24
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pendahuluan
Ilmu pengetahuan tentang bentuk antrian, yang sering disebut sebagai
teori antrian (queueing theory) merupakan sebuah bagian penting operasi dan
juga alat yang sangat berharga bagi manajer operasi. Menurut Render dkk.
(2005, p418) antrian (waiting line / queue) diartikan sebagai orang-orang atau
barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani, sebagai contoh
pasien yang sedang menunggu di ruang praktik dokter, mesin bor yang sedang
menunggu di bengkel untuk diperbaiki, dll.
Antrian merupakan aktivitas yang tidak lepas dari kehidupan manusia
sehari-hari. Suka atau tidak suka, manusia tetap harus melakukan aktivitas
antrian tersebut. Menurut Taha (1997, p176), fenomena menunggu atau
mengantri merupakan hasil langsung dari keacakan dalam operasional
pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan pelanggan ke dalam suatu
sistem dan waktu pelayanan untuk pelanggan tersebut tidak dapat diatur dan
diketahui waktunya secara tepat, namun sebaliknya, fasilitas operasional dapat
diatur sehingga dapat mengurangi antrian.
Aminudin (2005, p169) juga menyatakan terdapat beberapa ukuran kinerja
dari sistem antrian. Ukuran-ukuran kinerja tersebut antara lain:
25
Lama waktu pelanggan harus menunggu sebelum dilayani.
Persentase waktu fasilitas pelayanan yang tidak digunakan atau
menganggur karena tidak ada pelanggan.
Ukuran-ukuran kinerja tersebut merupakan parameter yang menentukan
kinerja dari suatu fasilitas. Semakin singkat waktu bagi pelanggan untuk
menunggu dan semakin sedikit waktu menganggur fasilitas pelayanan berarti
kondisi sistem akan semakin optimal.
Penyusunan teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang, seorang insinyur
berkebangsaan Denmark, pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan
telepon dan melakukan percobaan yang melibatkan fluktuasi permintaan
sambungan telepon serta pengaruhnya pada peralatan switching telepon.
Sebelum Perang Dunia II, studi awal antrian ini telah berkembang di
lingkungan antrian yang lebih umum.
2.2 Elemen Dasar Model Antrian
Faktor penting dalam sistem antrian ini adalah pelanggan dan pelayan, di
mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk
mendapatkan pelayanan. Pelanggan akan segera mendapatkan pelayanan bila
ia dapat datang tepat pada waktu di antara waktu tunggu dengan waktu
pelayanan berikutnya. Menurut Kakiay (2004, p4) yang harus diingat dan
diperhitungkan adalah bahwa baik pelayan maupun pelanggan yang ada di
26
dalam sistem antrian tersebut adalah manusia yang berprilaku (human
behaviour). Sebagai manusia pelayan (human server), pelayan dapat melayani
dengan kecepatan tinggi sehingga mengurangi waktu menunggu, atau juga
melayani dengan lambat sehingga akan memperlama waktu tunggu.
2.2.1 Sifat Pemanggilan Populasi
Populasi yang dimaksud di dalam teori antrian merupakan seluruh target
pelanggan yang sedang dan akan menggunakan fasilitas pelayanan, sedangkan
yang dimaksud dengan pelanggan tidak selalu berupa manusia, melainkan
dapat berupa produk dan benda lainnya yang melakukan aktivitas mengantri
untuk dilayani atau diproses oleh satu atau lebih fasilitas pelayanan.
2.2.2 Ukuran Pemanggilan Populasi
Aminudin (2005, p173) mengemukakan bahwa terdapat dua ukuran
pemanggilan populasi, yaitu terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). Bila
populasi relatif besar dan probabilitas seorang pelanggan tidak dipengaruhi
oleh jumlah pelanggan yang telah berada pada suatu fasilitas pelayanan, maka
dapat diasumsikan bahwa populasi tersebut tidak terbatas. Populasi yang tidak
terbatas (infinite) misalnya mobil yang tiba di gerbang tol, pasien yang datang
ke rumah sakit, calon mahasiswa yang mendaftar ke sebuah perguruan tinggi,
dan lain-lain. Populasi terbatas (finite) biasanya memiliki ukuran populasi
yang kecil dan memiliki probabilitas kedatangan yang berubah secara drastis
27
ketika ada angota populasi yang sedang menerima pelayanan. Contohnya
antara lain tiga buah mesin pada sebuah pabrik yang memerlukan pelayanan
operator secara terus menerus, lima buah mobil milik sebuah perusahaan yang
secara berkala mengunjungi fasilitas reparasi kendaraan, permainan-
permainan dalam sebuah arena bermain yang memerlukan inspeksi secara
berkala, dan lain-lain.
