Download - 3. Sistem Persamaan Linear2
![Page 1: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/1.jpg)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
![Page 2: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/2.jpg)
Persamaan linear ditulis
mnmnmm
nn
nn
cxaxaxa
cxaxaxa
cxaxaxa
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
Persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk matriks:
mnmnmm
n
n
c
c
c
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
![Page 3: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/3.jpg)
Menentukan x1, x2,...xn
• Metode penyelesaian dalam SPL– Metode Eliminasi Gauss– Metode Eliminasi Gauss-Jordan– Iterasi Jacobi– Iterasi Gauss-Seidel– Metode Invers Matriks– dll
![Page 4: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/4.jpg)
METODE ELIMINASI GAUSS
![Page 5: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/5.jpg)
METODE ELIMINISASI GAUSS
• Prinsip:– Memanipulasi persamaan-persamaan yang
ada dengan menghilangkan salah satu variabel sehingga pada akhirnya hanya tinggal satu persamaan dengan satu variabel.
– Solusi dari persamaan terakhir ini, disubstitusi ke persamaan lain untuk memperoleh penyelesaian.
![Page 6: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/6.jpg)
Langkah• Mengubah matriks menjadi augmented matriks
• Augmented matriks diubah menjadi matriks segitiga atas/bawah
• Sehingga diperoleh penyelesaian xn. Hasil ini kemudian disubstitusi mundur ke persamaan n-1 dan seterusnya.
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
......
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
nnn
n
n
d
d
d
c
cc
ccc
...
000
......00
...0
...
2
1
222
11211
![Page 7: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/7.jpg)
Membuat matriks segitiga atas (1)• Mengeliminasi suku pertama dari persamaan kedua hingga ke n (a2,1, a3,1, ...an,1)• Untuk itu, persamaan pertama dikalikan h = a2,1/a1,1, sehingga didapatkan
• Persamaan ini kemudian dikurangkan persamaan kedua. Lihat suku pertama dari persamaan kedua hilang.
• Atau bisa ditulis
• Selanjutnya persamaan pertama dikalikan h= a3,1/a11 dan dikurangkan persamaan ketiga. Begitu seterusnya sampai persamaan ke n.
111
211
11
21212
11
2111,2 .... b
a
axa
a
axa
a
axa nn
)()(....)()( 111
2121
11
212212
11
1,22211,21,2 b
a
abxa
a
aaxa
a
aaxaa nnn
22323222 .... bxaxaxa nn
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
....
....
....
3322
33333232
22323222
![Page 8: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/8.jpg)
Membuat matriks segitiga atas (2)
• Berikutnya mengeliminasi suku pertama dari persamaan kedua sampai ke n dari persamaan yang baru (dengan cara yang sama)
• Begitu seterusnya hingga tinggal satu variabel. Sehingga persamaan yang didapat bisa ditulis ulang, dalam bentuk matriks segitiga atas:
nn
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
)1()1(
33333
22323222
11313212111
....00
....
....00
....0
....
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
....
....
....
4433
44444343
33434333
atau
nnnn
nn
nn
nn
dxc
dxcxc
dxcxcxc
dxcxcxcxc
....00
....
....00
....0
....
33333
22323222
11313212111
![Page 9: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/9.jpg)
• Setelah diperoleh penyelesaian xn. Hasil ini kemudian disubstitusi mundur ke persamaan n-1 hingga persamaan pertama.
)...(1
)...(1
...................
1
,133,122,111,1
1
,244,233,222,2
2
,111,1
1
nn
nn
nnnnnn
n
nn
nn
xcxcxcdc
x
xcxcxcdc
x
xcdc
x
c
dx
)...(1
,22,11,,
nniiiiiiiiii
i xcxcxcdc
x
atau
Substitusi Mundur
![Page 10: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/10.jpg)
Latihan: Selesaikan SPL berikut ini
1022
22
6
321
321
321
xxx
xxx
xxx
10212
2121
6111
2010
4210
6111
• Jawab:• Augmented matriks;
• Lakukan operasi baris elementer B2-B1 dan B3-2B1:
• Lakukan operasi baris elementer B3+B2:
6200
4210
6111
1)3(1)2(16(1
1)(
1
2)3)2(4(1
1)(
1
3)6(2
1)(
1
sehingga
)...(1
33,122,111,1
1
33,222,2
2
33,3
3
,22,11,,
xcxcdc
x
xcdc
x
dc
x
xcxcxcdc
x nniiiiiiiiii
i
Kemudian, menentukan x1, x2 dan x3
![Page 11: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/11.jpg)
ALGORITMA• Masukkan nilai matriks [A] dan [b] yang membentuk SPL• Bentuk matriks gabungan [c] (augmented matriks) yang
merupakan gabungan matriks [A|b]• Untuk baris ke i, dimana i = 1 sampai n, apakah ada nilai aii = 0.
