contoh-soal-kalkulus-iii
TRANSCRIPT
SOAL – SOAL DAN JAWABAN KALKULUS III Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus III
Dosen : Dra.Haniek SP, MPd
Disusun oleh :
Muhammad Adib Achsan (08144100088)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2010
DAFTAR ISI
Halaman Sampul ........................................................................................................... 1
Daftar Isi ....................................................................................................................... 2
1. Barisan Tak Terhingga ...................................................................................... 3 2. Deret Tak Terhingga .......................................................................................... 3. Deret Positif :
a) Uji Integral............................................................................................. b) Uji Banding Limit ..................................................................................
4. Deret Kuasa dan Operasi Deret Kuasa ............................................................... 5. Deret Taylor dan MacLaurin .............................................................................. 6. Fungsi Dua Peubah atau Lebih........................................................................... 7. Turunan Parsial ................................................................................................. 8. Limit dan Kekontinuan ...................................................................................... 9. Keterdeferensialan ............................................................................................. 10. Aturan Rantai ....................................................................................................
BARISAN TAK TERHINGGA
Diketahui rumus eksplisitnya 푎 untuk barisan { 푎 }. Tuliskan dari tiap barisan itu lima suku yang pertama. Tentukan apakah barisan konvergen atau divergen. Apabila konvergen, tentukan lim → ∞ 푎 .
1. 풂풏 = ퟑ풏ퟐ ퟐ풏 ퟒ
Jawab =
푎 = . = 1 푎 = . =
푎 = . =
푎 =3.5 + 2
5 + 4 =779
푎 = . =
I I I I I I I I I
0 1
lim→∞
푎 = lim→
3푛 + 2푛 + 4 = lim
→∞
3푛 /푛푛푛
= lim →∞ = lim →∞ 6 = 6
Jadi 푎 = , adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah 6.
2. 풂풏 = 풏ퟐ풏 ퟏ
Jawab =
푎 =.
= 1 푎 =.
=
푎 =.
= 푎 =.
=
푎 =.
=
I I I I I I
0 1
lim → 푎 = lim → = lim →
= lim → =
Jadi barisan diatas adalah konvergen, dan nilai limitnya adalah .
3. 풂풏 = (−ퟏ)풏 ퟑ풏ퟐ풏 ퟐ
Jawab =
푎 = −1 ..
= − 푎 = −1 ..
=
푎 = −1.
= 푎 = −1 ..
= −
푎 = −1 ..
= −
Kerena barisan diatas adalah deret divergen maka nilai limitnya tidak ada.
4. 풂풏 풏ퟑ풏 ퟏ
Jawab =
푎 = .
= 푎 =.
=
푎 =.
= 푎 =.
=
푎 =.
=
푎 = , adalah konvergen.
lim→
푎 = lim→
푛3푛 − 1 = lim
→
푛푛
3푛푛 − 1
푛
=
=
Jadi nilai limitnya adalah =
5. 풂풏 ퟒ풏ퟐ ퟏ
풏ퟐ ퟐ풏 ퟑ
푎 = ..
= 푎 = ..
= 푎 = .
.=
푎 =4.5 + 1
5 − 2.5 + 3=
10118
푎 = ..
= 퐽푎푑푖 푎 konvergen dan limitnya adalah 4.
lim→∞
푎 = lim→
4푛 + 1푛 − 2푛 + 3 = lim
→∞
4푛 /푛푛푛
= lim →∞ = lim →∞ 4 = 4
DERET TAK TERHINGGA
Tentukan jumlah deret berikut ini dan tentukan hasil bilangan desimal sebagai hasil bagi dua bilangan bulat tersebut!
1. 0,22222... Jawab :
0,22222...= + + + + +....
S= = =
Jadi jumlah deret diatas adalah
2. 0,125125125... Jawab : 0,125125125...= + + + ⋯ =125(1 10)3+125(1 10)6+125(1 10)9+...
=125∑ ( )∞ 3n
S= = x =
Jadi jumlah deret diatas adalah
3. ∑ 3 − 2 Jawab :
Sn=3∑ ( ) − 2∑ ( )
=3 − 2
=3 − 2 = 3−
=3- =2
Jadi deret tersebut konvergen jumlahnya 2
4. Hitungan ∑ [3( ) − 5( ) ] Jawab: Sn=3∑ ( ) − 5( )
=3 − 5
=3 − 5
= −
=-
Jadi jumlahnya - dan merupakan deret konvergen.
5. ∑ ( )( )
Jawab :
Sn=∑ ( − )
= − + − +⋯+ −
= −
Jadi deret konvergen dan jumlahnya
DERET KUASA DAN OPERASI DERET KUASA
1. Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak.
