MODUL I

PROGRAM MINITAB

1.1 Pengenalan Program Minitab

Minitab merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan

untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan minitab adalah dapat

digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial dan teknik. Minitab

telah diakui sebagai program statistika yang sangat kuat dengan tingkat akurasi

taksiran statistik yang tinggi.

Minitab menyediakan beberapa pengolahan data untuk melakukan analisis

regresi, membuat ANOVA, membuat alat-alat pengendalian kualitas statistika,

membuat desain eksperimen (factorial, response surface dan taguchi), membuat

peramalan dengan analisis time series, analisis realibilitas dan analisis multivariate,

serta menganalisis data kualitatif dengan menggunakan cross tabulation.

1.2 Bagian-bagian Minitab

Minitab terdiri atas beberapa bagian dan Gambar 1.2 menunjukan beberapa

bagian Minitab.

Gambar 1.1 Tampilan window Minitab.

1

Toolbar

Window session

Window data

Window graph

Project manager

1.2.1 Toolbar

Toolbar merupakan alat untuk mempermudah dan mempercepat perintah

Minitab. Toolbar Minitab berbentuk tombol-tombol dalam window Minitab.

Pengoperasiannya pun mudah, yaitu hanya dengan menekan (klik) toolbar

tertentu untuk menjalankan suatu perintah.

Gambar 1.2 Beberapa Toolbar khas dalam Minitab

1.2.2 Window Data

Window data pada minitab dinamakan dengan worksheet. Worksheet pada

window data terdiri dari kolom-kolom dan baris, dimana 1 kolom berisi kolom

variable tertentu dan 1 baris berisi suatu observasi. Sel paling atas suatu

kolom berisi nama kolom yang disediakan oleh Minitab secara otomatis.

Namanya adalah C1, C2, C3 dan seterusnya. Kita bisa pula memberi nama

kolom yang disediakan dibaris kedua suatu kolom. Kolom dalam Minitab bisa

diberi nama yang panjang. Gambar 1.3 menunjukan bentuk window data pada

Minitab.

Gambar 1.3 Window Data

1.2.3 Window Session

Window session menampilkan hasil analisis data yang telah dilakukan.

Kita bisa mengedit dan memformat teks, menambahkan komentar, melakukan

perintah menyalin, mengubah huruf atau mencari dan mengganti angka serta

huruf. Pekerjaan yang telah dilakukan atau hasil analisis dalam window bisa

2

disimpan dan dicetak. Kita dapat pula menggunakan window session untuk

memerintah minitab dalam tipe text dan menjalankan program macro.

Menjalankan perintah melalui wondow session membutuhkan bahasa perintah

tertentu. Gambar berikut ini menampilkan bentuk window session.

Gambar 1.4 Window Session

1.2.4 Window Graph

Window graph menampilkan grafik data statistik . Pada program minitab

kita dapat membuat grafik beresolusi sebanyak 100 gambar secara bersamaan.

Ada 4 jenis grafik yang bisa dibuat dalam minitab, yaitu:

1. Grafik dasar

Ada beberapa grafik yang dikategorikan grafik dasar seperti scatterplot,

plot times series, histogram, boxplot, plot draftsman, plot contour, dan

lain-lain.

2. Grafik 3D

Grafik yang bisa dibuat dalam 3 dimensi dalam minitab adalah scatterplot,

plot surface dan plot wireframe.

3. Grafik-grafik khusus statistika

Grafik-grafik tersebut adalah dotplot, diagram lingkaran (pie chart), plot

marginal dan plot probabilitas.

4. Character Graph

Grafik ditampilkan window session dalam tipe text.

3

1.2.5 Project Manager

Project Manager berfungsi mengatur file-file yang tersimpan dalam

project. Project Manager terdiri atas beberapa folder dan window suatu folder

seperti ditunjukan pada gambar berikut

Gambar 1.5 Project Manager

Gambar di atas memperlihatkan bahwa project manager terbagi menjadi

dua bagian. Bagian kiri project manager menunjukan subfolder-subfolder

yang merupakan isi project tertentu. Window di sebelah kanan menampilkan

daftar file pada subfolder tertentu yang ditunjuk.

4

MODUL II

ALAT – ALAT STATISTIK DALAM MINITAB

Seiring dengan perkembangannya, Minitab mengalami perbaikan-perbaikan dalam

menyediakan metode-metode analalisis data statistik. Pada modul ini penulis akan

memberikan pnejelasan lebih terperinci mengenai alat-alat pengolahan data statistik yang

disediakan menu data Statitistik dalam minitab.

2.1 Statitika Sederhana

Diawal menu stat, Minitab menampilkan metode untuk analisis statistik

sederhana, yaitu melalui submenu Basic Statistik. Perhitungan statistik sederhana

yang dilakukan dalam menu antara lain menghitung banyaknya data, rata-rata,

median, kuartil 1 dan 3, nilai terbesa (maksimum) dan terkecil (minimum) serta

standar deviasi.

2.2 Analisis Regresi

Minitab menyediakan alat-alat untuk melakukan analisis regresi, yaitu melalui

submenu Regression. Analisis regresi yang bisa dilakukan dalam submenu

regression meliputi analisis regresi sederhana dan analisis regresi berganda.

Untuk analisis regresi berganda, Minitab menyediakan metode analisis regresi

untuk memilih model regresi terbaik. Tidak hnya itu, Mintab menyediakan pula

berbagai analisis regresi logistik.

2.3 Analysis of Variance (ANOVA)

Minitab mnyediakan alat untuk melakukan Analysis of Variance atau lebih sering

terkenal ANOVA dalam submenu ANOVA.

2.4 Design of Experiment (DOE)

Untuk memperbaiki kualitas, design of experiment (eksperimen desain) sering

digunakan sebagai salah satu alat. Minitab menyediakan beberapa analisis untuk

desain eksperimen. Desain eksperimen yang disediakan Minitab adalah desain

5

eksperimen factorial, response surface , desain mixture, dan yang terbaru adalah

desain Taguchi.

2.5 Peta Kendali

Peta Kendali adalah salah satu alat statistic untuk mengendalikan kualitas. Lebih

lanjut, Minitab menyediakan kemudahan membuat peta kendali. Submenu

Control Chart menyediakan peta kendali

2.6 Alat-alat untuk Mengendalikan Kualitas

Minitab tidak hanya menyediakan peta kendali sebagai alat-alat statistik untuk

mengendalikan kualitas, tetapi juga beberapa alat statistik untuk mengendalikan

kualitas dalam submenu Quality Tools. Submenu Quality Tools menyediakan

pula analisis kemampuan proses utnuk data yang berdistribusi nonnormal, poisson

dan binomial.

2.7 Analisis Reliabilitas

Kelebihan minitab adalah aplikasinya untuk meningkatkan kualitas seperti peta

kendali, desain eksperimen , diagram pareto, diagram ishikawa dan analisis

kemampuan proses. Kemudian minitab menyediakan pula alat untuk menganalisis

reliabilitas melalui submenu Reliability/Survival.

2.8 Analisis Multivariat

Analisis multivariate merupakan analisis data statistic yang bnayak digunakan dan

bermanfaat dalam berbagai bidang seperi pemasaran, teknik, dan masalah-

masalah social. Minitab menyediakan operasi-operasi untuk melakukan analisis

multivariate melalui submenu multivariate.

2.9 Analisis Time Series

Untuk keperluan peramalan, minitab menyediakan analisis time series dalam

submenu time series.

6

2.10 Analisis Data Kualitatif

Minitab memberikan beberpa metode untuk meringkas data dalam table dan

melakukan analisis data kualitatif yang dikelomppkan ke dalam menu tables.

2.11 Analisis Nonparametrik

Mintab memberikan pula kemudahan dalam melakukan analisis nonparametric

yang perintah-perintahnya dikelompokan ke dalam submenu nonparametrics.

2.12 Exploratory Data Analysis (EDA)

Agar mudah melakukan eksplorasi data dan mencari residual suatu model,

program minitab menyediakan Exploratory Data Analysis dalam submenu EDA.

2.13 Power and Sample Size

Untuk meyakinkan apakah desain yang telah dirancang cukup andal dan data

yang telah diperoleh cukup memuaskan, kita perlu melakukan beberapa uji. Salah

satu cara melihatnya adalah dengan melihat apakah jumlah sample yang telah

diambil sudah mencukupi. Minitab menyediakan alat untuk melakukannya dalam

submenu Power and Sample Size.

7

MODUL III

OPERASI DASAR MINITAB

Pada modul ke-3 akan mempelajari operasi dasar Minitab, yaitu cara memasukkan data,

menyimpan data, dan membuka file.

3.1 Proses Analisis Statistik dalam Minitab

Tahap-tahap analisis data statistik diawali dengan melakukan desain untuk

mengambil data (desain sampling atau desain eksperimen), dilanjutkan dengan

mengumpulkan data, menganalisa data dan terakhir adalah mengambil kesimpulan

berdasarkan analisa data.

Pengolahan data dalam Minitab bisa dilakukan melalui menu Stat. Menu stat

menyediakan beberapa metode analisa statistik. Apabila membutuhkan analisa data

melalui grafik, kita dapat melakukannya melalui graph dalam Minitab. Sealin kedua

menu, apabila pengguna Minitab akan melakukan perhitungan matematika atau

statistic tertentu atau memanipulasi data sesuai dengan kebutuhan, maka kita dapat

melakukannya melalui menu Data atau Calc. Output analisa data ditampilkan

melalui window session atau disimpan dalam worksheet. Jika melakukan anlaisa

grafik, maka window graph akan menampilkan outputnya.

Setelah mengahsilkan output, interprestasi data bukan lagi tugas Minitab.

Dalam Tahap interpretasi data, peneliti sangat berperan dalam menginterpretasikan

output yang dihasilkan Minitab dan menganalisis hasil yang telah didapatkan.

3.2 Memasukan Data

Pertama kali menjalankan minitab, kita akan melihat project yang belum terisi.

Karena worksheet masih kosong, kita harus memasukan data yang akan diolah ke

dalam worksheet atau memanggil data yang sudah dimasukandalam format lain.

Contoh ilustrasi menggunakan data pada table 3.1 di bawah ini. Data dalah

jumlah reaktor nuklir pada suatu negara.

8

Tabel 3.1 Data Reaktor Nuklir terbesar di Dunia

Negara Jumlah Reaktor Nuklir BenuaBelgia 4 EropaPerancis 22 EropaFinlandia 2 EropaJerman 7 EropaBelanda 1 EropaJepang 11 AsiaSwedia 3 EropaSwitzerland 1 EropaUSA 47 AmerikaTotal 98

Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich,T., 1995. Statistics for Engginering and The Science. Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey

3.2.1 Memberi Nama Kolom

Cara memberi nama pada komo sebagai berikut:

1. Letakkan kursor di sel di bawah C1

2. Ketikkan “Negara” pada sel.

3. Ulangi tahap 1 dan 2 untuk memberi nama pada kolom C2 dan C3

dengan nama “Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua”.

Pemberian nama kolom pada minitab bisa panjang, dapat mencapai 31

karakter. Hasil pemberian nama dapat dilihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1 Tampilan window Data setelah kolom diberi nama.

Jika ada kesalahan dalam memberi nama pada kolom, cara mengubahnya

adalah:

1. Letakkan kursor pada sel yang namanya akan diubah.

2. Ketikan nama yang baru pada sel.

3. Tekan [enter]

9

Secara otomatis, nama kolom yang lama akan berganti dengan yang baru.

3.2.2 Memasukkan Data dalam Window Data

Untuk melakukan analisa data dengan menggunakan Minitab, kita terlebih

dahulu harus memasukan data yang akan dianalisis ke dalam worksheet.

Tahap-tahap memasukan data adalah :

1. Klik tanda entry arrow [ ]↓ di pojok kiri atas window data untuk entry

data ke bawah. Klik tanda entry arrow [ ]→ untuk entry data ke arah

kanan.

Gambar 3.2 Entry Arrow Arah Bawah dan Kanan

2. Masukkan data sesuai dengan table 3.1 pada kolom “Negara”,

“Jumlah Reaktor Nuklir” dan “Benua”

Gambar 3.3 menunjukan worksheet berisi hasil Minitab. Gambar

memperlihatkan kolom C1 dan C3 berubah menjadi C1-T dan C3-T. huruf T

menunjukan tipe data pada kolom tersebut.

10

Entry Arrow

Gambar 3.3 Tampilan hasil memsukkan data pada window Data.

3.3 Menyimpan Worksheet

Cara menyimpan data yang telah dimasukan agar tidak hilang adalah:

1. Pilih File > Save Current Worksheet As

2. Pada kolom File Name ketikan nama file, contoh Nuclear

3. Selanjutnya, klik Save.

Sebagai pengguna Minitab perlu mengingat bahwa dalam menu File, Minitab

menyediakan 3 perintah untuk menyimpan, yaitu perintah pertama untuk

menyimpan semua project (window session, worksheet, project manager dan

graph), kedua hanya untuk menyimpan worlsheeet, dan terakhir hanya untuk

menyimpan grafik. Jika ingin menyimpan suatu file dalam window tertentu,

pastikan windownya sedang aktif sehingga dalam menu File, perintah print akan

diikuti nama.

3.4 Membuat Worksheet

Langkah-langkah membuat worksheet baru adalah:

1. Pilih File > New atau tekan tombol [Ctrl] + [N]

2. Pilih Minitab Worksheet

3. Klik OK

Memasukkan Data Menggunakan Autofill

Memasukkan Deret Bilangan Tunggal berulang dari Data Tunggal

11

Kita dapat memasukkan deret bilangan tunggal hanya dengan mengisikan

data. Contoh bilangan tunggal berulang adalah:

• 1, 1, 1, …

• putih, putih, putih, …

• 1/99, 1/99, 1/99, ….

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Ketikan data tunggal, misalnya 1 pada sel pertama dalam kolom C1.

2. Blok sel seperti tampak dalam gambar 3.4 (a) .

3. Letakkan kursor di pojok kanan bawah sel sehingga kursor berubah

menjadi +, klik kiri, tahan dan geser ke bawah sampai baris ke-n.

Gambar 3.4 Autofill untuk memasukkan deret bilangan tunggal

Catatan:

Untuk data tipe date/time, pada tahap kedua, tekan [Ctrl].