– Bila tidak ada: lanjutkan– Bila ada: Tukarkan baris ke i dengan i+k sehingga ai,i ≠ 0. bila tidak
ada, maka perhitungan tidak bisa dilanjutkan.• Untuk baris i ke-2 smp n,
– ulangi untuk baris j = i sampai n, lakukan operasi baris elementer:Hitung
• Ulangi untuk kolom k = i sampai n+1 (karena sampai d)
• Hitung substitusi mundur untuk menentukan penyelesaian, untuk i = n sampai 1(bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
1,1
1,2
1,1
1, contoh ,c
ch
c
ch
ii
ij
)...(1
,22,11,,
nniiiiiiiiii
i xcxcxcdc
x
kikjkj chcc ,1,, *'
![Page 12: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/12.jpg)
Mulai
Baca: [A] & [b]
ci,j = Ai,j
h = cj,i-1/ci-1,i-1
cj,k = cj,k – h*ci-1,k
i = 1 to n
j = 1 to n
i = 2 to n
j = i to n
k = i to n+1
A
j = 1 to n
cj, n+1 = bj
Selesai
Tulis hasil xi
nilai_d = nilai_d - ci,j*xj
xj = nilai_d / ci,i
i = n-1 to 1
j = i + 1 to n
A
xn = cn, n+1 / cn, n
nilai_d = ci,n+1
![Page 13: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/13.jpg)
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
![Page 14: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/14.jpg)
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
• Pengembangan dari Eliminasi Gauss• Augmented matriks diubah menjadi matrik
diagonal
• Penyelesaian secara langsung, yaitu nilai d1,d2, d3,...
nnnnnn
n
n
d
d
d
b
b
b
aaa
aaa
aaa
1...00
...............
0...10
0...01
...
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
nn dxdxdx ,..., 2211
![Page 15: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/15.jpg)
Teknik Eliminasi
• Sama seperti pada Eliminasi Gauss, yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer)
• Hanya saja, penyelesaian didapat secara langsung dan matriks berubah sampai menjadi matrkis diagonal
![Page 16: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/16.jpg)
Latihan
1dan x 2 x:anPenyelesai
110
201BB
110
311 /2B
220
3112BB
Elementer Baris OperasiMelakukan
842
311
SPL dari matriks Augmented
Jawab
842
3
SPL Selesaikan
21
21
2
12
21
21
xx
xx
![Page 17: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/17.jpg)
ALGORITMA• Masukkan nilai matriks [A] dan [b] yang membentuk SPL• Bentuk matriks gabungan [c] (augmented matriks) yang
merupakan gabungan matriks [A|b]• Untuk baris ke i, dimana i = 1 sampai n, apakah ada nilai aii = 0.
– Bila tidak ada: lanjutkan– Bila ada: Tukarkan baris ke i dengan i+k sehingga ai,i ≠ 0. bila tidak
ada, maka perhitungan tidak bisa dilanjutkan.• Untuk baris ke-j, dimana j = i+1 sampai n, lakukan operasi baris
elementer:– Hitung
– Untuk kolom k, dimana k = 1 sampai n+1 (karena sampai d)
• Penyelesaian untuk i = n sampai 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama)
jiac
1, nii ax
ikkjkj ahaa *,,
![Page 18: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/18.jpg)
Selesai
Tulis hasil xi
i = n-1 to 1
A
Ci,n+1 = ci,n+1/ cii
Cii = 1
Mulai
Baca: [A] & [b]
ci,j = Ai,j
h = cj,i/ci,i
cj,k = cj,k – h*ci,k
i = 1 to n
j = 1 to n
i = 1 to n
j = 1 to n
k = i to n+1
A
j = 1 to n
cj, n+1 = bj
I ≠ jtidak
![Page 19: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/19.jpg)
METODE ITERASI JACOBI
![Page 20: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/20.jpg)
Iterasi Jacobi
• Metode eliminasi dalam penyelesaian SPL kadang menjumpai masalah, seperti pembulatan
• Metode eliminasi juga kurang efektif untuk SPL berukuran besar
• Metode iterasi lebih efektif• Iterasi Jacobi menggunakan rumusan rekursif
untuk menghitung nilai pendekatan solusi SPL• Iterasi berjalan terus sampai toleransi yang
diberikan terlampaui.