ퟏ −풙ퟐ +
풙ퟐ
ퟐퟐ −풙ퟑ
ퟐퟑ +풙ퟒ
ퟐퟒ −⋯ , (−ퟏ)풏풙풏
ퟐ풏풏 ퟏ
Jawab =
휌 = lim→
|푢 ||푢 | = lim
→
푥2
÷푥푛
= lim →. .
×
= lim → | |
= | |
Konvergen jika < 1, atau (-2 x < 2). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -2 , 2 ).
2. Tentukan himpunan kekonvergenan deret pangkat yang bersangkutan dan tentukan rumus suku ke-n, kemudian gunakan uji hasil bagi mutlak.
(풙 + ퟓ)ퟏ.ퟐ +
(풙 + ퟓ)ퟐ
ퟐ.ퟑ +(풙 + ퟓ)ퟑ
ퟑ.ퟒ +(풙 + ퟓ)ퟒ
ퟒ.ퟓ + ⋯ ,(풙 + ퟓ)풏
풏. (풏+ ퟏ)풏 ퟏ
Jawab =
휌 = lim→
|푢 ||푢 | = lim
→
(푥 + 5)(푛 + 1)(푛 + 1 + 1) ÷
(푥 + 5)푛
= lim →( ) . ( )
( )( )×
(푥+5)푛
= lim → | |
×
= |푥 + 5|
Konvergen jika |푥 + 5| < 1, atau (-6 x < -4). Jadi himpunan kekonvergenannya adalah ( -6 , -4 ).
Tulislah deret pangkat yang jumlahnya adalah )(xf :
3. )(xf =
Jawab =
f(x) =
=
Apabila dalam deret geometri , diganti dengan akan kita peroleh:
= =
4. )(xf =
Jawab =
=
Apabila dideferensialkan diperoleh:
=
5. )(xf =
Jawab =
)(xf = =
= )
= =
x11
x11
...1 32 xxx
x x
x11 ...1 32 xxx
0
)1(n
nn x
2)1(1x
x11 ...1 32 xxx
2)1(1x
1
12 2)1(...321n
nn xxx
xx1
2
xx1
2
xx
11.2
(2x ...1 32 xxx
...5432 xxxx
2
)1(n
nn x
FUNGSI DUA PEUBAH ATAY LEBIH
1. Andaikan f(x,y) = x2y + 푦 carilah setiap nilai berikut! a. f(2,1) b. f(1,4)
penyelesaian:
a. f(x,y) = x2y + 푦 f(2,1) = 22.1 + √1 = 5
b. f(x,y) = x2y + 푦 f(1,4) = 12.4 + √4 = 7
2. Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,π,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, π,2) = 12 sin 2 π = 0
3. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)
Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos푦 + 푧 g(2,π/3,-1) = 2 cos 60 + (−1)
= 2. + 1
= √2 4. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)
Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 g(-9,π,-1) = √−9 cos 180 + 3 = √−9.−1 + 9 = √18 = 3√2
5. Andaikan f(x,y) = + xy, carilah nilai dari f(4, ) ! Penyelesaian: f(x,y) = + xy
f(4, ) = + 4.
= + 1
= 1
FUNGSI DUA PEUBAH
6. Andaikan f(x,y) = x2y + 푦 carilah setiap nilai berikut! c. f(2,1) d. f(1,4)
penyelesaian:
c. f(x,y) = x2y + 푦 f(2,1) = 22.1 + √1 = 5
d. f(x,y) = x2y + 푦 f(1,4) = 12.4 + √4 = 7
7. Andaikan g(x,y,z) = x2 sin yz, carilah nilai dari g(1,π,2) ! Penyelesaian: g(x,y,z) = x2 sin yz g(1, π,2) = 12 sin 2 π = 0
8. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)
Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos푦 + 푧 g(2,π/3,-1) = 2 cos 60 + (−1)
= 2. + 1
= √2 9. Andaikan g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 , carilah nilai untuk g(2,π/3,-1)
Penyelesaian: g(x,y,z) = 푥 cos 푦 + 푧 g(-9,π,-1) = √−9 cos 180 + 3 = √−9.−1 + 9 = √18 = 3√2
10. Andaikan f(x,y) = + xy, carilah nilai dari f(4, ) ! Penyelesaian: f(x,y) = + xy
f(4, ) = + 4.
