calculo para la computacion

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Gu ´ ı a do cente de al culo para la Computaci´ on Ingenie r ´ ı a Inform´ atica. E.T.S.I. Inform´ atica Dpto. de Matem´atica Aplicada Universidad de M´ alaga

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matematicas

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  • Gua docente de

    Calculo para la Computacion

    Ingeniera Informatica. E.T.S.I. Informatica

    Dpto. de Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

  • Calculo para la computacion2009, Agustn Valverde Ramos.Este trabajo esta editado con licencia Creative Commons del tipo:

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    Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechos morales del autor.

    ii

  • Yo no enseno a mis alumnos, solo lesproporciono las condiciones en las quepuedan aprender.

    Albert Einstein

    Este libro esta concebido como una gua docente para la asignaturaCalculo para la computacion de la titulacion de Ingeniera Informatica para elcurso 2009/10. Sin embargo, su contenido es fruto del trabajo de los ultimoscinco anos y en el han participado todos los profesores que durante este tiempohan impartido dicha asignatura.

    A lo largo de estos anos, se ha ido redisenando, curso a curso, la asignaturacon unos objetivos claros. Por una parte, se ha adecuado el contenido de cadatema a las necesidades reales de un futuro ingeniero informatico, intensificandoo relajando los contenidos de cada apartado en funcion de ello. Por otra parte,se ha buscado adaptar la curva de aprendizaje de los alumnos a su base realde conocimientos.

    En lugar de libro utilizamos la denominacion de gua docente porquedefine mejor la estructura elegida. El contenido se divide en temas, no encaptulos, y cada tema se divide en lecciones, no en secciones. Cada temase inicia con una descripcion en terminos docentes: se detallan los objetivos,los prerrequisitos y se da un esquema de su contenido. Cada leccion concluyecon una relacion de ejercicios denominada basica y que contiene ejerciciosde dificultad baja y media; estos ejercicios deben ser resueltos por el alumno amedida que estudia el tema. Finalmente, cada tema termina con dos relacionesde ejercicios cuya dificultad se ajusta a los objeivos perseguidos; estos ejercicios

    iii

  • deben ser resueltos por el alumno para completar el estudio optimo de launidad tematica. No obstante, cada alumno debera elegir la cantidad final deejercicios a resolver, en funcion de la facilidad o dificultad que encuentre alabordar el estudio de cada una de las partes de las lecciones.

    Es importante destacar que, atendiendo al peso de la asignatura en el plande estudios de la titulacion y a la traduccion de este peso en tiempo realde trabajo, esta asignatura precisa de 252 horas de estudio a lo largo de uncurso academico, incluyendo las horas dedicadas en el aula. Naturalmente,este tiempo debera ser incrementado o podra ser reducido en funcion de laformacion previa del alumno y de la calidad de las horas de estudio.

    La distribucion de los contenidos del curso abandona en algunos momen-tos lo que puede considerarse una estructura clasica de un curso de calculo;ademas, tambien se han eliminado secciones que, aunque apararecen habitual-mente en este tipo de cursos, consideramos que son mas propias de estudiantesde matematicas puras. Por ejemplo, la leccion dedicada a las ecuaciones dife-renciales se plantea como continuacion al calculo de primitivas, ya que ambostemas comparten tecnicas, y la resolucion de ecuaciones diferenciales se sus-tenta en el calculo de primitivas. En este mismo sentido, las series de Fourierse incluyen en el tema dedicado a las aplicaciones de la integral. En este caso,el objetivo es doble; por una parte, se estudian despues de haber aprendidoa calcular primitivas y tras repasar el calculo de integrales definidas, metodosen los que se basa la determinacion de los desarrollos de Fourier; por otra par-te, mostramos al alumno la inevitable imbricacion de los distintos temas y leobligamos a repasar lecciones anteriores. Esta idea es otra de las caractersti-cas del diseno de la asignatura: pretendemos que las destrezas a desarrollarpor el alumno tengan dificultad ascendente, y para ello intentamos que, en lamedida de lo posible, cada leccion use, y por lo tanto refuerce, los contenidosde las lecciones anteriores.

    Puede resultar extrano que el tema dedicado al estudio de los camposescalares no incluya un estudio formal de los conceptos de lmite y de diferen-ciabilidad. En dicho tema, nos centramos en el estudio de las propiedades delos campos continuos y diferenciales y en las aplicaciones de dichos conceptos.Entendemos que es necesario que un estudiante de calculo conozca en profun-didad las funciones continuas y diferenciables antes de enfrentarse al analisisde casos excepcionales.

    iv

  • Indice general

    1. Preliminares 1

    1.1. Polinomios y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2. Los numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2. Sucesiones y series numericas 59

    2.1. Sucesiones numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    2.2. Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    3. Curvas planas 133

    3.1. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    3.2. Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    4. Campos escalares 173

    4.1. Continuidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    4.2. Optimizacion de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    5. Ecuaciones diferenciales 223

    5.1. Calculo de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

    5.2. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

    6. Integracion 271

    6.1. Integracion de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . 272

    6.2. Integracion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

    v

  • TEMA 1

    Preliminares

    Objetivos. Los objetivos fundamentales del tema son (1) recordar y refor-zar la manipulacion de expresiones algebraicas, en especial los polinomios; (2)recordar y reforzar las tecnicas de resolucion de ecuaciones y sistemas de ecua-ciones; (3) saber calcular polinomios de Taylor; (4) saber operar con numeros yfunciones en el cuerpo de lo numeros complejos; y (5) saber utilizar los nume-ros complejos como herramienta en la resolucion de problemas con numerosreales.

    Prerrequisitos. Gran parte del contenido de este tema debe ser conocidoel alumno, por lo que parte del tiempo de preparacion lo dedicara a recordarconocimientos: saber manejar con soltura expresiones algebraicas (resolucionde ecuaciones, simplificacion,. . . ) en las que aparezcan funciones elementalesde tipo polinomico, potenciales, logartmicas y trigonometricas. Otro prerre-quisito del tema sera el calculo de derivadas.

    Contenido.

    Leccion 1.1: Polinomios y ecuaciones. Polinomios. El Binomio deNewton. Cambio de centro de un polinomio. Polinomios de Taylor. Com-plecion cuadrados. Forma factorizada de un polinomio. Funciones racio-nales y fracciones simples. Sistemas de ecuaciones.

    Leccion 1.2: Los numeros complejos. Conjuntos numericos: opera-ciones, propiedades y estructura. El cuerpo de los numeros complejos.Forma binomica un numero complejo. Funcion exponencial compleja.Forma exponencial de un numero complejo. Igualdad de Euler y formulade Moivre. Otras funciones con variable compleja: potencias y races,logaritmos, funciones trigonometrica y funciones hiperbolicas.

    Ingeniera Informatica. Calculo para la computacion 1

  • 2 Calculo para la computacion

    Los contenidos de este primer tema giran alrededor de dos nociones basicas,los polinomios y los numeros complejos. Sin embargo, el tema esta concebidopara que gran parte del trabajo necesario para su estudio sea repasar y refor-zar conceptos y tecnicas que el alumno debe conocer al iniciar unos estudiosuniversitarios.

    Dentro de la leccion dedicada a los polinomios, aparecen los polinomiosde Taylor. Si bien hasta el tema siguiente no aprenderemos sus aplicaciones,la inclusion en este tema servira para que el alumno repase las reglas de de-rivarion y las funciones elementales, a la vez que aprende algo nuevo. De lamisma forma, los numeros complejos no representan un tema especialmentedifcil de forma aislada, pero requiere que el alumno recuerde propiedades ytecnicas de manipulacion de potencias, logaritmos y funciones trigonometri-cas. Por estas razones, el tema se denomina Preliminares: alrededor de dosnociones relativamente simples se construye un tema pensado para repasar ypara adaptarse.

    Debemos pararnos brevemente en la ultima parte de la primera leccion.Aunque la resolucion de ecuaciones y sistemas de ecuaciones ocupen ese lugaren esta gua, su contenido sera trasversal al tema y esta pensado para queel alumno tenga un punto de referencia para aclarar las dudas que le pue-dan surgir sobre esos aspectos, aunque naturalmente, se estaran utilizando yresolviendo ecuaciones desde el primer da del curso.

    E.T.S.I.Informatica

  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 3

    LECCION 1.1

    Polinomios y ecuaciones

    1.1.1. Polinomios

    Un polinomio es una expresion algebraica de la forma

    anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x+ a0 (1.1)

    el numero n debe ser natural y, si an 6= 0, se denomina grado del polinomio; losnumeros ai son reales o complejos, aunque en esta leccion solo trabajaremoscon reales, y la variable x es la variable del polinomio. Para cada i, el monomioaix

    i se denomina termino i-esimo o termino de grado i y el numero ai sedenomina coeficiente i-esimo.

    Ejemplo 1.1.1

    1. P (x) = 3x2 x+ 1 es un polinomio de grado 2.

    2. Q(x) = x3 + x 2 es un polinomio de grado 3.

    Los polinomios definen un tipo de funciones elementales que se denominanfunciones polinomicas. El dominio de todas estas funciones es R y todas soncontinuas e infinitamente derivables en R. Una importante caracterstica de lasfunciones polinomicas es que las propiedades analticas, y sus consecuencias,pueden ser utilizadas para deducir propiedades algebraicas; y viceversa, laspropiedades algebraicas se pueden interpretar de forma analtica. Entenderestas relaciones es uno de los objetivos de este tema.

    El siguiente teorema establece una propiedad que, aunque pueda parecermuy simple, constituye la base de muchas de las tecnicas que aprenderemosen el resto del tema y a lo largo de la asignatura.

    Teorema 1.1.1 La funcion polinomica

    f(x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x+ a0

    es nula (f(x) = 0 para todo x) si y solo si ai = 0 para todo i.

    Ejemplo 1.1.2 Cual es el valor de a si la siguiente igualdad es valida paratodo x?

    x2 + ax+ 4 = (x 2)2

    Observese que, al decir que la igualdad debe ser valida para todo x, estamosestableciendo algo mas fuerte que una ecuacion, estamos estableciendo una

    Ingeniera Informatica

  • 4 Calculo para la computacion

    identidad entre funciones.

    x2 + ax+ 4 = (x 2)2x2 + ax+ 4 (x 2)2 = 0

    x2 + ax+ 4 x2 + 4x 4 = 0(a+ 4)x = 0

    Aplicando el teorema anterior a la ultima identidad entre funciones, podemosdeducir que a = 4.

    En el desarrollo de este ejemplo, hemos usado la tecnica que se conocecomo identificacion de coeficientes y que, como vemos, es consecuencia delteorema 1.1.1.

    Naturalmente, las propiedades de los numeros reales (conmutatividad,asociatividad, distributividad,. . . ) permiten transformar unas expresiones enotras devolviendo funciones identicas pero con distintas expresiones. En el casode los polinomios, podremos tener otras expresiones algebraicas reducibles a laforma (1.1) y que tambien deben ser consideradas como polinomios. De hecho,vamos a aprender a manejar otras formas de escribir funciones polinomicas yque dependiendo del tipo de problema a resolver, seran mas utiles:

    La expresion (1.1) se denomina forma expandida.

    Forma centrada en un numero arbitrario y el caso particular de cuadradoscompletos para polinomios de grado 2.

    Forma factorizada.

    Descomposicion factorial.

    Un error bastante frecuente es la tendencia a expandir los polinomios cuan-do trabajamos con ellos, pensando que esto facilita su manipulacion en la re-solucion de ecuaciones, calculo de derivadas, calculo de primitivas,. . . Esto nosiempre es cierto, por lo que se debe aprender a trabajar con los polinomios ensus distintas representaciones y a elegir la forma adecuada al tipo de problema.

    1.1.2. El Binomio de Newton

    En esta seccion introducimos la formula del binomio de Newton para calcu-lar cualquier potencia de una suma de expresiones y que generaliza la siguiente:

    (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

    E.T.S.I.Informatica

  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 5

    Para expandir una potencia como (a+ b)7 bastara con multiplicar siete vecesla expresion (a + b) eliminando los parentesis adecuadamente. El binomio deNewton es simplemente una formula que nos ahorra este trabajo.

