1

BAGIAN I : KONSEP DASAR

2

BAB I. TEMPERATUR

1.1. PANDANGAN MAKROSKOPIS Kuantitas yang diacu sebagai ciri umum atau sifat skala besar dari sistem disebut koordinat makroskopis. Contoh : dalam sebuah silinder mesin mobil dapat diperinci empat kuantitas yakni : komposisi, volume, tekanan dan temperatur. Koordinat makroskopis memiliki ciri khas mencakup : 1. koordinat tidak menyangkutkan pengandaian khusus mengenai struktur materi, 2. jumlah koordinatnya sedikit, 3. koordinat ini dipilih melalui daya terima indera kita secara langsung, 4. koordinat ini dapat diukur.

1.2. PANDANGAN MIKROSKOPIS Dalam mekanika statistik, sistem diandaikan terdiri dari sejumlah besar N molekul (tidak nampak dengan mata atau mikroskopis). Koordinat mikroskopis memiliki ciri khas mencakup : 1. terdapat pengandaian mengenai struktur materi, yaitu molekul dianggap ada, 2. banyak kuantitas yang harus diperinci, 3. kuantitas yang diperinci tidak didasarkan penerimaan indera kita, 4. kuantitas ini tidak dapat diukur.

1.3. RUANG LINGKUP TERMODINAMIKA Kuantitas makroskopis (P, V, ) yang berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamika. Tujuan termodinamika adalah mencari hubungan umum antara koordinat termodinamika yang taat asas dengan hukum pokok termodinamika.

1.4. KESETIMBANGAN TERMAL Kesetimbangan termal adalah keadaan yang dicapai oleh dua (atau lebih) sistem yang dicirikan oleh keterbatasan harga koordinat sistem itu setelah sistem saling berinteraksi (salah satu contoh : asas Black)

1.5. KONSEP TEMPERATUR Sistem temperatur adalah suatu sifat yang menentukan apakah sistem dalam kesetimbangan termal dengan sistem lainnya.

3

BAB II. SISTEM TERMODINAMIKA SEDERHANA

2.1. PERSAMAAN KEADAAN Dalam keadaan nyata, sangat sulit mengungkapkan kelakuan lengkap zat dalam seluruh pengukuran harga koordinat termodinamika (P, V, ) dengan memakai persamaan sederhana. Terdapat lebih dari 60 persamaan keadaan yang telah diajukan untuk menggambarkan cairan saja, uap saja dan daerah uap-cairan. Di antaranya : 1. Persamaan gas ideal :

RPv (2.1) yang hanya berlaku pada tekanan (P) rendah dalam daerah uap dan gas.

2. Persamaan keadaan van der Waals :

Rbvv

aP

2 (2.2)

yang berlaku dengan baik dalam daerah cairan, uap dan di dekat serta di atas titik kritis.

2.2. PERUBAHAN DIFERENSIAL KEADAAN Setiap infinitesimal dalam koordinat termodinamika (P, V, ) harus memenuhi persyaratan bahwa ia menggambarkan perubahan kuantitas yang kecil terhadap kuantitasnya sendiri tetapi perubahan kuantitas yang besar terhadap efek yang ditimbulkan oleh kelakuan beberapa molekul. Persamaan keadaan suatu sistem dapat dibayangkan bahwa persamaan keadaan tersebut dapat dipecahkan untuk menyatakan setiap koordinatnya dalam dua koordinat lainnya. Analisisnya : 1. V = fungsi (, P) (2.3) Maka diferensial parsialnya :

dPP

Vd

VdV

P

(2.4)

Kuantitas kemuaian volume rata didefinisikan :

Muai volume rata = temperaturperubahan

volumesatuanpervolumeperubahan,

pada kondisi tekanan tetap.

4

Jika perubahan temperatur dibuat sangat kecil, maka perubahan volume juga menjadi sangat kecil, maka : kemuaian volume sesaat (β) dirumuskan :

P

V

V

1 (2.5)

Sebenarnya β merupakan fungsi dari (, P), tetapi dalam percobaan menunjukkan bahwa banyak zat yang β – nya tidak peka pada perubahan tekanan (dP) dan hanya berubah sedikit terhadap suhu ( Efek perubahan tekanan pada volume sistem hidrostatik etjika temperaturnya dibuat tetap, dinyatakan oleh kuantitas yang disebut ketermampatan isotermik (κ dibaca kappa) yang dirumuskan :

P

V

V

1 (2.6)

2. P = fungsi (, V) (2.7) Maka diferensial parsialnya :

dVV

Pd

PdP

V

(2.8)

3. = fungsi (P, V) (2.9) Maka diferensial parsialnya :

dVV

dPP

dPV

(2.10)

2.3. TEOREMA MATEMATIS Andaikan ada hubungan antara ketiga koordinat x, y, z, maka

f (x,y,z) = 0 (2.11) dengan x = fungsi (y,z) maka :

dzz

xdy

y

xdx

yz

(2.12)

Dan y = fungsi (x,z) maka :

dzz

ydx

x

ydy

xz

(2.13)

5

dengan menyulihkan persamaan (2.13) ke dalam (2.12) diperoleh : x = fungsi (y,z) maka :

dzz

xdz

z

ydx

x

y

y

xdx

yxzz

(2.14)

atau

dzz

x

z

y

y

xdx

x

y

y

xdx

yxzzz

(2.15)

Sekarang dari ketiga koordinat itu hanya dua yang bebas (x,z). Jika dz = 0 dan dx ≠ 0, diperoleh :

1

zzx

y

y

x (2.16)

z

z

x

yy

x

1 (2.17)

Jika dx = 0 dan dz ≠ 0, diperoleh :

0

yxzz

x

z

y

y

x (2.18)

yxzz

x

z

y

y

x

(2.19)

1

yxzx

z

z

y

y

x (2.20)

Kembali ke sistem hidrostatik berdasarkan persamaan (2.19), diperoleh :

VP

PV

V

P

(2.21)

atau

V

P P

P

V

V

(2.22)

6

Dari persamaan (2.5) dan (2.6)

P

V

V

1

P

V

V

1

disulihkan ke dalam persamaan (2.21) diperoleh :

V

P (2.23)

Kembali ke persamaan (2.8)

dVV

Pd

PdP

V

berdasarkan persamaan (2.6) dan (2.23)

P

V

V

1

V

P

diperoleh :

dVV

ddP

1 (2.24)

Lalu pada volume tetap (dV = 0), diperoleh :

ddP (2.25)

Dengan mengintegrasikan kedua keadaan tersebut, diperoleh :

ddPf

i

f

i

P

P (2.26)

Dan

ifif PP

(2.27)

7

Latihan soal :

1. Persamaan keadaan gas ideal yaitu : RPv . Buktikanlah bahwa :

a.

1

b. P

1

Jawab : a. Koordinat termodinamika (P, V, ), maka V = fungsi (P, ), namun karena β terjadi pada tekanan tetap berarti V = fungsi ( ) saja. Lalu persamaan :

RPv menggunakan perubahan diferensial keadaan menjadi :

P

RvRdPdv

P

, karena maka

P

R

V

V

V P

,11

terbukti

1

b. κ terjadi pada suhu tetap berarti V = fungsi (P) saja.

karenaP

R

P

v

dPP

RdPPRdvPRvRPv

,2

2

21

makaP

xPV

R

P

Rx

VP

V

V,

1112

terbuktiP

1

8

2. Diketahui :

111

16

1082,3

10181

Pax

Kx

raksaair

raksaair

Massa air raksa pada tekanan 1 atmosfir (1,01325x105 Pa) dan temperatur 0oC diusahakan agar volume tetap. Temperatur dinaikkan hingga 10oC, berapa Pa tekanan akhirnya ? Jawab : Menggunakan persmaan (2.27)

ifif PP

Diperoleh :

11

65

1082,3

10101811001325,1

x

xxxPf

5

11

6

1001325,11082,3

1010181x

x

xxPf

55 1001325,110473 xPf

PaPf51001325,474

2.4. KUANTITAS INTENSIF DAN EKSTENSIF Kuantitas dalam bagian sistem yang tetap sama (massanya sama) disebut kuantitas intensif (tekanan dan temperatur). Kuantitas dalam bagian sistem yang berubah (massanya berubah) disebut kuantitas ekstensif (volume). Koordinat termodinamika dirangkum dalam Tabel 2.1. Tabel 2.1. Kuantitas intensif dan ekstensif Sistem sederhana Koordinat

intensif Koordinat ekstensif

Sistem hidrostatik Tekanan (P) Volume (V) Kawat teregang Gaya tegang (F) Panjang (L) Selaput permukaan Tegangan permukaan (γ) Luas (A) Sel listrik Elektromotansi (ε) Muatan (Z) Lempengan dielektrik Medan listrik (E) Polarisasi (Π) Batang paramagnetik Medan magnetik (H) Magnetik (M)

9

3. Jika seutas kawat yang panjangnya L, kemuaian linier (α) dan modulus Young

isotermik (Y) mengalami perubahan sangat kecil dari keadaan setimbang awal keadaan setimbang akhir akibat gaya (F), buktikanlah bahwa perubahan gaya tegangannya sama dengan :

dLL

AYdYAdF

Jawab :

F = fungsi ( , L) Maka diferensial parsialnya :

dLL

Fd

FdF

L

L

F

A

L

L

dLA

dF

strain

stressY

L

YA

L

F

F

L

LdL

dL

1

LL

F

Berdasarkan persamaan (2.19) dan (2.20) untuk fungsi (F, θ, L) :

1

yxzz

x

z

y

y

x

yxzx

z

z

y

y

x

Maka :

1

F

L

L

F

FL

L

FLF

FL

10

L

AYL

F

L

AYF

L

Kembali ke persamaan :

dLL

Fd

FdF

L

Akhirnya diperoleh :

terbuktidLL

AYdAYdF

4. Seutas kawat logam dengan luas penampang

0,0085 cm2, gaya tegang 20 N dan temperatur 20oC, terentang antara dua dukungan tegar berjarak 1,2 m. Jika temperaturnya dikurangi sehingga menjadi 8oC, α = 1,5 x 10-5 K-1, Y = 2,0 x 1011 N/m2. Berapa N-kah tegangan akhirnya :

Jawab : Berdasarkan persamaan :

dLL

AYdAYdF

Karena tidak ada perubahan panjang berarti dL = 0, maka

dAYdF

208102105,8105,1 1175 xxxxxxdF

206,3010306 1 akhirawalakhir FxFF

NFakhir 6,50

5. Jika sebagai tambahan pada kondisi dalam soal no. 4, Dukungan tersebut saling

mendekati dengan jarak 0,012 cm, berapa N-kah gaya tegangan akhirnya ?

Jawab : Berdasarkan persamaan :

dLL

AYdAYdF

4117

1175 102,12,1

102105,8208102105,8105,1

xx

xxxxxxxxxdF

206,47176,30 akhirawalakhir FFF

NFakhir 6,67

11

2.5. PEKERJAAN RUMAH 1. Persamaan keadaan hampiran gas nyata pada tekanan

sedang, yang dibentuk untuk memperhitungkan ukuran berhingga molekul dirumuskan :

RbvP ,

dengan R dan b tetapan. Buktikanlah bahwa :

R

bPa

1

1

.

R

bPPb

1

1

.

2 Logam yang kemuaian voluemnya 5,0 x 10-5 K-1 dan kemampatan isotermiknya

1,2 x 10-11 Pa-1 berada dalam tekanan 1 x 105 Pa dan suhunya 20oC. Logam ini dilingkungi secara pas oleh invar tebal yang kemuaian dan kemampatannya dapat diabaikan. a. Berapa Pa-kah tekanan akhrinya jika suhu dinaikkan 32oC? b. Jika lengkungan penutup dapat menahan tekanan maksimum 1,2 x 108 Pa,

berapa oC-kah suhu tertinggi sistem itu ? 3 Logam yang kemuaian voluemnya 5,0 x 10-5 K-1 dan kemampatan isotermiknya

1,2 x 10-11 Pa-1 berada dalam tekanan 1 x 105 Pa, suhu 20oC dan volumenya 5 liter, mengalami kenaikan suhu 12 derajat dan pertambahan volumenya 0,5 cm3. Berapa Pa-kah tekanan akhirnya ?

4. Dengan menggunakan koordinat termodinamika

(P, V, ), buktikanlah persamaan :

dPdV

dV

5. Pada suhu kritis diketahui bahwa :

0

TV

P.

Buktikanlah bahwa pada titik kritis, kemuaian volume (β) dan ketermampatan isotermiknya (κ) menjadi tak berhingga !

12

6. Persamaan keadaan zat elastik ideal dirumuskan :

2

2

0

0 L

L

L

LKF ,

dengan K tetapan dan L0 (harga L pada gaya tegang nol) hanya merupakan fungsi dari suhu. a. Buktikanlah bahwa modulus Young isotermiknya dirumuskan :

2

2

0

0

2

L

L

L

L

A

KY

b. Buktikanlah bahwa modulus Young isotermiknya pada gaya tegangan nol dirumuskan :

A

KY

3

13

BAB 3. KERJA

3.1. KERJA Jika sistem mengalami pergeseran karena beraksinya gaya, disebut kerja. Kerja yang dilakukan oleh bagian sistem pada sistem yang lain disebut kerja internal, sedangkan kerja yang dilakukan sistem ke lingkungan atau sebaliknya disebut kerja eksternal. Yang berperan dalam termodinamika bukan kerja internal, melainkan kerja eksternal.

3.2. PROSES KUASI-STATIK Proses kuasi-statik adalah proses dalam keadaan ideal dengan hanya mengubah sedikit saja gaya eksternal yang beraksi pada sistem sehingga gaya takberimbangnya sangat kecil. Proses kuasi-statik merupakan suatu pengidealan yang dapat diterapkan untuk segala sistem termodinamika, termasuk sistem listrik dan magnetik.

3.3. KERJA DALAM SISTEM SEDERHANA Tabel 3.1. Kerja dalam sistem sederhana Sistem sederhana Kuantitas

Intensif (gaya rampatan)

Kuantitas ekstensif (pergeseran rampatan)

Kerja (J)

Sistem hidrostatik Tekanan (P) Volume (V) P dV Kawat teregang Gaya tegang (F) Panjang (L) F dL Selaput permukaan Tegangan permukaan

(γ) Luas (A) γ dA

Sel listrik terbalikkan Elektromotansi (ε) Muatan (Z) ε dZ Lempengan dielektrik

Medan listrik (E) Polarisasi (Π) E dΠ

Batang magnetik Medan magnetik (H) Magnetik (M) μ0H dM

3.4. KERJA DALAM PROSES KUASI-STATIK Kasus I : Pemuaian atau pemampatan isotermik yang kuasi-statik dari gas ideal, diperoleh kerja :

dVPdW diintegralkan maka

2

1

2

1

V

V

V

V

dVPWdVPdW (3.1)

14

Gas ideal PV = nRθ, maka :

V

nRP

, disulikah ke dalam persamaan (3.1), diperoleh :

12 lnlnln2

1

2

1

2

1

VVnRVnRV

dVnRdV

V

nRW

V

V

V

V

V

V

1

2

1

2 log30,2lnV

VnR

V

VnRW (3.2)

Latihan soal : 1. Dalam gas ideal terdapat 2 kmol gas yang dipertahankan pada suhu tetap 0oC,

dimana gas itu dimampatkan dari volume 4 m3 menjadi 1 m3. Jika R = 8,314 J/mol K, berapa kJ-kah kerja yang timbul?

Jawab : Berdasarkan persamaan (3.2)

4

1ln273314,8102ln 3

1

2 xxxV

VnRW

kJJxW 6300106300 3 Harga W “negatif“ berarti bahwa kerja terjadi dari lingkungan ke sistem gas. Kasus II : Pertambahan tekanan isotermik kuasi-statik pada zat padat, diperoleh kerja :

dVPW (3.a)

V = fungsi (θ, P), maka diferensial parsialnya :

dPP

Vd

VdV

P

(3.b)

Karena :

1.

P

V

V

1

2. isotermik (dθ = 0), persamaan (3.a) menjadi :

dPVxV

dVP

0 =

dPVdV (3.c)

15

Lalu persamaan (3.c) disulihkan ke persamaan (3.a), diperoleh :

2

1

2

1

2

2

P

P

P

P

PV

dPPVW

2

1

2

2

2

1

2

222

PPm

PPV

W

(3.3)

dimana : V

m .

2. Tekanan pada tembaga padat bermassa 100 kg ditambah secara kuasi-statik dan

isotermik pada suhu 0oC dari 0 atm hingga 1000 atm (1 atm = 1,01325 x 105 Pa). Jika diketahui ρ = 8930 kg/m3, κ = 7,16 x 10-12 Pa-1, berapa kJ-kah kerja yang timbul ?

