bahan ajar soal dan penyelesaian dengan cara consistent deformation 1-2-2011

MEKANIKA REKAYASA 3SOAL DAN PENYELESAIAN DENGAN CARA CONSISTENT DEFORMATION

2011

BOEDI WIBOWO PROGRAM DIPLOMA TEKNIK SIPIL ITS

1/1/2011

2

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap syukur kepada Allah SWT , karena dengan rachmat NYA kami bisa menyelesaikan BAHAN AJAR SOAL DAN PENYELESAIAN DENGAN CARA CONSISTENT DEFORMATION.

Penyelesaian dengan CARA CONSISTENT DEFORMATION ini diharapkan dapat membantu proses belajar mengajar di Program Diploma 3 Teknik Sipil , khususnya mata kuliah

MEKANIKA REKAYASA 3 .

Mata kuliah Mekanika Rekayasa 3 ini merupakan ilmu dasar keahlian yang harus dipahami mahasiswa Teknik Sipil, dalam menyelesaikan konstruksi statis tak tentu .

Oleh karena itu mahasiswa harus memahami secara benar , sehingga diperlukan membuat sajian materi dalam bentuk penyelesaian soal ini .

3

PENYELESAIAN DENGAN CARA CONSISTENT DEFORMATION

1. KONSTRUKSI STATIS TAK TENTU DIANGGAP DULU SEBAGAI STATIS TERTENTU DENGAN

MENGHILANGKAN GAYA KELEBIHAN .

A B

KONSTRUKSI STATIS TAK TENTU

A B DIATAS DIJADIKAN STATIS TAK TENTU

DENGAN MENGHILANGKAN

GAYA KELEBIHAN VB

A B KONSTRUKSI STATIS TAK TENTU

DIATAS DIJADIKAN STATIS TAK TENTU

DENGAN MENGHILANGKAN

GAYA KELEBIHAN MA

2. MENGHITUNG BESAR DEFORMASI AKIBAT BEBAN LUAR YANG BEKERJA .

GAYA KELEBIHAN V , HITUNG Δ v

GAYA KELEBIHAN H , HITUNG Δ h

GAYA KELEBIHAN M , HITUNG θ

4

3. DITEMPAT DIMANA GAYA KELEBIHAN DIHILANGKAN DIBEBANKAN BEBAN UNIT ,

DICARI JUGA DEFORMASINYA . ( BEBAN LUAR TIDAK DIGUNAKAN LAGI )

GAYA KELEBIHAN V , HITUNG δv

GAYA KELEBIHAN H , HITUNG δh

GAYA KELEBIHAN M, HITUNG

4. TENTUKAN PERSAMAAN CONSISTENT DEFORMATION UNTUK MENDAPATKAN

BESAR GAYA KELEBIHAN YANG DIHILANGKAN .

5. DARI HASIL DIATAS , MAKA DAPAT DICARI SELURUH REAKSI PERLETAKANNYA

DAN BIDANG MOMEN , NORMAL DAN LINTANG DAPAT DIGAMBAR .

CONTOH .

A B C

GAYA LELEBIHAN VB

Dengan gambar disamping cari ΔVB

A B C

VB =1

Dengan gambar disamping cari δVbb

A B C

PERSAMAAN CONSISTENT DEFORMATION ΔVB + VB . δVbb = 0

VB DAPAT DIHITUNG .

5

4T SELESAIKAN SOAL INI DENGAN

CARA CONSISTENT DEFORMATION

A EI B 2 EI C gaya kelebihan VB

2 m 8 m AB 0<X<2 EI

M = ‐ 4X

m = 0

A B C BC 0<X<8 2 EI

M = ‐4 ( 2 + X )

