chapter 5 · jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk...
TRANSCRIPT
![Page 1: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/1.jpg)
CHAPTER 5PENGGUNAAN INTEGRAL
![Page 2: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/2.jpg)
5.1 Luas Daerah
![Page 3: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/3.jpg)
4-Langkah Integrasi
Sketsa Iris AproksimasiJumlah & Limit
(Integrasi)
Luas Daerah di Antara 2 Fungsi
![Page 4: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh
Tentukan integral tentu untuk luas daerah yang diarsir.
![Page 5: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh Lain
Pandang kurva y =1
𝑥2untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 6.
a) Hitunglah luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu-𝑥.
b) Tentukan 𝑐 sehingga garis 𝑥 = 𝑐 membagi dua luas pada a) samabesar.
c) Tentukan 𝑑 sehingga garis 𝑦 = 𝑑 membagi dua luas pada a) samabesar.
![Page 6: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/6.jpg)
5.2 Volume Benda Putar: Metoda Cakram
![Page 7: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/7.jpg)
Volume Silinder Tegak
Suatu silinder tegak adalah benda yang dibangun denganmenggerakkan daerah pada bidang (dasar) sepanjang jarak ℎ pada arahyang tegak lurus dasar tersebut.
Volume 𝑉 dari silinder tegak didefinisikan sebagai
𝑉 = 𝐴 . ℎ, dengan 𝐴 adalah luas dari dasar
![Page 8: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/8.jpg)
Benda dengan Penampang Tertentu
1. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑥 adalah persegi. Tentukan volume benda.
2. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝒚 adalah persegi. Tentukan volume benda.
3. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑥 adalah segitiga sama sisi. Tentukanvolume benda.
4. Misalkan dasar suatu benda adalah daerah yang terletak pada kuadranpertama dan dibatasi oleh 𝑦 = 4 − 𝑥2, sumbu-𝑥, dan sumbu-𝑦. Misalkanpenampang yang tegak lurus sumbu-𝑦 adalah setengah lingkaran. Tentukanvolume benda.
![Page 9: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/9.jpg)
Metoda Cakram
Volume cakram kecil adalah ∆𝑉 ≈ 𝐴(𝑥)∆𝑥
Volume benda adalah 𝑎𝑏𝐴 𝑥 𝑑𝑥
![Page 10: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/10.jpg)
Benda Putar
![Page 11: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/11.jpg)
Contoh
Tentukan integral tentu untuk volume benda yang dibangun denganmemutar daerah pada gambar terhadap:
a. sumbu-𝑥
b. sumbu-𝑦
c. garis 𝑦 = −1
d. garis 𝑥 = 3
![Page 12: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/12.jpg)
5.3 Volume Benda Putar: Metoda Kulit Tabung
![Page 13: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/13.jpg)
Metoda Kulit Tabung
![Page 14: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh
Tentukan integral tentu untuk volume dari benda yang diperolehdengan memutar daerah 𝑅 terhadap
a. sumbu-𝑥
b. sumbu-𝑦
c. garis 𝑦 = −1
d. garis 𝑥 = 4
![Page 15: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/15.jpg)
5.5 Kerja
![Page 16: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/16.jpg)
Kerja
Jika suatu objek dikenakan gaya konstan 𝐹 sehingga bergerak sejauh 𝑑sepanjang suatu lintasan maka kerja 𝑊 yang dilakukan oleh gayatersebut adalah
𝑊 = 𝐹 . 𝑑
![Page 17: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/17.jpg)
Kerja untuk Gaya Tak Konstan
Jika gaya tidak konstan, maka dapat digunakan 4 langkah integrase untuk menentukan kerja.
∆𝑊 ≈ 𝐹(𝑥)∆𝑥
𝑊 = න
𝑎
𝑏
𝐹 𝑥 𝑑𝑥
![Page 18: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/18.jpg)
PegasHukum Hooke
𝐹 𝑥 = 𝑘𝑥
dengan 𝑘 suatu bilangan bulat positif yang disebut konstanta pegas.
Contoh.
Gaya seberat 6 kg diperlukan untukmenahan suatu pegas teregang ½ meter melebihi panjang normalnya. Tentukankonstanta pegas dan kerja yang dilakukanpada saat meregangkan pegas 2 meter melebih panjang normalnya.
![Page 19: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/19.jpg)
Pemompaan Cairan
Suatu tanki berbentuk kerucut tegak dipenuhioleh air. Jika tinggi tanki adalah 10 meter dan jari-jari bagian atasnya adalah 4 meter, tentukan kerja yang dilakukan dalam
a) memompa air ke bagian atas tanki,
b) memompa air ke ketinggian 10 meter di atas tanki.
![Page 20: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/20.jpg)
5.6 Momen dan Pusat Massa
![Page 21: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/21.jpg)
Momen
𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 = 0
![Page 22: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/22.jpg)
Titik Kesetimbangan (Pusat Massa)
Momen total 𝑀 terhadap titik asal adalah
𝑀 = 𝑥1𝑚1 + 𝑥2𝑚2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑚𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑚𝑖
Di manakah koordinat-𝑥 ( ҧ𝑥) dari titik di mana penyangga harus ditempatkan agar sistem setimbang?
(𝑥1− ҧ𝑥)𝑚1 + (𝑥2 − ҧ𝑥)𝑚2 +⋯+ (𝑥𝑛− ҧ𝑥)𝑚𝑛 = 0
ҧ𝑥 =𝑀
𝑚=σ𝑖=1𝑛 𝑥𝑖𝑚𝑖
σ𝑖=1𝑛 𝑚𝑖
![Page 23: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/23.jpg)
Massa Kontinu Sepanjang Garis
Contoh.
Suatu kawat dengan panjang 7 meter memiliki kepadatan 𝛿 𝑥 = 𝑥 pada titik yang berjarak 𝑥 meter dari ujung kiri kawat. Tentukan jarak dari ujung kiri kawat ke pusat massa.
![Page 24: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/24.jpg)
Distribusi Massa pada Bidang
![Page 25: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/25.jpg)
Pusat Massa Lamina (Lembaran Tipis)
Contoh.
Tentukan pusat massa daridaerah yang dibatasi oleh y =𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1.
![Page 26: CHAPTER 5 · Jika suatu daerah 𝑅diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya](https://reader034.vdokumen.com/reader034/viewer/2022052314/6060c953236ee415776f078f/html5/thumbnails/26.jpg)
Teorema Pappus
Jika suatu daerah 𝑅 diputar terhadap suatu garis, maka volume benda yang terbentuk akan sama dengan luas daerah 𝑅 dikalikan dengan jarak yang dilalui oleh pusat massanya.
Contoh.
Gunakan Teorema Pappus untuk menemukan volume benda yang terbentukpada saat daerah yang dibatasi oleh y = 𝑥3, 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 diputar terhadapsumbu-𝑦. Gunakan metoda kulit tabung untuk memeriksa jawaban Anda.