Jawab : Berdasarkan persamaan (3.3)

22812

2

1

2

2 )0()1001325,1(89302

1001016,7

2

xx

xxPP

mW

kJJxW 411,010411,0 3

Harga W “negatif“ berarti kerja dilakukan dari lingkungan ke sistem tembaga. 3. Suatu dielektrik dari bahan ferroelektrik barium stronsium titanat (BaxSr1-xTiO3)

mempunyai persamaan keadaan :

EV

,

dengan χ merupakan fungsi dari θ saja. Buktikanlah bahwa kerja yang dilakukan dalam perubahan isotermik kuasi-statik dari keadaan itu dirumuskan :

2

1

2

2

2

1

2

22

1

2

VEE

VW (3.4)

Jawab : Berdasarkan tabel 3.1 diketahui :

dEW

Diferensial parsialnya : dEE

ddE

Karena isotermik maka dθ = 0, maka :

dEE

d

16

VE

EVEV

Lalu :

dEVd , disulihkan ke persamaan :

2

1

2

1

E

E

E

E

dEEVdEVEdEW

terbuktiEEV

W 2

1

2

22

Karena :

VEE

V

, maka disulihkan :

2

1

2

1

1d

Vd

VdEW

terbuktiV

W 2

1

2

22

1

4. Dalam pemuaian adiabatik gas ideal kuasi-statik, diketahui bahwa tekanannya pada

setiap saat memenuhi persamaan (3.5) :

KVP , (3.5)

dimana : CP = CV + nR, V

P

C

C dan K merupakan tetapan (Laplace).

Buktikanlah bahwa kerja yang dilakukan untuk pemuaian dari keadaan (P1, V1) ke keadaan (P2 ,V2) dirumuskan dengan persamaan :

1

2211

VPVPW (3.6)

Jawab : Berdasarkan persamaan (3.5) diperoleh :

VK

V

KPKVP

Karena kerja 2

1

2

1

2

1

1

1

1 V

V

V

V

V

V

VKdVVKdVPW

17

1122

1

1

1

21

1

1

1VKVVKVKVKVW

terbuktiVPVPW

11221

1

18

3.5. PEKERJAAN RUMAH 1. Gaya tegang seutas kawat dinaikkan secara kuasi-statik isotermik dari F1 ke F2. Jika

panjang, penampang dan modulus Young kawat itu secara praktis tetap, buktikanlah bahwa kerja yang dilakukan dirumuskan dalam persamaan (3.5) :

2

1

2

22

FFYA

LW (3.7)

2. Gaya tegang seutas kawat logam yang panjangnya 1 m dan luasnya 1 x 10-7 m2

dinaikkan secara kuasi-statik isotermik pada suhu 0oC dari 0 N hingga 100 N. Jika diketahui Y = 2,5 x 1011 N/m2, berapa joule-kah kerja yang dilakukan ?

3. Buktikanlah bahwa kerja yang dilakukan untuk meniup gelembung sabun berbentuk

bola berjejari R dalam proses isotermik kuasi-statik dari keadaan itu dirumuskan dalam persamaan (3.6) :

28 RW (3.8)

4. Tekanan pada 0,1 kg logam dinaikkan secara isotermik kuasi-statik dari 0 hingga

108 Pa. Jika diketahui : κ = 6,75 x 10-12 Pa-1 dan ρ = 104 kg/m3, berapa joule-kah kerja yang dilakukan ?

5. Dalam pemuaian adiabatik gas ideal kuasi-statik, buktikanlah bahwa tekanannya

pada setiap saat memenuhi persamaan (3.7) :

KVP ,

dimana : CP = CV + nR, V

P

C

C dan K merupakan tetapan (Laplace).

6. Dalam pemuaian adiabatik gas ideal kuasi-statik, buktikanlah bahwa suhunya pada

setiap saat memenuhi persamaan (3.8) :

KV 1 , (3.9)

dimana : CP = CV + nR, V

P

C

C dan K merupakan tetapan (Laplace).

19

BAB IV. KALOR DAN HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA

4.1. KALOR :

Definisi kalor ialah : berpindahnya „sesuatu“ dari benda bersuhu lebih tinggi ke benda bersuhu lebih rendah, dan “sesuatu” ini disebut kalor.

4.2. HUKUM PERTAMA TERMODINAMIKA Definisi :

Bila suatu sistem yang lingkungannya bersuhu berbeda dan kerja dapat dilakukan padanya, mengalami suatu proses, maka energi yang dipindahkan dengan cara non mekanis yang sama dengan perbedaan antara perubahan energi internal (U) dan kerja (W) yang dilakukan, disebut kalor (Q). Persamaan Hukum Pertama Termodinamika :

Q = U +W (4.1)

4.3. Bentuk diferensial hukum pertama termodinamika

dQ = dU +dW (4.2) Untuk proses kuasi statik infinitesimal darsi sistem hidrostatik, hukum pertama menjadi:

dU = dQ - P dV (4.3)

U merupakan fungsi dari dua antara tiga koordinat termodinamika (P, V, θ)

P merupakan fungsi dari (V, θ) Tabel 4.1. Kerja dalam sistem sederhana Sistem sederhana Kerja (J) Hukum pertama termodinamika U fungsi dari

dua antara Sistem hidrostatik P dV dU = dQ - P dV P, V, θ Kawat teregang F dL dU = dQ - F dL F, L, θ Selaput permukaan γ dA dU = dQ - γ dA γ, A, θ Sel listrik terbalikkan

ε dZ dU = dQ - ε dZ ε, Z, θ

Lempengan dielektrik

E dΠ dU = dQ - E dΠ E, Π, θ

Batang paramagnetik

μ0H dM dU = dQ - μ0H dM H, M, θ

20

Bentuk diferensial Pfaff : Untuk mengatasi sistem yang lebih rumit, dengan cara mengganti dW dalam hukum termodinamika dengan dua atau lebih ungkapan. Misalnya, Dalam kasus sistem gabungan yang terdiri dari dua bagian hidrostatik yang dipisahkan oleh dinding diatermik, dirumuskan :

dQ = dU + PdV + P’dV’ (4.4) sedangkan untuk kasus gas paramagnetik :

dQ = dU + PdV + μ0H dM (4.5)

4.4. KAPASITAS KALOR DAN PENGUKURANNYA

Kapasitas kalor rata-rata = 12

QQ

awalakhir

(4.6)

Ketika keduanya, Q dan (θ2 – θ1) mengecil, maka Harga kapasitas kalor sesaat (C) :

d

dQQC

l

212

lim (4.7)

Kapasitas kalor molar dirumuskan :

d

dQ

nn

Cc

1 (4.8)

Kapasitas kalor pada tekanan tetap dirumuskan :

P

Pd

dQC

(4.9)

Umumnya CP merupakan fungsi (P, θ).

Kapasitas kalor pada volume tetap dirumuskan :

V

Vd

dQC

(4.10)

Umumnya CV merupakan fungsi (V, θ). Setiap kapasitas kalor merupakan fungsi dari dua peubah. Namun dalam selang kecil variasi koordinat, kapasitas kalor dapat dianggap praktis tetap.

21

Tabel 4.2. Kapasitas kalor dalam sistem sederhana Sistem sederhana Kapasitas kalor Lambang Sistem hidrostatik Pada tekanan tetap

Pada volume tetap CP

CV Kawat teregang Pada gaya tegang tetap

Pada panjang tetap CF

CL Selaput permukaan Pada tegangan permukaan tetap

Pada luas tetap Cγ

CA Sel listrik terbalikkan

Pada elektromontasi tetap Pada muatan tetap

Cε

CZ Lempengan dielektrik

Pada medan listrik tetap Pada polarisasi tetap

CE

CΠ Batang paramagnetik

Pada medan magnetik tetap Pada magnetisasi tetap

CH

CM Pengukuran kapasitas kalor zat padat, cair dan gas merupakan salah satu proyek percobaan fisika modern yang paling penting, karena harga numerik kapasitas kalor memberikan sarana paling langsung untuk membuktikan perhitungan fisikawan teoritis dan menentukan kesahihan pengandaian beberapa teori modern.

4.5. PERSAMAAN UNTUK SISTEM HIDROSTATIK

Berdasarkan hukum pertama termodinamika dalam tabel 4.1 : dQ = dU +PdV U merupakan fungsi dua peubah di antara (P, V, θ). Kasus : U merupakan fungsi dua peubah di antara (θ, V), diperoleh :

dVV

Ud

UdU

V

Maka hukum pertama termodinamika dirumuskan :

PdVdVV

Ud

UdQ

V

dVPV

Ud

UdQ

V

Dengan membagi dengan dθ, diperoleh :

d

dVP

V

UU

d

dQ

V

(4.11)

22

1. Jika V tetap, dV = 0 diperoleh :

VV

U

d

dQ

V

V

UC

(4.12)

Dalam bentuk integral :

2

1

dCQ VV (4.13)

2. Jika P tetap, dP = 0, persamaan (4.11) menjadi :

PVP

VP

V

UU

d

dQ

Karena P

Pd

dQC

dan bentuk integral nya :

2

1

dCQ PP serta

VV

P

, maka :

VPV

UCC VP

PV

CC

V

U VP

(4.14)

diukurbisaCCkauntitasnamun

terukurtidakV

Ukuantitas

VP

,,

Latihan soal : 1. Kapasitas kalor molar suatu logam pada suhu rendah bervariasi terhadap suhu

menurut persamaan :

ba

c

3

3

Dengan a, b, Θ tetapan. Berapakah banyaknya kalor per mol dipindahkan selama

berlangsungnya proses sehingga suhunya berubah dari 0,01 Θ menjadi 0,02 Θ ?

23

Jawab :

Diketahui : ba

c

3

3

Karena

dba

dcQ

3

3

2

1

2

1

2

1

24

3 24

ba

Q

02,0

01,0

24

3 24

baQ

2244

301,002,0

201,002,0

4

baQ

248 105,11075,3 bxaxQ

2. Pada suhu kritis diketahui bahwa :

0

TV

P dan 0

2

2

TV

P

Diketahui persamaan van der waals dirumuskan dalam persamaan (2.2) bab 2 yang terdahulu:

Rbvv

aP

2

Tentukanlah: a. Volume titik kritik nya (vc) b. Suhu titik kritik nya (θc) ? c. Tekanan titik kritik nya (Pc) ?

d. nilai : c

cc

R

vP

?

Jawab :

a. Karena Rbvv

aP

2 , maka : 2v

a

bv

RP

Lalu : 0

TV

P dan 0

2

2

TV

P

0

232

v

a

bv

R

v

P

T

lalu 32

2

v

a

bv

R

24

0

62432

2

v

a

bv

R

v

P

T

lalu 43

3

v

a

bv

R

Pada titik kritis berarti : v = vc; θ = θc; P = Pc,

Maka pemecahan di atas dibagi saja menjadi :

bvvvbv

v

av

a

bv

Rbv

R

3322

31

2

3

3

4

2

3

bvv c 3

b. Mencari nilai θc; hasil vc disulihkan ke dalam persamaan

R

bb

b

a

R

bv

v

a

v

a

bv

R2

3

2

332

3

3

222

Rb

ac

27

8

c. Mencari nilai Pc; hasil vc dan θc disulihkan ke dalam persamaan

222222 54

2

954

8

9227

8

33

27

8

b

a

b

a

b

a

b

a

bb

a

b

a

bb

bR

aR

v

a

bv

RP

cc

cc

227b

aPc

d. Mencari nilai c

cc

RT

vP; hasil vc, θc dan Pc disulihkan

b

ab

a

bR

aR

bb

a

R

vP

c

cc

27

89

27

8

327 2

8

3

c

cc

R

vP

25

4.6. PENGHANTARAN KALOR Definisi penghantaran kalor :

Transport energi antara elemen volume bertetangga, yang ditimbulkan oleh perbedaan suhu antar elemen itu. Tiga jenis penghantaran kalor mencakup : konduksi, konveksi dan radiasi.

4.7. KONDUKTIVITAS TERMAL (K) Penghantaran kalor dalam satu dimensi, diirumuskan :

dx

dKA

dt

dQH

(4.15)

H = kalor yang mengalir, A = luas penampang, t = waktu, θ = suhu, dx = ketebalan

bahan. dx

d gradien suhu.

Latihan soal : 3. Andaikanlah koduksi kalor terjadi pada laju yang tetap H melalui dinding silinder

berongga dengan jejari-dalam r1 pada temperatur θ1 dan jejari-luar r2 pada temperatur θ2. Untuk silinder yang panjangnya L dan konduktivitas termal tetap K, buktikanlah bahwa perbedaan suhu antara kedua permukaan dinding dirumuskan dalam pesamaan :

1

221 ln

2 r

r

LK

H

(4.16)

Jawab : Berdasarkan persamaan (4.16)

dx

dKAH

Luas selimut silinder (A) = 2πrL, maka

dLKr

drH

dr

dLrKH 2)2(

diintegralkan :

,22

1

2

1

dLKr

drH

r

r diperoleh :

2

1

2

1

2ln

LKrH

r

r

21

1

2 2ln

LK

r

rH

Akhirnya diperoleh :

terbuktir

r

KL

H

1

221 ln

2

26

4. Kalor mengalir secara radial ke arah luar melalui penyekat silindris berjejari-luar r2 yang menyelimuti pipa uap berjejari-dalam r1. Suhu permukaan dalam penyekat sebesar θ1 dan permukaan luarnya bersuhu θ2. Pada jarak radial berapakah yang diukur dari pusat pipa, agar suhunya tepat sama dengan tengah-tengah antara θ1 dan θ2 ?

Jawab : Berdasarkan persamaan (4.16) :

1

221 ln

2 r

r

LK

H

Jika suhu θ3 merupakan suhu berada di tengah-tengah antara θ1 dan θ2, berarti Δθ = θ1 – θ3 = θ3 – θ2, maka

danr

r

LK

H

1

331 ln

2

3

223 ln

2 r

r

LK

H

lalu

3

2

1

3 ln2

ln2 r

r

KL

H

r

r

LK

H

Berarti 3

2

1

3 lnlnr

r

r

r , akhirnya diperoleh :

213 rrr

5. Dua cangkang sferis sepusat berjejari 0,05 m dan 0,15 m; rongga di antaranya diisi

dengan arang. Jika energi dikirimkan dengan laju tunak 10,8 W ke pemanas di pusatnya, maka perbedaan suhu sebesar 50oC terdapat antara kedua bola itu. Berapa

kahKmeter

mW nilai konduktvitas termal arang itu ?

Jawab : Berdasarkan persamaan (4.19) dirumuskan (dalam PR no. 4.4 silahkan dibuktikan):

21

21

11

4 rrK

H

Berarti :

222121 1015

1

105

1

504

8,1011

4 xxxrr

HK

229KKmeter

mW

4.8. KONVEKSI KALOR Konveksi kalor diirumuskan :

dhAH (4.17)

H = kalor yang mengalir, A = luas penampang, dθ = perbedaan suhu.

27

4.9. HUKUM STEFAN-BOLTZMANN

Kalor yang dipindahkan oleh radiasi antara benda pada suhu tinggi θ1 ke suhu rendah θ2, dirumuskan:

4

2

4

1 AP (4.18)

P = daya kalor yang mengalir, A = luas penampang, α = keserapan bahan, σ = tetapan Stefan-Boltzmann = 5,67 x 10-8 W/(m2 K4)

Latihan soal : 6. Suhu kerja filamen tungsten suatu lampu pijar sebesar 2460 K dan keserapannya 0,35.

Berapa cm2-kah luas permukaan filamen suatu lampu berdaya 100 W ? Jawab : Berdasarkan persamaan (4.16)

4

1AP

48424601067,535,0

100

xx

PA

224 38,11038,1 cmmxA

28

4.10. PEKERJAAN RUMAH 1 Bila arus listrik diperthankan supaya mengalir dalam sel elekrolit air yang diasamkan

dan 1 mol air terelektrolisis menjadi hidrogen dan oksigen, muatan listrik sebesar 2 faraday dipindahkan melalui baterai dengan elektromontasi ε (1 faraday = 96.500 C). Perubahan energi sisem sebesar + 286.500 J dan 50.000 J kalor yang diserap. Berapa volt-kah elektromontasi ?

2 Berkaitan dengan energi internal sistem hidrostatik yang merupakan fungsi dari θ, P,

buktikanlah persamaan beiut ini : a.

dPP

VP

P

Ud

P

VP

UdQ

PP

(4.19)

b.

PVCU

P

P

(4.20)

3. Diketahui persamaan van der waals dirumuskan dalam persamaan (2.2) bab 2 yang

terdahulu :

RTbvv

aP

2

a. Buktikanlah bahwa kemuaian volume sesaat (β) dirumuskan dalam persamaan (4.21) :

23

2

2 bvaRTv

bvRv

(4.21)

b. Dari persamaan (4.21) jika a = b = 0, berapakah nilai β ?

