Download - Alin 07 - Transformasi Linear
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
1/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223
3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
2/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 2
VII Transformasi Linear
Sub pokok BahasanDefinisi Transformasi Linear
Matriks Transformasi
Kernel dan Jangkauan
Beberapa Aplikasi Transformasi Linear
Grafika Komputer
Penyederhanaan Model Matematisdan lain lain
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
3/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 3
Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : VW
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap dan berlaku :
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
Vba , R
( )=+ baT.1 ( ) ( )bTaT +
( )=aT .2 ( )aT
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
4/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 4
Contoh :
Tunjukan bahwa T : R2R3, dimana
merupakan tranformasi linear.
Jawab :Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
(i) Akan ditunjukan bahwa
=
y
x
yx
yxT
,2
1
=
u
uu
2
2
1R
v
vv
=
( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+
Rumus Transformasi
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
5/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 5
Terbukti bahwa
( )=+ vuT
+
2
1
2
1
v
v
u
uT
( ) ( )
( )
++
++=
22
11
2211
vu
vu
vuvu
( ) ( )
+
++
=22
11
2211
vu
vu
vuvu
+
=2
1
21
2
1
21
v
v
vv
u
u
uu
( ) ( ) ( )vuvuT +=+
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
6/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 6
(ii) Ambil unsur sembarang
Jadi,Tmerupakan transformasi linear.
RRu dan2
( )
=
2
1
u
u
u
=
2
1
21
u
u
uu
( )
( )
( )
=
2
1
21
u
u
uu
=
2
1
21
u
u
uu
( )u=
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
7/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh 2 :
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2ke R yang didefinisikan oleh
T(A) =det(A), untuk setiapAM2x2,Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
Misalkan
maka untuk setiapR berlaku
det (A) =
22
43
21
xMaa
aa
A
=
43
21
det aa
aa
( ) )det(243212 Aaaaa ==
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
8/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan bahwadet(A) det(A)
JadiTbukan transformasi linier.
Contoh 3 :
DiketahuiT: P2 (Polinom orde-2)R2, dimana
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan
=++
ca
bacxbxaT )( 2
)1( 2xxT ++
2
1 2 3p u u x u x= + + 2
1 2 3q v v x v x= + +
Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
9/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear
Sehingga
Perhatikan bahwa
p q+ = ( ) ( ) ( ) 2332211 xvuxvuvu +++++
( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 2 2 3 3T p q T u v u v x u v x+ = + + + + +
( ) ( )
( ) ( )
++++
=3311
2211
vuvu
vuvu
( ) ( )( ) ( )
++=
3131
2121
vvuu
vvuu
+
=31
21
31
21
vv
vv
uu
uu
( ) ( )2321
2
321 xvxvvTxuxuuT +++++=
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
10/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 10
Ambil unsur sembarang P2,
danR, sehingga
Jadi, T merupakan transformasi linear
2
1 2 3p u u x u x= + +
( ) ( )2
321 xuxuuTuT ++=
( )
( )
=31
21
uu
uu
( )
( )
=31
21
uu
uu
=31
21
uu
uu
( )2
321 xuxuuT ++=
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
11/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 11
b.
Suatu transformasi linearT:VWdapatdirepresentasikan dalam bentuk :
A dinamakan matriks transformasi dariT.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linearT: R2R3didefinisikan oleh :
=++ )1( 2xxT
=
0
0
11
11
( ) uAuT = uuntuk setiap V.
=
y
x
yx
y
x
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
12/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 12
Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi matriks transformasi untuk T : R2R3adalah
Jika T : Rn
Rm
merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalahm x n
=
=
yx
yx
yx
y
x
1001
11
=10
01
11
A
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
13/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 13
dimana
{ }21 ,vv=32
: RR
( ) ( )ii uv =
( )
( ) 222
111
uvvT
uvvT
====
[ ] [ ] 2321222123 xxx uuvv = [ ]21 vv
[ ][ ] 12121
= vvuu
Misalkan
basis bagi ruang vektorVdan
merupakan transformasi linear
untuk setiapi= 1,2.
SehinggaJadi
basis bagiVmaka ia punya invers
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
14/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 14
=
=
=
10
0
,1
1
0
,1
1
1
321 vvv
1
3: PR
( ) iii pvAvT ==
xppxp 2;1;1 321 ===
2
1
1
dan
Contoh 3 :Misalkan
adalah basis bagi R3
Transformasi linear didefinisikan
untuk setiapi= 1,2,3.
Tentukan :Matrix transformasi
Jika
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
15/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 15
[ ] [ ] [ ]
==
==
==2
02;
0
11;
1
111
32 BBB xppxp
3,2,1, == iii pv
=
201
011
111
011
001
1
111
011
001
201
011
=
Jawab :
efinisikan :
Karena
Maka
atau
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
16/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 16
100
010
001
111
011
001
101
011
001
110
010
001
~
110
011
001
100
010
001
~
=
=221
010
110
011
001
201
011
221
010
invers matriks dicari dengan OBE :
Sehingga
Jadi matriks transformasi T adalah
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
17/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 17
=
2
1
1
2
1
1
=
=
1
1
2
1
1
221
010
211
1x
B
+=
ingat bahwa
jadi
Sementara itu,
( )x+=
12
11
C th
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
18/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 18
{ }22 1,,1 xxxxx +++
[ ]
=+
2
1
0
1 xT [ ]
=+
0
2
12xxT [ ]
=+
0
1
2
1 2xxT
( )21 xxT +
Contoh:
Jika T : P2R3adalah transformasi
lineardimana
Tentukan
!
