Bandul Sederhana

Pernahkan Anda mengamati apa yang terjadi ketika senar gitar dipetik lalu dilepaskan? Anda

akan melihat suatu gerak bolak-balik melewati lintasan yang sama. Gerakan seperti ini

dinamakan gerak periodik. Contoh lain gerak periodik adalah gerakan bumi mengelilingi

matahari (revolusi bumi), gerakan bulan mengelilingi bumi, gerakan benda yang tergantung

pada sebuah pegas, dan gerakan sebuah bandul. Di antara gerak periodik ini ada gerakan yang

dinamakan gerak harmonik.

Gerak harmonik merupakan gerak sebuah benda dimana grafik posisi partikel sebagai

fungsi waktu berupa sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk sinus atau kosinus). Gerak

semacam ini disebut gerak osilasi atau getaran harmonik. Contoh lain sistem yang melakukan

getaran harmonik, antara lain, dawai pada alat musik, gelombang radio, arus listrik AC, dan

denyut jantung. Galileo di duga telah mempergunakan denyut jantungnya untuk pengukuran

waktu dalam pengamatan gerak.

Untuk memahami getaran harmonik, Anda dapat mengamati gerakan sebuah benda yang

diletakkan pada lantai licin dan diikatkan pada sebuah pegas. Anggap mula-mula benda

berada pada posisi X = 0 sehingga pegas tidak tertekan atau teregang. Posisi seperti ini

dinamakan posisi keseimbangan. Ketika benda ditekan ke kiri (X = –) pegas akan mendorong

benda ke kanan, menuju posisi keseimbangan. Sebaliknya jika benda ditarik ke kanan, pegas

akan menarik benda kembali ke arah posisi keseimbangan (X = +).

Pegas getar bersifat elastis. Artinya dapat bertambah panjang bila diberi gaya misalnya gaya

berat beban yang diletakkan di ujungnya. Bila beban ditarik kemudian dilepaskan maka pegas

akan melakukan gerak getaran. Demikian pula pada ayunan yang terdiri beban diikat pada

benang dapat melakukan gerak getaran setelah beban disimpangkan dengan sudut simpang θ

tertentu. Pada gerak getaran dapat diketahui frekuensi yaitu jumlah getaran tiap satuan waktu

dan periodenya yaitu waktu untuk melakukan satu gerak getaran.

Gambar 1. Bandul sederhana

Pada ayunan sederhana yang ditunjukkan seperti gambar, periode dan frekuensi dapat

ditentukan sebagai berikut :

Beban yang terikat pada tali dari titik A berayun ke titik B dikarenakan adanya gaya pemulih

( F ) dirumuskan F = -mg sin θ (tanda negatif menunjukkan bahwa gaya tersebut laten).

Dari F = m . a sama dengan F = -mg sin θ

Maka

m . a = -mg sin θ

Kerja Mandiri

1. Sebuah ayunan menimbulkan ayunan dengan frekwensi 4 kali frekuensi yang ditimbulkan

oleh ayunan kedua yang panjang talinya 1 meter. Berapa panjang tali pada ayunan bandul

pertama ?

2. Sebuah bandul sederhana denga panjang tali l dan massa beban m kg digunakan untuk

secara sederhana mengukur gravitasi bumi, kemudian bandul di bawa ke suatu planet,

ternyata berat beban 4 kali beratnya ketika di bumi. Jika frekuensi bandul di bumi 50 Hz,

hitunglah frekuensi bandul ketika digunakan di planet tersebut!

Elastisitas

Semua benda, baik yang berwujud padat, cair, ataupun gas akan mengalami perubahan

bentuk dan ukurannya apabila benda tersebut diberi suatu gaya. Benda padat yang keras

sekalipun jika dipengaruhi oleh gaya yang cukup besar akan berubah bentuknya. Ada

beberapa benda yang akan kembali ke bentuk semula setelah gaya dihilangkan, tetapi ada

juga yang berubah menjadi bentuk yang baru. Hal itu berkaitan dengan sifat elastisitas benda.