4. Andaikanlah koduksi kalor terjadi pada laju yang tetap H dalam bola berongga

dengan jejari-dalam r1 pada temperatur θ1 dan jejari-luar r2 pada temperatur θ2. Untuk konduktivitas termal tetap K, buktikanlah bahwa perbedaan suhu antara kedua permukaan dinding dirumuskan dalam persamaan :

21

21

11

4 rrK

H

(4.22)

5. Kalor mengalir secara radial ke arah luar melalui penyekat bola berjejari-luar r2 yang

menyelimuti pipa uap berjejari-dalam r1. Suhu permukaan dalam penyekat sebesar θ1 dan permukaan luarnya bersuhu θ2. Pada jarak radial berapakah yang diukur dari pusat bola, agar suhunya tepat sama dengan tengah-tengah antara θ1 dan θ2 ?

29

6. Batang tembaga silindris padatan panjangnya 0,1 m, salah satu ujungnya

dipertahankan pada suhu 20 K. Ujung yang lain dihitamkan dan dibiarkan kena radiasi termal dari suatu benda 300 K, tanpa ada energi yang hilang atau ditambahkan. Ketika kesetimbangan tercapai, berapa derajakat kelvin-kah perbedaan suhu antara kedua ujungnya ?

7. Tabung logam silindris yang dihitamkan bagian luarnya, tingginya 0,1 meter dan

diameternya 0,05 meter, berisi helium pada titik didih normalnya 4,2 K ketika kalor penguapannya 21 KJ/kg. Tabung helium itu dilingkungi oleh dinding yang suhunya dipertahankan pada suhu nitrogen cair 82 K dan ruang di antaranya dihampakan. Berapa gram-kah banyaknya helium yang menguap perjam ?

8. Seutas kawat tembaga yang panjangnya 1,302 m dan diameternya 3,26 cm

dihitamkan dan diletakkan sepanjang sumbu tabung gelas yang dihampakan. Kawat

dihubungkan dengan baterai, reostat dan ammeter, serta voltmeter dan arusnya dinaikkan sampai kawat itu hampir meleleh. Pada saat tersebut ammeter menunjukkan 12,8 A dan voltmeter menunjukkan 20,2 volt. Andaikan semua energi yang diberikan diradiasikan dan radiasi dari tabung gelas bisa diabaikan. Berapa kelvin-kah suhu leleh tembaga ?

9. Pada suhu kritis diketahui bahwa :

0

TV

P dan 0

2

2

TV

P

Diketahui persamaan Dieterici dirumuskan dalam persamaan :

RTebvP vRT

a

(4.23)

Tentukanlah: a. Volume titik kritik nya (vc) b. Suhu titik kritik nya (Tc) ? c. Tekanan titik kritik nya (Pc) ?

d. nilai : c

cc

RT

vP?

30

BAB V. GAS IDEAL

5.1. ENERGI INTERNAL GAS (KOEFISIEN JOULE)

Dari hukum pertama termodinamika, mengingat Q dan W nol, maka energi internalnya tidak berubah selama pemuaian bebas.

Koefisien joule (efek pemuaian bebas) mengukur kuantitas : UV

.

Pada umumnya, energi gas merupakan fungsi setiap dua koordinat (P, V, θ). Kasus I : U merupakan fungsi (θ, V), diperoleh :

dVV

Ud

UdU

V

Jika tidak ada perubahan suhu (dθ = 0) pada pemuaian bebas (dU = 0), berarti

0

V

U, atau dengan perkataan lain U tidak bergantung pada V.

Kasus II: U merupakan fungsi (θ, P), diperoleh :

dPP

Ud

UdU

P

Jika tidak ada perubahan suhu (dθ = 0) pada pemuaian bebas (dU = 0), berarti

0

P

U, atau dengan perkataan lain U tidak bergantung pada P.

Jadi, jika tidak ada perubahan suhu ketika terjadi pemuaian bebas, maka U tidak bergantung pada V dan P, dan U hanya bergantung pada θ.

5.2. PERSAMAAN GAS IDEAL (GAS SEJATI) Definisi gas ideal :

Tekanan mendekati nol (tekanan rendah sekali atau kevakuman tinggi sekali), di mana energi internal gas ideal merupakan fungsi tekanan maupun suhu. Persamaan gas ideal dirumuskan :

nRPV (gas ideal) (5.1)

0

P

U (gas ideal) (5.2)

31

Persyaratan bahwa 0

P

U dapat ditulis dengan cara lain, diperoleh :

V

P

P

U

V

U, karena :

V

P

V

nR

V

P

2

, (5.3)

sehingga hasilnya tidak nol, sedangkan 0

P

U, maka untuk gas ideal

0

V

U (gas ideal) (5.4)

sajafungsiU (gas ideal) (5.5)

Untuk proses kausi statik infinitesimal dari sistem hidrostatik, hukum pertama termodinamika :

PdVdUdQ

V

V

UC

Dalam kasus khusus untuk gas ideal, U merupakan fungsi dari θ saja, sehingga turunan parsial terhadap θ sama dengan turunan totalnya. Jadi

d

dUCV

Diperoleh :

PdVdCdQ V (gas ideal) (5.6)

Berdasarkan : nRPV , untuk proses kuasi statik infinitesimalnya diperoleh :

dPVdnRdVPdnRdPVdVP Dengan menyulihkan ke dalam persamaan (5.6) diperoleh :

dPVdnRdCdQ V

dPVdnRCdQ V

Dibagi dθ diperoleh :

d

dPVnRC

d

dQV

Pada tekanan tetap (dP = 0) dperoleh :

d

VnRCd

dQV

P

0

nRCC VP (gas ideal) (5.7)

Lalu :

dPVdCdQ P (gas ideal) (5.8)

32

5.3. PROSES ADIABATIK KUASI-STATIK Berdasarkan persamaan (5.5) dan (5.7) tapa

PdVdCdQ V dan dPVdCdQ P

Karena dalam proses adiabatik (dQ = 0), maka

dPVdCP dan

PdVdCV

Kedau persmaan tersebut dibagi diperoleh :

V

dV

V

dV

C

C

P

dP

C

C

dVP

dPV

V

P

V

P

Lalu diintegasikan :

V

dV

P

dP

tetapanVP lnlnln

tetapanVP lnlnln

KVP lnln

KPV ln

KVP (gas ideal) (5.9)

Mencari kemiringan kurva persamaan (5.9) dengan menganggap P fungsi V diperoleh :

VKV

KPKVP

VVV

VV

P

Q

1

1

V

P

V

P

Q

(gas ideal) (5.10)

Q menandai proses adiabatik. Berdasarkan persamaan (5.3)

V

P

V

P

Maka berarti kurva adiabatik mempunyai kemiringan negatif lebih curam daripada kurva isotermal pada titik yang sama.

33

5.4. METODE RUCHHARDT UNTUK MENGUKUR γ Metode kerja : Gas ditempatkan dalam bejana besar bervolume V. Pada bejana itu dipasang tabung gelas dengan lubang berpenampang sama berluas A. Ke dalam lubang itu dimasukkan bola logam bermassa m yang tepat menutup lubang tapi masih dapat bergerak bebas sehingga berlaku sebagai piston. Karena gas agak tertekan oleh bola baja yang ada di dalam kedudukan kesetimbangan, tekanan gas sedikit lebih besar daripada tekanan atmosfer Po. Dengan mengabaikan gesekan, diperoleh :

A

mgP

V

mghPghPPPP oooho (5.11)

Simpangan positif (y) kecil menyebabkan perubahan volume yang sangat kecil pula, sehingga:

AydV (5.12)

Simpangan positif (y) kecil menyebabkan pula penurunan tekanan yang sangat kecil. Karena gaya resultan (F) yang beraksi pada bola sama dengan A dP, dengan mengabaikan gesekan diperoleh :

A

FdP (5.13)

Perhatian : bila y positif, dP negatif, sehingga F menjadi negatif, jadi F merupakan gaya pemulih. Karena bola bergetar cukup cepat, perubahan P dan V berlangsung secara adiabatic. Karena perubahannya sangat kecil, keadaan yang dilalui gas dapat dianggap mendekati keadaan setimbang yang menunjukkan proses kuasi statik adiabatik, diperoleh :

KVP

Dan 01 dPVdVVP (5.14)

Dengan menyulihkan persamaan (5.12) dan (5.13) ke dalam (5.14) diperoleh :

01

A

FVAyVP

Dibagi dengan V γ-1 diperoleh :

AyPA

FV

A

FVAyP 0

lalu : yV

APF

2 (5.15)

Persamaan (5.1) merupakan persyaratan untuk gerak selaras sederhana (Hukum Hooke), maka periode (τ) dirumuskan :

22 2222AP

mV

V

AP

m

y

Fm

k

m

Akhirnya : 22

24

PA

mV (5.16)

34

5.5. Latihan soal : 5.1. Bola baja bermassa 10 gram diletakkan dalam sebuah tabung berpenampang

melintang 1 cm2. Tabung itu dihubungkan dengan tangki udara bervolume 5 liter, yang tertekanan udaran 76 cm Hg. Berapa detik-kah periode bola bergetar ?

Jawab : Berdasarkan persamaan (5.16) :

245

32

2104,11001325,1

1051022

xxx

xx

AP

mV

ikdet18,1

5.2. a. Jika y menyatakan ketinggian di atas

permukaan laut, buktikanlah bahwa penurunan tekanan atmosfir yang ditimbulkan oleh kenaikan dy pada gas ideal dirumuskan :

dyR

mg

P

dP

(5.17)

Jawab :

dygdPgyPh , karena gas ideal

V

RPRPV

, maka dy

R

Vg

V

R

dyg

P

dP

terbuktidyR

mg

P

dP

5.2. b. Jika penurunan tekanan dalam soal 5.5.a ditimbulkan oleh pemuaian

abdiabatik :

KP

1

, buktikanlah bahwa :

d

P

dP

1 . (5.18)

35

Jawab :

Pemuaian adiabatik : KP

1

memiliki diferensial parsial :

01 1

11

dPPdP

dPPdP1

111

P

dPdP

P

Pd

1

1

1

11

d

P

dP

1, maka

terbuktid

P

dP

1

5.2. c. Dari (a) dan (b), jika diketahui suatu gas ideal bermassa = 28,96 gram/mol dan

γ = 1,4, hitunglah berapa K/km-kah nilai dy

d ?

Jawab :

Karena : dyR

mg

P

dP

dan

d

P

dP

1 ,maka

ddy

R

mg

1

314,8

101096,28

4,1

14,11 3 xx

R

mg

dy

d

meterKxdy

d/1095,9 3

kmKdy

d/95,9

36

5.6. PEKERJAAN RUMAH 1. Buktikanlah bahwa kerja yang dilakukan oleh gas ideal yang kapasitas kalornya tetap

selama pemuaian adiabatik kuasi statik dirumuskan :

a. akhirawalVCW (5.19)

b.

1

awalawalakhirakhir VPVP

W (5.20)

c.

1

11 akhir

awalakhirakhir

P

PVPW (5.21)

2. a. Buktikanlah banyaknya kalor yang dipindahkan selama porses kuasi statik infinitesimal suatu gas ideal dirumuskan :

dVPnR

CdPV

nR

CdQ PV (5.22)

b. Gas ideal bervolume 0,05 m3 dan tekanan 120 N/m2 mengalami pemuaian adiabatik sampai tekanannya turun menjadi 15 N/m2. Anggap γ = 1,4, tentukanlah : b.1. berapa m3-kah volume akhirnya ? b.2. berapa joule-kah kerja yang dilakukan ?

3. Bola baja bermassa 10 gram diletakkan dalam

sebuah tabung berpenampang melintang tertentu. Tabung itu dihubungkan dengan tangki udara bervolume 5 liter, yang tertekanan udara 76 cm Hg dan periode bola bergetar 0,96 detik . Berapa cm2-kah penampang melintangnya ?

4. Karbondioksida terdapat dalam bejana

bervolume 5270 cm3. Bola bermassa 16,65 gram diletakkan dala tabung berpenampang melintang 2,01 cm2, bergetar dengan periode 0,834 detik. Berapa-kah nilai γ bila barometer menunjuk 7,23 cm ?

5. Buktikanlah bahwa : a. kemuaian volume sesaat dirumuskan :

P

1 (5.23)

b. ketermampatan isotermik dirumuskan :

P

1 (5.24)

37

BAB VI. ENTROPI

6.1. KONSEP ENTROPI Konsep entropi (S) mula-mula diperkenalkan oleh : R.J. Clausius (abad 19). Entropi suatu sistem merupakan fungsi koordinat termodinamik yang perubahannya sama

dengan integral T

dQR antara keadaan awal dan akhir, diintegrasikan sepanjang lintasan dapat

balik (reversible) sekehendak yang menghubungkan kedua keadaan tersebut.

T

dQdS R (6.1)

R = dapat balik (reversible) S = entropi dS = perubahan entropi dQ = pemindahan kalor T = suhu Dalam bentuk integral :

T

dQdS

akhir

awalR

S

S

akhir

awal

T

dQS

akhir

awalR

(6.2)

0 T

dQ

R

(6.3)

6.2. ENTROPI GAS IDEAL Jika suatu sistem menyerap sejumlah infinitesimal kalor dQR selama proses dapat balik, perubahan entropi sama dengan persamaan (6.1):

T

dQdS R

Kasus I : Tinjaulah bahwa dQR untuk gas ideal, dimana entropi gas ideal sebagai fungsi T dan P diperoleh :

dPVdTCdQ PR

Dengan membaginya dengan T, diperoleh :

dPT

V

T

dTC

T

dQP

R

P

dPnR

T

dTCdS P (6.4)

38

Perubahan entropi gas ΔS antara keadaan awal dan akhir dengan pengintegrasian persamaan

(6.4) diperoleh : P

dPnR

T

dTCS

P

P

T

T

P 2

1

2

1

1212 lnlnlnln PPnRTTCS P

0ln SPnRT

dTCS P

Untuk CP tetap,

0lnln SPnRTCS P (6.5)

Kasus II : Tinjaulah bahwa dQR untuk gas ideal, dimana entropi gas ideal sebagai fungsi T dan V diperoleh :

dVPdTCdQ VR

Dengan membaginya dengan T, diperoleh :

dVT

P

T

dTC

T

dQV

R

V

dVnR

T

dTCdS V (6.6)

Perubahan entropi gas ΔS antara keadaan awal dan akhir dengan pengintegrasian persamaan (7.6) diperoleh :

0ln SVnRT

dTCS V

Untuk CV tetap,

0lnln SVnRTCS V (6.7)

6.3. DIAGRAM TS

Dalam persamaan : T

dQdS R , jika dalam proses adiabatik dapat balik berarti dQR

= 0, maka dS = 0 dan S adalah tetapan. Disebut proses isentropik (isotropik). Jika dua keadaan setimbang berdekatan infinitesimalnya :

dT

dST

dT

dQdSTdQ

Pada isokhorik (dV = 0)

V

V

V dT

dSTC

dT

dQ

(6.8)

39

Pada isobarik (dP = 0)

P

P

P dT

dSTC

dT

dQ

(6.9)

Jika dilakukan variasi suhu CV diketahui, perubahan entropi selama proses isokhorik (isovolumik) berlangsung dapat dihitung dari persamaan :

T

dTCSS Vawalakhir ,

dalam proses isobarik :

T

dTCSS Pawalakhir

Persamaan tersebut memberikan cara umum untuk menghitung perubahan entropi, tetapi bukan cara untuk menghitung entropi mutlak suatu sistem dalam keadaan tertentu. Jika sekumpulan tabel diperlukan untuk mendapatkan perbedaan entropi dan bukan entropi mutlak, prosedurnya dapat dipermudah dengan memilih keadaan baku sekehendak dan menghitung perubahan entropi sistem dari keadaan baku ke keadaaan lainnya. Dalam kasus air, keadaan bakunya dipilih air jenuh pada 0,01oC dan tekanan uapnya 611 Pa, maka entropinya dihitung terhadap keadaan acuan ini. Kemiringan kurva pada diagram TS yang menggambarkan proses isokhorik dapat balik berdasarkan persamaan (6.8) dirumuskan :

VV C

T

dS

dT

(6.10)

Dalam proses isokhorik dapat balik berdasarkan persamaan (6.9) dirumuskan :

PV C

T

dS

dT

(6.11)

40

Gambar 6.1. Kurva yang menggambarkan proses dapat balik sistem hidrostatik pada

diagram TS

6.4. Perubahan entropi semesta (total) dalam proses dapat balik (reversible)

Jika dQR diserap oleh sistem, maka :

0

lingkungansistemsemesta

Rlingkungan

Rsistem

dSdSdS

T

dQdSdan

T

dQdS

(6.12)

Jika dQR dibuang oleh sistem, maka :

0

lingkungansistemsemesta

Rlingkungan

Rsistem

dSdSdS

T

dQdSdan

T

dQdS

(6.13)

