bahan ajar kalkulus

Bahan Ajar

Mata Kuliah

KALKULUS

Politeknik PIKSI Ganesha Bandung

2011

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim, Assalamu’alaikum warahmatullah wabarakatuh.

Segala puji hanya bagi Allah subhanahu wata’ala yang telah memberikan kenikmatan Iman dan Islam serta kesehatan jasmani, sehingga atas segala karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan modul mata kuliah kalkulus ini.

Penulis menyadari penyusunan modul mata kuliah kalkulus ini dapat terwujud atas bimbingan, arahan, dan bantuan berbagai pihak yang telah memberikan masukan yang berharga bagi penulis. Untuk itu pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih kepada : 1. Bapak Drs. K. Prihartono AH., S.Sos.,MM. selaku direktur Politeknik Piksi

Ganesha 2. Kepada team dosen mata kuliah kalkulus, terima kasih atas masukan dan

motivasi yang diberikan kepada penulis. 3. Seluruh Staf Politeknik Piksi Ganesha, dan 4. Mahasiswa/i Politeknik Piksi Ganesha Jurusan MIF dan TIK, terima kasih

untuk saran dan kritik sehingga penulis dapat menyelesaikan tulisan ini. Modul mata kuliah kalkulus itu berisi tentang materi sistem bilangan, sistem

koordinat, fungsi dan grafik, limit dan kekontinuan, turunan dan penggunasnnya, integral dan penggunaannya serta deret bilangan dan jumlah. Penulis menyadari banyak sekali kekurangan dalam modul ini untuk itu dibutuhkan dukungan dari semua pihak untuk penyempurnaanya.

Penulis berharap agar modul mata kuliah kalkulus ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa/i dalam membantu proses pembelajaran. Wassalamu’alaikum warahmatullah wabarakatuh.

Bandung, 29 Maret 2011

Penulis

1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ............................................................................................. 1 DAFTAR ISI ............................................................................................................. 2 DAFTAR GAMBAR ................................................................................................ 5 DESKRIPSI MATA KULIAH ................................................................................ 6 TUJUAN KOMPETENSI UMUM ......................................................................... 6 TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS ...................................................................... 6 BAB 1 SISTEM BILANGAN .................................................................................. 7 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS ................................................................... 7 B. URAIAN MATERI .............................................................................................. 7

B.1 SISTEM BILANGAN REAL ................................................................... 7 B.2 SIFAT – SIFAT BILANGAN REAL ....................................................... 8 B.3 PANGKAT DAN AKAR KUADRAT ................................................... 8 B.4 PERSAMAAN .......................................................................................... 9 B.5 PERTIDAKSAMAAN ............................................................................. 10 1.5.1 SELANG (INTERVAL) .................................................................. 10 B.6 NILAI MUTLAK ...................................................................................... 11

1.6.1 SIFAT – SIFAT NILAI MUTLAK ................................................. 12 C. RANGKUMAN ................................................................................................ 14 D. TUGAS BAB 1 .................................................................................................. 14 E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 14 BAB II SISTEM KOORDINAT .............................................................................. 15 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS .............................................................. 15 B. URAIAN MATERI .......................................................................................... 15

2.1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS .................................................... 15 2.2 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN ...................................................... 16

C. RANGKUMAN ................................................................................................ 20 D. TUGAS BAB 2 .................................................................................................. 20 E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 20 BAB III FUNGSI DAN GRAFIKNYA .................................................................. 21 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS .............................................................. 21 B. URAIAN MATERI .......................................................................................... 21

3.1 FUNGSI REAL .......................................................................................... 21 3.2 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ..................................................... 22 3.3 FUNGSI LINIER ....................................................................................... 23 3.4 FUNGSI KUADRAT ................................................................................ 24 3.5 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK ............................................... 25 3.6 FUNGSI INVERS...................................................................................... 26 3.7 OPERASI FUNGSI .................................................................................... 26 3.8 FUNGSI KOMPOSISI .............................................................................. 27

C. RANGKUMAN ................................................................................................ 28 D. TUGAS BAB 3 .................................................................................................. 29

2

E. DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 29 BAB IV FUNGSI DAN LIMIT ............................................................................... 30 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………... 30 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………... 30 4.1 PENDAHULUAN LIMIT……………………………………………... 30

4.2 TEOREMA LIMIT……………………………………………………… 31 4.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK)………………………………… 34

C. RANGKUMAN……………………………………………………………… 36 D. TUGAS BAB 4……………………………………………………………….. 36 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………...……... 36 BAB V KONTINUITAS FUNGSI………………………………………………. 37 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 37 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 37

5.1 KONTINUITAS FUNGSI……………………………………………… 37 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….. 39 D. TUGAS BAB 5………………………………………………………………. 40 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 40 BAB VI TRIGONOMETRI……………………………………………………… 41 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS……………………………………….... 41 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. . 41

6.1 FUNGSI TRIGONOMETRI…………………………………………..... 41 6.2 ATURAN KUADRAN SINUS, KOSINUS, TANGEN......................... 42 6.3 GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN………………………… 42 6.4 EMPAT FUNGSI TRIGONOMETRI LAINNYA.................................. 44 6.5 KESAMAAN TRIGONOMETRI........................................................... 44

C. RANGKUMAN……………………………………………………………… 45 D. TUGAS BAB 6………………………………………………………………. 46 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 46 BAB VII TURUNAN…………………………………………………………..... 47 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 47 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 47

7.1 KECEPATAN DAN PERCEPATAN………………………………. 49 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….. 50 D. TUGAS BAB 7………………………………………………………………. 50 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 50 BAB VIII PENGGUNAAN TURUNAN………………………………………. 51 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 51 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 51

8.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM…………………………………...... 51 8.2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN FUNGSI NAIK / TURUN

/KONSTAN PADA SELANG INTERVAL……………………..... 54 8.3 TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN……………................ 55

C. RANGKUMAN……………………………………………………..…….... 56 D. TUGAS BAB 8………………………………………………………………. 57 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………..…….... 57 BAB IX INTEGRAL............................................................................................... 58

3

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS……………………………….………. 58 B. URAIAN MATERI…………………………………………………………. 58

9.1 INTEGRAL TENTU............................................................................. 60 C. RANGKUMAN…………………………………………………………...... 61 D. TUGAS BAB 9………………………………………………………………. 61 E. DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………….. 61 BAB X PENGGUNAAN INTEGRAL................................................................. 62 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………. 62 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 62 10.1 LUAS DAERAH BIDANG RATA....................................................... 62 C. RANGKUMAN……………………………………………………………... 65 D. TUGAS BAB 10……………………………………………………………… 65 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………... 65 BAB XI DERET BILANGAN DAN JUMLAH..................................................... 66 A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS………………………………………... 66 B. URAIAN MATERI………………………………………………………….. 66 C. RANGKUMAN…………………………………………………………….... 71 D. TUGAS BAB 11……………………………………………………………… 72 E. DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………... 72

4

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman 1.1 Skema Bilangan 7 2.1 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius 15 2.2 Titik – titik P, Q dan R dalam koordinat cartesius 15 2.3 Kemiringan garis AB dalam koordinat cartesius 16 2.4 Persamaan garis sejajar 17 2.5 Dua buah garis yang saling tegak lurus 18 3.1 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 23 3.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x 23 3.3 Persamaan garis y = x – 2 24 3.4 Persamaan garis y = x2 – 4 25 3.5

Persamaan y x 25

3.6 Persamaan 2 4y x

26

5.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x) 37

5

A. Deskripsi Mata Kuliah Mata kuliah ini bermaksud untuk memperkenalkan ilmu – ilmu dasar kalkulus yang umum digunakan dalam bidang ilmu informatika. Materi-materi pokok yang akan dibahas dalam mata kuliah ini antara lain meliputi: sistem bilangan, persamaan garis dan grafiknya, fungsi dan limit, kontinuitas fungsi, fungsi trigonometri, turunan dan aplikasinya, teknik pengintegralan dan aplikasinya, deret bilangan dan jumlah.

B. Tujuan Kompetensi Umum

Setelah mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharapkan akan dapat: 1) menjelaskan manfaat dan ruang lingkup ilmu dasar kalkulus, 2) memilih dan menggunakan teknik-teknik perhitungan untuk memecahkan permasalahan perhitungan di lingkungan kerjanya masing-masing. 3) menggunakan ilmu kalkulus untuk melatih logika yang menunjang bidang ilmu informatika

C. Tujuan Kompetensi Khusus

Setelah mahasiswa mengikuti perkuliahan ini diharapkan mampu: 1. Mengenal jenis-jenis bilangan 2. Mengerti tentang garis lurus dan grafik persamaan. 3. Memahami arti fungsi, relasi dan grafik fungsi 4. Memahami tentang operasi fungsi dan limit 5. Memahami arti kontinu dan diskontinu pada fungsi 6. Memahami tentang fungsi dan grafik pada trigonometri. 7. Memahami konsep dasar turunan dan penggunaannya pada bidang

ekonomi. 8. Memahami konsep dasar integral dan penggunaannya. 9. Memahami cara menghitung suatu deret bilangan dan penulisan jumlah

dan sigma.

6

BAB I SISTEM BILANGAN

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS

Pada materi sistem bilangan ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal jenis-jenis bilangan dan penggunaanya, mahasiswa juga mampu menyelesaikan berbagai persoalan persamaan dan pertidaksamaan, lalu juga mengerti tentang sifat-sifat harga mutlak.

