Download - ANALISIS REGRESI LINEAR SEDERHANA
REGRESI LINIER SEDERHANATugas Mata Kuliah Analisis Regresi
Oleh
Annis Kurnia Ramadhani (3115102296)
Beni Adam (3115100122)
Pendidikan Matematika Reguler 2010
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Jakarta
2013
A. PENDAHULUAN
Sepanjang sejarah umat manusia, orang melakukan penelitian tentang
ada tidaknya hubungan antara dua hal, fenomena, kejadian atau lainnya. Dan
ada tidaknya pengaruh antara satu kejadian dengan kejadian lainnya. Oleh
karena itu, untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan suatu
kejadian maka digunakan korelasi dan regresi dalam ilmu statistika.
Regresi merupakan salah satu analisis yang bertujuan untuk
mengetetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain. Dalam analisis
regresi, variabel yang mempengaruhi disebut variabel/peubah bebas
sedangkan variabel yang dipengaruhi disebut variabel/peubah terikat.
A. TUJUAN
Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini yaitu:
1. Memberikan informasi dan wawasan mengenai apa itu regresi.
2. Mengetahui pengaruh suatu variabel terhadap variabel lain dalam
analisis regresi
3. Memenuhi tugas mata kuliah Analisis Regresi yang diampu oleh Dra.
Ratnaningsih, M.Si
B. URAIAN MATERI
1. Asumsi Model Regresi Linear Sederhana
Sering kali dalam praktek kita berhadapan dengan persoalan yang
menyangkut sekelompok peubah bila diketahui bahwa diantara peubah
tersebut terdapat suatu hubungan alamiah. Misalnya dalam industri
diketahui bahwa kadar ter hasil suatu proses kimia berkaitan dengan
temperature masukan. Mungkin perlu dikembangkan suatu metode
peramalan, yaitu suatu cara kerja guna menaksir kadar ter untuk berbagai
taraf temperature masukan yang didapat dari data percobaan.
Untuk contoh ini dan kebanyakan terapannya terdapat perbedaan
yang jelas antara peubah sepanjang menyangkut perannya dalam
proses percobaan. Seringkali terdapat suatu peubah terikat yang
tunggal atau yang disebut respon Y. Respon bergantung pada satu
atau lebih peubah bebas, misalnya 1, 2, 3,…, k, yang galat
pengukurannya dapat diabaikan.
Dalam makalah ini yang akan dibahas adalah regresi linear
sederhana, yang hanya menyangkut satu peubah bebas. Nyatakanlah
sampel acak ukuran n dengan himpunan . Bila
diambil sampel tambahan tepat sama dengan nilai maka kita yakin
harga akan berbeda-beda. Jadi harga i pada pasangan terurut ( i,
i) merupakan harga dari sebuah peubah acak Y i. Untuk mudahnya
akan ditulis YIx dan ini menyatakan peubaha acak Y yang berkaitan
dengan suatu nilai tetap x, dan nyatakan rataan dan variansinya
masing-masing dengan µYIX dan variansinya . Jelas, bahwa bila
i maka lambang YIxi menyatakan peubah acak Yi dengan rataan
µYIX dan variansinya
Istilah Regresi Linear berarti, bahwa rataan µYIX berkaitan linear
dengan dalam bentuk persamaan linear populasi.
µYIX .
Koefisien regresi α dan β merupakan dua parameter yang ditaksir
dari data sampel. Bila taksiran kedua parameter itu masing-masing
dinyatakan dengan dan maka µYIX dapat ditaksir dengan dari
bentuk garis regresi berdasarkan sampel atau garis kecocokan regresi.
Dengan taksiran dan masing-masing menyatakan perpotongan
dengan sumbu dan tanjakannya. Lambang digunakan untuk
membedakan antara taksiran atau nilai prediksi yang diberikan oleh
regresi sampel dan nilai amatan percobaan yang sesungguhnya
untuk suatu nilai .
Dalam hal regresi linear sederhana, yaitu hanya terdapat peubah
bebas dan satu peubah acak terikat Y, datanya dapat disajikan
sebagai pasangan pengamatan . Akan
menolong bila digunakan gagasan dari pasal sebelumnya untuk
mendefinisikan setiap peubah acak I dengan suatu model
statistika. Bila dimisalkan bahwa semua rataan terletak pada
suatu garis lurus, maka setiap dapat ditulis sebagai model regresi
linear sederhana.
I ,
dengan galat acak , galat model, haruslah mempunyai rataan nol.
Setiap pengamatan ( ) dalam sampel memenuhi hubungan
dengan nilai yang dicapai bila mendapat nilai . Persamaan di
atas dapat dipandang sebagai model untuk pengamatan tunggal .
Demikian juga, dengan menggunakan taksiran atau kecocokan garis
regresi
Tiap pasangan pengamatan memenuhi
,
disebut galat sisa dan memberikan galat dalam kecocokan
model pada titik data ke i.