S (entropi)

isotermik

T (Suhu)

isentropik

isobarik

isokhorik

isentalpik

41

6.5. Perubahan entropi semesta (total) dalam proses tidak dapat balik (irreversible)

Jika sistem mengalami proses tidak dapat dlik (irreversible) antara keadaan setimbang awal dan keadaan setimbang akhir, perubahan entropi sistem dirumuskan :

T

dQSSS

akhir

awalR

awalakhirsistem (6.14)

Tabel 6.1 Perubahan entropi semesta tidak dapat balik akibat proses alamiah Jenis tidak dapat balik

Proses tidak dapat balik

Ssistem Slingkungan Ssemesta

Mekanis eksternal

Lesapan isotermik dari kerja melalui sistem menjadi energi internal sebuah tandon

0

T

W

T

W

Lesapan adiabatik dari kerja menjadi energi internal sistem

i

f

PT

TC ln

0

i

f

PT

TC ln

Mekanis internal

Pemuaian bebas gas ideal

i

f

V

VnR ln

0

i

f

V

VnR ln

Termal eksternal

Pemindahan kalor melalui medium dari tandon panas ke tandon lebih dingin

0

iT

Q

T

Q

2

iT

Q

T

Q

2

Kimia Difusi dua macam gas ideal yang lembam

2ln2R 0 2ln2R

6.6. Mesin Carnot dan refrigerator a. Efisiensi mesin Carnot :

1

2

1

2

1

21

1

11T

T

Q

Q

Q

QQ

Q

W

(6.15)

W = kerja yang dilakukan mesin Q1 = kalor yang diserap mesin Q2 = kalor yang dibuang mesin T1 = suhu yang diserap mesin T2 = suhu yang dibuang mesin

42

b. Unjuk kerja mesin refreigerator (c)

12

1

12

11

TT

T

QQ

Q

W

Qc

(6.16)

W = kerja yang dilakukan mesin Q1 = kalor yang diserap mesin pada suhu

rendah T1 Q2 = kalor yang terbentuk dalam mesin pada

suhu tinggi T2 T1 = suhu rendah mesin T2 = suhu tinggi mesin Ringkasan :

1. balikdapatentropiperubahandSsemesta 0

2. balikdapattidakentropiperubahandSsemesta 0

3. Pergantian fase yang terkenal yakni : - peleburan - penguapan - penyubliman 4. Pergantian fase yang “relatif kurang terkenal namun sekarang sedang berkembang ”

yakni : - perubahan bentuk kristal

5. Pada pergantian fase di atas diperoleh : - suhu dan tekanannya selalu tetap - entropi dan volumenya berubah 6. Pergantian fase terjadi dalam proses dapat balik, kalor (l) (biasa dikenal sebagai kalor

laten) yang dipindahkan per molnya dirumuskan :

awalakhirawalakhir ssT

m

SSTl

(6.17)

Jadi keberadaan kalor laten mengandung arti fisis bahwa terdapat perubahan entropi.

uap

T (Suhu)

padat

Q (kalor)

cair

43

6.7. LATIHAN SOAL 1. Dalam proses pergantian fase air menjadi uap air pada tekanan 1 atmosfir dan suhu

373 K, kalor laten l23 = 2,26 x 106 J kg-1. Berapa J kg-1 K-1-kah perubahan entropi spesifik (s) nya ?

Jawab : Berdasarkan persamaan (6.17) :

awalakhir ssTl , maka

116

2323 6060

373

1026,2 KkgJx

T

lss

2. Jika diketahui kapasitas panas pada tekanan tetap air dalam selang suhu T1 = 273 K

sampai T2 = 373 K (CP dianggap tetap) sebesar 4,18 x 103 J kg-1 K-1. Berapa J kg-1 K-1-kah perubahan entropi spesifik (s) nya ?

Jawab : Pada proses tekanan tetap dalam tabel 6.1, pindah panas (Q) yang terjadi sebesar CP dT, maka :

273

373ln1018,4ln 3

1

212

2

1

2

1

xT

TC

T

dTC

T

dQss PP

T

T

T

T

P

1112 1310 KkgJss

P

3. Berapa J K-1 kah perubahan entropi dalam sistem yang mengalami proses :

a. 10 gram es pada suhu 0oC dan tekanan 1 atm yang melebur pada suhu dan tekanan tetap ? (Diketahui : kalor laten lebur = 3,34 x 105 J kg-1 K-1)

b. 1 kg air pada suhu 100oC dan tekanan 1 atm yang menguap pada suhu dan tekanan tetap? (Diketahui : kalor laten uap = 2,26 x 106 J kg-1 K-1)

Jawab : a. Berdasarkan persamaan (6.17) :

m

SSTl awalakhir , maka

273

1034,301,0 521

12

xx

T

mLSS

112 23,12 kgJSS

b. Berdasarkan persamaan (7.15) :

373

1026,21 621

12

xx

T

mLSS

1312 1006,6 kgJxSS

44

4.

Gambar 6.2. Diagram P-V untuk sistem sederhana dapat balik dalam daur a-b-c-d-a. Perhatikanlah gambar 6.2. Diketahui CV pada suhu bebas = 8 J K-1 dan CP pada suhu bebas = 10 J K-1. Tentukanlah : a. Berapakah nilai tetapan laplace (

b. berapa joule-kah pindah panas dQ pada setiap daurnya ?

c. berdasarkan hukum termodinamika I, berapa joule-kah jumlah pindah panas (W) dalam keseluruhan daur ?

d. Jika V1 = 9 liter dan V2 = 20 liter, berapa Pa-kah perbedaan tekanannya (P2 – P1) ?

e. berapa J K-1-kah perubahan entropi

T

dQ pada setiap daurnya ?

f. berdasarkan hukum termodinamika II, buktikanlah bahwa jumlah perubahan entropi

dapat balik dalam keseluruhan daur dirumuskan : 0T

dQ ?

Jawab :

a. 8

10

V

P

C

C , maka 25,1

b. )27385,0()27385,274(8 xTTCdTCdQ ab

T

T

VVba

b

a

JdQ ba 2192

P (tekanan)

P1

V (volume)

548,85 C

P2

V1 V2

a

b c

d

0,85 C

274,85 C 1370,85 C

45

85,27485,137010 xTTCdTCdQ bc

T

T

PPcb

c

b

JdQ cb 10960

85,137085,5488 xTTCdTCdQ cd

T

T

VVdc

d

c

JdQ ba 6576

85,54885,010 xTTCdTCdQ da

T

T

VPad

a

d

JdQ ba 5480 c. berdasarkan hukum termodinamika I, jumlah pindah panas (W) dirumuskan :

addccbba dQdQdQdQW

54806576109602192 W

JW 1096

d. 333 1011

1096

1091020

1096

xxxV

WPVPW

PaxP 41096,9

e.

27385,0

27385,274ln8ln

a

b

T

T

VVbaT

TC

T

dTCdS

b

a

154,5

KJdS ba

27385,274

27385,1370ln10ln

b

c

T

T

PPcbT

TC

T

dTCdS

c

b

111

KJdS cb

27385,1370

27385,548ln8ln

c

d

T

T

VVdcT

TC

T

dTCdS

d

c

154,5

KJdS cb

27385,548

27385,0ln10ln

d

a

T

T

PPadT

TC

T

dTCdS

a

d

111

KJdS ad

46

f. berdasarkan hukum termodinamika II,

1154,51154,5 adcbadST

dQ

terbuktiT

dQ 0

5. Sebuah resistor 25 dialiri arus listrik A pada suhu tetap 27oC selama 1 detik.

a. Berapa J K-1 perubahan entropi pada resistor? b. Berapa J K-1 perubahan entropi semesta?

Jika arus yang sama dipertahankan dalam resistor yang sama, tetapi resistor sekarang disekat secara termal (adiabatik), dengan suhu awal =27oC, massa resistor = 10 gram, cP = 0,84 kJ/(kg K), hitunglah :

c. Berapa J K-1 perubahan entropi pada resistor? d. Berapa J K-1 perubahan entropi semesta?

Jawab :

a. makaJresistorlistrikenergikarenaT

dQSresistor ,0,

300

0

T

dQSresistor

10 kgJSresistor

b. 300

125100

22 xx

T

Rti

T

dQSSS lingkunganresistorsemesta

133,8 KJSsemesta

c. Karena disekat secara adiabatik berarti dalam resistor terjadi kenaikan suhu, mencari suhu akhir menggunakan azas black :

)(2awalakhirPPlistrik TTmCRtiTmxCdQ

Kx

xxT

mC

RtiT awal

P

akhir 59830084001,0

1251022

300

598ln84001,0ln xx

T

TmCS

awal

akhirPresistor

18,5 KJSresistor

d. 08,5 lingkunganresistorsemesta SSS

18,5 KJSsemesta

47

6. Gambar 6.3. Diagram T-S untuk sistem sederhana dapat balik dalam daur a-b-c-d-a. Perhatikanlah gambar 6.3. Dalam daur gambar 6.3 dapat berlaku pada mesin Carnot maupun refrigerator. Tentukanlah :

a. berapa-kah (dalam satuan R) pindah panas dQ yang dilakukan pada setiap

daurnya ? b. berdasarkan hukum termodinamika I, berapa-kah (dalam satuan R) jumlah pindah

panas (W) dalam keseluruhan daur ? c. berapa %-kah efisiensi mesin Carnotnya ? d. berapa %-kah unjuk kerja refrigeratornya ? Jawab :

)(0 isotropikdaurkarenadSTdQ aba

JdQ ba 0

isotermikdaurRRR

xSSxTdSTdQ acbbcb

250

44

3500

JRdQ cb 250

)(0 isotropikdaurkarenadSTdQ cdc

JdQ ba 0

T (K)

200

S

500

S1=R/4 S2=3R/4

a

b c

d

48

)(1004

3

4200 isotermikdaurR

RRxSSxTdSTdQ daddad

JRdQ ad 100

b. berdasarkan hukum termodinamika I, jumlah pindah panas (W) dirumuskan :

addccbba dQdQdQdQW

01000250 RRW

JRW 150

c. %100250

150

1

xR

R

Q

W

%60

d. %100150

1001 xR

R

W

Qc

%67c

49

6.8. PEKERJAAN RUMAH 1. Sebuah resistor 10 dialiri arus listrik A pada suhu tetap 27oC selama 1 detik.

a. Berapa J K-1 perubahan entropi pada resistor? b. Berapa J K-1 perubahan entropi semesta?

Jika arus yang sama dipertahankan dalam resistor yang sama, tetapi resistor sekarang disekat secara termal (adiabatik), dengan suhu awal =27oC, massa resistor = 5 gram, cP = 0,84 kJ/(kg K), hitunglah :

c. Berapa J K-1 perubahan entropi pada resistor? d. Berapa J K-1 perubahan entropi semesta?

2. Untuk gas ideal dengan kapasitas kalor tetap, buktikanlah bahwa :

a. Entropinya :

KVCPCS PV lnln (6.16)

b. ketermampatan adiabatiknya :

PdP

dV

VK

S

S

11

(6.17)

3. Menurut hukum Debye, kapasitas kalor molar pada colume tetap (cV) dari intan

berubah terhadap suhu menurut persamaan :

34

5

43

TRcV

(7.18)

Berapa perubahan entropi (dalam satuan R) dari intan bermassa 1,2 gram, jika dipanaskan pada volume tetap dari 10 sampai 350 K? Diketahui massa atom karbon = 12 dan = 2230 K.

4. Satu kg air diberikan kalor dapat balik dari koil listrik dengan suhu awal 20oC menjadi 80oC. Diketahui kalor jenis air (cair) =4180 J/kg, tentukanlah :

a. berapa J/K – kah perubahan entropi sistem? b. berapa J/K – kah perubahan entropi lingkungan? 5. Massa air 10 kg pada suhu 20oC dicampur dengan 2 kg es pada suhu – 5oC pada

tekanan 1 atm sehingga dicapai suhu setimbang. Jika diketahui cP (air) = 4180 J/(kg K), cP (es) = 2090 J/(kg K), kalor lebur es = 3,34x105 J/kg, tentukanlah : a. berapa derajat kelvin-kah suhu setimbang? b. berapa J/K-kah perubahan entropi sistem ?

6. Sepuluh gram air pada suhu 20oC dikonversikan menjadi es pada suhu – 10oC pada

tekanan atmosfir sama. Jika diketahui : cP (air) = 4180 J/(kg K), cP (es) = 2090 J/(kg K), kalor lebur es = 3,34x105 J/kg, tentukanlah berapa J/K-kah perubahan entropi sistem ?

50

BAB VII. ENTALPI DAN ZAT MURNI

7.1. Entalpi (H)

Entalpi (H) dirumuskan :

PVUH (7.1) Tinjaulah perubahan entalpi () yang terjadi jika sistem mengalami proses infinitesimal dari keadaan setimbang awal ke keadaan setimbang akhir, diperoleh :

VdPPdVdUdH (7.2) Dalam bab sebelumnya diketahui ; dQ = dU + P dV, maka

VdPdQdH (7.3)

Dengan membagi kedua ruas persamaan dengan dT, diperoleh :

dT

dPV

dT

dQ

dT

dH

Pada tekanan tetap, diperoleh :

P

PP

CT

Q

T

H

(7.4)

Seperti dalam konsep entropi, bahwa perubahan entalpi selama proses isobarik sama dengan kalor yang dipindahkan, yang dinamakan kalor laten (l), yang diukur ketika terjadi perubahan fase pada tekanan tetap, maka :

dTCQHH Pawalakhir (7.5)

Dalam zat murni yang mengalami proses dapat balik infinitesimal, dapat dirumuskan :

VdPTdSdH (7.6) maka diperoleh :

TS

H

P

dan (7.7)

VP

H

S

(7.8)

Hubungan yang ditunjukkan dalam persamaan (7.7) dan (7.8) memberi petunjuk bahwa sifat zat murni dapat ditampilkan secara menguntungkan pada diagram yang menggambarkan H sebagai fungsi dari S dan P.

51

Tabel 7.1 Perbandingan antara U dan H

Energi dalam (U) Entalpi (H) Pada umumnya dU = dQ – PdV

V

V

CT

U

Pada umumnya dH = dQ + V dP

P

P

CT

H

Proses isokhorik Uf - Ui = Q

dTCUU Vif

Proses isobarik Hf - Hi = Q

dTCHH Pif

Proses adiabtik

dVPUU if

Proses adiabtik

dPVHH if

Pemuaian bebas Ui = Uf

Proses sernak Hi = Hf

Untuk gas ideal

tetapandTCU V

Untuk gas ideal

tetapandTCH P

Keadaan setimbang yang berdekatan

TS

U

V

PV

U

S

Keadaan setimbang yang berdekatan

TS

H

P

VP

H

S

7.2. Fungsi Helmholtz Fungsi Helmholtz ( sering disebut energi bebas Helmholtz) dirumuskan ;

TSUF (7.9) Untuk proses dapat balik infinitesimal diperoleh :

SdTTdSdUdF

Karena PdVdUTdS , maka :

SdTPdVdF (7.10) Kasus I: Untuk proses isotermik dapat balik, diperoleh :

PdVdF (7.11)

PdVFFf

i

if (7.12)

Jadi perubahan fungsi Helmholtz selama proses isotermik dapat balik sama dengan kerja yang dilakukan pada sistem.

52

Kasus II : Untuk proses isokhorik dan isotermik dapat balik, diperoleh :

0dF (7.13)

tetapF (7.14)

Sifat ini sangat banyak digunakan dalam ilmu kimia dan berguna untuk meninjau reaksi kimia yang berlangsung isotermik dan isokhorik. Peran utama dari fungsi Helmholtz adalah dalam mekanika statistik yang berkaitan erat dengan fungsi partisi Z (tunggu tanggal mainnya). Kembali ke parsamaan (7.9)

SdTPdVdF Entropi dan tekanannya daat dihitung dengan memakai diferensiasi sederhana :

ST

F

V

dan (7.15)

PV

F

T

(7.16)

7.3. Fungsi Gibbs Fungsi Gibbs (sering disebut energi bebas Gibbs) dirumuskan ;

TSHG (7.17) Untuk proses dapat balik infinitesimal diperoleh :

SdTTdSdHdG

Karena VdPTdSdH , maka :

SdTVdPdG (7.18) Untuk proses isobarik dan isotermik dapat balik, diperoleh :

0dG (7.19)

tetapG (7.20)

Hasil ini penting, khususnya dalam kaitannya dengan proses yang melibatkan perubahan fase. Sublimasi, peleburan, penguapan berlangsung secara isotermik dan isobarik serta dapat dipandang sebagai proses dapat balik. Jadi ketika proses ini berlangsung, fungsi Gibbs dari sistem tetap. Jika digunakan lambang g’, g’’, g’’’ berturut-turut untuk fungsi Gibbs molar dari zat padat jenuh, zat cair jenuh, uang jenuh, maka persamaan kurva peleburan dirumuskan :

''' gg (7.21)

sedangkan persamaan kurva penguapan dirumuskan :

''''' gg (7.22)

dan persamaan kurva sublimasih/penghabluran dirumuskan :

'''' gg (7.23)

Pada titik tripel kdua persamaan itu berlaku serentak, yaitu :

'''''' ggg (7.24)

53

Semua g dapat dipandang sebagai fungsi dati T dan P saja, sehingga kedua persamaan itu dapat diapaki untuk menentukan T dan P pada titik tripel secara unik. Fungsi Gibbs sangat penting dalam ilmu fisika-kimia dan ilmu teknik, karena reaksi kimia dapat dipandang berlangsung pada T dan P tetap.