Memasukkan Deret Bilangan berpola yang Berulang

Contoh pola deret berpola yang berulang adalah:

• 1, 2, 3, 1, 2, 3, …

• merah, putih, merah, putih, …

• Jan-07, Feb-07, Jan-07, Feb-07, …

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Pada kolom C1, ketikkan angka 1, 2 dan 3 pada baris pertama, kedua

dan ketiga.

2. Blok ketiga sel seperti ditunjukkan dalam gambar 3.5.

12

3. Tekan tombol [Ctrl] dan letakkan kursor pada pojok kanan bawah sel

yang di blok sehingga kursor berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan

geser ke bawah sampai baris ke-n

Gambar 3.5 Memasukkan deret bilangan berpola menggunakan autofill

Memasukkan Deret Bilangan dari Beberapa Bilangan

Conto deret bilangan yang mempunyai selisih sama adalah:

• Dari 1 untuk membuat: 1, 2, …, 100

• Dari 1/1/07 untuk membuat : 1/1/07, …, 2/2/07

• Dari hari 1 untuk membuat : hari 1, …, hari 100

Langkah-langkahnya adalah:

1. Pada kolom C1, masukkan angka 1 dan 2 pada baris pertama dan

kedua.

2. Letakkan kursor pada sel yang telah diberi angka seperti diutnjukkan

dalam gambar 3.6

3. Tekan [Ctrl], lalu letakkan kursor di pojok kanan bawah sel yang

diblok sehingga kursor berubah bentuk menjadi +, Klik kiri, tahan dan

geser ke bawah.

Gambar 3.5 Memasukan deret bialngan menggunakan autofill

13

Memasukkan Deret dari Daftar Tertentu

Deret berikut merupakan deret tertentu, misalnya nama hari, bulan dan jam:

• Jan, Feb, …, Dec

• Mon, Tue, …, Sun

Langkah-langkahuntuk memasukkan data seperti berikut:

1. Isikan kata “Jan” pada baris pertama dalam kolom C5.

2. Blok sel data seperti ditunjukkan dalam gambar 3.6

3. Letakkan lursor di pojok kanan bawah sel yang diblok sehingga kursor

berubah menjadi +. Klik kiri, tahan dan geser ke bawah.

Gambar 3.6 Memasukkan data untuk deret tertentu.

Memasukkan Data Melalui Window Session

Sebelum menuliskan perintah pada window session, pastikan terdapat command

prompt “MTB >” pada window session. Jika belum ada, cara mengaktifkannya

adalah meletakkan kursor pada window Session. Selanjutnya, beri cek pada Editor

> Enable Commands. Ada beberapa contoh memasukkan data dari window

session.

Contoh 1.

Jika data akan dimasukkan pada kolom C1, baris pertama sampai baris kesembilan

akan diisikan angka 1,4,3,5,9,2,4,6,7,dan 5. Caranya:

1. Tuliskan perintah di bawah pada window session:

MTB > SET c1 (enter)

DATA> 1 4 3 5 9 2 4 6 7 5 (enter)

DATA> END (enter)

14

2. Lihat kolom C1 pada window data.

Contoh 2

Jika akan dimasukan pada kolom C2, baris pertama sampai kesembilan akan

diisikan angka 1 sampai 9. Caranya:

1. Tuliskan perintah berikut pada window session:

MTB> SET C2 (enter)

DATA> 1 : 9 (enter)

DATA> END (enter)

2. Lihat hasilnya pada kolom C2 di window data.

Contoh 3.

Jika data akan dimasukkan pada kolom C3, mulai dari baris pertama sampai

kesembilan akan diisikan angka 1. Caranya:

1. Tuliskan perintah berikut pada window session:

MTB> SET C3 (enter)

DATA> 9 (1) (enter)

DATA> END (enter)

2. Lihat hasilnya pada kolom C3 di window data

Contoh 4

Jika akan dimasukkan data pada kolom C4, baris pertama sampai baris kesembilan

akan diisikan angka 1,1,1,2,2,2,3,3, dan 3. Caranya:

1. Tuliskan perintah berikut pada window session:

MTB> SET C4 (enter)

DATA> 3 (1) 3 (2) 3 (3) (enter)

DATA> END (enter)

atau

MTB> SET C4 (enter)

DATA> (1:3) 3 (enter)

DATA> END (enter)

2. Lihat hasilnya pada kolom C4 di window data.

15

Contoh 5

Jika akan dimasukkan data pada kolom C5, baris pertama sampai kesembilan akan

diisikan angka 1,2,3, 1,2,3,1,2 dan 3. Caranya:

1. Tuliskan perintah berikut pada window session:

MTB> SET C5 (enter)

DATA> 3 (1:3) (enter)

DATA> END (enter)

2. Lihat hasilnya pada kolom C5 di window data.

Memasukkan Data Berpola Melalui Menu Calc

Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Sama

Jika akan memasukan deret :

100, 90, …, 10, 100, 90, …, 10. Caranya adalah:

1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Simple Set of Numbers.

Gambar 3.7 Kotak Dialog Simple Set of Numbers

2. Pada Store patterned data in, isikan C6. artinya adalah data yang

akan dibuat dimasukkan ke dalam kolom C6.

3. Karena kita mengetahui nilai awal adalah 100, isikan 100 dalam From

forst value

4. bilangan terakhir deret adalah 10, maka dalam To last value, isikan

10.

5. Isikan 10 dalam In steps of karena selisih deret adalah 10.

16

6. Dalam List each value, isikan 1. koolom dimaksudkan untuk

mengulang tiap bilangan.

7. deret yang akan dimasukkan adalah deret bilangan 100 – 10 yang

berselisih 10 dan diulangsebanyak 4 kali. Oleh karena itu, isikan 4

dalam List the whole sequence.

8. Klik OK.

Outputnya ditampilkan dalam kolom C6. Kolom memperlihatkan 40

pengamatan. Deret diawali dengan bilangan 100 dan pengamatan ke 40

berisi bilangan 10.

Memasukkan Deret Bilangan yang Selisihnya Tidak Sama

Berikut adalah data yang ingin dimasukkan:

2, 2, 3, 3, 4, 4, 7, 7, 11, 11

Langkah-langkah membuat deret dalam Minitab asalah:

1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Arbitrary Set of Numbers.

Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar

berikut

Gambar 3.8 Kotak dialog Arbitrary Sets of Numbers

2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c7

3. Di bawah Arbitrary set of numbers, isikan 2 : 4 7 11

4. Dalam List each value, isikan 2

5. Dalam List the whole sequence, Isikan 1

6. Klik OK

17

Memasukkan Deret Bertipe Data Text

Minitab memberikan pula kemudahan memasukkan deret berpola yang

bertipe text. Contoh deret adalah kamu, saya, mereka, kamu, saya, mereka.

Cara memasukkan data adalah

1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor

akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut

Gambar 3.9 Kotak dialog Text Values

2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c8

3. Di bawah Text values, isikan kamu, saya, mereka

4. Dalam List each value, isikan 1

5. Dalam List the whole sequence, Isikan 2

6. Klik OK

Memasukkan Deret Beraturan Bertipe Date/Time

Contoh deret bertipe date/time beratruran adalah

11/1/07, 11/2/07, …, 11/30/07

Cara memasukkan data pada contoh adalah:

1. Pilih Calc > Make Pattern Data > Text Values. Layar monitor

akan memperlihatkan kotak dialog seperti pada gambar berikut

18

Gambar 3.10 Kotak dialog Simple Set of Date/Time Values

2. Di bawah Store Patterned data in, isikan c9

3. Di bawah Patterned Sequence in, isikan 11/1/07 dalam start

Date dan 11/30/07 dalam End Date.

4. Dalam List each value pilih Day dan isikan 2 dalam by. Artinya

selang deret yang akan dibuat adalah dua hari.

5. Dalam List each value dan List the whole sequence masing-

masing isikan angka 1.

6. Klik OK.

Tipe Data

Dalam melakuakn analisa data statistic, kita harus memperhatikan skala data

yang akan diolah. Dalam Minitab, skala data berkaitan dengan tipe data. Minitab

menyediakan 3 tipe data, yaitu:

• Numeric

• Text

• Date/Time

Ketiganya bisa diatur sesuai dengan keinginan pengguna. Bila dikaitkan denan

jenis skala data, tipe data numeric adalah jenis skala data kuantitatif (interval atau

rasio), tipe data text dan date/time adalah jenis skala data kualitatif.

Menentukan Tipe Data

Memformat Data Bertipe Numeric

19

1. Tempatkan kursor pada salah satu sel di kolom C1 dan klik kanan. Setelah

itu, daftar menu seperti pada gambar 3. 11.

Gambar 3. 11Menu untuk menentukan tipe data

2. Pada perintah Format Column, ada 3 pilihan tipe data, yaitu numeric,

text, dan date/time. Plih numeric.

3. Pada kotak dialog Numeric Format Column, pilih exponential with di

bawah Format. Isikan angka 2 dalam kotak decimal places. Klik OK.

4. Dalam kolom C1, masukkan 1; 0.2; dan 500 pada baris pertama, kedua

dan ketiga.

Tampilan kolom C1 dalam worksheet adalah

Gambar 3. 12 Tampilan dalam kolom C1

Memformat Data Bertipe Text

5. Letakkan kursor pada salah satu sel di kolom C6.

6. Klik kanan.

7. Dalam menu, pilih Format Column > Text. Nama kolom C6 akan

menjadi C6-T. Artinya, tipe data pada kolom C6 adalah text.

8. pada baris pertama, kedua, danketiga, ketikkan Indonesia, @, dan

Rp.10.000

20

Gambar 3. 13 Tampilan dalam kolom C6

Memformat Data Bertipe Date/Time

1. Letakkan kursor pada salah satu sel dalam kolom C7.

2. Klik kanan.

3. Pilih Format Column > Date/Times

Layar monitor akan memperlihatkan kotak dialog Date/Time Column.

Format seperti ditunjukkan gambar 3. 14

Gambar 3. 14 Kotak Dialog untuk format date/time

4. Pilih h:mm:ss AM/PM di bawah Current Date /Time Formats.

Kolom example menunjukan contoh tipe data.

5. Klik OK. Nama kolom akan menjadi C7-D. Artinya tipe data pada

kolom C7 adalah date/time.

6. Dalam kolom C7 baris pertama sampai ketiga, ketikkan 12;11:23 dan

9:50:23

Tampilan pada kolom C7 menjadi:

21

Gambar 3. 15Tampilan kolom C7.

Memanipulasi Data

Membuat Rangking

Sebagai ilustrasi, data yang digunakan untuk membuat rangking adalah data

dari worksheet Nuclear.MTW. Jumlah reactor nuklir di setiap negara

berbeda-beda, ada yang banyak maupun sedikit. Jika ingin mengetahui

rangking suatu Negara berdasarkan jumlah reactor nuklir , caranya adalah:

1. Pilih Data > Rank seperti gambar 3. 16 di bawah.

Gambar 3. 17 Kotak Dialog Rank

2. Dalam kotak dialog Rank, masukkan variable Jumlah Reaktor

Nuclear ke dalam Rank data in.

3. Dalam Store in, masukkan C4

4. Klik OK

Outputnya bisa dilihat dalam worksheet pada kolom C4. Dalam hal ini

urutannya dari data terkecil hingga terbanyak. Data memperlihatkan ada dua

Negara yang jumlah reactor nuklirnya 1, yaitu Belanda dan Switzerland.

Karena ada 2 negara, maka kedua Negara dalam kolom C4 diberi rangking

1,5.

22

Gambar 3. 18 Rangking jumlah reactor nuklir di suatu negara

Membuat Urutan Data

Rangking Negara-negara yang memiliki reactor nuklir diurutkan mulai dari

Negara yang memiliki jumlah reactor nuklir paling sedikit sampai paling

banyak. Caranya adalah:

1. Pilih Data > Sort, seperti pada gambar di bawah.

Gambar 3. 19 Kotak Dialog Sort

2. Dibawah Sort column(s), masukkan variable Negara, Jumlah

reactor nuklir, dan Benua.

3. Pada By column, masukkan C4

4. Di bawah Store sorted data in, pilih Column(s) of current

worksheet

5. kolom di bawah column(s) of current worksheet akan aktif.

Kemudian ketikkan C9, C10, C11 dalam kolom.

6. Klik OK

23

MODUL IV

ANALISIS STATISTIK SEDERHANA

Pada modul ini akan membahas beberapa analisis statistic sederhana, yaitu

membangkitkan bilangan acak, menghitung statistic, analisis deskriptif dan membuat

grafik.

4.1 Membangkitkan Bilangan Acak

Apabila akan melakukan studi simulasi, kita tentu membutuhkan data dari

distribusi tertentu. Minitab menyediakan kemudahan memabngkitkan data dengan

distribusi tertentu. Data yang akan dibangkitkan adalah data yang berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata ( )λ sebesar 0.25. cara memabngkitkan data adalah:

1. Buka project baru pilih Minitab Project

2. Pilih Calc > Random Data > Eksponential. Kotak dialog akan mucul seperti

gambar di bawah.

Gambar 4.1 Kotak Dialog Exponential Distribution.

3. Dalam Generate, isikan 500 untuk membangkitkan data sebanyak 500

pengamatan.

4. Untuk menyimpan data ketikkan C1 di bawah Store in column (s)

5. isikan 0.25 dalam scale dan 0 dalam Treshold. Artinya data yang berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata 0.25.

24

6. Klik OK

Worksheet pada kolom C1 menunjukan output yang ditampilkan dalam

Minitab. Dalam kolom tersebut akan terdapat bilangan acak sebanyak 500 data.

Dalam Minitab, tiap kali akan membangkitkan bilangan acak, bilangan yang

dihasilkan akan berbeda.

4.2 Uji Distribusi Data

Untuk membuktikan bahwa data yang yang telah dibangkitkan benar-benar

sesuai dengan yang diinginkan, kita perlu melakukan uji distribusi data.Tahap-tahap

uji distribusi data antara lain:

1. Pilih Stat > Reliability/Survival > Distribution Analysis (Right Censoring) >

Parametric Distribusi Analysis.