    Definicion 1.1.2 (Factorial) Definimos el factorial de un numero naturaln, denotado por n!, como sigue:

    0! = 1

    n! = (n 1)! n para todo n 1

    En esta definicion, el operador factorial se define de forma recursiva, es de-cir, la definicion se llama as mismo hasta llegar a un caso base. Otra formaalternativa de escribir la definicion del operador es

    n! = 1 2 3 . . . n, para todon > 0

    Ejemplo 1.1.3

    0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 2 = 2, , 3! = 1 2 3 = 6

    10! = 1 2 3 . . . 10 = 3 628 800

    Definicion 1.1.3 (Numeros combinatorios) Sean n y k dos numeros na-turales tales que 0 k n. Se define el numero combinatorio (nk), que se leen sobre k, como

    n

    k

    =

    n!k! (n k)! (1.2)

    Ejemplo 1.1.400

    =

    0!0! 0! = 1,

    52

    =

    5!2! 3! = 10,

    107

    =

    10!7! 3! = 120

    Las siguiente proposicion recoge tres propiedades que se pueden deducir muyfacilmente desde la definicion.

    Proposicion 1.1.4 Para todo n R y todo k N:

    1.n

    0

    = 1 2.

    n

    n

    = 1 3.

    n

    k

    =

    n

    n k

    La forma habitual de calcular los numeros combinatorios es expandir parcial-mente el factorial del denominador y simplificar con el numerador:

    107

    =

    10!7! 3! =

    10 9 8 7!7! 3! =

    10 9 83!

    =10 9 8

    3 2 = 10 3 4 = 120

    Ingeniera Informatica

  • 6 Calculo para la computacion

    Esto lo podemos hacer de forma general para obtener una expresion alternativapara los numeros combinatorios.

    n

    k

    =

    n!k! (n k)! =

    n(n 1) . . . (n k + 1)((n k)!)k! (n k)! =

    =n(n 1) . . . (n k + 1)

    k!(1.3)

    La expresion obtenida en (1.3) es aplicable incluso si n es un numero real ono es mayor que k, lo que permite generalizar la definicion de los numeroscombinatorios.

    Definicion 1.1.5 (Numeros combinatorios) Sea x un numero real y k unnumero natural. Se define el numero combinatorio

    (xk

    ), que se lee x sobre k,

    como x

    0

    = 1,

    x

    k

    =x(x 1) . . . (x k + 1)

    k!si k > 0

    Para recordar la formula anterior, es muy util tener en cuenta que el numerode factores en el numerador debe ser exactamente k.

    Ejemplo 1.1.51/34

    =

    (1/3) (2/3) (5/3) (8/3)4!

    =

    = 2 5 834 4 3 2 =

    10243

    La siguiente propiedad es la mas importante de los numeros combinatorios,siendo el fundamento de el Triangulo de Pascal que veremos a continuacion ydel Binomio de Newton.

    Proposicion 1.1.6 Para todo n R y todo k N:n

    k

    +

    n

    k + 1

    =n+ 1k + 1

    Ejemplo 1.1.6 En este ejemplo, mostramos como se llega a esta igualdaden un caso particular; por esta razon, evitamos la realizacion de la mayorade los calculos intermedios. Este tipo de desarrollos nos ayudan a entenderdemostraciones generales, en las que manejamos variables y parametros enlugar de numeros concretos.

    83

    +

    84

    =

    8 7 63!

    +8 7 6 5

    4!=

    4 8 7 64 3! +

    8 7 6 54!

    =

    =4 8 7 6 + 8 7 6 5

    4!=

    (4 + 5) 8 7 64!

    =9 8 7 6

    4!=

    94

    E.T.S.I.Informatica

  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 7

    A la vista de este ejemplo, es facil entender la demostracion de la proposi-cion 1.1.6

    n

    k

    +

    n

    k + 1

    =

    =n (n 1) (n k + 1)

    k!+n (n 1) (n k + 1) (n k)

    (k + 1)!=

    =(k + 1) n (n 1) (n k + 1)

    (k + 1) k! +n (n 1) (n k)

    k!=

    =(k + 1 + n k) n (n 1) (n k + 1)

    (k + 1)!=

    =(n+ 1) n (n 1) (n k + 1)

    (k + 1)!=n+ 1k + 1

    Triangulo de Tartaglia. La propiedad 1.1.6 permite calcular los nume-ros combinatorios usando una representacion geometrica que se donominaTriangulo de Tartaglia o Triangulo de Pascal. En el vertice superior del triangu-lo, colocamos el numero

    (00

    )y debajo de el colocamos los numeros

    (10

    )y(11

    ),

    formando un primer triangulo con solo tres numeros. A partir de aqu, va-mos anadiendo nuevas filas usando la siguiente regla: debajo de cada par denumeros, colocamos su suma:

    (nk

    ) ( nk+1

    ) (n

    k

    )+( nk+1

    ) 1.1.6=(nk

    ) ( nk+1

    ) (n+1

    k+1

    )Adicionalmente, cada fila se comienza con

    (n0

    )y se termina con

    (nn

    ). Vemos a

    continuacion el triangulo resultante hasta la quinta fila; a la izquierda usandola representacion de los numeros combinatorios y a la derecha con los valoresresultantes.

    (00

    )(10

    ) (11

    )(20

    ) (21

    ) (22

    )(30

    ) (31

    ) (32

    ) (33

    )(40

    ) (41

    ) (42

    ) (43

    ) (44

    )(50

    ) (51

    ) (52

    ) (53

    ) (54

    ) (55

    )

    1

    1 1

    1 2 1

    1 3 3 1

    1 4 6 4 1

    1 5 10 10 5 1

    La segunda aplicacion de la proposicion 1.1.6 es el Binomio de Newtonque nos da una formula para expandir las potencias de una suma. En esta

    Ingeniera Informatica

  • 8 Calculo para la computacion

    formula, utilizamos el smbolo

    , que va acompanado de una serie de parame-tros para indicar la expresion a sumar, f(n), la variable respecto de la que sesuma, n, y los valores inicial, a, y final, b, que toma la variable:

    bn=a

    f(n) = f(a) + f(a+ 1) + + f(b)

    En muchos lenguajes de programacion o en programas de calculo simbolico,esta expresion tiene una sintaxis similar a

    sum(f(n), n, a, b)

    Teorema 1.1.7 (Formula del Binomio de Newton) Para todo par de nume-ros reales a, b, se verifica que

    (a+ b)n =nk=0

    n

    k

    ankbk

    En este teorema hacemos uso de un importante operador matematico, el suma-torio. Con este operador podemos representar la suma de varias expresionesque se diferencian solamente en el valor de un parametro. Para la formuladel binomio de Newton, este parametro es k y cada sumando se correspondecon un valor de este parametro comprendido entre 0 y n. Tambien podemosescribir este tipo de sumas usando puntos suspensivos,

    (a+ b)n =nk=0

    n

    k

    ankbk =

    =n

    0

    anb0 +

    n

    1

    an1b+

    n

    2

    an2b2 + +

    n

    n 1abn1 +

    n

    n

    a0bn,

    pero como puede verse, estas expresiones pueden ser difciles de entender, yaque debemos deducir cual es el patron comun de cada sumando.

    Ejemplo 1.1.7

    (x y)2 = (20)x2(y)0 + (21)x(y) + (22)x0(y)2 = x2 2xy + y2(s+ t)3 =

    (30

    )s3t0 +

    (31

    )s2t+

    (32

    )st2 +

    (33

    )s0t3 = s3 + 3s2t+ 3st2 + t3

    (z 2)6 = z6 12z5 + 60z4 160z3 + 240z2 192z + 64

    2n = (1 + 1)n =(n

    0

    )+(n

    1

    )+(n

    2

    )+ . . .+

    ( nn1

    )+(nn

    )

    En el siguiente ejemplo, vamos a calcular la potencia tercera de un binomiode tal manera que podamos intuir la demostracion de la formula general.

    E.T.S.I.Informatica

  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 9

    Ejemplo 1.1.8 Calculamos la potencia tercera a partir del cuadrado, peroescribiendo los coeficientes como numeros combinatorios:

    (a+ b)3 = (a+ b)(a+ b)2 = (a+ b)(a2 + 2ab+ b2)

    = (a+ b)((20

    )a2 +

    (21

    )ab+

    (22

    )b2)

    = a((20

    )a2 +

    (21

    )ab+

    (22

    )b2) + b(

    (20

    )a2 +

    (21

    )ab+

    (22

    )b2)

    =(20

    )a3 +

    (21

    )a2b+

    (22

    )ab2 +

    (20

    )a2b+

    (21

    )ab2 +

    (22

    )b3

    = a3 + ((21

    )+(20

    ))a2b+ (

    (22

    )+(21

    ))ab2 + b3

    = a3 +(31

    )a2b+

    (32

    )ab2 + b3

    En la ultima igualdad hemos usado la proposicion 1.1.6.

    Para hacer una demostracion general a partir de la idea mostrada en esteejemplo, necesitamos aplicar sucesivamente los mismos pasos. La tecnicaque permite hacer esto formalmente se conoce como Induccion matematica:para demostrar que todo los numeros naturales verifican una determinadapropiedad P, tenemos que:

    (i) Demostrar que el numero 0 verifica la propiedad P.(ii) Deducir que n+ 1 tiene la propiedad a partir de la suposicion de que n

    verifica la propiedad.

    El apartado (i) puede sustituirse por la misma prueba para otro numero (1,2, . . . ), siendo la conclusion que todos los numeros a partir de el verifican lapropiedad deseada.

    Por ejemplo, para el binomio de Newton podemos partir de la propiedadpara el numero 2, que coincide con la igualdad notable ya conocidad:

    (i) (a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 + ab+ ba+ b2 == a2 + 2ab+ b2 =

    (20

    )a2 +

    (21

    )ab+

    (22

    )b2

    Ahora, suponemos que la formula es verdadera para n y a partir de elladeducimos la correspondiente para n+ 1. Este es el paso que hemos visto enel ejemplo 1.1.8 para el caso particular n = 2.

    (ii) (a+ b)n =nk=0

    n

    k

    ankbk

    (a+ b)n+1 = (a+ b)nk=0

    n

    k

    ankbk

    (a+ b)n+1 = a

    (nk=0

    n

    k

    ankbk

    )+ b

    nk=0

    n

    k

    ankbk

    Ingeniera Informatica

  • 10 Calculo para la computacion

    (a+ b)n+1 =

    (nk=0

    n

    k

    ank+1bk

    )+

    nk=0

    n

    k

    ankbk+1

    (a+ b)n+1()=

    (nk=0

    n

    k

    ank+1bk

    )+n+1k=1

    n

    k 1ank+1bk

    (a+ b)n+1 = an+1 +

    (nk=1

    n

    k

    ank+1bk

    )+

    (nk=1

    n

    k 1ank+1bk

    )+ bn+1

    (a+ b)n+1 = an+1 +

    (nk=1

    n

    k

    +

    n

    k 1

    ank+1bk)

    + bn+1

    (a+ b)n+1 = an+1 +

    (nk=1

    n+ 1k

    ank+1bk

    )+ bn+1

    (a+ b)n+1 =n+1k=0

    n+ 1k

    ank+1bk

    Efectivamente, la ultima igualdad coincide con la formula del binomio de New-ton para n+1. Aparte de aplicar el mismo desarrollo que en el ejemplo anterior,tambien hemos explotado la ventaja de trabajar con el operador sumantorio.Concretamente, en el segundo sumatorio a la derecha de la igualdad (), he-mos realizado un cambio de ndice: hemos sustituido k por k1, de forma queel nuevo ndice k se mueve de 1 a n+ 1; con este cambio, conseguimos queel interior de los dos sumatorios coincida para casi todos los sumandos, lo quepermite hacer las asociaciones y simplificaciones de las igualdades siguientes.

    Es posible que la demostracion anterior resulte demasiado compleja a estasalturas del curso, pero es conveniente hacer un esfuerzo por entenderlas parapoder reproducir el mismo tipo de transformaciones en otros momentos delcurso y en otras materias.

