dimensi tiga · pdf fileadalah titik pusat bidang abfe dan titik q terletak pada rusuk hg...

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

DIMENSI TIGA

Soal 1

Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD.

Tentukan panjang EP!

Jawab:

Lihat gambar!

Panjang EP didapat dengan rumus Pythagoras

22 APEAEP

dari EAP yang siku-siku di A.

Panjang EA = rusuk = 4 cm sudah diketahui,

sedangkan panjang AP perlu dicari dahulu!

Dengan memperhatikan ADP yang siku-siku di D, maka

2041624 2222 DPADAP cm.

Sehingga 6362016)20(4 2222 APEAEP cm.

Sepertinya semangat belajar mulai tumbuh bersemi seiring dengan dikerjakannya

soal-soal yang mudah.


Soal 2

Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 12 cm, BC = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik P

adalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG sedemikian sehingga

HQ : QG = 3 : 1. Tentukan panjang PQ!

Jawab:

Lihat gambar!

Karena HQ = QG = 3 : 1 dan HQ = AB = 12 cm, maka:

Panjang 9124

312

13

3

HQ cm dan 312

4

112

13

1

QG cm.

Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas ABCD, sehingga memotong bidang alas di titik R

dan S. Proyeksikan S ke rusuk AB, namakan titik proyeksinya tersebut dengan titik U.

Namakan pula titik tengah QS dengan titik T.

QTP adalah segitiga siku-siku di T.1

SUR adalah segitiga siku-siku di U.

Perhatikan QTP , 22 TQPTPQ .

Panjang cm. 3cm 621 TQ Sedangkan panjang PT perlu dicari dahulu.

Panjang PT = panjang RS.

Perhatikan SUR , .22 USRURS

Panjang US = 8 cm, sedangkan panjang ARAURU

ABDS21

3691221 HQ cm.


Sehingga 7364983 2222 USRURS cm.

Maka 73 RSPT cm.

Jadi, 82973373 2222 TQPTPQ cm.

Soal 3

Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 6 cm. Titik X terletak pada perpanjangan

garis SR, sedemikian sehingga SX : RX = 5 : 2. Tentukan panjang UX!

Jawab:

Perhatikan gambar!

Karena SX : RX = 5 : 2, maka SR : RX = 3 : 2.

Panjang SR = 6 cm , maka 4632 RX cm.

Perhatikan QRX siku-siku di R.

52163646 2222 RXQRQX cm.

Perhatikan UQX siku-siku di Q.

222224885236)52(6 2222 QXUQUX cm.


Soal 4

Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik E ke rusuk BC!

Jawab:

Ingat definisi jarak titik ke garis !

Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PP’ yang tegak lurus garis g,

dimana titik P’ terletak pada garis g.

Sekarang lihat gambar di bawah!

Oooh…. Intinya harus

tegak lurus! Siiiiip deh!


Jarak titik E ke rusuk BC adalah EB, sebab EB tegak lurus BC.

Jadi, 2555 2222 ABEAEB cm.

Soal 5

Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD?

Jawab:

Perhatikan gambar di bawah!

Jarak titik G ke garis BD adalah GP, dengan P titik tengah BD. Sebab GP tegak lurus BD.

22 CGPCGP .

Panjang aCG cm, sedangkan 22

21

21 BCABACPC

22212

2122

21 aaaa cm.

Sehingga 22

4122

2122 2.)2( aaaaCGPCGP

6212

462

442

4222

42 aaaaaa cm.


Soal 6

Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 10 cm, BC = 8 cm dan CG = 6 cm.

Berapa cm jarak titik G ke garis BD?

Jawab:

Lihat gambar di atas! Jarak G ke garis BD adalah GP, tapi P bukan titik tengah BD

(bangun ruang yang diberikan adalah balok, bukan kubus, jadi P bukan titik tengah BD.

Berbeda dengan Soal 5)

Pertama, cari dulu GBP ( GBD ) dengan aturan cosinus pada GBD , yaitu:

BDBG

DGBDBGGBD

2cos

222

.

Hitung dulu panjang BG, BD, dan DG:

10100366468 2222 CGBCBG cm.

41241416464100810 2222 ADABBD cm.

34234413636100610 2222 CGDCDG cm.

Sehingga

412102

)342()412(10

2cos

222222

BDBG

DGBDBGGBD

415

16

4140

128

4140

136164100

.

Perhatikan ,GBP

BG

GPGBP sin


GBPBGGP sin

GBDBG sin (sebab GBDGBP )

Sudah diketahui 415

16cos GBD . Gunakan segitiga bantu untuk memperoleh nilai

.sin GBD

Maka 415

769sin GBD .