m = ‐1 X

A C

∆VB = EI

8 4X 1X dxEI

8X 4x dxEI

4x X

= 4. 8 8 ) = 938,6667 / 2 EI

δVbb = dx = ( ) = 170,6667 /2EI

∆VB + VB .δVbb = 0 938,6667 / 2EI + VB . 170,6667 /2EI =0 VB =‐ 5,5 T VB = 5,5 T

Hasil VB negatip , maka arah VB berlawanan dengan arah VB =1

4T 4TM ∑MC=0 MC ‐4.10 + 5,5.8 =0

MC = ‐ 4TM MC = 4 TM

5,5 T 1,5 T

8TM 4T 1,5 T 8TM 4TM 1,5 T

4T

VB=1

B

0

8

0

8

6

D

M

4T 4T

1,5T 1,5T

8TM

4TM

7

1 t/m 2T SELESAIKAN SOAL INI DENGAN

CARA CONSISTENT DEFORMATION

A 8m B 4m C 2m D gaya kelebihan VC

1 t/m 2T CARI ∆ VC…………..M

A B C D

CARI Δvcc…………..m

A B VC =1 D

DC 0<X<2 EI M = + 2X m = 0

CB 0<X<4 EI M= +2 ( 2+ X ) m = ‐ 1X

BA 0<X<8 2EI M=+2 (6+X )+1X.1/2.X m = ‐1 ( 4+ X )

∆ VC = 4 2 1

12 2 1/2 4

∆ VC = 4X 2X ) dx EI

48 20X 4X X dx

∆ VC = EI

2X X EI

48X 10X X X

∆ VC = EI

2. 5 4 24.8 5. 8 . 8 . 8

∆ VC = EI

32 42,667 192 320 1820,444 256 ,EI

2EI EI EI

0 0

4 8

8

δ Vcc = 16 8

δ Vcc = 16 4

δ Vcc = 4 8.8 2. 8 8 21,333 64 128 85,333 ,

∆ VC + VC .δ Vcc =0 ,

+ VC , 0 VC = +3,96 T

1 t/m 2T ∑ V=0 VA = (8+2)‐3,96

=6,04 T

A 8m B 4 m C 2m D ∑ MA =0

6, 04 T 3,96 T + MA +2.14 – 3,96.12+8.4

12,48 TM 1t/m 2T =0 MB = +12,48 TM

6,04 T 4 TM 1,96T 2T 4TM X m

A

BIDANG D

DX = 6,04 – 1X = 0 X = 6,04 M

MX = 6,04 X ‐1.X.1/2X +12,48

X=6,04 M TERJADI M MAX

BIDANG M M MAX =

6,04.6,04 – 1/2. 6,04 2 +12,48 =

30,72 TM

MB = 1,96.4 ‐4 = 3,84 TM

0 0

84

12,48 TM

6,04

2 2

1,96

6,04

12,48

12,48

Mmax= 30,72

3,84

4

9

A B C D GAYA KELEBIHAN VC

EI 2 EI

2m 4m 10 m

4T mencari ∆ VC

gambar bisa dipakai utk M

B C D

VC = 1 mencari δ V cc

gambar bisa dipakai utk m

B C D

AB 0<X<2 EI M = +3,5 X m = + 0,625 X

BC 0<X<4 EI M = + 3,5( 2+ X ) – 4X m = +0,625( 2+X )

