-
JURUSAN TEKNIK SIPIL
UNIVERSITAS ANDALAS
oleh :
Purnawan, PhD
----- Kuliah ke 4 -----
STATISTIKA dan
PROBABILITAS
-
Bab 4 Penggunaan Probabilitas dan
Distribusi Probabilitas
-
Materi Bab 4
Menjelaskan 3 pendekatan untuk menganalisa
probabilitas
Menerapkan aturan umum probabilitas
Menggunakan Theorema Bayesia untuk
probabilitas kondisional
Membedakan antara distribusi probabilitas
diskret dan kontinu
Menghitung expected value dan standard deviation untuk distribusi probabilitas diskret
-
Definisi penting
Probability merupakan kesempatan bahwa sebuah kejadian tidak pasti akan terjadi (nilai
antara 0 dan 1)
Experiment merupakan proses untuk memperoleh hasil dari kejadian yang tidak pasti
Elementary Event hasil yang sangat dasar yang mungkin dari eksperimen sederhana
Sample Space pengumpulan dari semua hasil dasar
-
Ruang Sampel
(sample space) Ruang sampel adalah kumpulan dari semua
kemungkinan yang dihasilkan
Contoh : kemungkinan muka dadu ada 6 muka
Contoh : kemungkinan muka kartu ada 52 muka
-
Kejadian (event)
Kejadian dasar (elementary event) sebuah
hasil dari sebuah ruang sampel dengan satu
karakteristik
- Contoh : Kartu merah dari kumpulan kartu
Kejadian (event) kejadian yang
menghasilkan dua atau lebih hasil secara
serentak
- Contoh : Sebuah kartu as merah dari kumpulan kartu
-
Visualizing Events
Tabel kemungkinan (contingency)
Diagram pohon
Merah 2 24 26
Hitam 2 24 26
Total 4 48 52
As Not As Total
Full Deck
of 52 Cards
Sample
Space
Sample
Space 2
24
2
24
-
Elementary Events
Dari catatan konsultan mobil, tipe bahan bakar
dan tipe kendaraan
2 tipe bahan bakar : Bensin, Diesel
3 tipe kendaraan : Truk, Mobil, SUV
6 possible elementary events:
e1 Bensin, Truk
e2 Bensin, Mobil
e3 Bensin, SUV
e4 Diesel, Truk
e5 Diesel, Mobil
e6 Diesel, SUV
Mobil
Mobil
e1
e2
e3
e4
e5
e6
-
Konsep Probabilitas
Kejadian Mutually Exclusive
Jika E1 terjadi, kemudian E2 tidak terjadi
E1 dan E2 tidak mempunyai elemen yang
berkaitan
Kartu Hitam
Kartu
Merah
Sebuah kartu
tidak dapat
berwarna hitam
dan merah saat
bersamaan.
E1 E2
-
Independent and Dependent Events
- Independent : kejadian yang satu tidak
mempengaruhi probabilitas kejadian yang lain
- Dependent : kejadian yang satu
mempengaruhi probabilitas kejadian yang lain
Konsep Probabilitas
-
Independent Events
E1 = muka koin hasil lemparan pertama
E2 = muka koin hasil lemparan kedua
Hasil dari lemparan koin kedua tidak tergantung oleh
hasil lemparan koin pertama.
Dependent Events
E1 = berita ramalan hujan
E2 = membawa payung pergi kerja
Probabilitas kejadian kedua dipengaruhi oleh
kejadian pertama
Independent vs Dependent Events
-
Perhitungan Probabilitas
Classical Probability Assessment
Kejadian Frekuensi Relatif
Penilaian Probabilitas Subyektif
P(Ei) = Jumlah kejadian Ei yg dpt terjadi
Jumlah total kejadian dasar
Freq. Relatif dari Ei = Jumlah kejadian Ei
N
Sebuah pendapat atau pertimbangan oleh
pengambil keputusan tentang kemungkinan besar
sebuah kejadian
-
Aturan Probabilitas
Aturan utk
Nilai Probabilitas
dan Jumlah
Nilai Individu Jumlah Seluruh Nilai
0 P(ei) 1
Utk setiap
kejadian ei
1)P(ek
1i
i
dimana :
k = jumlah kejadian dasar didalam
suatu ruang sampel
ei = i
th kejadian dasar
-
Aturan Penjumlahan utk Kejadian Dasar
Probabilitas suatu kejadian Ei adalah sama
terhadap jumlah dari probabilitas dari
kejadian dasar Ei.
