Download - 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b
![Page 1: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/1.jpg)
BAB V. INTEGRAL
Departemen Teknik Kimia
Universitas Indonesia
![Page 2: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/2.jpg)
BAB V. INTEGRAL• Anti-turunan dan Integral Tak Tentu• Persamaan Diferensial Sederhana• Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah
Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut• Substitusi dalam Penghitungan Integral
Tentu
![Page 3: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/3.jpg)
I. INTEGRAL TAK TENTU
F(x) disebut anti turunan dari f(x) padaselang I bila F ‘(x) = f(x) untuk x є I ( bila x merupakan titik ujung dari I maka F ‘(x)cukup merupakan turunan sepihak ).
Proses mencari anti turunan disebutintegrasi ( integral ).
Notasi :
disebut integral tak tentu.
![Page 4: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/4.jpg)
Dari rumus untuk turunan fungsi yang diperoleh padapembahasan bab sebelumnya dapat diturunkan beberapa rumus integral tak tentu sebagai berikut :
![Page 5: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh :Hitung integral tak tentu berikut :
Jawab :
![Page 6: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/6.jpg)
Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu adalah sifat linear,yaitu :
Contoh :
![Page 7: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/7.jpg)
Soal Latihan( Nomor 1 sd 5 ) Carilah anti turunan F(x) + C bila
( Nomor 6 sd 19 ) Selesaikan integral tak tentu berikut:
![Page 8: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/8.jpg)
II. Persamaan Diferensial SederhanaJika F’(x) = f(x), maka ∫ f(x) dx = F(x) + C. Dalam bahasa diferensial: jika F’(x) = f(x), maka :(*) dF(x) = F’(x) dx = f(x) dxsehingga
∫ dF(x) = ∫ f(x) dx = F(x) + C.
Persamaan (*) merupakan contoh persamaan diferensial yang (paling) sederhana.
Persamaan diferensial banyak dijumpai dalam matematika, fisika, maupun bidang ilmu lainnya
![Page 9: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/9.jpg)
ContohTentukan persamaan kurva yang melalui titik (1,2) dan mempunyai turunan 2xdi setiap titik (x,y) yang dilaluinya.
Jawab.
Misalkan persamaan kurva tersebut adalah y = f(x). Maka, dalam bahasa diferensial, informasi di atas mengatakan bahwa
dy = 2x dx.Integralkan kedua ruas,
sehingga kita peroleh∫ dy = ∫ 2x dx.
y + C1 = x2 + C2atau y = x2 + C, C = C2 – C1.
Persamaan y = x2 + C merepresentasikan keluarga kurva yang mempunyai turunan 2x di titik (x,y).Sekarang kita akan mencari anggota keluarga kurva tersebut yang melalui titik(1,2). Dalam hal ini kita mempunyai persamaan
2 = 12 + C,sehingga mestilah C = 1. Jadi persamaan kurva yang kita cari adalah
y = x2 + 1.
![Page 10: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/10.jpg)
Latihan.
Tentukan fungsi y = f(x) sedemikian
sehingga f ’(x) = 3x2 + 1 dan f(1) = 4.
![Page 11: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/11.jpg)
III. NOTASI SIGMA ()
![Page 12: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/12.jpg)
Soal Latihan( Nomor 1 sd 10 ) Hitung nilai sigma berikut :
( Nomor 11 sd 16 ) Nyatakan dalam notasi sigma deret berikut:
![Page 13: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/13.jpg)
IV. INTEGRAL TENTUPengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.
Materi pembahasan terdahulu yakni tentang integral tak tentu dan notasi sigma akan kita gunakan untuk mendefinisikan tentang integral tentu.
Pandang suatu fungsi f(x) yang didefinisikan pada suatu selang tutup [ a,b ]. Pada tahap awal akan lebih mudahuntuk dapat dimengerti bilamana f(x) diambil selalu bernilaipositif , kontinu dan grafiknya sederhana.
![Page 14: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/15.jpg)
Definisi : Integral Riemann
Bila limit ada maka f(x) dikatakan integrabel ( dapat diintegralkan ) pada [ a,b ].Integralini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu.
![Page 16: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorema1. Misal f(x) fungsi terbatas pada [ a,b ] (yaitu
terdapat M є R sehingga | f(x) | M untuksetiap x є [ a,b ]) dan kontinu kecuali pada sejumlah hingga titik pada [ a,b ]. Makaf(x) integrabel pada [ a,b ].