B. URAIAN MATERI 1.1 Sistem Bilangan Real

Skema Bilangan Himpunan Bilangan Riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Secara lengkap dapat dilihat dari bagan berikut:

Gambar 1.1 Skema bilangan

Bilangan dapat dikelompokan atas 1. Bilangan Asli : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . . 2. Bilangan Cacah : 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5 , . . . 3. Bilangan Prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . Bilangan Prima yaitu bilangan yang hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. 4. Bilangan Bulat : . . ., -3, -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 , . . . 5. Bilangan Real R yang terdiri atas Bilangan Rasional dan Bilangan

Irrasional a. Bilangan Rasional

� Disajikan dalam bentuk b

a , dimana b tidak sama dengan 0 (ditulis b

≠ 0), dengan a dan b bilangan bulat. � Apabila disajikan dalam bilangan desimal, yaitu bilangan yang

disajikan dengan menggunakan tanda koma (,) apabila nilainya

7

antara 0 dengan 1, maka pada desimalnya (bilangan di sebelah kanan tanda koma) terjadi pengulangan bilangan atau “terhenti” pada 0. Contoh 1.1

a. 5714...,0,285714287

2

b. 1,333...3

4 ,

c. 3.¼ = 0,250.. .

b. Bilangan Irrasional - Merupakan kawan (komplemen) dari bilangan rasional. - Apabila disajikan dalam bilangan desimal, maka pada desimalnya

tidak akan terjadi pengulangan. Contoh 1.2

a. = 3,141592654…, yang biasanya diidentikan dengan 7

22

b. bilangan eksponensial, yaitu e = 2,7182818…

c. bilangan akar yang tidak dapat dirasionalkan, seperti 2 , 5 , dan sejenisnya.

6. Bilangan Kompleks, yaitu bilangan yang disajikan dalam bentuk a + ib

dengan a dan b bilangan real, i= 1 , i yang dinamakan bilangan imaginer. Pada bagian ini a dinamakan bagian real dan b bagian imaginer.

1.2 Sifat – sifat Bilangan Riil

1. Tertutup a + (b x c) 2. Komutatif a + b = b + a 3. Assosiatif

a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )

4. Distributif (a + b) . c = ac + ab

1.3 Pangkat dan Akar Kuadrat Setiap bilangan positif mempunyai dua akar akar kuadrat, misalnya 4

adalah 2 dan -2, dan 16 adalah 4 dan -4 Untuk 0a , lambang a disebut akar kuadrat utama dari a, yang

menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a

. . . ..... maka dapat ditulis n

n

x a a a a a x a

atau a x

8

1.4 Persamaan a. Persamaan Linear

Bentuk umum: ax + b = 0 dengan a ≠ 0 dan b bilangan real, dan x adalah variabel.

Jawab : dari persamaan ax + b = 0 adalah a

bx

contoh 1.3 : selesaikan persamaan 4 0x Jawab :

4 0

4

x

x

Jadi 4x

b. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 dengan a, b dan c bilangan real, dan x adalah variabel. Penyelesaian Persamaan Kuadrat � Dengan Memfaktorkan � Dengan Rumus

Jika x1 dan x2 merupakan jawab persamaan kuadrat, maka rumus untuk mencari akar-akarnya adalah

2a

4acbb-x

2

1,2

Diskriminan D = b2 – 4ac , untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat. Kemungkinan-kemungkinan diskriminan: (1) D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua jawab yang

berlainan. (2) D = 0, maka persamaan memiliki satu jawab bilangan real, (3) D < 0, maka persamaan memiliki jawab bilangan kompleks.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0, maka berlaku sifat:

x1 + x2 = a

b dan x1 . x2 =

a

c

contoh 1.4 : selesaikan persamaan 2 6 16 0y y

Jawab :

2 6 16 0

2 8 0

2 0 8 0

2 8

y y

y y

y y

y y

Jadi 2 dan 8y y

9

1.5 Pertidaksamaan � Bentuk umum pertaksamaan adalah :

A x C x

B x D x

� dengan A (x), B (x), C (x), dan D (x) : suku banyak. (tanda < dapat diganti oleh >, ≥, ≤) � Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi pertaksamaan disebut

dengan Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan (berupa selang).

1.5.1 Selang (Interval) Diberikan sebarang dua bilangan real a dan b, dengan ba . Berturut-turut didefinisikan:

Penulisan Himpunan Penulisan Selang Grafik bxax [a,b] [ ]

a b bxax (a,b) ( )

a b bxax [a,b) [ )

a b bxax (a,b] ( ]

a b axx [a,∞) [

a axx (a, ∞) (

a axx (-∞,a] ]

a axx (-∞,a) )

a

Contoh 1.5 Selesaikanlah pertidaksamaan 2 7 4 2x x dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. jawab :

2 7 4 2

2 4 5 (tambahkan 7)

2 5 (tambahkan -4x)

5 1(kalikan dengan - )

2 2

x x

x x

x

x

Jadi HP =

5 5, :

2 2x x

10

Contoh 1.6

Selesaikanlah pertidaksamaan 23 2 0x x dan perlihatkan grafik

himpunan penyelesaiannya. Jawab :

23 2 1 3 2

1 0 3 2 0

1 3 2

2

3

x x x x

x x

x x

x

jadi kita mempunyai titik pemecahan di -2/3 dan 1 maka HP = 2, 1,

3

Contoh 1.7

Selesaikanlah pertidaksamaan 2 5

12

x

x

dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya. Jawab :

2 51

22 5 22 5

1 0 02 23

02

x

xx xx

x xx

x

Mempunyai titik pemecahan di 2 dan 3 maka Hp = 2,3

contoh 1.8

selesaikan pertidaksamaan 2

1xx dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya. jawab :

2

21 0

1 220 0

xx

x xx x

x x

mempunyai titik pemecahan : x = 1, x = -2, dan x = 0 maka Hp = , 2 0,1

1.6 Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, nilai mutlak suatu bilangan riil x, dinyatakan oleh x , didefinisikan sebagai berikut :

, jika 0

, jika 0

x x x

x x x

11

2

2 2

2 2

x x

x x

x y x y

1.6.1 Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. 0

2.

3. , jika , dimana 0

4. , jika , atau

5. .

6. , 0

7.

8.

a

a a

a b b a b b

a b a b a b

a b a b

aab

b b

a b a b

a b a b

Hal penting yang perlu diingat bahwa : Contoh 1.8 : a. 2 =2, karena 2 0

b. 2 = - ( -2) = 2, karena 2 0

Contoh 1.9 : Selesaikan pertidaksamaan 3 5 1x dan perlihatkan grafik himpunan


3 5 1 atau 3 5 1

3 4 atau 3 6

4atau 2

3

x x

x x

x x

maka Hp : 4, 2,3

Contoh 1.10 :

Selesaikan pertidaksamaan 3 5x dan perlihatkan grafik himpunan


5 3 5

5 3 5 3

8 2

x

x

x

maka Hp : : 8 2x x

12

Contoh 1.11 : Selesaikan pertidaksamaan 3 1 2 6x x dan perlihatkan grafik himpunan


2 2

2 2

2

3 1 2 6 3 1 2 12

3 1 2 12

9 6 1 4 48 144

5 54 143

5 11 13

x x x x

x x

x x x x

x x

x x

titik – titik pemecahannya yaitu -13 dan 11/5 Maka Hp : 11

13,5

Contoh 1.12 :

Tentukan semua nilai x sehingga 32x

2x

.

Jawab :

3

2x

2xdan3

2x

2x

32x

2x33

2x

2x

Selanjutnya, karena:

2xatau5

6x

02x

65x

032x

2x3

2x

2x(i).

atau

6xatau2x

02x

6x

032x

2x3

2x

2x(ii).

maka, diperoleh: 6xatau5

6x .

Contoh 1.13

Tentukan penyelesaian 32x

2x

.

Jawab :

2x6,x5

6

2x0,6x65x

2x0,3636x5x

2x,44xx94x

02x,2x32x32x

2x

2

22

Jadi, penyelesaian adalah 2,6,25

6

.

13

C. RANGKUMAN Sifat – sifat Bilangan Riil

1. Tertutup a + (b x c) 2. Komutatif a + b = b + a 3. Assosiatif

a. Penjumlahan (a + b) + c = a + (b + c) b. Perkalian ( a . b ) . c = a . ( b . c )

4. Distributif (a + b) . c = ac + ab Sifat-sifat Nilai Mutlak

1. 0

2.

3. , jika , dimana 0

4. , jika , atau

5. .

6. , 0

7.

8.

a

a a

a b b a b b

a b a b a b

a b a b

aab

b b

a b a b

a b a b

D. TUGAS BAB 1 1. Nyatakanlah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan dalam

cara penulisan selang dan sketsakan grafiknya.

2

1. 2 16 25

2. 6 2 3 1

3. 2 7 15 0

2 34. 0

13

5. 25

x x

x

x x

x

x

x

2

3

6. x 5x 14 0

7. x 2x 1 0

x 48. 3x

2x 13 2

9. x x 12x

10. xx 5

.

2. Carilah himpunan penyelesaian dari ketaksamaan yang diberikan !

1. 43x 4. 523x 7. 73x21

2. 2x

1 5. 3

x

2 8. 2

x

1x

3. 21x

12x

6. 3x2x 9. 2x1x

14

BAB II SISTEM KOORDINAT

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi sistem koordinat ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal sistem koordinat cartesius, memahami konsep jarak menggunakan teorema phytagoras, mengetahui konsep kemiringan garis/gradien pada garis sejajar dan tegak lurus.

B. URAIAN MATERI 2.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

Sistem koordinat cartesius terdiri dari 2 garis lurus, satu garis mendatar (horisontal) dan garis yang lain tegak (vertikal).

Garis mendatar ini disebut sumbu-x, sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y.

Contoh 2.1 Koordinat titik A adalah (-1,4), titik B adalah (3,-1) dan titik P adalah (5,2).

Gambar 2.1 Titik-titik A, B, dan P dalam koordinat Cartesius

Lihat gambar di bawah ini :

Gambar 2. 2 titik – titik P, Q dan R dalam koordinat cartesius

)2,5(P

)4,1(A

)1,3( B

15

Lihat gambar diatas, pandang dua titik P dan Q sembarang, masing – masing dengan koordinat (x1, y1) dan (x2, y2) bersama dengan R – titik dengan koordinat – koordinat (x2, y1) – P dan Q adalah titik – titik sudut sebuah

segitiga siku – siku (gambar 3.1). Panjang PR dan RQ masing – masing 2 1x x

dan 2 1y y . Jika teorema Pythagoras diterapkan maka akan diperoleh

ungkapan untuk mendefinisikan jarak antara P dan Q.