Sehingga, jika:
Ei = {e1, e2, e3}
kemudian :
P(Ei) = P(e1) + P(e2) + P(e3)
-
Aturan Pelengkap (Complement Rule)
Pelengkap dari suatu kejadian E adalah
kumpulan semua kejadian dasar yangtidak
mengandung kejadian E. Pelengkap dari
kejadian dinyatakan dengan E.
Aturan Pelengkap :
P(E)1)EP( E
E
1)EP(P(E) Atau
-
Aturan Penambahan (addition rule) utk dua kejadian
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)
E1 E2
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2) Jangan dihitung
elemen ini dua kali !
Addition Rule:
E1 E2 + =
-
Contoh : Addition Rule
P(Red Ace) = P(Red) +P(Ace) - P(Red Ace)
= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 Jangan
dihitung
dua As
merah dua
kali !
Black
Color Type Red Total
Ace 2 2 4
Non-Ace 24 24 48
Total 26 26 52
-
Addition Rule utk Mutually Exclusive Events
Jika E1 dan E2 adalah mutually exclusive,
then
P(E1 E2) = 0
Sehingga :
P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2)
= P(E1) + P(E2)
E1 E2
-
Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability)
Conditional probability untuk setiap
dua kejadian E1 , E2 :
)P(E
)E P(E)E|P(E
2
2121
0)P(Edimana 2
-
Berapa probabilitas bahwa sebuah mobil
mempunyai CD player dan AC ?
Misal : Kita ingin menghitung P(CD | AC)
Contoh : Conditional Probability
Pada kumpulan mobil bekas yang banyak, 70% mempunyai AC dan 40% mempunyai CD player serta 20% dari mobil tsb mempunyai keduanya
-
No CD CD Total
AC .2 .5 .7
No AC .2 .1 .3
Total .4 .6 1.0
Pada kumpulan mobil bekas yang banyak, 70% mempunyai AC dan 40% mempunyai CD player serta 20% dari mobil tsb mempunyai keduanya
.2857.7
.2
P(AC)
AC)P(CDAC)|P(CD
(lanjutan)
Contoh : Conditional Probability
-
Contoh : Conditional Probability
No CD CD Total
AC .2 .5 .7
No AC .2 .1 .3
Total .4 .6 1.0
Untuk mobil ber-AC, kita hanya melihat baris atas (70% mobil). Pada baris ini, 20% mobil mempunyai CD player. 20% dari 70% adalah sekitar 28.57%.
.2857.7
.2
P(AC)
AC)P(CDAC)|P(CD
(lanjutan)
-
Independent Events
Conditional probability untuk
independent events E1 , E2:
)P(E)E|P(E 121 0)P(Edimana 2
)P(E)E|P(E 212 0)P(Edimana 1
-
Multiplication Rules
Multiplication rule untuk 2 kejadian E1 dan E2 :
)E|P(E)P(E)EP(E 12121
)P(E)E|P(E 212 Note: Jika E1 dan E2 independent, lalu
Dan multiplication rule disederhanakan menjadi
)P(E)P(E)EP(E 2121
-
Contoh : Diagram Pohon
Diesel P(E2) = 0.2
Gasoline
P(E1) = 0.8
Car: P(E4|E1) = 0.5
P(E1 and E3) = 0.8 x 0.2 = 0.16
P(E1 and E4) = 0.8 x 0.5 = 0.40
P(E1 and E5) = 0.8 x 0.3 = 0.24
P(E2 and E3) = 0.2 x 0.6 = 0.12
P(E2 and E4) = 0.2 x 0.1 = 0.02
P(E3 and E4) = 0.2 x 0.3 = 0.06
Car: P(E4|E2) = 0.1
-
Teorema Bayes
where:
Ei = ith event of interest of the k possible events
B = new event that might impact P(Ei)
Events E1 to Ek are mutually exclusive and collectively
exhaustive
)E|)P(BP(E)E|)P(BP(E)E|)P(BP(E
)E|)P(BP(EB)|P(E
kk2211
iii
-
A drilling company has estimated a 40%
chance of striking oil for their new well.
A detailed test has been scheduled for more
information. Historically, 60% of successful
wells have had detailed tests, and 20% of
unsuccessful wells have had detailed tests.
Given that this well has been scheduled for a
detailed test, what is the probability that the well will be successful?
