STATISTIKA NONPARAMETRIK

Skala pengukuran variable dapat berupa: Nominal, Ordinal, Iterval, Rasio

Pengujian hipotesis untuk variabel dengan skala pengukuran interval dan rasio dapat dilakukan dengan statistika parametric. Sedangkan untuk variable dengan skala pengukuran ordinal dan nominal sering kali pengujiannya tidak dapat di lakukan dengan statistika parametric.

Kelebihan statistika nonparametrik adalah :

(1)Statistika nonparametric tidak memerlukan asumsi bahwa populasinya harus menyebar normal. (2)Pada umumnya statistika nonparametric mudah difahami dan mudah untuk dilakukan. (3)Dapat digunakan untuk variable yang mempunyai skala pengukuran nominal atau ordinal.

Kelemahannya adalah:(1)Statistika nonparametric sering mengabaikan informasi tertentu. (2) Dalam pengujian hipotesis kurang efisien jika dibandingkan dengan statistika parametric.

Uji Tanda Untuk Sampel Berpasangan

Uji ini digunakan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan nilaitengah antara dua populasi. Pengujian ini menghendaki skala pengukuran sekurang-kurangnya ordinal.

Sebagai contoh, lembaga konsumen ingin mengetahui apakah advertensi yang dipasang di surat kabar tertentu mengenai khasiat obat didukung oleh data atau tidak ? Dalam advertensi disebutkan bahwa setelah minum jamu A dalam waktu tertentu akan menyebabkan berat badan menjadi turun.

Untuk menguji pernyataan tersebut ditarik sample berukuran 50 orang responden. Dari 50 orang tersebut ditimbang berat badannya dan setelah minum jamu dalam waktu tertentu seperti yang diadvertesikan ditimbang lagi.

Tabel 1. Berat badan 50 responden sebelum dan setelah minum jamu.

Berat Nama

A B C … … … … AV AW AX

Sebelum Minum Jamu(kg) 75 68 57 … … … … 54 51 72

Setelah minum jamu (kg) 69 62 57 … … … … 56 53 68

Tanda + + 0 … … … … - - +Hipotesis

Untuk menguji apakah jamu tersebut dapat menurunkan berat badan maka perlu dirumuskan hipotesis statistikanya, yaitu hipotesis nol (Ho) dan hipotesis alternatif (Hi).

Dalam pengujian ini hipotesis statistika nya adalah:

Ho : p = 0.5 (tidak ada perbedaan proporsi yang berat badan turun dengan yang meningkat)Hi : p > 0.5 (proporsi yang berat badannya turun lebih tinggi dari yang meningkat)

,ˆ 0

p

ppz

p̂

n

qpp

00

0745.045

)5.0)(5.0(p

236.20745.0

5.067.0

z

Wilayah kritikJika pengujian hipotesis tersebut misalnya menggunakan =0.05 maka wilayah kritiknya Jika zhitung z maka Ho ditolak ( Jika zhitung 1.645 maka Ho ditolak)

Jika zhitung < z maka Ho diterima ( Jika zhitung < 1.645 maka Ho diterima)

PerhitunganUntuk menguji hipotesis tersebut digunakan uji Z. Nilai Z dihitung dengan rumus t:

p0 adalah nilai p pada hipotesis nol dalam contoh ini adalah 0.5. Nilai

adalah nilai p hasil pengamatan dalam hal ini adalah 30/45 = 0.67. Nilai dihitung dengan menganggap hipotesis nol benar, yaitu dengar rumus :

nilai p0=0.5, q0=0.5 dan n=45, maka nilai adalah sebesar :

Berdasarkan nilai tersebut maka nila z adalah:

Kesimpulan Oleh karena Jika zhitung 1.645 maka Ho ditolak. Berarti bahwa setelah minum

jamu, proporsi jumlah orang yang berat badanya menurun lebih tinggi dari proporsi yang berat bandanya meningkat.