Jarak 2 2

2 1 2 1,d P Q x x y y

Contoh 2.1 : Carilah jarak antara

a. P (-2, 3) dan Q (4, -1)

b. 2, 3P dan ,Q

Jawab :

a. 2 2, 4 2 1 3 36 16 52d P Q

b. 2 2

, 2 3 4.971 2.23d P Q

2.2 KEMIRINGAN GARIS/GRADIEN

Gambar 2.3 kemiringan garis AB dalam koordinat cartesius

Kemiringan (m) adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar 2.3 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :

2 1

2 1

y ym

x x

16

a. Bentuk Kemiringan Titik Garis yang melalui titik (tetap) (x1, y1) dengan kemiringan m mempunyai persamaan :

1 1y y m x x Contoh 2.2: Cari persamaan garis yang melalui (-4, 2) dan (6, -1) Jawab:

Kemiringan m adalah : 2 1

2 1

1 2 3

6 4 10

y ym

x x

Sehingga dengan menggunakan titik (-4, 2) sebagai titik tetap, maka didapatkan persamaan :

1 1

32 4

10

y y m x x

y x

b. Bentuk Ax + By + C = 0

Akan sangat menarik untuk mempunyai suatu bentuk yang meliput semua garis, termasuk garis – garis tegak.

Contoh 2.3: 2 4 2y x Bentuk ini dapat ditulis : 4 6 0x y

c. Garis – Garis Sejajar

Jika dua garis mempunyai kemiringan sama, maka keduanya sejajar. Jadi 2 2y x dan 2 5y x merupakan garis – garis sejajar; keduanya

mempunyai kemiringan 2, garis yang kedua adalah 3 satuan di atas yang pertama untuk setiap nilai x, seperti terlihat dibawah ini :

Gambar 2.4 persamaan garis sejajar

Untuk kemiringan garis sejajar nilai 1 2m m

17

Contoh 2.4: Carilah persamaan garis yang melalui (6, 8) yang sejajar dengan garis yang mempunyai persamaan 3x – 5y = 11

Jawab : Persamaan 3x – 5y = 11 dapat pula diubah bentuk menjadi :

5 3 11

3 11

5 5

y x

y x

Dari persamaan diatas terlihat bahwa kemiringan garis adalah 3

5,

persamaan garis yang diinginkan adalah :

1 1

38 6 3 5 22 0

5

y y m x x

y x x y

d. Garis – Garis Tegak Lurus

Gambar 2.5 dua buah garis yang saling tegak lurus

Andaikan 1 1 1,P x y suatu titik pada l1 dan 2 2 2,P x y titik pada l2, seperti

diperlihatkan pada gambar 3.4. menurut teorema pythagoras 1 2P OP merupakan sudut siku-siku jika dan hanya jika :

2 2 2

1 2 1 2, , ,d P O d P O d P P

2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2x y x y x x y y

Setelah penguraian dan penyederhanaan, persamaan ini menjadi

1 2 1 22 2 0x x y y atau 1 2

1 2

y x

x y

18

1

1

y

x adalah kemiringan untuk l1 , sedangkan 2

2

y

x kemiringan untuk l2.

sehingga 1 2P OP adalah sudut siku-siku jika dan hanya jika kemiringan – kemiringan dua garis tersebut berbanding terbalik satu sama lain.

Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :

1 2 1

2

1. 1m m atau m

m

Contoh 2.5:

Carilah persamaan garis yang melalui titik potong garis – garis dengan persamaan 3 4 8 6 10 7x y dan x y , yang tegak lurus garis pertama.

Jawab : Untuk mencari titik potong (x, y) maka gunakan metode eliminasi :

3 4 8 2 6 8 16

6 10 7 1 6 10 7

18 9

1

2

x y x x y

x y x x y

y

y

Lalu substitusikan nilai 1

2y ke salah satu persamaan :

3 4 8

13 4 8

2

2

x y

x

x

Jadi titik potongnya di (2, 1/2 ) Persamaan garis pertama yaitu 3 4 8x y , dapat diubah bentuk menjadi :

34 3 8 8

4y x y x

Dari persamaan diatas didapatkan bahwa 1

3

4m

Maka kemiringan yang tegak lurus garis pertama adalah :

1 2

2 2

. 1

3 4. 1

4 3

m m

m m

Persamaan garis yang diinginkan adalah :

1 1

1 4 4 8 12

2 3 3 3 2

y y m x x

y x y x

Atau bisa ditulis : 8 6 13 0x y

19

C. RANGKUMAN

Rumus jarak antara P dan Q.

Jarak 2 2

2 1 2 1,d P Q x x y y

Kemiringan (m) adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti terlihat pada gambar 2.3 diatas maka kita dapat mendefinisikan bahwa kemiringan (m) AB adalah :

2 1

2 1

y ym

x x

Untuk persamaan garis yang saling tegak lurus nilai kemiringan adalah :

1 2 1

2

1. 1m m atau m

m

D. TUGAS BAB 2

A. Gambarkan titik-titik berikut pada bidang koordinat dan kemudian carilah jarak titik-titik tersebut. 1. (2,-1) , (5,3) 2. (4,2),(2,4) 3. (-2,1), (7,13)

B. Cari kemiringan dari garis yang mengandung dua titik yang diberikan lalu tuliskan persamaan garis dari soal C ke dalam bentuk Ax + By + C = 0 1. (2,3) dan (4,8) 2. (-4,2) dan (8,2) 3. (-6,0) dan (0,6)

C. Tulislkan persamaan garis melalui (3,-3) yang: 1. Sejajar garis y = 2x +5 2. Tegak lurus garis y = 2x + 5 3. Sejajar garis 2x + 3y = 6 4. Tegak lurus garis 2x + 3y =6 5. Sejajar garis x = 8 6. Tegak lurus garis x = 8

20

2 1F x x

BAB III FUNGSI DAN GRAFIKNYA


Pada materi fungsi dan grafiknya ini mahasiswa diharapkan mampu mengenal jenis-jenis fungsi dan penggunaanya, mengetahui tentang daerah asal dan daerah hasil, mampu menyelesaikan berbagai persoalan berbagai jenis fungsi, mampu menggambar grafik fungsi.

B. URAIAN MATERI 3.1 FUNGSI RIIL

Daerah asal Daerah hasil sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/Df), dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut. misalnya, jika F adalah fungsi dengan aturan 2 1F x x dan jika

daerah asal dirinci 1,0,1,2,3 maka daerah nilainya adalah 1,2,5,10

4 10

2 5

1 2

0 1

-1 Contoh 3.1 : Cari daerah asal alamiah untuk :

a. 1

3f x

x

Jawab : daerah asal alamiah untuk f adalah : 3x R x , x tidak

boleh sama dengan 3 untuk menghindari pembagian 0, karena pembagian dengan 0 akan akan bernilai tak hingga.

•

•

•

•

•

21

b. 29g t t

jawab :

2

2

9 0

9

9 3

t

t

t t

Sehingga daerah asal yang didapat : 3 3,3t R t atau

c. 3 2 4y x x

jawab :

3 2 4

3 0 2 4 0

3 2 4

3 2

x x

x atau x

x x

x x

Sehingga daerah asal yang didapat : 2 3fD x x

Contoh 3.2 : Untuk 2 2f x x x , cari nilai f(4), f(2-h), [f(2-h)-f(4)]

Jawab :

2

2

2

2

2

4 4 2.4 8

2 2 2 2

4 4 4 2

2

2 4 2 8

f

f h h h

h h h

h h

f h f h h

3.2 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Bila daerah asal dan daerah nilai sebuah fungsi merupakan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi tersebut dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.

Contoh 3.3 Buatlah sketsa grafik fungsi f a. f(x) = x2 – 2 b. f(x) = x3 – 2x

Penyelesaian: Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2 dapat dilihat pada gambar 3.1 dan sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x dapat dilihat pada gambar 3.2.

22

Gambar 3.1 Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 – 2

Gambar 3.2 Sketsa grafik fungsi f(x) = x3 – 2x

Atau bisa dilihat pada tabel berikut ini :

Fungsi Daerah Asal Daerah Nilai

2 2f x x R : 2y R y

3 2g x x x R R

3.3 FUNGSI LINIER

Bentuk Umum y=ax+b Dimana : x = variabel bebas y = variabel tak bebas a dan b = konstanta dan a ≠ 0

x f(x) -3 7 -2 2 -1 -1 0 -2 1 -1 2 2 3 7

X f(x) -3 -21 -2 -4 -1 1 0 0 1 -1 2 4 3 21

23

Contoh 3.4 : Buat grafik y = x – 2

Jawab :

X y = x - 2 0 -2 1 -1 2 0

Gambar 3.3 persamaan garis y = x - 2

3.4 FUNGSI KUADRAT

Bentuk Umum 2y ax bx c

Dimana : x = variabel bebas y = variabel tak bebas a, b dan c = konstanta dan a ≠ 0 LANGKAH MENGGAMBAR a > 0 kurva (terbuka ke atas)

a < 0 kurva (terbuka ke bawah) Cari nilai D = b2 – 4ac

1. Untuk D < 0 tidak memotong sumbu x 2. Untuk D = 0 memotong sumbu x di satu titik 3. Untuk D > 0 memotong sumbu x di dua titik

Cari titik potong sumbu x y = 0 sumbu y x = 0

Cari titik puncak ,2 4

b DP

a a

Contoh 3.5 : Buat grafik 2 4y x Jawab :

a > 0 kurva (terbuka ke atas) D = b2 – 4ac

D = 0 – 4 (1)(-4) = 16 > 0 (artinya D > 0, memotong sumbu x di dua titik) Mencari titik potong (x,y)