Apakah yang dimaksud elastisitas? Bagaimana pengaruh gaya pada sifat elastisitas bahan?

Elastisitas adalah sifat benda yang cenderung mengembalikan keadaan ke bentuk semula

setelah mengalami perubahan bentuk karena pengaruh gaya (tekanan atau tarikan) dari luar.

Benda-benda yang memiliki elastisitas atau bersifat elastis, seperti karet gelang, pegas, dan

pelat logam disebut benda elastis (Gambar).

Adapun benda-benda yang tidak memiliki elastisitas (tidak kembali ke bentuk awalnya)

disebut benda plastis. Contoh benda plastis adalah tanah liat dan plastisin (lilin mainan).

Ketika diberi gaya, suatu benda akan mengalami deformasi, yaitu perubahan ukuran atau

bentuk. Karena mendapat gaya, molekul-molekul benda akan bereaksi dan memberikan gaya

untuk menghambat deformasi. Gaya yang diberikan kepada benda dinamakan gaya luar,

sedangkan gaya reaksi oleh molekul-molekul dinamakan

gaya dalam. Ketika gaya luar dihilangkan, gaya dalam cenderung untuk mengembalikan

bentuk dan ukuran benda ke keadaan semula. Apabila sebuah gaya F diberikan pada sebuah

pegas (Gambar), panjang pegas akan berubah.

Jika gaya terus diperbesar, maka hubungan antara perpanjangan pegas dengan gaya yang

diberikan dapat digambarkan dengan grafik seperti pada Gambar

Berdasarkan grafik tersebut, garis lurus OA menunjukkan besarnya gaya F yang sebanding

dengan pertambahan panjang x. Pada bagian ini pegas dikatakan meregang secara linier. Jika

F diperbesar lagi sehingga melampaui titik A, garis tidak lurus lagi. Hal ini dikatakan batas

linieritasnya sudah terlampaui, tetapi pegas masih bisa kembali ke bentuk semula.

Apabila gaya F diperbesar terus sampai melewati titik B, pegas bertambah panjang dan tidak

kembali ke bentuk semula setelah gaya dihilangkan. Ini disebut batas elastisitas atau

kelentingan pegas. Jika gaya terus diperbesar lagi hingga di titik C, maka pegas akan putus.

Jadi, benda elastis mempunyai batas elastisitas. Jika gaya yang diberikan melebihi batas

elastisitasnya, maka pegas tidak mampu lagi menahan gaya sehingga akan putus.

Pegas

Perubahan bentuk dan ukuran benda bergantung pada arah dan letak gaya luar yang

diberikan. Ada beberapa jenis deformasi yang bergantung pada sifat elastisitas benda, antara

lain tegangan (stress) dan regangan (strain). Perhatikan Gambar 3.4 yang menunjukkan

sebuah benda elastis dengan panjang L0 dan luas penampang A diberikan gaya F sehingga

bertambah panjang ΔL . Dalam keadaan ini, dikatakan benda mengalami tegangan.

Tegangan menunjukkan kekuatan gaya yang menyebabkan perubahan

bentuk benda. Tegangan (stress) didefinisikan sebagai perbandingan antara gaya yang bekerja

pada benda dengan luas penampang benda. Secara matematis dituliskan:

σ = F / A

dengan:

σ = tegangan (Pa)

F = gaya (N)

A = Luas (m²)

Adapun regangan (strain) didefinisikan sebagai perbandingan antara pertambahan panjang

batang dengan panjang mula-mula dinyatakan:

e = ΔL / L

dengan:

e = regangan

ΔL = pertambahan panjang (m)

L = panjang mula-mula (m)

Regangan merupakan ukuran mengenai seberapa jauh batang tersebut berubah bentuk.

