bidang matematika sma 2 dari 15 miftah mathematics revolution (mmr) 083831611481 solusi osk sma 2018...

Halaman 1 dari 15

MIFTAH MATHEMATICS REVOLUTION (MMR)

083831611481

SOLUSI

OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2018

BIDANG MATEMATIKA SMA


SURABAYA

2018

Halaman 2 dari 15


083831611481

SOLUSI OSK SMA 2018

Oleh : Miftahus Saidin

1. Misalkan a, b, dan c adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan

asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan (𝑥 − 𝑎) (𝑥 − 𝑏) + (𝑥 − 𝑏) (𝑥 − 𝑐) = 0 yang

mungkin adalah.....

Jawaban : 𝟑𝟑𝟐

(𝒙 − )(𝒂 𝒙 − )𝒃 (+ 𝒙 − )(𝒃 𝒙 − )𝒄 = 𝟎 ⇔ ( 𝒙 − )(𝒃 𝟐𝒙 − 𝒂 − 𝒄 ) = 𝟎

akar-akarnya adalah 𝒙𝟏 = 𝒃 dan 𝒙𝟐 =𝒂+𝒄𝟐

. Jumlah akar-akarnya = 𝒃 +𝒂+𝒄𝟐=𝒂+𝟐𝒃+𝒄

𝟐

jumlah terbesar dari akar-akarnya =

𝟕+𝟐(𝟗)+𝟖

𝟐=𝟑𝟑

𝟐.

2. Setiap sel dari suatu tabel berukuran 2 x 2 dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan N

adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut sekaligus

untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap

untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap

Nilai N adalah...

Jawaban : 𝟏𝟕

Supaya setiap kolom dan baris jumlahnya genap maka keempat kotak harus diisi bilangan genap

semua atau bilangan ganjil semua.

Jika keempat kotak diisi bilangan ganjil semua.

ganjil ganjil

ganjil ganjil

Karena bilangan ganjil yang diisikan ke tiap kotak ada 2 pilihan, yaitu 1 dan 3 maka

banyaknya cara mengisi keempat kotak di atas adalah 𝟐𝟒.

Jika keempat kotak diisi bilangan ganjil semua.

genap genap

genap genap

Karena bilangan genap yang diisikan ke tiap kotak hanya ada 1, maka banyaknya cara mengisi

keempat kotak diatas adalah 𝟏𝟒.

Jadi, total semuanya ada 𝟐𝟒 + 𝟏𝟒 = 𝟏𝟕.

Halaman 3 dari 15


083831611481

3. Diberikan persegi berukuran 3 x 3 satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah....

Jawaban : 𝟏𝟏𝟏𝟐

𝒙𝟏

𝟐

=𝟐

𝟑 ----> 𝒙 = 𝟏

𝟑. Luas arsir = 𝟏 −

𝟏𝟒𝒙 = 𝟏 −

𝟏𝟏𝟐=𝟏𝟏𝟏𝟐

.

4. Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥2 − 4 dan 𝑦 = 8 − 𝑏𝑥2 memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik.

Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai a + b adalah...

Jawaban : 3

Untuk kurva 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 − 𝟒,

Titik potong sumbu y ----> x = 0, y = −4 ----> (0, −4).

Titik potong sumbu x ----> y = 0, x = ±𝟐

√𝒂 ----> (𝟎,

𝟐

√𝒂) dan (𝟎,−

𝟐

√𝒂).

Untuk kurva 𝒚 = 𝟖 − 𝒃𝒙𝟐,

Titik potong sumbu y ----> x = 0, y = −4 ----> (0, 8).

Titik potong sumbu x ----> y = 0, x = ±𝟐√𝟐

√𝒃 ----> (𝟎,

𝟐√𝟐

√𝒃) dan (𝟎, −

𝟐√𝟐

√𝒃).

Karena titik potong sumbu koordinat membentuk layang-layang, yang artinya hanya ada 4 titik

potong sumbu koordinat maka kedua kurva berpotongan di sumbu x, sehingga

𝟐√𝟐

√𝒃=𝟐

√𝒂 ⇔ 𝒃 = 𝟐𝒂

Luas layang-layang =(𝟖−(−𝟒))(

𝟐√𝒂−(− 𝟐

√𝒂))

𝟐= 𝟐𝟒 ⇔ 𝒂 = 𝟏 dan 𝒃 = 𝟐. Jadi, 𝒂 + 𝒃 = 𝟑.

1

2

𝑥

2

3

Halaman 4 dari 15


083831611481

5. Untuk setiap bilangan asli 𝑛 didefinisikan 𝑠(𝑛) sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari 𝑛.

Banyaknya bilangan asli d sehingga d habis membagi 𝑛 − 𝑠(𝑛) untuk setiap bilangan asli n adalah...

Jawaban : 3

Misalkan 𝒏 adalah bilangan yang terdiri dari k digit maka dapat ditulis 𝒏 = 𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑……… 𝒂𝒌̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

𝒏 − 𝒔(𝒏) = 𝒂𝟏𝒂𝟐𝒂𝟑… 𝒂𝒌̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ − 𝒂𝟏 − 𝒂𝟐 − 𝒂𝟑 − … − 𝒂𝒌

𝒏 − 𝒔(𝒏) = 𝟗𝟗𝟗…𝟗𝟗𝟗⏟ 𝒌−𝟏 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟗

𝒂𝟏 + 𝟗𝟗𝟗…𝟗𝟗𝟗⏟ 𝒌−𝟐 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟗

𝒂𝟐 + 𝟗𝟗𝟗…𝟗𝟗𝟗⏟ 𝒌−𝟑 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟗

𝒂𝟑 +⋯+ 𝟗𝒂𝒌−𝟏

𝒏 − 𝒔(𝒏) = 𝟗(𝟏𝟏𝟏…𝟏𝟏𝟏⏟ 𝒌−𝟏 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟏

𝒂𝟏 + 𝟏𝟏𝟏…𝟏𝟏𝟏⏟ 𝒌−𝟐 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟏

𝒂𝟐 + 𝟏𝟏𝟏…𝟏𝟏𝟏⏟ 𝒌−𝟑 𝒂𝒏𝒈𝒌𝒂 𝟏

𝒂𝟑 +⋯+ 𝒂𝒌−𝟏)

Jelas bahwa 𝒏− 𝒔(𝒏) kelipatan 9. Akibatnya 𝒅 merupakan faktor positif dari 9.

