Bahan Kuliah

KALKULUS II

DOSEN

M. SOENARTO

PENDIDIKAN FISIKAJURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

JAKARTA 1213

1

INTEGRAL TAK TENTU

Lawan turunan dan integral tak tentu

Dalam bab terdahulu permasalahan yang dihadapai : diberikan satu F(x), diminta menentukan turunannya, yaitu f(x) = F’(x).Dalam bab ini kita akan menghadapi persoalan sebaliknya. Diberikan f(x), hendak dicari satu fungsi F(x) sedemikian rupa sehingga turunannya sama dengan f(x), yaitu

F’(x) = f(x)

Jadi

Definisi 1. Fungsi F(x) disebut lawan turunan dari fungsi f(x) dalam interval [a,b] apabila semua titik dalam interval ini dipenuhi kesamaan F’(x) = f(x).

Contoh. Cari lawan turunan . Dari definisi diatas adalah salah satu

anti turunan dari karena .

Mudah dapat dilihat bahwa untuk satu f(x) tersedia satu lawan turunan, kemudian lawan turunan ini tidak hanya satu. Dari contoh diatas kita dapat mengambil fungsi-fungsi

sebagai lawan turunan, atau secara umum

(dimana C adalah adalah satu bilang konstanta sembarang), karena

Dilain fihak, dapat dibuktikan bahwa fungsi dalam bentuk mengandung semua

lawan turunan dari fungsi Definisi 2. Apabila adalah satu lawan turunan dari f(x), maka pernyataan adalah integral tak tentu dari f(x) dan ditulis dengan simbol : bila

Disini : f(x) disebut integrand, f(x)dx adalah elemen integrasi

tanda integralC sembarang bilangan konstanta.

Dari contoh diatas : dapat ditulis

Proses untuk mendapatkan integral tak tentu ini disebut integrasi.Jadi, satu integral tak tentu adalah satu keluarga dari fungsi-fungsi

Aturan dasar pengintegrasian

2

Perhatikan :

1. + C

Contoh : Hitung

2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.

=

=

8.

9.

10. =

11.

12.

13.

14.

3

15.

16.

17.

18.

19. =

20.

Aturan operasi

1. Contoh : Hitung

. Sesuai dengan aturan 4 dan 5 :

=

2. k = konstantaContoh : Hitung

a.

b.

Operasi dengan subsitusi

Contoh : Hitung

a. . Misalkan

Subsitusi menghasilkan :

4

b. Misalkan

Subsitusi menghasilkan :

c. Misalkan

Subsitusi menghasilkan :

d.

Integration by part

Contoh : Hitunga. Misalkan

=

=

=

b. Misalkan

=

c. Misalkan

=

d. . Misalkan

v =

= uv -

e. . Misalkan u = arctan x dan dv = dx

5

f. . Misalkan

= . Lanjutkan dengan integration by part lagi.

g. Misalkan

=

=

Integrasi fungsi yang mengandung quadratic trinomial

=

=

Contoh :

Ambil t = x+2 dt = dx . Subsitusi menghasilkan :

Integrasi fungsi pecahan

Improper fraction artinya drajat Q(x) > f(x). Contoh :

Proper fraction drajat Q(x) < f(x). Contoh :

. Bentuk-bentuk proper fraction :

6

I.

II , positif integer

III

IV positif integer

Contoh :

I.

II.

III.

=

IV.

=

. Misalkan Subsitusi memberikan :

7

dalam hal ini

=

=

Misalkan :

Integral dapat diselesaikan sebagai berikut :

= =

Dengan integration by parts :

Ambil contoh = =

=

Misalkan

= = =

=

= =

=

=

8

V. , misalnya

bisa ditulis sebagai product fungsi linear.

dimana untuk . Dalam hal ini kita dapat menulis :

dimana adalah konstanta yang kemudian bisa dihitung.

Kasus 1. Soal ,

= =

=

Jadi :

Dari = diperoleh untuk : atau

atau atau

= dengan mudah dapat

diselesaikan.Kasus 2.

Dalam hal ini dua atau lebih sama.Berikut ini contoh-contoh yang termasuk kasus 2 ini.

(1). =

(2). =

(3).

Contoh. Tulislah ( 3) sebagai bagian pecahan dan carilah

lawan turunannya.Penyelesaian.

9

= =

Penyebut jumlah pecahan ini adalah sehingga diperoleh

=

Dari , diperolehuntuk untuk

untuk

Kasus 3. dalam perkalian fingsi linear dan fungsi kuadrat yang tidak memiliki akar-akar bilangan nyata.

Dalam kasus ini kita tulis :

Contoh. Tulislah sebagai penjumlahan bagian pechan dan

carilah lawan turunannya.Penyelesaian.

= . Penyebut pecahan ini , sehingga

Untuk atau Untuk atau Untuk 2B

Soal-soal :

1.

2. . Ambil u = du = 2xdx, sehingga soal menjadi :

.=

3. . Karena ini improper fraction maka x3 dibagi dulu dengan x-1

10

, sehingga soal menjadi :

=

4. . Ambil u = 5x du = 5dx sehingga soal menjadi :

= =

5. . Ambil u = du = , sehingga soal menjadi :

= u

6. Ambil u = 3x du = 3dx

=

7. . Ambil u = 1 – 2x, du = -2dx I =

8. . Ambil u = 4x – 1

9.

10.

11. . Ambil =

Subsitusi menghasilkan : = =

Integrasi fungsi goneometry class tertentu

Subsitusi yang dapat digunakan :

x = 2 arc tan t dx /dt = dx =

sin x = = = =

cos x =

11

=

Catatan :1. Untuk bentuk soal gunakan subsitusi sin x = t

2. Untuk bentuk soal gunakan subsitusi cos x = t

3. Untuk bentuk soal gunakan subsitusi tan x = t x = arc tan t dx = dt/(1 + t2)

4. Kalau R(sin x, cos x) dimana sin x dan cos x berpangkat genap maka gunakan subsitusi tan x = t dx = dt/(1 + t2)

Contoh 1 :

. Bentuk ini bisa dimasukkan dalam bentuk

. Subsitusi cos x = z dz/dx = -sin x

sin x = -dz. Subsitusi menghasilkan :

. Karena improper integral =

Contoh 2 :

. Digunakan subsitusi

Sin x = t dt/dx = cos x cos x dx = dt. Subsitusi menghasilkan :

Contoh 3 :

Contoh 4 :

12

Ambil

Soal latihan :

?

Ambil t = 3y dy = 1/3 dt. Substusi menghasilkan ;

= ?

. Ambil tan = t d = . Subsitusi

menghasilkan :

=

= ?

Ambil t = dx =

= ?

. Untuk integrasi pertama ambil 4S = t ds = ¼ dt dan untuk

integrasi kedua ambil S/4 = r ds = 4 dr. Subsitusi menghasilkan :

1/4 dt - = -1/4ln|cost|-4ln|sint| + C = -1/4 ln |cos4S|-4ln|sins/4| + C

= ?

