinasi linier dari 3 eksponensial kompleks, yaitu :

tststs eaeaeatx 321321)( …………………………………….. (3.6)

Respon masing-masing adalah:

31 31 1 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )s t s ts t s t s t s ta e a H s e a e a H s e a e a H s e

dan dari sifat superposisi dari persamaan (3.1) dan (3.2), respon dari jumlah input

adalah jumlah dari respon-respon tersebut, sehingga:

tststs esHaesHaesHaty 321 )()()()( 332211 ……………. (3.7)

Dalam bentuk lebih umum:

k

tskk

k

tsk

kk esHaea )( ……………. (3.8)

Sehingga dalam sistem LTI, jika diketahui nilai eigen H(su), maka respon dari

kombinasi linier eksponensial kompleks dapat disusun langsung.

3.2 REPRESENTASI SINYAL PERIODIK : DERET FOURIER WAKTU KONTINYU

Dari Bab II, sebuah sinyal adalah periodik jika untuk nilai positif dan tidak nol.

tsemuauntukTtxtx )()( …………………………….. (3.9)

Periode dasar T0 dari x(t) adalah minimum positif, nilai bukan nol dari T sehingga

persamaan (3.9) terpenuhi, dan nilai 2/t0 disebut frekuensi dasar.

Pada bab sebelumnya telah diberikan dua sinyal periodik, sinusoida:

ttx 0cos)( …………………………………………….. (3.10)

dan eksponensial kompleks periodik:

93

Pengolahan Sinyal

tjetx 0)( …………………………………………….. (3.11)

Kedua sinyal periodik dengan frekuensi dasar w0 dan periode dasar T0=2/w0

bersesuaian dengan sinyal pada persamaan (3.11), harmonisa dari eksponensial

kompleks:

,2,1,0,)( 0 ket tjkk

…………………………….. (3.12)

Seperti telah dibahas sebelumnya masing-masing sinyal ini mempunyai frekuensi

dasar yang merupakan kelipatan dari w0 dan masing-masing periodik dengan periode

T0 (walaupun untuk k2, periode dasar dari k(t) adalah pecahan dari T0). Sehingga

kombinasi linier dari harmonisa eksponensial kompleks dari:

k

tjkk eatx 0)( …………………………………………….. (3.13)

juga periodik dengan periode T0. Dalam persamaan (3.13), bentuk untuk k = 0 adalah

sebuah komponen dc atau bentuk konstan. Dua bentuk pada k = 1 mempunyai

periode dasar yang sama dengan T0 dan disebut komponen dasar atau komponen

harmonisa pertama. Dua bentuk pada k = 2 adalah periode dengan periode setengah

(atau frekuensinya dua x) dari komponen dasar dan disebut komponen harmonisa

kedua. Secara umum komponen pada k = N disebut sebagai representasi komponen

harmonisa ke–N.

Representasi sinyal periodik dalam bentuk persamaan (3.13) disebut sebagai

deret Fourier. Berikut sebuah contoh dari representasi tersebut.

Contoh 3.1

Sebuah sinyal periodik x(t) dengan frekuensi dasar 2, dinyatakan dalam

bentuk persamaan (3.13). Sehingga:

3

3

2)(k

tjkk eatx …………………………………………….. (3.14)

dimana : a0 = 1, a1 = a-1 = ½, a2 = a-2 = ½ , a3 = a-3 = 1/3

Persamaan (3.14) dinyatakan dalam tiap komponen harmonisanya adalah sebagai

berikut :

)()()(1)( 663144

2122

41 tjtjtjtjtjtj eeeeeetx (3.15)

Dengan menggunakan rumus Euler x(t) dapat dinyatakan dalam bentuk

ttttx 6cos4cos2cos1)( 32

21 …………………….. (3.16)

Gambar 3.1 menunjukkan representasi grafik dari sinyal x(t).

94

Pengolahan Sinyal

Persamaan (3.16) adalah contoh dari kemungkinan bentuk dari deret Fourier

dari bentuk persamaan (3.13). Jika x’(t)=x(t) maka diperoleh:

k

tjkk eatx 0*)(

Gambar 3.1 Sinyal x(t) pada Contoh 3.1.

Dalam penjumlahan k diganti dengan-k, maka diperoleh ekivalennya,

k

tjkk eatx 0*)(

Dibandingkan dengan persamaan (3.13) dibutuhkan ak = ak* atau ekivalen dengan:

kk aa * …………………………………………………….. (3.17)

Dalam kasus Contoh 3.1 dimana ak adalah real sehingga ak = a-k.

Untuk memperoleh bentuk alternatif dari deret Fourier pertama persamaan (3.13)

disusun dalam bentuk:

95

Pengolahan Sinyal

10

00)(k

tjkk

tjkk eaeaatx

Menggunakan persamaan (3.17) persamaan ini menjadi:

1

*0

00)(k

tjkk

tjkk eaeaatx

Jika dua bentuk dalam penjumlahan adalah kompleks konjugate satu dengan lainnya

maka dapat dinyatakan sebagai:

1

002)(

k

tjkkeaeatx …………………………………….. (3.18)

Jika ak dinyatakan dalam bentuk polar sebagai:

kjkk eAa

maka persamaan (3.18) menjadi:

1

002)(

k

tjkk

keAeatx

Sehingga:

1

00 )cos(2)(k

kk tkAatx …………………………….. (3.19)

Persamaan (3.19) adalah bentuk umum dari deret Fourier dari sinyal periodik waktu

kontinyu. Bentuk lain diperoleh dengan menuliskan ak dalam bentuk:

kkk jCBa

dimana Bk dan Ck adalah real. Dengan bentuk ak ini, persamaan (3.18) mempunyai

bentuk:

1

000 coscos2)(k

kk tkCtkBatx …………………….. (3.20)

Dalam Contoh 3.1 ak adalah nol dan dalam kedua representasi, persamaan (3.19) dan

(3.20) menyederhanakan persamaan (3.16).

Sehingga terlihat bahwa untuk fungsi periodik real deret Fourier berbentuk

eksponensial kompleks seperti yang diberikan dalam persamaan (3.13) adalah

ekivalen secara matematis dengan dua bentuk dalam persamaan (3.19) dan (3.20)

yang menggunakan fungsi trigonometri. Namun demikian persamaan (3.13) yang

menggunakan bentuk eksponensial kompleks lebih banyak digunakan dalam

pembahasan selanjutnya.

Persamaan (3.17) adalah sebuah contoh dari sifat yang dimiliki oleh deret dan

transformasi Fourier. Sifat-sifat ini lebih berguna dalam proses komputasi. Satu sifat

96

Pengolahan Sinyal

yang penting telah diperoleh dari contoh diatas. Sinyal periodik x(t) dengan deret

Fourier seperti dinyatakan dalam persamaan (3.13) dan digunakan sebagai input dari

sistem LTI dengan respon h(t). Secara umum jika input dari sebuah sistem adalah

sinyal periodik dengan periode T, maka outputnya juga periodik dengan periode

sama. Dapat ditunjukkan dengan menggunakan perhitungan koefisien deret Fourier

dari output dalam bentuk dari inputnya.

Dengan menggunakan kenyataan bahwa setiap eksponensial kompleks dalam

persamaan (3.13) adalah sebuah fungsi eigen sistem dan dengan menggunakan

persamaan (3.18), output y(t) dinyatakan dengan:

1

00)()(

k

tjkk ekHAty …………………………………….. (3.21)

dimana dari persamaan (3.5), nilai eigen H(k0) adalah:

dehkH jk 0)()( 0 …………………………………….. (3.22)

Jika {ak} adalah himpunan koefisien deret Fourier untuk input x(t), maka {akH(k0)}

adalah himpunan dari koefisien output y(t).

Contoh 3.2

Sinyal periodik x(t) seperti pada Contoh 3.1 digunakan untuk input sistem LTI

dengan respon impulse: )()( tueth t

Untuk menghitung output y(t) pertama dihitung H(k0).

0000

0 1

1

1

1)( 00

jkee

jkdeekH jkjkt

…. (3.23)

Maka dengan menggunakan persamaan (3.14), (3.21) dan (3.23) dan 0 = 2,

diperoleh:

3

3

2)(k

tjkk ebty …………………………………………….. (3.24)

dengan bk = akH(k2):

97

Pengolahan Sinyal

61

1

3

1,

61

1

3

1

41

1

2

1,

41

1

2

1

21

1

4

1,

21

1

4

1

33

22

11

jb

jb

jb

jb

jb

jb

…………………….. (3.25)

Maka y(t) harus merupakan sinyal nol jika g(t) adalah hasil konvolusi dari x(t) dan

h(t) keduanya real. Hal ini dapat dicek dengan menguji persamaan (3.25) dan b*k = b-

k. Sehingga y(t) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (3.19) atau (3.20) :

3

1

)2cos(21)(k

kk ktDty ……………………………. (3.26)

3

1

)2sin2cos21)(k

kk ktFktEty ……………………. (3.27)

dimana

3,2,1, kjFEeDb kkj

kkk ……………………….……. (3.28)

koefisien-koefisien dapat dievaluasi dari persamaan (3.25). Sebagai contoh:

)41(2

,414

1

)2(tan,414

1

211211

111211

bmFbeE

bbD

Pada Gambar 3.2 ditunjukkan sketsa dari y(t) dan masing-masing bentuk representasi

deret Fourier berdasarkan persamaan (3.26). Bandingkan gambar ini dengan Gambar

3.1, dimana masing-masing bentuk adalah sinusoida pada frekuensi yang sama

dengan x(t) tetapi berbeda dalam fasa dan amplitudo.