Nilai d yang memenuhi ada 3, yaitu 1, 3, dan 9.

6. Diketahui x dan y bilangan prima dengan x < y, dan 𝑥3 + 𝑦3 + 2018 = 30𝑦2 − 300𝑦 + 3018. Nilai

x yang memenuhi adalah....

Jawaban : 3

𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 + 𝟐𝟎𝟏𝟖 = 𝟑𝟎𝒚𝟐 − 𝟑𝟎𝟎𝒚 + 𝟑𝟎𝟏𝟖 ≡ 𝟎

𝒚𝟑 − 𝟑𝟎𝒚𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒚 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 = −𝒙𝟑 ⇔ (𝒚 − 𝟏𝟎)𝟑 = −𝒙𝟑 ⇔ 𝒚 − 𝟏𝟎 = −𝒙 ⇔ 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎

Karena 𝒙 dan 𝒚 bilangan prima dan 𝒙 < 𝒚 maka diperoleh 𝒙 = 𝟑, 𝒚 = 𝟕.

7. Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil

merupakan kelipatan 3, sedangkan yang lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah

semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah...

Jawaban : 130

Misalkan dua bilangan tersebut adalah 𝒙 dan 𝒚, dengan 𝒙 > 𝒚,

𝒚 kelipatan 3, maka dapat ditulis 𝒚 = 𝟑𝒌, untuk suatu bilangan asli k.

𝒙 kelipatan 7, maka dapat ditulis 𝒙 = 𝟕𝒏, untuk suatu bilangan asli n.

𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟎 ⟺ 𝟕𝒏 − 𝟑𝒌 = 𝟏𝟎

Jelas bahwa 𝒏 = 𝟏 dan 𝒌 = −𝟏 adalah salah satu solusi dari persamaan diatas maka solusi umumnya

adalah

𝒏 = 𝟏 + 𝟑𝒕, 𝒌 = −𝟏 + 𝟕𝒕, untuk suatu bilangan asli 𝒕

Jadi diperoleh 𝒙 = 𝟕 + 𝟐𝟏𝒕 dan 𝒚 = −𝟑 + 𝟐𝟏𝒕. Karena x dan y bilangan 2 digit maka pasangan (x,y)

yang memenuhi adalah (𝟐𝟖, 𝟏𝟖), (𝟒𝟗, 𝟑𝟗 ), (𝟕𝟎, 𝟔𝟎), dan (𝟗𝟏, 𝟖𝟏).

Jumlah semua faktor prima x dan y adalah 17, maka 𝟕 + 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝟑 = 𝟏𝟕 ⟺ 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 = 𝟕

diperoleh 𝒑𝟏 = 𝟓 dan 𝒑𝟐 = 𝟐.

Jelas bahwa ada diantara x dan y yang merupakan kelipatan 5 sehingga yang memenuhi hanyalah

𝒙 = 𝟕𝟎 dan 𝒚 = 𝟔𝟎. Jadi, jumlah dua bilangan tersebut adalah 130.

Halaman 5 dari 15


083831611481

8. Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka

adalah 14. Jika ditos 𝑛 kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga

angka. Nilai 𝑛 adalah...

Jawaban : 11

Untuk satu kali pengetosan, P(A) = 𝟏𝟒 dan P(G) =

𝟑𝟒. Dengan distribusi binomial maka diperoleh :

P(2A)=P(3A) ------> (𝒏𝟐) (𝟏𝟒)𝟐(𝟑𝟒)𝒏−𝟐

= (𝒏𝟑)(𝟏𝟒)𝟑(𝟑𝟒)𝒏−𝟑

------> 𝒏(𝒏−𝟏)𝟐

(𝟑𝟒) =

𝒏(𝒏−𝟏)(𝒏−𝟐)𝟔

(𝟏𝟒)

𝟗 = 𝒏 − 𝟐 -----> 𝒏 = 𝟏𝟏.

9. Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari

segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah...

Jawaban : 9

Perhatikan gambar berikut !

Jelas bahwa segitiga DCF dan segitiga ACF kongruen sehingga AC = CD. Karena AD garis berat maka

DB = CD = AC = 𝟏

𝟐 BC.

Karena panjang sisi-sisi segitiga ABC merupakan bilangan asli berurutan maka ada beberapa kasus,

yaitu :

Kasus 1 :

Misalkan panjang AB = 𝒏, BC = 𝒏 + 𝟏, AC = 𝒏 + 𝟐, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 + 𝟐 =

𝟏

𝟐𝒏 +

𝟏

𝟐 ⟺ 𝒏 = −𝟑 (tidak memenuhi).

Kasus 2 :

Misalkan panjang AB = 𝒏, BC = 𝒏 + 𝟐, AC = 𝒏 + 𝟏, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 + 𝟏 =

𝟏

𝟐𝒏 + 𝟏 ⟺ 𝒏 = 𝟎 (tidak memenuhi).

Kasus 3 :

Misalkan panjang AB = 𝒏+ 𝟏, BC = 𝒏, AC = 𝒏 + 𝟐, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 + 𝟐 =

𝟏

𝟐𝒏 ⟺ 𝒏 = −𝟒 (tidak memenuhi).

𝛼 𝛼

𝛽

𝛽

A

B C D

E

F

Halaman 6 dari 15


083831611481

Kasus 4 :

Misalkan panjang AB = 𝒏+ 𝟏, BC = 𝒏 + 𝟐, AC = 𝒏, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 =

𝟏

𝟐𝒏 + 𝟏 ⟺ 𝒏 = 𝟐 (memenuhi)

Keliling segitiga = 𝟑𝒏 + 𝟑 = 𝟗.

Kasus 5 :

Misalkan panjang AB = 𝒏+ 𝟐, BC = 𝒏 + 𝟏, AC = 𝒏, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 =

𝟏

𝟐𝒏 +

𝟏

𝟐 ⟺ 𝒏 = 𝟏.