2.2.3 Pola Kedatangan dari Pemanggilan Populasi
Subjek pemangilan populasi bisa tiba pada sebuah fasilitas pelayanan
dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Aminudin (2005, p173)
menyatakan bahwa analisis riset operasi telah mendapati bahwa tingkat
kedatangan acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tentu
saja tidak semua kedatangan memiliki pola distribusi Poisson, oleh karena itu,
sebelumya perlu dipastikan terlebih dahulu pola distribusi kedatangan tersebut
sebelum diolah. Untuk menentukan apakah suatu pola distribusi tertentu
Beberapa pola distribusi lainnya akan dibahas kemudian.
2.2.4 Tingkah Laku Pemanggilan Populasi
Terdapat tiga istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk
menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi (Aminudin, 2005, p174).
Ketiga istilah tersebut antara lain:
28
1. Renege
Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana seseorang
bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya.
2. Balking
Merupakan tingkah laku pemangilan populasi dimana seseorang tidak
mau bergabung dalam antrian.
3. Bulk
Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana kedatangan
terjadi bersama-sama (berkelompok) ketika memasuki sistem.
2.3 Sifat Fasilitas Pelayanan
2.3.1 Perilaku Sistem Antrian
Terdapat tiga macam perilaku sistem antrian yang mungkin dapat terjadi
dalam suatu sistem antrian (White et al., 1975, p90), yaitu:
1. Single waiting line
Merupakan perilaku sistem antrian dimana terdapat satu buah jalur
antrian. Pelanggan yang ingin menggunakan fasilitas pelayanan
menunggu dalam sebuah antrian sampai gilirannya untuk dilayani oleh
salah satu server.
2. Multiple waiting line without jockeying
Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server
memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang
29
menunggu di masing-masing jalur antriannya tersebut tidak dapat
pindah jalur ke jalur lainnya.
3. Multiple waiting line with jockeying
Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server
memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang
menunggu di masing-masing jalur antriannya dapat pindah jalur ke
jalur lainnya jika terdapat jalur lain yang antriannya lebih sedikit.
Gambar 2.1-2.3 berikut ini menunjukkan ketiga perilaku sistem antrian
yang telah dibahas diatas.
Gambar 2.1 Single Waiting Line
30
Gambar 2.2 Multiple Waiting Line without Jockeying
Gambar 2.3 Multiple Waiting Line with Jockeying
31
2.3.2 Disiplin Antrian
Disiplin antrian merupakan urutan bagaimana suatu subjek pemanggilan
populasi akan dilayani. White et al. (1975, p9) mengemukakan bahwa terdapat
lima jenis disiplin antrian yang sering digunakan dalam teori antrian, yaitu:
1. First Come First Served (FCFS)
FCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang
dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang lebih awal.
2. Last Come First Served (LCFS)
LCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang
datang paling akhirlah yang akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service in Random Order (SIRO)
SIRO merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelayanan
dilakukan dengan urutan acak.
4. Shortest Processing Time (SPT)
SPT merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang
memiliki waktu pelayanan atau pemrosesan yang paling singkatlah
yang akan dilayani atau diproses terlebih dahulu.
5. General Service Discipline (GD)
GD digunakan jika disiplin antrian tidak ditentukan dan hasil yang
diperoleh akan sama dengan disiplin antrian yang lain, misalnya FCFS
dan LCFS.