Gambar 4.2 Kotak Dialog Parametric Distirbution Analysis

2. Di bawah variable isikan C!, karena data yang akan diuji ada pada kolom C1.

3. Pada Assumed distribution pilih Exponential

4. Selanjutnya, klik OK

Interpretasi Output Uji Distribusi

Output Minitab akan ditunjukan dalam window Session dan window Graph.

25

Gambar 4.3 Grafik plot probabilitas untuk uji distribusi data

Grafik diatas menunjukan plot uji distribusi eksponensial untuk data dalam

kolom C1. Suatu data dikatakan mengikuti distribusi tertentu apabila titik-titiknya

mengikuti garis lurus. Selain plot probabilitas, gambar 4.3 menunjukkan pula nilai

rata-rata, standar deviasi, median, interquartil range (IQR) untuk data di kolom C1.

Berdasarkan output, diketahui rata-rata data adalah 0.259. Nilai rata-rata hamper

mendekati rata-rata yang diinginkan yaitu 0.25. Semakin kecil perbedaannya

menunjukkan validitas alat pembangkit data.

Untuk mengetahui bahwa data yang telah dibangkitkan telah mengikuti

distribusi eksponensial, kita melakukan uji hipotesis. Dalam hal ini uji hipotesisnya

adalah

H0 : data mengikuti distribusi eksponensial

H1 : data tidak mengikuti distribusi eksponensial

Uji hipotesis akan menggunakan level toleransi ( )α sebesar 5 %. Untuk

membuktikan hipotesis, uji distribusi menggunakan statistic Anderson-Darling.

Semakin kecil nilai statistic Anderson-Darling semakin besar peluang gagal meolak

hipotesis awal.

26

Distribution Analysis: C1

Variable: C1

Censoring Information CountUncensored value 500

Estimation Method: Least Squares (failure time(X) on rank(Y))

Distribution: Exponential

Parameter Estimates

Standard 95.0% Normal CIParameter Estimate Error Lower UpperMean 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553

Log-Likelihood = 161.514

Goodness-of-FitAnderson-Darling (adjusted) = 0.716

Characteristics of Distribution

Standard 95.0% Normal CI Estimate Error Lower UpperMean(MTTF) 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553Standard Deviation 0.269684 0.0121369 0.246916 0.294553Median 0.186931 0.0084127 0.171149 0.204169First Quartile(Q1) 0.0775834 0.0034916 0.0710332 0.0847376Third Quartile(Q3) 0.373862 0.0168253 0.342298 0.408337Interquartile Range(IQR) 0.296279 0.0133338 0.271264 0.323600

Evaluasi hasil uji distribusi bisa dilakukan hanya pada salah satu window

karena hasil pada window session maupun window graph tidak berbeda.

Perbedaanya adalah output teks tidak menampilkan grafik plot probabilitas yang

dapat mempermudah interpretasi hasil.

4.3 Membuat Histogram

Kita bisa mengetahui pola distribusi suatu data dalam kolom C1, C2 dan C3 secara

bersamaan dengan membuat histogram. Dalam Minitab dapat membuat histogram

melalui menu Graph. Langkah-langkah membuat histogram adalah

1. Pilih Graph > Histogram. Pada layar monitor akan muncul gambar berikut

Gambar 4.5 Kotak Dialog Histogram

2. Pada kotak dialog, pilih With Fit and Groups. Layar monitor akan

memperlihatkan kotak dialog seperti gambar 4.6

Gambar 4.6 Kotak Dialog Histogram- With Fit and Groups

27

3. Data yang akan dibuat histogramnya adalah data dalam kolom C1, C2 dan C3.

Oleh kaena itu masukkan C1 C2 C3 di bawah Graph variable.

Histogram dibuat untuk melihat bentuk probability distribusi function (pdf) data

pada kolom C1 sampai C3. Dalam histogram kita bisa membuat garis pdf yang

menggambarkan bentuk distribusi data. Cara melakukannya adalah

1. Pada kotak dialog Histogram-With Fit and Groups, pilih Data View

2. pada kotak dialog pilih Distribution.

3. Di bawah Distribution, pilih Exponential. Ini berarti plot pdf akan membentuk

distribusi eksponential berdasarkan pengamatan.

4. Selanjutnya klik OK.

4.4 Menghitung Statistik

Sebelum menghitung data, sebagai ilustrasi masukkan data pada table 4.1 di bawah

ini ke dalam worksheet baru.

Tabel 4.1 Data Penggunaan Listrik per bulan

Ukuran Rumah(kaki2)

Penggunaan Listrik per Bulan(KwH)

1290 11821350 11721470 12641600 14931710 16711840 17111980 18042230 18402400 19562930 1954

Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey

Statistik yang diinginkan adalah rata-rata ukuran rumah danpenggunaan listrik per

bulan. Langkah-langkah menghitungnya adalah:

1. Pilih Calc > Column Statistics. Kotak dialog akan muncul seperti gambar 4.7.

28

Gambar 4.7 Kotak Dialog Column Statistics2. Karena statistic yang diinginkan adalah rata-rata, maka di bawah statistic pilih

mean.

3. Variabel yang dihitung adalah variable penggunaan listrik per bulan sehingga

isikan variable listrik per bulan ke dalam input variable.

4. Selanjutnya, klik OK

Gambar 4.8 menunjukan outputnya dalam window session

Gambar 4.8 Rata-rata penggunaan Listrik per Bulan

Outputnya memperlihatkan rata-rata penggunaan listrik per bulan adalah

1604,7 kaki 2.

4.5 Analisis Statistik Deskriptif

Analisis statistic yang paling sederhana adalah analisis statistic deskriptif. Inti

anlisis statistic deskriptif adalah mengumpulkan, meringkas, dan menyajikan data

dalam bentuk yang mudah dibaca. Analisis statistic menghitung beberapa statistic

sederhana seperti rata-rata, standar deviasi, kuartil, median, nilai terbesar dan nilai

terkecil.

Tahap-tahap analisisnya sebagai berikut:

1. Pastikan worksheet berisi data yang akan dianalisis

29

Mean of Penggunaan Listrik per Bulan

Mean of Penggunaan Listrik per Bulan = 1604.7

2. Plih Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics

Gambar 4.9 Kotak dialog Display Descriptive Statistics

3. Masukkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per

bulan dalam daftar variable di bawah variable.

4. Selanjutnya, Klik OK.

Interpretasi Output Statistik Deskriptive

Output statistic deskriptive yang ditampilkan dalam window session menunjukkan

beberapa istilah. Variable berarti menunjukkan variable yang dianalisis, dalam hal

ini ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan.

Gambar 4.10 Output Statistik Deskriptive

Selain variable, output memperlihatkan huruf N yang berate jumlah pengamatan

yang dianalisis sebnayak 10 pengamatan. Statistik deskriptive menunjukkan ukuran

kecenderungan pusat seperti rata-rata (mean), median (median), kuartil 1 (Q1),

dan kuartil 3 (Q3), serta ukuran penyebaran seperti standar deviasi (StDev), dan

standart error of mean (SE Mean). Statistik deskriptive menyeeediakan informasi

data tertinggi (maximum) dan terendah (minimum) yang berguna untuk

30

Descriptive Statistics: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan

Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 MedianUkuran Rumah 10 0 1880 164 518 1290 1440 1775Penggunaan Listr 10 0 1604.7 97.2 307.4 1172.0 1243.5 1691.0

Variable Q3 MaximumUkuran Rumah 2273 2930Penggunaan Listr 1868.5 1956.0

mengukur range sebagai ukuran penyebaran data. Standard error of mean tidak

selalu digunakan dalam statistic deskriptive. Untuk menghitungya standard deviasi

dibagi dengan n . Statistik deskriptive merupakan ukuran penyebaran distribusi

rata-rata sampel yang berguna untuk uji hipotesis.

4.6 Membuat grafik

Salah satu tujuan membuat grafik data adalah supaya informasi lebih menarik dan

mudah dipahami. Salah satu grafik yan gakan dibuat adalah scatter diagram. Grafik

yang menggambarkan pola hubungan antara dua variable adalah scatter diagram

atau scatter plot. Cara membuat plot data adalah:

1. Pilih menu Graph > Scatterplot

Gambar 4.11 Kotak Dialog untuk memlih bentuk scatterplot

Kotak dialog menyediakan beberapa bentuk scatterplot. Scatterplot yangakan

dibuat adalah scatterplot sederhana dan hanya menggambarkan hubungan antara

dua variable. Cara melakukannya adalah:

2. Pilih sample

3. Kemudian klik OK

4. Masukkan variable yang akan dijadikan sebagai variable y dan variable x.

5. Kemudian klik OK.

31

Gambar 4.12 Scatter diagram hubungan ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan

Output proses menghasilkan scatter diagram yang bentuknya seperti dalam

gambar 4. 12. output memperlihatkan titik dalam grafik yang merupakan data.

Setiap titik pada gambar diatas menunjukkan hubungan antara variable y dengan

variable x.

32

MODUL V

MEMBANDINGKAN RATA-RATA POPULASI

Suatu penelitian sering ingin membandingkan suatu populasi dengan nilai statistic

tertentu atau membandingkan suatu populsi dengan populasi lain. Minitab menyediakan

beberapa metode utnuk melakukan analisis statistic ini.

Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Besar ( 30)n ≥

Uji Rata-rata Populasi dengan sampel Kecil

5.1 Uji Rata-rata Populasi

33

Uji 2 arahHipotesis:

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µµ µ

=≠

Statistik uji:

0 0

/y

y yz

s n

µ µσ− −= ≈

Daerah penolakan

/ 2az z>

Uji 1 arahHipotesis:

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µµ µ

=<

Statistik uji:

0 0

/y

y yz

s n

µ µσ− −= ≈

Daerah penolakan

az z> atau az z< −Asumsi:Data mendekati distribusi normal

Uji 2 arahHipotesis:

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µµ µ

=≠

Statistik uji:

Daerah penolakan

/ 2at t>

Uji 1 arahHipotesis:

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µµ µ

=<

Statistik uji:

0

/

yt

s n

µ−=

Daerah penolakan

at t> atau at t< −Derajat Bebas (df) = n – 1Dimana n adalah jumlah dataAsumsi:Data mendekati distribusi normal

Uji 1 arahHipotesis:

0 0

1 0

:

:

H

H

µ µµ µ

=<

Statistik uji:

0 0

/y

y yz

s n

µ µσ− −= ≈

Daerah penolakan

az z> atau az z< −Asumsi:Data mendekati distribusi normal

Dalam statistika, uji hipotesis dilakukan untuk membandingkan rata-rata suatu

populsi. Salah satu metode uji hipotesisnya adalah uji t dan uji z. Uji t

menggunakan statistika t dan uji z menggunakan statistika z. Uji t digunakan

apabila jumlah sample kurang dari 30 ( 30)n ≤ . Dan standar deviasi ( )σ populasi

tidak diketahui. Sebaliknya, statistika z digunakan jika jumlah sample besar

( 30)n ≥ dan standar deviasi ( )σ populasi diketahui. Kedua statistic dapat

digunakan apabila data mengikuti atau mendekati distribusi normal dengan

parameter tertentu. Bila data tidak memenuhi asumsi tersebut maka kedua uji tidak

bisa digunakan.

Sebagai contoh data yang digunakan terdapat pada table 5.1, yaitu data rasio

panjang tulang terhadap lebar tulang lengan atas dari fosil suatu species. Para

arkeolog meyakini bahwa rasio dapat digunakan untuk menentukan jenis spesies

binatang tertentu. Sebelumnya mereka telah menemukan spesies A yang memilki

rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang adalah 8.5.

Tabel 5.1 Data rasio panjang terhadap lebar pada tulang lengan atas

10.73 9.07 10.33 9.848.48 9.57 9.94 8.378.52 6.23 6.66 8.868.91 10.48 9.39 9.898.93 10.02 11.67 9.179.38 9.20 9.98 9.178.89 9.29 8.07 6.858.71 9.41 9.35 9.938.87 10.39 9.17 8.1711.77 8.38 8.30 12.008.80

Sumber: Mendenhall, W. dan Sincich, T.,1995. Statistics for Engineering and The Sciences, Practice Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey

Untuk membuktikan bahwa keempatpuluh satu spesies sama dengan spesies A,

maka kita perlu melakukan uji rata-rata rasio panjang tulang terhadap lebar tulang

fosil yang telah ditemukan. Dari penelitian standar deviasi tidak diketahui, maka

yang akan digunakan adalh uji t. Tahap-tahap melakauakan uji t dalam Minitab

adalah:

1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample t.

34

2. Dalam kotak dialog masukkan varibel Rasio ke dalam kotak di bawah Varibel.

Dalam analisis, rata-rata rasio data dalam table akan dibandingkan dengan rasio

spesies A, yaitu 8.5. cara melakukannya adalah:

3. Isikan 8.5 ke dalam Test mean.

4. pilih Graph untuk menampilkan output dalam bentuk grafik.

5. beri tanda cek pada Histogram of Data.

6. Kemudian klik OK

Gambar 5.1 Kotak Dialog 1 sampel t

Interpretasi output

Gambar 5.2 dan 5.3 menunjukkan output analisisnya. Output 5.2 menunjukkan

nilai-nilai statistic seperti rata-rata, standar deviasi dan selang kepercayaan 95%

untuk rata-rata.

Gambar 5.2 Hasil uji rata-rata 1-sample t

Hipotesis

Hipotesis pada analisis adalah:

H0 : Rata-rata rasio tulang ( ) 8.5µ =

H1 : Rata-rata rasio tulang ( ) 8.5µ ≠

35

One-Sample T: Rasio

Test of mu = 8.5 vs not = 8.5

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PRasio 41 9.24732 1.20245 0.18779 (8.86778, 9.62686) 3.98 0.000

Dugaan (hipotesis) awal adalah keempat uluh satu fosil yang telah ditemukan sama

dengan spesies A. Sebaliknya, hipotesis alternative mengatakan bahwa keempat

puluh satu fosil yang telah ditemukan tidak sama dengan spesies A.