Jika 𝒏 = 𝟏 maka AB = 3, BC = 2, dan AC = 1. Akibatnya ABC bukan segitiga sebab tidak

memenuhi syarat-syarat panjang sisi segitiga, yaitu AC + BC > AB.

Kasus 6 :

Misalkan panjang AB = 𝒏+ 𝟐, BC = 𝒏, AC = 𝒏 + 𝟏, dengan 𝒏 adalah bulangan asli.

𝑨𝑪 =𝟏

𝟐𝑩𝑪 ⟺ 𝒏 + 𝟏 =

𝟏

𝟐𝒏 ⟺ 𝒏 = −𝟐 (tidak memenuhi)

Jadi, keliling segitiga yang memenuhi adalah 9.

10. Diberikan suku banyak p(x) dengan 𝑝(𝑥)2 + 𝑝 (𝑥2) = 2𝑥2 untuk setiap bilangan real 𝑥. Jika 𝑝(1) ≠ 1

maka jumlah semua nilai 𝑝(10) yang mungkin adalah...

Jawaban : −121

Misalkan derajat 𝒑(𝒙) adalah 𝒏, dengan 𝒏 ≥ 𝟑, maka dapat ditulis

𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 + 𝒒(𝒙)

dengan 𝒒(𝒙) polinomial derajat 𝒌, 𝒌 < 𝒏 dan 𝒂 ≠ 𝟎.

𝒑(𝒙)𝟐 + 𝒑(𝒙𝟐) = 𝟐𝒙𝟐

(𝒂𝒙𝒏 + 𝒒(𝒙))𝟐+ (𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒒(𝒙𝟐)) = 𝟐𝒙𝟐

(𝒂𝟐 + 𝒂)𝒙𝟐𝒏 + 𝟐𝒂𝒒(𝒙)𝒙𝒏 + (𝒒(𝒙)𝟐 + 𝒒(𝒙𝟐)) = 𝟐𝒙𝟐

Perhatikan bahwa 𝟐𝒏 ≥ 𝟔 > 𝟐, dengan memperhatikan kesamaan koefisien ruas kiri dan ruas kanan,

maka diperoleh

𝒂𝟐 + 𝒂 = 𝟎 ⟺ 𝒂(𝒂 + 𝟏) = 𝟎 ⟺ 𝒂 = 𝟎 atau 𝒂 = −𝟏

Karena 𝒂 ≠ 𝟎 maka dipilih 𝒂 = −𝟏, sehingga persamaan menjadi

−𝟐𝒒(𝒙)𝒙𝒏 + (𝒒(𝒙)𝟐 + 𝒒(𝒙𝟐)) = 𝟐𝒙𝟐

Perhatikan bahwa 𝒏 + 𝒌 > 𝟐𝒌 dan 𝒏 + 𝒌 > 𝟐, dengan memperhatikan kesamaan koefisien ruas kiri

dan ruas kanan, maka diperoleh 𝒒(𝒙) = 𝟎. Akan tetapi jika 𝒒(𝒙) = 𝟎 disubtitusikan ke persamaan maka

diperoleh 𝟎 = 𝟐𝒙𝟐 (tidak memenuhi).

Jika 𝒑(𝒙) polinomial konstan, misalkan 𝒑(𝒙) = 𝒄, maka

𝒑(𝒙)𝟐 + 𝒑(𝒙𝟐) = 𝟐𝒙𝟐 ⟺ 𝒄𝟐 + 𝒄 = 𝟐𝒙 (tidak memenuhi).

Halaman 7 dari 15


083831611481

Jadi, 𝒑(𝒙) pasti polinomial berderajat satu atau dua.

Jika 𝒑(𝒙) berderajat satu, misalkan 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, maka

𝒑(𝒙)𝟐 + 𝒑(𝒙𝟐) = 𝟐𝒙𝟐 ---> (𝒂𝒙 + 𝒃)𝟐 + (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃) = 𝟐𝒙𝟐 ---> (𝒂𝟐 + 𝒂)𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝒙 + 𝒃𝟐 + 𝒃 = 𝟐𝒙𝟐

Dengan kesamaan koefisien ruas kiri dan kanan maka diperoleh 𝒂 = 𝟏 atau 𝒂 = −𝟐 dan 𝒃 = 𝟎.

Untuk 𝒂 = 𝟏 dan 𝒃 = 𝟎 maka 𝒑(𝒙) = 𝒙, akibatnya 𝒑(𝟏) = 𝟏 (tidak memenuhi sebab 𝒑(𝒙) ≠ 𝟏)

Untuk 𝒂 = −𝟐 dan 𝒃 = 𝟎 maka 𝒑(𝒙) = −𝟐𝒙, akibatnya 𝒑(𝟏𝟎) = −𝟐𝟎.

Jika 𝒑(𝒙) berderajat satu, misalkan 𝒑(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 + 𝒄, maka

𝒑(𝒙)𝟐 + 𝒑(𝒙𝟐) = 𝟐𝒙𝟐 ---> (𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄)𝟐+ (𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄) = 𝟐𝒙𝟐

(𝒂𝟐 + 𝒂)𝒙𝟒 + 𝟐𝒂𝒃𝒙𝟑 + (𝒃𝟐 + 𝒃+ 𝟐𝒂𝒄)𝒙𝟐 + 𝟐𝒃𝒄𝒙 + 𝒄𝟐 + 𝒄 = 𝟐𝒙𝟐

Dengan kesamaan koefisien ruas kiri dan kanan maka diperoleh 𝒂 = −𝟏, 𝒃 = 𝟎 dan 𝒄 = −𝟏.’

Diperoleh 𝒑(𝒙) = −𝒙𝟐 − 𝟏. Nilai dari 𝒑(𝟏𝟎) = −𝟏𝟎𝟏.

Jadi, jumlah semua nilai dari 𝒑(𝟏𝟎) adalah −𝟏𝟎𝟏 − 𝟐𝟎 = −𝟏𝟐𝟏.

11. Misalkan {𝑥𝑛} adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = ⋯ = 𝑥12 = 0, 𝑥13 = 2

dan untuk setiap bilangan asli 𝑛 berlaku 𝑥𝑛+13 = 𝑥𝑛+4 + 2𝑥𝑛. Nilai 𝑥143 adalah....