![Page 21: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/21.jpg)
Iterasi Jacobi
nn
nnnnnn
nn
nn
nnnnnn
n
n
a
xaxaxabx
a
xaxabx
a
xaxabx
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
bxA
11,22211
22
212122
11
121211
2
1
2
1
21
22221
11211
...
......
...
...
:anpenyelesai dicari
dapat maka nol, tidak semuanya diagonalelemen -elemen Jika
......
...
............
...
...
atau
][]][[
![Page 22: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/22.jpg)
• Proses penyelesaiannya dapat dimulai dengan nilai awal x1, x2, ...xn = 0, untuk menghitung x’1, x’2, ...x’n.
• Selanjutnya hasil x’1, x’2, ...x’n disubstitusi lagi untuk mendapatkan nilai x’’1, x’’2, ...x’’n. dan seterusnya sampai error terlampaui
%1001
ji
ji
ji
x
xx
![Page 23: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/23.jpg)
Latihan
%23,19%100476,2
2476,2,476,2
5
85714,2.2667,1.210''
%45,3%1007619,2
8571,27619,2,7619,2
7
2.3667,1.420''
%69,20%10038095,1
667,138095,1,38095,1
3
28571,25''
'','','' memperolehuntuk ',','kan Substitusi
25
10',8571,2
7
20',667,1
3
5'
',',' menghitunguntuk 0,, nilaikan Substitusi5
2210,
7
3420,
3
5
:bentuk dalam ditulisdapat SPL
Jawab
10522
20374
53
:berikut SPL Selesaikan
3
2
1
321321
321
321321
213
312
321
321
321
321
x
x
x
xxxxxx
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
![Page 24: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/24.jpg)
Algoritma• Masukkan matriks [A] dan [b]• Tentukan batas maksimum iterasi atau toleransi error• Tentukan nilai awal xi, untuk i = 1 sampai n• Simpan nilai xi untuk i = 1 sampai n• Untuk i = 1 sampai n hitung:
• Iterasi= iterasi + 1• Apakah iterasi sudah maksimum atau toleransi error
sudah terlampaui. Jika sudah berhenti. Jika belum, iterasi lagi.
iii
ijjiji
iii
xxb
xaba
x
)(1
![Page 25: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/25.jpg)
Selesai
Tulis hasil xi
A
True = 1 1tidak
Mulai
Baca: [A] & [b]
xbi= xbi – ai,j * xj
xbi = xbi / ai,i
j = 1 to n
A
i= 1 to n
xbi = bj
I ≠ j
tidak
True=0, iter = 0xi = 0 (i = 1:n)
iter = iter +1True =1
Ixbi -xiI > tol
True = 0
xi = xbi (i=1:n)
1
tidak
![Page 26: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/26.jpg)
METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
![Page 27: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/27.jpg)
Iterasi Gauss-Seidel
• Sama dengan iterasi Jacobi, hanya saja nilai x1, x2, xn langsung dipakai.
• Nilai x1langsung dipakai mencari x2, dan nilai x1, x2 langsung dipakai mencari xn.
• Dengan metode ini, konvergensi lebih cepat
![Page 28: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/28.jpg)
Latihan
09524,25
90476,1.2667,1.210'
' menghitunguntuk 90476,1'dan 667,1' nilaidengan aSelanjutny
90476,17
0.3667,1.420'
' menghitunguntuk 0'dan 667,1' nilaidengan aSelanjutny
667,13
5'
' menghitunguntuk 0, nilaikan Substitusi5
2210,
7
3420,
3
5
:bentuk dalam ditulisdapat SPL
Jawab
10522
20374
53
:berikut SPL Selesaikan
3
321
2
231
1
132
213
312
321
321
321
321
x
xxx
x
xxx
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
![Page 29: 3. Sistem Persamaan Linear2](https://reader035.vdokumen.com/reader035/viewer/2022062320/563dba34550346aa9aa3954d/html5/thumbnails/29.jpg)
Selesai
Tulis hasil xi
A
True = 1 1tidak
Mulai
Baca: [A] & [b]
xb= xb – ai,j * xj
xb = xb / ai,i
j = 1 to n
A
i= 1 to n
xb = bj
I ≠ j
tidak
True=0, iter = 0xi = 0 (i = 1:n)
iter = iter +1True =1
Ixb-xiI > tol
True = 0
xi = xb
1
tidak
Bedanya Jacobi (xbi)dan Gauss-Seidel (xb)