    1.1.3. Cambio de centro de un polinomio

    Un polinomio centrado en x0 es una expresion algebraica de la forma

    an(x x0)n + an1(x x0)n1 + + a2(x x0)2 + a1(x x0) + a0 (1.4)

    Tambien se dice que el polinomio esta expresado en terminos de (x x0).Naturalmente, estas expresiones son polinomios y con la ayuda del binomiode Newton podemos transformarlas facilmente en su forma expandida. Porotra parte, la forma expandida de un polinomio no es mas que el polinomiocentrado en x0 = 0.

    Veremos que esta forma alternativa de escribir un polinomio puede ser masconveniente que la expandida para determinadas operaciones y por lo tanto esmuy importante disponer del siguiente resultado.

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 11

    Teorema 1.1.8 Para todo numero x0, cualquier polinomio P (x) puede serescrito de forma unica como polinomio centrado en x0.

    Ocurre muchas veces en matematicas que la descripcion formal de un pro-cedimiento es mas compleja que el propio procedimiento. Este es el caso delos metodos que permiten expresar un polinomio expandido en terminos deun binomio (x x0). Por esta razon, vamos a describir estos metodos sobreejemplos poco triviales en lugar de intentar hacer una descripcion general quetendra muy poca utilidad.

    Ejemplo 1.1.9 Haciendo uso de simples operaciones algebraicas y del bino-mio de Newton, vamos a expresar el polinomio

    P (x) = 2x3 x2 + 3x 1en terminos de (x+1). Para ello, sustituimos x por (x+1)1 y expandimos laexpresion resultante sin eliminar en ningun momento los parentesis de (x+1):

    2x3x2 + 3x 1 = 2((x+ 1) 1)3 ((x+ 1) 1)2 + 3((x+ 1) 1) 1= 2((x+ 1)3 3(x+ 1)2 + 3(x+ 1) 1)

    ((x+ 1)2 2(x+ 1) + 1) + 3(x+ 1) 3 1= 2(x+ 1)3 7(x+ 1)2 + 11(x+ 1) 7

    Ejemplo 1.1.10 Vamos a repetir el ejemplo anterior pero usando las deriva-das sucesivas del polinomio. La igualdad que queremos conseguir es la siguien-te,

    P (x) = 2x3 x2 + 3x 1 = a3(x+ 1)3 + a2(x+ 1)2 + a1(x+ 1) + a0;Para determinar los coeficientes ai, vamos a hallar las derivadas sucesivasdel polinomio en sus dos representaciones, la incial y la centrada en 1, yevaluaremos ambas expresiones en el nuevo centro:

    P (x) = 2x3 x2 + 3x 1 P (1) = 7P (x) = a3(x+ 1)3 + a2(x+ 1)2 + a1(x+ 1) + a0 P (1) = a0

    a0 = 7P (x) = 6x2 2x+ 3 P (1) = 11

    P (x) = 3a3(x+ 1)2 + 2a2(x+ 1) + a1 P (1) = a1

    a1 = 11P (x) = 12x 2 P (1) = 10

    P (x) = 3 2a3(x+ 1) + 2a2 P (1) = 2a2

    a2 = 10/2 = 5P (x) = 12 P (1) = 12

    P (x) = 3 2a3 P (1) = 3 2a3

    a3 = 12/6 = 2Esto nos lleva a la misma expresion que obtuvimos en el ejemplo anterior:

    2x3 x2 + 3x 1 = 2(x+ 1)3 7(x+ 1)2 + 11(x+ 1) 7

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  • 12 Calculo para la computacion

    En este ejemplo nos hemos parado en la derivada tercera, pero podramoshaber continuado sucesivamente si el grado del polinomio fuera mayor. Unproceso similar pero aplicado a un polinomio cualquiera demuestra la siguienteproposicion

    Proposicion 1.1.9 Si P (x) =nk=0

    ak(x x0)k, entonces P (k)(x0) = ak k!.

    Ejemplo 1.1.11 La tercera forma para llegar a la forma centrada de un po-linomio en un centro distinto de 0 hace uso de la division de polinomios.Nuevamente, queremos encontrar los coeficientes ai tales que

    P (x) = 2x3 x2 + 3x 1 = a3(x+ 1)3 + a2(x+ 1)2 + a1(x+ 1) + a0;Vamos a razonar sobre la parte derecha para justificar el procedimiento queaplicaremos despues. Si dividimos P (x) entre x+ 1 obtenemos:

    P (x)x+ 1

    =a3(x+ 1)3 + a2(x+ 1)2 + a1(x+ 1) + a0

    x+ 1=

    = a3(x+ 1)2 + a2(x+ 1)1 + a1 +a0

    x+ 1

    Es decir, C1(x) = a3(x + 1)2 + a2(x + 1)1 + a1 es el cociente y a0 es el restode la division. Si ahora dividimos C1 de nuevo entre x+ 1,

    C1(x)x+ 1

    =a3(x+ 1)2 + a2(x+ 1) + a1

    x+ 1= a3(x+ 1) + a2 +

    a1x+ 1

    obtenemos como resto al coeficiente a1. Podemos seguir as sucesivamente ydeducimos que la secuencia a0, a1, a2,. . . es la de los restos que se obtiene aldividir P (x) entre x+1 sucesivamente. Para realizar esta secuencia de divisio-nes utilizamos el metodo de Ruffini, cuyos detalles no recordamos aqu peroque se pueden encontrar en cualquier manual de matematicas de educacionsecundaria.

    2 1 3 11 2 3 6

    2 3 6 71 2 5

    2 5 111 2

    2 71

    2

    Esto nos lleva a la misma expresion que obtuvimos en los ejemplos anteriores:

    2x3 x2 + 3x 1 = 2(x+ 1)3 7(x+ 1)2 + 11(x+ 1) 7

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 13

    Esta claro que el metodo del ultimo ejemplo ha sido el mas simple y elque menos trabajo supone, sin embargo, es conveniente entender los otrosmetodos, ya que nos han permitido recordar, aplicar e incluso deducir variaspropiedades que usaremos a lo largo del curso.

    1.1.4. Polinomios de Taylor

    Los polinomios son las funciones elementales mas simples, ya que solo hacenuso de las operaciones algebraicas: sumas, restas y productos. La situacionideal es que el resto de las funciones elementales se pudieran convertir enpolinomios, pero esto no es cierto en ningun caso. Sin embargo, si es posibleaproximar cualquier funcion elemental con polinomios, as como cualquierfuncion que se pueda construir a partir de ellas en determinadas condiciones.Como veremos mas detalladamente en el tema siguiente, para establecer unmetodo de aproximacion adecuado debemos saber construir una aproximacionde una funcion dada y tambien debemos poder mejorar la aproximacion cuantodeseemos. En esta seccion, solo vamos a aprender a construir los polinomiospero sera en el tema siguiente cuando aprendamos a controlar los errores alconsiderar este metodo de aproximacion.

    Definicion 1.1.10 El polinomio de Taylor de orden n de la funcion f en elpunto x0 es un polinomio de grado menor o igual que n tal que su valor en x0y el valor de las n primeras derivadas coinciden con los de f .

    Como consecuencia de la proposicion 1.1.9, podemos deducir facilmente laexpresion analtica de los polinomios de Taylor.

    Proposicion 1.1.11 El polinomio de Taylor es unico y viene dado por:

    f(x0) + f (x0)(x x0) + f(x0)

    2(x x0)2 + . . .

    + f(n)(x0)n!

    (x x0)n =ni=0

    f (i)(x0)i!

    (x x0)i

    El polinomio de Taylor en x0 = 0 se denomina igualmente polinomio deMcLaurin.

    Ejemplo 1.1.12 Para la funcion f(x) = ex, se verifica que f (n)(x) = ex yf (n)(0) = e0 = 1 para todo n. Por lo tanto, el polinomio de Taylor de orden nde la funcion exponencial en el punto 0 es:

    T (x) = 1 + x+x2

    2+ + x

    n

    n!

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  • 14 Calculo para la computacion

    X

    Y

    1

    1

    f(x) = ex

    T1(x) = 1 + x

    X

    Y

    1

    1

    f(x) = ex

    T2(x) = 1 + x+x2

    2

    X

    Y

    1

    1

    f(x) = ex

    T4(x) = 1 + x+x2

    2+ x

    3

    6+ x

    4

    24

    Figura 1.1: Funcion exponencial y algunos polinomios de Taylor.

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 15

    En la figura 1.1, aparecen representadas la funcion exponencial y los polino-mios de Taylor de orden 1, 2 y 4. En primer lugar, apreciamos el parecido de lafuncion y sus polinomios, mayor cuanto mayor es el orden y cuanto mas cercaestamos del punto x0 = 0. Ademas, para el caso n = 1, observamos que larecta obtenida en su representacion coincide con la recta tangente en el puntox0 = 0.

    Los polinomios de Taylor pueden calcularse en cualquier punto, pero de-bemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:

    Si queremos utilizarlos para aproximar magnitudes, solo tiene sentidousar los polinomios en los puntos para los cuales los coeficientes obteni-dos sean numeros racionales, ya que el objetivo de cualquier metodo deaproximacion debe ser estimar magnitudes reales con magnitudes racio-nales.

    Como veremos en el tema siguiente, la posibilidad de controlar los erro-res cometidos solo la tendremos para las funciones elementales y algunasfunciones construidas a partir de ella de forma muy simple. Por lo tan-to, nos limitaremos a calcular los polinomios de Taylor de este tipo defunciones.

    Tambien podemos utilizar los polinomios para deducir propiedades lo-cales de la funciones, es decir, para estudiar que es lo que ocurre enun entorno muy pequeno alrededor de un punto. En estos casos, po-dremos trabajar con cualquier funcion y cualquier punto, aunque nonecesitaremos calcular completamente los polinomios. Por ejemplo, to-dos los resultados de clasificacion de puntos crticos en los problemas deoptimizacion, se basan en los desarrollos de Taylor.

    Ejemplo 1.1.13 Vamos a calcular el polinomio de Taylor de la funcion log x(logaritmo neperiano) en x0 = 1. No podemos elegir a 0 como centro, yaque ese punto no esta en el dominio; ademas, el numero 1 es el unico puntodel dominio cuyas derivadas sucesivas son numeros racionales. Empezamoscalculando las primeras derivadas sucesivas de la funcion f(x) = log x, x > 0:

    f (x) = x1

    f (x) = x2f (x) = 2x3

    f (4)(x) = 3 2x4f (5)(x) = 4 3 2x5

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  • 16 Calculo para la computacion

    Podemos observar que:

    Nos aparece alternativamente el signo : las derivadas pares son ne-gativas y las impares positivas. Por lo tanto, para el orden de derivacionn, el signo sera (1)n1.No hemos multiplicado las constantes para poder observar como se cons-truyen: en cada paso de derivacion multiplicamos por el siguiente numeronatural. De esta forma, la constante correspondiente al orden de deriva-cion n es (n 1)!.Finalmente, en cada derivada, la variable x aparece con un exponentenegativo cuyo valor absoluto coincide con el orden de derivacion.

    Es decir, con la observacion de estas primeras derivadas podemos intuir que

    f (n)(x) = (1)n1(n 1)!xn, n 1 (1.5)Sin embargo, debemos hacer una demostracion formal de esta afirmacionusando induccion matematica (ver pagina 9):

    (i) Para n = 1: (1)11(1 1)!x1 = 1 1x1 = x1 = f (x).(ii) Supongamos que la formula es valida para n y a partir de ah, vamos a

    deducirla para n+ 1.

    f (n)(x) = (1)n1(n 1)!xn

    f (n+1)(x) =d

    dxf (n)(x) =

    ddx

    (1)n1(n 1)!xn

    f (n+1)(x) = n(1)n1(n 1)!xn1f (n+1)(x) = (1)nn!x(n+1)

    Efectivamente, la ultima igualdad se corresponde con la formula (1.5)sustituyendo n por n+ 1.

    Por lo tanto, podemos concluir que la formula es valida para todo n.

    El resto del ejemplo consiste simplemente en aplicar la formula del polino-mio de Taylor:

    f(1) = log 1 = 0, f (n)(1) = (1)n1(n 1)!T (x) = 0 + 1 (x 1) 1!2!(x 1)2 + 2!3!(x 1)3 + + (1)n1 (n1)!n! (x 1)n

    T (x) = (x 1) 12(x 1)2 + 13(x 1)3 + + (1)n1 1n(x 1)n

    T (x) =nk=1

    (1)k1 1k

    (x 1)k

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 17

    En general, puede ser bastante complicado hallar los polinomios de Taylorde funciones no elementales a partir de la definicion, pero como es habitual enmatematicas, podemos facilitar estos calculos estudiando el comportamientorespecto de las operaciones algebraicas.