DC 0<X<10 2EI M = ‐ 0,5 X m = ‐ 0,375 X

∆Vc = 3,5 0,625 7 0,5 1,25 0,625

+ 0,5 0,375

= 2,1875 8,75 3,75 0,3125 0,1875

= 0,7292 8,75 1,875 0,1042 0,0625

= 0,7292 . 2 8,75.4 1,875.16 0,1042. 4 0,03125. 10 =

∆Vc = , , ,

EI,EI

4 T

A

3,5 T 0,5 T

0 0

2

0

4 10

0,3750,625

10

δVcc = EI

0,625 dxEI

1,25 0,625X 2 dx EI

0,375X dx =

0,3906 X dx EI

1,5625 1,5625X 0,39062X dxEI

0,14062X dx

0,1302 | 1,5625 0,78125 0,13021 0,04687 =

10,1302. 2 1,5625.4 0,78125. 4 0,13021 . 4 0,023435. 10

, , , , , ,

∆Vc + Vc .δ Vcc = 0 ,

. ,

= 0 Vc = ‐ 1,85 T Vc = 1,85 T

A B 4T C D ∑ MD = 0

EI 2 EI VA. 16 – 4.14 + 1,85.10=0

2 m 4m 10m VA = 2,34 T

2,34 T 1,85 T 0,19T VD = 4 – 2,34 – 1,85

4T 1,9 TM V D = 0,19 T

2,34 T 1,66T 0.19 T 0,19 T ∑ MC=0

D +MC – 0,19.10 = 0

MC= + 1,9 TM

M MB = +2,34.2 = 2,68TM

2

00

10 4

0

1,9TM

2,34

1,66T

0,19T

1,66T

2,34

3,01

11

A B C D

EI 2EI GAYA KELEBIHAN VD

2m 4m 10m

4T mencari ∆ VD

gambar bisa dipakai utk pers.M

B C D

VD = 1 mencari δ V dd

gambar bisa dipakai utk pers . m

B C D

1,67 2,67

AB 0<X<2 EI M= 2,67 X m = ‐1,67 X

DC 0<X<10 2EI M= 0 m= + 1X

CB 0<X<4 EI M= ‐1,33 X m= +1 (10+X) – 2,67X= 10 – 1,67X

∆VD = , , , ,

=

= ,

dx + , , =

= ,

+ , ,

=1/EI ( ‐1,4863 . 23 – 6,65 . 42 + 0,7403667. 43 ) = , , ,

= ,

4 T

A

2,67 1,33

0

42

0

12

δ V dd = , ,

, , ,

, , , ,

= , , . , . ,

= , , , , ,

∆ VD + VD . δ V dd = 0 , . ,

= 0

VD = + 0,19 T

A B C D

EI 2EI

2m 4m 10m

2,35 1,84 0,19

∑ MC = 0 VA.6 – 4.4 + 0,19.10 = 0 VA = 2,34 T

∑ V= 0 VC ‐ 4 + 2,35 – 0,19 = 0 VC = 1,85 T

4T 1,9 TM

2,34 T 1,66T 0.19 T 0,19 T ∑ MC=0

D +MC – 0,19.10 = 0

MC= + 1,9 TM

M MB = +2,34.2 = 2,68TM

2

0 0 0

10 4

4 T

1,9TM

2,34

1,66T

0,19T

1,66T

2,34

13

1t/m 4 ton

A C

B

6 M 3 M

1 t/m 4 ton

A C

B

6 M 3 M

Gbr diatas untuk mencari ∆ VB dan dipakai juga untuk mencari pers M

A C

VB =1 B

6 M 3 M

Gbr diatas untuk mencari δ Vbb dan dipakai juga untuk mencari pers m

CB 0< X < 3 EI M = + 4X m = 0

BA 0 < X < 6 2EI M = + 4( 3 + X ) + 1.X.1/2.X m = ‐1 X

∆ VB =

= /

= /

= 1/2EI ( ‐ 6.62 – 4/3 .63 ‐ 1/8 . 64 )

2 EI EI

2 EI EI

2 EI EI

6

0

14

=

δVbb = = /

= 1/2EI ( 1/3 . 63 ) =

∆ VB + VB .δ V bb = 0 = 0 VB = + 9,25 T

1,5 TM 1 t/m 4 ton

A C

B

6 M 3 M

0,75 T 9,25 T

VA = 10 – 9,25 = 0,75 T ∑ MA = 0 MA + 4.9 – 9,25.6 + 6.3 = 0

MA = ‐ 1 , 5 TM MA = 1,5 TM

0

6

2 EI EI

15

1,5 TM q = 1t/m 4 T

12 TM 12 TM

A 6 m B 3 m C

0,75 T 5,25 T 4 T

4 4

0,75 D

5,25

12

M

1,5

1,78 DX = 0 0,75 – 1X =0 X = 0,75 M

MX = 0,75 X – 1.X.1/2.X + 1,5

X= 0,75 M M MAX = 0,75.0,75 – 1. 0,75. 1/2 . 0,75 + 1,5 = 1,78 T

16

4 T

4 M

A C

B

8 M 2 M

4 T

4 M

A C

B

8 M 2 M


D 4 M

A C

B VB=1

8 M 2 M

Gbr diatas untuk mencari δVbb dan dipakai juga untuk mencari pers m

CB 0>X>2 EI M= + 2.X . 1/2 .X m = 0

BD 0>X>4 2EI M= + 4( 1 + X )+ 2X.1/2.X m = ‐1X

DA 0>X>4 2EI M = + 12 ( 3 + X )+ 4X + 2X.1/2.X m = ‐1 ( 4+ X )

∆ VB =

+

2 EI EI

2 t/m 2 t/m

2 EI EI

2 t/m 2 t/m

2 EI EI

17

∆ VB =

∆ VB = .