Untuk y = 0 untuk x = 0 0 = x2 – 4 y = x2 – 4 -x2 = - 4 y = 0 – 4 x = ± 2 y = -4

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

y

x

24

Mencari titik puncak

0 16, , 0, 4

2 4 2 4

b DP

a a

-5

-4

-3

-2

-1

0

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Gambar 3.4 persamaan garis y = x2 – 4

3.5 FUNGSI DENGAN HARGA MUTLAK Menggambar grafik fungsi dengan harga mutlak harus diatas sumbu x Untuk menggambar fungsi yang mengandung harga mutlak, adalah

sebagai berikut : , jika 0

, jika 0

x x x

x x x

Contoh 3.6 : 1. Gambar grafik dari y x

Jawab :

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

Gambar 3.5 persamaan y x

X < 0 Y = - x (x , y) - 1 - 2

1 2

( - 1, 1 ) ( -2, 2 )

X ≥ 0 y = x ( x, y )

0 1 2

0 1 2

( 0, 0 ) ( 1, 1 ) ( 2, 2 )

25

2. Gambar grafik dari 2 4y x

Jawab : -2x + 4 bila 2x – 4 < 0 2x < 4 2 4y x x < 2

2x – 4 bila 2x – 4 ≥ 0

2x ≥ 4 x ≥ 2

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

x

y

Gambar 3.6 persamaan 2 4y x

3.6 FUNGSI INVERS

Invers artinya kebalikan f-1(x) , dibawah ini adalah contoh untuk fungsi invers :

Contoh 3.7 :

1

2 4

2 4

42

2 2

22

f x y x

x y

y yx

xf x

3.7 OPERASI FUNGSI Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b, dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat.

Contoh 3.8 :

3

52

xf x dan g x x

X < 2 y = - 2x + 4 (x , y) 1 0

2 4

( 1, 2 ) ( 0, 4 )

X ≥ 2 y = 2x – 4 ( x, y )

2 3 4

0 2 4

( 2, 0 ) ( 3, 2 ) ( 4, 4 )

26

Jawab :

2 2

22

3. 5

23

. 52

3. . . . 5

2

3.

2 5

3 6 9.

2 4

xa f g x f x g x x

xb f g x f x g x x

xc f g x f x g x x

f xf xd x

g g x x

x x xe f x f x

3.8 FUNGSI KOMPOSISI Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai berikut : g f x g f x

Contoh 3.9 : 1. 2 1f x x dan g x x , maka ?f g x dan g f x

Jawab :

2

2

2 2 2

1

1

1 1 1 1

f g x f g x g f x g f x

f x g x

f x x g x x

f x x g x x x

Dari jawaban diatas terlihat bahwa nilai f g x g f x

2. Andaikan 2

63

9

xf x x dan g x

x

, cari nilai

dan daerah asalnya, 5f g x dan f g Jawab :

27

2

2 2 2

6

9

3

6 18 183

9 9 9

f g x f g x

xf

x

f x x

x x xf g x

x x x

Syarat daerah asal :

2

2

9 0

9

x

x

x

Jadi daerah asal alamiahnya : , 3 3,fD

2

2

18

9

18 5 905

45 9

xf g x

x

f g

C. RANGKUMAN

Fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain function/Df), dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua. himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah nilai (range function/Rf) fungsi tersebut. Fungsi bukanlah bilangan, tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b, dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g. Operasi pada fungsi meliputi jumlah, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat. Fungsi komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f, atau dituliskan sebagai

berikut : g f x g f x ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x). Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f.

28

D. TUGAS BAB 3 1. Untuk f(x) = x2 – 1, hitunglah :

a. f(1) b. f(1/x) c. f(0) d. f(3x) e. f(-6) f. f(1/2) g. f(2t) h. f(t2) i. f(k) j. f(k-1)

2. Untuk f(x) = )1(x

x

dan g(x) = x1 carilah :

a. (f+g)(2) b. (g/f) (3) c. (f o g)(x) d. (g o f)(x) e. (g o f)(0) f. (f . g)(x)

3. Carilah daerah asal dari : 2 14

xy x x dan y

x

4. Buatlah sketsa grafik dari fungsi harga mutlak : 2 9 6 3y x dan y x

29

BAB IV FUNGSI DAN LIMIT


Pada materi fungsi dan limit ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang teorema limit, limit sepihak yang meliputi limit kanan dan limit kiri, dan mahasiswa juga mampu menyelesaikan berbagai macam persoalan limit fungsi.

B. URAIAN MATERI

4.1 PENDAHULUAN LIMIT Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati

c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x≠c).

Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = 1x

1x2

dan akan kita cari

berapa nilai fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.

x f(x) = x+1 x g(x) = 1x

1x 2

0.9 1.9 0.9 1.9 0.95 1.95 0.95 1.95 0.99 1.99 0.99 1.99 0.999

1

1.999 ?

0.999 1

1.999 ?

1.001 2.001 1.001 2.001 1.01 2.01 1.01 2.01 1.1 2.1 1.1 2.1

Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x

mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “

limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:

1x

lim

(x + 1) = 2 dan 1

limx 1x

1x 2

= 2

Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

c xlim

f(x) = L

jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.

30

Jika ditulis cx

lim

f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi

f(x) dari dua arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.

Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.

xlim x = ∞ dan

xlim

x

1 = 0

4.2 TEOREMA LIMIT Jika )(lim xf

cx dan )(lim xg

cx keduanya ada dan Rk maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut: a. AA

cx

lim , RcA, .

b. cxcx

lim .

c. )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

d. )(lim)(lim xfkxkfcxcx

e. )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

f. )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

cx

cx

cx

, asalkan 0)(lim

xgcx

Contoh 4.1

a. 6lim7xlim2xlim6)7x(2xlim2x2x

2

2x

2

2x

067.22.2

6limxlim7xlim2

6limxlim7xlim2

2

2x2x

2

2x

2x2x

2

2x

b. 12xlim7x.lim12x7xlim1x1x1x

712.17.11)(2xlimxlim71x1x

c. 3

1

21)5.(

31)2.(

2)(5xlim

3)(2xlim

25x

32xlim

1x

1x

1x

31

Contoh 4.2

Hitung 4

23lim

2

2

2

x

xxx

.

Penyelesaian: Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada contoh soal 4.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar,

untuk 2x diperoleh:

2x

1x

2)2)(x(x

1)2)(x(x

4x

23xx2

2

Sehingga :

Nilai 4

1

22

12

2

1lim

4

23lim

22

2

2

x

x

x

xxxx

Contoh 4.3

Tentukan 1x

1xlim

1x

.

Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.

2111lim1

11lim

1

1lim

111

x

x

xx

x

xxxx

.

Contoh 4.4

Tentukan 16

8lim

4

3

2

x

xx

.

Penyelesaian:

3223

22

244

33

24

3

2 )2()2.()2.()2(

)2()2.()2(lim

)2(

)2(lim

16

8lim

xxxx

xxx

x

x

x

xxxx

8

3

8888

444

8x4x2x

4x2xlim

23

2

2x

.

Contoh 4.5

Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.

32

Kita faktorkan fungsi kuadratnya

Contoh 4.6 :

Hitung 5

limx

5

21

x

x

Penyelesaian :

5

21

x

x

= 5

21

x

x

. 21x

21x

= 21

1

x

Maka 5

limx

5

21

x

x =

5limx

21

1

x =

4

1

Contoh 4.7 :

2

23

2

22 2 2

23 2

23

2 2 2 22

0

3

3 3

22

33 3

3 61. lim

2 2 3 72 13 2 1 1

2. lim lim lim4 2 2 2 4

3 3 3 927 3 27 93. lim

9 2 2 3 6 6 2

24. lim 2

22 2 2

5. lim1 111 0

x

x x x

x

h

x

x

x xx xx x x

x x x x

x x

x x

x hx h xx h xx

h h

xx x

xxx xx x

33

4.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK) Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa

yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan).

Limit Kanan

Jika ditulis Lxfcx

)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari

dari kanan.

Limit Kiri Jika ditulis Lxf

cx


dari kiri.

Contoh 4.8 a. 0lim

0

x

x (x didekati dari kanan)

b. xx 0lim tidak ada. (x didekati dari kiri)

c. Untuk bilangan bulat n nxlim

nx

dan 1nxlim

nx

Contoh 4.9 Diberikan fungsi

1x,x

1x,1x2

)x(f3

Karena untuk x < 1 adalah fungsi 12 xxf )( , maka 1)1x2(lim)x(flim

1x1x

.

Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi 1xlim)x(flim 3

1x1x

Selanjutnya, karena nilai )x(flim1)x(flim1x1x

maka 1)x(flim1x

.

34

Contoh 4.10 Tentukan )(lim

2xf

x jika diketahui:

2x,x

2x,x

)x(f

Penyelesaian: Jika x didekati dari kiri maka 2lim)(lim

22

xxf

xx

Jika x didekati dari kanan maka 2lim)(lim22

xxfxx

Karena limit kiri = limit kanan, maka 2)(lim2

xfx

.

Contoh 4.11 Diberikan fungsi berikut

2 5, 2

( )

1 3 , 2

y jika y

g y

y jika y

Hitung limit

Penyelesaian:

a.

b.

C. RANGKUMAN

Limit artinya mendekati. Secara umum dapat dinyatakan bahwa:

c xlim

f(x) = L jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak

perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.

35

Jika ditulis cx

lim

f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi

f(x) dari dua arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri.

Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.

xlim x = ∞ dan

xlim

x

1 = 0

Limit Kanan Lxfcx

)(lim maka mengandung arti bahwa x mendekati c

dari dari kanan. Limit Kiri Lxf

cx


dari kiri.

D. TUGAS BAB 4 Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.

1. )2(lim1

xx

2. xx

1lim

2 3. 2

1xxlim

4. 1

2lim

0

x

xx

5. xlim4x

6. 1x

1xlim

2

1x

Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada.

7. )20x(lim 2

5x

8. )1x3x(lim 2

2x

9.

