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1.1.- TIPOS DE FUNCIONES.

Ya hemos visto en anteriores ocasiones, algunas de las funciones que hay; incluso, hemos estudiado las caractersticas de algunas de ellas, como las rectas, parbolas o hiprbolas, entre otras.En esta ocasin daremos una clasificacin propiamente dicha de los distintos tipos de funciones que nos podemos encontrar en las matemticas.Clculo diferencial: Funciones.1Clculo diferencial: FUNCIONES

1.2 LIMITES DE FUNCIONESLa nocin delmitetiene mltiples acepciones. Puede tratarse de unalneaque separa dos territorios, de un extremo a que llega un determinado tiempo o de una restriccin o limitacin.La expresinlmite de una funcinse utiliza en el clculo diferencial matemtico y refiere a la cercana entre unvalory unpunto.

Nocin intuitiva de lmite.Se dice que el lmite de la funcin f(x) cuando x tiende al nmero real "a" es igual al nmero real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha, siendo xdiferente de a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. 1.- Concepto y definicin intuitiva de lmite de una funcin en un punto.

2.- Lmites en el infinito.Elinfinitoes una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

3.- Continuidad de funciones.

Intuitivamente se puede decir que una funcin es continua cuando en su grfica no aparecen saltos o cuando el trazo de la grfica no tiene "huecos". En la figura 8.6., aparece la grfica de tres funciones: dos de ellasno continuas (discontinuas)en el puntox = ade su dominio (fig. 8.6. (a) y 8.6. (b)) y la otra (fig. 8.6. (c)) continua en todo su dominio.

3.- Discontinuidad de funciones.Las funciones que no son continuas pueden presentar diferentes tipos de discontinuidades.Para empezar definiremos funcin no continua como aquella que no cumple la definicin de funcin continua, es decir, existe algun punto del dominio donde el lmite de la funcin a ese punto no es igual al valor de sta en el mismo punto.f(x)no es continua si existe unx=aperteneciente alDom(f)tal quelimxaf(x)f(a)

f(x)no es continua si existe unx=aperteneciente alDom(f)tal quelimxaf(x)f(a)

Clculo diferencial: Razn de cambio y concepto de derivada .1.- Variacin y razones de cambio.El concepto derazn de cambiose refiere a la medida en la cual unavariablesemodificaconrelacina otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estn relacionadas, tendrn una razn de cambio igual a cero.

La razn de cambio ms frecuente es lavelocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Estoquieredecir que la velocidad se entiende a partir del vnculo que se establece entre ladistanciay eltiempo.

Supongamos que unautomvilrecorre 100 kilmetros en dos horas. La razn de cambio existente entre ambas variables es50 kilmetros por hora. Esevalorrepresenta su velocidad, ya quev = d / t(velocidad = distancia / tiempo).

2.- Razones de cambio, velocidad y aceleracin.En nuestra vida cotidiana, vemos como los eventos transcurren en el tiempo: la cada de las hojas, el movimiento de los carros, el movimiento de las manecillas del reloj. Todos estos fenmenos implican movimiento, y para que este movimiento se realice es importante que transcurra un tiempo determinado. El concepto de cambio, ya sea en la posicin, o en el estado de algo, est ntimamente ligado a que el tiempo transcurra.Se define entonces larazn de cambiode una cantidad cualquiera, como la divisin del cambio en la cantidad sobre el tiempo transcurrido en realizar dicho cambio,

3.- Concepto y definicin de derivada.Del latnderivtus,derivadaes un trmino que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una nocin de lamatemticaque nombra alvalor lmite del vnculo entre el aumento del valor de una funcin y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cmo se modifica una funcin a medida que su entrada tambinregistraalteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una nica variable, la derivada representa, en un cierto punto, elvalorde la pendiente de la recta tangente al grfico de la funcin en dicho punto.

Clculo diferencial: Clculo de derivadas mediante frmulas y tcnicas de derivacin.1.- Reglas bsicas de derivacin.Regla 1.Para una constante "a"Si f(x)= a, su derivada es f '(x)= 0Ejemplo:Si f(x)= 15 , su derivada es f '(x)= 0Regla 2. Para la funcin identidad f(x)= xSi f(x)= x, su derivada es f ' (x)= 1Ejemplo: f(x)= x , su derivada es f '(x)= 1

Regla 3.Para una constante "a" por una variable xSi f (x)=ax , su derivada es f '(x)= aEjemplo: si f (x)= 12x, su derivada es f '(x)= 12

2.- Derivadas de orden superior. Derivacin implcita.La derivada de la derivada de una funcin se conoce como segunda derivada de la funcin, es decir, si f(x) es una funcin y existe su primera derivada f(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la funcin obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada.Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

Dada la funcin obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

Clculo diferencial: Aplicacin de las derivadas.1.- Aplicaciones geomtricas de la derivada.a) ECUACIN DE LA RECTA TANGENTE.Si una curva est definida por la ecuaciny=f(x),entoncesf(x0)representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de la misma(x0,f(x0)).La ecuacin de la recta tangente en tal punto es: yf(x0)=f(x0)(xx0)b) ECUACIN DE LA RECTA NORMAL.La recta normal a una curvay=f(x)en el punto de la misma(x0,f(x0))es la perpendicular a la tangente que pasa por dicho punto. Su ecuacin es: c) NGULO DE DOS CURVAS.Se denominangulo entre dos curvasy=f(x)ey=g(x)en un punto de interseccinP0(x0,y0),al nguloque forman las rectas tangente a estas curvas en el puntoP0.Se verifica:

2.-Aplicaciones de la derivada al anlisis y graficacin de funciones.Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carcter local de las funciones, el estudio de estas caractersticas nos facilitar la representacin grfica de las mismas.Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo Si f es unafuncinderivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a