+

∆ VB =

. . . . . . .

, ,

=

δ Vbb =

=

+ .

= . . . .

, ,

,

∆ VB + VB . δ Vbb = 0 . , = 0 VB = 12 T

VA = ( 2.10 + 4 ) – 12 = 12 T

∑ MA = 0 + MA + 20 .5 + 4.4 – 12 . 8 = 0 MA = ‐20 TM MA = 20 TM

4 T

2t/m 4 M 2 t/m

A C

B

12T 8 m 12T 2 m

0

4

0

4

4 4

0 0

2 EI EI

18

4 T

A 20 TM D 4 TM B 4 TM C

12T 8T 4T

12 T LIHAT KIRI D DD= 12 – 4.2 = 4 T D

4T 4T

8 T

M

20 TM

LIHAT KIRI 4tm MD=12.4 ‐ 20‐4.2.2 = 12 TM

12 TM

19

1t/m 3 m 4ton

A C

3 M B D

4 ton

1t/m 3m D

A C

3 M B


3 m D

A C

3 M VB=1 B


AB 0>X>3 EI M =‐1.X.1/2.X m = 0

BD 0>X>3 2EI M = ‐3 ( 1,5 + X ) m = +1X

DC 0>X>3 2EI M = ‐3 ( 4,5 + X )‐4X m = + 1 ( 3+X )

∆ VB = , , , , ,

= , – , , , , . , . , . , .

, , , , ,

2 EI

EI

3 m 6 m

2 EI EI

3 m 6 m

2 EI EI

3 m 6 m

0

3

0

3 0

0

20

δVbb = /

= . . . .

∆ VB + VB .δ V bb = 0 , . ,

4T

1t/m 3 m D

A C

3 M B 2,25 TM

5,375 T 1,675 T

∑ V =0 VC= ( 1.3 + 4 ) – 5,375 = 1,625 T

∑ MC = 0 + MC – 3.7,5 + 5,375.6 – 4.3 = 0 MC = 22,5‐32,25 + 12 = + 2,25 TM

q = 1t/m 4T

BATANG BC

A 3 m B 3 m D 3 m C ∑ MC = 0

4,5 tm 4,5 tm 2,25 tm VB.6 ‐ 4,5 ‐ 4.3 + 2,25 =0

3T 2,375T 1,625T VB = 2,375 T

VC = 4‐2,375 = 1,625 T

2,375 2,375

D

1,625 1,625

3

M

4,5 MD = 2,375.3 – 4,5

2,25 = 2,625 TM

2,625

3

0

3

0

2 EI EI

3 m 6 m

21

3 M 4 ton

A C

B

3 M 6 M

3 M 4 ton

A C

B D

3 M 6 M


3 M

A C

B VB=1 D

3 M 6 M


AB 0>X>3 EI M = + 4X m = 0

BD 0>X>3 2EI M = +4 ( 3 + X ) m = +1X

DC 0>X>3 2EI M = + 4 ( 6 + X )‐4X m = + 1 ( 3+X )

∆ VB =

=

. . . .

2 EI EI

4 ton

2 EI EI

4 ton

2 EI EI

0

3

0

3 0

0

22

δVbb = /

= . . . .