Ambil sinx = t dt/dx = cosx dx = dt/cos x. Subsitusi menghasilkan

=

INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah sebuah konsep dasar analisa matematis dan adalah satu alat penelitian yang sangat berguna dalam matematika, fisika, dan disiplin ilmu yang lain.

13

Menghitung luas yang dibatasi oleh kurva, panjang lengkungan, volume, usaha, momen inersia, dan sebagainya.Apa yang dimaksudkan dengan luas suatu bidang? Apabila daerahnya dibatasi oleh garis lurus, adalah mudah dihitung dengan membaginya kedalam bentuk segi empat dan segitiga-segitiga separti pada gambar.

Untuk luas segi empat dengan panjang a dan lebar b, luas adalah

Untuk luas segitiga dengan alas b dan tinggi h luas adalah dan

seterusnya.Menghitung luas menjadi rumit apabila daerahnya dibatasi oleh garis lengkung seperti pada gambar berikut :

Dalam bagian ini kita akan mengetahui bahwa luas daerah dalam satu bidang dapat ditunjukkan sebagai limit sebuah deret.

Misalnya sebuah fungsi yang continous dalam interval [a, b]. Tujuan kita adalah mendifiniskan integral tertentu.Bagi interval [a, b] ini kedalam subinterval kedalam n bagian yang sama

. Karena masing-masing subinterval mempunyaai lebar , maka

........,

Sesuai dengan didapat ......... yang membentuk penjumlahan (Gambar).

14

..............

[ ...........+ ]

Sekarang, kalau maka akan mencapai harga luas A yang sebenarnya.Limit A merupakan integral tertentu dari sepanjang [a, b] dan ditulis dengan simbol

yaitu =

Bilangan disebut batas bawah dan batas atas integrasi.

Secara umum integral tertentu adalah sebuah bilangan positif, negatif atau

nol. Dengan demikian, bila pada [a, b] maka integral tetentu

merupakan luas dari daerah R yang dibatasi oleh kurva , sumbu x dan garis x = a dan x = b.

Ada kesamaan antara dengan simbol lawan turunan, dan hubungan istimewa

ini dinyatakan dalam teori dasar dari Kalkulus.

Contoh 1. Minta dievaluasi

Karena dalam interval [0, 2], integral tertentu akan menghasilkan luas daerah R yang dibatasi oleh sumbu x, x = 0, dan x = 2.

15

Untuk mendapatkan integral tertentu (A(R)) kita akan menghitung .

Langkah ke 1. Bagilah interval [0, 2] kedalam n bagian. Disii masing-masing subinterval

mempunyai panjang .

Langkah ke 2. Titik-titik subbagian adalah :

Langkah ke 3. Hitung :

] =

Tetapi =

= [ ] =

Langkah ke 4. = = =

Jadi luas daerah R pada gambar =

Contoh 2. Hitung integral tertentu dan jelaskan apa arti bilangan yang

diperoleh.Penyelesaian daerah yang dibatasi oleh sumbu x, x=1, x=5 terlihat pada gambar.

16

Langkah ke 1. Bagi interval [1, 5] kedalam n bagian yang sama. Disini jarak masing-masing subinterval adalah :

=

Langkah ke 2. Titik-titik bagian tersebut adalah :

Langkah ke 3. Hitung

=

=

Tetapi = , sehingga diperoleh :

Langkah ke 4

= =

Karena jawaban adalah negatif jelas tidak menyatakan luas. Dari gambar terlihat dan merupakan dua segitiga dengan :

Luas = =

Luas = .

17

Daerah diatas sumbu x, dan daerah dibawah sumbu x. Dalam hal ini

Luas - luas =

Ini adalah hanya bilangan yang didapat dari integral tertentu. Jadi kesimpulan kita bahwa integral tertentu menghitung luas dibawah sumbu x dengan tanda negatif.Bila diminta menentukan luas maka dikatakan luas geometrik, atau luas sesungguhnya, atau hanya luas saja. Maka jawabannya adalah :

THEORI DASAR KALKULUS

Jelas, evaluasi sebuah integral tertentu dengan cara yang dijelaskan diatas memakan waktu dan membosankan. Untung tersedia satu teknik yang dapat membantu yang diberikan dalam teori dasar Kakulus, yang menghubungkan integral tertentu terhadap lawan turunan untuk suatu fungsi.Ambil suatu fungsi f continous dan nonnegative pada interval [a, b], Luas daerah dibawah curva dari x=a dan x=b didapat dengan

dimana F adalah salah satu integral dari f. Illustrasi luas daerah seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Luas =

Contoh 1. Hitung luas daerah dibawah kurva

Luas = = = =

PERLUASAN TENTANG INTEGRAL

18

Seluruh penetapan integral yang diperhatikan sebelumnya semua mwmpunyai bentuk

dimana dianggap bahwa fungsi f(x) adalah continous dalam batasan interval tertutup [a, b]. Sekarang kita akan mengendurkan anggapan tersebut untuk memperluas golongan fungsi untuk keprluan menghitung integral tertentu.

Bagian yang sempurna fungsi-fungsi continous

Kita tahu bahwa bila f adalah fungsi nonnegative continous ditetapkan [a, b], maka

integral menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu x,

garis-garis x=a dan x=b. Kita sekarang memperluas golongan dari fungsi-fungsi supaya dapat menghitung luas bidang dibawah kurva untuk mengikut sertakan fungsi-fungsi yang grafiknya terdiri dari bagian continous pada [a, b] (lihat Gambar).

Ketentuan 1. Dikatakan satu fungsi f adalah bagian yang sempurna (piecewise) continous pada domainnya bila :1, Fungsi tersebut pada sebagian besar titik-titik bilangan batasnya discontinuity ada dalam domainnya.

2. Pada setiap titik c dari discontinuity keduanya dan ada.

Soal. Yang mana dari fungsi-fungsi berikut adalah bagian yang sempurna.

(a). (b).

(c). (d).

(e).

IMPROPER INTEGRAL (INTEGRAL TAK WAJAR)

Integral dengan limit tak terbatasAmbil fungsi f(x) yand ditetapkan continous untuk semua harga x sedemikian rupa sehingga .

19

Perhatikan

Integral ini berarti untuk tiap harga Integral tersebut berubah rubah berasama denganperubahan harga b. Mari kita perhatikan sifat integral ini bila seperti gambar berikut.

Ketentuan : apabila ada batas limit

maka limit ini disebut integral tak sebenarnya dari fungsi f(x) dalam interval dan dituliskan

Jadi berdasarkan ketentuan, kita tulis

=

Dalam kasus tersebut dikatakan bahwa integral taksebenarnya ada atau

converges. Apabila dimana untuk tidak mempunyai batas limit,

dikatakan bahwa tidak ada atau diverges.

Ini mudah dilihat secara geometris pengertian.Secar sama dapat ditetapkan

=

Contoh 1. Minta dinilai integral

Penyelesaian . Dari definisi dapat ditulis

20

= = =

Integral ini menggambarkan bidang yang diarsir seperti gambar diatas ini.Contoh 2. Carilah pada harga berapa integral

converges dan pada harga berapa diverges.Penyelesaian. Bila

= =

=

Oleh sebab itu,

bila maka = = dan integral converges; bila maka

= dan integral diverges.