Jawaban : 2104

𝒙𝒏+𝟏𝟑 = 𝒙𝒏+𝟒 + 𝟐𝒙𝒏

𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑 = ⋯ = 𝒙𝟏𝟐 = 𝟎

CARA SUPER NGULI Hehehehe....

𝒙𝟏𝟑 = 𝟐

𝒙𝟏𝟒 = 𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟏𝟕 = 𝒙𝟖 + 𝟐𝒙𝟒 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟔 = 𝒙𝟏𝟕 + 𝟐𝒙𝟏𝟑 = 𝟐𝟐

𝒙𝟐𝟏 = 𝒙𝟏𝟐 + 𝟐𝒙𝟖 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟎 = 𝒙𝟐𝟏 + 𝟐𝒙𝟏𝟕 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟗 = 𝒙𝟑𝟎 + 𝟐𝒙𝟐𝟔 = 𝟐𝟑.

𝒙𝟏𝟔 = 𝒙𝟕 + 𝟐𝒙𝟑 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟓 = 𝒙𝟏𝟔 + 𝟐𝒙𝟏𝟐 = 𝟎,

𝒙𝟑𝟒 = 𝒙𝟐𝟓 + 𝟐𝒙𝟐𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟒𝟑 = 𝒙𝟑𝟒 + 𝟐𝒙𝟑𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟐 = 𝒙𝟒𝟑 + 𝟐𝒙𝟑𝟗 = 𝟐𝟒.

𝒙𝟐𝟎 = 𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝒙𝟕 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟗 = 𝒙𝟐𝟎 + 𝟐𝒙𝟏𝟔 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟖 = 𝒙𝟐𝟗 + 𝟐𝒙𝟐𝟓 = 𝟎,

𝒙𝟒𝟕 = 𝒙𝟑𝟖 + 𝟐𝒙𝟑𝟒 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟔 = 𝒙𝟒𝟕 + 𝟐𝒙𝟒𝟑 = 𝟎, 𝒙𝟔𝟓 = 𝒙𝟓𝟔 + 𝟐𝒙𝟓𝟐 = 𝟐𝟓.

𝒙𝟏𝟓 = 𝒙𝟔 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟒 = 𝒙𝟏𝟓 + 𝟐𝒙𝟏𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟑 = 𝒙𝟐𝟒 + 𝟐𝒙𝟐𝟎 = 𝟎,

𝒙𝟒𝟐 = 𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝒙𝟐𝟗 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟏 = 𝒙𝟒𝟐 + 𝟐𝒙𝟑𝟖 = 𝟎, 𝒙𝟔𝟎 = 𝒙𝟓𝟏 + 𝟐𝒙𝟒𝟕 = 𝟎,

𝒙𝟔𝟗 = 𝒙𝟔𝟎 + 𝟐𝒙𝟓𝟔 = 𝟎, 𝒙𝟕𝟖 = 𝒙𝟔𝟗 + 𝟐𝒙𝟔𝟓 = 𝟐𝟔.

Halaman 8 dari 15


083831611481

𝒙𝟏𝟗 = 𝒙𝟏𝟎 + 𝟐𝒙𝟔 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟖 = 𝒙𝟏𝟗 + 𝟐𝒙𝟏𝟓 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟕 = 𝒙𝟐𝟖 + 𝟐𝒙𝟐𝟒 = 𝟎,

𝒙𝟒𝟔 = 𝒙𝟑𝟕 + 𝟐𝒙𝟑𝟑 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟓 = 𝒙𝟒𝟔 + 𝟐𝒙𝟒𝟐 = 𝟎, 𝒙𝟔𝟒 = 𝒙𝟓𝟓 + 𝟐𝒙𝟓𝟏 = 𝟎,

𝒙𝟕𝟑 = 𝒙𝟔𝟒 + 𝟐𝒙𝟔𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟖𝟐 = 𝒙𝟕𝟑 + 𝟐𝒙𝟔𝟗 = 𝟎, 𝒙𝟗𝟏 = 𝒙𝟖𝟐 + 𝟐𝒙𝟕𝟖 = 𝟐𝟕.

𝒙𝟐𝟑 = 𝒙𝟏𝟒 + 𝟐𝒙𝟏𝟎 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟐 = 𝒙𝟐𝟑 + 𝟐𝒙𝟏𝟗 = 𝟎, 𝒙𝟒𝟏 = 𝒙𝟑𝟐 + 𝟐𝒙𝟐𝟖 = 𝟎,

𝒙𝟓𝟎 = 𝒙𝟒𝟏 + 𝟐𝒙𝟑𝟕 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟗 = 𝒙𝟓𝟎 + 𝟐𝒙𝟒𝟔 = 𝟎, 𝒙𝟔𝟖 = 𝒙𝟓𝟗 + 𝟐𝒙𝟓𝟓 = 𝟎,

𝒙𝟕𝟕 = 𝒙𝟔𝟖 + 𝟐𝒙𝟔𝟒 = 𝟎, 𝒙𝟖𝟔 = 𝒙𝟕𝟕 + 𝟐𝒙𝟕𝟑 = 𝟎, 𝒙𝟗𝟓 = 𝒙𝟖𝟔 + 𝟐𝒙𝟖𝟐 = 𝟎,

𝒙𝟏𝟎𝟒 = 𝒙𝟗𝟓 + 𝟐𝒙𝟗𝟏 = 𝟐𝟖

𝒙𝟏𝟖 = 𝒙𝟗 + 𝟐𝒙𝟓 = 𝟎, 𝒙𝟐𝟕 = 𝒙𝟏𝟖 + 𝟐𝒙𝟏𝟒 = 𝟎, 𝒙𝟑𝟔 = 𝒙𝟐𝟕 + 𝟐𝒙𝟐𝟑 = 𝟎,

𝒙𝟒𝟓 = 𝒙𝟑𝟔 + 𝟐𝒙𝟑𝟐 = 𝟎, 𝒙𝟓𝟒 = 𝒙𝟒𝟓 + 𝟐𝒙𝟒𝟏 = 𝟎, 𝒙𝟔𝟑 = 𝒙𝟓𝟒 + 𝟐𝒙𝟓𝟎 = 𝟎,

𝒙𝟕𝟐 = 𝒙𝟔𝟑 + 𝟐𝒙𝟓𝟗 = 𝟎, 𝒙𝟖𝟏 = 𝒙𝟕𝟐 + 𝟐𝒙𝟔𝟖 = 𝟎, 𝒙𝟗𝟎 = 𝒙𝟖𝟏 + 𝟐𝒙𝟕𝟕 = 𝟎,

𝒙𝟗𝟗 = 𝒙𝟗𝟎 + 𝟐𝒙𝟖𝟔 = 𝟎, 𝒙𝟏𝟎𝟖 = 𝒙𝟗𝟗 + 𝟐𝒙𝟗𝟓 = 𝟎, 𝒙𝟏𝟏𝟕 = 𝒙𝟏𝟎𝟖 + 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟒 = 𝟐𝟗.

