Variable Random dan

Distribusi Peluang

1 Konsep Variable Random

Dari eksperimen pengambilan sample baik dan defektif diperoleh ruang sample:

S = {NNN,NND, NDN, DNN, NDD, DND,DDN, DDD}

Misalkan kita tertarik pada sample yang rusak (defektif). Dari tiap elemensample tersebut dapat kita berikan nilai (dipadankan) 0,1,2,3 yang menyatakanbanyaknya sample yang rusak.

Definisi:

Sebuah variable random X pada ruang sample S adalah fungsi X : S → <yang memadankan sebuah bilangan real X(s) dengan setiap titik sample s ∈ S.

Variable random dinotasikan dengan huruf besar X dan huruf kecil x yangmenyatakan nilai dari variable random tersebut.

Contoh:Dua buah bola diambil secara berturutan tanpa penggantian dari sebuat potyang berisi 4 warna merah dan 3 warna hitam. Misalkan Y adalah variablerandom yang menyatakan warna merah maka y dituliskan pada Tabel 1Contoh:

Ruang sample yRR 2RB 1BR 1BB 0

Table 1: Pengambilan bola

Seorang penjaga penitipan helm, mengembalikan 3 helm kepada orang yang

1

JS/IF-STEI/2007 2

Ruang sample mSJB 3SBJ 1JSB 1JBS 0BSJ 0BJS 1

Table 2: Pencocokan helm

m 0 1 3P (M = m) 1

312

16

Table 3: Distribusi peluang

punya sesuai dengan urutan. Misalkan M adalah variable random yang meny-atakan kesesuaian dengan pemiliknya, maka M dapat ditabelkan pada Tabel 2.

Dua contoh diatas menyatakan ruang sample yang berhingga. Sebaliknya,sebuah dadu dilempar sampai angka 5 muncul, maka ruang sample S dapatdituliskan:

S = {F,NF, NNF,NNNF, ..., }dimana simbol F menyatakan 5.

Definisi:

Jika sebuah ruang sample berisi sejumlah hingga kemungkinan atau barisan takhingga sebanyak dari elemennya disebut dengan ruang sample diskrit.

Definisi:

Jika sebuah ruang sample berisi sejumlah tak hingga kemungkinan sama dengansejumlah titik pada sebuah segmen garis maka disebut dengan ruang samplekontinu.

2 Distribusi Peluang Diskrit

Setiap variable random diskrit mempunyai nilai yang menyatakan peluang darivariabel tersebut. Misalkan contoh dari sebelumnya (penjaga helm) nilai yangmenyatakan peluang dituliskan pada Tabel 3. Untuk kemudahan biasanya untukmenyatakan semua nilai peluang dari variable random X dengan sebuah rumus/fungsi, f(x), g(x), r(x) dan seterusnya. Misalkan f(x) = P (X = x), kumpulanpasangan terurut (x, f(x) disebut dengan fungsi peluang atau distribusi peluangdari variable random X.

JS/IF-STEI/2007 3

Definisi:

Kumpulan pasangan terurut (x, f(x) disebut dengan fungsi peluang, ataufungsi massa peluang dari variable random diskrit X, jika setiap kejadian xdipenuhi:

1. f(x) ≥ 02.

∑x f(x) = 1

3. P (X = x) = f(x)

Contoh:Pengiriman 8 buah komputer serupa ke penjual berisi 3 defektif. Jika sekolahakan membeli 2 buah tentukan distribusi peluang komputer tersebut defektif.Jawab:Misalkan X menyatakan variable random yang bernilai x jumlah yang rusak/defektif,maka

f(0) = P (X = 0) =

(30

)(52

)(82

) =1028

f(1) = P (X = 1) =

(31

)(51

)(82

) =1528

f(2) = P (X = 2) =

(32

)(50

)(82

) =328

Sehingga distribusi peluang X adalah:

x 0 1 2f(x) 10/26 15/28 3/28

Table 4: Tabel distribusi

Definisi:

Distribusi kumulatif F (x) dari variable random diskrit X dengan distribusi pelu-ang f(x) adalah:

F (x) = P (X ≤ x) =∑

t≤x

f(t) untuk −∞ < x < ∞

Contoh:Dari contoh penjaga helm dapat dihitung:

F (2.4) = P (M ≤ 2.4) = f(0) + f(1) =13

+12

=56

JS/IF-STEI/2007 4

Distribusi peluang dari M adalah:

F (m) =

0 untuk m < 013 untuk 0 ≤ m < 156 untuk 1 ≤ m < 31 untuk m ≥ 3

x

0 1 2 3

1

5/6

2/6

F(x)

Figure 1: Distribusi kumulatif diskrit

3 Distribusi Peluang Kontinu

Variable random kontinu ada peluang yang bernilai nol, oleh karena itu dis-tribusi peluang tidak dapat dituliskan dalam bentuk tabel. Jika X kontinumaka :

P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) + P (X = b) = P (a < X < b)

Dan dihitung sbb:

P (a < X < b) =∫ b

a

f(x)dx

Definisi:

Fungsi f(x) adalah fungsi densitas peluang untuk variable random kontinuX, didefinisikan pada bilangan real <, jika:

1. f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ <2.