    Proposicion 1.1.12

    1. El n-esimo polinomio de Taylor de f + g es la suma de los n-esimospolinomios de Taylor de f y g

    2. El n-esimo polinomio de Taylor de f g es el producto de los n-esimospolinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayorque n.

    3. El n-esimo polinomio de Taylor de f/g es el cociente, obtenido por di-vision larga hasta el grado n, de los n+m-esimos polinomios de Taylorde f y g, en donde m es el menor grado de los terminos del polinomiode g (es decir, el menor natural tal que g(m)(x0) 6= 0).

    4. El n-esimo polinomio de Taylor de fg es la composicion de los n-esimospolinomios de Taylor de f y g desechando los sumandos de grado mayorque n.

    5. La derivada del (n+ 1)esimo polinomio de Taylor de f , es el nesimopolinomio de Taylor de f . Esta propiedad se suele aplicar en sentidoinverso, a partir del polinomio de f , se obtiene el polinomio de f .

    A partir de estas propiedades y de los desarrollos de funciones elementales,es posible estudiar una amplia familia de funciones. Debemos observar sinembargo, que no siempre es practico o util el uso de los desarrollos de Taylorpara funciones arbitrarias, ya que su calculo directo puede ser imposible yaunque la aplicacion de las propiedades anteriores ayude en algunos casos, noproporciona una forma alternativa para calcular los restos, necesarios en elcontrol de errores. No obstante, estas propiedades s pueden ser utiles paraotras aplicaciones de polinomio de Taylor.

    1.1.5. Complecion cuadrados

    La complecion de cuadrados es una simple transformacion de polinomiosde grado 2 pero cuya aplicacion permite resolver muchos problemas, lo quehace que su uso sea bastante comun en Matematicas: resolucion de ecuacionesde segundo grado, estudio y representacion de parabolas, simplificacion deexpresiones,. . .

    La expresion de un polinomio de grado 2 centrado en un numero x0 es:

    P (x) = b2(x x0)2 + b1(x x0) + b0

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  • 18 Calculo para la computacion

    Si b1 = 0, decimos que la expresion tiene cuadrados completos, ya que la varia-ble x no aparece en un termino de grado 1. Aunque los metodos mostrados enla seccion anterior nos dan distintas formas de hallar el valor de x0 y la expre-sion centrada en x0, en este caso es preferible usar simplemente identificacionde coeficientes para lograr una igualdad del tipo:

    ax2 + bx+ c = a(x+A)2 +B

    Ejemplo 1.1.14 Vamos a transformar el polinomio 2x23x+1 usando iden-tificacion de coeficientes:

    2x2 3x+ 1 = 2(x+A)2 +B2x2 3x+ 1 = 2(x2 + 2Ax+A2) +B2x2 3x+ 1 = 2x2 + 4Ax+ 2A2 +B

    Por lo tanto,

    4A = 3 A = 3/4, 2A2 +B = 1 B = 1 2 916

    = 18

    y de ah: 2x2 3x+ 1 = 2x 34

    2 18 .Es preferible, no obstante, aprender a realizar esta transformacion de una

    forma mas rapida y que denominaremos complecion de cuadrados. Para intro-ducirla antes de aplicarla en el siguiente ejemplo, vamos a fijarnos en un casoparticular muy simple, el polinomio x2 + bx; para este polinomio, teniendo encuenta la formula del cuadrado de un binomio, es bastante facil observar quela transformacion tendra la forma

    x2 + bx =x+

    b

    2

    2+ . . .

    Si elevamos al cuadro mentalmente, nos aparece el numero b2/4, que noesta en el lado izquierdo, y por lo tanto debemos eliminarlo; ya sabemos quees lo que tenemos que poner en los puntos suspensivos.

    x2 + bx =x+

    b

    2

    2 b

    2

    4

    Hemos preferido explicar de esta forma la formula anterior (que por otra partees inmediata) para describir cual debe ser la forma en la que razonemos latransformacion en el caso general.

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 19

    Ejemplo 1.1.15 Vamos a transformar el polinomio 2x24x+1 usando com-plecion de cuadrados:

    2x2 4x 1 = 2x2 2x 12

    = 2

    ((x 1)2 1) 12

    = 2(x 1)2 2 1= 2(x 1)2 3

    En la primera igualdad hemos sacado factor comun 2 para que nos quede elcaso trivial comentado antes. Los dos sumandos subrayados con la llave son losque contienen la variable x y que son sustituidos por el cuadrado perfectosegun hemos visto antes.

    1.1.6. Forma factorizada de un polinomio

    Segun hemos visto, todo polinomio puede ser escrito desplazando su centroa un punto cualquiera x0. A partir de la expresion 1.4 as obtenida, es facildeducir la siguiente propiedad.

    Proposicion 1.1.13 Si P (x0) = 0, entonces P (x) es divisible por x x0.

    Las soluciones de la ecuacion P (x) = 0 se denomina igualmente races del po-linomio P . Veremos en la leccion siguiente que la propiedad anterior es validaincluso para soluciones complejas y estableceremos los resultados necesariospara demostrar el siguiente resultado.

    Teorema 1.1.14 Todo polinomio P (x) puede ser escrito siguiendo el esque-ma

    P (x) = a(x a1)n1(x a2)n2 . . . (x ap)np(x2 + b1x+ c1)m1(x2 + b2x+ c2)m2 . . . (x2 + bqx+ cq)mq ,

    siendo a1, . . . , ap las races reales de P y en donde los polinomios x2 + bix+ cino tiene races reales. Los numeros naturales ni y mj son la multiplicidad delas correspondientes races.

    La descomposicion dada por este teorema se dice que es la factorizacionen R del polinomio. La proposicion 1.1.13 nos da flexibilidad para obteneresta factorizacion utilizando indistintamente la resolucion de ecuaciones o lamanipulacion algebraica del polinomio.

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  • 20 Calculo para la computacion

    Ejemplo 1.1.16

    1. x4 1 = (x2 + 1)(x2 1) = (x2 + 1)(x+ 1)(x 1); el polinomio x2 + 1no tiene races reales.

    2. Para factorizar x3+2x2+2x+1 buscamos alguna raz real usando Ruffini.Dado que el coeficiente del termino de mayor grado es 1 buscamos lasraces entre los divisores del termino independiente, 1 y -1

    1 2 2 1

    1 1 1 11 1 1 0

    El polinomio que queda como cociente, x2 +x+ 1, no tiene races reales,

    11 42

    6 R,

    y por lo tanto, la factorizacion buscada es

    x3 + 2x2 + 2x+ 1 = (x2 + x+ 1)(x+ 1)

    1.1.7. Funciones racionales y fracciones simples

    Las funciones expresadas como cociente de polinomios se denominan fun-ciones racionales. En funcion de los grados de los polinomios se clasifican enpropias, si el grado del denominador es mayor que el grado del numerador,e impropias, si el grado del denominador es menor o igual que el grado delnumerador.

    Ejemplo 1.1.17

    1. Las funciones x2 xx+ 3

    y x2 + 3x 4x2 2x 8 son funciones racionales impropias.

    2. La funcion racional 5x+ 4x2 2x 8 es propia.

    Proposicion 1.1.15 Cualquier funcion racional se puede expresar como su-ma de un polinomio y de una funcion racional propia.

    Para lograr esa transformacion basta dividir los dos polinomios y aplicar laigualdad

    P (x)Q(x)

    = C(x) +R(x)Q(x)

    ,

    en donde C(x) el cociente y R(x) el resto de dividir P (x) entre Q(x).

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 21

    Ejemplo 1.1.18 La funcion racional x6 2

    x4 + x2no es propia; dividimos para

    obtener la expresion de la proposicion anterior.

    x6 2 x4 + x2

    x6 x4 x2 1x4 2+x4 +x2

    +x2 2

    Mostramos, pero no explicamos, los detalles de la division, que pueden consul-tarse en cualquier manual de matematicas de secundaria. Ya podemos escribirla descomposicion deseada.

    x6 2x4 + x2

    = x2 1 + x2 2

    x4 + x2

    Definicion 1.1.16 (fraccion simple) Las funciones racionales

    A

    (ax+ b)n,

    Ax+B(ax2 + bx+ c)n

    ,

    en donde, n N, A,B, a, b, c R y ax2 + bx + c no tiene races reales, sedenominan fracciones simples.

    Por ejemplo,

    32x+ 1

    , 5x3 3x2 + 3x 1 =

    5(x 1)3 ,

    x2x2 + 2x+ 1

    , 1 xx4 + 8x2 + 16

    = 1 x(x2 + 4)2

    ,

    son fracciones simples. Sin embargo,

    xx 2 no es fraccion simple, ya que el numerador no es una constante;

    x2 + x+ 1x2 + 1

    no es simple, ya que el numerador tiene grado 2;

    1x3 + 4x

    no es simple, ya que el denominador, x(x2+4), no se corresponde

    con una potencia de un polinomio de grado 1, ni con una potencia de unpolinomio de grado 2;

    2x+ 5(x2 4)3 no es simple, ya que el polinomio x

    2 4 tiene races reales.

    Proposicion 1.1.17 Cualquier funcion racional propia se puede expresar co-mo suma de fracciones simples.

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  • 22 Calculo para la computacion

    Esta transformacion la conseguimos con los siguientes pasos:

    Paso 1: Factorizamos en R el polinomio Q(x) del denominador:

    Q(x) = a(x a1)n1(x a2)n2 . . . (x ap)np(x2 + b1x+ c1)m1(x2 + b2x+ c2)m2 . . . (x2 + bqx+ cq)mq

    Paso 2: A partir de la descomposicion anterior, se puede afirmar que lafuncion racional se puede descomponer de la siguiente forma:

    R(x)Q(x)

    =1a0

    A11x a1 +

    A12(x a1)2 + +

    A1n1(x a1)n1

    +

    +

    A21x a2 +

    A22(x a2)2 + +

    A2n2(x a2)n2

    +

    + +

    +

    Ap1x ap +

    Ap2(x ap)2 + +

    Apnp(x ap)np

    +

    +B11x+ C11x2 + b1x+ c1

    + + B1m1x+ C1m1(x2 + b1x+ c1)m1

    +

    +B21x+ C21x2 + b2x+ c2

    + + B2m1x+ C2m1(x2 + b2x+ c2)m2

    +

    + +

    +Bq1x+ Cq1x2 + bqx+ cq

    + + Bqmqx+ Cqmq(x2 + b1x+ c1)mq

    (1.6)

    que tiene tantos sumando como factores tiene el denominador. Para ca-da raz real, se consideran tantos sumandos como su multiplicidad, endonde los denominadores son las potencias sucesivas del correspondien-te factor y los numeradores son constantes. Para cada factor de grado2 irreducible, se consideran tantos sumandos como su multiplicidad, endonde los denominadores son las potencias sucesivas del correspondientefactor y los numeradores son polinomios de grado 1.

    Paso 3: Para terminar de calcular la descomposicion, debemos hallarlos valores de los parametros Aij , Bij y Cij . Esto lo hacemos sumandola parte derecha de la igualdad (1.6) (observese que el mnimo comunmultiplo de los denominadores es exactamente Q(x)) e igualando loscoeficientes del numerador resultante con P (x). El problema a resolversera siempre un sistema de ecuaciones lineales.

    Ejemplo 1.1.19 Mostramos el proceso de descomposicion en fracciones sim-

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 23

    ples de la funcion racional propia x2 2

    x4 + x2.

    x2 2x4 + x2

    =x2 2

    x2(x2 + 1)[Factorizamos el denominador,. . .

    =A

    x+B

    x2+Cx+ Dx2 + 1

    [aplicamos el esquema de descomposicion,. . .

    =Ax(x2 + 1) +B(x2 + 1) + x2(Cx+ D)

    x2(x2 + 1)[sumamos. . .

    =(A+ C)x3 + (B + D)x2 +Ax+B

    x2(x2 + 1)[y agrupamos.