Ketika = , integral diverges

21

Canto 3. Diminta menilai

Penyelesaian :

+ . Dari contoh 1, =

= =

.

Karena itu = + =

Dalam banyak kasus adalah cukup untuk menentukan apakah integral yang diberikan converges atau diverges, dan menentukan nilainya. Teori berikut, diberikan tanpa bukti, sangat berguna dalam hal ini. Kita akan menunjukkan pemakaiannya dalam beberapa kasus.Theori 1. Bila untuk semua ketidak samaan dipenuhi dan bila

converges, kemudian juga converges, dan

Contoh 4. Teliti convergensi integral

Penyelesaian. Dapat dicatat bahwa bila

22

Dan , convergens

Dengan sendirinya convergens dengan nilai kurang 1.

Theori 2.Bila untuk semua ketidak samaan dipenuhi dan

diverges, maka integral juga diverges.

Contoh 5. Cari apakah integral berikut converges.

Penyelesaian. Dapat dicata bahwa

, diverges

Dengan sendirinya integral diverges.

Kedua kasus tersebut membicarakan integral tak sebenarnya untuk fungsi non negatif. Dalam kasus yang berubah tanda dalam satu interval tak batas kita mempunyai teri berikut.

Teori 3. Bila integral converges, maka integral juga converges.

Dalam kasus ini, integral terakhir convergent integral mutlak.Contoh 6. Teliti convergency integral

Disini Tetapi .

Karena itu integral converges.

Integral fungsi discontinous

Ambil fungsi ditetapkan dan continous pada dan untuk fungsi tersebut tidak ditetapkan atau kita katakan itu discontinuous. Dalam hal ini, satu hal tidak dapat

dikatakan integral sebagai limit dari penjumlahan integral, sebab tidak

continous dalam interval [a, c], dan dengan alasan ini limitnya mungkin jadi tidak ada.

Integral dari discontinous di titik c ditetapkan sebagai berikut :

=

Apabila limit ini ada integral ini disebut convergent tak wajar, sebaliknya adalah divergent tak wajar.Apabila fungsi f(x) discontinue dibatas kiri dari interval [a, c] yaitu untuk x=a sesuai ketentuan ditulis :

23

=

Arabia fungi f(x) discontinue panda sate titan dalai interval [a, c] kite tulips:

= +

bila kedua integral tak wajar disisi kanan persamaan ada.Contoh 7. Minta menilai

Penyelesaian :

= = =

Contoh 8. Minta menilai

Penyelesaian :Karena diantara interval integrasi terdapat titik x=0 , dimana pengintegrasian adalah discontinue maka integral harus diwakilakan sebagai penjumlahan dua integral

= +

Masing-masing limit dihitung secara terpisah :

= =

Jadi integral diverges dalam interval [-1, 0]

=

Ini berarti integral juga diverges dalam interval [0, 1]. Disini integral yang ditanyakan adalah diverges dalam interval [-1, 1].Perlu dicatat bahwa apabila kita menghitung integral tersebut tanpa memperhatiakan adanya discontinuity dari penintegralan pada titik x=0 maka hasil yang didapat salah.

Jadi = adalah tidak mungkin (perhatikan Gambar).

24

Catatan : Bila fungsi f(x), ditetapkan dalam inerval [a, b], mempunyai, didalam interval ini, sejumlah titik-titik batas discontinuity , maka integral dari fungsi f(x) dalam interval [a, b] ditetapkan sebagai berikut :

= + + ...........+

bila masing-masing integral tak wajar disisi kanan persamaan converges. Tetapi bila satu

saja dari integral-integral tersebut diverges, maka dinamakan diverges.

Untuk menentukan convergensi dari integral tak wajar dari fungsi-fungsi discontinue dan untuk menghitung nilai-nilainya, sering menggunakan teori-teori seperti yang digunakan untuk menghitung integral-integral dengan limit takterbatas.Teori 1. Bila pada interval [a, c] fungsi f(x) dan discontinous dititik c, dan disemua

titik-titik dari interval ini ketidak samaan dipenuhi dan

converges, maka juga converges.

Teori 2. Bila pada interval [a, c] fungsi f(x) dan discontinous dititik c, dan disemua

titik-titik dari interval ini ketidak samaan dipenuhi dan

diverges, maka juga diverges.

Teori 3. Bila f(x) adalah satu fungsi yang bergantian pada interval [a, c] dan discontinue

hanya dititik c, dan integral tak wajar dari nilai mutlak dari fungsi ini

converges, maka inetegral dari fungsi itu sendiri converges.

Memakai fungsi sering dibuat sebagai fungsi yang disukai untuk

membandingkan fungsi-fungsi menandai integral tak wajar. Adalah mudah memeriksa

bahwa converges untuk , dan diverges untuk . Dengan perlakuan

yang sama juga untuk .

PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU UNTUK GEOMETRIK DAN MEKANIKA

Menghitung luas daerah Q dalam koordinat segi empatLuas dengan satu kurva

Y = f(x)

25

y b Luas Q = f(x) dx a 0 a dx b

+ Q1 + Q2

- Q3

Nilai luas yang dicari adalah Q1 + Q2 + |Q3| (harga mutlaknya)

Contoh : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh curva y = sin x dengan sumbu x dimana 0 < x < 2

Penyelesaian :

+ y = sin x

0 - 2

2 2Q = f(x) dx = sin x dx + | sin x dx | = - cos x | + | -cos x | | = - cos -(- cos 0) + 0 0 | - cos 2 - (-cos ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva

Y y = f1(x)

Y = f2(x) b b Q = f1(x) dx - f(x) dx a a

0 a s X

26

Contoh : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x

Y y = x2 y = x 1 Q yang dicari

0 1 XPerpotongan ke dua kurva : x2 = x x = x4 x1 = 0 dan x2 = 1 1 1 1Q = f1(x) dx - f(x) dx = x dx - x2 dx = (2/3 x3/2 – 1/3 x3) | = 2/3 – 1/3 = 1/3 0 0 0Luas daerah dengan kurva persamaan parametric :

x = (t) y = (t) < t < dx = ’(t) dt

b Q = f(x) dx = y dx = (t) ’(t) dt a Contoh 1 : Hitung luas ellips dengan persamaan parametric : x = a cos t dan y = b sin tPenyelesaian :(t) = a cos t (t) = b sin t’(t) = a cos t = - a sin t 0 Q = (t) ’(t) dt = 2 b sin t (- a sin t) dt = 2 ab sin2 t dt = 2ab ½ (1 – 2 cos 2t) dt 0

Q = 2ab ( ½ t - cos 2t dt). Misalkan u = sin 2t du/dt = 2 cos 2t dt = du/ 2cos 2t Q = 2ab ( ½ t - cos 2t du / 2 cos 2t) = 2ab ( ½ t – ½ u dt) = ab (t – ½ sin22t) | 0 0Q = ab{( - 0) – ( ½ sin22 - sin20 )} = ab

Untuk lingkaran a = b = r Q = r2

Contoh 2 : Hitung luas daerah yang dibentuk oleh kurva cycloida x = a (t – sin t),y = a (1 – cos t) dengan sumbu x.