32
2.3.3 Pola Distribusi Waktu Pelayanan
Waktu pelayanan bisa konstan, bisa pula acak. Apabila waktu pelayanan
didistribusikan secara acak, maka harus ditentukan distribusi probabilitas yang
paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Aminudin (2005, p175)
menyatakan bahwa biasanya jika waktu pelayanannya acak, analisis antrian
menggunakan distribusi probabilitas Eksponensial. Pola distribusi lainnya
juga akan dibahas kemudian.
2.4 Struktur Antrian Dasar
Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi empat struktur dasar
menurut fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004, p13). Keempat struktur antrian
dasar tersebut adalah:
1. Single Channel Single Phase
Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani
akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran
pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas
pelayanan. Contoh dari struktur antrian ini adalah sebuah kantor pos
yang hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.
Gambar 2.4 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian single
channel single phase.
33
Gambar 2.4 Antrian Single Channel Single Phase
2. Single Channel Multiple Phase
Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani
akan datang, masuk dan membentuk antrian pada beberapa aliran
pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas
pelayanan sampai pelayanan selesai. Contoh dari struktur antrian ini
adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit, mereka harus antri
untuk mendaftar di loket pendaftaran terlebih dahulu, setelah selesai
mendaftar, pasien masuk ke ruangan pemeriksaan awal, dan setelah
menerima catatan diagnosa dari perawat maka pasien akan antri
kembali untuk diperiksa olah dokter. Gambar 2.5 berikut ini akan
menunjukkan struktur antrian single channel multiple phase.
Gambar 2.5 Antrian Single Channel Multiple Phase
34
3. Mulitple Channel Single Phase
Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani
akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran
pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas
pelayanan identik yang paralel. Contoh dari struktur antrian ini adalah
sebuah kantor pos yang mempunyai beberapa loket pelayanan dengan
satu jalur antrian. Gambar 2.6 berikut ini akan menunjukkan struktur
antrian multiple channel single phase.
Gambar 2.6 Antrian Multiple Channel Single Phase
4. Multiple Channel Multiple Phase
Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani
akan datang dan masuk ke dalam sistem pelayanan yang dioperasikan
oleh beberapa fasilitas pelayanan paralel yang identik menuju ke
fasilitas pelayanan setelahnya sampai pelayanan selesai. Contoh dari
struktur antrian ini adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit,
35
dimana terdapat beberapa perawat dan beberapa dokter. Gambar 2.7
berikut ini akan menunjukkan struktur antrian multiple channel
multiple phase.
Gambar 2.7 Antrian Multiple Channel Multiple Phase
2.5 Pola Distribusi Antrian
White et al. (1975, pp26-30) menyatakan bahwa terdapat beberapa pola
distribusi diskret yang terdapat dalam teori antrian antara lain:
1. Distribusi Bernoulli
Distribusi Bernoulli digunakan jika percobaan hanya menghasilkan
salah satu dari dua kemungkinan hasil. Berikut ini merupakan
probability mass function dari distribusi Bernoulli:
xx ppxP 1)1()( , x = 0,1, 0 < p < 1
2. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial digunakan jika sebuah percobaan terdiri dari
36
beberapa sub-percobaan Bernoulli yang independen, dan setiap sub-
percobaan juga menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil.
Setelah melakukan beberapa sub-percobaan tersebut, dihitung jumlah
terjadinya kejadian yang diteliti. Berikut ini merupakan probability
mass function dari distribusi Binomial:
xnx ppxnx
nxP
)1()!(!
!)( , x = 0,1,2,…,n, 0 < p < 1
3. Distribusi Poisson
Suatu distribusi mengikuti pola distribusi Poisson jika mengikuti
aturan berikut ini:
a. Tidak terdapat dua kejadian yang terjadi bersamaan.
b. Proses kedatangan bersifat acak.
c. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah
diketahui dari pengamatan sebelumnya.
d. Bila interval waktu dibagi ke dalam interval yang lebih kecil,
maka pernyataan-pernyataan berikut ini harus dipenuhi:
- Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan
konstan.
- Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval
waktu tersebut angkanya sangat kecil sehingga mendekati
nol.
37
- Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak
tergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum
dan sesudahnya.
Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi
Poisson:
ex
xPx
!)( , x = 0,1,2,…. , λ > 0
4. Distribusi Geometric
Sama seperti distribusi Binomial, variabel acak distribusi Geometric
juga terkait dengan variabel acak Bernoulli. Perbedaannya,
probabilitas pada distribusi Geometric hanya menentukan peluang
terjadinya kejadian pertama setelah beberapa kali percobaan. Berikut
ini merupakan probability mass function dari distribusi Geometric:
1)1()( xppxP , x = 0,1,2,… , 0 < p < 1
5. Distribusi Negative Binomial
Variabel acak Negative Binomial dapat diinterpretasikan sebagai
jumlah percobaan Bernoulli yang diperlukan untuk memperoleh hasil
dengan jumlah tertentu. Berikut ini merupakan probability mass
function dari distribusi Negative Binomial:
nxn ppnxn
xxP
)1(
)!()!1()!1()( , x = n, n+1, … n = 1,2,…
38
Selain mengikuti pola distribusi diskret, teori antrian juga menggunakan
beberapa pola distribusi kontinyu untuk data-data kontinyu (White et al.,
1975, pp33-39). Pola distribusi kontinyu yang lazim digunakan antara lain:
1. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi yang paling dikenal dalam
teori probabilitas karena kemampuannya untuk mendeskripsikan
fenomena kejadian acak. Kurva normal berbentuk lonceng dengan
nilai rata-ratanya berada pada titik tengah kurva yang berarti
jumlahnya paling banyak. Berikut ini merupakan probability density
function dari distribusi Normal:
2
2
2/1 2)(exp
)2(1)(
xxP
2. Distribusi Exponential
Distribusi eksponensial biasanya berguna untuk mendeskripsikan
waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan dalam teori antrian.
Distribusi eksponensial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
a. Waktu antar kejadian bersifat acak.
b. Waktu antar kejadian berikutnya independen terhadap waktu
antar kejadian sebelumnya.
c. Waktu pelayanan dalam antrian tergantung dari unit yang
dilayani.
39
Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi
Exponential:
xexP )( , λ > 0
3. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma hanya digunakan jika jumlah jumlah kejadian yang
berhasil berupa integer. Jika jumlah kejadian berhasil bukan integer,
maka variabel acak Gamma tidak dapat direpresentasikan dengan
menggunakan jumlah variabel acak eksponensial yang identik.
Distribusi Gamma biasanya memiliki kurva berbentuk kurva normal
yang menjulur positif. Berikut ini merupakan probability density
function dari distribusi Gamma:
xnn
exn
xP
1
)()( , λ > 0 , n > 0
4. Distribusi Weibull
Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi data kontinyu yang
paling berguna untuk memodelkan kegagalan (failure) dari sebuah
produk. Berikut ini merupakan probability density function dari
distribusi Weibull:
xxxP exp)( 1
40
5. Distribusi Erlang
Distribusi Erlang berkaitan erat dengan variabel acak eksponensial dan
Gamma. Distribusi Erlang digunakan jika pelayanan dalam suatu
sistem antrian sifatnya sama dan rutin serta waktu pelayanannya
cenderung menurun. Berikut ini merupakan probability density
function dari distribusi Erlang:
xkkk
exkkxP
1
)!1()()( , λ > 0 , integer k > 0
6. Distribusi Hyperexponential
Distribusi Hyperexponential terjadi dalam teori antrian ketika waktu
pelayanan untuk satu unit berdistribusi eksponensial dengan jumlah
parameter lebih dari satu. Berikut ini merupakan probability density
function dari distribusi Hyperexponential:
xx epepxP 2121 )1()(
7. Distribusi Uniform
Distribusi Uniform memiliki nilai variabel acak yang berada di antara
dua buah nilai. Distribusi ini penting dalam simulasi karena mampu
menghasilkan banyak variabel acak lainnya. Berikut ini merupakan
probability density function dari distribusi Uniform:
abxP
1)(
41
2.6 Notasi Model Sistem Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk
notasi. Notasi standar yang digunakan menurut White et al. (1975, p8) adalah
sebagai berikut:
( x | y | z ) : ( u | v | w )
Berikut ini adalah keterangan dari setiap simbol notasi standar di atas:
x, menyatakan distribusi kedatangan (atau antar kedatangan).