Tegangan diberikan pada materi dari arah luar, sedangkan regangan adalah tanggapan materi

terhadap tegangan. Pada daerah elastis, besarnya tegangan berbanding lurus dengan

regangan. Perbandingan antara tegangan dan regangan benda tersebut disebut modulus

elastisitas atau modulus Young. Pengukuran modulus Young dapat dilakukan dengan

menggunakan gelombang akustik, karena kecepatan jalannya bergantung pada modulus

Young. Secara matematis dirumuskan:

E = σ / e

dengan:

E = modulus young (N/m²)

Hukum Hooke

Suatu benda yang dikenai gaya akan mengalami perubahan bentuk (volume dan ukuran).

Misalnya suatu pegas akan bertambah panjang dari ukuran semula, apabila dikenai gaya

sampai batas tertentu.

Berkaitan dengan sifat elastisitas suatu bahan, dalam hal ini khususnya berbentuk pegas,

Hooke mengemukakan hubungan antara pertambahan panjang dengan gaya yang diberikan

pada pegas, yang dirumuskan:

F = -k.Δx

F = gaya yang diberikan (N) dapat merupakan

F = w = m . g

k = konstanta pegas (N/m)

Δx = pertambahan panjang (m)

Persamaan di atas dapat dinyatakan dengan kata-kata sebagai berikut. “Jika gaya tarik tidak

melampaui batas elastisitas pegas, maka pertambahan panjang pegas berbanding lurus

(sebanding) dengan gaya tariknya. Pernyataan tersebut dikemukakan pertama kali oleh

Robert Hooke, seorang arsitek yang ditugaskan untuk membangun kembali gedung-gedung

di London yang mengalami kebakaran pada tahun 1666. Oleh karena itu, pernyataan di atas

dikenal sebagai hukum Hooke. Hukum Hooke dapat dinyatakan dengan:

“Pada daerah elastisitas benda, besarnya pertambahan panjang sebanding dengan gaya

yang bekerja pada benda”

Tanda (-) negatif menunjukkan bahwa arah gaya pemulih, yang senantiasa menuju ke titik

setimbang senantiasa berlawanan dengan arah gaya penyebabnya atau arah simpangannya.

Namun dalam notasi skalar, tanda negatif dihilangkan, sehingga dalam notasi skalar hukum

Hooke menjadi:

F = -k.Δx

Jika simpangan atau pertambahan panjang dilambangkan y, maka persamaannya menjadi:

F = k . y

Jika suatu pegas diberi beban, kemudian ditarik sehingga diperoleh suatu simpangan tertentu,

kemudian tarikan dilepaskan, maka pegas akan bergerak bolak-balik melalui suatu titik

setimbang. Gerakan yang relatif teratur dan bolak-balik melalui titik setimbang disebut

dengan nama gerak getaran harmonik.

Periode dan frekuensi pegas yang melakukan gerak getaran harmonik sederhana dinyatakan:

T = 2π √(m/k)

f = (½π)√(m/k)

T = periode (s)

f = frekkuensi (Hz)

m = massa beban (kg)

k = konstanta pegas (N/m)

Susunan Pegas

Sifat pegas seperti ini banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada neraca

pegas dan pada kendaraan bermotor (pegas sebagai peredam kejut). Dua buah pegas atau

lebih yang dirangkaikan dapat diganti dengan sebuah pegas pengganti. Jika pegas tersebut

disusun seri atau paralel, maka nilai konstanta penggantinya ditentukan dengan menggunakan

persamaan:

Pegas tersusun seri

Susunan seri

Konstanta pegas total secara seri dirumuskan sebagai berikut

1 / kseri = 1 / K1 + 1 / K2 + …

Susunan Paralel

Konstanta pegas total secara paralel dirumuskan sebagai berikut

kparalel = k1 + k2 + . . .

Dengan memperhatikan aturan di atas, maka dapat ditentukan besar konstanta dari pegas

yang disusun seri, paralel, atau kombinasi.

Contoh:

1. Dua buah pegas masing-masing dengan konstanta 30 N/m dan 10 N/m disusun

paralel, kemudian dibei beban 100 gram. Jika sistem pegas kemudian digetarkan,

maka tentukan periode sistem pegas yang diberi beban tersebut!