Y

27

cycloid

Q 0 2 X

Q = (t) ’(t) dt

(t) = a (1 – cos 2t) (t) = a (t – sin t) ’(t) = a (1- cost) 2 2 2Q = a (1 – cos 2t) . a (1- cos t) dt = a2 (1 – cos t)2 dt = a2 (1 – 2 cos t – cos2 t) dt 0 0 0Q = a2 (t – 2 sin t + cos2 t dt).

cos2 t dt = ½ (1 + cos 2t) dt = ½ ( dt + cos 2t dt). Misalkan u = sin 2t du/dt = 2 cos 2t dt = du/2 cos 2t

cos2 t dt = ½ ( dt + ½ cos 2tdu/cos 2t) = ½ ( dt + ½ du) = ½ ( dt + ½ u) 2 = ½ (t + ½ sin 2t) | = ½ (2 + 0 – 0 ) = 0Q = a2 (t – 2 sin t + cos2 t dt) = a2 (2 – 0 + ) = 3a2

Luas daerah dengan kurva dalam koordinat polar

= f(x)

secara elementer dianggap bagian dari lingkaran dengan jari-jari i sehingga Qi = i2 (i 2) i = ½ i2 i

28

Qi = ½ i2 Y ¼ bagian Lemniscate = a cos 2Q = ½ 2 d 0 X

Contoh : Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh lemniscate = a cos 2Penyelesaian : ¼ bagian lemniscate, berarti dijumlahkan dari 0 sampai dengan /4

Q = ½ 2 d /2 ¼ Q = ½ a2 cos 2 d = ½ a2 cos 2 d Misalkan u = sin 2 0 du/d = 2 cos 2 d = du/2 cos 2

/4 = ½ a2 cos 2 du/2 cos 2 = ¼ a2 du = ¼ a2 sin 2 | = ¼ a2(sin /2 – sin 0) 0 Q = a2

Panjang Busur kurva

Kurva dengan certesian koordinat

Y y = f (x) s y x s = (x2 + y2) x 0 ds = (dx2 + dy2)

S = (dx2 + dy2) a b S = (dx2 + dy2) (dx2/ dx2) = (1 + dy2/dx2) dx bS = (1 + dx2/dy2) dx a

29

Contoh : Diminta menghitung keliling suatu lingkaran dengan jari-jari rPenyelesaian :Persamaan lingkaran y = (r2 - x2 ) dy/dx = ½ (r2 - x2 )-1/2 (-2x) = -x/ (r2 - x2 )¼ S = (1 + dy2/dx2) dx

= [1 + {-x/ (r2 - x2)}2] dx = {1 + x2/(r2 - x2)} dx = { (r2 - x2 + x2)/(r2 - x2)}dx r = r 1/(r2 - x2)dx = r (arc sin 1- arc sin 0) = r (/2 – 0) = ½ r 0 S = 4. ½ r = 2 r

Diminta mencari panjang busur fungsi : ay2 = x3 antara x = 0 sampai 5aPenyelesan :

ay2 = x3 y = dy/dx = (a-1/2) 3/2 x (dy/dx)2 =

S = {1+(dy/dx)2}dx = =

S =

Mis u = (4a/9+ x) du/dx = 1 dx = du 5a

S = 3/2 a-½ = 3/2 a-½ 2/3 u3/2 = a-½ {4a/9 + x)}3/2 0

S = a-½ [{4a/9 + 5a)}3/2-{4a/9)3/2] = a-½ [{(4a + 45a)/9}3/2- (4a/9)3/2]S = a-½ [{(49a)/9}3/2- (4a/9)3/2] = a-½ {(49a)/949a/9 - (4a/9 4a/9)}S = 7/3(49a)/9) – 2/3(4a/9)= (343a – 8a)/27 = 335a/27

Kurva dengan persamaan parametric

x = (t) y = (t) < t < dx = ’(t) dt dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (d/dt)(dt/d) = ’(t)/’(t) b S = (1 + dy2/dx2) dx = (1 + ’(t)2/’(t)2) ’(t)dt a S = (’(t)2 + ’(t)2) dt Contoh : Diminta menghitung panjang busur hypocycloid x = a cos3t, y = = a sin3t

Penyelesain ;x = a cos3 t ’(t) = -3a cos2 t sin t ’2(t) = 9 a2cos4 t sin2 t

30

y = a sin3 t ’(t) = 3a sin2 t cos t ’2(t) = 9 a2sin4 t cos2 t /2¼ S = ((t)2 + (t)2) dt 0 /2 /2¼ S = (9 a2cos4 t sin2 t + 9 a2sin4 t cos2 t) dt = 3a sin2 t cos2 t (cos2 t + sin2 t) dt

0 0 = 3a sin2 t cos2 t (1) dt = 3a sin t cos t dt

Misalkan u = sin t du/dt = cos t dt = du/cos t subsitusi memberi : /2¼ S = 3a sin t cos t dt = 3a sin t cos t du/cos t = 3a u du = 3a ½ sin2 t | 0 = 3/2 a (sin2 /2 - sin2 0) = 3/2 a (1 – 0) = 3/2 a S = 6 a

Kurva dengan koordinat polar

x = cos y = sin y (x,y) x = f() cos y = f() sin = f()

S = (’()2 + ’()2) d S = (dy/d)2 + (dx/d)2) d

dx/d = f’()cos - f()sin (dy/d)2 = f’2()cos2 -2f’()f()cos sin + f2() sin2 dy/d = f’()sin + f()cos (dy/d)2 = f’2()sin2 +2f’()f()cos sin + f2() cos2

(dy/d)2 + (dy/d)2 = f’2()(cos2 + sin2 ) + f2()(sin2 + cos2 ) = f’2() + f2() = ’2 + 2

S = (dy/d)2 + (dx/d)2) d S = (’2 + 2) Contoh : Diminta menghitung panjang busur cardioid = a (1 + cos )Penyelesaian

Y

Setengah bagian cardioid = a (1 + cos ), karena itu dijumlahkan dari 0 sampai

31

0 X

= a (1 + cos ) = a + a cos ’ = - a sin ½ S = (’2 + 2)d = (a2sin2 + a2(1 + cos )2 d = a (sin2 + (1 + cos )2 d 0

= a (sin2 + 1 + 2cos + cos2 )d = a (2 + 2cos )d = a 2(1+ cos )d

= a 2(2cos2 /2)d = 2a cos /2 d Misalkan : u = sin /2 du/d = cos /2 ( ½ ) d = 2 du / cos /2 subsitusi menghasilkan : ½ S = 2a cos /2 d = 2a cos /2 (2 du/cos /2) = 4a du = 4a sin /2 | 0 0½ S = 4a(sin /2 – sin 0) = 4a S = 8a

Sebagai latihan coba menghitung panjang busur ellipse dengan persamaan :x = a cos y = b sin

Menghitung volume

Volume benda padat

V Qxi

a xi – 1 xi – 2 b X

xi

Misalnya benda padat V pada gambar diatas akan dihitung volumenyaLuas penampang sebagai fungsi x ditulis :

