contoh: 1. a. b. definisi - stmik akakom yogyakarta · 2018. 9. 12. · 11 contoh: golongkan...
TRANSCRIPT
1
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.
Contoh: 1. a. b.
Definisi:Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi
FUNGSI & GRAFIKNYA
Daerah hasilDaerah asal
y = f(x) x
Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsiitu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:
Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7); (2,13);(-2,13);(10,205)Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
f
22 5y x 2 9y x
A B
Notasi: f : A →B
2{( , ) / 2 5}f x y x
x 0 1 -1 2 -2 … 10
y 5 7 7 13 13 205
2
x
y
y = f(x)
Df
Wf
x
y
Soal:
Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1
Catatan:
1. Himpunan A, B є
2. Fungsi: y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }
Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.
b. Secara numerik : dengan tabel
c. Secara visual : dengan grafik
d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit
3
Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.
Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)
0 < w ≤ 1 1.000
1< w ≤ 2 1.250
2 < w ≤ 3 1.500
3 < w ≤ 4 1.750
4 < w ≤ 5 2.000
3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
0 1 2 3 4 5
1.000
1.500
2.000
w
B
Ons
R
u
p
i
a
h
4
4. Secara aljabarBiaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.
1.000, jika 0 1
1.250, jika 1 2
( ) 1.500, jika 2 3
1.750, jika 3 4
2.000, jika 4 5
w
w
B w w
w
w
2.2 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garisb = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =
Grafik: y
x
b
y = ax + b
2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0
dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
n = derajat polinom ( an 0)
Daerah asal: Df =
5
Grafik:
Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c,
D = b2 - 4ac
x
y
ca < 0, D > 0
a < 0, D = 0 a < 0, D < 0
y = P(x)y
c y = P(x)
y
c y = P(x)
x x
x
y
c
a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0
y = P(x)
y
cy = P(x)
y
c
y = P(x)
x x
Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4
3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn , n є
Daerah asal: Df =
Grafik:
yy = x
yy = x2
0 0xx
yy = x3
0x
6
4. Fungsi akar
Bentuk Umum:
Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
Df = , Wf = , jika n ganjil
Grafik:
( ) , 2,3,4,...ny f x x n
y
0x
y
0x
2y x 3y x
Soal : Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a. b. 1y x 2 2 2y x x
1y
x
1, 0y x
x
y
0 x
5. Fungsi kebalikan
Bentuk umum:
Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0}
Grafik:
7
6. Fungsi rasional
Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom
Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0}
Contoh:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
a. b.
( )
( )
P xy
Q x
1
1
xy
x
2
2
1
xy
x
7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a. b.
Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.
1 ( )
1
xf x
x
32
2( ) ( 2) 1
1
xf x x x
x
8
8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
Grafik:
0-π
-1
1
x
y
y = sin x
8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
Grafik:
0
-1
1
y
y = cos x
x
-2π 2ππ
-2π-π π
2π
8.3 Fungsi tangen
Bentuk umum:
Daerah asal : Df = - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf =
sin( ) tan , dalam radian
cos
xy f x x x
x
9
Grafik:
0-
-1
1
x
y
y = tan x
8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum: 1
( ) sec , dalam radiancos
1( ) cosec , dalam radian
sin
1(
a.
b.
c. ) cot , dalam radianta
n
y f x x xx
y f x x xx
y f x x xx
8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π)
e. tan x = tan (x + π)
-π π 2π-2π
10
x
y
0 1
1
y = ax , a > 1
x
y
0 1
1
y = ax , 0 < a < 1
10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0, ) , Wf =
Grafik: y
0 1
1
y = loga x
x
9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax, a > 0
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0, )
Grafik:
11
Contoh:
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.
11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
4
2
10
5 2 10 102
( ) 1 ( ) tan 2
6 ( ) 10 ( )
6
( ) log ( )2
log
1. 2.
3. 4.
5. 6.
( ) 2 7. . ( ) 82
x
f x x f x x
xf x f x
x
xf x x f x x
x
xf x t t f x x
x x
12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)
Definisi:Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
pada bagian tertentu dari daerah asal.
Contoh:
0 ( ) | |
01.
x xf x x
x x
y
0 1
1
y = |x|
x-1
12
0 1
( ) 2 1 2
0
2.
2
x x
f x x x
x
y
0 1
y = f(x)
x2
3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x.
f(x) = x
=
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
x
x
x
x
0 1 2 3
1
2
3
x
y
4
y = f(x)
Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar
13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.
x
y
f(x)
-xx
y = f(x)
Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.
13
Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
x
y
f(x)
-xx
y = f(x)
-f(x)
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x
c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2
14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika
f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
x1
y
f(x1)
x
y = f(x)
x2
f(x2)
Fungsi f naik
x1
y
f(x2)
x
y = f(x)
x2
f(x1)
Fungsi f turun
14
Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
a. f(x) = x2 I = [0, )
b. f(x) = sin x I = [ , 2]
15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian
3. Komposisi fungsi
Transformasi fungsi
a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x)
c
y
x
c
c
cy = f(x-c)y = f(x+c)
y = f(x) - c
y = f(x) + c
15
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar
dengan faktor c.
2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
0 π 2π
-1
1
y
y = cos x
2
-2
y = 2 cos x
y = ½ cos x
x0 π 2π
-1
1
y
y = cos x
2
-2
x
y = cos ½ x
y = cos 2x
16
c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y
x
y = f(x)
y = -f(x)
x
y = f(x)y = f(-x)
y
x-xx
f(x)f(x)
-f(x)
Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1
3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x
17
OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.