𝒙𝟐𝟐 = 𝒙𝟏𝟑 + 𝟐𝒙𝟗 = 𝟐, 𝒙𝟑𝟏 = 𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝒙𝟏𝟖 = 𝟐, 𝒙𝟒𝟎 = 𝒙𝟑𝟏 + 𝟐𝒙𝟐𝟕 = 𝟐,

𝒙𝟒𝟗 = 𝒙𝟒𝟎 + 𝟐𝒙𝟑𝟔 = 𝟐, 𝒙𝟓𝟖 = 𝒙𝟒𝟗 + 𝟐𝒙𝟒𝟓 = 𝟐, 𝒙𝟔𝟕 = 𝒙𝟓𝟖 + 𝟐𝒙𝟓𝟒 = 𝟐,

𝒙𝟕𝟔 = 𝒙𝟔𝟕 + 𝟐𝒙𝟔𝟑 = 𝟐, 𝒙𝟖𝟓 = 𝒙𝟕𝟔 + 𝟐𝒙𝟕𝟐 = 𝟐, 𝒙𝟗𝟒 = 𝒙𝟖𝟓 + 𝟐𝒙𝟖𝟏 = 𝟐,

𝒙𝟏𝟎𝟑 = 𝒙𝟗𝟒 + 𝟐𝒙𝟗𝟎 = 𝟐, 𝒙𝟏𝟏𝟐 = 𝒙𝟏𝟎𝟑 + 𝟐𝒙𝟗𝟗 = 𝟐, 𝒙𝟏𝟐𝟏 = 𝒙𝟏𝟏𝟐 + 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟖 = 𝟐,

𝒙𝟏𝟑𝟎 = 𝒙𝟏𝟐𝟏 + 𝟐𝒙𝟏𝟏𝟕 = 𝟐𝟏𝟎 + 𝟐.

𝒙𝟐𝟔 = 𝒙𝟏𝟕 + 𝟐𝒙𝟏𝟑 = 𝟒, 𝒙𝟑𝟓 = 𝒙𝟐𝟔 + 𝟐𝒙𝟐𝟐 = 𝟖, 𝒙𝟒𝟒 = 𝒙𝟑𝟓 + 𝟐𝒙𝟑𝟏 = 𝟏𝟐,

𝒙𝟓𝟑 = 𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝒙𝟒𝟎 = 𝟏𝟔, 𝒙𝟔𝟐 = 𝒙𝟓𝟑 + 𝟐𝒙𝟒𝟗 = 𝟐𝟎, 𝒙𝟕𝟏 = 𝒙𝟔𝟐 + 𝟐𝒙𝟓𝟖 = 𝟐𝟒,

𝒙𝟖𝟎 = 𝒙𝟕𝟏 + 𝟐𝒙𝟔𝟕 = 𝟐𝟖, 𝒙𝟖𝟗 = 𝒙𝟖𝟎 + 𝟐𝒙𝟕𝟔 = 𝟑𝟐, 𝒙𝟗𝟖 = 𝒙𝟖𝟗 + 𝟐𝒙𝟖𝟓 = 𝟑𝟔,

𝒙𝟏𝟎𝟕 = 𝒙𝟗𝟖 + 𝟐𝒙𝟗𝟒 = 𝟒𝟎, 𝒙𝟏𝟏𝟔 = 𝒙𝟏𝟎𝟕 + 𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑 = 𝟒𝟒, 𝒙𝟏𝟐𝟓 = 𝒙𝟏𝟏𝟔 + 𝟐𝒙𝟏𝟏𝟐 = 𝟒𝟖,

𝒙𝟏𝟑𝟒 = 𝒙𝟏𝟐𝟓 + 𝟐𝒙𝟏𝟐𝟏 = 𝟓𝟐, 𝒙𝟏𝟒𝟑 = 𝒙𝟏𝟑𝟒 + 𝟐𝒙𝟏𝟑𝟎 = 𝟓𝟐 + 𝟐(𝟐𝟏𝟎 + 𝟐) = 𝟐𝟏𝟎𝟒.

12. Untuk setiap bilangan real 𝑧, ⌊𝑧⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama

dengan z. Jika diketahui ⌊𝑥⌋ + ⌊𝑦⌋ + 𝑦 = 43,8 dan 𝑥 + 𝑦 − ⌊𝑥⌋ = 18,4. Nilai 10(𝑥 + 𝑦) adalah...

Jawaban : 274

⌊𝒙⌋ + ⌊𝒚⌋ + 𝒚 = 𝟒𝟑, 𝟖 -----> ⌊𝒙⌋ + 𝟐⌊𝒚⌋ + {𝒚} = 𝟒𝟑, 𝟖

Karena ⌊𝒙⌋ + 𝟐⌊𝒚⌋ bilangan bulat dan 𝟎 ≤ {𝒚} < 𝟏 maka diperoleh ⌊𝒙⌋ + 𝟐⌊𝒚⌋ = 𝟒𝟑 dan {𝒚} = 𝟎, 𝟖.

𝒙 + 𝒚 − ⌊𝒙⌋ = 𝟏𝟖, 𝟒 -----> ⌊𝒚⌋ + {𝒚} + {𝒙} = 𝟏𝟖, 𝟒 -----> ⌊𝒚⌋ + {𝒙} = 𝟏𝟕, 𝟔.