    Al igualar los coeficientes de los polinomios de los numeradores, obtenemos elsiguiente sistema de 4 ecuaciones y 4 incognitas:

    B = 2A = 0

    B + D = 1

    A+ C = 0

    cuya solucion es A = 0, B = 2, C = 0 y D = 3. Por lo tanto:x2 2x4 + x2

    = 2x2

    +3

    x2 + 1

    Ejemplo 1.1.20 La siguiente funcion racional tambien es propia y por lotanto no es necesario dividir los polinomios:

    6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x 1(x 1)2(x+ 2)(x2 + x+ 1)2

    El denominador ya esta factorizado, as que podemos pasar directamente aescribir la descomposicion en fracciones simples:

    6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x 1(x 1)2(x+ 2)(x2 + x+ 1)2 =

    =A

    x 1 +B

    (x 1)2 +C

    x+ 2+

    Dx+ Ex2 + x+ 1

    +Fx+G

    (x2 + x+ 1)2

    Sumamos la expresion de la derecha tomando el denominador inicial comomnimo comun multiplo y obtenemos la siguiente igualdad de numeradores

    6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x 1 == A(x1)(x+2)(x2 +x+1)2 +B(x+2)(x2 +x+1)2 +C(x1)2(x2 +x+1)2+

    + (Dx+ E)(x 1)2(x+ 2)(x2 + x+ 1) + (Fx+G)(x 1)2(x+ 2) == (A+ C + D)x6 + (3A+B + D + E)x5 + (3A+ 4B 2D + E + F )x4+

    + (A+ 7B 2C D 2E +G)x3 + (3A+ 8B + D E 3F )x2++ (3A+ 5B + 2D E + 2F 3G)x+ (2A+ 2B + C + 2E + 2G)

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  • 24 Calculo para la computacion

    Por lo que, igualando coeficientes, obtenemos el siguiente sistema de sieteecuaciones lineales con siete incognitas:

    x6 0 = A+ C + Dx5 6 = 3A+B + D + Ex4 16 = 3A+ 4B 2D + E + Fx3 22 = A+ 7B 2C D 2E +Gx2 18 = 3A+ 8B + D E 3Fx1 20 = 3A+ 5B + 2D E + 2F 3G1 1 = 2A+ 2B + C + 2E + 2G

    =

    A = 1

    B = 3

    C = 1D = 0

    E = 0

    F = 1

    G = 2

    Por tanto, la descomposicion final es:

    6x5 + 16x4 + 22x3 + 18x2 + 20x 1(x 1)2(x+ 2)(x2 + x+ 1)2 =

    =1

    x 1 +3

    (x 1)2 1

    x+ 2+

    x 2(x2 + x+ 1)2

    Ejemplo 1.1.21 Mostramos varios ejemplos de funciones racionales y las co-rrespondientes descomposiciones sin mostrar los detalles de los calculos inter-medios.

    1. x2 xx+ 3

    = x 4 + 12x+ 3

    2. x4 3

    x2 + x+ 1= x2 x+ x 3

    x2 + x+ 1

    3. x+ 5x2 + x 2 =

    2x 1

    1x+ 2

    4. 2x3 4x2 x 3x2 2x 3 = 2x+

    5x 5(x+ 1)(x 3) = 2x+

    2x+ 1

    + 3x 3

    5. x2 + 2x 1

    2x3 + 3x2 2x =x2 + 2x 1

    2x(x 12

    )(x+ 2)= 1/2

    x+ 1/5

    2x 1 1/10x+ 2

    6. x4 2x2 + 4x+ 1x3 x2 x+ 1 = x+ 1 +

    4xx3 x2 x+ 1 =

    = x+ 1 + 1x 1 +

    2(x 1)2

    1x+ 1

    7. 2x3 4x 8

    x4 x3 + 4x2 4x =2x3 4x 8

    x(x 1)(x2 + 4) =2x 2x 1 +

    2x+ 4x2 + 4

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 25

    8. 9 + 2x+ 7x2 + 5x4 2x5

    x4 + x2 + 1= 5 2x+ 2x3 + 2x2 + 4x+ 4

    x4 + x2 + 1=

    = 5 2x+ 2x+ 1x2 + x+ 1

    + 3x2 x+ 1

    9. 2x3 + x

    (x2 + x+ 1)(x2 + 1)= 2x+ 1x2 + x+ 1

    1x2 + 1

    10. x2

    x4 + 2x2 + 1= x

    2

    (x2 + 1)2= 1x2 + 1

    1(x2 + 1)2

    11. x2 + 1

    (x 1)(x2 + 2)2 =2/9x 1

    2/9(x+ 1)x2 + 2

    + 1/3(x+ 1)(x2 + 2)2

    1.1.8. Sistemas de ecuaciones

    Una ecuacion es una igualdad del tipo

    e1(x) = e2(x) (1.7)

    que se supone valida para algunos valores de x; resolver esa ecuacion consisteen determinar esos valores de x. Para resolver la ecuacion 1.7, realizamoslas mismas operaciones o aplicamos las mismas funciones a ambos lados delsmbolo de igualdad hasta llegar a una o varias igualdades del tipo x = . . . , detal forma que en el lado derecho no aparece la variable x. Si la funcion aplicadaa ambos lados de la igualdad es biyectiva, tenemos asegurado que la ecuacionobtenida es equivalente, es decir, tiene las mismas soluciones; sin embargo, sila funcion no es biyectiva, podemos anadir o eliminar soluciones a la ecuacion.Por esta razon, si usamos funciones no biyectivas en los pasos intermedios dela resolucion, deberemos verificar los resultados obtenidos.

    Ejemplo 1.1.22 Para resolver la ecuacionx =

    x2 + x 1

    debemos elevar al cuadrado ambos miembros; esta operacion no es biyectivay por lo tanto puede generar soluciones incorrectas:

    x =

    x2 + x 1

    x = x2 + x 10 = x2 1x2 = 1

    x1 = 1, x2 = 1

    Efectivamente, la solucion x2 = 1 no es valida, ya que no tendra sentidotomar la raz cuadrada en el miembro izquierdo de la ecuacion inicial.

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  • 26 Calculo para la computacion

    Ejemplo 1.1.23 Para resolver la ecuacion

    x3 2x2 + x = 0

    podemos dividir ambos miembros por x, obteniedo una ecuacion de segundogrado:

    x3 2x2 + x = 0x2 2x+ 1 = 0

    (x 1)2 = 0x 1 = 0

    x = 1

    En este caso, al dividir por x hemos perdido una solucion, ya que tenemosque suponer a partir de ah que x 6= 0; sin embargo, x = 0 tambien es solucion.Hemos elegido este ejemplo tan simple para mostrar las precauciones que debe-mos tener; sin embargo, debemos recordar lo que hemos visto en las seccionesanteriores para abordar este tipo de ejercicios. Buscaramos la factorizaciondel polinomio para determinar todas las soluciones:

    0 = x3 2x2 + x = x(x 1)2 x1 = 0, x2 = 1

    Ejemplo 1.1.24 La formula que habitualmente usamos para resolver las ecua-ciones de segundo grado es una consecuencia de la complecion de cuadradosque hemos estudiado en la seccion 1.1.5.

    x2 x 2 = 0((x 1

    2)2 1

    4) 2 = 0

    (x 12

    )2 94

    = 0

    (x 12

    )2 =94

    x 12

    =32, x 1

    2= 3

    2x = 2, x = 1

    Ejemplo 1.1.25 Para resolver sistemas de ecuaciones lineales usamos preferi-blemente el metodo de Gauss (o reduccion). Las ecuaciones se multiplican porconstantes y se suman para conseguir reducir el numero de incognitas. Resol-vemos el siguiente sistema usando este metodo; para seguir el desarrollo, uti-lizamos indicaciones sobre las operaciones realizadas; por ejemplo, (e2) (e1)indica que a la ecuacion 2 le restamos la ecuacion 1 y 2 (e2) indica que lasegunda ecuacion se multiplica por 2.

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 27

    x+ y z = 1

    x+ 2y + 2z = 2

    x+ y + 3z = 2

    (e2)(e1)

    x+ y z = 1y + 3z = 1

    x+ y + 3z = 2

    (e3)+(e1)

    x+ y z = 1y + 3z = 1

    2y + 2z = 1

    2(e2)

    x+ y z = 1

    2y + 6z = 2

    2y + 2z = 1

    (e3)(e2)

    x+ y z = 1

    2y + 6z = 2

    4z = 3

    Podemos observar que la reduccion de incognitas se ha realizado hasta lograrun sistema triangular, es decir, la ultima ecuacion tiene solo una incognita, lasegunda dos incognitas y la primera mantiene la tres; el mismo proceso puedeutilizarse con mayor numero de incognitas y de ecuaciones. A partir de aqu,la resolucion se completa facilmente:

    (e3) z = 34

    (e2)

    2y + 634 = 2 y = 54(e1)

    x 5

    4 3

    4= 1 x = 3

    El metodo de Gauss, que hemos recordado en el ejemplo anterior, es unsistema automatico y eficiente para su resolucion de sistemas de ecuacioneslineales, sin embargo, no disponemos de algoritmos o metodos similares parasistemas de ecuaciones no lineales y, en la mayora de los casos, tendremos querecurrir a la intuicion y a la experiencia para abordar con exito su resolucion.

    En el resto de la seccion, vamos a resolver sistemas de ecuaciones no linealesy en concreto, de tipo polinomico. Una primer estrategia sera utilizar el metodode sustitucion que utilizamos para las ecuaciones lineales, pero de una maneraordenada; para ello, seguiremos los siguientes pasos:

    1. Elegir una de las ecuaciones y extraer toda la informacion que sea posible.Se elige una ecuacion que sea sencilla de factorizar o en la que sea sencillodespejar una variable.

    2. La informacion obtenida se sustituye o anade al resto de las ecuaciones.De esta forma podemos hacer desaparecer la ecuacion correspondiente yobtener uno o varios subproblemas mas sencillos (con menos ecuacioneso con menos incognitas).

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  • 28 Calculo para la computacion

    3. Repetir los pasos anteriores en cada uno de los subproblemas.

    Hay que tener en cuenta que estos sistemas pueden tener varias soluciones ydescribirlas consiste en dar el valor de cada una de las variables que intervieneen el sistema.

    Ejemplo 1.1.26 Para resolver el sistema

    a2 b = 53a b = 1

    elegimos la segunda ecuacion 3a b = 1, ya que es lineal y permite despejarfacilmente una de las variables en funcion de la otra: b = 3a 1; esta igualdadrecoge toda la informacion de la segunda ecuacion, as que la guardamos ysustituimos b en la otra ecuacion: a2 b = 53a b = 1

    = a2 (3a 1) = 5b = 3a 1

    As, hemos logrado el mismo objetivo que con los sistemas lineas al reducirlosa un sistema triangular; podemos resolver la primera ecuacion para obtener losposibles valores de a y utilizamos la segunda para obtener los correspondientesvalores de b.

    a2 (3a 1) = 5 a = 1 y a = 4a = 1 b = 4a = 4 b = 11

    Es importante entender que el sistema tiene dos soluciones que son los dosposible valores que puede tomar el par (a, b):

    (a, b) = (1,4) (a, b) = (4, 11)

    Ejemplo 1.1.27 Para resolver el sistema de ecuaciones2x xy = 0x yz = 0x2 + y2 + z2 = 1

    ,

    elegimos la primera ecuacion, ya que es facil factorizarla:

    0 = 2x xy = x(2 y).

    Extraemos toda la informacion posible: para que el producto sea 0, o bienx = 0, o bien y = 2. Esto nos da dos posibilidades distintas con las que

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 29

    planteamos dos subproblemas:

    (1)

    x = 0

    yz = 0

    y2 + z2 = 1

    y (2)

    y = 2

    x 2z = 0x2 + 4 + z2 = 1

    Para resolver (1), elegimos la segunda ecuacion, yz = 0, y obtenemos que, obien y = 0, o bien z = 0; cada una de estas posibilidades es aplicada a latercera ecuacion, y2 + z2 = 1, para obtener dos nuevos subproblemas:

    (1)

    x = 0

    yz = 0

    y2 + z2 = 1

    = (1.1)

    x = 0

    y = 0

    z2 = 1

    y (1.2)

    x = 0

    z = 0

    y2 = 1

    Terminamos de resolver los sistemas obteniendo las soluciones (0, 0,1) y(0, 0, 1) para las variables (x, y, z) del subproblema (1.1) y (0,1, 0) y (0, 1, 0)para el subproblema (1.2).