y, menyatakan distribusi waktu pelayanan.
z, menyatakan jumlah fasilitas pelayanan paralel dalam sistem.
u, menyatakan disiplin antrian yang digunakan.
v, menyatakan jumlah maksimum unit dalam sistem (yang dilayani
dan yang menunggu)
w, menyatakan ukuran pemanggilan populasi
Notasi standar untuk simbol x dan y sebagai distribusi kedatangan dan
waktu pelayanan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.1
berikut ini:
42
Tabel 2.1 Tabel Simbol Distribusi Kedatangan dan Waktu Pelayanan
Simbol z, v, dan w digantikan dengan angka nominal yang sesuai dengan
sistem antrian. Jika jumlah maksimum unit dalam sistem dan populasi tidak
terbatas (infinite), maka simbol v dan w dapat digantikan dengan simbol ∞.
Notasi standar untuk simbol u sebagai jenis disiplin antrian yang
digunakan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.2 berikut
ini:
Simbol Keterangan
M
Distribusi kedatangan Poisson atau sama dengan distribusi eksponensial untuk waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. M menunjukkan properti Markov pada distribusi eksponensial.
GI Tingkat kedatangan atau waktu antar kedatangan berdistribusi General Independent.
G Tingkat pelayanan atau waktu pelayanan berdistribusi General.
D Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi deterministik (konstan).
Ek
Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang atau Gamma dengan fase k.
Kn
Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Chi-Square dengan n derajat bebas.
HEkWaktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Hyperexponential dengan fase k.
43
Tabel 2.2 Tabel Simbol Disiplin Antrian
Simbol KeteranganFCFS First Come First ServedLCFS Last Come First ServedSIRO Service in Random OrderSPT Shortest Processing (Service) TimeGD General Service Discipline
2.7 Identifikasi Distribusi
Identifikasi distribusi data kedatangan dilakukan untuk mengetahui
apakah data kedatangan tersebut mengikuti suatu pola distribusi teoritik
tertentu sehingga formula untuk mengestimasikan parameter dapat
disesuaikan dengan distribusinya. Menurut White et al. (1975, p298),
pengujian ini terdiri dari tiga tahap, yaitu:
1. Data Collection
Merangkum data dan menyimpulkan secara kasar pola distribusi data
tersebut berdasarkan bentuk grafiknya.
2. Parameter Estimation
Mengestimasikan berbagai parameter dari distribusi yang
dihipotesiskan.
3. Goodness of Fit Test
Menentukan apakah data yang dikumpulkan mengikuti pola distribusi
yang dihipotesiskan dengan menggunakan Uji Kebaikan Suai.
44
2.8 Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit)
Menurut Walpole (1995, p325), Uji Kebaikan Suai digunakan untuk
mengetahui apakah suatu populasi memiliki suatu distribusi teoritik tertentu.
Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang
teramati dalam sampel dengan frekuensi harapan pada distribusi yang
dihipotesiskan.
Chi-Square Test
Pengujian yang biasa dilakukan pada Chi-Square Test antara lain
distribusi Binomial, distribusi Poisson, dan distribusi Normal. Adapun
langkah-langkah dalam pengujian tersebut yaitu:
1. Tentukan interval kelas k.
2. Tentukan nilai χ2 dengan rumus:
k
i i
ii
EEO
1
22 )(
3. Tentukan taraf nyata (α).
4. Tentukan nilai derajat bebas (d).
d = ( k – 1 ) – [jumlah parameter pada distribusi yang dihipotesiskan]
5. Tentukan nilai kritis 21 pada tabel distribusi Chi-Square.
6. Jika χ2 > 21 , tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi
yang dihipotesiskan.
45
Kolmogorov-Smirnov Test
Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menentukan seberapa baik
sebuah sampel data acak mengikuti pola distribusi teoritis tertentu (normal,
uniform, poisson, atau eksponensial). Uji ini didasarkan pada perbandingan
fungsi distribusi kumulatif sampel dengan fungsi distribusi kumulatif
hipotesis. Langkah-langkah dalam uji Kolmogorov-Smirnov adalah:
1. Tentukan frekuensi distribusi kumulatif sampel Sn(x) dan distribusi
kumulatif hipotesis F(x).