Karena ⌊𝒚⌋ bilangan bulat dan 𝟎 ≤ {𝒙} < 𝟏 maka diperoleh ⌊𝒚⌋ = 𝟏𝟕 dan {𝒙} = 𝟎, 𝟔

Jika ⌊𝒚⌋ = 𝟏𝟕 maka ⌊𝒙⌋ = 𝟒𝟑 − 𝟑𝟒 = 𝟗.

Jadi, 𝟏𝟎(𝒙 + 𝒚) = 𝟏𝟎(⌊𝒙⌋ + {𝒙} + ⌊𝒚⌋ + {𝒚}) = 𝟏𝟎(𝟐𝟕, 𝟒) = 𝟐𝟕𝟒.

Halaman 9 dari 15


083831611481

13. Misalkan ABCD adalah trapesium siku-siku dengan AB sejajar DC dan AB tegak lurus AD. Misalkan

juga P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Jika perbandingan luas segitiga APD dan luas trapesium

ABCD adalah 4 : 25 maka nilai 𝐴𝐵𝐷𝐶

adalah...

Jawaban : 𝟏

𝟒 atau 4.

Misalkan label yang tertera didalam segitiga merupakan luas dari segitiga tersebut

[𝑨𝑷𝑫]

[𝑨𝑩𝑪𝑫]=

𝟒

𝟐𝟓 -----> [𝑨𝑷𝑫] = 𝟒𝑳 dan [𝑨𝑩𝑪𝑫] = 𝟐𝟓𝑳

X + Y + 8L = 25L -----> X + Y = 17L, dengan Y > X.

𝑿

𝟒𝑳=𝑩𝑷

𝑷𝑫=𝟒𝑳

𝒀 -----> XY = 16L

2, sehingga diperoleh X = L dan Y = 16L.

Jelas bahwa segitiga APB sebangun dengan CPD sehingga perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

sama dengan akar dari perbandingan luasnya.

Jika AB < DC, maka 𝑨𝑩

𝑫𝑪= √

𝑿

𝒀= √

𝑳

𝟏𝟔𝑳=𝟏

𝟒.

Jika AB > DC, maka 𝑨𝑩

𝑫𝑪= √

𝒀

𝑿= √

𝟏𝟔𝑳

𝑳= 𝟒.

14. Himpunan S merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3,

4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di S diurutkan mulai dari yang paling kecil

sampai yang paling besar. Bilangan yang berada pada urutan ke-2018 adalah.....

Jawab : 3671254

1 A B C D E F ------> ada sebanyak 𝟔! = 𝟕𝟐𝟎

2 A B C D E F ------> ada sebanyak 𝟔! = 𝟕𝟐𝟎

3 A B C D E F ------> ada sebanyak 𝟒 × 𝟓! = 𝟒𝟖𝟎

1

2

4

5

3 6 B C D E F ------> ada sebanyak 𝟒 × 𝟒! = 𝟗𝟔

1

2

4

5

A

B

D

C

P

4L

4L

X Y

D

C

A

B

P

4L

4L

X Y

𝛼

𝛽 𝛼

𝛽

𝛼

𝛽

𝛽

𝛼

Bilangan ke-2017 adalah 3671245

Bilangan ke-2018 adalah 3671254

Total 2016 bilangan

Halaman 10 dari 15


083831611481

15. Misalkan 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 0 ≤ 𝑥 ≤ 1}. Banyaknya pasangan bilangan asli (𝑎, 𝑏) sehingga tepat ada 2018

anggota 𝑆 yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑥𝑎+𝑦𝑏 untuk suatu bilangan bulat 𝑥 dan 𝑦 adalah...

Jawaban : 3

Perhatikan bahwa :

𝟎 ≤𝒙

𝒂+𝒚

𝒃=𝒃𝒙 + 𝒂𝒚

𝒂𝒃≤ 𝟏 ⟺ 𝟎 ≤ 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 ≤ 𝒂𝒃

Pernyataan pada soal ekivalen dengan mencari banyaknya bilangan bulat (𝒂, 𝒃) sehingga ada tepat

2018 solusi 𝒏 yang memenuhi 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 = 𝒏, dengan 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝒂𝒃.

Untuk 𝒏 = 𝟎, maka pasti ada bilangan bulat 𝒙 = −𝒂 dan 𝒚 = −𝒃 sehingga memenuhi persamaan

𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 = 𝒏. Jadi, 0 dapat dinyatakan dalam bentk 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚.

Untuk 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝒂𝒃. Berdasarkan Bezuot identitiy solusi 𝒏 terkecil dari persamaan 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 = 𝒏

adalah FPB (𝒂, 𝒃). Jadi semua kelipatan FPB (𝒂, 𝒃) dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚.

Untuk 𝟏 ≤ 𝒏 ≤ 𝒂𝒃, banyaknya solusi 𝒏 yang memenuhi adalah 𝒂𝒃

𝑭𝑷𝑩(𝒂,𝒃).

Ada tepat 2018 solusi 𝒏 yang memenuhi yang memenuhi 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 = 𝒏, dengan 𝟎 ≤ 𝒏 ≤ 𝒂𝒃, maka

𝒂𝒃

𝑭𝑷𝑩(𝒂, 𝒃)+ 𝟏 = 𝟐𝟎𝟏𝟖 ⟺ 𝑲𝑷𝑲(𝒂, 𝒃) + 𝟏 = 𝟐𝟎𝟏𝟖 ⟺ 𝑲𝑷𝑲(𝒂, 𝒃) = 𝟐𝟎𝟏𝟕

Diperoleh (𝒂, 𝒃) = (𝟐𝟎𝟏𝟕, 𝟐𝟎𝟏𝟕), (𝟏, 𝟐𝟎𝟏𝟕). Jadi, ada 3 pasangan bilangan asli (𝒂, 𝒃) yang memenuhi.

16. Diberikan segitiga 𝐴𝐵𝐶 dan lingkaran Γ yang berdiameter AB. Lingkaran Γ memotong sisi 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐶

berturut-turut di 𝐷 dan 𝐸. Jika 𝐴𝐵 = 30, 𝐴𝐷 =1

3𝐴𝐶, dan 𝐵𝐸 =

1

4𝐵𝐶, maka luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah....