    Para resolver (2), elegimos la segunda ecuacion, x 2z = 0, despejamosz para obtener la condicion z = x/2 y sustituirla en la tercera ecuacion,y2 + z2 = 1:

    (2)

    y = 2

    x 2z = 0x2 + 4 + z2 = 1

    =

    y = 2

    z = x2x2 + 4 + (x2 )

    2 = 1

    Como la tercera ecuacion no tiene solucion, deducimos que este subproblemano aporta ninguna solucion al sistema, y por lo tanto, los unicos valores delas variables (x, y, z) que son soluciones del sistema son (0, 0,1), (0, 0, 1),(0,1, 0) y (0, 1, 0).

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  • 30 Calculo para la computacion

    Ejercicios basicos

    1. Resuelva las siguientes ecuaciones y comprobar los resultados:

    a) x 23x+ 2

    3 x 8

    2

    = 3(x 4) 5(x 8) (Sol: x = 10)

    b) x2 4x+ 3 = 0 (Sol: x = 1 , 3)c) 2x3 14x+ 12 = 0 (Sol: x = 1, 2, 3)d) y (y2 1) = 0 (Sol: y = 0, 1)e) x4 3x2 + 2 = 0 (Sol: x = 1 , 2)f )u+ 13 u = 1 (Sol: u = 3)

    2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones usando el metodo de re-duccion o de Gauss:

    a)

    x y = 32x+ y = 6 (Sol: (x, y) = (1, 4))

    b)

    x y + 3z = 42x y z = 63x 2y + 2z = 10

    (Sol: (x, y, z) = (4z + 2, 7z 2, z))

    3. Determine el valor de los siguientes numeros combinatorios expresandoel resultado de la forma mas simple posible:

    n+ 1n 1

    ,

    1/23

    4. Use la formula del Binomio de Newton para expandir la expresion po-

    linomica (2x+ 3y3)3.

    5. Obtenga la forma centrada en 1 del polinomio p(x) = x3 + x2 + x+ 1.Resuelva este ejercicio usando las distintas formas estudiadas en el tema.

    6. Para la funcion f(x) = senx, determine los polinomios de Taylor deordenes 1, 2, 3, 4 y 5 en x0 = 0. Deduzca la expresion de su polinomiode Taylor de cualquier orden.

    7. Consideremos la funcion f(x) = x2 senx:

    a) Use la definicion para determinar el polinomio de Taylor de f(x),de orden 5 en el punto x0 = 0.

    b) Use la proposicion 1.1.12 para hallar el polinomio del apartado an-terior.

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  • 1.1. Polinomios y ecuaciones. 31

    8. Obtenga la forma factorizada de los siguientes polinomios

    x3 12x+ 16, x4 18x2 + 81, x4 6x3 + 12x2 18x+ 27.

    9. Transforme los siguientes polinomios usando la tecnica de completar cua-drados:

    9x2 6x+ 7, 5x2 + 7x 2, 3x2 + 1.

    10. Descomponga en suma de fracciones simples:

    x3

    x2 + x 2,1

    x(x 1)2 ,1

    x3 + x2 + x.

    11. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:xy = 4y

    x2 + y2 = 25

    xyz = 180

    x2 + y2 + z2 = 1x2 + y2 = 2z 5

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  • 32 Calculo para la computacion

    LECCION 1.2

    Los numeros complejos

    Antes de introducir el cuerpo de los numeros complejos, recordemos laspropiedades de los distintos conjuntos numericos con los que hemos trabajadohasta ahora.

    Numeros naturales: El conjunto de los numeros naturales se denota por N:

    N = {0, 1, 2, 3, . . . }

    Este conjunto es un semigrupo conmutativo respecto de la suma y tam-bien respecto del producto. Es decir, las dos operaciones son asociativas,el 0 es el elemento neutro para la suma, el 1 es la unidad para el productoy las dos operaciones son conmutativas. Ademas, se verifica la propiedaddistributiva del producto respecto de la suma.

    Numeros enteros: El conjunto de los numeros enteros se denota por Z:

    Z = {0, 1, 2, 3, . . . } {1,2,3, . . . }

    Este conjunto tiene estructura de anillo conmutativo para la suma y elproducto. Es decir, ademas de las propiedades de los naturales mencio-nadas en el apartado anterior, en Z disponemos de elemento opuestopara la suma.

    Numeros racionales: El conjunto se denota por Q:

    Q =p

    q; p, q enteros primos entre s, q 6= 0

    Este conjunto tiene estructura de cuerpo. Es decir, ademas de las pro-piedades de los enteros mencionadas en el apartado anterior, en Q dis-ponemos de elemento inverso para el producto.

    Por otra parte, la relacion de orden usual entre los racionales hace queQ tenga estructura de cuerpo ordenado, es decir, verifica las propiedadessiguientes:

    1. Ley de tricotoma: (es decir, el orden es total) cada par de numerosa y b verifican una y solo una de las siguientes relaciones:

    a = b a < b b < a

    2. La suma es cerrada: si a > 0 y b > 0, entonces a+ b > 0.

    3. El producto es cerrado: si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0.

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  • 1.2. Los numeros complejos. 33

    Numeros reales El conjunto de los numeros reales se denota por R y tam-bien es un cuerpo ordenado. La propiedad que caracteriza este cuerpo esla de ser completo: toda sucesion de numeros reales creciente y acotadaes convergente. Ademas, este es el unico cuerpo que tiene esta propiedad.Los temas siguientes el significado y consecuencias de esta propiedad.

    La extension desde N hasta Q se hace por criterios puramente algebraicos:hasta conseguir un cuerpo ordenado, es decir, un cuerpo con un orden totalcompatible con las operaciones. La extension de Q a R se hace por criteriostopologicos y la extension a los numeros complejos que vemos en este temavuelva a hacerse por criterios algebraicos: buscamos un cuerpo que extienda aR y en el cual todas las ecuaciones polinomicas tengan solucion, ya que, porejemplo, la ecuacion x2 + 1 = 0 no tiene solucion en R.

    1.2.1. El cuerpo de los complejos

    Teorema 1.2.1 En el conjunto R R definimos las siguientes operaciones:

    Suma: (a, b) + (c,d) = (a+ c, b+ d)

    Producto: (a, b)(c,d) = (ac bd, ad + bc)

    Estas operaciones dan al conjunto RR estructura de cuerpo; denotaremos aeste cuerpo por C y sus elementos se denominan numeros complejos.

    Para demostrar de este teorema es necesario construir los elementos neutro yunidad as como los elementos opuesto e inverso a uno dado:

    Elemento neutro: (0, 0)

    Elemento opuesto: (a, b) = (a,b)

    Elemento unidad: (1, 0)

    Elemento inverso: si (a, b) 6= (0, 0), entonces

    (a, b)1 =

    a

    a2 + b2, b

    a2 + b2

    .

    Proponemos como ejercicio la comprobacion de las propiedades de cuerpopara los numeros complejos. Por otra parte, el siguiente resultado estableceque efectivamente el cuerpo que acabamos de definir extiende al cuerpo de losreales.

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  • 34 Calculo para la computacion

    Teorema 1.2.2

    R {0} es un subcuerpo de C isomorfo a R.

    En la asignatura de Estructuras algebraicas se estudiaran con detalle losconceptos usados en este resultado (isomorfismo y subcuerpo), por lo queaqu nos quedaremos simplemente con su significado intuitivo. Para poder de-cir que el cuerpo de los complejos extiende a los numeros reales, debemosidentificar los numeros complejos que son tambien reales; el teorema anteriordice estos numeros son los pares de la forma (a, 0). Al realizar cualquier ope-racion entre ellos, obtenemos un numero de la misma forma y que coincidecon la operacion correspondiente en los numeros reales:

    (a, 0) + (b, 0) = (a+ b, 0)

    (a, 0)(b, 0) = (ab, 0)

    (a, 0)1 = (a1, 0)

    La representacion de los numeros complejos como pares de numeros realesconstituye una herramienta formal conveniente para el estudio teorico del cuer-po. Sin embargo, vamos a estudiar otras representaciones mas adecuadas paraoperar con ellos. Para introducir la forma binomica, observemos la siguienteigualdad:

    (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b) (1.8)

    En el lado izquierdo, aparecen dos numeros que hemos identificado con nume-ros reales,

    (a, 0) = a, (b, 0) = b,

    y un numero complejo no real, (0, 1); en adelante, denotaremos con la letra ia este numero y lo llamaremos nuemro imaginario: i = (0, 1). Atendiendo a laigualdad 1.8, podemos escribir cualquier numero complejo como:

    (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a+ b iLa expresion a+bi es la forma binomica del numero (a, b). Esta representacionfacilita la comprension de los numeros complejos como extension del cuerpode los numeros reales:

    Al conjunto de los numeros reales anadimos un nuevo numero,denotado por i y que verifica que i2 = 1; los numeros complejosson los que se obtienen al combinar y operar el nuevo numero conlos numeros reales.

    Evidentemente, ningun numero real verifica la igualdad x2 = 1, pero s elnumero imaginario i dentro de los numeros complejos:

    i i = (0, 1)(0, 1) = (1, 0) = 1

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  • 1.2. Los numeros complejos. 35

    Ejemplo 1.2.1 La primera consecuencia practica de la representacion binomi-ca es que, en adelante, operaremos con los numeros complejos de la mismaforma que estamos acostumbrados a operar con numeros reales. Todas las ma-nipulaciones que hemos aprendido hasta ahora se basan en las propiedades delas operaciones que hemos comentado anteriormente (asociatividad, conmuta-tividad, distributividad,. . . ) y todas estas propiedades estan presentes en elcuerpo de los numeros complejos.

    Por ejemplo, no necesitaremos memorizar la regla de multiplicacion denumeros complejos, bastara aplicar las propiedades mencionadas:

    (2 + i)(1 2i) = 2 4i + i 2i2 (distributividad)= 2 4i + i + 2 (definicion de i)= 4 3i

    Para dividir numeros complejos sera suficiente aprender un simple truco.

    2 + i1 2i =

    (2 + i)(1 + 2i)(1 2i)(1 + 2i) =

    5i5

    = i

    El numero a bi se denomina conjugado de a + bi; en el desarrollo anteriorhemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denomi-nador. Al operar el nuevo denominador obtenemos un numero real, por lo queel resultado es un numero en forma binomica.

    Teorema 1.2.3 (Teorema fundamental del Algebra) Toda ecuacionpolinomica con coeficientes en C tiene solucion.

    En la leccion anterior estudiamos la relacion entre las soluciones de unaecuacion polinomica y la factorizacion del correspondiente polinomio. Tal ycomo anunciamos all, dicha relacion se mantiene si consideremos polinomiosen C, ya que es consecuencia de las propiedades de cuerpo. El teorema funda-mental del algebra tiene por lo tanto consecuencias respecto de la factorizacionen C de un polinomio: todos los polinomios son factorizables en C como

    P (z) = (z z0)m0 . . . (z zn)mn ,

    en donde cada zi es solucion compleja de la correspondiente ecuacion polinomi-ca y mi es su multiplicidad.

    Ejemplo 1.2.2 1. El polinomio x2 + 1 es irreducible en C, pero admite lasiguiente factorizacion en C:

    x2 + 1 = (x+ i)(x i).