Uji Mann-Whitney

Metode ini digunakan untuk menguji apakah terdapat perbedaan nilaitengah antara dua populasi, yang sampelnya bebas. Pengujian ini menghendaki skala pengukuran variabel sekurang-kurangnya ordinal. Jika variabel memiliki skala pengukuran rasio atau interval maka variabel tersebut harus dijadikan ordinal.

Sebagai contoh, perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan hari tidak masuk kerja (absen) antara pekerja laki-laki dan perempuan. Untuk mengetahui hal tersebut dipilih sampel secara acak 12 pekerja laki-laki dan 8 pekerja perempuan. Jumlah hari tidak masuk kerja selama setahun pekerja laki-laki dan perempuan disajikan pada Tabel 2.

Tabel 2. Jumlah hari tidak masuk kerja selama setahun (hari)

Laki-laki 7 5 6 9 2 4 3 10 8 9 11 12

Perempuan 8 13 14 1 8 7 15 14

HipotesisHo: µ1=µ2 (Tidak terdapat perbedaan absen antara kali-laki dan perempuan)Hi : µ1≠µ2 (Terdapat perbedaan absen antara kali-laki dan perempuan) ini untuk pengujian dua arah, sedangkan untuk pengujian satu arah dapat berupa Hi : µ1<µ2 (absen laki-laki lebih rendah daripada absen perempuan), atau berupa Hi : µ1>µ2 (absen laki-laki lebih tinggi daripada absen perempuan)

Misalnya untuk kasus contoh di atas digunakan hipotesis satu arah Hi: µ1<µ2

Wilayah kritikJika pengujian hipotesisnya digunakan α=0,05 maka wilayah kritiknya adalah sebagai berikut:Jika |zhitung | z maka Ho ditolak ( Jika zhitung 1.645 maka Ho ditolak)Jika |zhitung |<z maka Ho diterima ( Jika zhitung < 1.645 maka Ho diterima)

,u

UUz

111

21 2

)1(R

nnnnU

Untuk menguji hipotesis digunakan nilai zhitung deng rumus sebagai berikut:

Di mana n1 dan n2 berturut-turut adalah banyaknya pengamatan pada sampel laki-

laki (I) dan perempuan (II) dan R1 adalah jumlah rangking pada sampel I.

Tabel 3. Ranking absent pekerja laki-laki dan perempuan

NoLaki-laki Perempuan

Absen Rank Absen Rank

1 7 7.5 8 10

2 5 5 13 17

3 6 6 14 18.5

4 9 12.5 1 1

5 2 2 8 10

6 4 4 7 7.5

7 3 3 15 20

8 10 14 14 18.5

9 8 10

10 9 12.5

11 11 15

12 12 16

R1=107.5 R2=102.5

5.665.10778965.1072

)112(12)8)(12(

U

482

)8)(12(

221 nn

U

12

)1( 2121

nnnnU

96.1216812

)1812)(8)(12(

U

427.196.12

485.66

z

di mana µU adalah nilai tengah statistik U dengan standard error nya adalah:

KesimpulanDari hasil perhitunhan diperoleh nilai zhitung =1.427 yang lebih kecil dari zα(1.645). Oleh

karena itu Ho diterima. Dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan jumlah hari tidak masuk kerja antara laki-laki dan perempuan.

Kruskal Wallis

Metode ini digunakan untuk menguji apakah terdapat perbe-

daan nilaitengah antara tiga populasi atau lebih. Data untuk

pengujian dikumpulkan dari sample yang bebas. Variabel yang

sekurang-kurangnya mempunyai skala pengukuran ordinal.

Sebagai contoh, suatu perusahaan ritel mempunyai empat

lokasi penjualan, yaitu lokasi A, B, C dan D. Untuk mengetahui

apakah terdapat perbedaan nilai penjualan dari keempat lokasi

tersebut dikumpulkan data nilai penjualan per minggu selama

enam minggu berturut-turut. Banyaknya pengamatan untuk

masing-masing sampel tidak harus sama.