3.2.1 Penetapan Representasi Deret Fourier dari Sinyal Periodik

Diasumsikan bahwa sinyal periodik yang diberikan dapat dinyatakan dalam

deretan seperti persamaan (3.13), hal ini diperlukan untuk menentukan koefisien ak.

Kalikan kedua ruas dari persamaan (3.13) dengan tjne 0 , diperoleh:

k

tjntjkk

tjn eeaetx 000)( ……………………………….……. (3.29)

Integral kedua ruas dari 0 s/d To = 2/0, diperoleh:

0

000

0

00

)(T

k

tjntjkk

T tjn dteeadtetx

98

Pengolahan Sinyal

Disini T0 adalah periode dasar dari x(t), dan akibatnya integral tersebut terjadi pada

satu periode. Tukarkan orde integral dan penjumlahan sehingga didapat:

0

000

0

00

)(T

tjntjk

kk

T tjn dteeadtetx …………………….. (3.30)

Evaluasi dari integral di dalam kurung dapat dilakukan langsung dengan

menggunakan rumus Euler, diperoleh:

0000

0 00 00

)( )sin()cos(TTT tnkj dttnkjdttnkdte …….. (3.31)

Gambar 3.2 Sinyal y(t) pada Contoh 3.2

Untuk k n, cos (k-n)0t dari sin (k–n)0t adalah sinusoida periodik dengan periode

dasar (To/|k–n|). Dalam persamaan (3.31) integrasi dilakukan pada satu inteval

dengan panjang T0 yaitu sejumlah integral dari periode sinyal-sinyal tersebut. Jika

integral tersebut dapat dipandang sebagai pengukuran dari total luasan dibawah

fungsi ini pada satu interval, maka untuk k n kedua integral pada ruas kanan

persamaan (3.31) adalah nol. Untuk k = n, integran pada ruas kiri persamaan (3.31)

sama dengan 1 sehingga integralnya sama dengan T0. Jika dikumpulkan diperoleh:

99

Pengolahan Sinyal

nk

nkTdte

Ttnkj

,0

,0

0

)(0

0

dan akibatnya ruas kanan persamaan (3.30) menjadi T0an sehingga:

00

00

)(1 T tjn

n dtetxT

a …………………………………….. (3.32)

yang merupakan persamaan untuk menentukan koefisen-koefisien. Selanjutnya

persamaan (3.31) menggunakan interval integrasi dengan panjang To, yang

merupakan jumlah integral dalam periode cos (k-n)ot dan sin(k-n)ot, jika 0T

menyatakan integrasi untuk sbarang interval dengan panjang To, maka:

nk

nkTdte

T

tnkj

,0

,0)(

0

0

Akibatnya jika persamaan (3.29) diintegralkan dengan interval sepanjang To,

maka dapat dilakukan langkah yang sama seperti yang dilakukan dari persamaan

(3.30) sampai dengan persamaan (3.32). Hasilnya adalah :

0

0)(1

0 T

tjnn dtetx

Ta …………………………………….. (3.33)

Secara ringkas dapat dinyatakan jika x(t) mempunyai representasi deret

Fourier (yaitu jika dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari harmonisa yang

berkaitan dengan eksponensial kompleks dalam bentuk persamaan (3.33)) maka

koefisiennya dinyatakan oleh persamaan (3.33). Pasangan persamaan ini,

mendefinisikan deret Fourier dari sinyal periodik:

k

tjkkeatx 0)( …………………………………….. (3.34)

0

0)(1

0 T

tjkk dtetx

Ta …………………………………….. (3.35)

Persamaan (3.34) disebut sebagai persamaan sisntesis dan persamaan (3.35)

disebut persamaan analisis. Koefisien {ak} disebut koefisien deret Fourier atau

koefisen spektrum dari x(t). Koefisien kompleks ini menyatakan porsi sinyal x(t)

pada setiap harmonisa dari frekuensi dasar. Koefisien a0 adalah konstanta dc dari x(t)

dan dinyatakan dengan persamaan (3.35) dengan k = 0, yaitu :

0

)(1

00

T

dttxT

a …………………………………………….. (3.36)

100

Pengolahan Sinyal

yang merupakan nilai rata-rata dari x(t) dalam satu periode. Persamaan (3.34)

ditemukan oleh Euler dan persamaan (3.35) ditemukan oleh Lagrange pada abad ke-

18.

Berikut beberapa contoh dari deret Fourier sinyal periodik.

Contoh 3.3

Sebuah sinyal x(t) dinyatakan dengan persamaan berikut: ttx 0sin)(

Satu pendekatan untuk menentukan koefisien deret Fourier dari contoh ini

menggunakan persamaan (3.35). Dalam hal ini lebih mudah menggunakan fungsi

sinusoidal sebagai kombinasi dari eksponensial kompleks dan identifikasi

berdasarkan koefisien deret Fourier. Bentuk sin ot dapat dinyatakan dalam:

tjtj ej

ej

t 00

2

1

2

1sin 0

Sehingga,

1 1

1 1, , 0 dimana 1 1

2 2 ka a a k atauj j

Contoh 3.4

Sinyal x(t) dinyatakan dalam:

42coscos2sin1)( 000

ttttx

yang dirubah dalam bentuk eksponensial kompleks:

)4/2()4/2( 000000

2

1

2

11)( tjtjtjtjtjtj eeeeee

jtx

Dengan menggabungkan bentuk yang sama diperoleh:

tjjtjjtjtj eeeeej

ej

tx 0000 2)4/(2)4/(

2

1

2

1

2

11

2

111)(

Koefisien deret Fourier dari contoh diatas adalah:

2,0,14

2

2

1,1

4

2

2

1

,2

11

2

111,

2

11

2

11,1

)4/(2

)4/(2

10

kajeajea

jj

ajj

aa

kjj

Dalam Gambar 3.3 ditunjukkan plot dari magnitudo dan fasa dari ak dalam bentuk

grafik batang yang masing-masing garis menyatakan magnitudo atau fasa dari

harmonisa x(t) yang bersesuaian.

101

Pengolahan Sinyal

Gambar 3.3 Plot magnitudo dan fasa dari koefisien Fourier dari sinyal pada Contoh 3.4

Contoh 3.5

Gelombang persegi periodik yang ditujukan pada Gambar 3.4 didefinisikan untuk

satu periode sebagai berikut.

2,0

,1)(

01

1

TtT

Tttx …………………………………….. (3.37)

Sinyal ini periodik dengan periode dasar T0 dan frekuensi dasar 0=2/T0.

Gambar 3.4 Gelombang persegi periodic

Untuk menentukan koefisen deret Fourier untuk x(t), digunakan persamaan

(3.35). Karena x(t) simetris pada t = 0 maka integral akan lebih mudah dilakukan

pada interval (T0/2) t (T0/2), karena sebarang interval integral sepanjang T0

diperbolehkan dan memberikan hasil yang sama. Dengan menggunakan batas

integrasi tersebut dan substitusi dari persamaan (3.37) ; untuk k = 0 diperoleh:

0

1

00

21 1

1T

Tdt

Ta

T

T

…………………………………………….. (3.38)

seperti telah dinyatakan sebelumnya a0 adalah harga rata-rata dari x(t) yang dalam

hal ini adalah sama dengan bagian dari setiap periode selama x(t) = 1. Untuk k0,

1

1

0

1

1

0

000

11 T

T

tjkT

T

tjkk e

Tjkdte

Ta

102

Pengolahan Sinyal

yang juga dapat dituliskan:

j

ee

Tka

TjkTjk

k 2

2 1010

00

…………………………………….. (3.39)

Rumus didalam kurung tidak lain adalah sin k0T, koefisien ak dapat dinyatakan:

0,sinsin2 10

00

10 kk

Tk

Tk

Tkak

…………………….. (3.40)

Disini digunakan persamaan 0T0 = 2.

Representasi grafik dari koefisen deret Fourier pada contoh ini untuk nilai

tetap T1 dan beberapa nilai T0 ditunjukkan pada Gambar 3.5. Untuk T0 = 4T1, x(t)

adalah gelombang persegi simetris (yaitu bernilai satu selama setengah periode dan

nol pada setengah periode berikutnya). Dalam hal ini 0T1 = /2 dan dari persamaan

3.40:

Gambar 3.5 Koefisien deret Fourier untuk sinyal persegi periodik; (a) T0 = 4 T1, (b) T0 = 8 T1,

(c) T0 = 16 T1

0,)2/sin(

kk

kak

…………………………………….. (3.41)

sedangkan dari persamaan (3.38),

a0 = ½

Dari persamaan (3.41) jelas bahwa ak = 0 untuk k genap. Juga sin (k/2) berubah

antara 1 untuk nilai k ganjil dan genap secara berturutan. Maka:

103

Pengolahan Sinyal

1 1 3 3 5 5

1 1 1, , , , .