3x

2xlim

0x

10. 4x

8x2xlim

2

2

2x

11.

1x

1xlim

1x

12.

8x

64xlim

3

6

2x

13. 1s

1slim

3

4

1s

14.

u1

1ulim

23

1u

15. 2

2

1x x1

3x2lim

16. 5x3

4xlim

2

2

2x

17. x

1x1lim

3

0x

2

2

1 1

1

1, 118. Diketahui:

2, 1

a. hitung lim dan lim

b. selidiki apakah lim ada, jika ada berapa nilainyax x

x

x xf x

x x x

f x f x

f x

36

BAB V

KONTINUITAS FUNGSI A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS

Pada materi kontinuitas fungsi ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang fungsi yang bersifat kontinu dan diskontinu.

B. URAIAN MATERI 5.1 KONTINUITAS FUNGSI Kadang-kadang nilai )(lim xf

cxsama dengan )(cf , kadang pula tidak sama.

Pada kenyataannya, meskipun )c(f tidak terdefinisikan, akan tetapi )(lim xf

cx mungkin ada.

Apabila )(lim xfcx

= )(cf maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu: 1. f(c) ada atau terdefinisikan 2. xf

cxlim ada

3. cfxfcx

lim

xfy

Gambar 5.1 Grafik untuk menjelaskan kontinuitas fungsi f(x)

Pada gambar di atas, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam ),( ba

kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f diskontinu di x2 karena )x(flim2xx

tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai )x(flim3xx

tidak sama dengan nilai

fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

a x1 x2 x3 x4 b

37

Contoh 5.1

Fungsi Heavyside H yang didefinisikan sebagai berikut.

0xjika1

0xjika0xH

Apakah fungsi ini kontinu di x = 0?

Penyelesaian: Syarat agar fungsi H(x) kontinu di x = 0, yaitu:

1. Jika x=0 maka H(0) = 1, nilai fungsi ada atau terdefinisikan 2. xH

x 0lim = 0, dan xH

x 0lim = 1,

limit fungsi H(x) tidak ada karena limit kiri ≠ limit kanan.

Ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi H(x) diskontinu di x = 0.

Contoh 5.2 Fungsi g didefinisikan dengan

2jika1

2jika2

42

x

xx

x

xg

Apakah fungsi tersebut kontinu di x = 2? Penyelesaian:

Fungsi kontinu jika memenuhi 3 syarat berikut. 1. Jika x=2 , maka g (2) = 1 � nilai fungsi ada

2. 42xlim2x

4xlimxglim

2x

2

2x2x

nilai limitnya ada yaitu 4

3. Nilai xglim2x

≠ g(2)

Karena ketiga syarat tidak terpenuhi maka fungsi g(x) tidak kontinyu di x = 2

Contoh 5.3

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 2

42

x

x di x = 2

Penyelesaian:

Diselidiki apakah tiga syarat fungsi kontinu dipenuhi f (x) = 2

42

x

x

1. f(2) = 0

0 suatu harga tak tentu. Jadi f(2) tidak ada

Karena syarat 1 tidak dipenuhi maka f(x) diskontinu di x = 2

38

Contoh 5.4

Selidiki kontinuitas fungsi f (x) = 1

12

2

x

x di x = 1

Penyelesaian:

f (1) = 1 1

1-12

2

=

11

1 -1

=

2

0 = 0 , ada

2.1→x

lim f(x) = 1→x

lim 1

1-2

2

x

x =

11

1 - 1

=

2

0 = 0 , ada

3.1→x

lim f(x) = f ( 1 ) = 0

Jadi f(x) kontinu di x = 1

Contoh 5.5

Diberikan .xxf 21 Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian: Jelas f tidak kontinu pada 1 , dan pada ,1 sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

afaxxxfaxaxax

222 11lim1limlim

Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan: 10lim

1

fxf

x dan 10lim

1fxf

x

sehingga f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada 1,1 .

C. RANGKUMAN

Ada tiga syarat agar fungsi f(x) kontinu di c, yaitu: 1. f(c) ada atau terdefinisikan 2. xf

cxlim ada

3. cfxfcx

lim

39

D. TUGAS SOAL BAB 5

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. x

3xh(x) 2. 3 2 1xf(x) 3.

1x

2xf(x)

3

4. 3s

2sf(s)

2 5.

2t

4th(t)

2

6.

1x,23x

3x1,5

3 x,13x

g(x)

2

7.

31x,3x

31x02x,

0xx,

f(x)2

8. Selidiki kontinuitas x1

1f(x)

pada 5]1,[

9.Jika

7x3,x15

3x0,2xf(x) 2 maka tunjukkan bahwa f kontinu pada [0,7] .

40

BAB VI

TRIGONOMETRI A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS

Pada materi trigonometri ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang fungsi trigonometri, aturan sinus, cosinus tangen, dan grafiknya juga mengenai kesamaan trigonometri.

B. URAIAN MATERI

6.1 FUNGSI TRIGONOMETRI Fungsi-fungsi trigonometri umum didefinisikan berdasarkan atas sudut

segitiga seperti gambar berikut.

miring

datar

tegak

Dalam kalkulus, sudut diukur dalam radian daripada dalam derajat dengan persamaan berikut.

0 = 0 radian

90 = /2 radian

180 = radian

270 = 3/2 radian

360 = 2 radian

Sifat Dasar Sinus dan Kosinus

a. sin(+2) = sin b. cos(+2) = cos c. sin(-) = -sin d. cos(-) = cos e. sin (/2 - ) = cos f. cos (/2 - ) = sin

2 radian = 360

1 radian = 2

3600

=

0180

sin = miring

tegak

cos = miring

datar

41

6.2 Aturan Kuadran Sinus, Kosinus, Tangen

Tabel Sudut Istimewa Sinus, Cosinus, dan Tangen

x Sin x Cos x Tan x 0

6

4

3

22

33

45

6

0

12

22

32

1

32

22

12

0

1

32

22

12

0

12

22

32

1

0

33

1

3

3

1

33

0

6.4 GRAFIK SINUS, KOSINUS, DAN TANGEN

Grafik Sinus

Fungsi y(x) = sin x Berulang setiap 360º atau 2. Nilai antara +1 dan -1. |sin x| ≤ 1

Kuadran I

Sin, cos, tgn,

Kuadran II

Hanya sin

Kuadran III

Hanya tan

Kuadran IV

Hanya cos

0

90

180

270

360

42

Grafik Cosinus

Fungsi y(x) = cos x Berulang setiap 360º atau 2 Nilai antara +1 dan -1. |cos x| ≤ 1 Terjadi pergeseran fase sebesar

90º dari fungsi y = sin x.

Grafik Tangen

Fungsi y(x) = tan x Berulang setiap 180º atau . Tidak dapat didefinisikan

pada x=90º, 270º, …

Contoh 6.1

1. y(x) = 3 sin x Berulang setiap 360º.

Nilainya sekarang antara +3 dan -3

2. y(x) = sin 3x Berulang setiap 120º. Frekuensinya menjadi 3 × lebih besar. Nilainya tetap antara +1 and -1.

43

6.4 Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

sin costan cot

cos sin

1 1sec csc

cos sin

x xx x

x x

x xx x

Contoh 6.2 :

1. Buktikan bahwa tangen adalah fungsi ganjil

Jawab :

sin sintan tan

cos cos

t tt t

t t

2. Periksa kebenaran kesamaan – kesamaan berikut :

2 2 2 21 tan sec 1 cot csct t t t

Jawab :

2 2 22 2

2 2 2

2 2 22 2

2 2 2

sin cos sin 11 tan 1 sec

cos cos cos

cos sin cos 11 cot 1 csc

sin sin sin

t t tt t

t t t

t t tt t

t t t

6.5 Kesamaan Trigonometri

Kesamaan ganjil - genap Kesamaan fungsi ko

sin sin sin cos2

cos cos cos sin2

tan tan tan cot2

x x x x

x x x x

x x x x

2 2

2 2

2 2

Kesamaan Phytagoras Kesamaan Penambahan

sin cos 1 sin sin cos cos sin

1 tan sec cos cos cos sin sin

tan tan1 cot csc tan

1 tan tan

x x x y x y x y

x x x y x y x y

x yx x x y

x y

2 2 2 2

Kesamaan sudut ganda

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin

x x x

x x x x x

44

2 2

Kesamaan setengah-sudut

1 cos 2 1 cos 2sin cos

2 2

x xx x

Kesamaan Hasil Kali

1sin sin cos cos

21

cos cos cos cos21

sin cos sin sin2

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

Kesamaan jumlah

sin sin 2sin cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y

x y x yx y

C. RANGKUMAN Sifat Dasar Sinus dan Kosinus

a. sin(+2) = sin b. cos(+2) = cos c. sin(-) = -sin d. cos(-) = cos e. sin (/2 - ) = cos f. cos (/2 - ) = sin

45

D. TUGAS BAB 6 1. Konversikan nilai sudut berikut ke dalam bentuk radian (gunakan dalam

jawaban anda) a. 240o c. -60o e. -135o b. 540o d. 22,5o f. 6o

2. Konversikan ukuran radian berikut a. 7/6 c. 8 b. -/3 d. /18

3. Buat grafik berikut pada selang [0,2] a. y = sin 2x b. y = 2 cos 2x c. y = tan (½ x)

4. Tentukan nilai dari :

1

01

7 1. cos . cos 3

6 2

sin 330 cos 45 1. . sin

tan 270 2

a c

b d

5. Periksa kebenaran kesamaan berikut :

22

2

sec 1. sin

sec. cos tan cot csc

1 cos. tan

sin cos sin

ta t

tb t t t t

tc t

t t t

46

BAB VII TURUNAN

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi turunan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang konsep turunan, lalu dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari seperti menghitung kecepatan dan percepatan benda.

B. URAIAN MATERI

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah :

'

0limh

f c h f cf c

h

Asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan (terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan, bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.