Lokasi Nilai Penjualan (Juta Rupiah per Minggu)

A 99 64 101 85 79 88

B 138 102 125 161 123 96

C 85 98 56 105 85 90

D 140 152 110 163 170 85

Tabel 4. Nilai penjualan per minggu selama enam minggu

2)(v

2)(v

k

j j

j nn

R

nnK

1

2

)1(3)1(

12

HipotesisHo: µ1=µ2=µ3=µ4 (Tidak terdapat perbedaan nilai rata-rata penjualan antar

lokasi)Hi : sekurang-kurangnya sepasang tidak sama

Wilayah kritikJ ika pengujian hipotesisnya digunakan α=0.01 maka wilayah kritiknya adalah

sebagai berikut:

Jika K

maka Ho ditolak ( dengan v=k-1 maka jika K 11.345

maka Ho ditolak)

Jika K ≤ maka Ho diterima (dengan v=k-1 maka jika K<11.345 maka Ho diterima)

Perhitungan

Untuk menguji hipotesis digunakan nilai K dengan rumus sebagai berikut:

di mana Rj = jumlah ranking pada sample j

nj = banyaknya pengamatan pada

sample jn = n1+n2+ . . . . +nk

k = banyaknya sampel

A Nilai 99 64 101 85 79 88 R1=43.5

Ranking 12 2 13 5.5 3 8

B Nilai 138 102 125 161 123 96 R2=100

Ranking19 14 18 22 17 10

C Nilai 85 98 56 105 85 90 R3=47

Ranking5.5 11

115 5.5 9

D Nilai 140 152 110 163 170 85 R4=109.5

Ranking20 21 16 23 24 5.5

Tabel 5. Ranking nilai penjualan di empat lokasi

Nilai K yang diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan rumus di atas dibandingkan dengan nilai 2 (Chi Square) dengan derajat bebas k-1. Dalam contoh di atas derajat bebasnya adalah 4 -1=3. Dengan taraf nyata 0.01 maka nilai 2 = 11.345.

Dari jumlah ranking di atas maka nilai K adalah :

)124(36

5.109

6

47

6

100

6

5.43

)124(24

12 2222

K

K= (0.02)(4319)-75 = 86.38-75 =11.38

KesimpulanDari hasil perhitunhan diperoleh nilai K =11.38 yang lebih besar dari 2 (11.345). Oleh karena itu Ho ditolak. Dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang nyata nilai rata-rata penjualan di keempat lokasi ritel tersebut.

Korelasi Rank Spearman (rs)

Kegunaan korelasi rank Spearman adalah untuk mengetahui keeratan hubungan antara dua variable. Nilai koefisien korelasi ini berkisar antara –1 sampai dengan 1 (-1rs1). Makin dekat dengan nilai satu atau minus satu makin erat hubungan antara kedau variable yang diuji, sebaliknya makin dekat dengan nilai nol makin tidak ada hubungan antara kedua variabel.

Perhitungan korelasi rank Spearman memerlukan data sekurang-kurangnya skala ordinal. Seperti halnya Mann Whitney dan Kruskal Wallis, jika data yang diperoleh merupakan data dengan skala pengukuran interval atau rasio maka data tersebut harus diubah menjadi data ordinal. Sebagai contoh, misalnya suatu perusahaan ingin mengetahui hubungan antara modal kerja dengan keuntungan suatu usaha.

Tabel 6. Hubungan antara modal kerja dan keuntungan per tahun

Modal kerja ( milyar rupiah)

2 4 5 8 4 7 6 10 11

Keuntungan(juta rupiah)

100 131 110 140 123 175 158 190 182

Data pada Tabel 6 merupakan data dengan skala pengukuran rasio. Supaya data tersebut dapat dicari koefisien korelasi rank Spearman maka data tersebut harus dijadikan data dengan skala ordinal, yaitu dengan mengurutkan (meranking) mulai dari nilai terkecil sampai dengan nilai yang terbesar. Ini dilakukan untuk masing-masing variable secara terpisah

Tabel 7. Ranking modal dan keuntungan.