∆ VB + VB .δ V bb = 0 . , ,

∑ V =0 VC= 5,75 T

∑ MC = 0 + MC + 4. 9 ‐ 5,75.6 – 4.3 = 0 MC = 34,5 + 12 ‐36 = 10,5 TM

12 TM 12 TM 4T

BATANG BC

A 3 m B 3 m D 3 m C ∑ MC = 0

4T 10,5 tm VB.6 + 12 ‐ 4.3 + 10,5 =0

4T 1,75T 5,75T VB = 1,75 T

VC = 4+ 1,75 = 5,75 T

4 T 4 T

D

1,75 T

5,75 T

M 10,5 TM MD = 5,75.3 – 10,5

= 6,75 TM

6,75 TM

12 TM

3

0

3

0

23

4 T 2 t/m AB = EI

BC = EI

CD = 2EI

A 2m B 4m C 8m D

GAYA KELEBIHAN ADALAH VB

4 T 2 t/m AB = EI

BC = EI

CD = 2EI

A 2m B 4m C 8m D


∑ MC = 0 ‐VD.8 – 4.6 – 8.2 = 0 VD = 5 T

AB = EI

BC = EI

VB =1 CD = 2EI

A 2m B 4m C 8m D

∑ MC =0 ‐ VD.8 + 1.4 = 0 VD = 0,5


AB 0<X<2 EI M = ‐4X m = 0

BC 0<X<4 EI M = ‐4 ( 2 + X ) – 2X.1/2X m = + 1X

DC 0<X<8 2EI M = + 5X m = ‐0,5X

∆ VB = , =

,

∆ VB = + ,

=

1/EI ( ‐64 – 85,333‐ 64 ‐231,333 ) =

4 8

00

24

∆ VB = ,

δ Vbb = , , =

1/EI ( 21,333 + 21,333 ) = 1/EI ( 42,666 )

∆ VB + VB . δ Vbb = 0 ,

. ,

4 T 2 t/m

A 2m B 4m C 8m D

10 T

∑ MC = 0 ‐ VD.8 – 4.6 + 10 .4 – 8 .2 = 0 VD = 0 T

VC = ( 4 + 8 ) – 10 = 2 T

4T

A 4T B 6T 4TM 2T C D

DX = 0 +6 – 2X = 0 X = 3 m

D 6T Pada jarak 3 m dari B terjadi Mmax.

2T

4T MX= 6.X – 2X.1/2.X ‐ 4

M X= 3m Mmax = 6.3 – 2.3.1/2.3 – 4 = 5 TM

4TM

5TM

0 0

84

25

q = 1 t/m

A B 3T EI KONSTANT

GAYA KELEBIHAN ADALAH VA

5 m

C

3m

q = 1t/m

A B 3T A B

VA = 1

Cari ∆ VA Cari δ V aa

C C

AB 0>X>3 EI M = ‐ 1 X. 1/2 X m = + 1 X

BC 0>X>5 EI M = ‐ 3.1,5 + 3X = ‐ 4,5 + 3X m = + 1.3 = + 3

∆ VA = .

– ,

+ , = + , ,

=

4,68TM

0

35

0

0

26

+ , . , .

= ‐ , , , ,

δ V aa = + .

= + +

∆ VA + VA . δ V aa = 0 , VA = ‐ 0,646 T

VA = 0.646 T

A B A B 3,646T

3 T 6,44 TM 3T

0,646 T 0,646T 3,646T

6,44 TM

8,56 TM 8,56TM

C C

3,646 T 3T 3,646 T

∑MC = 0 + MC – 0,646 . 3 – 3.1,5 + 3.5 = 0 MC = ‐ 8,56 TM

BATANG AB ∑ MB = 0

+ MB – 0.646 . 3 – 3.1,5 = 0 MB = 6,44 TM

0

3 5

0

0

27

N

3,646

3

0,646 3,646

D

3

6,44

6,44

M

8,56

28

2T 1 T

1t/m

B 2EI C 2EI D 2EI E

EI

4m

1m A 6m 2m

2T 1 T

1t/m

B 2EI C 2EI D 2EI E

EI gambar ini untuk mencari ∆VD dan persamaan M

4m

1m A 6m 2m

B 2EI C 2EI D 2EI E

EI VD = 1

4m gambar ini untuk mencari δVdd dan persamaan m

1m A 6m 2m

BATANG ED 0<X<2 2EI M = +1X.1/2X + 1X m =0

BATANG DC 0<X<6 2EI M = +1(2+X) + 1/2( 2+X )2

= +4+3X+1/2 X2 m= ‐1X

BATANG BC 0<X<1 2EI M= ‐2X‐1/2 .1.X2 m=0

BATANG CA 0<X<4 EI M = 1.8 + 1.8.4 ‐2.1 ‐1.1.0,5 = 37,5 m =‐1.6 =‐6

29

∆ VD =

,

=

= .

.