Daerah Penolakkan

Uji 1 arah:

Tolak hipotesis awal apabila t tα> atau ( )t tα> −

Uji 2 arah:

Tolak hipotesis awal apabila / 2at t>

Gambar 5.3 Histogram Rasio

Interprestasi Output Uji Rata-rata Populasi

Analisis menggunakan level toleransi α sebesar 5% dan uji 2 arah. Tabel distribusi

t memperlihatkan nilai 0.05/ 2| |t dengan derajat bebas n-1 = 41 – 1 = 40 sebesar

2.021. Gambar 5.2 menunjukkan nilai statistic T sebesar 3.98. Apabila statistic T

pengamatan dibandingkan dengan statistic / 2tα , statistic T lebih besar. Ini berarti

kesimpulannya adalah menolak hipotesis awal jaid, uji 2 arah menunjukkan bahwa

keempat puluh satu fosil tulang yang telah ditemukan tidak sama dengan jenis

spesies A.

5.2 Membandingkan Rata-rata Dua Populasi dalam Satu Percobaan

Untuk menggambarkan uji antara 2 populasi, akan menggunakan ilustrasi

dalam Tabel 5.2 yang merupakan data pengukuran waktu respons antara 2 jenis disc

36

drive 1 dan disc drive 2. Jenis disc dirve 1 memperoleh 13 pengamatan, sedangkan

disc drive 2 memperoleh 12 pengamatan. Peneliti ingin membandingkan kedua

jenis disc drive.

Tabel 5.2 Waktu respons 2 jenis Disc Drive

Disc Drive 1 Disc Drive 259 60 47 71 48 4492 73 33 38 41 3954 75 61 47 68 34

102 74 53 40 7573 84 63 60 86

Tahap-tahap analisis data dalam Minitab sebagai berikut:

1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-Sample t

Gambar 5.4 Kotak Dialog 2-Sample t

2. Pilih Sample in difference columns

3. Dalam First masukkan variable Disk 1

4. Dalam Second masukkan variable Disk 2

5. Analisis mengasumsikan varian populasi adalah sama.

Cara melakukan uji t yang mengasumsikan bahwa varian populasi adalah sama:

6. Beri tanda cek pada Assume equal variance

7. Klik tomobl Graph

8. Pada kotak dialog, beri tanda cek pada Boxplot of Data

9. Selanjutnya, klik OK.

37

Gambar 5.5 Hasil Uji Rata-rata dua sample independen

Gambar 5.6 Boxplot Disc Drive 1 dan Disc Drive 2

Hipotesis

Hipotesis untuk tabel adalah

0 _ _1 _ _ 2

1 _ _1 _ _ 2

: ( ) 0

: ( ) 0

Disk Drive Disk Drive

Disk Drive Disk Drive

H

H

µ µµ µ

− =

− ≠

Hipotesis awal (H0) mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 sama

dengan rata-rata waktu respon disc drive 2. sebaliknya, hipotesis alternative (H1)

mengatakan bahwa rata-rata waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan rata-rata

waktu respons disc drive 2.

Daerah Penolakan

38

Two-Sample T-Test and CI: Disc Drive 1, Disc Drive 2

Two-sample T for Disc Drive 1 vs Disc Drive 2

N Mean StDev SE MeanDisc Drive 1 13 68.2 18.7 5.2Disc Drive 2 15 53.8 15.8 4.1

Difference = mu (Disc Drive 1) - mu (Disc Drive 2)Estimate for difference: 14.430895% CI for difference: (1.0468, 27.8148)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 2.22 P-Value = 0.036 DF = 26Both use Pooled StDev = 17.1831

/ 2at t>

Interpretasi Output Uji Rata-rata 2 Sampel Independen

Gambar 5.7 Daerah penolakan pada distribusi t untuk α = 5% dan df=40

Uji rata-rata dua sampel independent akan menggunakan level toleransi α sebesar

5%. Derajat bebas (df) pada penelitian adalah 26. Tabel distribusi t menunjukkan

nilai statistic t0.05/2 pada df =26 sebesar 2.056. Output 5.5 memperlihatkan statistic T

hasil pengamatn adalah 2.22./ bila dilihat pada grafik penolakan gambar 5.7

menunjukan bahwa statistic T(2.22) jatuh di daerah penolakan. Hasil menunjukan

bahwa waktu respons disc drive 1 tidak sama dengan waktu respons disc drive 2.

Boxplot pada gambar 5.6 menunjukan bahwa waktu respons disc drive 1 lebih cepat

dibandingkan waktu respons disc drive 2, yang terlihat dari posisi rata-rata waktu

responsdisc drive 1 lebih tinggi dari pada rata-rata waktu respons disc drive 2.

5.3 Membandingkan Varian dua Populasi

Suatu penelitian tidak mengukur rata-ratanya, tetapi juga varian datanya yang

menunjukkan penyebaran data. Ada 2 metode utnuk melakukan uji dengan

menggunakan varian, yaitu uji varian suatu populasi dan uji rasio antara 2 varian.

Uji varian suatu populasi digunakan untuk menguji kesesuaian varian suatu data

dengan varian tertentu. Aapaun uji rasio varian digunakan apabila 2 populasi yang

variannya akan dibandingkan. Kedua metode sama-sama mensyaratkan distribusi

yang mendasari data adalah distribusi normal.

39

/ 2 0.025α =/ 2 0.025α =

2.056− 2.056

Daerah penolakan

Daerah penolakan

Sebagai ilustrasi, agar mudah memahami mengenai uji rasio antarvarian maka

kita akan menggunakan data pada table 5.2.

Uji varian 2 populasi

Langkah-langkah untuk melakukan uji varian 2 populasi dalam Minitab adalah:

1. PIlih Stat > Basic Statistics > 2 variances

Gambar 5.8 Kotak Diaolg 2 Varians

2. Pilih Samples in different columns

3. Dalam First, Isikan Dsik 1

4. Dalam Second, isikan Disk 2

5. Selanjutnya klik OK

40

Uji 2 arahHipotesis:

21

0 22

21

1 22

: 1

: 1

H

H

σσσσ

=

≠

Statistik uji:

22 211 22

2

22 222 12

1

sF jika s s

s

sF jika s s

s

= >

= >

Daerah penolakan

/ 2aF F>

Uji 1 arahHipotesis:

21

0 22

2 21 1

1 2 22 2

: 1

: 1 1

H

H atau

σσσ σσ σ

=

> <

Statistik uji: 2 21 22 22 1

s sF atau F

s s= =

Daerah penolakan

aF F>Derajat Bebas

1 1

2 2

1

1

v n

v n

= −= −

Hipotesis

Hipotesis pada analisis adalah:

2_ _1

0 2_ _1

2_ _1

1 2_ _1

: 1

: 1

Disk drive

Disk drive

Disk drive

Disk drive

H

H

σσ

σσ

=

>

Hipotesis awal (H0) menduga bahwa varian waktu respons disc drive 1 sama dengan

waktu respons disc drive 2.

Daerah Penolakan

F Fα>

Derajat bebas (df) pengamatan adalah

1 1

2 2

1 13 1

1 15 1

v n

v n

= − = −= − = −

Interpretsi Output Uji Rasio Varian

Gambar 5.9 Output hasil perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive

Pada output dapat terlihat bahwa nilai statistic F adalah 1.39 . Pada table distribusi F

nilai (5%,12,14) 2.53F = . Nilai F masih berada di atas nilai statistic F hasil pengamatan.

Oleh karena itu, kesimpulan hasil uji adalah varian waktu respons disc drive 1 dan

varian disc drive 2 secara statistic tidak berbeda.

41

Test for Equal Variances: Disc Drive 1, Disc Drive 2 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations N Lower StDev UpperDisc Drive 1 13 12.7930 18.6599 33.3688Disc Drive 2 15 11.0945 15.8078 26.7933

F-Test (normal distribution)Test statistic = 1.39, p-value = 0.548

Levene's Test (any continuous distribution)Test statistic = 0.11, p-value = 0.740

Pada gambar 5.9 tampak bahwa varian waktu respons disc drive 1 sebesar

2 2_ _1 (18.66) 348.19Disc driveσ = = , sedangkan varians waktu respons disc drive 2 sebesar

2 2_ _ 2 (15.81) 249.89Disc driveσ = = . Secara matematis varian berbeda, namun secara

statistis telah terbukti bahwa kedua varian waktu respon tidak berbeda.

Pada gambar 5.10menunjukkan 2 jenis grafik yaitu dotplot (grafik bagian atas)

dan boxplot (grafik bagian bawah). Pada grafik memperlihatkan penyebaran waktu

respons disc drive 1 tidak berbeda jauh dengan penyebaran waktu respons disc drive

2.

Gambar 5.10 Grafik hasil Perbandingan varian waktu respons 2 jenis disc drive

42

MODUL VI

ANALISIS KORELASI

Koefisien korelasi Pearson berguna untuk mengukur tingkat keeratan hubungan linear

anatara dua variable. Nilai korelasi berkisar antara -1 samapai +1. nilai korelasi negative

berarti hubungan antara 2 variabel adalah negative. Artinya, apabila salah satu variable

menurun, maka variable lainnya akan meningkat. Sebaliknya, nilai korelasi positif

berarti hubungan antara kedua variable adalah psotif. Artinya apbila salah satu variable

meningkat, maka variable lainnya meningkat pula. Suatu hubungan anatara 2 variabel

dikatakan berkorelasi kuat apabila makin mendekati 1 atau (-1). Sebaliknya, suatu

hubungan dikatakan lemah apabila semakin mendekati 0 (nol).

Hipotesis

Hipotesis untuk uji korelasi adalah:

0

1

: 0

: 0

H

H

ρρ

=≠

Dimana ρ adalah korelasi antara 2 variabel.

Daerah Penolakan

P-value < α

Untuk membuat interpretasi analisis korelasi, ada beberapa hal yang harus diingat, yaitu:

1. Koefisien korelasi hanya mengukur hubungan linear. Jika ada hubngan nonlinear,

maka koefisien korelasi akan bernilai 0.

2. koefisien korelasi sangan snsitif terhadap nilai ekstrim.

3. kita bisa membuat korelasi hanya jika variable memiliki hubungan sebab akibat.

Langkah-langkah menghitung korelasi antara dua variable dengan menggunakan Minitab

adalah:

1. Pilih Stat > Basic Statistics > Correlation

43

2. Pada kotak dialog , letakkan variable ukuran rumah dan penggunaan listrik per

bulan pada kolom di bawah Variabels.

3. Untuk menampilakn P-value, pilih Display p-value, klik OK.

Gambar 6.1 Kotak dialog Correlation

Interpretasi Output Korelasi

Output analisis korelasi yang akan ditampilkan dalam windows session. Output

menunjukkan nilai korelasi atara ukuran rumah dan penggunaan listrik per bulan sebesar

0.898. seperti telah dijelaskan sebelumnya, apabila nilai korelasi Pearson semakin

mendekati 1 atau (-1), berarti hubungan antara 2 variabel semakin erat. Karena nilai

korelasi antara ukuran dan penggunaan listrik bernilai 0.898, maka hubungan antara

kedua variable diduga erat. Agar lebih menyenangkan, kita perlu uji atau hipotesis.

Hipotesis

0 1: 0 : 0H vs Hρ ρ= ≠

Dalam hal ini, hipotesis awal adalah tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan dan

penggunaan listrik, sedangkan hipotesis alternatifnya adalah ada korelasi antara ukuran

dan rumah dengan penggunaan listrik.

Correlations: Ukuran Rumah, Penggunaan Listrik per Bulan

44

Pearson correlation of Ukuran Rumah and Penggunaan Listrik per Bulan = 0.898P-Value = 0.000

Daerah penolakan

Penjelasan sebelumnya telah mengatakan bahwa daerah penolakan adalah apabila

P-value > α . Gambar 6.2 memperlihatkan daerah penolakkannya. Pada gambar, apabila

p-value jatuh dalam daerah α (daerah penolakan, daerah yang diarsir), maka berarti

menolak hipotesis awal.

Interpretasi Output Analisis

Hasil analisis korelasi memperlihatkan bahwa nilai P-value adalah 0. Karena P-value

jatuh di daerah penolakan, maka keputusannya adalah menolak hipotesis awal yang

mengatakan bahwa tidak ada korelasi antara ukuran rumah dan penggunaan listrik. Ini

berarti menerima hipotesis alternative. Oleh karena itu, kesimpulan yang didapat dari uji

hipotesis adalah antara ukuran rumah dengan penggunaan listrik per bulan ada

hubunggan erat, yaitu sekitar 89,9%

45

MODUL VII

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN HIPERGEOMETRIK

Ruang sampel adalah gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan

statistika dan dinyataan dengan lamabang S. Sedangkan himpunan bagian dari sampel

adalah kejadian. Definisi peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya

ditentukan oleh tiap anggota dalam ruang sampel.

Contoh 1.

Misalkan sebuah mata uang dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah ={gambar,

angka} atau { , }M B dengan M = angka, dan B = gambar. Maka suatu kejadian yang

mungkin terjadi adalah {M} atau {B}.

Contoh 2.

Misalkan sebuah dadu dilantunkan 1 kali, maka ruang sampelnya adalah {1,2,3,4,5,6},

Suatu kejadian yang mungkin terjadi adalah {1} atau {2} atau … atau {6}.

Penulisan ruang sampel seperti diatas tidak praktis, maka didefinisikan peubah acak,

umumnya dinotasikan sebagai x, y, z, sebagai fungsi dengan daerah asal ruang sampel

dan daerah definisinya bilangan real. Pada contoh 1 kita bisa representasikan suatu

peubah acak diskrit x = {0,1} atau {-1, 1} dengan 0 /-1 menyatakan angka (M) dan 1/1

menyatakan gambar (B).

Pada contoh 1 dan 2, peubah acak diatas (x dan y) adalah peubah-peubah acak yang

diskrit. Contoh-contoh peubah acak yang kontinu adalah yang berasal dari ruang sampel

yang mengukur seperti berat badan, tinggi badan, temperatur dan lain-lain. Dimana

pengukurannya tersebut tidak eksak (tepat sekali). Contoh Tinggi badan= 170 cm berarti

bukan mutlak tingginya 170 cm mungkin 169,999cm atau 170,005 cm.

A. Distribusi Binomial

46

Pada kasus dalam distribusi bertipe diskrit seperti binomial, kejadian yang diamati

hanya dikelompokkan dalam 2 kategori, yaitu sukses dan gagal. Bentuk fungsi

kepadatan peluang (fkp) binomial adalah:

Dimana : !