3 5a a a a a a dst

Dalam beberapa contoh, koefisien deret Fourier adalah bilangan real sehingga dapat

digambarkan pada satu grafik. Tetapi dalam kasus yang lebih umum, koefisien deret

Fourier berupa bilangan kompleks sehingga diperlukan 2 grafik real dan imajiner

atau magnitudo dan phase dari tiap koefisen.

3.3 REPRESENTASI SINYAL APERIODIK : TRANSFORMASI FOURIER WAKTU

KONTINYU

3.3.1. Pengembangan Transformasi Fourier : Representasi Sinyal Aperiodik

Pada bagian sebelumnya telah dibahas bagaimana sebuah sinyal periodik

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari harmonisa eksponensial kompleks.

Hasil ini dapat dikembangkan untuk menyatakan sebuah sinyal aperiodik kombinasi

linier dari eksponensial kompleks.

Sebuah sinyal periodik gelombang persegi dari Contoh 3.5 mempunyai

koefisien deret Fourier yang diberikan oleh persamaan (3.40) sebagai berikut:

00

10sin2

Tk

Tkak

…………………………………………….. (3.42)

dimana T0 adalah periode sinyal dan 0=2/T0. Dalam Gambar 3.5 ditunjukkan plot

dari koefisien-koefisien ini untuk nilai T1 tetap dan beberapa nilai T0. Dalam Gambar

3.7 ditunjukkan kembali gambar plot tersebut dengan beberapa modifikasi.

Khususnya, diplot T0ak untuk menggantikan ak dan modifikasi pada spasi horisontal

dari setiap plot. Perlunya perubahan ini dapat dilihat dengan mengujinya

mengunakan persamaan (3.42). Perkalian ak dengan T0 diperoleh :

0

1

0

100

sin2sin2

kk

T

k

TkaT

……………………….……. (3.43)

104

Pengolahan Sinyal

Gambar 3.6 Koefisien Fourier dan selubungnya untuk gelombang persegi periodik; (a) T0 = 4T1,

(a) T0 = 8T1, (c) T0 = 16T1

Sehingga jika adalah variabel kontinyu, fungsi (2sinT1)/ menyatakan

selubung dari T0ak, dan koefisien-koefisien ini adalah sampel-sampel yang berjarak

sama dari selubung tersebut. Untuk T1 tetap, selubung dari T0ak adalah tidak

tergantung pada T0. Dari Gambar 3.6 terlihat bahwa jika T0 naik (atau ekivalen

dengan 0 turun), selubung disampel dengan spasi yang lebih rapat. Untuk T0 yang

sangat besar, gelombang persegi periodik asal akan mendekati pulsa persegi (yaitu

sebuah sinyal periodik dalam seluruh kawasan waktu berhubungan dengan satu

periode dari gelombang persegi). Demikian juga dengan koefisien deret Fourier

dikalikan dengan T0 akan mendekati sampel jarak dari selubung, sehingga dalam

beberapa hal koefisien-koefisien deret Fourier akan mendekati fungsi selubung jika

T0.

Contoh diatas melukiskan ide dasar dari pengembangan Fourier untuk

representasi sinyal aperiodik. Secara spesifik, sinyal aperiodik dinyatakan sebagai

limit dari sebuah sinyal periodik jika periodenya sangat besar, dan juga telah diuji

perilaku pembatasan dari representasi deret Fourier dari sebuah sinyal. Sebuah sinyal

aperiodik umum x(t) mempunyai durasi terbatas. Untuk T1 tertentu x(t) = 0 jika |t| >

T1. Sebuah sinyal ditunjukan pada Gambar 3.7(a). Dari sinyal aperiodik ini dapat

105

Pengolahan Sinyal

disusun sebuah sinyal periodik x~ (t) untuk satu periode x(t) seperti ditunjukkan pada

Gambar 3.7(b). Jika periode T0 dibuat besar, maka x~ (t) identik dengan x(t) untuk

sebuah interval yang panjang ,dan untuk T0 , x~ (t) sama dengan x(t) untuk nilai t

yang terbatas.

Gambar 3.7 (a) Sinyal aperiodik, (b) sinyal periodik dari x(t) selama satu periode.

Berikut diuji efek-efek dari representasi deret Fourier dari x~ (t). Dari

persamaan (3.35) jika batas integral diberikan –T0/2 t T0/2, diperoleh:

k

tjkkeatx 0)(~ …………………………………………….. (3.44)

2/

2/0

0

0

0)(~1T

T

tjkk dtetx

Ta …………………………………….. (3.45)

Jika x~ (t) = x(t) untuk |t| < T0/2 dan jika x(t) = 0 diluar inteval tersebut, persamaan

(3.45) dapat ditulis menjadi:

dtetxT

dtetxT

a tjkT

T

tjkk

0

0

0

0 )(1

)(1

0

2/

2/0

Sehingga definisi x() untuk T0ak adalah:

dtetxX tj )()( …………………………………………….. (3.46)

koefisien ak dapat dinyatakan sebagai:

)(1

00

kXT

ak …………………………………………….. (3.47)

Dengan menggabungkan persamaan (3.47) dan (3.44), x~ (t) dapat dinyatakan dalam

bentuk X() sebagai:

k

tjkekXT

tx 0)(1

)(~0

0

106

Pengolahan Sinyal

Jika 2/T0 = 0, maka ekivalen dengan

k

tjkekXtx 000)(

2

1)(~

…………………………….. (3.48)

Jika T0 , x~ (t) mendekati x(t) dan akibatnya persamaan (3.48) menjadi

representasi dari x(t) selanjutnya 0 dan ruas kanan persamaan (3.48)

merupakan sebuah integral. Representasi grafik dari persamaan (3.48) ditunjukkan

pada Gambar 3.8. Masing-masing suku dalam penjumlahan di ruas kanan persamaan

(3.48) adalah luasan dari sebuah persegi panjang dengan tinggi X(k0)ejkot dan lebar

0 (t dianggap tetap). Jika 0 0, maka akan konvergen sebagai integral dari

X()ejt. Maka dengan menggunakan kenyataan bahwa )()(~ txtx untuk T0 ,

persamaan (3.48) dan (3.46) menjadi:

deXtx tj)(2

1)( …………………………………….. (3.49)

dtetxX tj )()( …………………………………………….. (3.50)

Gambar 3.8 Interpretasi grafik dari persamaan (3.59)

Persamaan (3.49) dan (3.51) dikenal sebagai pasangan transformasi Fourier

dengan fungsi X() seperti diberikan oleh persamaan (3.50) disebut sebagai

transformasi Fourier atau integral Fourier dari x(t) dan persamaan (3.49) adalah

persamaan invers transformasi Fourier. Persamaan sintesa (3.49) memberikan aturan

yang mirip untuk sinyal aperiodik dengan persamaan (3.34) untuk sinyal periodik,

jika keduanya adalah dekomposisi dari sebuah sinyal dalam kombinasi linier dari

eksponensial kompleks. Untuk sinyal periodik eksponensial kompleks mempunyai

amplitudo {ak} yang diberikan oleh persamaan (3.35) dan terjadi pada frekuensi

harmonik diskrit k0, k = 0, 1, 2 , … . Untuk sinyal aperiodik eksponensial

kompleks terjadi pada frekuensi kontinyu dan berkaitan dengan sintesa persamaan

(3.49) dengan amplitudo X()(d/2). Seperti halnya terminologi dari koefisien

deret Fourier dari sinyal periodik maka transformasi X() dari x(t) disebut sebagai

107

Pengolahan Sinyal

spektrum dari x(t) dan informasi tentang bagaimana x(t) disusun dari sinyal

sinusoidal pada frekuensi yang berbeda.

3.4 TRANSFORMASI FOURIER SINYAL PERIODIK DAN WAKTU KONTINYU

Pada bagian sebelumnya telah dikembangkan transformasi Fourier untuk

sinyal aperiodik dengan mempertimbangkan perilaku dari deret Fourier dari sinyal

periodik yang periodenya sangat panjang seperti ditunjukkan pada hasil yang

diperoleh. Deret Fourier dan representasi transformasi Fourier adalah sangat

berhubungan, dan pada bagian ini akan dipelajari lebih lanjut dan juga

dikembangkan sebuah representasi transformasi Fourier untuk sinyal periodik.

3.4.1 Koefisien Deret Fourier Sebagai Sampel dari Transformasi Fourier Untuk

Satu Periode.