∆

δVdd =

∆ VD + VD . δ Vdd = 0 ,

2T 1T

A C D E

2,5 TM 3T 7T 4T 2,5 TM 4 TM 2T 3T 4 TM

BATANG CD ∑ MD=0 VC.6‐2,5+4‐1.6.3 = 0 VC = 4T VD= 2T

DX = 0 DX = 4 – 1X = 0 X = 4M terjadi M max

MX = 4X ‐ 1.X.1/2.X – 2,5

X= 4 M max = 4.4 – 1.4.1/2.4 – 2,5 = 5,5 TM

A 7T

0 0

4 6

4 6

0 0

30

N

7 T

4T

3T 1T

2T 3T D 2T

4TM

2,5 TM

5,5 TM M

31

4T EI KONSTANT

B

A 1,8 m 1,8 m c

4 m 2, 4 m C 2,4m

c = , , m

X 4T

A B

1,8 = 0,6X X=3

X

gambar ini untuk mencari ∆HC dan persamaan M C 2,4=0,8X

X

A B

X 0,6 X

gambar ini untuk mencari δHCC dan persamaan m C HC =1

MENCARI ∆ HC

CB 0<X<3 EI M = 0 m = + 1.0,6.X

BA 0<X<4 EI M= + 4X m = + 1.1,8 = +1,8

∆ ,

,

∆ , , =

,

0

4

32

, , , ,

, . , .

,

∆ . , , , ,

Karena hasil negative arah HC berlawanan dengan arah HC =1

HA 4T

A B

VA ∑ H = 0 HA = 3,56 T

∑ V = 0 VA = 4 T C

∑ MA = 0 + MA – 3,56.1,8 + 4.4 =0 3,56 T

MA = ‐ 9,6 TM

4T

6,4 TM

A B

4T 9,6TM 6,4TM

∑MB = 0 +MB – 3,56 .1,8 =0 3,56 SINα

MB = + 6,4 TM α

C 3,56

DCB = ‐3,56 SINα = ‐3,56 . 0,6 = ‐ 2,14 T 3,56 COSα

NCB = + 3,56 COSα = 3,56.0,8 = 2,85 T

0

4 3

0

33

3,56 T 2,85 T

N 2,85 T

4 T 4T

D

2,14 T

9,6 TM

6,4 TM 6,4

M

34

4T

B EI KONSTANT

A 3m 5m

1 T 3m

4 m 4 m C 2 m D 4m

4T sin α = 3/5 = 0,6

B cos α = 4/5 = 0,8

A

X 1 T

0,8 X

C D

gambar ini untuk mencari ∆Hc dan persamaan M

B

A

VC = 1

0,8 X

C D

gambar ini untuk mencari δHcc dan persamaan m

DC 0<X<2 EI M = + 1X m = 0

CB 0<X<5 EI M = +1( 2+0,8X ) = 2+0,8X m= + 0,8 X

BA 0<X<4 EI M = +1( 6+X ) + 4X = 6+5X m = +1( 4+X )

35

∆ , ,

∆ , ,

∆ , ,

∆ , . , .

. . .

,

,

,

,

, . . .

∆ . . , ,

Karena hasil negative , maka arah VC berlawanan dengan arah VC = 1

0

4 5

0

4 5

0 0

36

4T

B ∑V=0 VA = 5‐2,5985=

A 5,212TM 3m 2,4015 T

2,4015 T 1 T

4 m 4 m C 2 m D

2,5985 T

∑ MA = 0 + MA +1.10 – 2,5985.8 +4.4 = 0 MA = ‐5,212 TM

4T

4,394TM

A B

5,212TM 2,4015T 4,394TM

2,4015T 1,5985T

2TM 1T

C D

1,5985T 2TM

1T

CB ∑ MB = 0 + MB – 1,5985.4 + 2 = 0 MB = 4,394 TM

CD ∑ MC = 0 + MC + 2.1 = 0 MC = ‐ 2TM

NCB = ‐ 1,5985 . 0,6 = ‐ 0,9591 T

DCB = ‐ 1,5985 .0,8 = ‐ 1,2788 T

C

1,5985COSα 1,5985SINα

37

0,9591T N

0,9591T

2,4015T 2,4015T

D

1T

1,2788 T

5,212TM

M

4,394TM 2TM

4,394TM

bahan ajar soal dan penyelesaian dengan cara consistent deformation 1-2-2011

Documents