!( 1)!

n n

x x n

= −

Dengan x adalah variabel acak, n adalah banyaknya data yang diuji/eksperimen dan p

adalah peluang terjadinya kejadian x. Sedangkan fungsi distribusinya :

Atau disebut juga Fungsi distributif kumulatif.

Contoh :

Misalkan x peubah acak berdistribusi binomial dengan banyak data n dan peluang

terjadinya kejadian x adalah p, atau ditulis:

x bersdistribusi ( ; , )B x n p atau ~ ( , )x B n p

Untuk peubah acak x yang diketahui fkp-nya, biasanya dapat dihitung ekspetasi dan

variansinya, dan masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Ekspetasi dari : ( ) . ( )x E x x p X xµ = = =∑ adalah nilai harapan / rataan dari x.

Variansi dari 2 2 2 2 2: ( ) [{ ( ) } ] ( ) ( ( )) ;X Var x E x E x E x E xσ = = − = −

dengan 2 2( ) ( )E x x f x= ∑ :akar positif dari variansi adalah simpangan baku /standar

deviasi, yang menyatakan variansi data disekitar rata-rata. Untuk distribusi binomial:

( )E x npµ = = (bisa dibuktikan sebagai latihan ) dan 2 var( ) ,X npqσ = = dengan

1q p= − .

Catatan : bedakan rataan dan variansi dalam distribusi data /statistika deskriptif

dengan rataan µ dan variansi 2σ disini.

47

Perintah-perintah padaMinitab

Langkah-langkah memasukkan data yang berdistribusi binomial secara random dalam

Minitab.

1. Pilih Calc > Random Data > Binomial

2. Pada kotak dialog seperti pada gambar masukan banyaknya data yang diinginkan

pada kolom Generate, contohnya 100.

3. pada kolom store in column(s) masukkan C1.

4. Isikan peluangnya pada Number of Trials

5. Isikan probability sucses contoh 0.95.

6. Kemudian klik OK.

Gambar 7.1 Kotak dialog distribusi Binomial

Probability Density Function

48

Untuk mencari fungsi kepadatan peluang atau fungsi peluang distribusi binomial

dengan n dan p ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya disimpan di kolom Cj.

( )Ci Cj≠ .

Sebagai ilustrasinya sebuah mata uang logam yang simetri dilantunkan sebanyak 10

kali. Jika dimisalkan X = jumlah muncul muka. Tentukan:

a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kejadian (x) yang mungkin

b. Hitung kemungkinan muncul muka lebih dari 5 kali tapi kurang dari 9 kali!

Langkah-langkahnya pada Minitab antara lain:

1. Input data pada kolom C1dari 0 : 10

2. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial

3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability

4. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya pengamatan.

5. Pada Probability of Succses, masukkan 0.5 yang menunjukkan peluang muncul

muka dalam 1 kali lantunan.

6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2.

7. Kemudian klik OK.

49

Gambar 7.2 Kotak Dialog Probability Density Function

a. Fungsi kepadatannya untuk setiap kajadian (x) yang mungkin terdapat pada

kolom 2 ditunjukkan dalam gambar 7.3

Gambar 7.3 Probability Density Function

b.

50

(5 9) ( 6) ( 7) ( 8)

0.205078 0.117188 0.043945

0.366211

36.62%

P x P X P x P X< < = = + = + == + +==

Cumulatif Distibution Function

Untuk mencari fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial dengan n dan p

ditentukan dari kolom Ci yang hasilnya diletakkan di kolom Cj. Perhatikan contoh

berikut lebih lanjut.

• Misalkan peluang suatu obat x dapat menyembuhkan seseorang dari sakit flu

adalah 70%. Setiap hari diasumsikan ada 10 orang yang sakit flu dan membeli

obat tersebut.

a. tentukan fkp dan fungsi distribusinya (FD)

b. Berapakah peluang bahwa yang tidak sembuh sembuh dari sakit flu adalah

3 orang?

c. Bagaimana kejadian yang mungkin terjadi untuk 20 hari yang lainnya.

Untuk menjawab pertanyaan diatas lakukan perintah-perintah berikut pada Minitab:

1. Masukkan data pada kolom C1 dari 0 : 10

2. Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dengan cara seperti di atas dan

masukkan 10 pada kotak number of trial, dan 0.7 pada kotak Probability

of success. Simpan pada kolom C2.

Untuk mencari fungsi kumulatif distribusi:

3. Pilih Calc > Probability Distributions > Binomial

4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability

5. Pada Number of Trial, masukkan 10 yang menunjukkan banyaknya ruang

sampel.

6. Pada Probability of Succses, masukkan 0.7

7. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.

51

8. kemudian klik OK.

Gambar 7.4 Kotak Dialog Culmulatif Distribution Function

a. Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan

pada gambar berikut:

Gambar 7.5 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif

b. Ditanyakan peluang untuk 3 orang yang tidak sembuh..

Karena peluang obat x yang membuat orang sembuh adalah 70%, dan sisanya

30% adalah untuk yang tidak sembuh. Maka dengan p = 30% = 0.3, akan dicari

peluang untuk 3 orang yang masih sakit, atau P(Z = 3) =?

52

Caranya : Cari fungsi kepadatan probabilitasnya dan distribusi kumulatifnya

dengan cara seperti di atas dan masukkan 10 pada kotak number of

trial, dan 0.3 pada kotak Probability of success. Simpan pada kolom

C4.

Gambar 7.6 Fungsi Probabilitas Kepadatan dan Fungsi Distribusi Kumulatif

Dari gambar di atas diketahui bahwa peluang yang tidak sembuh dari dari flu

adalah 3 orang sebesar 0.266828 = 26.68%

c. Kejadian yang mungkin terjadi selama 20 hari (untuk obat x yang

mempunyai peluang menyembuhkan orang = 70%)

Caranya : Random data binomial sebanyak 20 pada kolom C4 dengan nilai n = 10

dan p = 0.7. Hasilnya dapat ditunjukkan pada tabel berikut:

Tabel 7.1 Data random berdistribusi Binomial

B. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi binomial digunakan bila penarikkan sampel dilakukan dengan

pengembalian. Untuk kasus penarikan tanpa pengembalian, digunakan distribusi

C45 87 66 86 47 48 49 66 78 79 9

53

hipergeometrik. Misalkan 52 kartu bridge yang terdiri dari 26 kartu merah dan 26

kartu hitam. 5 kartu diambil secara acak dan ingin diketahui peluang menarik 3 kartu

merah dari 26 kartu merah dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam. Ada 26

3

cara

menarik 3 kartu merah dan 26

2

cara mengambil 2 kartu hitam. Jadi banyaknya cara

mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam lima kali penarikkan ialah 26

3

26

2

. Banyaknya cara mengambil 5 kartu sembarang dari 52 kartu bridge ialah 52

5

. Jadi peluang mengambil 5 kartu tanpa pengembalian, 3 diantaranya merah dan 2

hitam, diberikan oleh:

26 26

3 20.3251

52

5

=

Percobaan hipergeometrik dapat disimpulkan sebagai berikut:

Misalkan ada n benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan sisanya,

n-k diberi nama gagal. Ingin dicari peluang memilih x sukses dari sebanyak k yang

tersedia, bila sampel acak berukuran n diambil dari N benda. Percobaan seperti ini

dikenal dengan nama percobaan hipergeometrik. Distribusi peluang peubah acak

hipergeometrik dinotasikan sebagai berikut:

~ ( , , )x H N n k

Dengan fungsi kepadatan peluangnya adalah:

( ) ( ) , 0,1, 2,...,

k N k

x n xP X x f x x n

N

n

− − = = = =

Contoh:

54

Suatu panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 kimiaawan dan 5 fisikawan.

Hitunglah distribusi peluang banyaknya kimiawan dalam panitia tersebut.

Jawab:

Misalkan peubah acak x yang menyatakan banykanya kimiawan dalam panitia,

dengan N =8, n = 5, k = 3. Distribusi peluang untuk x adalah:

3 8 3

5( ) ( ) , 0,1, 2,3

8

5

x xP X x f x x

− − = = = =

Sehingga:

C. Latihan

1. Buat model distribusi binomial dengan n = 12, dan p = 0.45

Jawablah

a. P(x = 6), P(x = 8)?

b. ( 8), (3.6 8.2)?P x P x> ≤ ≤

2. Seorang insinyur pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 755

kendaraan yang melintasi suatu daerah pemeriksaan berasal dari DKI. Buat

programnya dan cari outputnya, tentukan:

a. Peluang paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang

lewat berasal dari luar DKI

b. Peluang ada 2 dari 10 kendaraan yang lewat berasal

dari DKI

3. Suatu bursa buku murah memiliki 100 buku cerita dan 300 buku

umum. Seorang anak membeli 10 buku secara acak. Tentukan peluangnya bila 4

buku diantaranya adalah buku cerita?

4. Misalkan Y suatu peubah acak, memiliki peluang sukses p = 2/3

dalam n kali pengulangan dari suatu percobaan.

55

( 0) 1/ 56;

( 1) 15/ 56

( 2) 30 / 56

( 3) 10 / 56

P X

P X

P X

P X

= == == == =

a. Jika n = 3, tentukan (2 )!

b. Jika n = 5, tentukan ( 2)!

P Y

P Y

≤≤

5. Dari kotak berisi 12 peluru, diambil 4 secara acak dan kemudian

ditembakkan. Bila kotak itu mengandung tiga peluru cacat yang tidak akan

meledak. Buat programnya dan jawab berapa peluangnya:

a. Keempatnya meledak

b. Paling banyak 2 yang tidak meledak

c. Tepat 2 meledak atau minimal 3 tidak meledak.

MODUL VIII

DISTRIBUSI POISSON

Percobaan yang menghasilkan peubah acak x yang bernilai numerik, yaitu banyaknya

sukses selama selang waktu tertentu atau dalam daerah tertentu, disebut Percobaan

Poisson. Suatu percobaan poisson memiliki sifat berikut:

1. Banyaknya sukses terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak

terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain

yang terilih.

2. Peluang terjadinya suatu sukses (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek

atau dalam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya

56

daerah dan tidak tergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luar selang waktu

atau daerah tertentu.

3. Peluang terjadi lebihdari satu sukses dalam selang waktu yang pendek atau daerah

yang sangat sempit tersebut dapat diabaikan.

Panjang selang waktu tersebut boleh berapa saja, semenit, sehari, sebulan, atau malah

setahun. Contohnya seperti banyaknya mobil yang masuk tol per jam, jumlah mahasiswi

yang gagal di mata kuliah kalkulus per tahun, jumlah kecelakaan yang terjadi di sekitar

rumah per minggu, dan lain sebagainya.

Distribusi peluang peubah acak poisson x, yang menyatakan banyaknya sukses yang

terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu, diberikan oleh:

,...2,1,0,!

)()( ====−

xx

exfxxP

xµµ

dengan µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau

daerah tertentu dan ...71828.2=e Misalkan X berdsitribusi poisson atau )(~ µPx

mempunyai mean = varian = µ . Kejadian-kejadian yang berdistribusi poisson adalah

kejadian yang jarang terjadi. Distribusi binomial dengan peluang sukses (p) yang sangat

kecil, dapat dihampiri dengan distribusi poisson, dengan np=µ .

A. Contoh Soal

1. Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati

suatu perhitungan selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium

adalah empat. Berapakah peluang enam partikel melewati penghitung dalam suatu

milidetik tertentu?

Jawab:

Dik : x = jumlah partikel yang melewati alat penghitung

)(~ µPx dengan µ = 4

Dit: P(X = 6)?

Untuk mendapatkan jawabannya maka lakukan langkah-langkah berikut pada

program Minitab:

2. Input data pada kolom C1 0 : 20;

57

3. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;

4. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Probability;

5. Pada kotak Mean, masukkan 4 yang menunjukkan rata-

rata.

6. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik

C2.

7. Kemudian klik OK.

Gambar 8.1 Kotak Dialog Fungsi Kepadatan Probabilitas

Untuk mengetahui fungsi kumulatif distribusinya lakukan langkah-langkah

berikut ini:

9. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson

10.Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih Cumulatif Probability

11.Pada kotak dialog Mean, masukkan 4 yang menunjukkan banyaknya rata-rata

banyaknya partikel.

12.Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.

13.Kemudian klik OK

58

Gambar 8.2 Kotak Dialog Fungsi Distributif Kumulatif

Output fungsi kepadatan peluang dan kumulatif distribusi ditunjukkan pada

gambar berikut:

Gambar 8.3 Output pdf dan cdf

Dari data di atas diketahui bahwa P(X = 6) = f(6) = 0.104196 = 10.42%

Untuk mengetahui grafiknya hubungan antara Fungsi Distribusi Kumulatif

dengan banyaknya data dan Fungsi Kepadatan Peluang dengan bnyaknya data,

lakukan langkah berikut ini:

1. Pilih Graph > Scatterplot > Simple > OK

2. Masukkan Fd(x) = (C3) sebagai variable sumbu y dan x =(C1) sebagai

variable sumbu x.

3. Kemudian klik OK

4. Buka kembali graph.

5. Masukan f(x) = C2 sebagai variable sumbu y dan x = C1 sebagai variable

sumbu x.

59

6. Kemudian klik OK.

Output dari grafik dapat dilihat pada gambar berikut:

Gambar 8.4 Grafik Hubungan Fungsi Distribusi Kumulatif

Gambar 8.5 Grafik Hubungan Fungsi Kepadatan Peluang

2. Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang

dari gelas, terjadi belembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang

tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang

dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa sample

acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?

Jawab.

60

Pada dasarnya percobaan ini merupakan distribusi binomial dengan n = 8000 dan p =

0.001. karena p sangat dekat dengan nol dan n cukup besar, maka akan dihampiri

dengan distribusi poisson dengan (8000)(0.001) 8npµ = = = . Jadi jika z merupakan

banyaknya barang yang bergelembung, maka :

6 6

0 0

( 7) (8000.0.001) (8) 0.3134z z

P Z b p= =

< = ≈ =∑ ∑Atau dapat dilihat nilai P(Z < 7) pada hasil keluaran berikut dengan menggunakan

Minitab:

1. Input Data pada kolom C1 dari 0 : 10

2. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;

3. Pada kotak dialog pilih Probability;

4. Pada kotak Mean, masukkan 8.

5. Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C2.