Q = Q(x) b

32

Vi = Q(xi)xi V = Q(x)x dV = Q(x) dx V = Q(x) dx x 0 aContoh : Diminta menghitung volume triaxial ellipsoid dengan persamaan :

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1

Z

c

-aa

0 X b

y2/b12 + z2/c12 = 1Y

Persamaan penampang, tegak lurus sumbu x :

x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 y2/b2 + z2/c2 = 1- x2/a2

y2 z2 y2 z2

-------------- + -------------- = 1 ----------------- + ----------------- = 1b2(1- x2/a2) c2(1- x2/a2) {b(1- x2/a2)}2 {c(1- x2/a2)}2

Kalau b(1- x2/a2) = b1 dan c(1- x2/a2) = c1 maka persamaan penampang tegak lurus sumbu x adalah : y2/b12 + z2/c12 = 1 dan luas pempangnya Q(x) = b1c1 atau :

Q(x) = bc(1- x2/a2) a a a

V = Q(x) dx = bc (1- x2/a2) dx = 2bc(x – x3/3a2 | = 2bc (a - a3/3a2) -a -a 0

V = 4/3 bc

Untuk sebuah bola dimana a = b = c = r maka Vbola = 4/3 r3

Volume benda putar

y = f(x)

33

Qx dV = Qx dx Qx = y2 = f(x)2

b a b V = f(x)2 dx a

x dx

Contoh : Diketahui kurva catenary y = f(x) = a/2(ex/a + e-x/a) seperti gambar diatas diputar dengan sumbu x sebagai sumbu putar. Hitunglah volume dari benda putar yang terjadi.

Penyelesaian : bV = f(x)2 dx = V = (a/2)2(ex/a + e-x/a)2 dx = a2/4 (e2x/a + e-2x/a + 2e0)dx 0Misalkan : u = 2x/a du/dx = 2/a dx = adu/2

e2x/a dx = ½ a eu du = ½ aeu = ½ e2x/a dan e-2x/a dx = - ½ a eu du = - ½ aeu = -½ e2x/a bV = a2/4 a/2(e2x/a + e-2x/a )+ a2/2 x) | = a3/8 (e2b/a + e-2b/a)+ a2b/2 0Luas permukaan benda putar

Kurva y = f(x) diputar dengan sumbu X sebagai sumbu putar

Y y = f(x) Keliling lingkaran di sebarang Si titik x adalah : L(x) = 2 y = 2 f(x) 0 xi-1 xi a

xi

34

Luas permukaan benda putar elementer P sepanjang busur Si adalah :P = L(x) Si

x 0 dP = L(x) dSi L(x) = 2 f(x)

dSi =

Luas permukaan benda putar untuk 0 < x < a adalah :

Contoh : Hitunglah permukaan benda putar seperti gambar diatas

Penyelesaian :

Misalkan u = 2x + p du/dx = 2 dx = du/2

Koordinat titik berat

Misalkan dalam bidang – xy kita memiliki materi .......

dengan massa , perkalian dan dinamakan momen statis massa relatif terhadap sumbu y dan x.

dan adalah titik berat dari sistem dimana :

Tiik berat garis

35

Contoh 1. Diminta menghitung koordinat titik berat setengah lingkaran diatas sumbu x

Penyelesaian : =

Titik berat bidang :

Rumus tersebut berlaku untuk materi dengan kepadatan yang homogen.

Contoh 2. Hitunglah koordinat titik berat segment parabola yang dipotong oleh garis Penyelesaian :

36

Harga rata-rata sebuah fungsi

Bila suatu pengujian didapatkan nilai score 85, 87, 98, maka diperoleh harga rata-rata atau mean :

Dengan cara yang sama ditetapkan harga rata-rata atau mean :

Sekarang bagaimana kita menetapkan rata-rata suatu fungsi kontinue pada interval [a,b]?

37

Bila kita perhatikan gambar diatas yang apabila kita pilih suatu bilangan c antara a dan b, kemudian luas bidang dibawah grafik f(x) antara x=a dan x=b sama dengan luas segi empat dengan lebar b – a denganpanjang f(c). Keberadaan satu bilangan c diangap, dengan teori yang dinamakan Mean Value Theorem for Integrals : Bila f(x) kontinyu anatar [a, b], maka terdapat satu bilangan c yang memenuhi :

dimana .

Dengan membagi kedua sisi dengan (b – a), kita dapat :

Kita menetapkan pernyataan sisi kanan dari pernyataan ini sebagai harga rata-rata (mean) dari f(x) dalam batas [a, b].Contoh 1. Hitunglah harga rata-rata dari pada [1,3].

Penyelesaian : Harga rata-rata =

Sebagai catatan : f(1) = 1, f(3) = 9, dan harga rata-rata bukan , tetap .

Contoh 2 : Temperatur disuatu kota dipagi hari ditentukan dalam sebagai :

dimana , t[jam] (t = 0 dipagi hari dan t = 12 ditengah hari). Hitunglah temperatur rata-rata dipagi hari itu.

Penyelesaian : Temperatur rata-rata

=

38

PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD)

KLASSIFIKASIBanyak persoalan penting dan signifikant dalam keteknikan, fisika, dan sosial, ketika dirumuskan dalam bentuk matematis, memebutuhkan perhitungan satu fungsi yang cock dengan satu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan (drivatives) dari fungsi yang tidak diketahui. Pesamaan seperti ini dinamakan persamaan differensial. Mungkin contoh yang paling dikenal adalah hukum Newton F = ma. Bila u(t) adalah posisi partikel massa dmana bekerja satu gaya F pada waktu tertentu t, diperoleh :

(1)

39

dimana gaya F bisa merupakan satu fungsi dari t, u, dan kecepata du/dt. Untuk menentukan gerakan dari satu partikel yang padanya dipekerjakan satu gaya F adalah perlu mencari satu fungsi u yang cocok dengan persamaan differensial (1).

Persamaan differensial bisa dan parsialKlasifikasi yang paling jelas :Persamaan differensial biasa : Fungsi yang belum diketahui memiliki ketergantungan pada satu variabel.

(2)

dimana pengisian Q(t) pada satu kapasitor pada satu rangkaian dengan kapasitas C, tahanan R, induktansi L, dan voltasi yang dihasilkan E(t)

(3)

persamaan yang menentukan kerusakan berdasarkan waktu zat radioaktif dari R(t).Persamaan differensial partial : Fungsi yang belum diketahui memeliki ketergantungan terhadap beberapa variabel.

(4) ........... persamaan Laplace

(5) ............... persamaan diffusi

(6) .............. persamaan gelombang

dan adalah konstanta tertentu.

Sistem persamaan differensialKlasifikasi persamaan differensial lainnya menurut jumlah fungsi yang belum diketahui yang terlibat :

Persamaan differensial tunggal, hanya perlu menentukan satu fungsi Persamaan differesial engan sistem, bila ada dua atau lebih yang belum diketahui

(7) .........................persamaan Lotka - Volterra

dimana x(t) y(t) menyatakan popolulasi species mangsa dan predator (pemangsa). Konstanta dan didasarkan pada hasil yang ditemukan secara empiris dan species yang akan diteliti.

