Download - 07. Trapezium & Simpson's Rules
-
A.A. B. Dinariyana
Jurusan Teknik Sistem PerkapalanFakultas Teknologi Kelautan ITS Surabaya
2013
A.A. B. Dinariyana
Jurusan Teknik Sistem PerkapalanFakultas Teknologi Kelautan ITS Surabaya
2013
Perhitungan-perhitungan di kapal pada umumnyadidasarkan pada bidang-bidang lengkung yang dibatasioleh: Sebuah garis datar sebagai basis
Dua buah ordinat yang ada kalanya bernilai o (nol)
Sebuah garis lengkung
2
Garis lengkungGaris lengkung
Ordinat Ordinat
Basis Basis
A B C D
Ordinat A & B = 0
-
Pendekatan yang dapat digunakan untukmenghitung luasan yang dibatasi bidanglengkung: Teknik analitis (analytical technique) yang
didasarkan pada metode aljabaroMetode integral EXACT ANSWER
Metode numerik (numerical method) yang didasarkan pada operasi aritmatikaoMetode Trapesium (trapezium rule)
oMetode Simpson (Simpsons rule)
3
Pendekatan integral
(estimating integral)
4
Berapakah luasan daerah yang
dibatasi olehb
a
ydx dimana y=f(x)?y = f(x)
dx
x
y
0 A B
C
D
xi xi+1
yi
yi+1Luasan dapat diwakilkan
oleh luasan sebuah trapesium
ABCD
b
a
ydx
-
5Luas trapesium ABCD
= AB(AC+BD)
Jika h = jarak AB
yi = nilai f(xi) adalah tinggi AC
yi+1 = nilai f(xi+1) adalah tinggi BD
Luas ABCD
= h(yi + yi+1)
y = f(x)
dx
x
y
0 A B
C
D
xi xi+1
yi
yi+1
6
Bagi luasan dibawah kurva y=f(x)Kedalam n bagian dengan lebar hDan tinggi yi pada titik xi
x
y
0 A B
C
D
x1 xn+1
y1
x2 x3 x4
y = f(x)
y2 y3 y4 yn+1h h h h h
Luas bidang lengkung I
= h(y1 + y2)Luas bidanglengkung II
= h(y2 + y3) Luas bidanglengkung ke-n
= h(yn + yn+1) Luas keseluruhan
= h(y1 + y2) + h(y2 + y3) + h(y3 + y4) + .. + h(yn + yn+1) = h[(y1 + y2) + (y2 + y3) + (y3 + y4) + .. + (yn + yn+1)]= h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1]
-
Area/luasan dibawah kurva diwakilkan oleh persamaany = f(x) sehingga trapezium rule:
h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1]7
b
a
ydx
x
y
0 A B
C
D
x1 xn+1
y1
x2 x3 x4
y = f(x)
y2 y3 y4 yn+1h h h h h
8
Untuk memudahkan perhitungan, trapezium rule dapat
diselesaikan dengan menggunakan tabel.
h[y1 + 2y2 + 2y3 + + 2yn + yn+1] h[ y1 + y2 + y3 + + yn + yn+1]
b
a
ydx
Faktor Luas (FLt): , 1, 1, ,
-
No.
ordinat
Tinggi
ordinat (yi)
Faktor luas
(FLti)
yi x FLti
1
2
3
4
5
n
n+1
y1y2y3y4y5
ynyn=1
0,5
1
1
1
1
1
0,5
0,5y1y2y3y4y5
yn0,5yn+1
9
= .Luas trapesium (Lt) = khdimana k trapesium =1
No. Ordinat Tinggi Ordinat y (m)
0
1
2
3
4
5
6
7
2
2,8
3,4
4
3,2
2,6
1,2
0
10
Jika jarak antara masing-masing ordinat h adalah 2,4 m,
tentukan luasan bidang lengkung tersebut
-
No. Ordinat Tinggi Ordinat y
(m)
FLt Y x FLt
0
1
2
3
4
5
6
7
2
2,8
3,4
4
3,2
2,6
1,2
0
0,5
1
1
1
1
1
1
0,5
1,0
2,8
3,4
4,0
3,2
2,6
1,2
0,0
11
= 18,2Lt = kh= 1 x 2,4 x 18,2= 43,68 m2
1. Sebuah kapal memiliki Lwl 100 m. 1/2 ordinatlebar kapal pada Lwl diukur dari belakang kapaladalah:
0,6; 4,8; 7,6; 7,7; 7,3; 6,0; 3,6; 0
Hitunglah luasan waterplane dari kapal tersebutdengan menggunakan metode Trapezium.