Contoh 7.1 :

1. Andaikan '13 6. cari 4f x x f

Jawab :

'

0

0

0 0

4 44 lim

13 4 6 13 4 6lim

13lim lim13 13

h

h

h h

f h ff

h

h

hh

h

2. Jika '1. carif x f x

x

Jawab :

'

0 0

0 0

20

1 1

lim lim

1 1lim . lim .

1 1lim

h h

h h

h

f x h f x x h xf xh h

x x h h

x h x h x h x x

x h x x

47

3. Cari nilai g’(x), jika 2

3g x

x

Jawab :

'

2

2 23 3lim lim

2 3 2 3 21 1lim . lim .

3 3 3 3

2 2lim

3 3 3

x c x c

x c x c

x c

g x g c x cg cx c x c

c x x c

x c x c x c x c

x c c

Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (didiferensiasi).

Aturan Contoh

1. Kaidah bilangan konstanta Jika y C , maka ' 0y . Jika y= 5, maka ' 0y .

2. Kaidah Pangkat Jika ny x , maka 1' ny n x . Jika 7y x , maka 6' 7y x .

3. Kaidah Perkalian dengan Konstanta Jika ( )y C f x , maka ' '( )y C f x .

Jika 27y x , maka 2 1' 7 2 14y x x .

4. Perkalian Dan Pembagian

' ' '

' ''

2

.f x u v f x u v uv

u u v uvf x f x

v v

-

5. Penjumlahan dan Pengurangan: Jika ( ) ( )y f x g x , maka ' '( ) '( )y f x g x

Jika 43 7y x x , maka 3' 12 7y x .

6. Eksponensial bilangan natural Jika xy e , maka ' xy e .

Jika 3 xy e , maka 3 xy e .

7. Jika xy a , maka lnxy a a . Jika 3x

y , maka 3 ln3xy

8. Jika lny x , maka 1'y

x .

Jika 3 lny x , maka

1 3

' 3yx x

9. Jika logay x , maka 1'

lny

x a .

Jika 4logy x , maka 1

'ln 4

yx

48

Contoh 7.1 :

55 4 3

4' 4 3 ' 3 2

42 33

' 1/2 3/2 1/2

1/2 1/2 3/2

3

1. 5 6 3. 2 1

5 20 5 2 1 . 6

22. 3 30 2 1

3 2

3 3

2 23 3 1

22

y x x y x

y x x y x x

y x x x xx

y x x x

x x x

xx x

2

1/2 2

' 1/2 '

' ' '

1/2 2 1/2

2

4. . 3 6

misal: u 3 6

16 6

2

maka

1. 3 6 6 6

21 1

3 6 6 62

y x x x

x x v x x

u x v x

y u v uv

x x x x x

x x xx x

32

32

2' ' 2

4 2

32 4 2' ''

2 232

25.

6 4

misal: 2 6 4

2 3 6 4 .12

36 36 48 16

2 6 4 2 .36 36 48 16

6 4

xy

x

u x v x

u v x x

x x x

x x x x xu v uvmaka y

vx

7.1 KECEPATAN DAN PERCEPATAN Sebuah objek bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Apabila s=f(t)

menyatakan posisi suatu obyek yang bergerak sebagai fungsi waktu, maka kecepatan ditentukan oleh persamaan v = f(t), sedangkan

percepatan objek tersebut diperoleh dari turunan kecepatan atau a = dt

dv .

Jadi a = v = s = f (t)

49

Contoh 7.2 Jarak yang ditempuh suatu gerakan partikel mempunyai persamaan: s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t. Penyelesaian : Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikel merupakan turunan kedua dari jarak. Dengan demikian maka Jarak partikel adalah s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Kecepatan partikel adalah v = s = 6 t2 – 8 t + 1 Percepatan partikel adalah a = v = s = 12 t - 8

C. RANGKUMAN

Di bawah ini adalah rumusan untuk turunan yaitu :

'

'

' 1

' 1

' ' '

' ''

2

0

.

n n

n n

f x k f x

f x kx f x x

f x x f x nx

f x kx f x knx

f x u v f x u v uv

u u v uvf x f x

v v

D. TUGAS BAB 7 1. Hitung Turunan (y’) dari :

a. 2

24

xy

x

e. y = (2x3 – 2x)(7x2 -

2

1x + 3)

b. y = 74

32

x

xx f. 21 2 2y x x x

c. y = (2 – x3)4 g. y= (2 – x3)4

d. y(x) = 1

1 2( ) x h. y = x 2 1

2. Jika f(x) = (x2 -1)2 ( x2 +1)2 tentukan f (x)

3. Jika f(x) = 1

22

3

x

xx tentukan f (x)

4. Posisi suatu gerakan partikel adalah : s = 2 sin 3t - 3 cos 2t. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.

50

BAB VIII PENGGUNAAN TURUNAN


Pada materi penggunaan turunan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang penggunaan turunan dalam mencari nilai maksimum dan minimum, kemonotanan dan kecekungan fungsi naik dan turun, dan juga dapat menyelesaikan masalah – masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari, seperti mencari luas maksimum suatu bidang.

B. URAIAN MATERI

8.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM Fungsi f(x) dikatakan naik di titik x = c, jika dapat ditunjukkan bilangan

positif kecil h sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik tertentu x1 < x2 yang terletak dalam interval (c-h, c+h) berlaku f(x1) < f(x2) .

Fungsi f(x) dikatakan turun di titik x = c, jika dapat ditunjukkan bilangan positif kecil h sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik tertentu x1 > x2 yang terletak dalam interval (c-h, c+h) berlaku f(x1) > f(x2) .

f(x1) < f(x2) f(x1) > f(x2) Definisi

Andaikan S adalah daerah asal atau domain f(x), dan memuat titik c. Kita katakan bahwa:

a. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika ( ) ( )f c f x untuk semua x dalam domain f .

b. f (c) adalah nilai minimum f pada S jika ( ) ( )f c f x untuk semua x dalam domain f .

c. f (c) adalah nilai ekstrim f(x) pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Keberadaan Maksimum-Minimum

Jika suatu fungsi f(x) kontinyu dalam suatu interval tertutup [a, b], maka fungis tersebut pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval [a, b].

51

Teorema Titik-Kritis Jika f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yaitu c berupa salah satu:

a. Titik ujung dari I b. Titik stasioner dari f , yaitu f’(c) = 0. c. Titik singular dari f ( f’ (c) tidak ada).

Contoh 8.1 Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada selang [-½ , 2] Penyelesaian: Titik kritis terjadi:

a. Titik-titik ujung adalah x= -½ dan x=2 b. Titik stasioner adalah f(x)=0

f(x) = -2x3 + 3x2

f(x) = -6x2 + 6x = 0 maka x=0 dan x=1

c. Tidak ada titik singular. Jadi titik-titik kritisnya adalah -½, 0, 1, 2

Nilai-Nilai Ekstrim (Maksimum dan Minimum) Jika f kontinyu pada [a, b], maka untuk mendapatkan titik absolut ekstrem (nilai maksimum dan minimum) f pada selang [a, b] Langkah 1 Cari semua nilai titik kritis pada selang [a, b]. Langkah2 Hitung f(x) pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai

maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh 8.2 Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi 3 2( ) 2 3 12f x x x x pada selang interval [-4. 2].

52

Penyelesaian: Langkah 1. Cari semua nilai-nilai kritis pada selang [a, b] Titik-titik kritis terjadi:

a. Titik-titik ujung adalah x = -4 dan x=2 b. Titik stasioner adalah f(x)=0

3 2

2

2

( ) 2 3 12

'( ) 6 6 12

6( 2)

6( 2)( 1)

f x x x x

f x x x

x x

x x

Apabila turunan pertamanya kita buat sama dengan nol atau f(x) = 0, maka kita dapatkan x = -2 dan x = 1. Oleh karena itu, f(x) mempunyai dua nilai kritis di x = -2 dan x = 1. Titik-titik kritisnya adalah -4, -2, 1, dan 2

Langkah 2. Hitung fungsi f(x) pada titik-titik kritis, yaitu ( 4)f , ( 2)f , (1)f , dan (2)f

X f(x) -4 -32

-2 20 1 -7 2 4

Dari tabel di atas, nilai hasil terbesar adalah 20 dan nilai hasil terkecil adalah -32. Nilai maksimum absolut dari fungsi pada selang interval [-4, 2] adalah ( 2) 20f , dan nilai minimum absolut fungsi pada selang interval [-4, 2] adalah ( 4) 32f .

(-2,20)

(‐4, ‐32)

53

MASALAH-MASALAH PRAKTIS Masalah praktis adalah masalah yang timbul dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 9.3 Seorang peternak mempunyai 100 meter kawat berduri yang akan digunakan untuk membuat pagar identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum?

y

Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang x, dapat kita lihat bahwa 0 ≤ x ≤ 100/3. Jadi masalahnya adalah memaksimumkan A pada [0, 100/3]. dA/dx = 50 – 3x = 0

x = 50/3.

8.3 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN FUNGSI NAIK / TURUN /KONSTAN PADA SELANG INTERVAL

Diberikan suatu fungsi, ( )f x , yang dapat didiferensiasikan dan kontinyu

pada interval terbuka ( , )a b 1. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada ( , )a b , maka ( )f x naik pada ( , )a b . 2. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x turun pada ( , )a b . 3. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x konstan pada ( , )a b .

Contoh 8.3 Jika f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, cari dimana fungsi f naik dan dimana turun.

Penyelesaian: Turunkan fungsi f(x).

