CONTOH SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA SMP1. Dengan menggunakan angka-angka 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, berapakah bilangan bulat terbesar yang terdiri atas 8 angka yang dapat dibentuk dengan syarat kedua angka 1 dipisahkan oleh satu angka yanglain, kedua angka 2 dipisahkan oleh dua angka, kedua angka 3 dipisahkan oleh tiga angka dan kedua angka 4 dipisahkan oleh empat angka?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2003, 23 Juni 2003)2. Notasi ]xmenyatakanbilanganbulatterbesaryanglebihkecil dari atau samadenganx. Sebagai contoh,2371]1

,121 1]1

. Makahubunganyang benar di antara dua bilangan bulat ]3 2 s dan ] ]3 2 t adalah.....(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2003, 7 Juli 2003)3. Diketahui10 xdan21 x. Sedangkan untuk2 ndidefinisikan 2 12 122 ++n nn nnx xx xx. Maka nilai ..... 23 2 + x x(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2003, 7 Juli 2003)4. Buktikan bahwa jika 2 > a dan 3 > b, maka b a ab 2 3 6 + > +.(Olimpiade Sains Nasional II 2003 Matematika SMP, Hari I Balikpapan, 16 September 2003)5. Untuk menghitung16 ) 1992 )( 1994 )( 1996 )( 1998 ( +, seseorang melakukannya dengancara sederhanasebagai berikut:5 5 2000 5 2 20002 2 + . Apakah cara yang dilakukan orang itu dapat dibenarkan? Mengapa?(Olimpiade Sains Nasional II 2003 Matematika SMP, Hari I Balikpapan, 16 September 2003)6. Diketahui 0 + + c b a. Tunjukkan bahwa abc c b a 33 3 3 + +.(Olimpiade Sains Nasional II 2003 Matematika SMP, Hari I Balikpapan, 16 September 2003)7. Diketahui bahwa21 a,32 a. Untuk2 > kdidefinisikan bahwa 1 312 21 + k k ka a a. Tentukan jumlah tak hingga dari + + +3 2 1a a a.(Olimpiade Sains Nasional II 2003 Matematika SMP, Hari II Balikpapan, 17 September 2003)8. Buktikanbahwa) 1 ( ) 1 (3+ n n nsenantiasahabisdibagi oleh6untuksemua bilanganasli n. (Olimpiade Sains Nasional II 2003 Matematika SMP, Hari II Balikpapan, 17 September 2003)9. Pecahantsadalah pecahan sejati jikas p sehingga p membagi 51 37 712 2 .(Olimpiade Sains Nasional III 2004 Matematika SMP, Hari I Pekanbaru, 25 Agustus 2004)14. 10 pasang suami istri mengikuti suatu pesta. Mereka kemudian saling berjabatan tangan satu sama lain. Namun demikian, setiap pasang suami istri tidak pernah saling berjabatan tangan. Maka banyaknya jabatan tangan yang terjadi adalah.....(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2005, 20 Juni 2005)15. Semua pasangan bilangan asli m dan n yang memenuhi persamaan 13 2 +n m adalah.....(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2005, 20 Juli 2005)16. Seseorang memiliki sejumlah koin senilai 1000 rupiah. Setelah diperhatikan dengan seksama, ternyata koin yang dimilikinya terdiri dari tiga macam koin di antara 4 macam koin yang sekarang masih berlaku (500-an, 200-an, 100-andan50-an). Selidiki dantentukanberapabanyakkombinasi koinyang mungkin dimiliki oleh orang tersebut.(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2005, 20 Juli 2005)17.Adaberapabanyakkahpasanganterurutbilanganasli( ) b a,dengansyarat b a < dan FPB ( ) b a, = 4 serta KPK ( ) b a, =140 ?(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2005, 20 Juli 2005)18. Aadalahsuatuhimpunan bilangan. HimpunanAmemiliki sifat tertutup terhadappengurangan, artinyahasil penguranganduabilangandiAakan menghasilkan bilangan diA juga. Jika diketahui dua anggota dari A adalah 4 dan 9, tunjukkan bahwa:a.A 0b.A 13c.A 74d. Selanjutnya daftarlah semua anggota himpunan A(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari I Jakarta, 6 September 2005)19. Pasanganempat bilangan( ) 1 , 4 , 0 , 2adalahsalahsatuselesaian/jawabdari 74 3 2 1 + + + x x x x. Jika semesta pembicaraanpada persamaanini adalah himpunan semua bilangan bulat tidak negatif, tentukan banyak selesaian/jawab yang mungkin dari 74 3 2 1 + + + x x x x.(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari I Jakarta, 6 September 2005)20. Tentukan semua pasanganbilangan bulat( ) y x,yangmemenuhi sistem persamaan berikut' + +1 ) 1 (1 ) 1 (22x x yy y x(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari I Jakarta, 6 September 2005)21. Diketahui gambar berikut. ABCD adalah persegi dan E adalah titik sebarang di luarpersegiABCD. Selidiki apakahberlakuhubungan2 2 2 2DE BE CE AE + + pada gambar di samping.(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari I Jakarta, 6 September 2005)22. Pola pada gambar-gambar di bawah adalah: Gambar berikutnya diperoleh denganmenambahkangambar segitiga sama sisi berwarnahitamyang ukuran sisinya setengah dari sisi masing-masing segitiga warna putih yang tersisapadagambar sebelumnya. Misalkanpola tersebut berkelanjutan (kontinu) sampai tak hingga.a. Jika diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada Gambar 1 adalah 1 satuanluas, tentukanluaskeseluruhandaerahyangdibentukoleh segitiga-segitiga hitam pada Gambar 5.b. Andaikata Anda diminta untukmenemukan luaskeseluruhandaerah yangdibentukolehsegitiga-segitigahitampadaGambar20, rumus yang bagaimanakah yang bisa Anda gunakan?(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari II Jakarta, 7 September 2005)23. Untuk setiap pasangan bilangan aslia dan b, kita definisikan b a ab b a + *. Bilangan asli x dikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yangmemenuhin y x *. Sebagai contoh, 2adalahpenyusun6karena terdapat bilangan asli 4 sehingga6 4 2 8 4 2 4 2 4 * 2 + + . Tentukan semua penyusun 2005.(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari II Jakarta, 7 September 2005)24. Diketahui bentuk n y x +2 23, dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat. a. Jika20 < n, bilanganberapasajakahntersebut dandiperolehdari pasangan ( ) y x, apa saja?b. Tunjukkan bahwa tidak mungkin menghasilkan 8 32 2 + y x.(Olimpiade Sains Nasional IV 2005 Matematika SMP, Hari II Jakarta, 7 September 2005)25. Semua pasangan bilangan real( ) y x,yang memenuhi5 4 22 2 + y x y x adalah.....(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2006, 28 Juni 2006)26. Banyaknya faktor dari 4200 yang merupakan bilangan ganjil positif adalah.....(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2006, 28 Juni 2006)27. Jika FPB dari bilangan bulat positif a dan b tidak kurang dari 15 dan KPK-nya tidak lebih dari 32, maka banyaknya pasangan bilangan bulat adan byang mungkin adalah.....(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2006, 20 Juli 2006)28. Jikanadalahbilanganasli, makabentukpalingsederhanadari perkalian

,_

,_

,_

,_

2 2 2 211411311211nadalah.....(Seleksi Tingkat Provinsi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMP 2006, 20 Juli 2006)29. Diketahui angkaN1219 9999 999 99 9 + + + + . Tentukan nilai N.(Olimpiade Sains Nasional V 2006 Matematika SMP, Hari I Semarang, 6 September 2006)