6. Kemudian klik OK

7. Pilih Calc > Probability Distributions > Poisson;

8. Pada kotak dialog pilih Cumulatif Probability;

9. Pada kotak Mean, masukkan 8.

10.Pilih Input column ketik C1 dan Optional storeage ketik C3.

11.Kemudian klik OK

Outputnya dapat dilihat pada gambar dibawah ini:

61

Gambar 8.6 Output pdf dan cdf

Dari data diatas dapat dilihat bahwa Fungsi Kumulatif Distribusi pada P(Z =

6) = 0.313374.

C. Latihan

1. Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 3 kecelakaan seminggu. Hitunglah

berdasarkan program yang anda buat, peluang bahwa pada suatu minggu tertentu

akan terjadi:

1. tepat 5 kecelakaan !

2. Paling sedikit ada 7 kecelekaan !

3. Antara ada 3 dan ada 6 kecelekaan !

2. Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah

10. pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari.

Buat programnya dan hitung :

62

a. Berapa peluangnya pada suatu hari tertentu ada tanker yang terpaksa disuruh

pergi karena melebihi kapasitas pelabuhan?

b. dari 30 hari yang diamati, berapa hari terdapat tepat 15 tanker?

3. Peluang seseorang meninggal karena suatu infeksipernafasan adalah 0.002.

Carilah peluang bila 2000 orang yang terserang infeksi tersebut kurang dari 5

orang yang akan meninggal?

4. Suatu daerah di bagian timur Amerika Serikat, rata-rata ditimpa angina topan

setahun. Carilah peluang di suatu tahun tertentu:

a. tidak sampai 4 angin topan yang akan menimpa daerah tersebut.

b. antara 6 sampai 8 angin topan akan menimpa daerah tersebut.

5. Dalam suatu penelitian inventori (persediaan barang) diketahui bahwa permintaan

rata-rata dari gudang terhadap suatu bahan tertentu lima kali sehari. Berapakah

peluang pada suatu hari tertentu bahan tersebut:

a. diminta lebih dari lima kali

b. tidak diminta sama sekali?

.

63

MODUL IX

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

A. DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS)

Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah

distribusi normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar

di bawah, yang mengambarkan berbagai kumpulan data yang muncul di alam,

industri, dan penelitian.

64

µ x

Distribusi normal sering disebut pula distribusi Gauss, untuk menghormati Gauss

(1777-1855). Suatu peubah acak X yang distribusinya berbentuk lonceng tadi disebut

peubah acak normal. Atau ditulis ),(~ 2σµNX . Distribusi normal, bergantung pada

dua parameter µ danσ . Fungsi padat peluang (pdf) peubah acak normal X dengan

rataan µ . Dan variansi 2σ ialah:

∞<<−∞=

−

−xexf

x

,2

1)( 2

1

σµ

πσ

Dengan mengamati grafik serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari f(x) dapat

diperoleh lima sifat kurva normal berikut:

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva,

terdapat pada µ=x (atau median µ );

2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan µ .

3. Kurva mempunyai titik belok pada σµ ±=x . Cekung ke bawah bila

σµσµ +<<− x dan cekung ke atas untuk harga x lainnya;

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x

bergerak menjauhi µ baik ke kiri maupun ke kanan;

5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sembu datar dengan 1.

Catatan: Dalam praktek/kehidupan sehari-hari, sulit sekali ditemukan suatu

kasus/kejadian yang benar-benar berdistribusi normal (atau ),(~ 2σµNX . Kurva

setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian rupa sehingga

luas dibawah kurva diantara kedua ordinat 1xx = sama dengan peluang peubah acak

X mendapat harga antara 1xx = dan 2xx = . Jadi:

dxedxxfxXxPxx

x

x

x

−

−

∫∫ ==<< σµ

πσ2

1

21

2

1

2

12

1)()(

Dinyatakan dengan luas daerah yang diarsir. Berikut adalah gambar dari persamaan

diatas;

65

Tabel Normal.

Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka

dibuat tabel luas kurva normal untuk rataan nol dan variansi 1. Dalam hal ini

dibutuhkan untuk suatu transformasi untuk peubah acak x yang mempunyai rataan µ

dan variansi 2σ .

Transformasi tersebut merupakan pemusatan dan pembakuan terhadap x, yaitu:

x

xXZ

σµ−

=

Sehingga z berdistribusi normal dengan rataan nol dan variansi 1. Distribusi peubah

acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku

(standar).

Catatan: simpangan baku = deviasi standar.

Tabel normal baku berisi informasi tentang z dan )(zφ dimana

==≤= )()()( zFdzZPxφ fungsi distribusi kumulatif dari z.

Plot berdistribusi peluang normal berbentuk seperti huruf ‘S’. Untuk mempermudah

analisa kenormalan, maka digunakan skor normal, yaitu :

+== −

25.0

375.01

n

iz φ .

Yang gunanya adalah untuk menguji apakah data yang kita peroleh itu bersitribusi

normal atau tidak, dengan melihat apakah plotnya bergaris lurus atau tidak. Catatan:

untuk jumlah data yang sama dan saling berbeda nilainya satu sama lainnya, maka

nilai skornya sama.

Contoh : a. 50 60 70 80 90b. 35 45 55 65 75

Untuk a dan b , keduanya mempunyai nilai skor yang sama tapi berbeda datanya.

Perintah-perintah pada Minitab melalui window session adalah sebagai berikut:

MTB > random 20 C1;

SUBC> normal 0 1.

MTB > nscore C1 C2

66

MTB > plot C2*C1;

SUBC> symbol.

Gambar 9.3 Scatterplot bilangan berdistribusi normal dengan normal score.

MTB > cdf C1 C5

MTB > plot C5*C1;

SUBC> symbol.

Gambar 9.4 Scatterplot dari cdf berdistribusi normal

TB > invcdf C5 C6

MTB > Plot C6*C1;

SUBC> Symbol.

67

Gambar 9.5 Scatterplot dari invcdf berdistribusi normal

Berikut ini adalah sebagian dari table normal baku:

1. Masukkan data C1 melalui window session. Langkah-langkahnya:

MTB > set C1

DATA > -.5 : 1.5 / .1

DATA > END.

2. Pilih Calc > Probability Distribution > normal

3. Pada kotak dialog pilih cumulative distribution

4. Masukkan C1 sebagai input column dan C2 sebagai optional storeage.

5. Selanjutnya OK.

Catatan : bila subcommand

tidak ditulis maka mintab

dengan sendirinya

memberikan nilai (default)

sama dengan normal 0.1.

Diketahui x berdistribusi

normal dengan

10&50 2 == σµ . Carilah

peluang bahwa x mendapat

harga antara 45 dan 62.

Jawab:

Row z Phi (z)123456789101112131415161718192021

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.41.5

0.3085380.3445780.3820890.4207400.4601720.5000000.5398280.5792600.6179110.6554220.6914620.7257470.7580360.7881450.8159400.8413450.8643340.8849300.9032000.9192430.933193

68

576392.0

308538.0884930.0

)5.0()2.1(

)2.15.0(

10

5062

10

5045)6245(

=−=

−<−<=<<−=

−<−<−=<<

ZPZp

zP

XPxP

σµ

Suatu mesin membuat alat tahanan listrik dengan rataan tahanan 40 ohm dan

simpangan baku 2ohm. Misalkan bahwa tahanan berdistribusi normal dan dapat

diukur sampai derajat ketelitian yang diinginkan. Berapakah peluangnya sebuah alat

mempunyai tahanan melebihi 43 ohm?

Jawab:

Peluang sebuah alat mempunyai melebihi 43 ohm adalah sebesar luas daerah yang

diarsir pada kurva normal berikut:

066807.0

933193.01

)5.1(1

)5.1(2

4043)43(

=−=

−−=

>=

−>=>

ZP

ZPZPxP

B. Hampiran Normal Terhadap Binomial (atau Poisson)

Peluang binomial dapat diperoleh langsung dari rumus ),;( pnxB Atau dari tabel

bila n kecil. Bila n besar dan tidak ada dalam daftar yang tersedia, maka peluang

binomial dihitung dengan cara hampiran.

Teorema : bila x peubah acak binomial dengan rataan np=µ dan variansi ,2 npq=σ ,

maka bentuk limit distribusinya:

*).........(1, pqnp

npXZ −=−=

Bila ∞→n maka berdistribusi normal baku )1,0;(zN

Catatan : untuk ∞→n dan harga p yang sangat kecil, maka peluang binomial dapat

dihampiri oleh peluang distribusi poisson ))(~( nppX =µ , sehingga membentuk

persamaan (*) berubah menjadi :

69

np

npXZ

−=

Contoh:

X berdistribusi binomial ).4.0,15;(x Ditanyakan )97( ≤≤ xP ?

Jawab:

1. Dengan menggunakan rumus binomial

9

7

9

0 7

(7 9) ( ;15,0.4)

( ;15,0.4) ( ;15,0.4)

0.9662 0.6098

0.3564

P

P x b x

b x b x

≤ ≤ =

= −

= −=

∑

∑ ∑

2. Dengan menggunakan hampiran normal:

6.5 6 9.5 6(7 9)

1.9 1.9

(0.263 1.842)

( 1.842) ( 0.263)

0.3636

P x P Z

P z

P Z P Z

− − ≤ ≤ = < < = < <= < − <=

C. Latihan.

1. Buat table normal baku (standar) untuk z = -2.0, -1.9, …, 1.9, 2.0.

70

2. Suatu jenis baterai mobil rata-rata berumur 3.0 tahun dengan simpangan baku 0.5

tahun. Bila dianggap umur baterai berdistribusi normal, carilah peluang suatu

baterai tertentu akan berumur kurang dari 3.2 tahun?

3. Menghitung peluang. Kerjakan langkah-langkah berikut:

• Generate 10 sampel random dari distribusi normal (15,4);

• Urutkan sample tersebut dari kecil hingga besar;

• Lakukan pemusatan dan pembakuan terhadap sample tersebut;

• Hitung:

i. )( )4()2( xXxP <<

ii. )( )9()5( xXxP <<

iii. )( )6(xXP <

Dengan =)(iX data ke I yang telah diurutkan (petunjuk : gunakan tebl

pada nomor 1 diatas).

4. Suatu proses menghasilkan sejumlah barang yang 10% cacat. Bila peluang 100

barang diambil secara acak dari proses tersebut, berapakah peluang bahwa

banyaknya yang cacat melebihi 13? (petunjuk – Gunakan hampiran normal)

5. Peluang seseorang sembuh dari suatu operasi jantung (yang rumit) adalah 0.9.

berapakah pelluang bahwa anatara, dan termasuk, 84 dan 95 dari 100 orang yang

dioperasi akan sembuh? (petunjuk : gunakan hampiran normal).

6. Suatu pengukuran dipakai untuk menolak semua suku cadang yang ukurannya

tidak memenuhi ketentuan 3.50 +- d . diketahui bahwa pengukuran tersebut

berdistribusi normal dengan rataan 1.50 dan simpangan baku 0.2 . tentukanlah

harga d sehingga ketentuan tersebut mencakup 95% seluruh pengukuran

71

MODUL X

TRANSFORMASI DAN DISTRIBUSI SAMPLING

A. TRANSFORMASI

Distribusi empirik yaitu berupa histogram, batang daun, dan boxplot, yang akan

memberikan gambaran aantara lain tentang kesimetrisan, kecondongan, pemusatan,

penyebaran dari data pengamatan.

Salah satu sifat penting dari distribusi normal yaitu kesimetrisan. Distribusi

normal ini sangat penting karena banyak metode statistik yang dipakai (uji hipotesis

dan uji selang kepercayaan) dengan anggapan distribusi empirik data menghampiri

distribusi normal. Bagaimana jika data tersebut tidak menghampiri distribusi normal,

72

dengan kata lain tidak simetri. Transformasi adalah salah satu cara untuk mengatasi

masalah tersebut, dan ada cara lainnya (akan tetapi tidak selalu berhasil).

Transformasi data dilakukan pada data-data yang memiliki bentuk distribusi

empirik tidak simetri sehingga diperoleh bentuk yang simetri atau mendekati simetri.

Contoh bentuk-bentuk distribusi empirik adalah

Tinggi

x x xx xx xxx

x xx xxxxx xxxxxxxx xxx xxx

xx xxxxx xx xxxxxx x x

xx xx xxx x xxxx

xxx xxxxxxxx

xxxx xxx x x

Rendah

1. Menjurai ke atas, 2. Simetri, 3. Menjurai ke bawah, 4.Hampir simetri berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak tunggal berpuncak ganda

Salah satu teknik transformasi pengsimetrisan, adalah dengan :

2

1

x− ,

x

1− , log x, x , 2x , 3x , dll.

Tukey menyimpulkannya dengan apa yang dinamakan Tangga Transformasi :

transformasi utk simetri transformasi utkmenjurai ke atas menjurai ke bawah

2

1

x−

x

1− log x x x 2x 3x

antilog x kuat sedang tak berubah sedang kuat

Contoh 1

Distribusi empirik di bawah bersifat tidak empirik karena data yang bernilai kecil

mengumpul (dapat juga dikatakan menjurai ke atas).

Data : N = 60

73

0.0 sebanyak 10 baris

0.5 sebanyak 19 baris

1.0 sebanyak 14 baris

1.5 sebanyak 3 baris

2.0 sebanyak 5 baris

2.5 sebanyak 2 baris

3.0 sebanyak 4 baris

3.5 sebanyak 1 baris

4.0 sebanyak 1 baris

4.5 sebanyak 0 baris

5.0 sebanyak 0 baris

5.5 sebanyak 1 baris

Langkah-langkah pengerjaan melalui program Minitab:

- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 60) di kolom C1

- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK

- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK

- Didapat plot Histogram of C1

Gambar 10.1 Histogram dari Distribusi Empirik

74

C1

Frequency

4.8

3.6

2.4

1.2

0.0

20151050

Histogram of C1

Jika dibuat transformasi Z = log C2, maka pengerjaan pada program Minitab:

1. Pilih Calc > calculator.

2. Pada kotak dialog calculator seperti pada gambar, masukkan C2 pada kotak store

result in variable.