2. Jika diantara dua ordinat pertama lebar kapaladalah 2,8 hitunglah luasan tersebut denganmetode Trapezium.
12
-
13
1 No. 1/2 ordinat FL 1/2 ordinat * FL
1 0.6 0.5 0.30
2 4.8 1 4.80
3 7.6 1 7.60
4 7.7 1 7.70
5 7.3 1 7.30
6 6.0 1 6.00
7 3.6 1 3.60
8 0.0 0.5 0.00
37.3
Luas water plane = 2 x k x h x 1065.71
14
2 No. 1/2 ordinat FL 1/2 ordinat * FL
1 0.6 0.25 0.15
1a 2.8 0.5 1.40
2 4.8 0.75 3.60
3 7.6 1 7.60
4 7.7 1 7.70
5 7.3 1 7.30
6 6.0 1 6.00
7 3.6 1 3.60
8 0.0 0.5 0.00
37.35Luas water plane = 2 x k x h x
1067.14
-
Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahui setengah lebar
garis air (ordinat) dari kapal ini berturut-turut dari belakang
(buritan) ke bagian depan (haluan) adalah sebagai berikut:
0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2 ; 0,2
Jika jarak antara tiga ordinat pertama dan tiga ordinat
terakhir adalah setengah dari jarak antar ordinat lainnya,
hitunglah luasan waterplane kapal tersebut dengan
menggunakan metode Trapezium.
15
Sebuah bangunan apung memilik data lebar kapalseperti terlihat pada gambar berikut. Denganmenggunakan Metode Trapezium, hitunglah luasan water line kapal tersebut. Perhitungan wajib dikerjakan dalam 1 buah tabel untuk memperlihatkan konversi Faktor Luasakibat adanya appendages dibagian depan dan belakangbangunan apung.
16
15 15 15 15 15
1198 4
2.57.5
2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2
-
17
Simpsons first rule menggunakan asumsi bahwa kurva merupakan
fungsi parabola orde dua: y = a0 + a1 x + a2 x2, dimanaNilai a0 , a1 , dan a2 adalah sebuah konstanta
y = a0 + a1 x + a2 x2
dx
x
y
0
y1
y3h h
x
y2
18
= 20
AreaDimana y = a0 + a1x + a2x2
= ( + 1 + 22)2
0
= 0 + 12
2 +233 0
2
Area
= 2a0h + 2a1h2 + 8/3 a2h3
y = a0 + a1 x + a2 x2
dx
x
y
0
y1
y3h h
x
y2
-
19
Asumsi luasan dibawah kurva
= Ay1 + By2 + Cy3Dengan mensubstitusikan nilai x = 0, h, 2h pada persamaan
y = a0 + a1x + a2x2Luasan daerah dibawah kurva
= Aa0 + B(a0 + a1h + a2h2) + C(a0 + 2a1h + 4a2h2)= a0 (A + B + C) + a1h (B + 2C) + a2h2 (B + 4C)
2a0h + 2a1h2 + 8/3 a2h3 = a0 (A + B + C) + a1h (B + 2C) + a2h2 (B + 4C)Koefisien dari perumusan diatas:
A + B + C = 2h; B + 2C = 2h, dan B + 4C = 8/3 hSehingga:
A = h/3, B = 4h/3, dan C = h/3 Area = h/3 (y1 + 4y2 + y3)Faktor Simpson (FS) = 1 4 1
20
No.
ordinat
Tinggi
ordinat (yi)
Faktor
Simpson (FS)
yi x FS
1
2
3
4
5
n-1
N
y1y2y3y4y5
yn-1yn
1
4
2
4
2
4
1
y14y22y34y42y5
4yn-1yn
=
Luas = 1/3h
Luas = h/3 (y1 + 4y2 + y3)
yo y1 y2
h h
y1 y2 y3
-
Sebuah kapal dengan Lpp 112,6 dan LWL 104% Lpp memiliki data lebarkapalnya sebagai berikut:
21
-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Station B/2
-2 0.50
-1 1.20
AP 2.20
1 3.15
2 4.25
3 5.30
4 6.50
5 7.40
6 7.90
7 8.20
8 8.39
9 8.39
10 8.39
10 8.39
11 8.39
12 8.39
13 8.15
14 7.70
15 7.00
16 5.90
17 4.35
18 2.75
19 1.20
FP 0.00
Station B/2
Hitung luasan garis air kapal ini dengan
Menggunakan metode Simpson I
22
Data:
Lpp 112.6
LWL 1.04 x Lpp
h Lpp/20
Station B/2 FS B/2 x FS
-2 0.50 0.4 0.20
-1 1.20 1.6 1.92
AP 2.20 1.4 3.08
1 3.15 4 12.60
2 4.25 2 8.50
3 5.30 4 21.20
4 6.50 2 13.00
5 7.40 4 29.60
6 7.90 2 15.80
7 8.20 4 32.80
8 8.39 2 16.78
9 8.39 4 33.56
10 8.39 2 16.78
10 8.39 2 16.78
11 8.39 4 33.56
12 8.39 2 16.78
13 8.15 4 32.60
14 7.70 2 15.40
15 7.00 4 28.00
16 5.90 2 11.80
17 4.35 4 17.40
18 2.75 2 5.50
19 1.20 4 4.80
FP 0.00 1 0.00