∫∞−∞ f(x)dx = 1,

3. P (a < X < b) =∫ b

af(x)dx

JS/IF-STEI/2007 5

a

f(x)

x

b

Figure 2: P (a < X < b)

Contoh:Kesalahan pengukuran temperatur dinyatakan dengan variable random X den-gan fungsi densitas yang didefinisikan sbb:

f(x) =

x2

3−1 < x < 2

0 untuk x yang lain

a). Periksa syarat 2 dari difinisi diatas.b). Hitunglah P (0 < X ≤ 1)Jawab:

a).∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ 2

−1

x2

3=

89

+19

= 1

b). P (0 < X ≤ 1) =∫ 1

0

x2

3dx =

19

Definisi:

Distribusi kumulatif F (x) dari variable random kontinu X dengan fdp f(x)adalah:

F (x) = P (X ≤ x) =∫ x

−∞f(t)dt untuk −∞ < x < ∞.

Akibat dari definisi diatas dapat dituliskan:

P (a < x < b) = F (b)− F (a) dan f(x) =dF (x)

dx

JS/IF-STEI/2007 6

Contoh:Dari fdp soal sebelumnya tentukan F (x) kemudian gunakan untuk menghitungP (0 < X ≤ 1)Jawab:Untuk −1 < x < 2

F (x) =∫ x

−∞f(t)dt =

∫ x

−∞

t2

3dt =

x3 + 19

Sehingga:

F (x) =

0 x ≤ −1x3 + 1

9−1 ≤ x < 2

1 x ≥ 2

Untuk menghitung P (0 < X ≤ 1):

P (0 < X ≤ 1) = F (1)− F (0) =29− 1

9=

19

4 Distribusi Empirik

Pasal sebelumnya membahas tentang distrisbusi diskrit dan kontinu. Jika datatidak dapat dikarakteristikan ke dalam kedua bentuk tersebut, misalkan infor-masi tidak cukup, maka direpresentasikan dengan distribusi empirik. Distribusiempirik mengelompokkan data ke dalam suatu interval, dimana frekuensi datadalam setiap interval dapat digunakan untuk menentukan frekuensi relatifnya.Frekuensi relatif dapat digambarkan/diplot dalam bentuk histogram. Misalkandiberikan sekolompok data yang sudah dihitung frekuensi dan frekuensi relat-ifnya seperti Tabel 5. Dari tabel tersebut dapat diplot dalam histogram sepertiGambar 4.

Interval ttk tengah Frekuensi Frek. relatif1.5-1.9 1.7 2 0.0502.0-2.4 2.2 1 0.0252.5-2.9 2.7 4 0.1003.0-3.4 3.2 15 0.3753.5-3.9 3.7 10 0.2504.0-4.4 4.2 5 0.1254.5-4.9 4.7 3 0.075

Table 5: Distribusi frekuensi relatif dari umur battery

5 Distribusi Peluang Gabungan

Jika X dan Y dua variabel random diskrit, maka distribusi peluang untukkejadian simultan dapat direpresentasikan dengan fungsi f(x, y) untuk setiap

JS/IF-STEI/2007 7

frekuensi relatif

0

0.125

0.375

0.250

1.7 2.2 2.7 3.7 4.2 4.73.2

umur battery

Figure 3: Histogram frekuensi relatif

pasangan (x, y). Fungsi ini disebut dengan distribusi peluang gabungandari variabel random X dan Y . Untuk kasus diskrit dituliskan:

f(x, y) = P (X = x, Y = y)

Definition:

Fungsi f(x, y) adalah distribusi peluang gabungan atau fungsi masa pelu-ang dari variabel random diskrit X dan Y jika:

1.f(x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y)

2.∑

x

∑y

f(x, y) = 1

3.P (X = x, Y = y) = f(x, y)

Untuk daerah sebarang A dalam bidang xy, P [(x, y) ∈ A] =∑A

∑f(x, y).

Contoh:Dua isi ulang dari ballpoint diambil dari box yang berisi 3 warna biru, 2 warnamerah dan 3 warna hijau. Jika X menyatakan jumlah warna biru dan Y meny-atakan jumlah warna warna merah, tentukan:a). fungsi peluang gabungan f(x, y) danb). P [(X, Y ) ∈ A] dimana A adalah daerah {(x, y)|x + y ≤ 1}Jawab:a). Nilai pasangan yang mungkin dari (x, y) adalah (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (0, 2).

Jumlah semua kemungkinan pengambilan adalah(

82

)= 28. Dalam bentuk

tabel dapat dituliskan:

JS/IF-STEI/2007 8

f(x,y) x=0 x=1 x=2 total baris

y=0 328

928

328

1528

y=1 314

314

37

y=2 128

128

total kolom 514

1528

328 1

Table 6: Distribusi peluang gabungan

Dituliskan dalam bentuk rumus adalah:

f(x, y) =

(3x

)(2y

)(3

2− x− y

)

(82

)

Untuk x = 0, 1, 2; y = 0, 1, 2; 0 ≤ x + y ≤ 2b).