2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.
3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.
4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}
Contoh:
Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
2 ( ) ( )
( ) 1
1.
2 ). ( 1
f x x g x x
f x x g x x
Komposisi fungsi
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
18
Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika
21.
2.
( ) ( )
1 ( ) ( ) 1
f x x g x x
f x g x xx
Dfg f WfWgDg
x
g(a)
f(g(x))
a
g(x)
f ° g
Polinomial (Suku Banyak)
Dengan syarat :
n ∈ bilangan cacah dan 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, ...,
disebut koefisien-koefisien suku banyak,
𝑎0 disebut suku tetap dan 𝑎𝑛≠0.
• NILAI SUKU BANYAK
Menentukan nilai suku banyak dapat
dilakukan dua cara, yaitu:
1. Cara Substitusi
2. Cara Horner
Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk
Linear
Teorema
Sisa :
TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR
1.Jika suatu suku banyak f(x)
dibagi oleh pembagi linear
berbentuk (x – k), maka sisanya
adalah s = f(k).
2.Jika suatu suku banyak f(x)
dibagi oleh pembagi linear
berbentuk (ax + b), maka
sisanya adalah s = abf
Bukt
i :f(x) = (x –
k).H(x) + s Jika x = k, maka f(k) = (k –
k).H(k) + s f(k) = 0.H(k)
+ s f(k) = 0
+ s Sisa s = f(k)
(terbukti)
Contoh
soal :
1. Tentukan sisa pembagian suku banyak
(3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)
Jawa
b : S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7
= 48 + 32 – 1 = 79
Jadi sisa suku banyak di atas
adalah 79
CARA
SUBSTITUSI
Teorema
Faktor
1.Suatu fungsi suku banyak f(x)
memiliki faktor (x – k) jika dan
hanya jika f(k) = 0.
2.Suatu fungsi suku banyak f(x)
memiliki faktor (ax + b) jika dan
hanya jika = 0 abf
ContohBuktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-
faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x –
18) !
Bukti
:f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
Bukti
:f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)
= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0
Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari
f(x)
• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)
maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)
= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0
Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah
faktor dari f(x)
Menyelesaikan Persamaan
Suku Banyak
Menentukan Faktor Linear dari
Suku BanyakJika f(x) = a0x
n + a1xn-1 + … + an-
1x + an dan (x – a) merupakan
faktor dari f(x), maka nilai a yang
mungkin adalah faktor-faktor
bulat dari an
Contoh
soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 –
5x2 – 14x + 8) Jawa
b :
Nilai a yang mungkin adalah
±8, ±4, ±2, ±1Dengan cara trial and error, tentukan nilai a
yang mungkin dengan mensubstitusikan ke
dalan f(x) sehingga f(a) = 0
f(x) = 2x3 – 5x2 –
14x + 8
Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2)
merupakan faktor dari f(x)
Untuk menentukan faktor-faktor yang lain
dapat dilakukan dengan cara HORNER
sebagai berikut :
2 –
14–
5
8
x =
– 2 2
– 4 +
– 9
1
84
– 8
0 f(-2)
Sehing
ga :f(x) = (x –
k).H(x) + s 2x3 – 5x2 – 14x
+ 8 =2x3 – 5x2 – 14x
+ 8 =
Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah
(x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)
(x + 2).(2x2 – 9x +
4) + 0 (x + 2).(2x –
1)(x – 4)
Pembagian Suku Banyak
Algoritma Pembagian Suku
Banyak oleh (x – k)
1. Cara bersusun
Contoh
soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 +
4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !
Jawab :
19x2 – 38x -
3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7(x – 2)
3x3
3x4 – 6x3 -
10x3 – x2 + 5x – 7
+ 10x2
10x3 – 20x2 -
19x2 + 5x – 7
+ 19x
19x2 – 38x-
43x – 7
+ 43
43x – 86-
79 sisa
Hasil bagi
pemb
agi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2
+ 19x + 43 dan sisanya adalah
79
+
2. Cara
Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :
Jawa
b :3 - 14 - 75
x = 2
3
6
10
20
19
38
43 79
86
Sisa
Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 +
4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !
Koefisien Hasil Bagi
Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43
dan sisanya adalah 79
1. Tentukan pembagian suku banyak f(x) =
4x4 – 5x2 + 3x – 1
dibagi (2x2 + x – 1) !
*SOAL-SOAL
LATIHAN
SOAL-SOAL LATIHAN
31
.adalah.... sisanya
)3(2x dibagi f(x)banyak suku 5.Jika 3)sisanya-(2x
dibagi jikadan 10 sisanya 1)(x dibagi f(x)banyak Suku 2.
2
x
SOAL-SOAL LATIHAN
32
.adalah....)23(xoleh P(x)pembagian
sisa 1. 2)sisanya-(xoleh dibagi jika23)dan -(12x
sisanya)1(xoleh dibagi P(x)banyak suku Suatu 3.
2
2
x
SOAL-SOAL LATIHAN
33
adalah.... 22oleh x P(x)pembagian sisa
2)-(x dibagi 643xP(x)banyak Suku 4.
2
23
x
kxx
SOAL-SOAL LATIHAN
34
.adalah.... )32(xoleh h(x)
pembagian sisa maka f(x).g(x)h(x) Jika 15. bersisa
3)-(x dibagi jikadan 9- bersisa 1)(x dibagi jika
g(x)banyak suku 4. bersisa 3)-(x dibagi jikadan
8 bersisa 1)(x dibagi jika f(x)banyak suku Diketahui 5.
2
x