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  • 36 Calculo para la computacion

    Re

    Im

    y

    x

    r

    z = x+ y i

    Figura 1.2: Representacion grafica de los numeros complejos

    2. Vamos a obtener las factorizaciones en R y C del polinomio P (x) = x4+1.La ecuacion bicuadrada x4+1 = 0 no tiene soluciones reales, ya que estasverifican que x2 = i; por lo tanto, la factorizacion en R tiene la siguienteforma

    x4 + 1 = (x2 +Ax+B)(x2 + Cx+ D)

    Expandiendo el miembro derecho e identificando coeficientes, obtenemosel siguiente sistema de ecuaciones

    A+ C = 0, B + D +AC = 0, AD +BC = 0, BD = 1,

    cuya unica solucion es A =

    2, B = 1, C = 2, D = 1; la factorizacionen R es por lo tanto:

    x4 + 1 = (x2 + x

    2 + 1)(x2 x

    2 + 1)

    Para obtener la factorizacion en C basta con resolver las ecuaciones x2 +x

    2 + 1 = 0, x2 x2 + 1 = 0, cuyas soluciones son

    22

    + i

    22,

    2

    2 i

    22,

    2

    2+ i

    22,

    2

    2 i

    22

    ;

    por lo tanto:

    x4 + 1 =x+

    22 i

    22

    x+

    22

    + i

    22

    22 i

    22

    22

    + i

    22

    En la figura 1.2 aparece la representacion grafica de los numeros complejos

    como puntos del plano. Definimos a continuacion varias funciones de granimportancia para trabajar en el cuerpo de los numeros complejos.

    Definicion 1.2.4

    En las definiciones siguientes, consideramos x, y R, z C:

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  • 1.2. Los numeros complejos. 37

    Conjugado de un numero complejo:

    : C C, x+ iy = x iy

    Parte real de un numero complejo:

    Re: C R, Re(x+ iy) = x, Re(z) = 12

    (z + z)

    Parte imaginaria de un numero complejo:

    Im: C R, Im(x+ iy) = y, Im(z) = 12i

    (z z)

    Modulo de un numero complejo:

    | | : C R+, |x+ iy| =x2 + y2; |z| = zz

    Argumento de un numero complejo: Arg : C [0, 2pi).Si x = 0, entonces

    Arg(iy) =pi

    2, si y > 0, Arg(iy) =

    3pi2, si y < 0

    y si x 6= 0, entonces Arg(x+ iy) = = arc tg yx de forma que:

    [0, pi] si y 0 [pi, 2pi) si y < 0

    Las funciones modulo y argumento tambien caracterizan a un numero complejode la misma forma que la parte real y la parte imaginaria. Si r = |x + iy| y = Arg(x+ iy), entonces se verifica que:

    x+ iy = r(cos + i sen ) (1.9)

    Por su definicion, exigimos que el modulo de un numero complejo sea positivoy que su argumento sea un angulo entre 0 y 2pi, sin embargo, la igualdad 1.9,permite utilizar cualquier par (r, ) R2 para representar a un unico numerocomplejo, cuyo modulo es |r| y su argumento es kpi para algun k Z. Elpar (r, ) es la forma polar del numero complejo z = r(cos + i sen ).

    Proposicion 1.2.5 El operador conjugado verifica las siguientes propiedades:si z, w C

    z + w = z + w, z w = z w.

    La demostracion de esta proposicion es una simple comprobacion que debeser facilmente efectuada por el estudiante. La principal consecuencia de estapropiedad es la siguiente.

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  • 38 Calculo para la computacion

    Proposicion 1.2.6 Si P (x) es un polinomio con coeficientes en R y z Ces una raz de P , entonces z tambien es raz de P .

    En el ejemplo 1.2.2 hemos calculado las races del polinomio P (x) = x4 +1y podemos comprobar que efectivamente las cuatro races son conjugadas dosa dos.

    La demostracion de la propiedad anterior es bastante simple. Supongamosque

    P (x) = anxn + + a1x+ a0,y que z C es raz de P ; en el desarrollo siguiente, solo utilizamos la propo-sicion anterior y que el conjugado de un numero real es el mismo:

    anzn + + a1z + a0 = 0

    anzn + + a1z + a0 = 0an zn + + a1 z + a0 = 0

    anzn + + a1z + a0 = 0

    Por lo tanto, efectivamente z tambien es raz del polinomio.

    Dado que la formula del binomio de Newton es consecuencia de las propie-dades de la estructura de cuerpo, tambien es valida para numeros complejos.

    Teorema 1.2.7 (Binomio de Newton) Si x, y C y n N:

    (x+ y)n =nk=0

    n

    k

    xnkyk.

    Ejemplo 1.2.3

    (1 + i)4 =

    40

    +

    41

    i +

    42

    i2 +

    43

    i3 +

    44

    i4 =

    = 1 + 4i 6 4i + 4 = 2

    Ejemplo 1.2.4 Vamos a resolver la ecuacion

    zz + 3(z z) = 13 + 12i

    En este ecuacion aparece la funcion conjugado y por eso necesitamos un trata-miento especfico para numeros complejos. Una alternativa es sustituir z porx+iy y convertir la ecuacion en un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sonla parte real y la parte imaginaria de la ecuacion inicial. Pero en este ejemplovamos a utilizar otro metodo mas sencillo.

    Cada numero complejo esta determinado por su parte real y su parte ima-ginaria, y estos a su vez se pueden calcular a partir del propio numero y de su

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  • 1.2. Los numeros complejos. 39

    conjugado (definicion 1.2.4); lo que vamos a hacer es transformar la ecuacionanterior en un sistema cuyas soluciones son la solucion de la ecuacion y suconjugado. La primera ecuacion del sistema es la propia ecuacion y la segundase obtiene aplicando el operador conjugado a ambos lados de la ecuacion. Sisustituimos z por w, el sistema a resolver es:

    zw + 3(z w) = 13 + 12iwz + 3(w z) = 13 12i

    En primer lugar, observamos que la forma de obtener el sistema equivalente esmas sencilla que la planteada anteriormente y basada en la forma binomica dela incognita. Ademas, a partir de aqu podemos usar los metodos estudiados enla leccion anterior para sistemas de ecuaciones no lineales, ya que no tenemosoperadores especficos para numeros complejos.

    En particular, para este sistema basta con sumar y restar las dos ecuacionespara obtener un sistema equivalente pero cuya resolucion es muy sencilla:

    6z 6w = 24i (diferencia)2zw = 26 (suma)

    De la primera ecuacion deducimos que z = w + 4i, por lo que la segundaecuacion se convierte en

    w2 + 4iw 13 = 0,cuyas soluciones son w = 3 2i. Por lo tanto, las soluciones de la ecuacioninicial son z = 3 + 2i.

    1.2.2. Exponencial compleja

    Nuestro objetivo en esta seccion es extender la definicion de la funcionexponencial con base e a los numeros complejos.

    Definicion 1.2.8 Definimos la funcion exponencial en el cuerpo de los nume-ros complejos como: ex+iy = ex(cos y + i sen y).

    Es evidente que esta definicion es coherente con la exponencial sobre numerosreales, ya que si y = 0:

    cos y + i sen y = cos 0 + i sen 0 = 1

    Ademas, incluso para numeros que no sean reales, esta funcion verifica lasiguientes propiedades:

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  • 40 Calculo para la computacion

    Proposicion 1.2.9

    1. ez ew = ez+w, para todo z, w C.

    2. (ez)n = enz, para todo z C y todo n N

    Demostracion: El segundo apartado es consecuencia del primero, as quesolo es necesario probar este. Consideramos z = x1 + iy1, w = x2 + iy2,

    ez ew = ex1ex2(cos y1 + i sen y1)(cos y2 + i sen y2)

    = ex1+x2(cos y1 cos y2 sen y1 sen y2+ i(sen y1 cos y2 + cos y1 sen y2))

    = ex1+x2(cos(y1 + y2) + i sen(y1 + y2))

    = ex1+x2ei(y1+y2) = ez+w 2

    Como se puede observar, la demostracion se basa en las igualdades que cono-cemos para el seno y coseno de la suma de angulos.

    A partir de funcion exponencial sobre numeros complejos podemos intro-ducir una representacion alternativa de estos numeros, la forma exponencial.Para cada R

    ei = cos + i sen ,

    y por lo tanto, si z es un numero complejo con modulo r y argumento ,entonces

    z = r(cos + i sen ) = rei;

    la expresion rei es la forma exponencial de z.

    La igualdad ei = cos +i sen se conoce como igualdad de Euler y aplicadaa = pi nos conduce a la siguiente igualdad que relaciona las constantesmatematicas mas importantes:

    eipi + 1 = 0

    Aunque la forma exponencial es equivalente a la forma polar (se determinaa partir de los mismos elementos, el modulo y el argumento), es preferibletrabajar con la primera, ya que la propiedades de la exponencial facilitan sumanipulacion. Tambien debemos recordar que el argumento de un numerocomplejo es un numero real entre 0 y 2pi, aunque naturalmente es posible queel exponente de la funcion exponencial este fuera de este rango.

    Proposicion 1.2.10 Si r es el modulo de z C y es su argumento, entonces

    z = rei(+2kpi) para todo k Z.

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  • 1.2. Los numeros complejos. 41

    Notacion. Es conveniente hacer aqu un inciso para hacer unas observacio-nes sobre notacion matematica. Habitualmene, en matematicas se usan letrascursivas para representar variables e incognitas (x, y,. . . ) y letras redondas pa-ra representar constantes (e, i). Este mismo criterio se sigue para las funciones:f(x) representa una funcion arbitraria y cos(x) es la funcion coseno.

    Por otra parte, la funciones deben escribirse siempre delimitando suargumento (o argumentos) entre parentesis. De esta forma, la expresion cos 2no sera correcta y deberamos escribir cos(2), e incluso cos() en lugar decos . No obstante, es muy habitual prescindir de los parentesis siempre queesto no provoque ninguna confusion para trabajar con expresiones mas simples;debemos ser muy cuidadosos al usar estas simplificaciones y usarlas lo menosposible.

    Formula de Moivre. Por la proposicion 1.2.5

    (ei)n = ein,

    y por lo tanto(cos + i sen )n = cosn + i senn.

    Esta igualdad se denomina Formula de Moivre y su principal aplicacion esobtener igualdades que involucran a las funciones del tipo cosnx y sennx.

    Ejemplo 1.2.5 Si expandimos la igualdad de Moivre para n = 2 obtenemos:

    cos 2 + i sen 2 = (cos + i sen )2 = cos2 + 2i sen cos sen2 Fijandonos en la parte real y en la parte imaginaria, deducimos:

    cos 2 = cos2 sen2 sen 2 = 2 sen cos

    Ejemplo 1.2.6 Vamos a expresar cos 5 como polinomio en cos .

    cos 5 = Re((cos + i sen )5)

    = cos5 +

    52

    (cos3 )i2(sen2 ) +

    54

    (cos )i4(sen4 )

    = cos5 10 cos3 sen2 + 5 cos sen4 = cos5 10 cos3 (1 cos2 ) + 5 cos (1 cos2 )2= cos5 10 cos3 + 10 cos5 + 5 cos (1 2 cos2 + cos4 )= 16 cos5 20 cos3 + 5 cos

    Para optimizar los calculos, hemos calculado solamente la parte real; de estaforma, en la segunda igualdad solo necesitamos escribir los sumandos corres-pondientes a las potencias pares de i, que son los que corresponden con numerosreales.

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  • 42 Calculo para la computacion

    Races complejas. La forma exponencial tambien facilita el calculo de al-gunas operaciones, como por ejemplo las races.

    Ejemplo 1.2.7 Vamos a calcular los numeros complejos w, tales que w4 =1; es decir, queremos calcular la raz cuarta de 1. En primer lugar, pode-mos observar que tales numeros existen, ya que son las races del polinomioP (z) = z4+1. Por lo general, abordar este problema usando la forma binomicasera muy complicado, sin embargo, la forma exponencial facilita el trabajo.

    w4 = r4e4i = 1 = eipi = ei(pi+2kpi)

    Por lo tanto, r = 1 y 4i = i(pi+2kpi). De la segunda igualdad, deducimos quesolo cuatro valores de son argumentos de numeros complejos, los correspon-dientes a k = 0, 1, 2, 3:

    0 =pi

    4, 1 =

    3pi4, 2 =

    5pi4, 3 =

    7pi4

    Por lo tanto, 1 tiene cuatro races cuartas:

    w0 = ei0 = eipi/4 =

    22

    + i

    22

    w1 = ei1 = e3ipi/4 =

    22

    + i

    22

    w2 = ei2 = e5ipi/4 =

    22 i

    22

    w3 = ei3 = e7ipi/4 =

    22 i

    22

    En el ejemplo 1.2.2, resolvimos el mismo problema a partir de la ecuacionpolinomica. Debemos acostumbrarnos a que un mismo problema puede re-solverse de varias formas y a saber elegir la mas adecuada segun los datosconcretos.