OrdeMenyatakan turunan tertinggi yang ada dalam persamaan.(1), (2) adalah persamaan differensial biasa orde dua(3) adalah persamaan differensial biasa orde satu

40

(4), (5) dan (6) adalah persamaan differensial parsial orde dua

Secara umum persamaan :(8)adalah persamaan differensial biasa orde n. Sering juga y’, y”, ....... menyatakan u’(t), u”(t), ........ , jadi persamaan (8) ditulis :(9) . Contoh :(10)

Persamaan differensial biasa diasumsi selalu bisa diselesaikan menjadi :(11)Misalnya persamaan , membawa kita pada dua persamaan

atau

Seringkali adalah tidak mungkin membentuk langsung jenis ketergantungan y terhadap x, tetapi adalah mungkin memberikan hubungan antara x dan y dan turunan dari y dalam kaitan dengan x : , dengan ini kita dapat menulis satu persamaan differential.Dari hubungan yang telah disusun antara variabel x, y, dan turunan-turunannya perlu ditentukan ketergantungan langsung dari y terhadap x; yaitu untuk mendapatkan atau, sebagai kita katakan, mengintegrasikan persamaan differensial tersebut.Contoh 1. Sebuah benda massa m dijatuhkan dari satu ketinggian. Itu diperlukan menysun aturan itu sesuai pada mana kecepatan v akan bervariasi selama benda jatuh, apabila, disamping gaya grafitasi, benda dipengaruhi oleh gaya percepatan dari udara, yang sebanding dengan kecepatan (dengan konstanta secara merata ); dengan kata lain, itu perlu didapat Penyelesaian : Dengan hukum Newton kedua

dimana adalah percepatan dari satu benda bergerak (turunan kecepatan dalam kaitan

dengan waktu) dan F adalah gaya yang bekerja pada benda tersebut dalam arah gerak benda. Gaya ini adalah resultante dua gaya : gaya grafitasi dan gaya hambatan udara,

tanda minus karena arahnya berlawanan dengan kecepatan. Dan demikian diperoleh

(1.1)

Relasi ini menghubungkan fungsi tak diketahui dan turunannya , yang merupakan

satu persamaan differensial dalam fungsi tak diketahui . Untuk menyelesaikan persamaan differensial tersebut adalah memperoleh satu fungsi sehingga secara indentik sesuai persamaan differensial yang diberikan. Ada sejumlah besar dari fungsi

41

seperti itu. Mahsaiswa dapat dengan mudah membuktikan bahwa tiap fungsi dalam bentuk

(1.2)

cocok dengan persamaan (1.1), tidak jadi soal berapa nilai konstanta C. Yang mana salah satu dari hasil fungsi ini usaha untuk mendapatkan ketergantungan dari v terhadap t ? Untuk mendapatkannya kita mengambil kesempatan satu tambahan keadaan; ketika benda dijatuhkan diberikan satu kecepatan awal (yang mungkin nol sebagai satu keadaan khusus); kita menganggap kecepatan awal ini diketahui. Tetapi kemudian fungsi tak diketahui harus demikian bahwa ketika (ketika gerak dimulai) keadaan

dipenuhi. Subsitusi kedalam rumus (2.2), kita dapat

dimana

Jadi konstanta didapat, dan usaha mendapatkan ketergantungan terhadap adalah

(1.2’)

Perlu dicatat bahwa bila (hambatan udara tidak ada, kecil atau diabaikan sehingga tidak dihitung), maka kita mendapat satu hasil yang dikenal dari ilmu alam(1.2”)Fungsi ini cocok dengan persamaan differensial (1.1) dan keadaan awal ketika

Contoh 2. Seutas benang homogen digantung kedua ujungnya. Carilah persamaan kurva yang menggambarkan pengaruh berat sendiri (sama pada tiap benang, kabel, rantai yang digantung dikedua ujungnya, sebagai contoh caterpillar track dari sebuah tank antara dua roda pendukung).Penylesaian :

42

Gambar 1.1

Amabil titik sebagai titik terendah dari benang, dan sebgai sebuah titik sebarang. Mari kita perhatikan bagian benang . Bagian ini dalam keadaan seimbang, resultante dari tiga gaya :

1. Tegangan tarik T, yang bekerja sepanjang titik singgung M dan membentuk sudut dengan sumbu x ;

2. Tegangan tarik H di tiitk bekerja horizontal ;3. Berat benang bekerja vertikal kebawah, dimana S adalah panjang lengkung

dan adalah berat persatuan panjang benang.Menguraikan tegangan tarik T kearah komponen horizonal dan vertikal, memberikan persamaan kesetimbangan :

(1.3)

Sekarang mengandaikan persamaan yang diusahakan untuk kurva bisa ditulis dalam bentuk . Disini, yang belum diketahui yang harus dicari. Akan dicatat disini bahwa :

(1.4)

dimana perbandingan

Differensiasi kedua sisi (1.4) terhadap

(1.5)

Tetapi dalam pelajaran tentang curvature diketahui

Subsitusi pernyataan ini ke (1.5), kita memperoleh persamaan differenial yang dicari untuk kurva tersebut :

(1.6)

Persamaan ini menyatakan hubungan antara turunan pertama dan kedua dari fungsi y yang dicari.Jika persamaan ini diselesaikan akan diperoleh bentuk persamaan

(1.7)

43

yang cocok dengan persamaan (1.6) untuk tiap nilai-nilai dan yang diambil. Ini jelas apabila kita masukkan turunan pertama dan kedua kedalam (1.6). Kita menunjukkan, tanpa pembuktian bahwa fungsi-fungsi tersebut (untuk dan yang berbeda-beda) menggunakan semua kemungkinan penyelesaian-penyelesaian persamaan (1.6).Grafik dari semua fungsi-fungsi yang diperoleh dinamakan catenaries.

Kalau koordinat titik terendah , koefisien arah garis singgung dititk itu .

Dari (1.7) didapat :

Masukkan disini, diperoleh . Disini

Kalau (1.7) diperoleh , dimana . Akhirnya diperoleh

Untuk satu bentuk yang sederhana (1.7), bila kita ambil ordinat maka persamaan catenary adalah

DIFINISI

Definisi 1. Persamaan differensial ialah sesuatu yang menghubungkan satu independent variabel, satu fungsi yang tak dikenal, dan turunan-turunannya

Secara simbolik satu persamaan differensial dapat ditulis sebagai berikut :F(x, y, y’, y”, ……………………yn) = 0 atau

Apabila fungsi yang dicari adalah fungsi dengan satu variabel independent persamaan differensial tersebut dinamakan ordinary. Kita hanya akan berhubungan dengan persamaan differensial ordinary.Definisi 2. Order dari suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terkandung didalamnya.Sebagai contoh, persamaan

adalah satu persamaan order tingkat satu.Persamaan

44

adalah satu persamaan order kedua, dan seterusnya.Definisi 3. Penyelesaian atau integral dari suatu persamaan differensial adalah tiap fungsi

yang bila dimasukkan kedalam persamaan mengubah bentuknya menjadi satu kesamaan.