2. Hitung | F(xi) – Sn(xi) | dan | F(xi) – Sn(xi-1) | jika F(x) kontinyu. Jika
F(x) diskret, hanya perlu menghitung | F(xi) – Sn(xi) |.
3. Tentukan nilai maksimum Dmax dari perhitungan nomor 2.
4. Tentukan taraf nyata (α).
5. Tentukan nilai kritis n
Dn
dari tabel nilai kritis perbedaan absolut
maksimum antara distribusi kumulatif sampel dan populasi.
6. Jika Dmax n
Dn
, tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi
yang dihipotesiskan.
Pada prakteknya, hanya satu jenis uji kebaikan suai yang perlu
dilakukan. White et al. (1975, p338) mengemukakan bahwa sebaiknya
menggunakan Kolmogorov-Smirnov Test karena secara statistik terbukti
lebih baik daripada Chi-Square Test.
46
2.9 Model M/M/1/FCFS/∞/∞
Model M/M/1/GD/∞/∞ ini adalah model yang paling umum dan sering
dibahas dalam masalah antrian. Model ini adalah model antrian yang paling
sederhana dengan mengasumsikan bahwa input kedatangan mengikuti
distribusi Poisson dan pelayanan mengikuti distribusi Eksponensial.
Menurut Harris et al. (1998, p53), fungsi densitas untuk waktu antar
kedatangan dan waktu pelayanan untuk model M/M/1 adalah :
a(t) = λe-λt ,
b(t) = μe-μt
Dimana 1/λ adalah rata-rata waktu antar kedatangan dan 1/μ adalah waktu
pelayanan, sebaiknya waktu pelayanan diasumsikan secara statistik berdiri
sendiri. Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional
dalam model antrian M/M/1 :
1. Po =
1
n
, Po adalah probabilitas tidak ada individu dalam
sistem.
2. Lq =)(
2
, Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit).
3. Ls =
, Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian
dan pelayanan) (unit).
47
4. Wq = )(
, Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian (jam).
5. Ws =
1 , Ws adalah rata-rata waktu dalam sistem (antrian dan
pelayanan) (jam).
6. λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).
7. μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).
2.10 Model M/Ek/1/FCFS/∞/∞
Distribusi Erlang adalah merupakan satu keluarga dengan distribusi
Gamma dan distribusi Eksponensial. Menurut Harris et al. (1998, p128-129)
eksponensial itu adalah kasus khusus dari Erlang yang dinamakan tipe 1
(k = 1), sedangkan untuk Erlang (k > 1). Hubungan antara Erlang dengan
Eksponensial dapat dijelaskan dengan model antrian dimana bentuk pelayanan
suatu sistem memiliki bentuk seri fase-fase yang identik.
Dengan mempertimbangkan jika sebuah model dengan waktu
pelayanannya memiliki distribusi Erlang tipe-k, itu lebih mudah untuk di
analisa model seperti ini dengan melihat bahwa Erlang dipecah dari k fase-
fase untuk Eksponensial dengan rata-rata menjadi 1/kμ.
Menurut Budihardjo et al. (1999, p866) suatu skema dari bentuk pola
yang digambarkan di jurnal tersebut menjelaskan suatu model hipotesa
48
dimana jika terdapat fase yang berbentuk Erlang waktu menunggu akan
terjadi peningkatan dimana k > q, dan menurun jika k < q.
Gambar 2.8 Skema One Maverick Stage
Dimana → A : Erlang (k) fase = 1, Bi : Erlang (q) fase > 1.
Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional
dalam model antrian M/Ek/1 :
1.
, adalah tingkat kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)
2. Lq = Wq, Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit).
3. Ls = Lq + , Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian
dan pelayanan) (unit).
4. Wq = )1(2
1
k
k , Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian
(jam).
5. Ws = Wq + 1 , Ws adalah rata-rata waktu tunggu sistem (antrian dan
pelayanan) (jam).
6. λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).
7. μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).