Sebagai langkah pertama, dari penurunan transformasi Fourier hal yang

penting adalah bahwa koefisien Fourier dari sinyal periodik )(~ tx dapat diperoleh

dari sampel-sampel dan sebuah selubung yang sama dengan transformasi Fourier

dari sinyal periodik x(t) yang sama dengan satu periode dari )(~ tx . Jika )(~ tx

mempunyai periode dasar T0 seperti pada Gambar 3.9, maka x(t) dinyatakan:

2atau

2,0

22),(~

)(00

00

Tt

Tt

Tt

Ttx

tx …………………………….. (3.51)

maka koefisisen Fourier ak dari x~ (t) dapat dinyatakan dalam bentuk sampel-sampel

dari transformasi Fourier X() dari x(t):

)(1

)(1

)(1

)(~1

000

2/

2/0

2/

2/0

0

0

0

0

0

0

0

kXT

dtetxT

dtetxT

dtetxT

a

tjk

T

T

tjkT

T

tjkk

…………………….. (3.52)

Gamnbar 3.9 Sinyal periodik

108

Pengolahan Sinyal

Bagaimanapun jika koefisien Fourier tidak dapat diperoleh dengan integrasi

dengan sebarang inteval dengan panjang T0 (lihat persamaan (3.35)) maka dapat

diperoleh representasi yang lebih umum dari persamaan (3.53). Secara khusus, jika s

adalah titik sebarang dalam waktu dan didefinisikan x(t) sama dengan )(~ tx pada

interval s t s+T0 dan bernilai nol pada t lainnya. Diperoleh:

0

0

atau,0

),(~)(

Tstst

Tststxtx …………………………….. (3.53)

Kemudian koefisien deret Fourier dari x~ (t) diberikan oleh:

)(1

00

kXT

ak …………………………………………….. (3.54)

dimana X() adalah transformasi Fourier dari x(t) dinyatakan oleh persamaan (3.50).

Contoh 3.6

Sinyal )(~ tx adalah gelombang persegi periode dengan periode T0 seperti ditunjukkan

pada Gambar 3.10(a) dan x1(t) dan x2(t) ditunjukkan pada Gambar 3.10(b) dan

3.10(c). Sinyal-sinyal ini masing-masing sama dengan )(~ tx pada interval dengan

panjang T0 yang berbeda .Seperti terlihat pada Contoh 3.5, trasformasi Fourier dari

x1(t) diberikan oleh:

11

sin2)(

TX …………………………………………….. (3.55)

Transformasi Fourier dari x2(t) dapat diperoleh dari persamaan (3.50).

2/)(2/1

2/2/2/)(2/2/2/

0

22

101

1110111

101

0

10

1

2sin

2

11

11

11

)()(

TTjTj

TjTjTTjTjTjTj

TjTjTj

T

TT

tjT

tjtj

eeT

eeej

eeej

eej

ej

dtedtedtetxX

(3.56)

Transformasi X1() dan X2() adalah tidak sama. Jika X2() bernilai real untuk

semua harga , tetapi X2() tidak. Untuk = k0, persamaan (3.45) menjadi:

2/)(2/10

002

10010

2sin

2)( TTjkTjk ee

Tk

kkX

Jika 0T0 = 2, maka persamaan diatas dapat sederhanakan:

109

Pengolahan Sinyal

2cos

2sin

4

2sin

2)(

1010

0

2/)(2/10

002

10010

TkTk

k

eeTk

kkX TTjkTjk

Dengan menunjukkan identitas trigonometri sin 2x = 2 sin x cos x , diperoleh:

)(

sin2)( 01

0

002

kXk

TkkX

Yang secara substansial sama dengan hasil dalam persamaan (3.43) bahwa koefisien

Fourier dari sebuah sinyal periodik dapat diperoleh dari sampel-sampel transformasi

Fourier dari sinyal aperiodik yang sama dengan sinyal periodik asal pada sebarang

interval dengan panjang T0 dan bernilai nol di luar interval tersebut.

Gambar 3.10 (a) Sinyal periodik )(~ tx (b) dua sinyal aperiodik masing-masing sama dengan

)(~ tx pada panjang interval T0 yang berbeda.

3.4.2 Transformasi Fourier Untuk Sinyal Periodik

Sekarang akan dibahas transformasi Fourier untuk sinyal periodik. Seperti

yang akan terlihat transformasi Fourier dapat disusun dari suatu sinyal secara

langsung dari representasi deret Fouriernya. Hasil transformasi Fourier dari sebuah

sinyal periodik terdiri dari sebuah deretan impulse dalam kawasan frekuensi,dengan

luasan dari impulse sebanding dengan koefisien deret Fourier. Hal ini akan

memberikan sebuah representasi menarik, hal ini akan memfasilitasi aplikasi teknik

analisis Fourier untuk masalah modulasi dan sampling.

110

Pengolahan Sinyal

Untuk mendapatkan hasil yang lebih umum, diberikan sebuah sinyal x(t)

dengan transformasi Fourier X() yang merupakan sebuah impulse tunggal dengan

luas 2 pada = 0, yaitu:

)(2)( 0 X …………………………………………….. (3.57)

Untuk menentukan sinyal x(t), transformasi Fourier invers dapat digunakan untuk

memperoleh:

detx tj)(22

1)( 0

Secara lebih umum, jika X() adalah bentuk dari sebuah kombinasi linier dari

impulse yang berjarak sama dalam frekuensi, maka:

k

k kaX )(2)( 0 ……………………………………. (3.58)

kemudian dengan mengunakan persamaan (3.60) menghasilkan:

k

tjkk eatx 0)( …………………………….………………. (3.59)

Terlihat bahwa persamaan (3.59) tepat bersesuaian dengan representasi deret Fourier

dari sebuah sinyal periodik seperti ditentukan oleh persamaan (3.34). Sehingga

transformasi Fourier dari sebuah sinyal periodik dengan koefisien deret Fourier {ak}

dapat dinyatakan sebagai sebuah deretan dari impulse yang terjadi pada frekuensi

harmonisa dan luas impulse pada frekuensi harmonisa ke-k adalah 2 kali dari

koefisien deret Fourier ke–k, ak.

Contoh 3.7

Diberikan gelombang pulsa seperti ditunjukkan pada Gambar 3.10(a). Koefisien

deret Fourier untuk sinyal tersebut adalah:

k

Tkak

10sin

dan transformasi Fouriernya adalah:

k

kk

TkX )(

sin2)( 0

10

yang disketsa pada Gambar 3.11 untuk T0 = 4T1. Jika dibandingkan dengan Gambar

3.5, perbedaannya hanyalah pada sebuah faktor yang sebanding dengan 2 dan

penggunaan impulse-impulse untuk menggantikan sebuah grafik batang.

111

Pengolahan Sinyal

Gambar 3.11 Transformasi Fourier dari gelombang persegi simetris periodic

3.5 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER WAKTU KONTINYU

Pada bagian ini akan sering digunakan fungsi-fungsi kawasan waktu dan

transformasi Fouriernya, sehingga akan lebih mudah jika digunakan notasi-notasi

yang lebih pendek untuk menunjukkan hubungan antara sinyal dan transformasinya.

Sebuah sinyal x(t) dan transformasi Fouriernya X() dihubungkan oleh persamaan

sintesis dan analisis tranformasi Fourier :

(3.60)

deXtx tj)(2

1)( …………………….………. (3.60)

(3.61)

dtetxX tj )()( …………………………………….. (3.61)

Kemudian notasi X() akan dinyatakan juga dengan F{x(t)} dan notasi x(t)

dinyatakan sebagai F{X()}, juga x(t) dan X() dinyatakan sebagai pasangan

transformasi Fourier dengan notasi:

)()( XtxF

Dari Contoh 3.6 diperoleh

jaFtue

tueFja

at

at

1)(

)(1

1

danja

tueF

at

1

)(

3.5.1 Linieritas dari Transformasi Fourier

Jika,

)()( 11 XtxF

dan )()( 22 XtxF

Maka

112

Pengolahan Sinyal

)()()()( 2121 bXaXtbXtaxF

…………………………….. (3.62)

Dari pernyataan matematis diatas dapat dikatakan bahwa transformasi Fourier dari

sebuah kombinasi linier dari dua sinyal adalah kombinasi linier dari transformasi

komponen individualnya.

3.5.2 Sifat-sifat Simetris dari Transformasi Fourier

Jika x(t) adalah fungsi waktu yang bernilai nol, maka:

realtxXX )()(*)( …………………………….. (3.63)

dimana * menyatakan bilangan kompleks konjugate. Hal ini dikenal sebagai simetris

konjugate. Simetri konjugate dari transformasi Fourier diperoleh dengan evaluasi

kompleks konjugate dari persamaan (3.61).

dtetxdtetxX tjtj )()()( *

*

*

Karena x(t) real maka x*(t) = x(t), maka:

)()()(*

XdtetxX tj

dimana persamaan kedua diperoleh dari persamaan (3.61) pada –.

Dari Contoh 3.6, dengan )()( tuetx at

jaX

1)( dan )(

1)( *

X

jaX

kemudian jika x(t) periodik dan real, maka dari persamaan (3.17) menjadi:

*kk aa

Ilustrasi dari sifat ini diberikan dalam Contoh 3.2.

Dari persamaan (3.63), jika X() dinyatakan dalam bentuk rektangular:

)()()( XmjXeX

kemudian jika x(t) real maka:

)()(,)()( XmXmXeXe

Maka bagian real adalah fungsi genap dalam frekuensi dan bagian imajiner adalah

fungsi ganjil dalam kawasan frekuensi. Dengan cara yang sama jika X() dinyatakan

dalam bentuk polar:

)()()( ejXX

113

Pengolahan Sinyal

Kemudian dari persamaan (3.63) diperoleh bahwa |X()| adalah fungsi genap dari

dan () adalah fungsi ganjil dari . Maka jika menghitung atau menampilkan

transformasi Fourier dari fungsi bernilai real dalam kawasan waktu, bagian real dan

imajiner atau bagian magnitudo dan phase dari transformasi, hanya perlu dihitung

atau ditampilkan pada harga frekuensi positif, sedangkan untuk frekuensi negatif

dapat langsung ditentukan dari harga untuk > 0 dengan menggunakan hubungan

yang dijelaskan diatas.