Solusi satu PD adalah y = f(x)Contoh 1. Diberikan satu persamaan

Penyelesaian dar persamaan ini adalah

Dengan memasukkan dan dengan konstanta pilihan dan diperoleh kesamaan

+ = 0Contoh 2. Mari kita perhatikan persamaan

Penyelesaiannya adalah semua fungsi-fungsi dalam bentuk

Dengan memasukkan dan kedalam persamaan kita peroleh kesamaan

Tiap persamaan yang ditinjau dalam Contoh 1 dan 2 mempunyai sejumlah besar penyelesaian.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDER KESATU

1. Bentuk persamaan differensial order kesatu adalah(3.1)Dalam persamaan ini dapat diselesaikan untuk , itu dapat ditulis dalam bentuk(3.1’)Dalam kasus ini dikatakan bahwa persamaan differensial diselesaikan untuk turunan. Untuk satu persamaan seperti itu teori berikut, yang dinamakan unique existence of solution dari satu persamaan differensial, memuat,Theori. Apabil dalam persamaan

fungsi dan turunan parsilnya terhadap , , adalah continous dalam satu

daerah dalam satu bidang yang mengandung beberapa titik maka hanya ada satu penyelesaian untuk persamaan ini yang sesuai keadaan , . Arti

45

secara geometris dari teori ini mengandung dalam kenyataan bahwa ada satu dan hanya satu fungsi seperti grafik melalui Hal ini membenarkan dari teori ini bahwa persamaan (3.1’) mempunyai berbagai penyelesaian yang luas [sebagai contoh satu penyelesaian grafik dari yang melalui

penyelesaian lain yang grafiknya melalui , melalui , dan seterusnya asalkan titik-titik tersebut terletak dalam daerah Keadaan itu untuk fungsi sama dengan bilangan yang diberikan dinamakan initial condition. Hal ini sering ditulis dalam bentuk

Difinisi 1. Peneyelesaian umum dari persamaan differensial order kesatu adalah fungsi(3.2)yang tergantung pada konstanta tunggal dan sesuai keadaan keadaan berikut :

a) Itu sesuai persamaan differensial untuk tiap nilai tertentu daru dari konstanta b) Tidak jadi soal apakah initial condition untuk , ialah,

adalah mungkin mendapatkan satu nilai sedemikian rupa sehingga fungsi cocok dengan keadaan awal yang diberikan. Dianggap disini bahwa

nilai-nilai dan termasuk dalam rentang dari variabel-variabel dan dimana keadaan keberadaan teori adalah sesuai.

2. Dalam mencari penyelesaian umum suatu persamaan diffrensial sering sampai pada satu hubungan seperti :(3.2’)yang tidak diselesaikan untuk . Menyelesaikan hubungan ini untuk , kita mendapatkan penyelesaian umum. Walau demikian tidak selalu mungkin menyatakan dalam bentuk (3.2’) dalam bentuk-bentuk fungsi dasar; dalam kasus seperti itu penyelesaian umum tetap dalam bentuk implicit.Satu persamaan dalam bentuk yang memberikan satu penyelesaian umum implicit dinamakan complete integral dari persmaan differensial.Difinisi 2. Satu penyelesaian khusus adalah tiap fungsi yang didapat dari penyelesaian umum bila pada yang terakhir ini kita menetapkan untuk konstanta sebarang satu nilai pasti dalam kasus ini, hubungan dinamakan particular integral dari persamaan.

Contoh 1 : bentuk y’ = f (x,y)dy/dx = - y/x (1/y) dy = - (1/x) dx + C

ln y = - ln x + ln C ln y = ln (C/x)y = C/x disebut penyelesaian umumkalau dipilih nilai y0 = 1 dan x0 = 2 maka diperoleh C0 = 2y = 2/x disebut penyelesaian khusus

46

untuk berbagai nilai C keluarga PD tersebut dapat dilukiskan sebagai gambar berikut

C(-1/2, -1, -2, -4) C(1/2, 1, 2, 4)

C(1/2, 1, 2, 4) C(-1/2, -1, -2, -4)

Contoh 2 : Bentuk y’ = f1(x).f2(y) dy/dx = f1(x).f2(y)

dy/f2(y) = f1(x)dx

{1/f2(y)}dy = f1(x) dx + C

PD dengan metoda penyelesaiannya

Metoda Sparasi

1. M(x) dx + N(y) dy = 0 ( variabelnya dapat dipisahkan) Contoh: x dx + y dy = 0 x dx + y dy = 0

½ x2 + ½ y2 = C1x2 + y2 = C2 keluarga PD in merupakan lingkaran-lingkaran sepusat

dititik (0,0) dengan jari-jari C

2. M1(x) N1(y) dx + M2(x) N2(y) dy = 0 kalikan dengan 1/(M2(x) N1(y) M1(x) N2(y) -------- dx + --------- dy = 0 M2(x) N1(y)

Contoh : (1 + x) y dx + (1 – y) x dy = 0 kalikan dengan 1/xy

(1 + x) (1 – y) ---------- dx + ---------- dy = 0 x y

(1/x + 1) dx + (1/y – 1)dy = 0ln x + x + ln y – y = Cln xy + x – y = C adalah penyelsaian umum dari PD tersebut.

47

Homogenitas, PD homogen orde 1

Definisi 1 : Suatu f(x,y) disebut homogen derajat n apabila untuk setiap nilai memenuhi f(x, y) = n f(x,y)

3

Periksa f(x,y) = (x2 + y2) 3 3

f(x, y) = (2x2 +2y2) = (x2 + y2) = f(x,y) homogen drajat 1

Periksa f(x,y) = xy – y2 f(x, y) = x y – (y)2 = 2 (xy – y2) f(x,y) = 2 f(x,y) homogen drajat 2Periksa f(x,y) = (x2 - y2)/xy 2x2 - 2y2 2 (x2 - y2)

f(x, y) = -------------- = --------------- = 0 f(x,y) homogen drajat 0 x y 2xy

Definisi 2 : PD orde 1, dy/dx = f(x,y) disebut homogen dalam x dan y apabila f(x,y) drajat 0 dalam x dan y.

Jadi f(x, y) = f(x,y)

Penyelesaian suatu PD homogen :

Pada fungsi homogen drajat 0 : Sudah diketahui bahwa pada PD homogen Kalau = 1/x f(x,y) = f(1, y/x)Misalkan y/x = u y = ux dy/dx = u + x du/dx f(1,u) = u + x du/dx x du/dx = f(1,u) – u atau

Contoh : Selesaikan PD dy/dx = xy/(x2 - y2)Penyelesaian :Periksa homogenitas :

f(x, y) = x y/(2x2 - 2y2) = 0 f(x,y) OK

48

f(x,y) = f(1,y/x). Misal y/x = u y = ux dy/dx = u + x du/dx = f(1,u)x du/dx = f(1,u) – u = u/(1-u2) – u = u3/(1-u2)

(1/x) dx = (1- u2)/ u3 (du) (1/ u3) du – (1/u) du(1/x) dx + ln C = (1/ u3) du – (1/u) du = {1/(-3+1)}u-3+1 – ln u

ln x + ln C = - 1/(2u2) – ln u subsitusi u = y/x -x2/2y2 = ln |Cy| x = y (-2C ln |Cy|)

Catatan : Persamaan : M(x,y) dx + N(x,y) dy adalah fungsi yang homogen apabila M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi yang homogen dengan drajat yang sama. Perbandingan dua fungsi homogen dengan drajat yang sama adalah satu fungsi homogen drajat nol.