3. Masukkan fungsi LogT(C1) pada expression, yang artinya C2 =Logten (C1), lalu

OK.

Gambar 10.2 Kotak Dialog Kalkulator

4. Plih Graph > Histogram > simple > OK.

5. Pada kotak dialog histogram masukkan variabel C2 pada kotak graph variable >

OK

Output histogram C2 akan ditunjukkan seperti gambar dibawah.

Gambar 10.3 Grafik histogram dari C2 dengan fungsi transformasi y = log (x)

75

Jika dibuat transformasi y = x , maka perintah pada program Minitab sama dengan

diatas, tetapi fungsi yang digunakan C3 = SQRT (C1). Kemudian setelah itu dibuat

histogram dari C3 yang menghasilkan grafik seperti dibawah.

Gambar 10.4 Grafik Histogram dari C3 dengan fungsi transformasi y = x

6. Pilih Graph > steam and Leaf

7. Masukkan C3 pada kotak graph variable. > OK

Stem-and-Leaf Display: C3

Stem-and-leaf of C3 N = 60Leaf Unit = 0.10

10 0 0000000000 10 0 10 0 29 0 7777777777777777777 29 0(14) 1 00000000000000 17 1 222 14 1 4444455 7 1 7777 3 1 8 2 2 0 1 2 3

Analisa

Pada plot pertama terlihat data sangat jauh dari normal (dikatakan menjurai ke atas).

Lalu dicoba transformasi Z = log x, dan diperoleh plot kedua yang ternyata membuat

data menjadi menjurai ke bawah. Dicoba lagi dengan transformasi y = x , dan

diperoleh plot yang lebih mendekati normal, walaupun dari histogram masih belum

simetri.

76

Pencarian transformasi yang cocok masih terus dapat dilakukan sehingga dihasilkan

histogram yang simetri (atau mendekati simetri) dan plot normal yang mendekati

garis lurus.

Contoh 2

Jika peubah acak diubah dengan mengalikan atau menambahkan suatu nilai skalar

maka mean juga berubah dengan mengalikan atau menambahkan scalar tersebut.

Untuk variansi, jika peubah acak dikalikan dengan scalar maka variansinya juga

dikalikan dengan kuadrat skalar. Tapi jika ditambahkan dengan skalar maka

variansinya tetap. Ini dikarenakan plot hanya bergeser sejauh pergeseran mean. Jadi,

hanya mean yang berubah.

Langkah yang dilakukan pada Minitab antara lain:

1. Pilih Calc > Random Data > Normal

2. Pada kotak Generate, masukkan 60 data dan mean = 0.4, lalu OK.

3. Pilih Calc > Calculator

4. Pada kotak dialog, masukan fungsi 3*C1 pada kotak expression > OK.

5. Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistics

6. Pilih Varibel C1 dan C2 > Statistics

7. Cek Mean,Median,TrMean,Stdev,Semean, Min dan Max. > OK.

Descriptive Statistics: C1, C2

Variable CumN Mean SE Mean TrMean StDev Minimum Median MaximumC1 60 0.427 0.120 0.391 0.932 -1.233 0.299 3.336C2 60 1.280 0.361 1.172 2.795 -3.698 0.897 10.009

B. DISTRIBUSI SAMPLING

Misalkan akan diambil kesimpulan mengenai proporsi orang Indonesia yang

merokok. Tentunya tidak mungkin menanyai semua penduduk Indonesia. Karena itu

ada yang dinamakan sample acak, yaitu beberapa data dari populasi diambil secara

acak, dan kemudian dihitung proporsi orang yang merokok (populasi adalah

keseluruhan pengamatan yang akan diteliti). Percobaan ini dilakukan beberapa kali.

77

Suatu nilai yang dihitung dari sample dinamakan statistik. Karena banyak sampel

maka kita dapatkan banyak nilai statistik yang berbeda dari sampel ke sampel. Karena

itu statistik adalah suatu peubah acak juga. Dalam modul ini, akan dibahas mengenai

distribusi beberapa statistik, khususnya rataan sampel dan variansi sampel.

Misalkan diambil sampel berukuran n dari suatu populasi, dan diulangi sebanyak k

kali, kemudian dari tiap sampel diambil rataannya, maka rataan sampel itu

mempunyai distribusi, dan disebut distribusi sampling dari rataan. Jika yang diamati

variansinya untuk tiap sampel, maka variansi sampel itu mempunyai distribusi dan

dinamakan distribusi sampling dari variansi.

Misalkan X ~ F sembarang, dengan rataan µ dan variansi 2σ , maka

( ) ∑∑∑ ====

= µµn

nxE

nxE

nn

xEXE ii

i 1)(

11)( .

( ) ∑∑∑ ==

= )(

11)(

22 iii xV a r

nxV a r

nn

xV a rXV a r , (karena ix bebas)

nn

n

22

2

1 σσ == .

Bila populasi yang tidak diketahui distribusinya (berhingga atau tidak), diambil

sampelnya, maka distribusi sampel rataannya akan berdistribusi hampir normal

dengan rataan µ dan variansinya n

2σ, asalkan ukuran sampel besar dan ekspetasi

dari sampel acak dan berhingga.

Contoh program simulasi distribusi rataan untuk normal dan binomial.

1. Distribusi rataan untuk N(0,4)

MTB > random 15 C1 – C60MTB > normal 0 2MTB > copy C1 – C60 m1MTB > transpose m1 m2MTB > copy m2 C1 – C15MTB > rmean C1 – C15 C16MTB > histogram C16Histogram of C16 N = 60Midpoint Count

78

-1.2 3 * * *-0.8 9 * * * * * * * * *-0.4 10 * * * * * * * * * * 0.0 17 * * * * * * * * * * * * * * * * * 0.4 15 * * * * * * * * * * * * * * * 0.8 5 * * * * * 1.2 1 *

MTB > nscore C16 C17MTB > plot C17 C16

MTB > describe C16 N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN

C16 60 -0.0332 0.0429 -0.0258 0.5636 0.0728

MIN MAX 01 03C16 -1.3268 1.3702 -0.4820 0.4704

MTB > boxplot C16

Untuk distribusi rataan dari binomial, gunakan program yang sama, hanya random normal diganti random binomial.

N MEAN MEDIAN TRMEAN STDEV SEMEAN C1 100 -0.169 -0.472 -0.219 3.960 0.396

MIN MAX 01 03C1 -8.905 10.585 -3.042 2.460

Contoh 3Data : N = 100

-8 sebanyak 2

-6 sebanyak 11

-4 sebanyak 13

-2 sebanyak 19

0 sebanyak 16

2 sebanyak 17

79

4 sebanyak 11

6 sebanyak 8

8 sebanyak 2

10 sebanyak 1

Minitab

- Masukkan data-data tsb pada worksheet (sebanyak N = 100) di kolom C1

- Pilih menu Graph > Simple, lalu OK

- Pilih C1 sebagai Graph variables, lalu OK

- Didapat plot Histogram of C1

C1

Frequency

8

4

0

-4

-8

20151050

Histogram of C1

- Pilih menu Graph > Stem-and-Leaf

- Pilih C1 sebagai Graph variables

- Diperoleh

Stem-and-leaf of C1 N = 100Leaf Unit = 1.0

2 -0 88 13 -0 66666666666 26 -0 4444444444444 45 -0 2222222222222222222(8) -0 00000000 47 0 00000000 39 0 22222222222222222 22 0 44444444444 11 0 66666666 3 0 88

80

1 1 0

- Pilih menu Graph > Boxplot

- Pilih Simple, lalu OK

- DiperolehC1

10

5

0

-5

-10

Boxplot of C1

- Pilih menu Calc > Calculator

- Store result in variables C2

- Expression pilih Normal score(C1), lalu OK

- Diperoleh data normal score nya di C2

- Pilih menu Graph > Scatterplot

- Pilih Simple, lalu OK

- Pilih C2 sebagai Y variable dan C1 sebagai X variable, lalu OK

- Diperoleh Scatterplot of C2 vs C1

81

C1

C2

1050-5-10

3

2

1

0

-1

-2

Scatterplot of C2 vs C1

C. LATIHAN

1. Data di bawah ini menyajikan penduduk ke-22 wilayah metropolitan terbesar di AS

pada tahun 1970. Petugas sensus mencoba mendefinisikan wilayah ini sehingga

merupakan satuan populasi yang berarti.

- Diagramkanlah data mentahnya

- Bagaimana bentuk disribusinya (jelaskan)

- Buat juga boxplotnya

- Transformasi apa yang dipakai agar bentuk distribusinya menjadi berbentuk

hampir normal

1420 1390 2071 2754 6979 1385 2064 1556 4200 1985

7032 1404 1814 11529 1857 1359 4818 2401 2363 3110

1422 2861

2. Gunakan data no.1. Bandingkanlah transformasi manakah yang lebih baik antara

akar dua dengan versi kebalikan negatif. Jelaskan!

3. Simulasi sebanyak 20 pengamatan dan diletakkan di 5 kolom, dari N(0,4). Lakukan

percobaan ini sebanyak 3 kali, dan perhatikan histogram dan normal plotnya.

Bagaimana analisa anda!

82

4. Buat program untuk menset 80 buah rataan (terhadap C1-C30) dari B(x ; 10, 0.2)

dan N(0, 16). Apa yang dapat anda jelaskan dari outputnya!

5. Di bawah ini adalah produk kosmetik bruto per kapita negara belahan bumi barat

tertentu (1971), dla US$, yang diambil dari buku Memahami Data (Erickson dan

Nosanchuk).

Argentina 1260 Jamaica 740Bolivia 219 Meksiko 712Brazil 452 Nikaragua 471Kanada 4317 Panama 782Costa Rica 586 Peru 356Ekuador 306 Uruguay 836Guatemala 371 Amerika Serikat 5121Haiti 110 Venezuela 1151

Buat histogram, batang daun, dan normal plotnya. Kemudian ambil log-nya, dan

buat kembali histogram, batang daun, dan normal plotnya. Bandingkan! Analisalah!

MODUL XI

SELANG KEPERCAYAAN UNTUK KEPERCAYAAN

83

Taksiran suatu parameter populasi dapat diberikan berupa taksiran titik atau berupa

taksiran selang.

Taksiran titik suatu parameter populasi θ

merupakan nilai tunggal θ suatu statistik Θ.

Sebagai contoh, nilai x suatu statistik X , dihitung dari suatu ukuran n, merupakan

taksiran titik parameter populasi µ . Statistik yang digunakan untuk mendapatkan

taksiran titik ≡ penaksir.

Taksiran selang untuk µ dari suatu populasi ialah suatu selang yang berbentuk

21 ˆˆ µµµ << , di mana 21 ˆ&ˆ µµ tergantung pada nilai statistik µ̂. Biasanya µ̂ = X ,

dengan kata lain 21 ˆ&ˆ µµ tergantung pada X . Atau kx −=1µ̂ dan kx +=2µ̂ , dengan

k ditentukan dari distribusi sampel X .

Catatan :

parameter adalah konstanta dari suatu distribusi yang nilainya tertentu tapi tidak

diketahui, misalnya 2&σµ .

perbedaan sampel (berlainan) memberikan nilai X yang berbeda, ini

mengakibatkan penaksiran selang bagi parameter µ berbeda pula.

Misalkan dari suatu distribusi sampel µ̂ dapat ditentukan 21 ˆ&ˆ µµ , sedemikian sehingga

αµµµ −=<<= 1)ˆˆ( 21P . Maka dengan peluang %100).1( α− ini, sampel acak yang

diambil akan menghasilkan suatu selang yang mengandung µ .

Contoh : Misalkan 95.0)ˆˆ( 21 =<<= µµµP . Artinya, yang dihitung berdasarkan sampel

acak yang diambil, disebut selang kepercayaan 95%, dengan kata lain kita percaya 95%

bahwa selang yang dihitung mengandung parameter yang sesungguhnya dari populasi.

A. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI NORMAL

84

Perhatikan gambar di atas. Selang kepercayaan %100).1( α− adalah selang pada daerah

yang diaksir, yaitu antara 2/αz− dan 2/αz . Misalkan ambil %505.0 ==α , maka

%951 =− α . Jadi, selang kepercayaan 95% adalah selang antara %5,2z− dan %5,2z . Nilai

2/αz± dinamakan nilai kritis dan diambil dari tabel normal. Di bawah ini beberapa nilai

kritis z untuk beberapa nilai α yang sering digunakan.

α Nilai 2/αz

1% = 0.01 -2.57

5% = 0.05 -1.96

10% = 0.10 -1.64

B. SELANG KEPERCAYAAN PADA DISTRIBUSI T

Perhatikan gambar di bawah ini

Penggunaannya sama dengan selang kepercayaan pada distribusi normal. Nilai t dapat

dilihat dari tabel t, dengan v menyatakan derajat kebebasan dan α−1 menyatakan

berapa persen selang kepercayaan yang diinginkan. Perhatikan besarnya v

untuk data yang berasal dari 1 populasi : v = n - 1

untuk data yang berasal dari 2 populasi yang saling bebas atau tidak berpasangan :

221 −+= nnv .

C. PERINTAH-PERINTAH MINITAB UNTUK SELANG KEPERCAYAAN

85

Z INTERVAL K % σ C1 . . . C2 )1001( ≤≤ n

Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi

dengan nilai 2σ diketahui.

Bentuk selang tersebut adalah :

))/() ,/(( 2/2/ nzxnzx σσ αα +−Di mana : x = mean data

n = ukuran sampel

z = nilai dari tabel normal untuk K %

T INTERVAL K % C1 . . . C2 )1001( ≤≤ n

Digunakan untuk mencari selang kepercayaan K %, data berasal dari 1 populasi

dengan 2σ tidak diketahui, atau data berasal dari populasi berpasangan dengan

21σ dan 2

2σ tidak diketahui.