Dari persamaan (3.63) juga diperoleh jika x(t) adalah real dan genap, maka

X() juga real dan genap. Untuk melihat hal ini dapat dinyatakan:

dtetxX tj )()(

atau dengan substitusi dari variabel = -t,

dexX j)()(

jika x(-) = x(), maka:

)(

)()(

X

dexX j

maka X() adalah fungsi genap. Bersama dengan persamaan (3.63) juga diketahui

bahwa X*() = X() (yaitu X() adalah real).

Sifat-sifat yang sama untuk deret Fourier adalah bahwa sebuah sinyal

periodik, real, genap x(t) mempunyai koefisien-koefisien Fourier real dan genap

(yaitu ak = a-k), dimana jika x(t) ganjil, koefisien-koefisiennya adalah ganjil dan

imajiner. Kasus pertama pada Contoh 3.5 untuk gelombang persegi periodik. Seperti

telah diketahui bahwa fungsi x(t) selalu dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan

dari fungsi genap xe(t) = Ev{x(t)} dan fungsi ganjil x0(t) = Od{x(t)},

)()()( txtxtx oe

Dari sifat linieritas transformasi Fourier,

)()()( txFtxFtxF oe

Dan dari pembahasan diatas, F{xe(t)} adalah fungsi real dan fungsi F{x0(t)} adalah

fungsi imajiner murni. Sehingga dapat disimpulkan bila x(t) real, maka:

)()( XtxF

114

Pengolahan Sinyal

)()( XetxEvF

)()( XmjtxOdF

3.5.3 Pergeseran Waktu

Jika

)()( XtxF

Maka

)()( 00 Xettx tj

F …………………………………….. (3.64)

Untuk memperoleh sifat tersebut, diberikan:

dtettxttxF tj)()( 00 …………………………….. (3.65)

Substitusi = t - t0 pada persamaan (3.64) menghasilkan:

)()()( 00 )(0 XedexttxF tjtj

Akibat dari sifat ini adalah bahwa sinyal yang digeser dalam kawasan waktu tidak

mempunyai magnitudo yang berubah dalam transformasi Fouriernya. Sehingga jika

X() dalam bentuk polar:

)()()()( jeXXtxF

maka

00 )(0 )()()( tjtj eXXettxF

Sehingga efek dari pergeseran waktu pada sebuah sinyal menyebabkan pergeseran

phase dalam transformasinya sebagai fungsi linier dari .

3.5.4 Diferensial dan Integral

Jika x(t) sebuah sinyal dengan transformasi Fourier X(), didiferensialkan pada

kedua sisi dari persamaan sintesis transformasi Fourier (3.60) maka:

deXjdt

tdx tj)(2

1)(

Sehingga,

)()(

Xjdt

tdx F

…………………………………….. (3.66)

Persamaan diatas menunjukkan sifat penting yaitu penggantian operasi diferensial

dalam kawasan waktu menjadi perkalian dengan j dalam kawasan frekuensi.

115

Pengolahan Sinyal

Selanjutnya jika diferensial berarti perkalian dengan j dalam kawasan

frekuensi maka dapat disimpulkan bahwa integral dalam kawasan waktu akan

menjadi pembagian dengan j dalam kawasan frekuensi. Hubungan tersebut dapat

dituliskan sebagai berikut:

)()0()(1

)(

XXj

dxFt

…….………………. (3.67)

Bentuk impulse pada ruas kanan persamaan (3.67) menyatakan dc atau nilai rata-rata

yang diperoleh dari integrasi.

Gambar 3.12 Komposisi ganjil-genap dari sinyal unit step waktu kontinyu.

Untuk lebih memahami sifat ini, berikut diberikan sinyal unit step u(t). Pada

Gambar 3.12 ditunjukkan komposisi genap–ganjil dari u(t), yang dapat dituliskan

sebagai berikut:

2121 )()( tutu …………………………….………………. (3.68)

Bagian ganjil pertama u(t) = u(t) – ½. Jika v’(t) = u’(t) = (t), maka bentuk sifat

diferensialnya adalah :

)()(

)( Vjdt

tdvFtF

……………………………. (3.69)

dan jika transformasi Fourier dari unit impulse sama dengan 1, maka:

jV

1)( ………………………….…………………………. (3.70)

116

Pengolahan Sinyal

Jika u(t) adalah real dan ganjil, maka V() adalah imajiner murni dan ganjil.

Kemudian bagian genap dari u(t) adalah konstanta ½. Maka Ev{u(t)} berupa

sebuah sinyal periodik dengan frekuensi nol, maka transformasi Fouriernya berupa

sebuah impulse pada = 0, diperoleh:

)(21 F ………………….…………………………. (3.71)

dan penggabungan transformasi dari bagian genap dan ganjil dari u(t) diperoleh:

)(1

)(

jtuF …………….………………………. (3.72)

Hasil ini memenuhi sifat integral persamaan (3.67). Bila x(t) = (t) maka X() = 1

dan integral dari x(t) adalah u(t). Dengan menggunakan substitusi ini, persamaan

(3.67) menjadi persamaan (3.72).

Dengan menggunakan sifat diferensial persamaan (3.66) dapat diperoleh

kembali transformasi dari impulse, yaitu:

)(

1)()(

jj

dt

tdut

F

Ruas kanan persamaan tersebut sama dengan 1 karena () = 0 dan 1)(F

t

3.5.5 Skala Waktu dan Frekuensi

Jika

)()( XtxF

Maka

)(1

)(a

Xa

atxF …………….………………………. (3.73)

dimana a adalah konstanta real. Sifat ini diperoleh langsung dari definisi transformasi

Fourier.

dteatxatxF tj)()(

Substitusi = at, diperoleh

0,)(1

0,)(1

)(

adexa

adexa

atxFj

j

117

Pengolahan Sinyal

yang sesuai dengan hubungan (3.73). Sehingga skala linier dalam kawasan waktu

sebesar a sama dengan skala linier dalam kawasan frekuensi sebesar 1/a dan

sebaliknya.

3.5.6 Dualitas

Dengan membandingkan hubungan transformasi (3.60) dan invers

transformasi (3.61) terdapat sebuah simetris yang terbatas (kedua persamaan tersebut

mirip tetapi tidak persis sama bentuknya). Kesimetrisan merupakan sifat dari

transformasi Fourier yang disebut dualitas. Dari Contoh 3.5 diperoleh penurunan

pasangan transformasi Fourier berikut:

1

11

11

1 sinc2sin2

)(.0

,1)(

TT

TX

Tt

Tttx

F

(3.74)

sedangkan dari Contoh 3.6 diperoleh pasangan:

W

WX

WtW

W

Wttx

F

,0

,1)(sinc

sin)( 22 (3.75)

Dua pasangan transformasi Fourier tersebut dan hubungan antara keduanya

ditunjukkan pada Gambar 3.23.

Gambar 3.13 Hubungan antara pasangan transformasi Fourier persamaan (3.74) dan (3.75)

Kesimetrisan yang ditunjukkan dari kedua Contoh (3.4 dan 3.5) tersebut

dapat diperluas untuk transformasi Fourier secara umum. Dua fungsi berhubungan

melalui integral berikut.

118

Pengolahan Sinyal

dvevguf juv)()( …………………………………….. (3.76)

Dengan membandingkan persamaan (3.76) dengan persamaan sintesis dan analisis

Fourier (3.60) dan (3.61), diperoleh bahwa dengan u = dan v = t,

)()( tgFf …………………………………………….. (3.77)

namun jika u = t dan v = ,

)(2

1)( tfFg

…………………………………………….. (3.78)

sehingga jika diberikan pasangan trnsformasi Fourier dari fungsi waktu g(t),

)()( ftgF

………………………………………..….. (3.79)

dan kemudian fungsi waktu f(t) mempunyai pasangan transformasi Fourier

)(2)( gtfF

………………………………………..….. (3.80)

kedua persamaan tersebut mempunyai implikasi yang signifikan sebagai contoh:

Mv

Mvvg

,0

,1)( ………………………………………..….. (3.81)

dan dari persamaan (3.76)

uM

Mu

uMuf sinc2

sin2)( ………………………..….. (3.82)

Hasil ini dan dengan persamaan (3.77) atau sama dengan persamaan (3.79)

menghasilkan pasangan transformasi dalam persamaan (3.74) untuk M = T1, tetapi

jika menggunakan persamaan (3.78) atau (3.80) diperoleh pasangan persamaan

(3.75) dengan M = W. Sehingga sifat dualitas memungkinkan untuk memperoleh

pasangan transformasi ganda dari persamaan (3.76). Sifat ini sering digunakan untuk

mengurangi kekompleksan perhitungan dalam transformasi dan inversnya.

Contoh 3.8

Dicari transformasi Fourier dari sinyal berikut.