    Teorema 1.2.11 Para cada numero complejo z = rei existen n numeroscomplejos distintos w0, . . . , wn1 que verifican wnk = z. Estos numeros com-plejos son:

    wk = nr exp i

    ( + 2kpin

    ), k = 0, 1, 2, . . . , n 1

    En el enunciado anterior hemos utilizado una notacion alternativa para lafuncion exponencial,

    exp(x) = ex

    que sera de gran ayuda cuando queramos escribir expresiones grandes en elexponente.

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  • 1.2. Los numeros complejos. 43

    Logaritmo neperiano. La funcion logaritmo neperiano, o simplemente lo-garitmo, es la funcion inversa a la exponencial. Es decir, si z = ew, decimosque z es el logaritmo neperiano de w.

    Ejemplo 1.2.8 Vamos a hallar los numeros w tales que ew = 1 + i; nueva-mente, la forma exponencial es el camino mas adecuado:

    ew = 1 + i =

    2eipi/4 = elog

    2eipi/4 = exp(log

    2 + i(pi

    4+ 2kpi))

    Por lo tanto, hay infinitos numeros complejos que son logaritmo neperiano de1 + i:

    wk = log

    2 + i(pi

    4+ 2kpi), k Z

    En adelante, denotaremos a la funcion logaritmo neperiano con log, aun-que tambien podemos usar ln, Ln o L.

    Teorema 1.2.12 Dado un numero complejo z 6= 0, existen infinitos numeroscomplejos distintos wk, k Z, que verifican z = ewk . Estos numeros complejostienen la siguiente forma:

    wk = log r + i( + 2kpi), k Z

    donde r = |z| y = Arg(z).

    Definicion 1.2.13 Llamamos valor principal del logaritmo de z = rei 6= 0, [0, 2pi), y lo denotamos log z al numero:

    log z = log r + i

    Dado que el logaritmo de un numero complejo no es unico, debemos tenercuidado con las operaciones que involucren un logaritmo. Por ejemplo, la igual-dad log zn = n log z no es cierta en general, ya que podemos tomar distintasramas del logaritmo en cada uno de los miembros. Ni siquiera esta igualdades correcta si trabajamos solamente con el valor principal del logaritmo:

    log(1)2 = log 1 = 0, 2 log(1) = 2pii

    1.2.3. Funciones hiperbolicas

    Las funciones hiperbolicas se definen a partir de la exponencial.

    Definicion 1.2.14 Sobre el cuerpo C se definen las funciones seno hiperboli-co y coseno hiperbolico como sigue:

    senh z =ez ez

    2cosh z =

    ez + ez

    2

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  • 44 Calculo para la computacion

    El siguiente teorema nos muestra como calcular la parte real e imaginariade los valores de estas funciones, sin embargo, en la mayora de los casos espreferible trabajar con su definicion o haciendo uso de las propiedades queveremos mas adelante.

    Teorema 1.2.15

    1. senh(x+ yi) = senhx cos y + i coshx sen y

    2. cosh(x+ yi) = coshx cos y + i senhx sen y

    Demostracion:

    senh(x+iy) =12

    (ex+iy exiy)

    =12

    (ex(cos y + i sen y) ex(cos y i sen y))

    =12

    (ex ex) cos y + i12

    (ex + ex) sen y

    = senhx cos y + i coshx sen y

    cosh(x+iy) =12

    (ex+iy + exiy)

    =12

    (ex(cos y + i sen y) + ex(cos y i sen y))

    =12

    (ex + ex) cos y + i12

    (ex ex) sen y= coshx cos y + i senhx sen y 2

    El siguiente corolario recoge algunos casos particulares bastante utiles.

    Corolario 1.2.16

    cosh ix = cosx, senh ix = i senx, tgh ix = i tg x

    cos ix = coshx, sen ix = i senhx, tg ix = i tghx

    Las propiedades que recogemos en el siguiente resultado nos ayudan a trabajarcon estas funciones sin necesidad de sustituirlas por su definicion, aunque,naturalmente todas ellas se demuestran facilmente a partir de ella.

    Por otra parte, se puede observar que estas propiedades son similares a laspropiedades que el alumno conocera de las funciones trigonometricas. Se debetener mucho cuidado con esto, ya que en algunos casos solo difieren en algunsigno, lo que puede llevar a errores.

    Proposicion 1.2.17 Las funciones hiperbolicas verifican las siguientes igual-dades:

    1. senh(z + u) = senh z coshu+ cosh z senhu

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  • 1.2. Los numeros complejos. 45

    X2 + Y 2 = 1 X2 Y 2 = 1

    X

    Y

    (cos , sen )

    Area= /2

    1X

    Y

    (cosh , senh )

    Area= /2

    1

    Figura 1.3: Representacion de las funciones circulares e hiperbolicas.

    2. cosh(z + u) = cosh z coshu+ senh z senhu

    3. cosh2 z senh2 z = 1

    4. senh 2z = 2 senh z cosh z

    5. cosh 2z = cosh2 z + senh2 z

    6. 2 cosh2 z = 1 + cosh 2z

    7. 2 senh2 z = cosh 2z 1

    8. senh z coshu = 12(senh(z + u) + senh(z u))

    9. senh z senhu = 12(cosh(z + u) cosh(z u))

    10. cosh z coshu = 12(cosh(z + u) + cosh(z u))

    La justificacion de los nombres de estas funciones aparece en la figura 1.3.En el tema siguiente estudiaremos con mas detalle la curva que aparece di-bujada a la derecha de esta figura y que se conoce como hiperbola. Si lascoordenadas de un punto de la circunferencia de radio 1 son las funciones tri-gonometricas aplicadas a la medida del arco, las coordenadas de la hiperbolason las funciones hiperbolicas.

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  • 46 Calculo para la computacion

    1.2.4. Funciones trigonometricas

    A partir de las expresiones para eix y eix deducimos expresiones para elseno y el coseno de un numero real x:

    eix = cosx+ i senx

    eix = cosx i senx

    cosx = e

    ix + eix2

    senx = eix eix

    2i

    Por lo tanto, para definir las funciones trigonometricas sobre numero complejosgeneralizando las definiciones sobre numeros reales, necesariamente tenemosque partir de estas igualdades.

    Definicion 1.2.18 Sobre el cuerpo C se definen las funciones sen, cos y tgcomo sigue:

    sen z =eiz eiz

    2icos z =

    eiz + eiz

    2tg z =

    sen zcos z

    Igual que la formula de Moivre se utiliza para deducir expresiones para el senoo coseno de angulos multiples, la definicion de las funciones trigonometricasusando la exponencial compleja permite deducir expresiones para las potenciasdel seno o el coseno. Vemos a continuacion un ejemplo:

    sen3 =

    ei ei2i

    3= 1

    8i

    e3i 3e2iei + 3eie2i e3i

    = 1

    8i

    e3i 3ei + 3ei e3i

    = 1

    8i

    e3i e3i 3(ei ei)

    = 1

    8i(2i sen 3 3 2i sen )

    =34

    sen 14

    sen 3

    El siguiente teorema da la expresion de estas funciones en terminos de suparte real y parte imaginaria.

    Teorema 1.2.19

    1. sen(x+ yi) = senx cosh y + i cosx senh y

    2. cos(x+ yi) = cosx cosh y i senx senh y

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  • 1.2. Los numeros complejos. 47

    Demostracion:

    sen(x+iy) =12i

    (ei(x+iy) ei(x+iy))

    =12i

    (eixy eix+y)

    =12i

    (ey(cosx+ i senx) ey(cosx i senx))

    =12i

    (ey ey) cosx+ 12i

    (ey + ey)i senx

    = i12

    (ey ey) cosx+ 12

    (ey + ey) senx

    = senx cosh y + i cosx senh y

    cos(x+iy) =12

    (ei(x+iy) + ei(x+iy))

    =12

    (eixy + eix+y)

    =12

    (ey(cosx+ i senx) + ey(cosx i senx))

    =12

    (ey + ey) cosx+12

    (ey ey)i senx= cosx cosh y i senx senh y 2

    Proposicion 1.2.20 Las funciones seno y coseno verifican las siguientes igual-dades:

    1. senz = sen z; cosz = cos z

    2. sen(z + u) = sen z cosu+ cos z senu

    3. cos(z + u) = cos z cosu sen z senu

    4. cos2 z + sen2 z = 1

    5. sen(z + 2npi) = sen z; cos(z + 2npi) = cos z

    6. sen(z + pi2

    ) = cos z; cos(z + pi2

    ) = sen z

    7. sen(z + pi) = sen z; cos(z + pi) = cos z;sen(pi z) = sen z; cos(pi z) = cos z

    8. sen 2z = 2 sen z cos z

    9. cos 2z = cos2 z sen2 z

    10. 2 cos2 z = 1 + cos 2z

    11. 2 sen2 z = 1 cos 2z

    Ingeniera Informatica

  • 48 Calculo para la computacion

    12. sen z cosu = 12(sen(z + u) + sen(z u))

    13. sen z senu = 12( cos(z + u) + cos(z u))

    14. cos z cosu = 12(cos(z + u) + cos(z u))

    15. sen z + senu = 2 sen z + u2

    cos z u2

    16. sen z senu = 2 cos z + u2

    sen z u2

    17. cos z + cosu = 2 cos z + u2

    cos z u2

    18. cos z cosu = 2 sen z + u2

    sen z u2

    Se puede ver que todas estas propiedades coinciden con las que ya cono-cemos para numeros reales (y no puede ser de otra manera). Sin embargo,trabajando con numeros complejos tenemos una herramienta muy sencilla pa-ra poder deducirlas.

    E.T.S.I.Informatica

  • 1.2. Los numeros complejos. 49

    Ejercicios basicos

    1. Determine el menor conjunto numerico al que pertenecen los siguientesnumeros:

    0.5, 4, 23

    , 63

    , pi,

    3, i2,

    4, 2 + 3i, 0.32. Simplifique las siguientes operaciones:

    (5 + 3i)(2 i) (3 + i), (1 2i)3, 1i, i17,

    5 8i3 4i

    3. Resuelva la siguiente ecuacion SIN expresar la incognita en su formabinomica.

    2z1 + i

    2zi

    =5

    2 + i

    4. Resuelva el siguiente sistema SIN expresar las incognitas en su forma

    binomica.

    4z + 3w = 23z + iw = 6 + 8i5. Resuelva la siguiente ecuacion SIN expresar la incognita en su forma

    binomica.z2 + 2z 1 = 0

    6. Exprese en forma polar los siguientes numeros

    1, 1, i, i, 1 i, 1 + i, i 1, 1 i.

    7. Dados z1 = eipi/4 y z2 = eipi/3:

    a) Calcule el argumento de z1z22 y de z31/z2.

    b) Calcule la parte real y la parte imaginaria de z21 + iz2.

    8. Calcule las siguientes exponenciales complejas

    e1pii, e2+3pii/4, exp(2 + 7pi6 i).

    9. Utilice la formula de Moivre para probar:

    sen 5 = 16 sen5 20 sen3 + 5 sen

    10. Encuentre las tres races cubicas de (8 + 8i).

    11. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:

    z2 + 2z + 2 = 0, z3 + 8 = 0, z4 + 5z2 + 4

    y factorice en R y en C los polinomios que aparecen en las ecuaciones.

    Ingeniera Informatica

  • 50 Calculo para la computacion

    12. Calcule el logaritmo de 1.

    13. Pruebe que log( 1

    2 i1

    2

    3)

    = i2pi3

    .

    14. Aplique la definicion para expresar en forma binomica los siguientesnumeros: cosh(pi4 i) y sen(

    56pi + i).

    15. Exprese sen4 y cos6 en funcion des seno y coseno de multiplos de .

    16. Resuelva las siguientes ecuaciones SIN expresar la incognita es formabinomica pero expresando las soluciones de esa forma:

    cos z =34

    i, senh z = 2

    17. Deduzca las siguientes igualdades haciendo uso de la definicion de lasfunciones hiperbolicas y trig