Modal (x1)

Keuntungan (x2)

Rank x1

Rank x2

Selisih rank (di)

di2

2 100 1 1 0 0

4 131 2.5 4 -1.5 2.25

5 110 4 2 2 4

8 140 7 5 2 4

4 123 2.5 3 -0.5 0.25

7 175 6 7 -1 1

6 158 5 6 -1 1

10 190 8 9 -1 1

11 182 9 8 1 1

14.5

Hipotesis

Secara teoris, diharapkan adanya korelasi positif antara keuntungan dan modal kerja. Makin tinggi modal kerja diharapkan makin tinggi pula keuntungannya. Berdasarkan hal tersebut maka hipotesis statistik untuk pengujian ini adalah :

Ho : = 0 (tidak terdapat korelasi antara modal kerja

dengan keuntungan) Hi : 0 (terdapat korelasi positif antara modal kerja dengan keuntungan)Dalam hipotesis ini dapat berupa pengujian satu sisi

atau dua arah. Untuk pengujian satu sisi yang lain yaitu Hi : 0 (terdapat korelasi negatif antara modal kerja dengan keuntungan) Pengujian dua sisi, yaitu Hi : 0 (terdapat korelasi antara modal kerja dengan keuntungan).

Wilayah Kritik

Untuk menentukan apakah hipotesisnya diterima atau ditolak maka pengujian hipotesisnya tergantung dari banyaknya pengamatan. Jika pengamatannya 30 atau kurang maka dapat digunakan table rs kritik,

sedangkan jika pengamatan lebih dari 30 digunakan uji Z. Untuk contoh di atas yang pengamatannya kurang dari 30, maka dengan α=0.05 wilayah kritiknya adalah:

Jika rs≥ rα maka tolak Ho (jika rs≥0.5833 maka tolak Ho)

Jika rs< rα maka terima Ho (jika rs<0.5833 maka terima Ho)

Sedangkan jika pengamatannya lebih dari 30 maka digunakan uji Z sebagai berikut:

Jika zhitung z Ho ditolak ( Jika zhitung 1.645 maka Ho ditolak)

Jika zhitung < z Ho diterima ( Jika zhitung < 1.645 maka Ho diterima)

1

1

0

n

rZ

r

r

shitung

)1(

61

21

2

nn

dr

n

ii

s

8792.0720

871

)19(9

)5.14)(6(1

2

sr

125.08

1

165

1

r

192.4125.0

0524.0

hitungZ

PerhitunganUntuk menghitung korelasi rank Spearman digunakan rumus sebagai

berikut:

di mana di adalah selisih ranking antara dua variable pada pengamatan

yang sama, dan n adalah banyakanya pengamatan. Contoh di atas telah dihitung ∑di = 14.5 dengan n=9 maka nilai rs adalah :

Sementara itu jika pengamatannya lebih dari 30, misalkan saja n=65 dan rs=0.524 maka nilai standard errornya adalah:

KesimpulanDari hasil perhitungan diperoleh nilai rs=0.8792 yang lebih besar dari

0.5833. Oleh karena itu Ho ditolak. Disimpulkan bahwa terdapat hubungan positif yang nyata (korelasi positif) antara keuntungan dengan modal kerja.

Khi KuadratMetode ini digunakan untuk mengetahui ada tidaknya asosiasi (hubungan) antara dua variable yang diteliti. Data yang digunakan merupakan data frekuensi dari dua variable. Tabel frekuensi ini sering juga disebut table kontingensi.

Tabel 8. Tabel kontingensi untuk pengujian khi kuadrat

KlasifikasiVar. pertama

Klasifikasi Variabel kedua

1 2 . . . . . j . . . . c Total

1 O11 O12 . . . . . O1j . . . . O1c T1.

2 O21 O22 . . . . . O2j . . . . O2c T2.

.