Penyelesaian:

Langkah 1:

Konstanta susunan pegas paralel:

k paralel = k1 + k2

k paralel = 30 + 10

k paralel = 40 N/m

Langkah 2:

T = 2π√(m/k = 2π.√(0,1/40) = 0,1π sekon

Fase dan Sudut Fase

Simpangan dari pegas, dapat digambarkan dalam suatu fungsi sinusoida. Persamaan tersebut

juga dapat dilukiskan dari sebuah proyeksi gerak melingkar beraturan. Jika sebuah gerak

melingkar beraturan telah menempuh sudut fase sebesar θ, dari kedudukan awalnya

berlawanan dengan arah jarum jam, maka besar sudut fasenya dapat diuraikan menjadi:

θ = ω.t

θ = 2πf.t

θ = (2π / T).t

θ = sudut fase (rad atau derajat)

ω = sudut fase (rad/s)

t = waktu titik tersebut bergetar (s)

f = frekuensi (Hz)

T = perioda (s)

Sehingga persamaan simpangan dari gerak harmonik sederhana dapat dinyatakan sebagai :

y = A sin [(2π).t]

y = simpangan (m)

A = amplitudo (m)

Jika pada posisi awal, titik yang melakukan getaran harmonik sederhana pada sudut awal θo,

maka persamaan simpangannya dapat dinyatakan menjadi :

y = A sin [2πφ]

φ = fase getaran

jadi fase getaran dirumuskan:

φ = [(t/T) + (θo/2π)

Dengan demikian, jika suatu titik telah bergetar dari t1 ke t2 di mana t2 > t1 maka beda fase

yang dialami titik yang bergetar tersebut adalah:

Δφ = φ2-φ1= (t2 – t1)/T

Δφ = beda fase

Dua kedudukan suatu titik dapat dikatakan sefase atau berlawan fase jika beda fase yang

dimilikinya adalah :

sefase Δφ = 0, 1, 2, 3, …, n

berlawanan fase Δφ = ½, 1½,2½ … (n+½)

dengan n = bilangan cacah = 0,1,2,3, . . .

Dengan mengetahui persamaan simpangan suatu gerak harmonik sederhana, maka dapat

ditentukan persamaan kecepatan dan percepatan dari gerak harmonik tersebut. Untuk

memperoleh kecepatan dan percepatan dengan cara menurunkan satu kali dan dua kali dari

persamaan umum simpangan gerak harmonik sederhana.

Persamaan simpangan:

y = A sin ω.t

Persamaan kecepatan:

v = ωA cos ω.t

Persamaan percepatan:

a = -ω²A sin ω.t

Keterangan:

y = simpangan (m)

v = kecepatan suatu titik pada gerak harmonik sederhana (m/s)

a = percepatan pada suatu tititk pada gerak harmonik sederhana (m/s2)

ω = kecepatan sudut

A = amplitudo (m)

karena y = A sin ω.t maka a = -ω².y

Sudut fase gerak harmonik sederhana dititik keseimbangan θ=0° sehingga y = 0, V = Vmax , a

= 0 sedangkan sudut fase dititik simpangan terbesar θ = 90°

sehingga y = ymax = A, V = 0, a = amax.

Gaya dalam gerak harmonik sederhana adalah :

menurut hukum Newton : F = m . a

menurut hukum Hooke : F = -k . y

Apabila disubstitusikan maka :

m . a = -k . y

k = m.ω²

Persamaan energi kinetik gerak getaran harmonik sederhana dirumuskan :

Ek = ½kA² cos²ωt

Persamaan energi potensial gerak getaran harmonik sederhana dirumuskan

Ep = ½kA² sin²ωt

Energi total/mekanik gerak getaran harmonik sederhana dirumuskan :

E = ½kA²

Persamaan bentuk lain :

v = ω√(A² – y²)