7.4. Dua teorema matematis Teorema pertama, Jika terdapat suatu hubungan x, y, z, maka dapat membayangkan z dinyatakan sebagai fungsi dari x dan y, sehingga :

dyy

zdx

x

zdz

xy

.

Anggaplah :

xy y

zNdan

x

zM

Maka : dyNdxMdz ,

dengan z, M, N, semuanya fungsi dari x dan y. Dengan melakukan diferensial parsial M terhadap y dan N terhadap x, diperoleh :

xy

z

x

Ndan

yx

z

y

M

yx

22

Karena ruas kanan bernilai sama bersar, maka

yxx

N

y

M

(7.25)

Persamaan ini dikenal sebagai persyaratan untuk diferensial seksama. Teorema kedua, Jika suatu kuantitas f merupakan fungsi dari x, y, z dan terdapat suatu hubungan antara x, y, z, maka f dapat dipandang sebagai fungsi dari setiap pasangan x, y, z. Demikian juga salah satu dari x, y, z dapat dipandang sebagai fungsi dari f dan salah satu dari x, y, z. Jadi dengan memandang x sebagai fungsi dari f dan y, maka :

dyy

xdf

f

xdx

fy

.

Dengan menganggap y sebagai fungsi dari f dan z, maka :

dzz

ydf

f

ydy

fz

.

54

Dengan menyulihkan persamaan dy ke dalam persamaan dx, diperoleh :

dz

z

ydf

f

y

y

xdf

f

xdx

fzfy

dzz

y

y

xdf

f

y

y

x

f

xdx

ffzfy

Dengan menganggap pula x sebagai fungsi dari f dan z, maka :

dzz

xdf

f

xdx

fz

.

Dengan mempadankan kedua persamaan dx di atas, diperoleh :

fff z

y

y

x

z

x (7.26)

1

fffx

z

z

y

y

x (7.27)

7.5. Hubungan Maxwell Dalam sub bab sebelumnya diperoleh hubungan : 1. Energi dalam U, 2. Entalpi H = U + PV, 3. Fungsi Helmholtz F = U - TS, 4. Fungsi Gibbs G = H – TS. Dengan menggunakan dua buah teorema matematis dalam sub bab sebelumnya dapat dinyatakan bahwa salah satu dari delapan kuantitas (koordinat termodinamik) P, V, T, U, S, H, F, G dapat diungkapkan sebagai fungsi dari pasangan lainnya. Sekarang diasumsikan sistem hidrostatik yang mengalami proses dapat balik infinitesimal dari suatu keadaan setimbng ke keadaan lainnya, diperoleh : 1. Energi dalamnya berubah sebesar :

dU =dQ – P dV dU = T dS – P dV,

dengan U, T, P dipandang sebagai fungsi dari S dan V. 2. Entalpinya berubah sebesar :

dH =dU + P dV + V dP, dH = T dS + V dP,

dengan H, T, V dipandang sebagai fungsi dari S dan P.

55

3. Fungsi Helmholtznya berubah sebesar : dF =dU – T dS – S dT dF = – S dT – P dV,

dengan F, S, P dipandang sebagai fungsi dari T dan V. 4. Fungsi Gibbsnya berubah sebesar :

dG =dH – T dS – S dT dG = – S dT + V dP,

dengan G, S, V dipandang sebagai fungsi dari T dan P. Karena U, H, F, G semuanya merupakan fungsi yang sebenarnya, diferensialnya seksama berjenis :

dyNdxMdz ,

dan berdasarkan persyaratan untuk diferensial seksama dalam persamaan (7.25)

yxx

N

y

M

maka dengan menerapkan hasil ini pada diferensial seksama dU, dH, dF, dG, diperoleh :

1. dVPdSTdU VS S

P

V

T

(7.28)

2. dPVdSTdH PS S

V

P

T

(7.29)

3. dVPdTSdF VT T

P

V

S

(7.30)

4. dPVdTSdG PT T

V

P

S

(7.31)

Keempat persamaan di sebelah kanan dikenal sebagai hubungan Maxwell. Hubungan Maxwell sangat berguna karena menyajikan hubungan antara kuantitas yang dapat diukur dan kuantitas yang tidak dapat diukur atau yang sukar diukur.

7.6. Persamaan T dS 7.6.1. Persamaan pertama T dS. Jika Entropi zat murni dapat dipandang sebagai fungsi dari suhu dan volume, maka :

dVV

SdT

T

SdS

TV

,

dan dVV

SdT

T

STTdS

TV

karena T dS = dQ untuk proses dapat balik, maka :

V

V

CT

ST

56

Dari hubungan Maxwell ketiga, VT T

P

V

S

, maka

dVT

PTdTCTdS

V

V

(7.32)

Persamaan (7.32) dikenal dengan nama persamaan pertama T dS. 7.6.2. Persamaan kedua T dS. Jika Entropi zat murni dapat dipandang sebagai fungsi dari suhu dan tekanan, maka :

dPP

SdT

T

SdS

TP

,

dan dPP

SdT

T

STTdS

TP

karena T dS = dQ untuk proses dapat balik, maka :

P

P

CT

ST

Dari hubungan Maxwell keempat, PT T

V

P

S

, maka

dPT

VTdTCTdS

P

P

(7.33)

Persamaan (7.33) dikenal dengan nama persamaan kedua T dS. Dalam termodinamika dikenal pula persamaan ketiga T dS. Dalam rangka penguasaan mahasiswa/i terhadap konsep termodinamika buktikan persamaan ketiga T dS yang tertera dalam sub bab pekerjaan rumah no. Soal 2 dan 3. Kasus I : Perubahan tekanan secara isotermik dapat balik. Jika T tetap, maka persamaan (7.33) menjadi:

dPT

VTTdS

P

dan dP

T

VTQ

P

,

karena :koefisien muai volume : PT

V

V

1 , maka dPVTQ

hal ini dapat diintergrasikan jika kebergantungan V dan pada tekanan diketahui. Jika V dan tidak peka terhadap perubahan tekanan, maka berlaku V rata-rata dan rata-rata

____

danV .

57

Diperoleh :

if

P

P

PPVTdPVTQf

i

________

(8.34)

Untuk kalor yang dibebaskan selama pemampatan diperoleh :

dVPW

Karena V merupakan fungsi T dan P, maka

dPP

VdT

T

VdV

TP

Pada suhu tetap berlaku : dPP

VdV

T

dan karena

TP

V

V

1

Maka kerja diperoleh :

dPVPW

Karena ketermampatan isotermik tidak peka terhadap perubahan tekanan maka digunakan nilai ketermampatan rata-rata, diperoleh :

f

i

P

P

dPPVW____

22____

2

1if PPVW (7.35)

Kasus II : Perubahan tekanan secara adiabatik dapat balik. Jika S tetap, maka persamaan (8.33) menjadi:

dPT

VTdTC

P

P

0 maka dP

T

V

C

TdT

PP

,

dPC

TVdT

P

(7.36)

Dalam zat padat atau cair, pertambahan tekakan sebesar 1000 atm hanya menimbulkan perubahan suhu yang kecil. Juga percobaan menunjukkan bahwa CP hampir tidah berubah walau pertambahan tekanannya mencapai 10.000 atm. Persamaan (7.36) jika diterapkan untuk zat padat atau cair, dapat dirumuskan :

if

P

PP

C

VTT

__

____

(7.36)

58

7.7. Persamaan Energi 7.7.1. Persamaan pertama energi Jika zat murni mengalami proses dapat balik infinitesimal antara dua kesetimbangan termal, perubahan energi dalamnya dirumuskan :

dVPdSTdU Dengan membaginya dengan dV, maka

PdV

dST

dV

dU

Dengan U, S, P dianggap sebagai fungsi T dan V. Jika T tetap, maka turunannya mejadi turunan parsial, diperoleh :

PV

ST

V

U

TT

Dengan memakai hubungan ketiga Maxwell,

VT T

P

V

S

, diperoleh :

PT

PT

V

U

TT

(7.37)

Persamaan (7.37) dinamai persamaan pertama energi. Dua contoh kegunaan persamaan pertama energi yakni : 1. gas ideal dan 2. gas van der waals.

7.7.2. Persamaan kedua energi Persamaan kedua energi memperlihatkan kebergantungan energi pada tekanan. Karena :

dVPdSTdU , dan dengan membaginya dengan dP, diperoleh :

dP

dVP

dP

dST

dP

dU

Dengan U, S, V dianggap sebagai fungsi T dan P. Jika T tetap, maka turunannya mejadi turunan parsial, diperoleh :

TTT P

VP

P

ST

P

U

Dengan memakai hubungan keempat Maxwell,

PT T

V

P

S

, diperoleh :

TTT P

VP

T

VT

P

U

(7.38)

Persamaan (7.38) dinamai persamaan kedua energi.

59

7.8. Persamaan kapasitas kalor Kasus I : Berdasarkan persamaan pertama dan kedua T dS persamaan (7.32) dan (7.33)

dVT

PTdTCTdS

V

V

dan dP

T

VTdTCTdS

P

P

,

maka dPT

VTdTCdV

T

PTdTC

P

P

V

V

Dengan mencari nilai dT, diperoleh :

dPT

VTdV

T

PTdTCC

PV

VP

dPCC

T

VT

dVCC

T

PT

dTVP

P

VP

V

Karena T merupakan fungsi V dan P, maka infinitesimalnya :

dPP

TdV

V

TdT

VP

Dengan mempadankan kedua persamaan tersebut, diperoleh :

VP

P

VVP

V

P CC

T

VT

P

Tdan

CC

T

PT

V

T

Kedua persamaan tersebut menghasilkan :

VP

VPT

P

T

VTCC

Berdasarkan teorema matematis dalam bab 2, telah dipelajari bahwa :

1

TPV P

V

V

T

T

P

Maka TPV V

P

T

V

T

P

, sehingga :

TPP

VPV

P

T

V

T

VTCC

Akhirnya :

TP

VPV

P

T

VTCC

2

(7.39)

60

Persamaan (7.39) merupakan salah satu yang terpenting dalam termodinamika dan menunjukkan bahwa :

1. karena TV

P

selalu negatif untuk semua zat

dan

2

PT

V

selalu positif, maka CP- CV selalu positif atau CP tidak pernah lebih kecil

daripada CV , 2. Ketika T 0, CP CV atau pada suhu nol

mutlak, kedua kapasitas kalor bernilai sama.

3. CP = CV, jika 0

PT

V.

Ini terjadi pada suhu 4oC (anomali air), ketika kerapatan air maksimum. Pengukuran

kapasitas kalor zat padat dan cair di laboratorium biasanya berlangsung pada tekanan tetap, sehingga menghasilkan CP. Sukar sekali untuk mengukur CV secara cermat baik untuk zat padat maupun cair. Namun harga CV perlu diketahui untuk perbandingan dengan teori. Persamaan yang menunjukkan perbedaan kapasitas kalor (CP - CV) ini sangat berguna untuk menghitung CV yang dinyatakan dalam CP serta kuantitas lainnya. Kasus II Berdasarkan persamaan pertama dan kedua T dS persamaan (8.32) dan (8.33)

dVT

PTdTCTdS

V

V

dan dP

T

VTdTCTdS

P

P

,

Pada S tetap (isotropik) diperoleh :

S

P

SP dPT

VTdTC

S

V

SV dVT

PTdTC

Dengan membaginya, diperoleh

S

V

P

V

P

V

P

T

P

T

V

C

C

SVPV

P

V

P

P

T

T

V

C

C

61

Berdasarkan teorema matematis

STV

P

V

P

P

V

C

C

T

S

V

P

V

P

V

P

C

C

(7.40)

Ketermampatan adiabatik didefinisikan :

S

SP

V

V

1 (7.41)

dan ketermampatan isotermik didefinisikan :

TP

V

V

1

Akhirnya :

SV

P

C

C

(7.42)

7.9. Latihan soal 1. Satu mol gas van der waals :

RTbvv

aP

2

mengalami pemuaian Isotermik dapat balik dari volume vi ke vf. Buktikanlah bahwa kalor yang dipindahkan dirumuskan :

bv

bvRTq

i

fln

Jawab : Dari persamaan van der waals diperoleh :

2v

a

bv

RTP

maka bv

R

T

P

V

Persamaan pertama T dS menjadi :

bv

dvRTdTcTdS V

62

Karena T tetap, maka bv

dvRTTdS

dan prosesnya dapat balik, maka

f

i

v

v bv

dvRTdSTq

Akhirnya diperoleh :

terbuktibv

bvRTq

i

f

ln

2. Jika tekanan pada 15 cm3 air raksa pada 0oC ditambah secara dapat balik dan

isotermik dari 0 hingga 1000 atm, koefisien muai volume rata-rata ()= 178 x 10-6 K-

1, ketermampatan rata-rata () = 3,38 x 10-6 atm-1, tentukanlah : a. berapa joule-kah perpindahan kalor yang terjadi?

b. berapa joule-kah kerja yang selama pemampatan ? c. berapa joule-kah energi dalam yang tersimpan ? Jawab : a. Berdasarkan persamaan (7.34), diperoleh :

866____

10013,1101781015273 xxxxxPPVTQ if

JQ 8,73

b. Berdasarkan persamaan (8.35), diperoleh :

22____

2

1if PPVW

228115 010013,11083,3105,12

1 xxxxxxW

JW 95,2

c. 95,28,73 WQU ,

JU 8,70

3. Jika tekanan pada 15 cm3 air raksa pada 0oC ditambah secara isoentropik dari nol

mejadi 1000 atm, dan kapasitas kalor rata-ratanya = 28,6 J/K, koefisien muai volume rata-rata ()= 178 x 10-6 K-1, ketermampatan rata-rata () = 3,38 x 10-6 atm-1, berapa K-kah perubahan suhunya ?

63

Jawab : Berdasarkan persamaan (7.36), diperoleh :

if

P

PP

C

VTT __

____

6,28

010013,110178105,1273 865

xxxxxxT

KT 58,2

4. Berdasarkan konsep persamaan pertama energi

PT

PT

V

U

TT

(7.37)

Untuk gas van der Waals (1 mol):

RTbvv

aP

2

Buktikanlah bahwa energi dalam gas van der Waals bertambah ketika volumenya bertambah pada suhu tetap yang dirumuskan :

2v

a

V

U

T

, dan

tetapanv

adTcu V

Jawab : Berdasarkan konsep persamaan pertama energi

PT

PT

V

U

TT

(7.37)

Untuk gas van der Waals (1 mol):

RTbvv

aP

2

bv

R

T

P

v

a

bv

RTP

v

2

Dengan menyulihkan ke dalam persamaan (8.37)

2v

a

bv

RT

bv

RTP

bv

RT

V

U

T

, maka

terbuktiv

a

V

U

T

2

64

Karena dvv

adTcdu V 2

, diintegrasikan

dvv

adTcdu V 2

Akhirnya terbuktitetapanv

adTcu V

5. Dengan mengingat bahwa :

PT

V

V

1 dan

TP

V

V

1 , buktikanlah bahwa :

2TVCC VP (7.43)

Jawab : Diketahui bahwa :

PT

V

V

1 dan

TP

V

V

1 maka persamaan (7.39) dapat ditulis :

TP

VPV

P

T

VTCC

2

T

PVP

P

V

V

T

V

VTV

CC

1

12

terbuktiTV

CC VP

2

65

7.10. Pekerjaan rumah 1. Berdasarkan konsep persamaan pertama energi

PT

PT

V

U

TT

(7.37)

Buktikanlah untuk gas ideal bahwa energi dalam gas ideal tidak bergantung volume

yang dirumuskan : 0

TV

U

2. Buktikanlah persamaan ketiga T dS yang dirumuskan :

dVV

TCdP

P

TCTdS

P

P

V

V

(7.44)

3. Buktikanlah bahwa ketiga persamaan T dS dapat dirumuskan :

a. dVT

dTCTdS V

(7.45)

b. dPTVdTCTdS P (7.46)

c. dVV

CdP

CTdS PV

(7.47)

4. Buktikanlah bahwa diferensial dari tiga fungsi termodinamika U, H, F dapat

dirumuskan :

a. dPTPVdTPVCdU P (7.48)

b. dPTVdTCdH P )1( (7.49)

c. dPPVdTSPVdF (7.50)

5. Dari percobaan terhadap volume air raksa sebanyak 1,47 x 10-5 m3/mol diperoleh

bahwa kapasitas kalor molar air raksa pada tekanan tetap 1 atm dan suhu 0oC (cP) sebesar 28 J/(mol K). Jika diketahui x 10-6 K-1 dan 3,89 x 10-11 Pa-1. Tentukanlah : a. berapa J/(mol K)-kah kapasitas kalor molar air raksa pada volume tetap ? b. berapa-kah tetapan Laplace nya?