Turunan fungsi f(x) adalah f (x) = 6x2 – 6x – 12 = 6 (x+1).(x-2) Cari dimana '( ) 0f x dan juga dimana '( ) 0f x . Untuk itu kita perlu

mencari batas dengan menjadikan turunan fungsi f (x) = 0. f (x)= 6x2 – 6x – 12 = 6 (x+1).(x-2) =0 Kita dapatkan bahwa jika '( ) 0f x maka nilai x = -1 dan x = 2. Kita gambarkan dalam grafik di bawah ini

x

Penyelesaian:

Andaikan x adalah lebar dan y adalah panjang seluruh keliling, keduanya dalam meter. Karena tersedia 100 meter kawat, maka kita dapatkan persamaan: 3x + 2y = 100 y = 50 – 3/2 x Luas total A = x.y = 50x – 3/2 x2

54

-1 0 2

Sekarang kita uji dimana daerah yang memenuhi syarat '( ) 0f x dan daerah yang memenuhi syarat '( ) 0f x . Dari grafik kita ambil nilai x = 0 untuk menguji daerah tersebut. a. Jika x = 0, maka f (0) = 6 (0+1).(0-2) = -12 f (0) < 0 (kurang dari nol),

maka selang tersebut kita beri tanda negatif. b. Jika x = 3, maka f (3) = 6 (3+1).(3-2) = 12 f (0) > 0 (lebih dari nol),

maka selang tersebut kita beri tanda positif. c. Jika x = -2, maka f (-2) = 6 (-2+1).(-2-2) = 24 f (0) > 0 (lebih dari nol),

maka selang tersebut kita beri tanda positif. -1 0 2

Jadi fungsi akan naik pada selang (-∞,-1] dan [2,∞), dan turun pada selang [-1,2].

8.3 TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN Jika suatu fungsi ( )f x dapat didiferensialkan selang interval terbuka ( , )a b , dan a. Jika turunan fungsi f(x) naik pada selang (a,b), maka ( )f x (dan

grafiknya) cekung ke atas di sana; b. Jika turunan fungsi f(x) turun pada selang (a,b), maka ( )f x cekung ke

bawah pada selang (a,b). Apabila f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka ( , )a b .

a. Jika ''( ) 0f x untuk semua x pada interval (a, b), maka f adalah cekung ke atas pada selang (a, b).

b. Jika ''( ) 0f x untuk semua x pada interval (a, b), maka f adalah cekung ke bawah pada (a, b).

c. Jika ''( ) 0f x atau ''( )f x tidak ada, titik balik terjadi pada , ( )x f x memberikan ( )f x perubahan kecekungan dan garis tangent ada pada , ( )x f x .

Contoh 8.4 Dimana f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah.

Penyelesaian: Turunan pertama fungsi:

f (x) = 6x2 – 6x – 12

+ + + + | ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐

55

Fungsi akan naik pada selang (-∞,-1] dan [2,∞), dan turun pada selang [-1,2] (lihat penyelesaian contoh 9.3).

Turunan kedua fungsi: f (x) = 12x – 6

Jika f (x) = 12x – 6 = 0, maka kita dapatkan nilai x = ½ Sekarang kita uji dimana daerah yang memenuhi syarat f (x) >0 dan daerah yang memenuhi syarat f (x) < 0.

Uji dengan x = 0 Jika x = 0, maka f (0) = 12.0 - 6 = - 6 f (0) < 0 (kurang dari nol), maka f

cekung ke bawah. Jika x = 1, maka f (1) = 12.1 - 6 = 6 f (0) > 0 (lebih dari nol), maka f

cekung ke atas. 0 1/2

Jadi fungsi akan cekung ke bawah pada selang (-∞,1/2], dan fungsi akan cekung ke atas pada selang [1/2,∞).

C. RANGKUMAN

Jika suatu fungsi f(x) kontinyu dalam suatu interval tertutup [a, b], maka fungsi tersebut pasti mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval [a, b]. Diberikan suatu fungsi, ( )f x , yang dapat didiferensiasikan dan kontinyu pada interval terbuka ( , )a b 1. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada ( , )a b , maka ( )f x naik pada ( , )a b . 2. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x turun pada ( , )a b . 3. Jika '( ) 0f x untuk semua x pada, maka ( )f x konstan pada ( , )a b .

‐ ‐ ‐ ‐ ‐ | + + +

56

D. TUGAS BAB 8 1. Carilah titik-titik kritis dan nilai maksimum dan minimum dari fungsi

a. f(x) = -x2 + 4x -1 pada selang [0 , 3] b. f(x) = x2 + 3x pada selang [-2 , 1] c. f(x) = x3 - 3x +1 pada selang [-3/2 , 3]

d. f(x) = 21

1

x pada I = [-2,1]

e. 33 9 2f x x x pada 2,2

2. Jumlah dua buah bilangan adalah 30. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kalinya maksimum.

5. Dengan mengambil tembok sebagai salah satu sisi, akan dibuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dari pagar kawat sepanjang 30 m. Tentukan ukuran kandang agar luas kandang maksimal.

6. Suatu persegipanjang mempunyai luas 900 cm2. Tentukan ukuran persegipanjang agar kelilingnya minimum.

7. Dimana f(x) = 3

1 x3 – x2 – 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke

bawah. 8. Dimana f(x) = x3 – 3x2 – 1 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah. 9. Dimana f(x) = x3 – 12x naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke bawah.

57

1/2

11

2

3/2

53 2

3 2

53 2 5

5

6 6

63

. 2 2

. 4 4

14

1 122

43

. 6 6 12

misal 6 3 6

6 6 12 2

2

2 26 3

62

3

a dx x C

b x dx x dx

x C

x C

c x x x dx

u x x du x dx

x x x dx u du

u du

u uC C

x xC

BAB IX INTEGRAL

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi integral ini mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang konsep integral, mampu menyelesaikan persoalan integral baik itu integral tak tentu maupun integral tentu.

B. URAIAN MATERI

Pada bab sebelumnya telah dikaji tentang pendiferensialan (penurunan), maka kebalikannya yaitu anti pendiferensialan (anti penurunan), atau biasa disebut dengan istilah integral. Penulisan integral yang lebih mudah diingat adalah penulisan Leibniz yaitu menggunakan lambang .... dx. Dibawah ini adalah beberapa rumusan

integral dengan C adalah konstanta, yaitu :

1

1

'

.

1.

1

.1

n n

rn

a k dx kx C

b x dx x Cn

g xc g x g x dx C

r

Contoh 9.1 :

58

2

2

2 2 1/ 2

1/ 2 3/ 2

. 1 ;

misalkan 1

2

11 2 ( 1)

21 1 2

2 2 3

d x x dx

u x

du x dx

x x dx x x dx

u du u C

Contoh 9.2

1. Cxxdxx

6155

6

1

15

1

2. .dx = x½.dx = 3

2

3

23

23 xx

/

+ C

3. 13x

.dx = x-3. dx = 213

1 213

x

x = - 1

2 2x + C

4. 2m2.dm = 3

2

12

2 312 m

m

+ C

5. 5 .d = 3

10

1

55

31

21

21

21

+C

6. 1

.d = -½.d = θ

θ2

21

21

/

/

+C

7. 3

2

2

1 2

3 3

xdx

x

Jawab :

3 32 2

32

32

52

52

2 2

2

( 1)2 1

32

1

1 2 1 2

3 3 3 3

1 2

3 3

1 1 2 1

3 2 1 3 1

1 2 2

3 3 5

1 4

3 15

x xdx dx dx

x x

x dx x dx

x x C

x x C

xC

x

8. 32 5xe dx

x

Jawab :

3 1

2 5 3 2 5

3ln | | 2 5

x x

x

e dx dx e dx dxx x

x e x C

9. culnu

du

59

9.1 INTEGRAL TENTU Misal f(x) kontinu pada ,a b dan f(x) adalah anti turunan dari f(x). Maka

b

a

f x dx F b F a , a merupakan batas bawah dan b adalah batas atas

pengintegralan. Dibawah ini adalah sifat – sifat yang berkaitan dengan integral tentu yaitu :

1. (sifat linier)

2.

b b b

a a a

c b c

a a b

pf x qg x dx p f x dx q g x dx

f x dx f x dx f x dx

Contoh 9.3 :

1. Hitung 3

2

3x dx

Jawab :

332

22

2 2

13 3

2

1 13 3 3 2 3 2

2 2

27 8 35

2 2 2

x dx x x

2. Hitung 4

2

0

2 1x x x dx

Jawab :

2

2 1/2

3/23/2 2

443/22 2

00

3/2

3/2

andaikan 2 1

2 1

2 2

3 3

22 1

3

220 0

3

220 59,63

3

u x x du x dx

x x x dx u du

u C x x C

x x x dx x x C

C C

60

C. RANGKUMAN RUMUS UMUM INTEGRAL

1. k dx kx C

2. ( ) ( )k f x dx k f x dx

3. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

4. 1 1ln | |x dx dx x C

x

5. x xe dx e C

D. TUGAS BAB 9

1. (3x2 + 7x).dx 2. ( + + + 4x3)dx 3. dxxxx )()( 1266 253

4. dxxx .)( 102 4

5. dxxx

.)( 222

32

6. Tentukan nilai Integral dari fungsi berikut

a. f(x) = (x2+3x)15 (8x+12) c.

3

1

2 )323( dxxx

b.

2

3

3 )32( dxx d. f(x) = 3

4

x –

5

3

x

61

a b

R

y=f(x)

BAB X PENGGUNAAN INTEGRAL


Pada materi penggunaan integral ini mahasiswa diharapkan mampu menggunakan konsep perhitungan integral dalam kehidupan sehari – hari seperti menghitung luas bidang.

B. URAIAN MATERI

10.1 Luas daerah Bidang Rata Daerah Di atas Sumbu X. Andaikan y = f(x) menentukan persamaan sebuah kurva pada bidang xy dan andaikan f kontinu dan tak negatif pada selang (interval) a ≤ x ≤ b. Lihat gambar disamping, tinjaulah daerah R yang dibatasi oleh grafik – grafik dari y = f(x), x = a, x=b dan y=0. Kita mengacu R sebagai daerah di bawah y = f(x) antara x = a

dan x = b. Maka luasnya A (R) ditentukan oleh : b

a

A R f x dx

Contoh 10. 1 :

Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = 2x3 – x2 + 6x + 5, antara x = 0, dan x = 2

Jawab :

Kurva persamaan y = 2x3 – x2 + 6x + 5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3

y

x

R

62

a b

R

y=f(x)

23 2

0

24 3 2

0

4 3 2

2 6 5

1 13 5

2 3

1 12 2 3 2 5 2 0

2 3

8 11218 12 10

3 3

A R x x x dx

x x x x

Jadi luasnya adalah 112/3

Daerah Di Bawah Sumbu X.