2. Prosedur untuk Melakukan Estimasi Parameter (Metode Kuadrat
Kecil)
Akan dicari dan , taksiran α dan β, sehingga jumlah kuadrat sisa
minimum. Jumlah kuadrat sisa sering pula disebut jumlah kuadrat galat
terhadap garis regresi dan dinyatakan dengan JKG. Cara peminimuman
untuk menaksir parameter dinamakan metode kuadrat terkecil. Jika
dan akan dicari sehingga akan meminimumkan
Bila J diturunkan terhadap dan , maka diperoleh
Menaksir koefisien regresi bila diketahui sampel
maka taksiran kuadrat terkecil dan dari
koefisien regresi α dan β dihitung menggunakan rumus :
Contoh soal
1. Tariklah garis regresi untuk data pencemaran pada tabel di bawah ini !
Tabel 1
Penurunan zat pada x (%)
Kebutuhan oksigen kimiawi y(%)
Penurunan zat pada x (%)
Kebutuhan oksigen kimiawi y(%)
3 5 36 347 11 37 3611 21 38 3815 16 39 3718 16 39 3627 28 39 4529 27 40 3930 25 41 4130 35 42 4031 30 42 4431 40 43 3732 32 44 4433 34 45 46
33 32 46 4634 34 47 4936 37 50 5136 38
Jawab :
Dari tabel di atas diperoleh
, ,
Jadi, taksiran regresinya adalah
3. Pengujian Hipotesis Parameter Regresi
Uji model regresi sebaiknya dilakukan dengan dua macam, yaitu :
a. Uji Serentak
Statistik uji yang dipakai untuk melakukan uji serentak ini adalah uji F.
Uji F dikenal juga dengan uji Anova (Analysis Of Varians) yaitu uji untuk
melihat bagaimanakah pengaruh semua variabel prediktornya secara
bersama-sama terhadap variabel terikatnya atau untuk menguji apakah
model regresi yang kita buat baik (signifikan) atau tidak baik (non
signifikan). Jika model signifikan maka model bisa digunakan untuk
peramalan, sebaliknya jika non signifikan maka model regresi tidak bisa
digunakan untuk peramalan. Uji serentak merupakan uji terhadap nilai-
nilai koefisien regresi secara bersama-sama dengan hipotesa.
Hipotesisnya sebagai berikut :
1. H0 :
H1 : 0, j = 1,2,…,k
2. Tentukan taraf nyata
3. Daerah kritik penerimaan :
Daerah kritik penolakan : F0< atau F0 >
4. Uji Statistik
5. Kesimpulan
fhitung fα(v1,v2), H0 gagal tolak
fhitung > fα(v1,v2), Ho ditolak
Tabel Analisis Ragam Regresi Linear
Sumber df SS MS F hitung
variansi
Regresi 1 atau Atau
Galat n-2
Total n-1
Dimana:
= simpangan total
= simpangan regresi
= simpangan residu
Uji F dapat dilakukan dengan membandingkan F hitung dengan F
tabel, jika F hitung > dari F tabel, maka Ho di tolak dan H1 diterima
dengan kata lain persamaaan garis regresi tersebut tidak bisa kita terima
sebagai penduga hubungan antara variabel X dengan variabel Y. Bila
bentuk hubungan antar variabel X dengan variabel Y sudah dapat kita
terima maka kita bisa mengetahui seberapa besar keeratan hubungannya
(korelasinya).
Walaupun bentuk hubungan antara variabel X dengan variabel Y
ada dalam bentuk yang benar belum tentu korelasinya besar karena
banyak variabel lain yang turut mempengaruhi perubahan variabel Y.
Besarnya perubahan variabel Y yang dapat diterangkan oleh variabel X
dengan menggunakan persamaan garis regresi yang diperoleh disebut
koefisien determinan.
