dereta aritmatika dan geometri

BAHAN SUMBER BELAJAR MATEMATIKA SMA Kelas 12 1

Dereta Aritmatika dan Geometri

Kompetensi Dasar

5.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan

geometri.

Indikator

1. Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika. 2. Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret geometri.

Barisan dan Deret Aritmatika

Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati speedometer pada motor tersebut ? Pada speedometer terdapat angka-angka 0, 20, 40, 60, 80, 100, dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari yang terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga membentuk sebuah barisan aritmetika.

Sebelum belajar mengenai deret aritmatika dan deret geometri, sebaiknya pelajari materi tentang barisan aritmatika dan barisan geometri.

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas :XII/Semester Genap


1. Barisan Aritmatika Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum: U1, U2, U3, . . ., Un atau a, (a + b), (a + 2b), . . ., (a + (n - 1)b)

Pada barisan aritmetika, berlaku Un - Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b

Tampak bahwa:

Un = a + (n - 1) b

Suku ke-n barisan aritmetika adalah:

Un = a + (n - 1) b,

dengan Un=suku ke-n

a = suku pertama

b= beda

n= banyaknya suku Contoh:

Diketahui barisan 5, -2, -9, -16, …, tentukanlah: a. rumus suku ke-n b. suku ke-25


Penyelesaian: Selisih dua suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16, … adalah tetap, yaitu b = -7 sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. a. Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah a + (n - 1) b Un = 5 + (n - 1)(-7) = 5 - 7n + 7 = 12 - 7n b. Suku ke-25 barisan aritmetika tersebut adalah U25 = 12 - 7.25 = 12 - 175 = -163

2. Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika. Bentuk umum:

U1 + U2 + U3 + .... + Un atau a + (a + b) + (a + 2b) + . . .+ (a + (n - 1)b) Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

di mana Sn = Jumlah suku ke-n n = banyaknya suku a = Suku pertama b = Beda Un = Suku ke-n Contoh: Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5. Jumlah suku keempat dan suku keenam adalah 28. Tentukanlah suku kesembilannya.

Penyelesaian: U2 = 5, berarti a + b = 5 U4 + U6 = 28, berarti:


(a + 3b) + (a + 5b) = 28 (a + b + 2b) + (a + b + 4b) = 28 (5 + 2b) + (5 + 4b) = 28 10 + 6b = 28 6b = 18 b = 3 Dengan mensubstitusi b =3 ke a + b +5, didapat a + 3 = 5 sehingga a = 2. Jadi, suku kesembilan deret aritmetika tersebut adalah U9 = 2 + 8.3 = 26

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum: U1, U2, U3, . . ., Un atau a, ar, ar2, . . ., arn + 1

Perhatikan gambar berikut.

Contoh: Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, ... Tentukanlah: a. rumus suku ke-n b. suku ke-8


Penyelesaian: Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, 9, 3, 1, ... adalah tetap, yaitu r = 1/3, sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

a. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah: Un = 27.(1/3)n-1

=33(3-1)n-1

= 34-n

b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah U8=34-8=1/81 .

2. Deret Geometri

Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret geometri.

Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri. Bentuk umum:

U1 + U2 + U3 + . .. + Un atau a +ar + ar2 +. . .+ arn + 1 Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah

dengan Sn = Jumlah suku ke–n a = Suku pertama r = Rasio n = Banyaknya suku

Contoh 1: Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut !


Penyelesaian: U2 = 8, berarti ar = 8

U5 = 64, berarti ar4=64 ar.ar3 =64 8r3=64 r3=8 Sehingga r = 2. Dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, diperoleh a.2 = 9, sehingga a = 4.

Jumlah n suku pertama deret ini adalah Sn = [4(1-2n)/(1-2) = 22+10 - 4 = 4092. Jadi jumlah 10 suku pertama deret ini adalah S10 = 4092. (dengan memasukan rumus Sn dari langkah sebelumnya)

Contoh 2:

Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm, berapakah panjang tali semula ?

Penyelesaian:

Panjang potongan yang paling pendek merupakan U1, sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U5. Jadi, U1 = 2 cm dan U5 = 162 cm. Dari U1 = 2 cm, didapat a = 2 cm. Dari U5 = 162 cm, didapat ar4 = 162 cm. Oleh karena a = 2 cm, maka 2 . r4 = 162 cm. Didapat, r4 = 81.

Rumus-rumus penting: 1. Barisan arimetika adalah barisan bilangan dengan selisih setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Selisih dua suku berurutannya disebut beda (b). Bentuk umum

suku ke–n barisan aritmetika dituliskan sebagai berikut.


dengan Un = Suku ke–n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

2. Deret aritmetika adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmetika. Bentuk umum

jumlah n suku pertama deret aritmetika dituliskan sebagai berikut.

dengan Sn = Jumlah suku ke–n n = Banyaknya suku a = Suku pertama b = Beda Un = Suku ke–n

3. Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap dua suku berurutannya disebut rasio (r). Bentuk umum suku ke–n barisan geometri dituliskan sebagai berikut.

dengan Un = Suku ke–n a = Suku pertama r = Rasio n = Banyaknya suku

4. Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret geometri dituliskan sebagai berikut.


dengan Sn = Jumlah suku ke–n a = Suku pertama r = Rasio n = Banyaknya suku

Latihan Soal

1. Diketahui barisan aritmatika 7, 11, 15, 19, ...

a. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan tersebut. b. Suku ke-11 dari barisan tersebut.

2. Diketahui barisan 6, 17, 28, 39, ... Tentukan: a. sumus jumlah n suku pertama; b. jumlah 10 suku pertamanya

3. Diketahui barisan geometri 2, 8 , 32, ... Tentukan: a. suku pertama dan rasio b. rumus suku ke-n c. U5 dan U11

4. Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 + .... Tentukan: a. rumus jumlah n suku pertama b. jumlah 7 suku pertamanya


Daftar Pustaka

1. E.S, Pesta & Anwar H.F.S, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA Kelas

XII Program Studi Ilmu Alam. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.

2. Achmadi, Gei dkk. 2007. Mahir Matematika 3 untuk Kelas XII SMA/MA Program

Bahasa. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.

Sumber Web :

http://www.googleimages.com

dereta aritmatika dan geometri

Documents