= + 1
= 1
TURUNAN PARSIAL
1. Jika f(x,y) = 2x2 – xy + y2, carilah df/dx dan df/dy ! Penyelesaian: - df/dx = 4x – y - df/dy = -x + 2y
2. Jika f(x,y) = x3y + e , carilah fx, fy, fxx, fyy, fxy dan fyx ! Penyelesaian: - fx(x,y) = (x3y + e )
= 3x2y + e y2 - fy(x,y) = (x3y + e )
= x3 + 2xy e - fxx(x,y) = (3x2y + e y2)
= 6xy + y2 (e y2) = 6xy + y4 e
- fyy(x,y) = (x3 + 2xy e )
= 0 + 2xy + (e ) + e (2xy)
= 2xy.2xy. e + e .2x = 4x2y2. e + 2x e
- fxy(x,y) = (3x2y + e y2)
= 3x2 + y2.2xy. e + 2y e =3x2 + 2xy3 e + 2ye
- fyx(x,y) = (x3 + 2xy e )
= 3x2 + 2xy. e .y2 + e . 2y = 3x2 + 2xy3. e + 2y e
3. Misalkan f(x,y) = 3x2y – 2y3 tentukan fx(2,2) dan fy(2,2) ! Penyelesaian: fx(x,y) = 6xy fx(2,2) = 6.2.2 = 24 fy(x,y) = 3x2 – 6y2 fy(2,2) = 3(2)2 – 6(2)2 = 12 – 24 = -12
4. Tentukan turunan ketiga dari f(x,y,z) = x3 – 2xyz + 3y3z2 . . . Penyelesaian: - fx(x,y,z) = 3x2 – 2yz
fxx(x,y,z) = 6x fxy(x,y,z) = -2z fxz(x,y,z) = 3x2 – 2y
- fy(x,y,z) = -2xz + 9y2z2 fyy(x,y,z) = 18yz2 fyx(x,y,z) = -2z fyz(x,y,z) = -2x + 9y22z
- fz(x,y,z) = -2xy + 3y32z fzz(x,y,z) = -2y + 6y3 fzy(x,y,z) = -2 + 18y2 = 16y2
5. Tentukan turunan kedua dari f(x,y) = x2y + 7y Penyelesaian: fx(x,y) = 2xy fy(x,y) = x2 + 7 fxx(x,y) = 2y fyy(x,y) = 0 fxy(x,y) = 2x fyx(x,y) = 2x
UJI BANDING LIMIT
1. ∑ Penyelesaian: bn = = (deret harmonik)
lim → = lim→
x
= :
=
= 1 (divergen) 푛 + 5
1 + 푛
bn = =
lim → = x
= :
=
= 1 (konvergen)
2. ∑ Penyelesaian: bn = =
.=
lim → = x
= :
=
= 1 (konvergen) 3. ∑
Penyelesaian:
lim → = lim→
x
= :
=
= 1 (konvergen)
4. ∑√
Penyelesaian:
lim → = lim→
√
푥
= √
= 1 (konvergen)
KETERDIFERENSIALAN
Carilah gradien ∇푓 !
1. f(x,y) = x2y + 3xy Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 2푥푦 + 3푦 휕푓휕푦 = 푥 + 3푥
Jadi, ∇푓 = (2푥푦+ 3푦)i + (푥 + 3푥)j 2. f(x,y) = x3y + y3
Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 3푥 푦 휕푓휕푦 = 푥 − 3푦
Jadi, ∇푓 = (3푥 푦)i + (푥 − 3푦 )j 3. f(x,y,z) = x2y + y2z + z2x
Penyelesaian: = 2푥푦 + z2
휕푓휕푦 = 푥 − 2푦푧
휕푓휕푧 = 푦 + 2푧푥 Jadi, ∇푓 = (2푥푦 + z2)i + (푥 − 2푦푧)j + (푦 + 2푧푥)k
4. f(x,y) = xexy Penyelesaian: 휕푓휕푥 = 푒 (1 + 푥푦) 휕푓휕푦 = 푥 푒
Jadi, ∇푓 = (푒 (1 + 푥푦))i + (푥 푒 )j 5. f(x,y,z) = 푥 + 푦 + 푧
Penyelesaian: f(x,y,z) = (푥 + 푦 + 푧 )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . (x )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2x
= 푥(푥 + 푦 + 푧 )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . (y )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2y
= y(푥 + 푦 + 푧 )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . (z )
= (푥 + 푦 + 푧 ) . 2z
= z(푥 + 푦 + 푧 ) Jadi, ∇푓 = [푥(푥 + 푦 + 푧 ) ]i + [y(푥 + 푦 + 푧 ) ]j + [z(푥 + 푦 + 푧 ) ]k