Contoh : Teorema Bayes
-
Let S = successful well and U = unsuccessful well
P(S) = 0.4 , P(U) = 0.6 (prior probabilities)
Define the detailed test event as D
Conditional probabilities:
P(D|S) = 0.6 P(D|U) = 0.2
Revised probabilities
Event Prior
Prob.
Conditional
Prob.
Joint
Prob.
Revised
Prob.
S (successful) 0.4 0.6 0.4*0.6 = 0.24 0.24/0.36 = 0.67
U (unsuccessful) 0.6 0.2 0.6*0.2 = 0.12 0.12/0.36 = 0.33
Sum = .36
(continued)
Contoh : Teorema Bayes
-
Given the detailed test, the revised probability
of a successful well has risen to .67 from the
original estimate of .4
Contoh : Teorema Bayes
Event Prior
Prob.
Conditional
Prob.
Joint
Prob.
Revised
Prob.
S (successful) 0.4 0.6 0.4*0.6 = 0.24 0.24/0.36 = 0.67
U (unsuccessful) 0.6 0.2 0.6*0.2 = 0.12 0.12/0.36 = 0.33
Sum = .36
(lanjutan)
-
Introduction to Probability Distributions
Random Variable
Represents a possible numerical value from
a random event
Random Variables
Discrete
Random Variable
Continuous
Random Variable
-
Experiment: Toss 2 Coins. Let x = # heads.
T
T
Discrete Probability Distribution
4 possible outcomes
T
T
H
H
H H
Probability Distribution
0 1 2 x
x Value Probability
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
.50
.25
Pro
bab
ilit
y
-
A list of all possible [ xi , P(xi) ] pairs
xi = Value of Random Variable (Outcome)
P(xi) = Probability Associated with Value
xis are mutually exclusive
(no overlap)
xis are collectively exhaustive
(nothing left out)
0 P(xi) 1 for each xi
S P(xi) = 1
Discrete Probability Distribution
-
Discrete Random Variable Summary Measures
Expected Value of a discrete distribution (Weighted Average)
E(x) = Sxi P(xi)
Example: Toss 2 coins,
x = # of heads,
compute expected value of x:
E(x) = (0 x .25) + (1 x .50) + (2 x .25) = 1.0
x P(x)
0 .25
1 .50
2 .25
-
Standard Deviation of a discrete distribution
where:
E(x) = Expected value of the random variable
x = Values of the random variable
P(x) = Probability of the random variable having the value of x
Discrete Random Variable Summary Measures
P(x)E(x)}{x 2x
(continued)
-
Example: Toss 2 coins, x = # heads, compute standard deviation (recall E(x) = 1)
Discrete Random Variable Summary Measures
P(x)E(x)}{x 2x
.707.50(.25)1)(2(.50)1)(1(.25)1)(0 222x
(continued)
Possible number of heads
= 0, 1, or 2
-
Two Discrete Random Variables
Expected value of the sum of two discrete random variables:
E(x + y) = E(x) + E(y)
= S x P(x) + S y P(y)
(The expected value of the sum of two random variables is the sum of the two expected values)
-
Covariance
Covariance between two discrete random
variables:
xy = S [xi E(x)][yj E(y)]P(xiyj)
where:
xi = possible values of the x discrete random variable
yj = possible values of the y discrete random variable
P(xi ,yj) = joint probability of the values of xi and yj occurring
-
Covariance between two discrete random
variables:
xy > 0 x and y tend to move in the same direction
xy < 0 x and y tend to move in opposite directions
xy = 0 x and y do not move closely together
Interpreting Covariance
-
Correlation Coefficient
The Correlation Coefficient shows the strength of the linear association between two variables
where:
= correlation coefficient (rho) xy = covariance between x and y x = standard deviation of variable x y = standard deviation of variable y
yx
yx
-
The Correlation Coefficient always falls
between -1 and +1
= 0 x and y are not linearly related.
The farther is from zero, the stronger the linear
relationship:
= +1 x and y have a perfect positive linear relationship
= -1 x and y have a perfect negative linear relationship
Interpreting the Correlation Coefficient
-
Chapter Summary
Described approaches to assessing probabilities
Developed common rules of probability
Used Bayes Theorem for conditional
probabilities
Distinguished between discrete and continuous
probability distributions
Examined discrete probability distributions and
their summary measures
-
See you
in the next chapter