1

2)(

2

ttx ………………………………………………..….. (3.83)

Jika diberikan

1

2)(

2

uuf

maka dari persamaan (3.79) diperoleh pasangan transformasi Fourier

119

Pengolahan Sinyal

1

2)()(

2

ftg

F

Dari Contoh 3.2 diketahui bahwa

tetg )(

Selanjutnya dengan menggunakan pasangan transformasi yang diberikan oleh

persamaan (3.80), dapat disimpulkan bahwa jika f(t) = x(t) maka:

egtfFX 2)(2)()( ………………………..….. (3.84)

Sifat dualitas dapat digunakan untuk menentukan atau memperkirakan sifat-

sifat lain dari transformasi Fourier. Jika terdapat karakteristik dari sebuah fungsi

kawasan waktu yang mempunyai implikasi pada transformasi Fouriernya, maka

karakteristik yang sama dalam kawasan frekuensi akan mempunayi implikasi ganda

pada kawasan waktu. Kemudian dari pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa

perkalian fungsi dengan jt dalam kawasan waktu adalah sama dengan diferensial

dalam kawasan frekuensi, sedangkan diferensial dalam kawasan waktu adalah sama

dengan perkalian j dalam kawasan frekuensi, jika persamaan (3.61)

didiferensialkan terhadap , maka diperoleh:

dtetjtxd

dX tj

)()( ………………………………..….. (3.85)

sehingga,

d

dXtjtx

F )()( ………………………………..….. (3.86)

Dengan cara yang sama sifat dualitas persamaan (3.61) dan (3.62) dapat

didiferensialkan dan diperoleh:

)()( 00 Xtxe

Ftj ………………………………..….. (3.87)

dan

dXtxtxjt

F

)()()0()(1 ………………..….. (3.88)

3.5.7 Hubungan Parseval

Jika x(t) dan X() pasangan Fourier, maka:

dXdttxF 22

)(2

1)( ………………………..….. (3.89)

Pernyataan diatas dikenal sebagai hubungan Parseval. Maka:

120

Pengolahan Sinyal

dtdeXtxdttxtxdttx tj

)(

2

1)()()()( **2

dengan membalik urutan integrasi maka diperoleh,

ddtetxXdttx tj)()(

2

1)( *2

Bentuk didalam kurung adalah transformasi Fourier dari x(t) sehingga:

dXdttx22

)(2

1)(

Kuantitas pada ruas kanan persamaan (3.89) adalah energi total dalam sinyal

x(t). Hubungan Parseval persamaan (3.89) menyatakan bahwa energi total tersebut

dapat ditentukan dengan menghitung energi per satuan waktu {|x(t)|} dan

diintegrasikan pada seluruh waktu, atau dengan menghitung energi per satuan

frekuensi {|X()|2/2} dan dintegrasikan pada seluruh frekuensi. Untuk alasan

tersebut |X()|2 disebut sebagai spektrum kerapatan energi (energy-density spectrum)

dari sinyal x(t).

Energi dari sebuah sinyal periodik adalah infinite (terbatas) dan akibatnya

persamaan (3.89) tidak berlaku untuk sinyal tersebut. Namun demikian terdapat

hubungan yang sama untuk sinyal periodik, yaitu:

k

k

T

adttxT

22

0 0

)(1 ………………………..………….. (3.90)

dimana ak adalah koefisien-koefisien deret Fourier dari x(t) dan T0 adalah periode.

Sehingga untuk hubungan Parseval kasus periodik menghubungkan energi dalam

satu periode dari fungsi waktu dengan energi dalam koefisien deret Fourier.

Selanjutnya kuantitas |ak|2 mempunyai interprestasi sebagai bagian dari energi per

periode yang disebabkan oleh harmonisa ke–k.

3.6 SIFAT KONVOLUSI

Satu dari sifat penting transformasi Fourier yang berhubungan dengan

penggunaannya dalam sistem LTI adalah efek dari operasi konvolusi. Untuk

memperoleh hubungan ini, berikut sebuah sistem LTI dengan respon impulse h(t),

output y(t) dan input x(t), dengan hubungan sebagai berikut :

dtthxty )()()( ………………………………..….. (3.91)

121

Pengolahan Sinyal

Diinginkan Y(), yaitu:

dtedthxtyFY tj

)()()()( ………….. (3.92)

Pertukaran urutan integrasi dan bahwa x() tidak tergantung pada t, maka diperoleh:

ddtethxY tj

)()()( ………………..….. (3.93)

Berdasarkan sifat pergeseran persamaan (3.64), bentuk didalam kurung dapat

disederhanakan menjadi e-j H() substitusi ke persamaan (3.93) diperoleh:

dexHdHexY j

tj )()()()()( ………..….. (3.94)

Integral adalah F{x(t)}, maka:

)()()( XHY

Sehingga:

)()()()(*)()( XHYtxthtyF

………..………….. (3.95)

Sifat ini adalah konsekuensi dari kenyataan bahwa eksponensial kompleks adalah

fungsi eigen dari sistem LTI dan dapat diturunkan dengan menggunakan persamaan

sintesis transformasi Fourier sebagai sebuah pernyataan untuk x(t). sebagai

kombinasi linier dari eksponensial kompleks. Berdasarkan persamaan (3.48), x(t)

dapat dinyatakan dalam bentuk limit,

k

tjktj ekXdeXtx 000

0

0

)(2

1lim)(

2

1)(

..….. (3.96)

Respon dari sebuah sistem linier dengan respon impulse h(t) untuk eksponensial

kompleks ejkot adalah H(k0) ejkot (dari persamaan (3.4)) , dimana:

dtethkH tjk 0)()( 0 ………..………………………….. (3.97)

Dari superposisi (lihat persamaan (3.8)) maka diperoleh:

k

tjk

k

tjk ekHkXekX 0000000 )()(

2

1)(

2

1

Dari persamaan (3.117) terlihat bahwa respon dari sistem linier dengan input x(t):

122

Pengolahan Sinyal

deHX

ekHkXty

tj

k

tjk

)()(2

1

)()(2

1lim)( 000

0

0

0

………..………….. (3.98)

Jika y(t) dan transformasi Fouriernya Y() dihubungkan oleh:

deYty tj)(2

1)( ………………………..………….. (3.99)

Y()dapat ditentukan dari persamaan (3.98), menghasilkan:

)()()( HXY ………..………………………………….. (3.100)

Fungsi H() disebut respon frekuensi dari sistem yang berperan penting dalam

analisis sistem LTI seperti halnya transformasi inversnya, respon impulse h(t).

Contoh 3.9

Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai respon impulse:

)()( 0ttth ………..………………………………….. (3.101)

Respon frekuensi dari sistem adalah:

0)( tjeH ………..………………………………………….. (3.102)

Sebuah input x(t) dengan transformasi Fourier X(), diberikan pada sistem sehingga

outputnya dapat dinyatakan dengan:

)(

)()()(0

Xe

XHYtj

………..………………………………….. (3.103)

Hasil ini sama dengan sifat pergeseran pada sub-bab 3.6.3 bahwa sebuah sistem

dengan respon impulse (t-t0) menyebabkan pergeseran sebesar t0 pada input,

)()( 0ttxty

3.6.1 Konvolusi Periodik

Dalam Contoh 3.8, sifat konvolusi diterapkan pada konvolusi dari sebuah sinyal

periodik dan sebuah sinyal aperiodik. Jika kedua sinyal periodik maka integral

konvolusi tidak konvergen. Hal ini menunjukkan kenyataan bahwa sistem LTI

dengan respon impulse periodik adalah tidak stabil dan tidak mempunyai respon

frekuensi yang bernilai terbatas (finite). Kadang-kadang berguna untuk

menggunakan sebuah bentuk konvolusi untuk sinyal periodik dengan periode yang

sama, yang disebut sebagai konvolusi periodik. Konvolusi periodik dari dua sinyal

)(~1 tx dan )(~

2 tx dengan periode T0 yang sama, didefinisikan sebagai:

123

Pengolahan Sinyal

0

)(~)(~)(~21

T

dtxxty ………………..………………….. (3.104)

Gambar 3.14 Konvolusi periodik dari dua sinyal periodik waktu kontinyu

Operasi ini mirip dengan konvolusi umumnya yang biasanya disebut

konvolusi periodik. Seperti ditunjukkan pada Gambar 3.14, terlihat bahwa seperti

halnya konvolusi aperiodik, konvolusi periodik juga melibatkan perkalian )(~1 tx dan

)(~2 tx yang dibalik dan digeser, tetapi dalam hal ini hasil perkalian diintegrasikan

pada satu periode tunggal. Jika t berubah, satu periode dari )(~2 tx akan bergeser

keluar dari interval integrasi dan periode yang lain akan masuk. Jika t diubah oleh T0,

kemudian sinyal periodik )(~2 tx akan digeser sebesar satu periode dan oleh karena

itu akan terlihat sama seperti sebelum digeser. Dari sini dapat disimpulkan bahwa

hasil konvolusi periodik adalah sinyal periodik )(~ ty . Hasil konvolusi periodik tidak

tergantung pada interval integrasi sepanjang T0 dan juga dari persamaan (3.104) jika

{ak}, {bk} dan {ck} adalah koefisien deret Fourier dari )(~1 tx , )(~

2 tx dan )(~ ty maka:

kkk baTc 0 ………………………………..………………….. (3.105)

yang merupakan pasangan dari sifat konvolusi untuk konvolusi periodik.