Bentuk selang tersebut adalah :

))/() ,/(( 2/,22/,2 nstxnstx nn αα −− +−Di mana : x = mean data

s = standar deviasi sampel

n = ukuran sampel

t = nilai dari tabel t untuk K % dan derajat kebebasan (n-1)

D. CONTOH SOAL

1. Sebuah mesin menghasilkan potongan logam berbentuk silinder.

Sampel beberapa potongan diukur dan ternyata diameternya : 1.01, 0.97, 1.03,

1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 dan 1.03. Hitunglah selang kepercayaan 99% untuk

rataan diameter potongan yang dihasilkan mesin tersebut bila dimisalkan

distribusinya hampir normal.

86

Jawab:

MTB > set C1DATA > 1.01 0.97 1.03 1.04 0.99 0.98 0.99 1.01 1.03DATA > endMTB > tinterval 99.0 C1

N MEAN STDEV SEMEAN 99.0 PERCENT C.IC1 9 1.00556 0.02455 0.00818 (0.97809, 1.03302)

2. Data berikut menyatakan waktu putar film yang diproduksi dua

perusahaan film.

Waktu (menit)

Perusahaan A 103 94 110 87 98 88

Perusahaan B 97 82 123 92 175 118

Hitunglah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan waktu putar film

yang diproduksi kedua perusahaan. Anggap bahwa waktu putar berdistribusi

hampir normal.

Jawab:

MTB > read C1 C2DATA > 103 97DATA > 94 82DATA > 110 123DATA > 87 92DATA > 98 175DATA > 88 118DATA > endMTB > let C3 = C2 – C1MTB > tinterval 90 C3

N MEAN STDEV SEMEAN 90.0 PERCENT C.IC3 6 -17.8 32.5 13.3 (-44.6, 8.9)

E. LATIHAN

1. Ambil sampel acak sebanyak 100, dari distribusi normal baku,

dan tentukan selang kepercayaan 90%, 95% dan 99%. Lakukan juga untuk sampel

dari N(0, 4) dan N(0, 16). Apa yang dapat anda simpulkan!

Buat juga perhitungannya secara manual untuk selang kepercayaan 90% dgn N(0,

4). (Gunakan tabel normal)

87

2. Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat

sebanyak 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2 dan 9.6 liter. Carilah selang

kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu, bila distribusinya dianggap

hampir normal. Lakukan pula perhitungan secara manual. (Gunakan tabel t)

3. Suatu perusahaan menyatakan bahwa sejenis diet baru akan

menurunkan berat badan seseorang rata-rata 4.5 kg dalam 2 minggu. Berat tujuh

wanita yang menggunakan diet ini dicatat sebelum dan sesudah jangka waktu 2

minggu.

1 2 3 4 5 6 7Berat sebelum 58.5 60.3 61.7 69.0 64.0 62.6 56.7Berat sesudah 60.0 54.9 58.1 62.1 58.5 59.9 54.4

Hitung selang kepercayaan 95% untuk selisih rataan berat, dan perhatikan apakah

pernyataan perusahaan tersebut benar? Anggap distribusi berat hampir normal.

4. Pemerintah memberikan dana ke jurusan pertanian 9 universitas

untuk menguji kemampuan menghasilkan dua varietas padi. Tiap varietas ditanam

di petak sawah yang sama luasnya di tiap universitas dan hasilnya, dlm kg per

detik sbb:

Universitas1 2 3 4 5 6 7 8 9

Varietas A 38 23 35 41 44 29 37 31 38Varietas B 45 25 31 38 50 33 36 40 43

Hitunglah selang kepercayaan 95% untuk rataan selisih hasil kedua jenis, anggap

bahwa distribusi hasil hampir normal. Jelaskan mengapa kedua varietas perlu

dibuat berpasangan dalam soal ini. Buat juga perhitungan manualnya. (Gunakan

tabel t)

88

SELANG KEPERCAYAAN

1 POPULASI 2 POPULASI

2σ diketahui 2σ tdk diketahui berpasangandr pop. normal (n < 30) )( 21 nn =

)30( ≥n 21σ , 2

2σ tdk diketahui

2σ 2σ = 2s 22dd s=σ

X X 21 XXD −=

distribusi distribusi t distribusi t normal )/(|| 2/,1 nstx n αµ −±< )/(|| 2/,1 nstd dn αµ −±<

)/(|| 2/ nzx σµ α±<

89

MODUL XII

UJI HIPOTESIS

Dalam kehidupan, sering kita ingin menguji kebenaran suatu pernyataan/ anggapan.

Misal, benarkah pernyataan iklan obat di televisi yang sebagai ‘penambah tenaga’. Untuk

menguji kebenarannya, sulit untuk menanyakan semua orang yang minum obat tersebut

(populasi yang minum obat). Kesulitan tersebut karena biaya yang besar, memakan

waktu yang lama, serta kemungkinan bisa/ tidaknya suatu percobaan dilaksanakan.

Kegiatan ini disebut hipotesis statistik.

Pengujian hipotesis statistik merupakan bagian terpenting dari teori keputusan. Suatu

anggapan/ pernyataan yang mungkin benar/ tidak mengenai satu populasi atau lebih

disebut hipotesis statistik.

Kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan

pasti kecuali bila seluruh populasi diamati. Namun hal ini sangat sulit, karena itu diambil

sampel acak dari populasi yang ingin diselidiki dan dengan menggnakan informasi yang

terkandung dalam sampel itu diputuskan apakah hipotesis tersebut wajarnya benar atau

salah.

Petunjuk dari sampel yang tidak sesuai dengan hipotesis menjurus kepada penolakan

hipotesis, sedangkan petunjuk yang mendukung menjurus kepada penerimaannya.

(ditegaskan bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik diakibatkan oleh tidak cukupnya

petunjuk untuk menolaknya dan tidaklah menunjukkan bahwa hipotesis itu benar).

Istilah diterima / ditolak penting dipahami, bahwa penolakan suatu hipotesis berarti

menyimpulkan bahwa hipotesis tersebut tidak benar, sedangkan penerimaan suatu

hipotesis hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai

sebaliknya. Biasanya hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut

hipotesis nol (H0). Penolakan H0 menjurus kepada penerimaan suatu hipotesis

tandingannya (H1). Bentuk uji hipotesis statistik untuk 1 populasi adalah sbb:

90

1. Uji satu arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingannya yang berarah

satu, seperti:

0 0:H µ µ= atau 0 0:H µ µ=

1 0:H µ µ> 1 0:H µ µ<

Seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ> terletak diujung kanan

distribusi, sedangkan seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan 0µ µ< terletak

diujung kiri.

2. Uji dua arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingan berarah dua,

seperti: 0 0:H µ µ=

1 0:H µ µ≠

Hipotesis tandingan menyatakan salah satu dari 0µ µ< ataupun 0µ µ> . Nilai pada

kedua ujung distribusi membentuk daerah kritisnya. Sebagai contoh: Misalkan umur

rata-rata mahasiswa yang mengambil statistika dasar adalah 20 tahun dan jumlah

mahasiswa (populasi) yang mengam,bil mata kuliah tersebut 400 org. Ingin diuji

apakah rata-rata umur mhs tsb benar/ salah, jika diambil sampel sebanyak 15 mhs.

Penulisan hipotesis statistiknya adalah

0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ = atau 0 : 20H µ =

1 : 20H µ < 1 : 20H µ > 1 : 20H µ ≠

A. UJI-Z : UJI RATAAN 1 SAMPEL DENGAN 2σ DIKETAHUI

Pandanglah masalah pengujian hipotesis bahwa rataan populasi dengan variansi 2σ

diketahui, sama dengan nilai 0µ tertentu lawan tandingan bahwa rataan tersebut tidak

sama dengan 0µ , yaitu akan diuji:

0 0:H µ µ=

1 0:H µ µ≠

Statistik yang sesuai sebagai dasar patokan keputusan ialah peubah acak x karena x

adalah penaksir tak bias untuk µ . Tidak diketahui bahwa distribusi sampel dari

91

rataan adalah hampir normal dengan rataan µ dan variansi 2 / nσ , bila suatu populasi

dengan mean µ dan variansi 2σ diambil sampelnya secara acak sebanyak n. Bila

digunakan taraf keberartian α , maka dapat dicari 2 nilai kritis 1 2&x x sedemikian

sehingga 1 2x X x< < menyatakan daerah penerimaan dan yang lainnya menyatakan

daerah kritis.

Daerah kritis dapat dinyatakan dalam nilai z yang diberikan oleh:

0

/

xz

n

µσ−=

Jadi, untuk taraf keberartian α , nilai kritis peubah acak z yang berpadanan dengan

1 2&x x , adalah:

1 0/ 2 /

xz

nαµ

σ−− = atau 2 0

/ 2 /

xz

nαµ

σ−=

Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan kemudian rataan sampel x

dihitung. Bila x jatuh dalam daerah penerimaan 1 2x X x< < , maka z akan jatuh

dalam daerah / 2 / 2z Z zα α− < < dan disimpulkan bahwa 0µ µ≠ . Daerah kritis

biasanya dinyatakan dalam z bukan dalam x .

Contoh 1

Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olah raga membuat tali pancing sintetik

yang baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan

simpangan baku 0.5 kg (tali pancing tersebut diasumsikan berdistribusi normal).

Ujilah hipotesis bahwa µ = 8 kg lawan tandingan bahwa µ ≠ 8 kg, bila sampel acak

50 tali diuji dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian

0.05.

Jawab:

Pengujiannya masalahnya adalah:

0 : 8H µ = kg

1 : 8H µ ≠ kg

Langkah-langkah yang dilkaukan didalam minitab

92

1. Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan banayak data 50 simpan di

C1.

2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample Z.

3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih samples in columns input C1

4. Input 0.5 sebagai Standar Deviation dan 8 sebagai test mean

5. Kemudian klik OK

Gambar 12.1 Kotak dialog 1- sample Z

Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

One-Sample Z: C1

Test of mu = 8 vs not = 8The assumed standard deviation = 0.5

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PC1 50 7.75760 0.51324 0.07071 (7.61901, 7.89619) -3.43 0.001

Analisa : Dari Minitab diperoleh nilai z hitung = -3.44. Untuk taraf keberartian

0.05α = , z mempunyai nilai kritis : z < -2.575 dan z > 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak

dalam daerah penolakan maka kesimpulannya adalah H0 ditolak, artinya rata-rata

daya tahan tidak smaa dengan 8. Cara lain yang lebih mudah untuk mengujinya

adalah dengan membandingkan α dengan nilai p-nya. Jika α < nilai p , maka H0

diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.

93

B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG σ 2 TDK DIKETAHUI

Selain uji-z ada pada uji-t, yaitu untuk menguji rataan bila variansi populasi tidak

diketahui. Langkah-langkah pengerjaan sama dengan uji-z, dengan rumusuntuk T

adalah :

T= 0

/s n

λ µ− dengan daerah kritis 1, / 2 1 / 2in nt T tα α− −− < <

s menyatakan simpangan baku dari sampel damn n adalah banyaknya data. Nilai dari

t dapat dilihat dari tabel t.

Contoh 2

Ujilah hipotesis bahwa rat-rat isi kaleng sejenis minyak pelumas adalah 10 liter, bila

isi sampel acak 10 kaleng adalah 10.2, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8

liter. Gunakan taraf keberartian 0.10 dan anggap bahwa distribusi isi kalaeng normal.

Jawab :

Pengujian : H0 : µ = 10

H1 : µ ≠ 10

Langkah-langkah pengerjaan pada Minitab:

1. Input data pada kolom C2 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 .9.9 10.4 10.3 9.8

2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t

3. Pada kotak dialog, pilih sample in column input C2, test mean input 10

selanjutnya OK

Gambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t

94

One-Sample T: C2

Test of mu = 10 vs not = 10

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PC2 10 10.0600 0.2459 0.0777 (9.8841, 10.2359) 0.77 0.460

Analisa: nilai kritis dari t untuk taraf keberartian 0.10 dan derajat kebebasan 9 :

0.05,9 1.833t < − dan 0.05,9 1.833t < . Maka T hasil perhitungan = 0.77 terletak

dalam daerah penerimaan. Jadi, H0 diterima, artinya rata-rata- isi kaleng

minyak adalah benar 10 liter. Cara lain : α = 0.10 < nilai p = 0.46, jadi H0

diterima.

Contoh 3

Misalkan untuk masalah diatas, pengujiananya dilakukan satu arah, misalkan

pengujian menjadi :

H0 : µ =10 lawan

H1 : µ < 10

Maka digunakan uji t 1 sampel untuk masalah satu arah :

1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t

2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative, lalu OK >

OK

Gambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - options

Hasil outputnya sebagai berikut:

One-Sample T: C2

Test of mu = 10 vs < 10 95% UpperVariable N Mean StDev SE Mean Bound T P

95

C2 10 10.0600 0.2459 0.0777 10.2025 0.77 0.770

Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima.

C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAAN

Pengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel

yang kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus

1 2 1 2

1 2

( ) ( )

(1/ ) (1/ )p

X XT

S n n

µ µ− − −=+ untuk 1 2σ σ− dan tidak diketahui

Contoh 4

Diberikan 2 sampel acak berukuran 1 211& 14n n= = , dari dua populasi normal yang

bebas satu sama lain. Dari sampel diperoleh 1 2 1 275, 20, 6.1, 5.3x x s s= = = = .

Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa 1 2µ µ= , lawan tandingan 1 2µ µ≠ .

Anggap bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama.

Jawab:

Pengujian : 0 1 2:H µ µ= atau 1 2 0µ µ− = lawan

1 1 2:H µ µ≠ atau 1 2 0µ µ− ≠

Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab :

1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1

dengan n = 75 dan p = 6.1

2. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2

dengan n = 60 dan p = 5.3

3. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t

4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan

C2 sebagai second

5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK

96

Gambar 12.4 2-samples t

Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Two-Sample T-Test and CI: C1, C2

Two-sample T for C1 vs C2

N Mean StDev SE MeanC1 11 77.99 4.30 1.3C2 11 64.13 4.02 1.2

Difference = mu (C1) - mu (C2)Estimate for difference: 13.864295% CI for difference: (10.1594, 17.5690)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81 P-Value = 0.000 DF = 20Both use Pooled StDev = 4.1652

Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah 0.029,23 2.069T < −

dan 0.029,23 2.069T > . Maka T = 8.16 terletak dalam daerah penolakan,

artinya keputusan adalah H1 diterima atau selisih mean tidak sama dengan

nol, atau terdapat beda mean kedua populasi.

97

98