66

BAB VIII. PERUBAHAN FASE Telah kita pelajari dalam bab 7 mengenai entropi bahwa : 1. Pergantian fase yang terkenal yakni : - peleburan - penguapan - penyubliman 2. Pergantian fase yang “relatif kurang terkenal

namun sekarang sedang berkembang ” yakni : - perubahan bentuk kristal 3. Pada pergantian fase di atas diperoleh : - suhu dan tekanannya selalu tetap - entropi dan volumenya berubah 4. Pergantian fase terjadi dalam proses dapat balik,

kalor (l) (biasa dikenal sebagai kalor laten) yang dipindahkan per molnya dirumuskan :

awalakhirawalakhir ssT

m

SSTl

Jadi keberadaan kalor laten mengandung arti fisis bahwa terdapat perubahan entropi. Berdasarkan turunan fungsi Gibbs diperoleh :

vdPsdTdg

PT

gs

dan

TP

gv

(8.1)

Kita dapat mencirikan dalam perubahan fase yang terkenal dengan salah satu pernyataan yakni : 1. terdapat perubahan entropi dan volume; 2. turunan pertama fungsi Gibbs berubah secara

takmalar (diskrit) 3. setiap perubahan fase yang memenuhi

persyaratan tersebut dikenal sebagai perubahan fase orde pertama Untuk perubahan fase seperti ini, variasi suhu dari G, S, V dan CP dapat diperllihatkan sesuai gambar 8.1. Perubahan fase dapat dianggap terjadi secara dapat balik dalam dua arah. Gambar keempat yang memperlihatkan kelakuan CP sangatlah penting karena CP dari campuran dua fase selama terjadi perubahan fase menjadi tak berhingga. Hal ini berlaku karena perubahan terjadi pada T dan P yang tetap. Bila P tetap, dT = 0; atau Bila T tetap, dP = 0.

67

Jadi,

P

PT

STC (8.2)

PT

V

V

1 (8.3)

TP

V

V

1 (8.4)

Gambar 8.1. Ciri perubahan fase orde pertama

Fase awal Fase akhir

Fungsi Gibbs

T

entropi

Fase awal Fase akhir

a b

G

V CP

volume Kapasitas kalor

Fase awal Fase awal Fase akhir Fase akhir

S

T

T T

Menuju ~

c d

68

Persamaan T dS kedua memberikan hasil yang tak tertentu bla diterapkan pada perubahan fase orde pertama. Karena :

dPTVdTCTdS P

Dimana PC 0dT 0dP

Namun untuk persamaan T dS pertama bisa diintegraskan melalui perubahan fase. Bila 1 mol zat diubah secara dapat balik, isotermik dan isobarik dari fase awal (f (i)) ke fase akhir (f (f)), persamaan T dS nya adalah :

dvT

PTdTcTds

V

V

dapat diintegrasikan dengan pengertian bahwa berbagai T dan P ketika terjadi perubahan fase memenuhi hubungan yang menyatakan bahwa P merupakan fungsi dari T saja, tak

bergantung pada V, sehingga dT

dP

T

P

V

.

Jadi )()()()( ifif vvdT

dPTlssTTds

maka diperoleh :

)( )()( if vvT

l

dT

dP

(8.5)

Persamaan 8.5 dikenal dengan persamaan Clapeyron yang berlaku untuk setiap perubahan fase orde pertama dan berlangsung pada T dan P tetap. Dengan langkah lain, dalam bab 7 bahwa fungsi Gibbs tetap selama suatu proses dapat balik berlangsung pada T dan P tetap. Jadi suatu perubahan fase pada T dan P,

)()( fi gg (8.6)

Dan untuk perubahan fase pada T + dT dan P + dP )()()()( ffii dggdgg (8.7)

Dengan mensulihkan persamaan 14.6, maka : )()( fi dgdg (8.8)

dPvdTsdPvdTs ffii )()()()(

)()(

)()(

if

if

vv

ss

dT

dP

Dengan mengalikan T, diperoleh :

)()(

)()(

if

if

vvT

ssT

dT

dP

Akhirnya diperoleh :

)()( if vvT

l

dT

dP

terbukti

Dalam pembahasan selanjutnya diberikan perjanjian untuk fase padat, cair, uap masing-masing diberi tanda aksen (’), dwi aksen (’’), tri aksen (’’’).

69

8.1. Peleburan Metode paling sederhana untuk mengukur kalor lebur zat padat adalah dengan mengirimkan energi listrik dengan laju tetap dan mengukur suhunya pada selang waktu tertentu yang dirumuskan dengan persamaan :

n

IlF

(8.9)

Dalam tahun 1929 Prof. F.E. Simon dan Prof. G. Glatzel emngusulkan suatu persamaan yang cukup berhasil untuk meyatakan data pada kurva peleburan, yakni :

1

c

TP

TPT

TaPP (8.10)

Dengan TTP dan PTP menyatakan koordinat titik tripel dan a dan serta c merupkakan tetapan yang bergantung pada zatnya. Pada suhu tinggi PTP dapat diabaikan, maka diperoleh :

1

c

TPT

T

a

P (8.11)

Tabel 8.1. Parameter peleburan untuk gas mulia yang terkondensasi

(menurut Prof. S.E. Babb) Gas muia

terpadatkan TTP (K)

PTP (kPa) a (MPa)

C

Ne 24,6 43,2 103,6 1,60 Ar 83,8 69,0 227,0 1,50 Kr 116,0 73,3 305,0 1,40 Xe 161,0 81,7 345,5 1,31

Teori mengenai proses yang sebenarnya terjadi bila suatu zat padat melebur telah menarik perhatian fisikawan/wati selama bertahun-tahun. Teori yang mua-mula diusulkan oleh Prof. Lindemann menyatakan bahwa zat padat melebur bila amplitudo getaran kisi menjadi cukup besar untuk mematahkan gaya tarik yang memegang kisi itu; dalam kalimat yang sederhana ”Dalam peleburan, zat padat mengguncangkan dirinya sehingga pecah”. Dengan pandangan ini, Prof. Lindemann menurunkan rumus :

MT

mv 23

2

(8.12)

Dimana : m dan v merupakan massa molekul dan volume molar, suhu karakteristik Debye dan TM suhu lebur.

70

8.2. Penguapan; persamaan Trouton Kalor penguapan cairan titik didih normal dari 250 K sampai sekitar 550 K pada umumnya diukur langsung dengan kalorimeter. Sama dengan peleburan, metode paling sederhana untuk mengukur kalor uap zat cair adalah dengan mengirimkan energi listrik dengan laju tetap dan mengukur suhunya pada selang waktu tertentu yang dirumuskan dengan persamaan :

n

IlF

(8.13)

Hal yang lebih menarik adalah cairan kriogenik dengan titik didih normal di sekitar 100 K atau kurang. Untuk cairan ini (Nitrogen cair dan argon cair), orang harus memilih informasi yang terdapat dalam pegangan keteknikan yaitu tekakan, entropi, entalpi dan volume dari cairan jenuh pada suhu titik tripel hingga titik kritis. Kembali ke persaman Clapeyron, untuk proses penguapan dirumuskan :

''''' vvT

l

dT

dP V

Asumsi : Pada daerah suhu yang kecil yang cukup jauh dari titik kritis, maka lV sebagai suatu tetapan disekitar titik didih normalnya dan v’’’ serta v’’ dapat diabaikan, tekanan uapnya cukup kecil untuk dihampiri oelh persamaan keadaan gas ideal atau v’’’ =RT/P, diperoleh persamaan Clapeyron menjadi:

P

RT

l

P

RTT

l

vvT

l

dT

dP VVV2'''''

Td

P

Pd

Td

Pd

T

dTP

dP

R

l CV

1

ln

1

ln

2

(8.14)

Di mana PC = tekanan titik kritis. Jika persamaan 8.14 kita integrasi melalui selang suhu kecil sekitar TB dengan lV memiliki harga tetap lVB, diperoleh rumus empiris :

RT

ltetapan

P

P VB

C

ln (8.15)

CVB TR

l4,5 (8.16)

Berdasarkan kaidah Prof Trouton, kenaikan suhu cukup kecil sehingga hampiran kasar didapatkan dengan mengambil

9B

VB

RT

l (8.17)

Kaidah Trouton ini sangat penting bila TC belum diketahui.

71

8.3. Sublimasi; persamaan Kirchhoff Persamaan Clapeyron untuk sublimasi :

'''' vvT

l

dT

dP S

(8.18)

Sublimasi biasanya terjadi pada tekanan rendah, uapnya bisa dipandang sebagai gas ideal, maka :

P

RTv ''' (8.19)

Karena P kecil, v’’’ menjadi besar, benar-benar jauh leih besar dari pada volume molar padatan (v’), sehingga v’ bisa diabaikan, maka :

vvv '''' (8.20) Persamaan Clapeyron (8.18) menjadi :

R

l

T

dTP

dP

P

RTT

l

dT

dP SS

2

Td

PdR

Td

PdR

T

dTP

dP

RlS 1

log30,2

1

ln

2

(8.21)

Sehingga dapat dilihat bahwa lS sama dengan – 2,30R kali kemiringan kurva yang diperoleh bila log P dirajah terhadap 1/T. Tekanan uap padatan biasanya diukur untuk selang suhu kecil. Dalam selang ini grafik log P terhadap 1/T praktis merupakan gars lurus, diperoleh :

tetapanT

tetapanP log (8.22)

Misalnya, dalam selang suhu dari 700 K hingga 739 K, tekanan uap magnesium (Mg) memenuhi persamaan :

589,87527

log T

P (8.23)

Sedangkan dalam selang suhu dari 575 K hingga 630 K, tekanan uap seng (Zn) memenuhi persamaan :

972,86787

log T

P (8.24)

Jadi dari suhu dari 700 K hingga 739 K, kalor sublimasi (lS) Mg sebesar 2,30 R x 7527 = 144 kJ/mol, sedangkan dari suhu dari 575 K hingga 630 K, kalor sublimasi (lS) Zn sebesar 2,30 R x 76787 =130 kJ/mol.

72

Selanjutnya kita menurunkan persamaan Kirchhoff untuk kalor sublimasi (lS) pada suhu sekehendak kita. Dari bab 7, suatu perubahan infinitesimal eltalpi molar anatara dua keadaan kesetimbangan suatu sistem kimia diberikan :

vdPTdsdh (8.25) Masukkan persamaan T ds kedua, diperoleh :

dPT

vTvdTcdh

P

P

dPTvdTcdh P 1

Perubahan entalpi yang berhingga antara dua keadaan PiTi dan PfTf, diperoleh :

dPTvdTchhf

i

P

f

i

if 1 (8.26)

Karena

'''' hhlS (8.27)

Maka :

0'

0

'''

0

ldTcdTcl P

T

P

T

S (8.28)

l0 adalah kalor sublimasi pada nol mutlak. Persamaan 8.28 dikenal dengan persamaan Kirchhoff.

73

8.4. Latihan soal :

01. Dalam persamaan Clayperon, proses perubahan fase orde satu, suhu titik lebur zat

timbal hitam (Pb) = 600 K dan kalor laten peleburannya = 300 kJ/mol. Jika dalam proses tersebut selisih volume spesifik fase cair dengan volume spesifik fase padatnya = 25 liter/mol, berapa Pa/K-kah rasio perubahan tekanan dan perubahan suhu

dT

dP?

Jawab :

Berdasarkan persamaan Clapeyron : '" vvT

l

dT

dP lebur

, maka

KPaxxxx

x

vvT

l

dT

dP lebur /1021050

1

1025600

10300

'"46

3

3

8.5. Pekerjaan Rumah :

01. Dalam proses perubahan fase orde satu, suhu titik lebur zat litium (Li) = 460 K dan kalor laten peleburannya = 4,60 kJ/mol. Jika dalam proses tersebut rasio perubahan

tekanan dan perubahan suhu

dT

dP104 Pa/K, berapa liter/mol-kah selisih volume

spesifik fase cair dengan volume spesifik fase padatnya ?

74

BAGIAN II : PENERAPAN KONSEP DASAR

75

BAB IX. PENDAHULUAN MEKANIKA STATISTIK

9.1. Prinsip pokok Dalam pembahasansebelumnya diketahui bahwa molekul suatu gas ideal tidak bisa dianggap bebas sempurna satu terhadap lainnya, karena jika demikian, molekul tidak bisa mencapai distribusi kecepatan setimbang. Jadi harus ada anggapa bahwa :

terjadi antar aksi, tetapi hanya ketika bertumbukan dengan molekul lain dan dengan dinding.

Untuk memerikan bentuk antar aksi yang terbatas diacu bahwa molekul sebagai „antar aksi lemah“ atau „kuasi bebas“. Sedangkan pemebahasan partikel „berantar aksi kuat“ berada di luar lingkup pembahasan sekarang (tunggu tanggal mainnya pada mata kuliah : Fisika Statistik dan Mekanika Kuantum). Selain memiliki sifat kuasi bebas, molekul gas ideal memiliki ciri lain, yakni : 1. semua molekul terbedakan, karena bertempat dalam ruang, 2. semua molekul memiliki kecepatan tertentu. Sedangkan sifat kuasi statik (dalam bab sebelumnya), molekul gas ideal memiliki ciri yakni : 1. semua molekul tak terbedakan, karena tak bertempat dalam ruang, 2. semua molekul tak memiliki kecepatan tertentu. Partikel yang menempati kedudukan kisi yang teratur dalam kristal bisa dibedakan, karena partikel itu bergetar terbatas di sekitar titik tetap, sehingga satu partikel bisa dibedakan dari partikel tetangganya menurut tempatnya.

9.2. Perlakuan statistik dari gas ideal

Perlakuan statistik dari gas ideal sebagai sejumlah partikel kuasi-bebas (antar kasi lemah) terbedakan. Andaikan gas ideal ekaatomik terdiri dari N partikel sekitar 1020 partikel, berada dalam wadah berbentuk kubus yang panjang sisinya L. (Langkah pertama) seluruh energi untuk masing-masing partikel dianggap merupakan energi kinetik translasi. Dalam arah x energinya :

m

p

m

xm

xm xx

22

)(

2

12

2

2

(9.1)

Dengan px merpakan komponen x dari momentum. Jika partikel diandaikan bergerak bebas bolak balik antara dua bidang datar berjarak L, maka bentuk mekanika kuantum yang paling sederhana menyatakan bahwa dalam satu daur lengkap (dari dinding ke dinding lain dan kembali ke dinding semula), yang berjarak 2L, momentum teptan px dikalikan dengan lintasan total 2L harus merupakan bilangan bulat dikalikan dengan tetapan Planck h.