2. Bila f(x) kontinu pada [ a,b ] maka f(x)integrabel pada [ a,b ].
![Page 17: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh
![Page 18: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema Dasar Kalkulus (Pertama)
![Page 19: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/19.jpg)
Jawab :
![Page 20: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/20.jpg)
Teorema Dasar Kalkulus (Kedua)
![Page 21: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/21.jpg)
ContohMisalkan f(x) = x2, x є [0,1]. Maka
Jadi nilai rata-rata integral f pada [0,1] adalah ⅓.
![Page 22: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/22.jpg)
Contoh :
![Page 23: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/23.jpg)
Sifat-sifat lain yang berkaitan dengan integral tentudiberikan berikut :
![Page 24: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/24.jpg)
Sifat-sifat lain yang berkaitan dengan integral tentudiberikan berikut :
![Page 25: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh :
![Page 26: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh :
![Page 27: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh
![Page 28: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/28.jpg)
Substitusi dalam Penghitungan Integral Tentu
Misalkan kita ingin menghitung integral berikut
Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diperumum,
kita dapat menghitung integral tak tentunya:
∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C.
Integral semacam ini, baik integral tentu maupun integral tak tentu, dapat pula dihitung dengan teknik substitusi, yangakan kita bahas selanjutnya.
![Page 29: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/29.jpg)
Sebagai contoh, untuk menghitung integral taktentu
∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx,kita gunakan substitusi peubah u = x2 + x, sehinggadu = (2x + 1)dx dan integral di atas menjadi
∫ u½ du.Dengan Aturan Pangkat, kita peroleh
∫ u½ du = ⅔ u3/2 + C.Substitusikan kembali u = x2 + x, kita dapatkan∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C, sebagaimana yang kita peroleh sebelumnyadengan Aturan Pangkat yang Diperumum.
![Page 30: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/30.jpg)
Sekarang, untuk menghitung integral tentu
kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x,du = (2x + 1)dx.Selanjutnya kita perhatikan efek substitusi ini terhadap kedua batas integral. Pada saat x = 0,kita peroleh u = 0; sementara pada saat x = 4, kita dapatkan u = 20.Dengan demikian
sama seperti yang kita peroleh sebelumnya.
![Page 31: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/31.jpg)
Catatan. Dalam menghitung integral tentu denganteknik substitusi, kedua batas integral pada umumnya berubah dan kita dapat menghitung integral dalampeubah baru tanpa harus mensubstitusikan kembali peubah lama.
Secara umum, dengan melakukan substitusi u = g(x),du = g’(x)dx, kita peroleh
Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du.
Integral tentu:
![Page 32: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/32.jpg)
Soal Latihan
![Page 33: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/33.jpg)
( Nomor 6 sd 13 ) Hitung nilai integral tentu berikut :
![Page 34: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/34.jpg)
( Nomor 14 sd 17 ) Tentukan G’(x) dari :
![Page 35: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/36.jpg)
( 24 sd 26 ) Tentukan nilai rata-rata dari fungsi berikut padaselang yang diketahui:
![Page 37: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/37.jpg)
V. LUAS DAERAH DIBAWAH KURVAMisalkan kita ingin menghitung
luas daerah di bawah kurva y = f(x)= x2, 0 ≤ x ≤ 1. Pertama, bagi selang [0,1] atas n selang bagian yang sama panjangnya.
Lalu, luas daerah tersebut (L)
kita hampiri dengan jumlah luas persegipanjang di bawah kurva, yakni
![Page 38: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/38.jpg)
Perhatikan bahwa deret di ruas kanan dapat kita tulis ulangsebagai
yang jumlahnya
Jadi, kita kita peroleh hampiran
Dari sini kita amati bahwa Ln → 1/3 bila n → ∞. Jadi, luas daerah yang sedang kita cari adalah 1/3.
![Page 39: 1ad62ef73c008e9c78cb072ad7a0e66494156d9b](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062322/55cf8fd4550346703ba04c6d/html5/thumbnails/39.jpg)
5.1 no. 1,
5.2 no. 5,
5.3 no. 1,
SOAL-SOAL BAB V5, 10, 15, 22, 23, 32, 33.
13, 15.
9, 21, 25.
5.4 no. 19.
5.5 no. 1, 11, 21, 25.5.6 no. 1, 7, 12, 15, 22.
5.7 no. 1, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 27, 30.
5.8 no. 5, 8, 17, 20, 25, 32.