Akibatnya GBDBGGP sin

3152941

41

41

7692

41

7692

415

76910

412 cm.

Soal 7

Kubus KLMN.OPQR mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik M ke diagonal ruang KQ!

Jawab:

Lihat gambar! Misalkan titik S adalah titik proyeksi tegak lurus titik M ke garis KQ.

Maka jarak yang diminta adalah MS. Panjang rusuk kubus r = 6.

Perhatikan:

363 rKQ cm (diagonal

ruang)

262 rKM cm (diagonal

bidang)

16

415

769

2561025

16)415( 22


Gunakan metode menghitung luas segitiga sewaktu di bangku SD:

KMQLuasKMQLuas

tinggialastinggialas 21

21

MSKQMQKM

MS 36626

36

626 MS

3

26

623

66

3

3

3

26 cm.

Alangkah senangnya mengingat kembali rumus waktu SD!

L = ½ x alas x tinggi

Soal 8

Tentukan besar BEG pada kubus ABCD.EFGH !

Jawab:

Panjang rusuk kubus tidak diketahui! Tapi tenang, jangan panik!

Kita misalkan saja panjang rusuk kubus = r.

Perhatikan bahwa:

2rBG (diagonal bidang)

2rBE (diagonal bidang) samasisi segitiga BEG

2rEG (diagonal bidang) 60 BEG .


Soal 9

Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 11 cm. Tentukan jarak titik G ke bidang ABFE!

Jawab:

Definisi jarak titik ke bidang:

Jarak titik P ke bidang

adalah panjang ruas garis

yang melalui titik P dan

sebuah titik pada bidang

, sedemikian sehingga

ruas garis tersebut tegak

lurus bidang .

Pada gambar di samping,

jarak titik P ke bidang

adalah d.

Kembali pada soal,

jarak titik G ke bidang ABFE adalah GF, sebab GF tegak lurus bidang ABFE.

Jadi, jaraknya adalah GF = 11 cm.

Intinya:

Haruz tegak luruzz!!


Soal 10

Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik F ke bidang ACH!

Jawab:

Perhatikan gambar!

Misalkan P adalah titik tengah AC. Misalkan pula R adalah titik pada bidang atap EFGH

dengan PR sejajar CG. Dengan mempertimbangkan kesimetrisan bentuk, maka jarak

titik F ke bidang ACH adalah jarak titik F ke garis HP. Misalkan titik proyeksi tegak

lurus F ke garis HP adalah Q. Maka jarak yang diminta adalah jarak FQ.

Perhatikan:

26AC cm (diagonal bidang)

232621

21 ACAP cm.

26AH cm (diagonal bidang)

HPA siku-siku di P, maka 2222 )23()26( APAHHP

63541872 cm.

Dengan cara yang sama, 63PF cm. (Sadarilah PF = HP)

6CGPR cm.

26HF cm.

Untuk mendapatkan jarak FQ, gunakan:


HPFLuasHPFLuas


21

PRHFFQHP

62663 FQ

63

626 FQ

3433

12

3

12

63

236 cm.

Soal 11

Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 8 cm, BC = 4 cm dan CG = 4 cm. Tentukan

jarak titik B ke bidang ACGE!

Jawab:

Perhatikan gambar!

Jarak titik B ke bidan ACGE sama dengan jarak titik B ke garis AC. Misalkan proyeksi

tegak lurus titik B pada AC adalah M, maka jarak yang diminta adalah BM.

ABC siku-siku di B, maka 2222 48 BCABAC

54801664 cm.

Untuk menghitung garis tinggi BM, gunakan:

ABCLuasABCLuas



21

BCABBMAC

4854 BM

55

8

5

8BM cm.

Soal 12

Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas AB = BC = CD = DA =

8 cm dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = TD = 12 cm. Titik P adalah pusat bidang alas

ABCD. Tentukan jarak titik P ke bidang TBC!

Jawab:

Perhatikan gambar!

Misalkan E titik tengah BC. Perhatikan bahwa jarak P ke bidang TBC sama dengan jarak

P ke garis TE. Misalkan Q adalah titik proyeksi tegak lurus P ke garis TE. Maka jarak

yang diminta adalah panjang PQ.

Perhatikan:

24282

188

2

1

2

1

2

1 2222 BCABACAP cm.

Karena TPA siku-siku di P, maka:

7411232144)24(12 2222 APTATP cm.


Sementara itu,

482

1

2

1 ABPE cm.

Karena TEB siku-siku di E, maka:

2812816144412 2222 BETBTE cm.