Periksa PD (2x – 3y) dx + (x-2y) dy = 0

PD yangdapat direduksi menjadi persamaan homogen

ax + by + cdy/dx = -------------------, kalau c = c1 = 0 maka persamaan jelas homogen

a1x + b1y + c1

kalau salah satu c atau c1 0, untuk menjadikannya homogen misalkan x = x1+h dan y = y1 + k sehingga dy/dx = dy1/dx1. Subsitusi menghasilkan :

ax1+by1+ah+bk+cdy1/dx1 = -------------------------------, h dan k dipilih sedemikian sehingga

a1x1+b1y1+a1h+b1k+c1

ah+bk+c = 0 dan a1h+b1k+c1 = 0. Persamaan kemudian menjadi

ax1+by1 a bdy1/dx1 = --------------- dengan syarat 0

a1x1+b1y1 a1 b1

Contoh soal : Selesaikan PD : dy/dx = (x + y – 3)/(x – y –1) dy1/dx1 = (x1 + y1 + h + k – 3)/(x1 – y1 + h - k –1)

49

dimana h + k – 3 =0 dan h –k – 1 = 0 h = 2 dan k = 1 dan persamaan menjadi

homogen : dy1/dx1 = (x1 + y1)/(x1 – y1) =

misal v = (1 + u2) dv/du = 2u du = dv/2u

:

arc tan u = ln (1 + u2) x1C atau Cx1(1 + u2) = earc tan u karena u = y1/x1 Cx1{1 + (y1/x1)2}= earc tan (y1/x1) = C(x12 + y12) = earc tan (y1/x1)

Masukkan harga : x1 = x-2 dan y1 = y –1 maka :Solusi umum PD adalah : C{(x-2)2 + (y-1)2) = earc tan (y-1/x-2)

Latihan : Coba selesaikan PD xy dy = (x2 + y2) dx .

50

Linear Differential Equation

Bentuk umum

Dimanan adalah fungsi t yang diketahui.Contoh :

PD yang tidak linear disebut nonlinear differential equation.Contoh :

karena ada bentuk

Tunjukkan bahwa adalah penyeleaian PD . Juga diminta menunjukkan bahwa adalah penyelesaian PD . Tunjukkan bahwa adalah penyelesaian PD . Tentukan penyelesaian khususnya untuk y(0) = 1 dan y’(0) = 0.

Tunjukkan bahwa adalah penyelesaian umum dari PD Tentukan penyelesaian PD sesuai condisi y(0) = 0 dan y(1) = 2.

51

PD linear orde 1

dy/dx + a(x) y = b(x)

Misalkan v = e a(x) dx . Perkalikan PD dengn v

dy/dx e a(x) dx + a(x) e a(x) dx = b(x) e a(x) dx

d( y e a(x) dx )/dx = b(x) e a(x) dx

Soal : 1. Diminta menyelesaikan PD linear orde 1 berikut

dy/dx +2y = x a(x) = 2, dan b(x) = x

v = e a(x) dx v = e 2 dx = e2x

dy/dx e2x +2 y e2x = x e2x

Umpama z = y e2x dz/dx = dy/dx e2x + 2y e2x

d(y e2x)/dx = dy/dx e2x + 2y e2x

d(y e2x)/dx = x e2x

d(y e2x) = y e2x = x e2x dx

(uv)’ = uv’ + u’v uv = uv’ + u’v uv’ = uv - u’v

x e2x dx = uv’ x = u dan v’ = e2x dx 2x = w dw/dx = 2 dx = dw/2

v = ew dw/2 = ½ ew = ½ e2x

x e2x dx = x. ½ e2x - ½ e2x dx = x. ½ e2x – ½ . ½ e2x + C

y e2x = ½ x e2x – ¼ e2x + C y = ½ x – ¼ + Ce -2x

2. Selesaikan PD dy/dx – 2y/(x+1) = (x+1)3

a(x) = -2/x+1) dan b(x) = (x+1)3

v = e a(x) dx = e -2 1/(x+1) dx = e-2ln (x+1) = (x+1)-2

dy/dx (x+1)-2 – 2y(x+1)-2/(x+1) = (x+1)-2 (x+1)3 =

d{y(x+1)-2}/dx = (x+1)

52

2y =

Soal-Soal

Selesaikan PD berikut dengan metoda separasi :1. y’ = y Jwb. 2. y’ + 2y = 0 Jwb. 3. y’ + = 0 Jwb.

4. 2y’ + 3y = 0. Jwb. 5. . Jwb. 6. . Jwb.

7. . Jwb. 8. . Jwb.

9. . Jwb. 10. . Jwb.

11. . Jwb. 12.

13. 14. 15.

16. . Jwb. 17. . Jwb. 18.

Selesaikan PD linear berikut :

19. y’ + 2y = 3. Jwb. 20. y’ – y = 10. Jwb. 21. .

Jwb. 22. . Jwb.

53

23. . Jwb. 24. y’ = . Jwb.

25. 26. . Jwb.

27. y(1) = 3 28. y(0) = 2. Jwb.

29. yy’ = y(1) = 10. Jwb.

Diminta mengintegralkan PD Homogen berikut :1. Jwb. Penyelesaian :

PD homogen dalam x dan y.

,

, Misalkan

atau

2. Jwb. Penyelesaian :

PD homogen dalam x dan y

Misal

3. Jwb.

54

4. Jwb. 5. Jwb.

6. Jwb. .Penyelesaian :

PD homogen

dalam x dan y.

duudxx 21

7. Jwb.

Penyelesaian :

Cek untuk homogenitas =

PD adalah homogen di x dan y.

Misalkan

=

8. Jwb. Penyelesaian :

PD perlu direduksi

Misalkan dan

55

Supaya PD homogen dalam x dan y maka :

PD reduksi : PD ini homogen dalam

dan

Cek matrik = OK.

, Misalkan

Penggabungan menghasilkan :

9. Jwb.

Penyelesaian :

PD menjadi

Supaya PD homogen di dan maka harus :

PD reduksi adalah :

56

dimana

Untuk menghilangkan

bilangan desimal, bisa ditulis : atau

10. Jwb. Penyelesaian :

PD reduksi :

PERSAMAAN BERNOULLIS

(1)

PD ini nonlinear dan direduksi menjdi PD linear dengan membagi kedua sisi dengan

(2) Misalkan .

Subsitusi menghasilkan

atau , ini adalah PD linear.

Dengan menyelesaiakan PD ini kemudian melakukan subsitusi untuk z diperoleh penyelesaian untuk PD Bernoulli.Contoh : Selesaiakan persamaan

(3)

Penyelesaian : Bagi kiri kanan persamaan dengan diperoleh

(4)

Misalan Subsitusi kedal”am (4) menghasilakan

atau atau

(5)

Ini adalah PD linear. Ambil faktor integrasi =

57