Diketahui basis dari polinom orde duaadalah
"una#an
$efinisi
Memban%un
b
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
19/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 1
Jawab :
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2maka polinom tersebut ditulis nejadi :
Samakan suku-suku sejenissehingga diperoleh SPL
dengan solusik1=0 ,k2= 2, dan k3= 1.
1
1
1
32
321
31
=
=+=+
kk
kkk
kk
( ) ( ) ( )23
2
21
2111 xxkxxkxkxx +++++=+
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
20/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 20
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
atau
Karena transformasi T bersifat linear maka :
( ) ( ) ( ) ( )222 12101 xxTxxTxTxxT +++++=+
+
=
0
1
2
0
2
1
2
=
0
5
4
( ) ( ) ( ) ( )( )222 112101 xxxxxTxxT +++++=+
( ) ( ) ( )222 112101 xxxxxxx +++++=+
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
21/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 21
Kernel dan Jangkauan
Misalkan T : V W merupakan transformasi linear
Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W
dinamakan kernel T
notasiker(T).
atau
Contoh 5 :
Trans. Linear T : P2R2
Perhatikan bahwa
maka
( ){ }0|)( == uTVuTKer
=++ca
bacxbxaT )( 2
=++ )1( 2xxT = 00
1111
)(1 2
TKerxx ++
2
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
22/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 22
Sementara itu,
karena
Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal
transformasi merupakan unsur kernel T.
Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai
vektor tak nol sebagai unsur kernel T.
Teorema :
Jika T : VW adalah transformasi linear
makaKer(T) merupakan subruang dari VBukti :
Ambil sembarang danRiil)(, TKerba
)(21 2 TKerxx ++
01
1)21(
2
=++ xxT
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
23/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 23
1. Karena setiap
artinya setiap
makaKer(T)V
2. Perhatikan bahwa
artinya setiap
oleh karena itu Ker(T) { }
3. Karena dan Ker(T)VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku
akibatnya
Jadi
)(TKera( ) 0sehingga = aTVa
)(0 TKer( ) 000 == AT
)(, TKerba
Vba +( ) 000 =+=+=+ bTaTbaT
( )Tba ker+
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
24/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 24
karena V adalah ruang vektor
maka untuk setiap Riil berlaku :
Jadi,
Dengan demikian, terbukti bahwa
Jika T : VW adalah transformasi linear maka
Ker(T) merupakansubruangdari ruang vektor V
KarenaKer(T) merupakan subruang
Basis Ker(T).
VaTKera maka)(Karena4.
)(TKera
( ) ( ) 00=== aTaT
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
25/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 25
c
b
a
T
( ) ( ) ( ) 022 2
=+++++=
xcbaxcabacb
a
T
Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 P
2
engan
Jawab :Perhatikan
ahwa :
=(a+b) + (2ac)x+ (2a+b+c)x2
Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan
(T)
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
26/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 26
=
+++
0
0
0
2
2
cba
cb
ba
=
cb
a
T =
++
+
cbacb
ba
22
112120
011
cb
a
Iniemberikan
sehingga
Jadi, matriks transformasi bagi T adalah
=112
120011
A
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
27/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 27
~
0
0
0
112
120
011
0
0
0
110
120
011
0
0
0
2/100
2/110
2/101
~
00
0
100010
001
~
Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :
Dengan demikian, Basis ker(T) = { }
dan nulitasnya adalah nol.
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
28/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 28
1
1
0
,
1
2
1
,
2
0
1
222 2121 xx,xx,x ++++
Perhatikan hasil OBEmaka basis ruang kolom dari matriks Adalah :
oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :
sehinggarank(dimensi basis R(t)) = 3
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
29/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 2
++
=
dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2
Contoh 7 :
Diketahui transformasi linear T : R4
3
didefinisikan oleh :
Tentukan basis kernel dari T dannulitasnya
Jaw
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
30/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 30
Jawab :
++
=
dcba
dc
ba
d
c
b
a
T
2
2
=
d
c
b
a
21112100
0011
=2111
21000011
A
Jadi
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
31/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 31
( ) ( ) 4,0 R
d
c
ba
vvAvT
===
0000
2100
0011
~
2111
2100
0011
~A
Basis Ker(T) dan Nulitasnya?
Dengan OBE
Ker(T) adalah ruang solusi dari
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
32/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 32
0=vA
+
=
0,,
21
1
0
0
0
0
1
1
tsts
d
c
b
a
d
c
b
a
21
1
0
0
,
0
0
1
1
Ker(T) = ruang solusi dari
yaitu
Jadi Basis Ker(T) adalah
Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
33/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 33
+=
ca
ba
c
ba
T2
[ ] 242 xxxT +=+ [ ] 222731 xxxT +=+
[ ]xT 3
Latihan
1. Suatu transformasi T :32
didefinisikan oleh
2. Jika suatu transformansiT:P1P2diberikan
h :d
anTentukan
Periksa apakah T merupakan transformasi
linear
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
34/35
28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 34
=
1
1
3
2
1T
=
1
2
1
5
3T
3
1T
(Untuk no. 3 5)
Suatu transformasi linear, T :R2R3
Yang diilustrasikan sebagai
berikut :dan
3. Tentukan matriks transformasi dari T !
4. Tentukan hasil transformasi,
5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !
-
7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear
35/35
28/11/15 10:14 MA 1223 Aljabar Linear 35
=
1221
1321
1121
A
+=
caba
c
b
a
T 2
7. Misalkan T :32didefinisikaneh
Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)beserta dimensinya !
6. Tentukanrankdannulitasmatriks Transformasi :