Untuk mendapatkan garis tinggi PQ, gunakan:

TPELuasTPELuas


21

PQTETPPE

PQ 28744

28

744PQ

28

716

2

72

142

2

2

72 cm.

Soal 13

Bidang empat T.ABC mempunyai ukuran rusuk 12 cm. Tentukan tinggi bidang

empat tersebut (yaitu jarak titik T ke bidang alas ABC)!

Jawab:

Bidang empat (tetrahedron) adalah bangun

ruang yang terdiri dari empat bidang,

dengan semua rusuknya sama panjang,

merupakan limas segitiga beraturan.

Garis tinggi bidang empat adalah TP, dengan

P adalah titik berat segitiga ABC, yaitu

perpotongan garis-garis berat AD, BE, dan

CF.

Garis berat membagi sisi (rusuk) di

hadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Jadi, AF = FB = 6 cm, BD = DC = 6 cm,

AE = EC = 6 cm.


Pertama, cari dulu panjang CF.

Karena CFB siku-siku di F, maka:

3633610836144612 2222 BFBCCF cm.

P adalah titik berat segitiga ABC, maka

34363

2

3

2 CFCP cm.

Karena TPC siku-siku di P, maka:

646169648144)34(12 2222 CPTCTP cm.

Jadi, tinggi bidang empat tersebut adalah 64 cm.

Soal 14

Balok KLMN.OPQR memiliki ukuran KL = 6 cm, LM = 5 cm, dan KO = 10 cm. Tentukan

sudut yang dibentuk oleh :

a) Garis PQ dengan garis KP

b) Garis PQ dengan OL

Jawab:

Lihat gambar!

a) Perhatikan bahwa:

POKLPQPOPQ

PLPQ bidang

(Inga: Jika garis g tegak lurus terhadap garis a dan garis b, maka garis g tegak lurus

terhadap bidang yang dibentuk oleh garis a dan garis b.)


KPPQPOKLKP

POKLPQ

bidang pada terletak

bidang

(Inga: Jika garis g tegak lurus bidang U, maka garis g tegak lurus

semua garis yang terletak pada bidang U tersebut)

Karena tegak lurus, maka sudut yang dibentuk oleh PQ dan KP adalah 90o.

b) Perhatikan bahwa garis PQ dan OL bersilangan, dan kedua garis itu tidak akan

berpotongan. Kalau begitu, bagaimana cara menentukan sudut antara kedua garis

tersebut?

Caranya adalah dengan menggeser-sejajar salah satu garis, hingga berpotongan dengan

garis yang satunya lagi. Pada soal, kita dapat menggeser sejajar garis PQ menjadi OR,

sehingga sudut antara PQ dan OL sama dengan sudut antara OR dan OL, yang besarnya

adalah 90o.

Soal 15

Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 3 cm. Titik I terletak pada HG, sehingga HI = 1 cm.

Jika ACI , tentukan nilai tan .

Jawab:

Lihat gambar!

Misalkan proyeksi tegak lurus titik I ke bidang alas adalah titik J. Jelas DJ = HI = 1 cm.

Untuk mencari ACI , kita hitung dulu panjang ketiga sisi dari ACI .

Ini tips lho!


2333 2222 BCABAC cm.

139432 2222 GCIGIC cm.

22 IJAJAI

Panjang IJ = 3 cm, sedangkan 1013 2222 DJADAJ cm.

Sehingga:

199103)10( 2222 IJAJAI cm.

Gunakan rumus cosinus:

ICAC

AIICACACI

2cos

222

13232

)19()13()23(cos

222

266

191318

26

2

266

12 .

Gunakan segitiga bantu untuk mendapatkan nilai tan .

Ingatlah miring sisi

samping sisicos dan

samping sisi

depan sisitan

Jadi, .2

22

samping sisi

depan sisitan

2

26

22

426

2)26( 22


Soal 16

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r cm, bidang BDG membagi kubus menjadi

dua bagian, yang satu kecil dan yang lain besar. Berapakah perbandingan volume dua bagian

tersebut?

Jawab:

Lihat gambar!

Bidang BDG membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian, yaitu:

dan

Volume bagian I adalah:

3

16

1

2

1

3

1tinggialas Luas

3

1rrrrV

Volume bagian II adalah:

333

1kubus total26

5

6

1rrrVVV

Jadi, perbandingan volumenya:

5:16

5:

6

1: 33

21 rrVV

dimensi tiga · pdf fileadalah titik pusat bidang abfe dan titik q terletak pada rusuk hg...

Documents