76

Jadi

hnLp xx 2 (9.2)

Dengan menyulihkan persamaan (9.2) ke dalam (9.1) diperoleh :

2

22

8mL

hnxx (9.3)

xx mh

Ln 8 (9.4)

Harga energi kinetik x yang diperoleh adalah diskret, sesuai dengan harga bilangan bulat nx; namun jika nx berubahn dengan satu, maka perubahan yang bersesuaian dalam x sangat kecil, karena nx biasanya merupakan bilangan yang sangat besar. Dengan memperhitungkan ketiga komponen momentum, untuk energi kinetik total suatu partikel diperoleh :

222

2

2222

82zyx

zyx

x nnnmL

h

m

ppp

(9.5)

Perincian bilngan bulat untuk masing-masing nx, ny, nz merupakan perincian keadaan kuantum partikel. Semua keadaan yan dicirikan dengan harga n sedemikian rupa sehingga

nx2 + ny

2 + nz 2 = tetap,

akan memiliki energi kinetik yang sama. Contoh keadaan kuantum Guggenheim,:

Pemakaian keadaan kuantum yang diberikan Prof. Guggenheim, memperlihatkan bahwa semua keadaan kuantum yang bersesuaian dengan harga nx, ny, nz dalam table 9.1 memiliki energi

.8

662

2

mL

h

Terdapat dua belas keadaan kuantum yang berkaitan dengan tingkat energi yang sama, sehingga diacu terdapat tingkat energi yang memeiliki 12 degenerasi (turunan). Dalam setiap kasus yang sebenarnya, nx

2 + ny2 + nz

2 merupakan suatu bilangan yang sangat besar, sehingga degenerasi tingkat energi yang sebenarnya juga sangat besar. Bagaimana pun dekatnya, tetap saja, hanya sejumlah diskret tingkat energi yang dapat dimiliki oleh molekul gas ideal. Tabel 9.1 Keadaan kuantum dengan harga nx

2 + ny2 + nz

2 = 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 nx 8 1 1 7 7 4 4 1 1 5 5 4 ny 1 8 1 4 1 7 1 7 4 5 4 5 nz 1 1 8 1 4 1 7 4 7 4 5 5

77

Jadi salah satu persoalan pokok dalam mekanika statistic adalah menentukan populasi tingkat energi ini dalam kesetimbangan yakni bilangan banyaknya partikel N1 yang memiliki energi 1banyaknya partikel N2 yang memiliki energi 2 dan seterusnya. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa banyaknya keadaan kuantum gi yang bersesuaian dengan tingkat energi i (degenerasi tingkatan itu) jauh lebih besar daripada banyaknya partikel yang menempati tingkatan itu. Jadi :

ii Ng (9.6)

Dengan demikian sangatlah mustahil bahwa lebih dari satu partikel akan menempati keadaan kauntum yang sama pada saat yang sama. Pada setiap saat beberapa partikel bergerak sangat cepat dan beberapa yang lain bergerak lambat, sehingga partikel tersebar di antara sejumlah besar keadaan kuantum yang berbeda. Dengan berjalannya waktu, partikel saling bertumbukan dan bertumbukan dengan dinidng atau memancarkan dan menyerap foton, sehingga masing-masing partikel mengalami banyak perubahan dari satu keadaan kuantum ke keadaan kuantum lainnya. Pengandaian pokok dari mekanika statistik menyatakan bahwa :

„Semua keadaan kuantum mempunyai peluang yang sama untuk dihuni. Peluang didapatkannya suatu partikel dalam suatu keadaan kuantum tertentu sama utnuk semua keadaan.“

Tinjaulah Ni partikel dalam salah satu keadaan kauntum gi yang berkaitan dengan energi i. Setiap partikel memiliki gi pilihan untuk menempati gi keadaan kuantum yang berbeda. Partikel kedua memiliki banyak pilihan gi yang sama, dan seterusnya. Banyaknya cara Ni

partikel terbedakan dapat didistribusikan di antara gi keadaan kuantum menjadi Nig , tetapi

jumlah Nig terlalu besar, karena ini berlaku untuk partikel terbedakan seperti A, B, C dalam

tabel 9.2. Tabel 9.2 menunjukkan enam cara yang berbeda, bahwa tiga partikel terbedakan (A, B, C) dapat menempati keadaan kuantum 2, 7, 10. Jika partikel tidak mempunyai identitas, maka hanya ada satu cara saja untuk menempati keadaan kuantum khusus ini. Ini berarti kita harus membaginya dengan 6 yaitu 3 !. Banyaknya permutasi dari Ni benda yang

terbedakan ialah Ni !. Jika kuantitas iN

ig dibagi dengan faktor ini, maka ungkapan yang

dihasilkan akan berlaku untuk partikel takterbedakan. Tabel 9.2. Terdapat enam cara untuk tiga partikel terbedakan (A, B, C) untuk dapat

menempati tiga keadaan kuantum yang diberikan (2, 7, 10) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C A C B B A C B C A C A B C B A

78

Jadi :

!i

Ni

i

i

N

g

gkuantumkeadaanantaradi

sikandidistribudapatkantakterbeda

partikelNcarabanyaknyai

(9.7)

9.3. Peluang termodinamika suatu keadaan makro tertentu ( Banyaknya distribusi keadaan kuantum yang bersesuaian dengan tingkat energi yang sama dan bahwa degenerasi masing-masing tingkatan jauh lebih besar daripada banyaknya partikel yang dapat diperoleh pada salah satu tingkatan pada suatu waktu. Perincian bahwa pada saat tertentu terdapat : N1 partikel pada tingkat energi 1 dengan degenerasi g1 N2 partikel pada tingkat energi 2 dengan degenerasi g2 . . . . . . . . . Ni partikel pada tingkat energi i dengan degenerasi gi dalam suatu wadah bervolume V jika gas terdiri atas N partikel dan energi dalam U adalah suatu pemerian keadaan makro gas. Banyaknya cara distribusi keadaan untuk mendapatkan suatu keadaan makro dari N partikel takterbedakan, maka peluang termodinamika suatu keadaan makro tertentu (dirumuskan :

........!! 2

2

1

121

N

g

N

gNN

(9.8)

Sedangkan banyaknya cara distribusi keadaan untuk mendapatkan suatu keadaan makro dari N partikel terbedakan, maka peluang termodinamika suatu keadaan makro tertentu (dirumuskan :

........!!

!2

2

1

121

N

g

N

gN

NN

(9.9)

9.4. Statistik Bose-Einstein Banyaknya distibusi keadaan untuk tingkatan energi ke-i dirumuskan :

!!1

!1

ii

iii

Ng

Ng

(9.10)

Contoh : Pada tingkatan energi ke-i terdapat 3 keadaan (gi = 3) dan 2 partikel (Ni = 2), maka banyaknya cara /kemungkinan distribusi berdasarkan persamaan (9.10) adalah :

!2!2

!4

!2!13

!213

!!1

!1

ii

iii

Ng

Ng

6i

79

Tabel 9.3. Banyaknya cara/kemungkinan distribusi Keadaan dari 2 partikel terbedakan pada 3 tingkatan energi berdasarkan statistik Bose-Einstein

1 2 3 • • • • • • • • • • • •

Keenam cara tersebut digambarkan sesuai tabel 9.3. Untuk masing-masing distribusi cara tingkatan energi, hanya terdapat satu kemungkinan yang terjadi. Sedangkan total banyaknya cara/kemungkinan distribusi keadaan atau peluang termodinamika pada keadaan makro tertentu untuk setiap tingkatan energi berdasarkan statistik Bose-Einstein (B-E) dirumuskan:

!!1

!1

ii

ii

iiikEB

Ng

NgWW

(9.11)

Contoh : Pada tingkatan energi p dan q dengan degenerasi pada tingkatan energi p (gp) = 3 dan banyaknya partikel (Np) = 2, serta degenerasi pada tingkatan energi q (gq) = 2 dan banyaknya partikel (Nq) = 1, maka peluang termodinamika pada keadaan makro ke-k yang terdapat Np = 2, Nq = 1, berdasarkan statistik B-E adalah (menggunakan persamaan 9.11) :

!!1

!1

ii

ii

iiikEB

Ng

NgWW

!1!12

!112

!2!13

!213

kEB WW

26!1!1

!2

!2!2

!4xWW kEB

12 kEB WW

80

9.5. Latihan soal : 1. Jika terdapat partikel takterbedakan mengikuti

Statistik Bose-Eisntein (B-E), dimana terdapat 7 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 6gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik B-E ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ? Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik B-E k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 __

iN

6 • 0,041

5 • 0,088

4 • • 0,205

3 •• • • 0,410

2 • • ••• •• • 0,830

• •• • ••• •• •• ••

••• •••

1,600

0 ••• ••

•• ••

•• ••

•• ••

•••

•••

••• •• •• • 2,830

Wk 63 135 135 90 180 270 100 180 216 135 28 1532 b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 11. c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (9.11) :

!!1

!1

ii

ii

iiikEB

Ng

NgWW

213!5!2

!7

!1!2

!3

!5!13

!513

!1!13

!1131 xWW EB

631 WW EB

81

1533!4!2

!6

!1!2

!3

!1!2

!3

!4!13

!413

!1!13

!113

!1!13

!11332

xx

WWW EB

13532 WWW EB

156!4!2

!6

!2!2

!4

!4!13

!413

!2!13

!2134 xWW EB

904 WW EB

3610!1!2

!3

!2!2

!4

!3!2

!5

!1!13

!113

!2!13

!213

!3!13

!31385

xx

WWW EB

18085 WWW EB

2710!1!2

!3

!3!2

!5

!1!13

!113

!3!13

!31333

6 xWW EB

2706 WW EB

1010!3!2

!5

!3!2

!5

!3!13

!313

!3!13

!3137 xWW EB

1007 WW EB

333

9 6!2!2

!4

!2!13

!213

WW EB

2169 WW EB

915!1!2

!3

!4!2

!6

!1!13

!113

!4!13

!41322

10 xWW EB

13510 WW EB

!6!2

!8

!6!13

!61311WW EB

2811 WW EB

82

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

11

1

28......13513563iW

1532 e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi :

kk

ki WNN

2

__ 1 (9.12)

1532

43321351.....13541354635

1532

1__

0 xxxxN

830,2__

0 N

286.....2701180213511532

1__

1 xxxxN

600,1__

1 N

1351.....1003270113511532

1__

2 xxxxN

830,0__

2 N

180127019021532

1__

3 xxxN

411,0__

3 N

180113511532

1__

4 xxN

205,0__

4 N

13511532

1__

5 xN

088,0__

5 N

6311532

1__

6 xN

041,0__

6 N

83

f. banyaknya total kedudukan partikel adalah :

iii NN

__

(9.13)

041,0088,0205,0411,0830,0600,1830,2__

i

ii NN

6__

i

ii NN

2. Berdasarkan tabel dalam jawaban soal 1.a, jika

sebuah partikel pada tingkatan energi kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut, tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh

kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari distribusi statistik B-E ? b. berapakah banyaknya keadaan makro

(macrostate) yang terbentuk ? c. banyaknya peluang termodinamika pada

masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ? Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik B-E, jika sebuah partikel pada tingkatan energi kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 __

iN

6

5

4 • 0,129

3 • 0,259

2 •• • 0,655

• •• •• ••

1,400

0 •• ••

•••

••• •• • 2,560

Wk 45 90 60 108 45 348 b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 5.

84

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (9.11) :

!!1

!1

ii

ii

iiikEB

Ng

NgWW

153!4!2

!6

!1!2

!3

!4!13

!413

!1!13

!1133 xWW EB

453 WW EB

1033!3!2

!5

!1!2

!3

!1!2

!3

!3!13

!313

!1!13

!113

!1!13

!1136

xx

WW EB

906 WW EB

106!3!2

!5

!2!2

!4

!3!13

!313

!2!13

!2137 xWW EB

907 WW EB

366!1!2

!3

!2!2

!4

!2!2

!4

!1!13

!113

!2!13

!213

!2!13

!2139

xx

WW EB

10885 WWW EB

315!1!2

!3

!4!2

!6

!1!13

!113

!4!13

!41310 xWW EB

4510 WW EB

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

10

3

45108609045iW

348

85

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi :

kk

ki WNN

2

__ 1 (9.12)

348

8914511082603903454

348

1__

0 xxxxxN

560,2__

0 N

4541082901348

1__

1 xxxN

400,1__

1 N

1081602348

1__

2 xxN

655,0__

2 N

901348

1__

3 xN

256,0__

3 N

451348

1__

4 xN

129,0__

4 N

f. banyaknya total kedudukan partikel adalah :

iii NN

__

(9.13)

i

ii NN 129,0258,0655,0400,1560,2__

5__

i

ii NN

86

9.6. Pekerjaan rumah : 1. Jika terdapat partikel takterbedakan mengikuti

Statistik Bose-Eisntein (B-E), dimana terdapat 7 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 7, U = 6gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh

kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari distribusi statistik B-E ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ? 2. Jika terdapat partikel takterbedakan mengikuti

Statistik Bose-Eisntein (B-E), dimana terdapat 8 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 7gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh

kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari distribusi statistik B-E ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

87

BAB X. PENDAHULUAN MEKANIKA STATISTIK

10.1. Statistik Fermi-Dirac (F-D) Banyaknya distibusi keadaan untuk tingkatan energi ke-i dirumuskan :

!!

!

iii

ii

NNg

g

(10.1)

Syarat dalam statistik F-D bahwa ii Ng (degenerasi (gi) harus lebih besar sama dengan

partikel dalam kotak). Contoh : Pada tingkatan energi ke-i terdapat 3 keadaan (gi = 3) dan 2 partikel (Ni = 2), maka banyaknya cara /kemungkinan distribusi berdasarkan persamaan (10.1) adalah :

!2!1

!3

!2!23

!3

!!

!

iii

ii

NNg

g

3i

Ketiga cara tersebut digambarkan sesuai tabel 10.1. Tabel 10.1. Banyaknya cara/kemungkinan distribusi Keadaan dari 2 partikel terbedakan

pada 3 tingkatan energi berdasarkan statistik Fermi-Dirac 1 2 3 • • • • • •

Untuk masing-masing distribusi cara tingkatan energi, hanya terdapat satu kemungkinan yang terjadi. Sedangkan total banyaknya cara/kemungkinan distribusi keadaan atau peluang termodinamika pada keadaan makro tertentu untuk setiap tingkatan energi berdasarkan statistik Fermi-Dirac (F-D) dirumuskan:

!!

!

iii

i

iiikDF

NNg

gWW

(10.2)

10.2. Latihan soal : 1. Jika terdapat partikel takterbedakan mengikuti

Statistik Fermi-Dirac (F-D), dimana terdapat 5 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 6gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh

kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari distribusi statistik F-D ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

88

Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik F-D

k 1 2 3 4 5 __

iN

4 • 0,123

3 • • 0,494

2 • ••• •• 1,150

•• • ••• •• 1,730

0 •••

•••

••• •• •• 2,510

Wk 9 27 1 9 27 73

b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 5. c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (10.2) :

!!

!

iii

i

iiikDF

NNg

gWW

331

!1!13

!3

!2!23

!3

!3!33

!341 xxWWW DF

941 WWW DF

3

3

2 31!1!13

!3

!3!33

!3xWW DF

272 WW DF

2

2

3 1!3!33

!3

WW DF

13 WW DF

3

3

5 3!2!23

!3

WW DF

275 WW DF

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

11

1

2791279iW

73

89

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi dalam statistik M-B sama dengan B-E :

kk

ki WNN

2

__ 1 (10.3)

73

189272923127393

73

1__

0 xxxXxN

510,2__

0 N

272932719273

1__

1 xxxxN

730,1__

1 N

2721327173

1__

2 xxxN

150,1__

2 N

9127173

1__

3 xxN

494,0__

3 N

9173

1__

4 xN

123,0__

4 N

f. banyaknya total kedudukan partikel (sama seperti statistik B-E) adalah :

iii NN

__

(10.4)

i

ii NN 123,0494,0150,1730,1510,2__

007,6__

i

ii NN

2. Berdasarkan tabel dalam jawaban soal 1.a, jika

sebuah partikel pada tingkatan energi kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut, tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik F-D ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

90

Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik F-D, jika sebuah partikel pada tingkatan energi kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut

k 1 2 3 4 5 __

iN

4 0,123

3 • 0,494

2 •• • 1,150

• •• 1,730

0 •••

••• •• 2,510

Wk 27 1 27 73 b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 3. c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (10.2) :

!!

!

iii

i

iiikDF

NNg

gWW

2

2

2 31!1!13

!3

!3!33

!3xWW DF

92 WW DF

31

!2!23

!3

!3!33

!33 xWW DF

33 WW DF

33

!1!13

!3

!2!23

!3 2

2

5 xWW DF

275 WW DF

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

5

2739iW

39

91

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi dalam statistik F-D:

kk

ki WNN

2

__ 1 (10.3)

39

902723393

39

1__

0 xxxN

310,2__

0 N

2729139

1__

1 xxN

620,1__

1 N

2713239

1__

2 xxN

846,0__

2 N

9139

1__

3 xN

231,0__

3 N

f. banyaknya total kedudukan partikel adalah :

iii NN

__

(10.4)

i

ii NN 231,0846,0620,1310,2__

007,5__

i

ii NN

10.3. Statistik Maxwell-Boltzmann Banyaknya distibusi keadaan untuk tingkatan energi ke-i dirumuskan :

iN

ii g (10.5)

Contoh : Pada tingkatan energi ke-i terdapat 3 keadaan (gi = 3) dan 2 partikel (Ni = 2), maka banyaknya cara /kemungkinan distribusi berdasarkan persamaan (12.3) adalah :

23 iN

ii g

9i

Kesembilan cara tersebut digambarkan sesuai tabel 10.2.