P [(X, Y ) ∈ A] = P (X + Y ≤ 1)= f(0, 0) + f(0, 1) + f(1, 0)

=328

+314

+928

=914

Definisi:

Fungsi f(x, y) adalah fungsi densitas gabungan dari variabel random kontinuX dan Y jika:

1.f(x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y)

2.

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(x, y)dxdy = 1

3.P [(X,Y ) ∈ A] =∫∫

A

f(x, y)dxdy

untuk sebarang daerah A dalam bidang xy

Contoh:Diberikan fungsi densitas gabungan dari variabel random kontinu X dan Y sbb:

f(x, y) =

25

(2x + 3y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

0 untuk x yang lain

JS/IF-STEI/2007 9

a). Periksa kondisi 2). dari definisi diatasb). Tentukan P [(X, Y ) ∈ A], A adalah daerah {(x, y)|0 < x < 1

2 , 14 < y < 1

2}Jawab:a).

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞f(x, y)dxdy =

∫ 1

0

∫ 1

0

25(2x + 3y)dxdy

=25

+35

= 1

b).

P [(X, Y ) ∈ A] = P (0 < x <12,14

< y <12)

=∫ 1

2

14

∫ 12

0

25(2x + 3y)dxdy

=13160

Definisi:

Distribusi marginal dari X dan Y adalah:

g(x) =∑

y

f(x, y) dan h(y) =∑

x

f(x, y)

untuk kasus diskrit, dan

g(x) =∫ ∞

−∞f(x, y)dy dan h(y) =

∫ ∞

−∞f(x, y)dx

untuk kasus kontinu.

Contoh:Dari Tabel 6, tentukan distribusi marginal dari X dan YJawab:

JS/IF-STEI/2007 10

Untuk variabel random X dapat dihitung sbb: (satunya sebagai latihan)

P (X = 0) = g(0) =2∑

y=0

f(0, y) = f(0, 0) + f(0, 1) + f(0, 2)

=328

+314

+128

=514

P (X = 1) = g(1) =2∑

y=0

f(1, y) = f(1, 0) + f(1, 1) + f(1, 2)

=928

+314

+ 0 =1528

P (X = 2) = g(2) =2∑

y=0

f(2, y) = f(2, 0) + f(2, 1) + f(2, 2)

=328

+ 0 + 0 =328

Dalam bentuk tabel sebagai berikut:x 0 1 2

g(x) 5/14 15/28 3/28

Contoh:Tentukan g(x) dan h(y) dari contoh sebelumnya.

g(x) =∫ ∞

−∞f(x, y)dy =

∫ 1

0

25(2x + 3y)dy =

4x + 35

untuk 0 ≤ x ≤ 1 dan g(x) = 0 untuk x yang lain. Dengan cara yang sama,

h(y) =∫ ∞

−∞f(x, y)dx =

∫ 1

0

25(2x + 3y)dx =

2(1 + 3y)5

untuk 0 ≤ y ≤ 1 dan h(y) = 0 untuk y yang lain.

Definisi:

Misalkan X dan Y dua variabel random, diskrit atau kontinu. Distribusibersyarat dari variabel random Y , diberikan X = x adalah:

f(y|x) =f(x, y)g(x)

, g(x) > 0

Distribusi bersyarat dari variabel random X, diberikan Y = y adalah:

f(x|y) =f(x, y)h(y)

, h(y) > 0

JS/IF-STEI/2007 11

Contoh:Dari contoh sebelumnya, tentukan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = 1.Jawab:Akan dihitung f(x|y), dimana y = 1.

h(1) =2∑

x=0

f(x, 1) =314

+314

+ 0 =37

Kemudian dihitung:

f(x|1) =f(x, 1)h(1)

=73f(x, 1), x = 0, 1, 2.

Sehingga diperoleh:

f(0|1) =73f(0, 1) =

12

f(1|1) =73f(1, 1) =

12

f(2|1) =73f(2, 1) = 0

Dalam bentuk tabel:x 0 1 2

f(x|1) 1/2 1/2 0

Contoh:Diberikan fungsi densitas gabungan:

f(x, y) =

x(1 + 3y2)4

, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1

0 untuk x yang lain

Tentukan g(x), h(y), f(x|y), kemudian hitung P ( 14 < X < 1

2 |Y = 13 )

Jawab:Dari definisi:

g(x) =∫ ∞

−∞f(x, y)dy =

∫ 1

0

x(1 + 3y2)4

dy =x

2, 0 ≤ x ≤ 2

Dengan cara yang sama:

h(y) =∫ ∞

−∞f(x, y)dx =

∫ 2

0

x(1 + 3y2)4

dx =1 + 3y2

2, 0 ≤ y ≤ 1

Kemudian dihitung:

f(x|y) =f(x, y)h(y)

=x

2

JS/IF-STEI/2007 12

dan

P (14

< X <12|Y =

13) =

∫ 12

14

x

2dx = 3/64