Luas dinyatakan oleh bilangan yang tak negatif. Apabila grafik y = f(x) terletak di bawah sumbu x, maka

b

a

f x dx adalah bilangan yang

negatif. Sehingga tak dapat melukiskan suatu luas. Akan tetapi bilangan itu adalah negatif untuk luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x), x = a, x = b dan y = 0.

Contoh 10.2 :

1. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = (x2/3) – 4, sumbu x, x = -2 dan x = 3

Jawab :

Kurva persamaan y = (x2/3) – 4

R

63

3 32 2

2 2

33

2

4 43 3

27 84 12 8

9 9 9

145

9

x xA R dx dx

xx

2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh y = x3 – 3x2 – x + 3, ruas sumbu antara x = 1 dan x = 2 dan oleh garis x = 2

Jawab :

Kurva persamaan y = x3 – 3x2 – x + 3

Pada kurva diatas terlihat bahwa sebagian di atas sumbu x dan sebagiannya lagi di bawah sumbu x, Luas masing – masing bagian ini harus dihitung secara terpisah, yaitu :

1 2

3 2 3 2

1 1

1 24 2 4 23 3

1 1

3 3 3 3

3 34 2 4 2

7 234

4 4

A R x x x dx x x x dx

x x x xx x x x

R

R

64

C. RANGKUMAN

Apabila grafik y = f(x) terletak di bawah sumbu x, maka b

a

f x dx adalah

bilangan yang negatif. Begitu juga sebaliknya apabila grafik y = f(x) terletak di

bawah sumbu x, maka b

a

f x dx adalah bilangan yang positif.

D. TUGAS BAB 10 :

Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang persamaannya diketahui dan hitunglah luas daerahnya.

2

2

3

2

4 4

1. 4 , 0, 0, 3

31

. 10 , 0, 2, 32

. , 0, 1, 8

. 2, 0

. , 2

a y x y x x

b y x y x x

c y x y x x

d x y y x

e x y x y

65

BAB XI DERET BILANGAN DAN JUMLAH

A. TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS Pada materi deret bilangan dan jumlah ini mahasiswa diharapkan mampu mengetahui sifat suatu deret, mahasiswa juga mampu menuliskan beberapa jumlah sigma dan melakukan perhitungannya.

B. URAIAN MATERI

Konvergen atau divergen suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di bawah ini yaitu : 1. Tes Jumlah 4. Tes Integral 2. Tes Banding 5. Tes Akar 3. Tes Rasio 1. Tes Jumlah - Konvergen jika lim nn

S ada

- Divergen jika lim nn

S

Contoh 11.1 : 1. Deret Tak Hingga : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) Maka : Un = 2n – 1, U1 = 1

1

2

1

21 1

2 1 1 22 2

n nS n u u

n n n n n

2lim limnn n

S n

Karena nilai limitnya tak hingga maka deret ini adalah divergen.

2. Deret Tak Hingga : 1

1 1 11 ... (deret geometri)

2 4 2n

Maka :

11

1

1

2 11

12

n nn

uu S

r

u r

1 1

lim lim 21 1

1 22

nn n

S

Karena nilai limit tak hingganya ada yaitu 2, maka deret ini konvergen. 2. Tes Banding

konvergen

divergenn n

n n

V u

V u

66

Contoh 11.2 :

1. Deret Tak Hingga : 1 1 1 1

...1 2 3 n

1 1

ambil pembanding n nV unn

1 2 3 Vn 1

1

1

2

1

3

un 1 1/2 1/3 Dilihat dari tabel diatas bahwa n nV u , maka deret tersebut adalah konvergen.

2. Deret Tak Hingga : 4

1

1nVn

Maka : 4 2

1 1, (pembanding)

1n nV un n

1 2 Vn 1

2

1

17

un 1 1/4

Dilihat dari tabel diatas bahwa n nV u , maka deret tersebut adalah konvergen.

3. Tes Rasio

11. lim 1 konvergen

12. lim 1 divergen

13. lim 1 pake cara lain

n

nn

n

nn

n

nn

u

u

u

u

u

u

Contoh 11.3 :

1. Deret Tak Hingga : 1 1 1 1

...2 4 8 2n

Maka : 1

1 1,

2 2n nnu u

1

1

1 12 2lim 11 12 2

nn

xn

u

u n

67

Karena setelah dicari deret bernilai 1 maka, deret diatas tidak bisa menggunakan tes rasio, tetapi menggunakan cara lainnya.

2. Deret Tak Hingga : 1 2 3

...3 9 27 3n

n

Maka : 1 1

1,

3 3n nn n

n nu u

1

1 1

11 1 3 1 33lim . .

3 3 .33

1 1 1 1 1 1 1lim . lim . lim

3 3 3 3

n nnn

n nnn

n

n n n

nu n n

nu n n

n n n

n n n

Nilai deret tersebut adalah 1/3, artinya deret tersebet bersifat konvergen

4. Tes Integral

Konvergen adan

c

f x dx

Divergen n

c

f x dx

Contoh 11.4 :

1

1 11.

1ln ln ln 1

n

n

c

u f xn x

dx xx

Karena nilainya tak hingga maka deret ini bersifat divergen

2 2

2 12

11 1

1 12.

1 1 1

1

1 1

1

0 1 1

nu f xn x

dx x dx xx x

Karena nilai deret tersebut 1, maka sifatnya konvergen 5. Tes Akar

lim nnn

u

L < 1 maka konvergen

L = 1 pakai cara lain L > 1 divergen

68

Contoh 11.5 :

11.

1 1 1lim lim 0 1 (bersifat konvergen)

n n

nnn n

un

n n

12.

ln

1 1 1lim lim 0 1 (bersifat konvergen)

lnln

n n

n nn n

un

nn

Penulisan Jumlah dan Sigma Perhatikan Jumlah : 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + 1002 dan a1 + a2 + a3 + a 4 + . . . + 1002

untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak, kita

tuliskan yang pertama sebagai 100

2

1i

i dan yang kedua yaitu

1

n

ii

a

kelinearan . Andaikan ia dan ib menyatakan dua barisan dan c suatu

konstanta, maka :

1 1

1 1 1

1 1 1

1.

2.

3.

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

n n n

i i i ii i i

ca c a

a b a b

a b a b

Contoh 11.6 :

1. Andaikan bahwa 100

1

60ii

a

dan 100

1

11ii

b

. Hitung 100

1

2 3 4i ii

a b

Jawab :

100 100 100 100

1 1 1 1

100 100 100

1 1 1

2 3 4 2 3 4

2 3 4

2 60 3 11 100 4

487

i i i ii i i i

i ii i i

a b a b

a b

69

2. Sederhanakanlah 11

n

i ii

a a

Jawab :

1 2 1 3 2 11

0 1 1 2 2 3 1

0

...

...

n

i i i o n ni

n n

n

n o

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a

a a

Beberapa Jumlah Khusus

1

2 2 2 2 2

1

11. 1 2 3 ...

2

1 2 12. 1 2 3 ...

6

n

i

n

i

n ni n

n n ni n

2

3 3 3 3 3

1

3 2

4 4 4 4 4

1

13. 1 2 3 ...

2

1 6 9 14. 1 2 3 ...

30

n

i

n

i

n ni n

n n n n ni n

Contoh 11.7 :

10 10 102 4

1 1 1

10

1

102

1

10 104 4 4

1 1

1. Hitung : a. , b. , c.

jawab:

10 10 1a. 55

2

10 10 1 20 1. 385

6

10 11 6000 900 10 1. 1 1

30

25.332

i i i

i

i

i i

i i i

i

b i

c i i

2. Hitung 10

1

2 5i

i i

Jawab :

10 10 10 102 2

1 1 1 1

2 5 2 10 2 10

2 285 10 55 220i i i i

i i i i i i

70

3. Cari suatu rumus untuk 1

2 5n

j

j j

Jawab :

2

1 1

2

1 1 1

2

2

2 5 3 10

3 10

1 2 1 13 10

6 2

2 3 1 9 9 606

3 34

3

n n

j j

n n n

j j j

j j j j

j j

n n n n nn

nn n n

n n n

C. RANGKUMAN

Kekonvergenan atau divergennya suatu deret tak hingga dapat diperiksa melalui 5 tes di bawah ini yaitu : Tes Jumlah, Tes Integral, Tes Banding, Tes Akar, Tes Rasio

Beberapa Jumlah Khusus

1

2 2 2 2 2

1

11. 1 2 3 ...

2

1 2 12. 1 2 3 ...

6

n

i

n

i

n ni n

n n ni n

2

3 3 3 3 3

1

3 2

4 4 4 4 4

1

13. 1 2 3 ...

2

1 6 9 14. 1 2 3 ...

30

n

i

n

i

n ni n

n n n n ni n

71

D. TUGAS BAB 11: 1. Tentukan sifat deret dibawah ini :

1 1 1. 1 ....

2 8 21 1 1 1

. ...4 5 6

na

bn

2. Cari nilai sigma berikut ini :

5 10 10 10

1 11 1 1 1

20 10 10 102

1 11 1 1 1

10

1

. 3 1 . 4 7 23 dan 44

1. 1 . 3 2 35 dan 17

2

2.

1

i ik i i i

i ij j j j

i

a k d a b dengan a b

b j e a b dengan a b

ci

72

DAFTAR PUSTAKA

1. Edwin J.Purcell Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga 1989

2. Wikaria Gazali soedadyatmodjo, kalkulus, Graha Ilmu 2005

bahan ajar kalkulus

Documents