Jawaban : 540


C

A

E

D

B

𝑛

3𝑛

𝑚

2𝑚

𝛼

𝛼

𝛽

𝛽

30

Halaman 11 dari 15


083831611481

ABED segiempat tali busur, akibatnya ∠𝑨𝑩𝑪 = ∠𝑬𝑫𝑪 dan ∠𝑩𝑨𝑪 = ∠𝑫𝑬𝑪.

∆𝑨𝑩𝑪 ~ ∆𝑬𝑫𝑪 → 𝟑𝒏

𝟑𝒎=𝟐𝒎

𝟒𝒏 ⇔ 𝒎𝟐 = 𝟐𝒏𝟐

Pada ∆𝑨𝑩𝑫 → 𝑩𝑫𝟐 = 𝟗𝟎𝟎 −𝒎𝟐 = 𝟗𝟎𝟎 − 𝟐𝒏𝟐.

Pada ∆𝑪𝑩𝑫 → 𝑩𝑫𝟐 = 𝟏𝟔𝒏𝟐 − 𝟒𝒎𝟐 = 𝟏𝟔𝒏𝟐 − 𝟖𝒏𝟐 = 𝟖𝒏𝟐.

𝟗𝟎𝟎 − 𝟐𝒏𝟐 = 𝟖𝒏𝟐 ⇔ 𝒏𝟐 = 𝟗𝟎, 𝒎 = 𝟑√𝟐𝟎 , dan 𝑩𝑫 = 𝟔√𝟐𝟎

[𝑨𝑩𝑪] =𝟏

𝟐(𝑨𝑪)(𝑩𝑫) =

𝟏

𝟐(𝟗√𝟐𝟎)(𝟔√𝟐𝟎) = 𝟓𝟒𝟎.

17. Diberikan bilangan real x dan y yang memenuhi 12<𝑥𝑦< 2. Nilai minimum

𝑥2𝑦−𝑥

+2𝑦2𝑥−𝑦

adalah...

Jawaban : 𝟏 +𝟒√𝟐

𝟑

Misalkan 𝒙

𝒚= 𝒂 maka

𝟏

𝟐< 𝒂 < 𝟐.

𝒙

𝟐𝒚 − 𝒙+

𝟐𝒚

𝟐𝒙 − 𝒚=

𝒙𝒚

𝟐 −𝒙𝒚

+𝟐

𝟐(𝒙𝒚) − 𝟏

=𝒂

𝟐 − 𝒂+

𝟐

𝟐𝒂 − 𝟏= −𝟏 +

𝟐

𝟐 − 𝒂+

𝟐

𝟐𝒂 − 𝟏= 𝒇(𝒂)

𝒇′(𝒂) =𝟐

(𝟐 − 𝒂)𝟐−

𝟒

(𝟐𝒂 − 𝟏)𝟐= 𝟎 ⇔ 𝟐𝒂 − 𝟏 = ±√𝟐(𝟐 − 𝒂)

Untuk 𝟐𝒂 − 𝟏 = √𝟐(𝟐 − 𝒂) maka 𝒂 =𝟐√𝟐+𝟏

𝟐+√𝟐=𝟑√𝟐−𝟐

𝟐 sehingga

𝒇(𝒂) = −𝟏 +𝟐√𝟐+𝟐

𝟐𝒂−𝟏= −𝟏 +

𝟐(√𝟐+𝟏)

𝟑(√𝟐−𝟏)= −𝟏 +

𝟔+𝟒√𝟐

𝟑= 𝟏 +

𝟒√𝟐

𝟑.

Selanjutnya dicek dengan turunan kedua.

𝒇′′(𝒂) =𝟒

(𝟐−𝒂)𝟑+

𝟏𝟔

(𝟐𝒂−𝟏)𝟐 karena 𝟐 − (

𝟑√𝟐−𝟐

𝟐) > 𝟎 maka 𝒇′′ (

𝟑√𝟐−𝟐

𝟐) > 𝟎 (minimum)

Untuk 𝟐𝒂 − 𝟏 = −√𝟐(𝟐 − 𝒂) maka =−𝟐√𝟐+𝟏

𝟐−√𝟐=−𝟑√𝟐−𝟐

𝟐 (tidak memenuhi domain)

Jadi nilai minimumnya adalah 𝟏 +𝟒√𝟐

𝟑.

18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar.

Pada tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang.

Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari

Halaman 12 dari 15


083831611481

kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku

adalah....

Jawaban : 1

Kasus 1 : Jika ada dua titik yang berhadapan dan terletak pada lingkaran memiliki warna yang sama.

Dalam hal ini ada 3 pasang titik, yaitu (B, E), (A, D), dan (C, F). Jelas bahwa ABCDEF membentuk

segienam beraturan sehingga BE, AD, dan CF merupakan diameter lingkaran.

Misalkan B dan E keduanya berwarna merah. Oleh karena BE diameter, maka apabila salah satu dari

4 titik (A, C, D, F), misalkan titik A berwarna merah dan titik A dihubugkan ke B dan E maka terbentuk

segitiga siku-siku ABE yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.

Jika titik A, C, D, F semuanya berwarna biru maka dapat dibentuk segitiga siku-siku ADC sebab AD

diameter.

Kasus 2 : Jika dua titik yang berhadapan dan terletak pada lingkaran memiliki warna yang berbeda.

A berbeda warna dengan D, B berbeda warna dengan E, dan C berbeda warna dengan F.

Sub kasus 2a :

Jika A, B, C warnanya sama, misalkan biru maka D, E, F warnanya sama, yaitu merah.

Jelas bahwa CA (biru) tegak lurus GA sehingga jika G diwarnai biru akan terbentuk segitiga

siku-siku CAG yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.

Jelas bahwa DF (merah) tegak lurus GA sehingga jika G diwarnai merah maka akan terbentuk

segitiga siku-siku DFG yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.

Kasus ini ekivalen 2 titik yang berurutan warnanya sama dan titik sebelahnya berbeda warna

Sub kasus 2b :

Jika A, C warnanya sama dan B, A berbeda warna, misalkan A, C biru dan B merah maka D,

F merah dan E biru,

Jelas bahwa AE (biru) tegak lurus GI sehingga jika I diwarnai biru maka akan terbentuk segitiga

siku-siku AEI yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.