3.7 TABEL SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER DAN DERET FOURIER

Sifat-sifat penting dari transformasi fourier diringkas dalam Tabel 3.1. Seperti

telah didiskusikan pada bagian 3.6, kebanyakan sifat-sifat tersebut mempunyai

pasangan pada deret Fourier seperti diringkas pada Tabel 3.2. Kemudian Tabel 3.3

memuat pasangan transformasi Fourier dasar dan penting.

124

Pengolahan Sinyal

Tabel 3.1 Transformasi Fourier

Sinyal Aperiodik Transformasi Fourier

x(t) X()

y(t) Y()

ax(t) + by(t) aX()+bY()

x(t – t0) e-jtoX()

ejotx(t) X(-0)

x*(t) X*(-)

x(-t) X(-)

x(at)

aX

a

1

x(t)*y(t) X()Y()

x(t)y(t) )(*)(2

1

YX

)(txdt

djY()

t

dttx )( )()0()(1

XXj

tx(t) )(

Xd

dj

x(t) real

)()(

)()(

)()(

)()(

)(*)(

XX

XX

XmXm

XeXe

XX

xe(t) = Ev{x(t)} [x(t) real] )(Xe

xo(t) = Od{x(t)} [x(t) real] )(Xmj

Dualitas

dvevguf juv)()( maka )()( ftgF

dan )(2)( ftfF

Hubungan Parseval untuk Sinyal Aperiodik

dXdttx 22 |)(2

1|)(|

Tabel 3.2 Sifat-sifat Deret Fourier

125

Pengolahan Sinyal

Sinyal Periodik Koefisien Deret Fourier

0)(

)(Tperiodedenganperiodik

ty

tx

ak

bk

Ax(t) + By(t) Aak + Bbk

x(t – t0) 00 )/2( tTjkk ea

ejM(2/To)x(t) ak-M

xo(t) a-k*

x(-t) a-k

x(t), > 0 (periodik dg periode

oT) ak

0

)()(T

dtyx T0akbk

x(t)y(t)

llklba

dt

tdx )(ka

Tjk

0

2

t

dttx )( (bernilai terbatas dan periodik

hanya jika a0 = 0)

kaTjk

)/2(

1

0

x(t) real

kk

kk

kk

kk

kk

aa

aa

amam

aeae

aa *

xe(t) = Ev{x(t)} [x(t) real] }{ kae

xo(t) = Od{x(t)} [ x(t) real] }{ kamj

Hubungan Parseval untuk Sinyal Periodik

k

kTadttx

T

22

00

|)(|1

Tabel 3.3 Pasangan Transformasi Fourier

Sinyal Transformasi Fourier

Koefisien Deret

Fourier

(jika periodik)

126

Pengolahan Sinyal

k

tjkk ea 0

k

ka )(2 0 ak

tje 0 )(2 0 a1 = 1

ak = 0, lainnya

t0cos )]()([ 00 a1 = a-1 = ½

ak = 0, lainnya

t0sin )]()([ 00

j

a1 = -a-1 = 1/(2j)

ak = 0, lainnya

x(t) = 1 )(2

a0 = 1, ak = 0, k 0

mempunyai deret

Fourier jika T0 > 0

Sinyal persegi periodik

2,0

,1)(

01

1

TtT

Tttx

dan

)()( 0 txTtx

)(sin2

010

k

k

Tk

k

k

Tk

Tkc

T

10

1010

sin

sin

n

nTt )(

k T

k

T

22 ak = 1/T

untuk semua k

1

1

,0

,1)(

Tt

Tttx

11

1

sin2sin2

TTcT

-

t

WtWtc

W

sin

sin

W

WX

,0

,1)( -

(t) 1 -

u(t) )(1

j-

(t – t0) 0tje -

0}{),( aetue at

ja 1

-

0}{),( aetute at

21

ja -

0}{),()!1(

1

aetuen

t atn

nja 1

-

127

Pengolahan Sinyal

3.8 RESPON FREKUENSI DARI SISTEM BERDASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KOEFISIEN KONSTAN

3.8.1 Perhitungan Respon Frekuensi dan Respon Impulse untuk Sistem LTI

berdasarkan Persamaan Diferensial

Seperti dibahas pada bab sebelumnya, kelompok penting dan berguna dari

sistem LTI waktu kontinyu adalah hubungan input-output yang dinyatakan dengan

persamaan diferensial linier koefisein konstan yang berbentuk:

M

kk

k

k

N

kk

k

k dt

txdb

dt

tyda

00

)()( ………………..………………….. (3.106)

Pada bagian ini akan dibahas mengenai penentuan respon frekuensi dari sistem LTI

dengan menentukan respon impulsenya kemudian menggunakan transformasi

Fourier untuk mendapatkan respon frekuensinya.

Dari sifat konvolusi:

)()()( XHY

atau sama dengan

)(

)()(

X

YH ………………………..………………….. (3.107)

dimana X(), Y() dan H() adalah transformasi Fourier dari input x(t), ouput y(t)

dan respon impulse h(t). Transformasi Fourier kedua ruas dari persamaan (3.106)

diperoleh:

M

kk

k

k

N

kk

k

k dt

txdbF

dt

tydaF

00

)()( ………..………….. (3.108)

Dari sifat linieritas pada persamaan (3.62) diperoleh:

M

kk

k

k

N

kk

k

k dt

txdFb

dt

tydFa

00

)()( ………..………….. (3.109)

dan dari sifat diferensiasi pada persamaan (3.66) diperoleh:

M

k

kk

N

k

kk XjbYja

00

)()(

atau ekivalen dengan:

M

k

kk

N

k

kk jbXjaY

00

)()(

dan dari persaman (3.107):

128

Pengolahan Sinyal

N

k

kk

M

k

kk

ja

jb

X

YH

0

0

)(

)()(

………..………………….. (3.110)

Dari persamaan diatas, H() adalah sebuah fungsi rasional yaitu polinomial dalam

bentuk j. Koefisien polinomial pembilang dalah sama dengan koefisien pada ruas

kiri persamaan (3.106) dan koefisien polinomial penyebut adalah sama dengan

kofisien yang ada pada ruas kiri persamaan (3.106).

Contoh 3.10

Sebuah sistem LTI dinyatakan oleh:

)()()(

txtaydt

tdy ………………………..………………….. (3.111)

dengan a > 0. Dari persamaan (3.110), respon frekuensinya adalah:

ajH

1)( ………………………..………………….. (3.112)

Bandingkan dengan Contoh 3.2, terlihat bahwa persamaan (3.112) adalah

transformasi Fourier dari e-atu(t). Maka respon impulse dari sistem tersebut:

)()( tueth at

3.8.2 Struktur Bentuk Kaskade dan Paralel

Pada Bab 3 telah dibahas mengenai beberapa realisasi dari implementasi

sistem LTI yang ditentukan oleh persamaan diferensial. Realisasi ini terdiri dari

hubungan antara tiga elemen dasar jaringan: penjumlah, pengali dengan konstanta

dan integrator, yang dapat diimplementasikan secara langsung dengan menggunakan

penguat operasional (op-amp). Selain yang dibahas pada sub-bab 3.6, terdapat dua

struktur yang sangat penting dan banyak digunakan dalam membantu menjelaskan

analisa Fourier.

Struktur kaskade dari respon frekuensi yang dinyatakan pada persamaan

(3.110) untuk sebuah sistem LTI yang ditentukan oleh sebuah persamaan diferensial

linier koefisien konstan, dapat dinyatakan:

N

kkN

M

kkM

ja

jbH

1

1

)(

)()(

………………………...…………. (3.113)

129

Pengolahan Sinyal

Nilai k dan k mungkin kompleks, maka nilainya akan muncul dalam bentuk

pasangan kompleks konjugate. Dengan mengalikan dua bentuk orde pertama dengan

kompleks konjugate dari k dan k, maka diperoleh orde kedua dalam bentuk

koefisien real. Sebagai contoh:

22* 2 jjejj

Dengan mengasumsikan terdapat P pasangan konjugate pada pembilang dan Q pada

penyebut maka H() dapat ditulis dalam bentuk perbandingan dari perkalian

polinomial orde pertama dan kedua dengan koefisien real:

QN

kk

Q

kkkN

PM

kk

P

kkkM

jjja

jjjbH

2

11

210

2

11

210

)()(

)()()(

...…. (3.114)

Persamaan (3.114) menyatakan bahwa respon frekuensi dari sebarang sistem LTI

yang dinyatakan dengan persamaan diferensial linier koefisien konstan dapat ditulis

dalam bentuk perkalian dari bentuk orde pertama dan orde kedua. Hal ini

mengakibatkan sebuah sistem LTI dapat direalisasikan sebagai kaskade dari sistem

orde pertama dan orde kedua. Dengan alasan ini maka sistem orde pertama dan orde

kedua berperan penting dalam analisis dan sintesis sistem linier.