...

i Oi1 Oi2 . . . . . Oij . . . . Oic Ti.

.

...

r Or1 Or2 . . . . . Orj . . . . Orc Tr.

Total T.1 T.2 . . . . . T.j . . . . T.c T..

Terdapat persyaratan untuk pengujian dengan khi kuadarat :

(1) Untuk tabel frekuensi (2)x(2) maka jumlah frekuensi minimal 20.

(2) Banyaknya sel yang frekuensi harapan (frekuensi teoritis) kurang dari 5 tidak boleh lebih dari 20 persen (maksimal 20 %).

Tabel 9. Frekuensi pekerja berdasarkan pengalaman kerja dan tingkat upah

Pengalaman Tingkat Upah

(Tahun) Rendah Sedang Tinggi Total

5 45 35 10 90

6 9 10 30 20 60

10 5 15 30 50

Total 60 80 60 200

2)(v

2)(v

2)4(01.0

HipotesisDalam contoh di atas dapat dihipotesiskan bahwa terdapat asosiasi antara pengalaman kerja dengan tingkat upah. Hipotesis statistiknya adalah:Ho : Pengalaman dan tingkat upah independent ( tidak terdapat asosiasi)Hi : Pengalaman dan tingkat upah tidak bebas ( terdapat asosiasi kedua variable)Wilayah kritikJika pengujian hipotesisnya digunakan α=0.01 maka wilayah kritiknyaadalah sebagai berikut:

Jika χ2hitung

maka Ho ditolak ( jika χ2hitung 13.277 tolak Ho)

Jika χ2hitung < maka Ho diterima ( jika χ2hitung <13.277 terima Ho)

Dalam pengujian ini digunakan derajat bebas v=(r-1)(c-1). Contoh diatas derajad bebasnya adalah (3-1)(3-1)= (2)(2)=4. Nilai = 13.277

r

i

c

j ij

ijijhitung E

EO

1 1

222

)(

..

)..)((

T

TTe jiij

27200

)60)(90(11 e

36200

)80)(90(12 e 27

200

)60)(90(13 e

18200

)60)(60(21 e24

200

)80)(60(22 e

18200

)60)(60(23 e

15200

)60)(50(31 e 20

200

)80)(50(32 e 15

200

)60)(50(33 e

PerhitunganNilai khi kuadrat dihitung dengan rumus:

di manaOij = frekuensi hasil pengamatan pada baris i dan kolom j

Eij = frekuensi teoritis (harapan) pada baris i dan kolom j

Untuk menghitung frekuensi teoritis digunakan rumus:

di mana Ti. adalah total frekuensi pada baris i, T.j adalah total frekuensi pada

kolom j, dan T.. adalah total frekuensi seluruh pengamatan. Dengan data pada Tabel 9 maka nilai frekuensi teoritis untuk sel pada baris i dan kolom j adalah sebagai berikut:

Tabel 10. Frekuensi pengamatan dan teoritis asosiasi pengalaman dan tingkat upah

Pengalaman(tahun)

Rendah Sedang Tinggi Total

Aktual Teoritis Aktual Teoritis Aktual

Teoritis

5 45 27 35 36 10 27 90

6 9 10 18 30 24 20 18 60

10 5 15 15 20 30 15 50

Total 60 80 60 200

15

)1530(

18

)1820(

27

)2710(

20

)2015(

24

)2430(

36

)3635(

15

)155(

18

)1810(

27

)2745(

222

2222222

hitung

15

225

18

4

27

289

20

25

24

36

36

1

15

100

18

64

27

3242 hitung

926.502 hitung

KesimpulanDari hasil perhitungan diperoleh nilai χ2hitung =50.926 yang lebih

besar dari 13.277. Oleh karena itu Ho ditolak. Disimpulkan bahwa terdapat asosiasi (hubungan) antara pengalaman dengan tingkat upah.