b. Uji Parsial
Statistik uji yang dipakai untuk melakukan uji parsial ini adalah
statistik uji T. Uji T digunakan untuk menguji bagaimana pengaruh
masing-masing variabel bebasnya secara sendiri-sendiri terhadap variabel
terikatnya. Jika hasil pada uji serentak menunjukkan bahwa H0 ditolak,
maka perlu dilakukan uji individu dengan hipotesa :
1. H0: β = 0
H1: β ≠ 0 atau H1: β < 0 atau H1: β >0
2. Tentukan taraf nyata
3. Daerah kritik penerimaan :
Daerah kritik penolakan : t0< atau t0 >
4. Uji statistik
thitung = atau
thitung =
dapat juga ditulis
thitung =
Dimana:
a = taksiran bagi β0
b = taksiran bagi β1
t = nilai sebaran t
5. Keputusan:
a. H0 ditolak jika thitung > tα/2(n-2) atau thitung < - tα/2(n-2)untuk lawan
alternatif H1:β≠ 0
b. H0 ditolak jika thitung < - tα(n-2) untuk lawan alternatif H1: β < 0
c. H0 ditolak jika thitung > tα(n-2) untuk lawan alternatif H1: β > 0
4. Selang Kepercayaan
Nilai dugaan bagi parameter yang sesungguhnya bagi α dan β yang
didasarkan pada n pengamatan yang diperoleh. Nilai-nilai dugaan lain
bagi α dan β yang dapat diperoleh melalui pengambilan contoh
berukuran n beberapa kali dapat dipandang sebagai nilai-nilai peubah
acak. Selang kepercayaan sebesar (1-α)100% untuk parameter β adalah
Dapat ditulis juga dengan
Dimana:
b = taksiran bagi β1
t = nilai sebaran t
Sedangkan selang kepercayaan sebesar (1-α)100% untuk adalah
Dapat ditulis juga dengan
Dimana:
a = taksiran bagi
= nilai rata-rata x
Contoh soal :
2. Dengan menggunakan nilai taksiran b = 0,903643 pada contoh soal 1,
ujilah hipotesis bahwa = 1,0 pada taraf keberartian 0,05 lawan
tandingan bahwa < 1,0
Jawab :
1. H0 : = 1,0
2. H1 : < 1,0
3. Pilih taraf keberartian 0,05
4. Daerah kritis t < -1,699 (tabel)
5. Hitungan
thitung = =
P 0,03 diperoleh dari hitungan program komputer
6. Keputusan : harga t berarti pada taraf 0,03, suatu petunjuk kuat
bahwa < 1,0. H0 ditolak
C. RANGKUMAN
1. Regresi adalah garis yang menunjukan hubungan dua macam variabel
(estimating line). Regresi disebut juga dengan metode statistika yang
digunakan untuk membentuk model hubungan antara variabel terikat
(Y) dan variabel bebas (X).
2. Regresi ada dua macam yaitu regresi linear sederhana dan regresi
berganda.
3. Analisis regresi merupakan sebuah alat statistik yang memberikan
penjelasan tentang pola hubungan antara variabel bebas dan variabel
terikat.
4. Analisis regresi setidak-tidaknya memiliki 3 kegunaan yaitu untuk
tujuan deskripsi dari fenomena data atau kasus yang sedang diteliti,
untuk tujuan kontrol, serta untuk tujuan prediksi.
5. Persamaan regresi adalah hubungan antara variabel bebas dan
terikat, yang dicocokkan pada data percobaan, ditandai dengan
persamaan prediksi :
,
Dengan :
6. Uji model regresi sebaiknya dilakukan dengan dua macam, yaitu uji
serentak dan uji parsial.
7. Uji serentak menggunakan statistik uji F yang dikenal juga dengan uji
Anova (Analysis Of Varians)
8. Interval konfedensi sebesar (1-α)100% untuk parameter β1 adalah
9. Interval konfidensi sebesar (1-α) untuk adalah
D. TES FORMATIF
1. Nilai 9 orang murid dari suatu kelas pada ujian tengah semester ( )
dan pada ujian akhir ( ) adalah sebagai berikut:
77 50 71 72 81 94 96 99 67
82 66 78 34 47 85 99 99 68
a. Taksirlah garis regresi linear
b. Taksirlah nilai ujian akhir seorang murid yang mendapat nilai 85
pada ujian tengah semester.
2. Carilah selang kepercayaan 95% untuk dalam garis regresi µYIX
berdasarkan data nomor 1.
E. PENYELESAIAN
1. Tabel perhitungan
77 82 5929 631450 66 2500 330071 78 5041 553872 34 5184 244881 47 6561 380794 85 8836 799096 99 9216 950499 99 9801 980167 68 4489 4556
707 658 57557 53258
a. Garis regresi
0.77714
12.06232
Jadi, persamaan regresinya adalah
b. Untuk ,
Jadi, apabila seorang murid mendapatkan nilai 85 pada saat UTS maka nilai UAS
nya dapat ditaksir sebesar 78.
707 658 57557 53258
2. Jadi,
Jxx = 57557 – 2018,22
Jyy = 51980 – 3872,89
Jxy = 53258 – 1568,44
Dari nomor 1, diperoleh b = 0.77714
= 379,1418
s = 19, 4716
dari tabel, t0,025 = 2,262 untuk derajat kebebasan 9
jadi, selang kepercayaan 95% untuk adalah
-0,2032 < < 1,7575
DAFTAR PUSTAKA
Draper, N. R. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Ke 2. Jakarta: PT.
Pustaka Gramedia Utama
Sembiring, R. K. 1995. Analisis Regresi. Bandung: Institut Teknologi
Bandung
Walpole. Ronald E. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Ilmuwan.
Bandung: Institut Teknologi Bandung
Fatwa, Irmaya. 2011. Modul VI : Analisis Regresi. Tersedia :
http://www.slideshare.net/irmayafatwayukha/hasil-makalah-6
(diakses pada 23 Februari 2013 pukul 08.55 WIB)
http://teratainear.blogspot.com/p/makalah-regresi-dan-korelasi.html?
m=1 (diakses pada 23 Februari 2013 pukul 07.30 WIB)