Jelas bahwa BD (merah) tegak lurus GI sehingga jika I diwarnai merah maka akan terbentuk

segitiga siku-siku BDI yang ketiga titik sudutnya memiliki warna yang sama.

A

F

D

E

C B

G

I H

Halaman 13 dari 15


083831611481

Bagaimanapun pengaturan warnanya selalu terdapat segitiga siku-siku yang ketiga titik sudutnya

memiliki warna yang sama.

Jadi, Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan

membentuk segitiga siku-siku adalah 1.

19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎4 + 𝑏4 + 13 untuk suatu bilangan-

bilangan prima a dan b adalah : : :

Jawaban : 719

Setiap bilangan prima lebih dari 3 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝟔𝒏 ± 𝟏. Akibatnya pangkat empat

dari suatu bilangan prima tersebut selalu bersisa 1 jika dibagi 3.

Jika 𝒂 > 𝟑 dan 𝒃 > 𝟑 maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 ≡ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟏𝟓 ≡ 𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟑).

Karena 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 kelipatan 3, maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 pasti bukan bilangan prima.

Jadi, haruslah 𝒂 ≤ 𝟑, 𝒃 > 𝟑 atau 𝒂, 𝒃 ≤ 𝟑.

Agar 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 bilangan prima maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 harus genap.

Untuk 𝒂, 𝒃 ≤ 𝟑, karena 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 harus genap maka pasangan (𝒂, 𝒃) yang memenuhi adalah (𝟐, 𝟐)

dan (𝟑, 𝟑).

Untuk 𝒂 = 𝒃 = 𝟐, maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 = 𝟔𝟓 (bukan prima)

Untuk 𝒂 = 𝒃 = 𝟑, maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 = 𝟏𝟕𝟓 (bukan prima)

Untuk 𝒂 ≤ 𝟑, 𝒃 > 𝟑, karena 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 harus genap maka 𝒂 = 𝟑.

Untuk 𝒂 = 𝟑 dan 𝒃 = 𝟓, maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 = 𝟕𝟏𝟗 (prima)

Untuk 𝒂 = 𝟑 dan 𝒃 > 𝟓 maka angka satuan 𝒂𝟒 dan 𝒃𝟒 adalah 1, sehingga

𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 ≡ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟑 = 𝟏𝟓 ≡ 𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟓).

Karena 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 kelipatan 5, maka 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 pasti bukan bilangan prima.

Jadi, nilai bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝒂𝟒 + 𝒃𝟒 + 𝟏𝟑 untk a dan b

bilangan prima adalah 719.

Halaman 14 dari 15


083831611481

20. Pada segitiga ABC, panjang sisi BC adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik D pada sisi BC yang memenuhi

|𝐷𝐴|2 = |𝐷𝐵||𝐷𝐶|. Jika 𝑘 menyatakan keliling ABC, jumlah semua 𝑘 yang mungkin adalah...

Jawab : 𝟏 + √𝟐


AD diperpanjang sampai titik E sehingga DA = DE.

𝑫𝑨𝟐 = 𝑫𝑩 × 𝑫𝑪 ⟺ 𝑫𝑨

𝑫𝑩=𝑫𝑪

𝑫𝑨 ⟺

𝑫𝑨

𝑫𝑩=𝑫𝑪

𝑫𝑬

Karena ∠𝑬𝑫𝑪 = ∠𝑨𝑫𝑩 dan 𝑫𝑨

𝑫𝑩=𝑫𝑪

𝑫𝑬 maka ∆𝑫𝑨𝑩 ~ ∆𝑫𝑪𝑬, sehingga

∠𝑫𝑨𝑩 = ∠𝑫𝑪𝑬 dan ∠𝑫𝑨𝑩 = ∠𝑫𝑪𝑬

Akibatnya, ABEC segiempat tali busur.

Jika BC bukan diameter lingkaran L1 dan titik pusat lingkaran berada di dalam segitiga ABC

maka ada 2 kemungkinan titik D yang memenuhi.

Jika dibuat lingkaran kecil L2 dengan diameter AO, maka lingkaran tersebut akan memotong

BC di dua titik yang berbeda dan dua titik potong tersebut berada di dalam lingkaran L1.

Dua titik potong itulah yang merupakan kemungkinan posisi titik D yang memenuhi soal

(seperti pada gambar di atas). Jadi, ada lebih dari satu titik D yang mungkin.

A

E

D C B

∙

A

B C D

E

D

E

O

L1

L2

Halaman 15 dari 15


083831611481

1

2

Jika BC bukan diameter lingkaran dan titik pusat lingkaran L1 berada di luar segitiga ABC maka

Tidak ada titik D yang memenuhi sebab AD selalu lebih besar dari DE.

Jadi, BC pasti merupakan diameter lingkaran.

Jika BC diameter lingkaran dan AB ≠ AC maka ada 2 kemungkinan titik D yang memenuhi,

yaitu AD tegak lurus BC atau titik D merupakan pusat lingkaran (seperti pada gambar diatas).

Jika BC diameter lingkaran dan AB = AC maka ada tepat satu titik D pada BC yang memenuhi,

yaitu titik D tepat di pusat lingkaran.

Karena AD dan BC diameter lingkaran maka ∠𝑫 = 𝟗𝟎° dan BD = DC = AD = 𝟏

𝟐𝑩𝑪 =

𝟏

𝟐.

𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 = √(𝟏

𝟐)𝟐

+ (𝟏

𝟐)𝟐

=𝟏

𝟐√𝟐

Keliling segitiga ABC = k = 𝟏 +𝟏

𝟐√𝟐 +

𝟏

𝟐√𝟐 = 𝟏 + √𝟐.

NB : Jika ada saran dan kritik atau ada yang kurang jelas, mohon agar disampaikan via wa

083831611481, maklum yang nyusun pembahasan ini masih amatiran...

C B D

E

A

C B

E

∙

E

D

1

2

1

2

A

L1 L2

L1

L2

bidang matematika sma 2 dari 15 miftah mathematics revolution (mmr) 083831611481 solusi osk sma 2018...

Documents