371.66
Station B/2 FS B/2 x FS
Area of waterplane 2 x (1/3) x h x 1394.964
-
23
Simpsons first rule menggunakan asumsi bahwa kurva merupakan
fungsi parabola orde dua: y = a0 + a1 x + a2 x2, dimanaNilai a0 , a1 , dan a2 adalah sebuah konstanta
Simpsons second rule menggunakan
asumsi bahwa kurva merupakan
fungsi parabola orde tiga:
y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3dimana nilai a0 , a1 , a2 , dan a3adalah sebuah konstanta
y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
dx
x
y
0
y1 y2 y3 y4
x
h h h
24
y = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3
dx
x
y
0
y1 y2 y3 y4
x
h h h
Area = 30
= ( + 1 + 22 + 33)3
0
= 0 + 12
2 +233 +
234 03
= 30 + 92 12 + 923 +814 34
-
25
Asumsi luasan dibawah kurva
= Ay1 + By2 + Cy3 + Dy4
Dengan mensubstitusikan nilai x = 0, h, 2h, 3h pada persamaan
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
Luasan daerah dibawah kurva
= Aa0 + B(a0 + a1h + a2h2 + a3h3) + C(a0 + 2a1h + 4a2h2 + 8a3h3)+ D(a0 + 3a1h + 9a2h2 + 27a3h3)
= a0 (A + B + C + D) + a1h (B + 2C + 3D) + a2h2 (B + 4C + 9D) + a3h3 (B + 8C + 27D)
Koefisien dari perumusan diatas:
A + B + C + D = 3h B + 2C + 3D = 9/2 hB + 4C + 9D = 9 h B + 8C + 27D = 81/4 h
Sehingga:
A = 3/8h, B = 9/8h, C = 9/8h , dan D = 3/8h Area = 3/8h (y1 + 3y2 + 3y3 + y4)
= a0 (A + B + C + D) + a1h (B + 2C + 3D) + a2h2 (B + 4C + 9D) + a3h3 (B + 8C + 27D)
= 30 + 92 12 + 923 +814 34
26
Faktor Simpson (FS)1 3 3 1
-
27
Luas = h/3 (y1 + 3y2 + 3y3 + y4)
No.
ordinat
Tinggi
ordinat (yi)
Faktor
Simpson (FS)
yi x FS
1
2
3
4
5
n-1
n
y1y2y3y4Y5
yn-1yn
1
3
3
2
3
3
1
y13y23y32y43y5
3yn-1yn
=
Luas = 3/8h
y1 y2 y4
h h
y3
h
Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahui setengah lebar
garis air (ordinat) dari kapal ini berturut-turut dari belakang
(buritan) ke bagian depan (haluan) adalah sebagai berikut:
0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2 ; 0,2
Jika jarak antara tiga ordinat pertama dan tiga ordinat
terakhir adalah setengah dari jarak antar ordinat lainnya,
hitunglah luasan waterplane kapal tersebut dengan
menggunakan metode Simpson I.
28
-
Sebuah bangunan apung memilik data lebar kapalseperti terlihat pada gambar berikut. Denganmenggunakan Metode Simpson I, hitunglah luasan water line kapal tersebut. Perhitungan wajib dikerjakan dalam 1 buah tabel untuk memperlihatkan konversi FaktorSimpson akibat adanya appendages dibagian depan danbelakang bangunan apung.
29
15 15 15 15 15
1198 4
2.57.5
2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2
30
15 15 15 15 15
1198 4
2.57.5
2.5 2.5 5 5 5 5 5 5 2 2
-
Lwl sebuah kapal adalah 72 m. Diketahuisetengah lebar garis air (ordinat) dari kapal iniberturut-turut dari belakang (buritan) kebagian depan (haluan) adalah sebagaiberikut:
0,2 ; 3,5 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 5,5 ; 4,4 ; 2,2
Hitunglah luasan waterplane kapal tersebutdengan menggunakan metode Simpson II.
31
Setengah luas waterplane memiliki ordinat setengah lebar
garis air yang berjarak masing-masing 9 m berturut-turut
dari belakang (buritan) ke bagian depan (haluan) adalah
sebagai berikut:
0,2 ; 4,8 ; 5,8 ; 5,9 ; 5,9 ; 5,8 ; 4,4 ; 0,2
Dengan kombinasi antara Metode Simpson I dan II,
hitunglah luasan waterplane kapal tersebut
32
-
Ship Stability for Masters and Mates, Fourth
Edition, Revised, D.R. Derrett, B-H Newnes,
1990
33