Untuk menjelaskan sebuah struktur kaskade, berikut diberikan kasus yang

sederhana dimana N = M dan H() menyatakan perkalian dari orde kedua saja:

2/

12

10

210

)(

)()(

N

k kk

kk

N

N

jj

jj

a

bH

…………………… (3.115)

Dengan mendapatkan H() pada persamaan (3.115), maka dapat

direalisasikan sistem LTI dengan respon frekuensi sebagai kaskade dari N/2 sistem

orde kedua yang masing-masing dinyatakan dengan persamaan diferensial:

2

2

10012

2 )()()()(

)()(

dt

txd

dt

tdxtxty

dt

tdy

dt

tydkkkk …… (3.116)

Pada sub-bab 3.6 telah dijelaskan bagaimana merealisasikan sebuah persamaan

diferensial dengan menggunakan penjumlah, pengali dengan konstanta dan

integrator, dan pada Gambar 3.15 ditunjukkan realisasi kaskade dari sistem orde

enam menggunakan realisasi bentuk langsung II untuk masing-masing subsistem dari

bentuk persamaan (3.116).

Realisasi kedua yang akan dijelaskan adalah struktur bentuk paralel yang

diperoleh dengan melakukan ekspansi pembagian parsial dari H() dari persamaan

130

Pengolahan Sinyal

(3.110) atau ekivalen dengan persamaan (3.113). Agar lebih sederhana, diasumsikan

semua k pada persamaan (3.113) berbeda dan M = N. Dalam hal ini ekspansi

permbagian parsial menghasilkan:

N

k k

k

N

N

j

A

a

bH

1

)(

…………………………………… (3.117)

Untuk mendapatkan implementasi yang hanya melibatkan koefisien real, maka dapat

diperoleh dengan menambahkan kompleks konjugate dari k untuk memperoleh:

QN

i i

iQ

k kk

kk

N

N

j

A

jj

j

a

bH

2

112

10

10

)(

)()(

…… (3.118)

Dengan menggunakan persamaan (3.118) maka sistem LTI dengan respon frekuensi

H() dapat direalisasikan sebagai hubungan paralel dari sistem LTI dengan respon

frekuensi dari masing-masing bentuk dalam persamaan (3.118). Untuk

menggambarkan struktur paralel, diberikan N genap dan H() dinyatakan dalam

bentuk penjumlahan dari bentuk orde kedua saja:

2/

12

10

10

)(

)()(

N

k kk

kk

N

N

jj

j

a

bH

…………………… (3.119)

3.9 KESIMPULAN

Pada bab ini telah dibahas analisis Fourier dari sinyal dan sistem waktu

kontinyu. Tujuan utama dari analisis ini adalah bahwa sinyal eksponensial kompleks

adalah fungsi eigen dari sistem LTI kontinyu, sehingga jika input sistem adalah

eksponensial kompleks maka output dari sistem adalah eksponensial kompleks yang

dikalikan dengan sebuah bilangan kompleks. Pada bab ini juga dibahas tentang

transformasi Fourier dengan berbagai sifat pentingnya dan beberapa contoh dari

berbagai macam sinyal yang membantu pemahaman dari penjelasan yang diberikan.

Implementasi sistem LTI waktu kontinyu orde tinggi dapat dilakukan dengan

menggunakan struktur bentuk kaskade atau paralel dari sistem LTI waktu kontinyu

orde pertama atau orde kedua. Sehingga sifat-sifat sistem LTI waktu kontinyu orde

pertama dan kedua sangat menentukan sifat sistem LTI orde tinggi.

131

Pengolahan Sinyal

Gambar 3.15 Struktur kaskade mengunakan realisasi bentuk langsung II dari

subsistem-

subsistem orde dua.

3.10 SOAL-SOAL

1. Tentukan representasi deret Fourier dari setiap sinyal berikut:

a. ej20t b. cos[(t – 1)/4]

c. cos 4t + sin 8t d. cos 4t + sin 6t

e. x(t) periodik dengan periode 2 dan x(t) = e-t untuk –1 < t < 1

f. x(t) ditunjukkan pada Gambar P3.1(a).

132

Pengolahan Sinyal

g. x(t) = [1 + cos 2t][cos(10t + /4)]

h. x(t) periodik dengan periode 2, dan

21,2sin1

10,2sin)1()(

ttt

ttttx

i. x(t0 ditunjukkan pada Gambar P3.1(b)

j. x(t0 ditunjukkan pada Gambar P3.1(c)

k. x(t0 ditunjukkan pada Gambar P3.1(d)

l. x(t) periodik dengan periode 4, dan

42,0

20,sin)(

t

tttx

m. x(t) ditnjukkan pada Gambar P3.1(e)

n. x(t) ditnjukkan pada Gambar P3.1(f)

-7 76543210-1-2-3-4-5-6 1098 t

x(t)

1

2

-7 76543210-1-2-3-4-5-6 1098 t

x(t)

1

2

Gambar P3.1

2. Sebuah sistem LTI mempunyai respon impulse:

h(t) = e-4tu(t)

a. Tentukan representasi deret Fourier dari output y(t) dengan input:

(i) x(t) = cos 2t (ii) x(t) = sin 4t + cos (6t +

/4)

(iii)

n

nttx )()( (iv)

n

n nttx )()1()(

b. Ulangi soal a) jika :

lainnya

tttth

,0

10,4cos2sin)(

c. Ulangi kembali soal a) jika h(t) = e-4|t|

3. Tentukan transformasi Fourier dari sinyal-sinyal berikut ini:

a. [e-t cos 0t] u(t), > 0 b. e2+t u(-t + 1)

c. e-3|t| sin 2t d. e-3t [u(t + 2) – u(t – 3)

133

Pengolahan Sinyal

e. x(t) pada Gambar P3.2(a) f. u1(t) + 2(3 – 2t)

g.

1||,0

1||,cos1)(

t

tttx

h.

0

1||),(k

k kTt

i. [te-2t sin4t]u(t) j. sin t + cos (2t + /4)

k.

)1(

)1(2sinsin

t

t

t

t

l. x(t) pada Gambar P3.2(b)

m. x(t) pada Gambar P3.2(c) n. x(t) pada Gambar P3.2(d)

o.

lainnya

tttx

,0

10,1)(

2

p.

n

te |2|

-1 1 2 3

1

2

-1

x(t)

t -2 2

2x(t)

t

-2 -1-1

1

1 2 t

x(t)

-6-5-4 -3 -2 -10 1 2 3 4 5 6 7 8 t

x(t)2

... ...

(a) (b)

(c) (d)

Gambar P3.2

4. Berikut ini adalah transformasi Fourier dari sinyal kontinyu. Tentukan sinyal

kontinyu yang sesuai untuk masing-masing transformasi tersebut.

a.)2(

)]2(3sin[2)(

X

b. )3/4cos()( X

c. X() ditunjukkan pada Gambar P3.3(a)

d. 2()2([3)]1()1([2)( X

e. X() ditunjukkan pada Gambar P3.3(c)

134

Pengolahan Sinyal

-3

-1 1

1

|X()|

X()

(a)

-3 -2 -1

1 2 3

1

-1

X()

(b)

Gambar P3.3

5. Dengan menggunakan sifat-sifat dari transformasi Fourier, tunjukkan bahwa

transformasi Fourier dari:

0),()!1(

)(1

atuen

ttx at

n

adalahnja )(

1

6. a. Jika x(t) adalah sinyal real dan ganjil, tunjukkan bahwa X() = F{x(t)} adalah

imajiner dan ganjil.

b. Sifat-sifat apa yang dimiliki oleh transformasi Fourier dari sinyal x(t) jika x(t)

– x*(-t)?

c. Tuliskan transformasi Fourier dari y(t) dalam bentuk transformasi Fourier dari

x(t).

y(t) = Re{x(t)}

d. Tunjukkan bahwa jika x(t) dan y(t) adalah dua sebarang sinyal dengan

transformasi Fourier X() dan Y(), maka:

dYXtytx )(*)(2

1)(*)(

7. Jika X() adalah transformasi Fourier dari x(t) yang ditunjukkan pada gambar

P3.4.

a. Tentukan X() b. Tentukan X(0)

c. Tentukan

dX )( d. Evaluasi

deX j2sin2

)(

e. Evaluasi dX

2|)(|

8. Empat buah sistem LTI dihubungkan seperti Gambar P3.5, dimana:

135

Pengolahan Sinyal

t

t

dt

dth c

2

sin)(1 , c

jeH /)( 22

,

t

tth c

3sin

)(3 , )()(4 tth

h1(t)

H2()

h3(t) h4(t)+x(t) +

-

y(t)

Gambar P3.5

a. Tentukan dan sketsalah H1()

b. Tentukan respon impulse h(t) dari sistem

c. Tentukan output y(t) jika diberikan input: )2/cos(2sin)( tttx cc

9. Sebuah sistem LTI diberikan input:

)(][)( 3 tueetx tt

Akan menghasilkan output: )(]22[)( 4 tueety tt

a. Tentukan respon frekuensi dan respon impulse dari sistem ini.

b. Tuliskan persamaan diferensial yang menghubungkan input dan output dari

sistem dan susunlah realisasi sistem dengan menggunakan integrator,

penjumlah dan pengali.

10. Output dari sebuah sistem LTI kausal jika diberikan input x(t) adalah:

)()()()(10)(

txdtzxtydt

tdy

dimana z(t) = e-tu(t) + 3(t)

a. Tentukan respon frekuensi dari sistem yaitu H() = Y()/X().

b. Tentukan respon impulse dari sistem.