92

Tabel 10.2. Banyaknya cara/kemungkinan distribusi Keadaan dari 2 partikel terbedakan pada 3 tingkatan energi berdasarkan statistik Maxwell-Boltzmann

1 2 3 a b

a b a b a b b a a b b a a b b a

Dalam statistik M-B setiap partikel dalam kotak dibedakan. Untuk masing-masing distribusi cara tingkatan energi, hanya terdapat satu kemungkinan yang terjadi. Sedangkan total banyaknya cara/kemungkinan distribusi keadaan atau peluang termodinamika pada keadaan makro tertentu untuk setiap tingkatan energi berdasarkan statistik Maxwell-Boltzmann (M-B) dirumuskan:

!!

i

N

i

ikBM

N

gNWW

i

(10.6)

10.4. Latihan soal : 1. Jika terdapat partikel terbedakan mengikuti Statistik Maxwell-Boltzmann (M-B),

dimana terdapat 7 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 6gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik M-B ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

93

Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik M-B k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 __

iN

6 • 0,013

5 • 0,065

4 • • 0,195

3 •• • • 0,455

2 • • ••• •• • 0,910

• •• • ••• •• •• ••

••• •••

1,640

0 ••• ••

•• ••

•• ••

•• ••

•••

•••

••• •• •• • 2,730

Wk 18 90 90 45 180 360 60 180 270 90 3 1386x35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 11. c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (10.4) :

!!

i

N

i

ikBM

N

gNWW

i

!1

3

!5

3!6

15

1WW BM

51 318 xWW BM

5

214

32 3330!1

3

!4

3!6 xxWWW BM

532 390 xWWW BM

2

3330

!2

3

!4

3!6

524

4

xxWW BM

54 345 xWW BM

2

33120

!1

3

!2

3

!3

3!6

5123

85

xxWWW BM

585 3180 xWWW BM

5

313

6 33120!1

3

!3

3!6 xxWW BM

56 3360 xWW BM

94

8

33!6

!2

3!6

532

9

xWW BM

59 3270 xWW BM

!4

33!6

!4

3

!1

3!6

5421

10

xWW BM

510 390 xWW BM

56

11 33!6

3!6 xWW BM

511 33 xWW BM

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

11

1

555 33......390318 xxxWi

531386x e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi :

kk

ki WNN

2

__ 1 (10.7)

555

5

__

0 3901.....3904318531386

1xxxxxx

xN

730,2__

0 N

555

5

__

1 336.....33601390131386

1xxxxxx

xN

640,1__

1 N

555

5

__

2 3901.....33601390131386

1xxxxxx

xN

910,0__

2 N

555

5

__

3 3180133601345231386

1xxxxxx

xN

455,0__

3 N

95

55

5

__

4 31801390131386

1xxxx

xN

195,0__

4 N

5

5

__

5 390131386

1xx

xN

065,0__

5 N

5

5

__

6 318131386

1xx

xN

013,0__

6 N

f. banyaknya total kedudukan partikel adalah :

iii NN

__

(10.8)

013,0065,0195,0455,0910,0640,1730,2__

i

ii NN

6__

i

ii NN

2. Berdasarkan tabel dalam jawaban soal 1.a, jika sebuah partikel pada tingkatan energi

kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut, tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik M-B ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

96

Jawab : a. Gambar dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh keadaan dari

distribusi statistik M-B, jika sebuah partikel pada tingkatan energi kedua melompat keluar (menghilang) dari distribusi tersebut

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 __

iN

6

5

4 • 0,074

3 • 0,286

2 •• • 0,714

• •• •• ••

1,430

0 •• ••

•••

••• •• • 2,500

Wk 5 20 10 30 5 70x35 35 35 35 35 35 b. banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk adalah 5. c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? Berdasarkan persamaan (10.11) :

!!

i

N

i

ikBM

N

gNWW

i

!1

3

!4

3!5

14

103 WWW BM

5103 35 xWWW BM

5

213

6 320!1

3

!3

3!5 xWW BM

56 320 xWW BM

2

320

!2

3

!3

3!5

523

8

xWW BM

58 310 xWW BM

4

3!5

!1

3

!2

3!5

5122

9

xWW BM

56 330 xWW BM

97

d. banyaknya total peluang termodinamika ?

10

3

55555 3533031032035 xxxxxWi

5370x e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi :

kk

ki WNN

2

__ 1 (10.9)

55555

5

__

0 351330231033203354370

1xxxxxxxxxx

xN

500,2__

0 N

555

5

__

1 35433023201370

1xxxxxx

xN

430,1__

1 N

55

5

__

2 33013102370

1xxxx

xN

714,0__

2 N

5

5

__

3 3201370

1xx

xN

286,0__

3 N

5

5

__

4 351370

1xx

xN

074,0__

4 N

f. banyaknya total kedudukan partikel adalah :

iii NN

__

(10.10)

i

ii NN 074,0286,0714,0430,1500,2__

5__

i

ii NN

98

10.5. Pekerjaan rumah : 1. Jika terdapat partikel takterbedakan mengikuti

Statistik Fermi-Dirac (F-D), dimana terdapat 5 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 7gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik F-D ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ? 2. Jika terdapat partikel terbedakan mengikuti Statistik Maxwell-Boltzaman (M-B),

dimana terdapat 5 kemungkinan tingkatan energi dari keadaan makro (macrostate) dengan kondisi N = 6, U = 7gi = 3, Tentukanlah : a. gambarkan dalam bentuk tabel seluruh kedudukan partikel dalam seluruh

keadaan dari distribusi statistik M-D ? b. berapakah banyaknya keadaan makro (macrostate) yang terbentuk ?

c. banyaknya peluang termodinamika pada masing-masing keadaan makro ? d. banyaknya total peluang termodinamika ?

e. banyaknya rata-rata kedudukan partikel pada setiap tingkatan energi ? f. banyaknya total kedudukan partikel ?

99

Bab XI. Fungsi Gamma dalam termodinamika

11.1. Fungsi Gamma (fungsi Faktorial)

Dapat didefinisikan sebagai

A. Integral tertentu

0

1dtzttez Re(z)>0

B. Limit tak hingga

)().........2)(1(

.)1.........(3.2.1lim

nzzzz

znnn

nz

Bukti:

ndtzt

n

n

tnzF

0

11),(

ndtzt

n

n

t

n

ndtzt

n

n

t

nnzF

n 0

11lim0

11lim),(lim

Diketahui : te

n

n

t

n

1lim

Bukti:

Ambil : An

n

t

n

1lim , dikalikan ln sehingga menjadi

n

tn

n

m

n

t

nA 1lnlim1lnlimln

0

0

0

1ln

1

1ln

1

1ln

lim

t

n

m

n

t

n (TD)

100

Memakai Metode Lophital

n

t

t

n

n

n

t

n

t

nn

n

t

nA

1

lim

2

1

21

1

lim1

1ln

limln

tt

t

tA

011

ln

teA

Jadi te

n

n

t

n

1lim

Kasus khusus untuk t = -1 maka

en

nn

en

nn

11lim

1)1(1lim

Kembali ke definisi I

0

11, dtztn

n

tnzF

0

1dtzttez (terbukti)

Kembai ke definisi II

ndtzt

n

n

tnzF

0

11,

Misal nutn

tu

ndudt

101

Syarat batas 00 11 ut

122 unt

ndunuunzFz

n

11

0

1,

duunnu zz

n

1111

0

1

z

udunduuun

zn

zz

n

z

1

0

11

0

11

1

0

1 znz

uduz

n

Memakai Metode Integral Parsial

qdpqppdq .

81

0

1 udu

n

nup 1 zuddq

duundpn 1

1

zuq

1

0

11

0

1

0

1..11 duunuuuudunzznz

n

1

0

1

0

111

111

z

udunduuun

znzn

Kembali memakai integral parsial

11

nup 1 zuddq

duundpn 2

11

1 zuq

1

0

1

0

211

011

11..11

1 duunuuuz

nudu

nzznzn

1

0

1111

duuunz

n zzn

1

0

1

0

22

2.1

1

11

z

udu

z

nnudu

znzn

.... dan seterusnya maka :

102

1

0

1, znz

uduz

nnzF

nzzz

nnn

z

n

...21

1.2.3...21

nzzzz

nnnnnzF

z

...21

..12...3.2.1,

Jadi

nzzzz

znnnn

nz

...21

.12...3.2.1lim (terbukti)

Selanjutnya kita bisa mencari hubungan rekursinya (Fungsi Gamma/Fungsi Faktorial)

nzzzz

znnnn

nz

...21

..12...3.2.1lim

nznzzzz

znnn

nz

1...321

11...3.2.1lim1

nzzzzz

znnn

nz

zn

n

...321

..1...3.2.1.

1

.lim

nzzzz

znnn

nnz

zn

n

...21

..1...3.2.1lim.

1

.lim

zzz 1

Fungsi Gamma merupakan fungsi faktorial untuk harga 1z (bilangan bulat)

*

1...3.2.1

..1...3.2.1lim1

nn

znnn

n

1lim

n

n

n

!011

103

* 21....4.3.2

2..1...3.2.1lim2

nnn

nnn

n

232

2lim

21

2lim

nn

n

nnn

n

n

!112

*

3211...5.4.3

3.1...3.2.1lim3

nnnnn

nnn

n

321

3lim.2.13

nnn

n

n

2!22.13

*

4321...6.5.4

4..1...5.4.3.2.1lim4

nnnnn

nnn

n

4321

4lim.3.2.1

nnnn

n

n

!33.2.14

Jadi !1 zzzz

11.2. Latihan Soal

1. Buktikanlah bahwa:

0

1dtzttez dapat ditulis:

a.

0

122 dyzyyez

b.

1

0

11

ln dyy

z

z

104

Jawab :

a.

0

1220

12 2

dyzyyedtttez

misal ydydtyt 22

0

2122

ydyzyyez

0

1222

dyzyyez , terbukti

b.

1

0

121

ln0

1 dyy

dtzttez

misal yyy

t lnln1

ln 1

teytyyt lnln

dtedy t dydte t

Syarat batas:

10 011 eyt

0

122

eeyt

0

1dtzttez

0

1dtzttez

0

1

1

.1

ln dyy

z

1

0

11

ln dyy

z

z

, terbukti

105

2. Diketahui bahwa:

zzz

sin1 , untuk 0<z<1.

Buktikanlah bahwa 2

1

Jawab:

90sin

2

1sin

2

11

2

1

2

1z

2

2

1

2

1!

2

1 , terbukti

3. Diketahui bahwa

zzz 1

!1! zzz

z

zz

!!1

Maka 11

!1!01

0

1

0

!0!10

!1 nn , n = bilangan bulat negatif

Lalu didapat z

zzz

sin!!

106

4. Berdasarkan soal no. 2 dan 3, kita dapat mencari hubungan rekursi fungsi gamma

/fungsi faktorial pecahan 2

1. Tentukanlah:

a. !2

3

2

1

c. !

2

7

2

5

e. !

2

3

2

5

b. !2

5

2

3

d. !

2

1

2

3

Jawab

a. z

zzzzz

11

!1! zzz

z

zz

!!1

2

1

2

11

2

11

2

1 zz

2

1

2

1

2

1

2!2

12

2

12

2

1

z

zz

1

Untuk 2

3z

22

12

2

1

12

1

2

1

107

b. z

zz

1

untuk 2

1

3

2

2

3

12

3

2

3

2

3

z

3

42

3

2

2

3

c. z

zz

1

untuk 2

3

5

2

2

5

2

3

2

5

2

5

z

15

8

3

4

5

2

2

5

d. z

zz

1

zzz 1 Untuk 2

1

2

1

2

1

2

3

2

1z

e. zzz 1

untuk 2

1

2

3

2

3

2

3

2

5

2

3z

4

3

2

5

108

5. Dari soal no.4, gambarkanlah sketsa fungsi gamma/fungsi faktorial

Jawab:

Dari soal no.4 didapatkan :

2!2

3

2

1

3

4!

2

5

2

3

15

8!

2

7

2

5

~! z untuk 1z ,

z = bilangan bulat negatif

!

2

1

2

1

2

1!

2

1

2

3

4

3!

2

3

2

5

, dan seterusnya

1 2 3 4 0 -2 -1 -3 -4 -5

z!

z

3

4

15

8

2

109

11.3. Pekerjaan rumah

1. Buktikanlah bahwa :

a. 4

5!

4

1

0

4

dxxe

b. 27

24

3

11ln

41

0

3

2

dx

xx

110

BAB XII. Penerapan Fungsi Gamma dalam distribusi Maxwell (Teori kinetika gas)

12.1. Penerapan fungsi gamma Distribusi Maxwell merupakan distribusi kecepatan partikel dalam kinetika gas

digambarkan sebagai berikut :

N

jumlah

partikel

T3>T2>T1

T3 T2 T1

V(kecepatan)

N

N+dN

dN

N

dV

V V+dV V

Jumlah partikel yang memiliki kecepatan antara v dan v+dv dirumuskan

dvvkT

mv

kT

m

N

N 22

2

3

0 2exp

24

Jika harga ekspektasi (harga rata-rata) nv adalah

0 0N

dNvv nn

111

12.2. LATIHAN SOAL : Buktikan bahwa

1. !

2

1

!2

1

2

2

3

2

3

2 22

n

m

kT

n

m

kTv

nn

n

2. m

kTrataratakecepav

8tan

3. m

kTvvrms

32

Jawab :

1. dvvekT

mv

N

dNvv kT

mvnnn 22

2

3

00

2

24

dvevkT

mv kT

mvnn 2

0

22

3 2

24

dtet

kT

mv tzn 2

0

122

3

22

2

Misal vkT

mtv

kT

mt

2

1

22

22

tm

kTv

2

1

2

dtm

kTdv

2

1

2

dt

m

kTet

m

kT

kT

mv t

n

n2

12

2

1

0

2

3

222

22

2

112

dtetm

kT

m

kT

kT

mv tn

n

n 222

2

0

2

1

2

3

22

2

22

dtetm

kT

m

kT

kT

mv tn

n

n 22

0

2

2

2

1

2

3

222

22

dtet

m

kT

kT

mv tn

n

n 22

0

2

3

22

3

22

22

dtetm

kT

m

kT

kT

mv tn

n

n 22

0

22

3

2

3

2

3

222

2

12

dtet

m

kTv tz

n

n 212

0

2

221

2

2

332212

22 2

nznznz

m

kTv

n

n

2

3

2

3

2

2

2

3

2 22

n

m

kT

n

m

kTv

nn

n

!

2

1

!2

1

2 2

n

m

kTv

n

n

TERBUKTI

113

2. Kecepatan rata-rata = ekspektasi kecepatan

m

kT

m

kT

m

kT

m

kTvn

822

2

1

!12

!2

1

!2

11

2 2

1

2

1

TERBUKTI

3. vrms = Kecepatan root mean square

2

1

2

2

2

122

!2

1

!2

12

2

m

kTvvvrms

2

12

1

2

1

2 3

!2

1

!2

1

2

3

2

!2

1

!2

3

2

m

kT

m

kT

m

kTvvrms

m

kTvvrms

32 TERBUKTi

02. Diketahui distribusi gamma dirumuskan sebagai berikut :

0,0

0,1

1

1

xxf

xexxfx

Jika harga ekspetasi jarak xn adalah xxfxx nn

0

Buktikanlah bahwa :

a

nx nn

b harga ekspetasi = x

c varian = 2222 xx

114

Jawab :

1. xexxxx

nn

1

1

0

1

xexxx

nn

1

1

0

1

Misal txtxxt

1

tetx tnn

1

0

1

tetx tnnn

1

0

11

tetx tz

nn

1

0

nznzxn

n

11

nx nn

TERBUKTI

2.

11x

x TERBUKTI

3.

222 xx

1

2222

x , maka

2222 x

2222 x dan

22222222 xx

22 x TERBUKTI

115

12.3. PEKERJAAN RUMAH

01. Diketahui bahwa fungsi distribusi kelajuan molekul dirumuskan :

kT

mv

evF 22

2

,

buktikanlah bahwa kelajuan maksimumnya sebesar : m

kTv

2max !

02. Jika diketahui peluruhan radioaktif dirumuskan sebagai berikut :

teNtN 0 , di mana = konstanta peluruhan dan waktu rata-rata yang

dibutuhkan partikel untuk meluruh (mean lifetime = ) antara t dan t + dt dirumuskan sebagai berikut :

dt

t

tN

dtt

tNt

)(

)(

0

0. Berbantuan penyelesaian fungsi gamma,

buktikanlah bahwa :

1

116

DAFTAR PUSTAKA 1. Arfken, G.B., and H.J. Weber. Mathematical Methods for Physicists, 4th edn,

Academic Press, Inc., San Diego, (1995). 2. Debye, P. Polar Molecules. Dover Publications, Inc., New York, (1945). 3. Fraden, J. Handbook of Modern Sensors : Physics, Designs and Applications.

Springer-Verlag New York, Second Edition, (1996). 4. F.W. Sears and G.L. Salinger. Thermodynamics, kinetic and statistical mechanics.

Addison-Wesley Publishing Co, Inc., Reading. (1975). 5. Irzaman, Y. Darvina, A. Fuad, P. Arifin, M. Budiman, and M. Barmawi. Physical and

Pyroelectric Properties of Tantalum Oxide Doped Lead Zirconium Titanate [Pb0.9950(Zr0.525Ti0.465Ta0.010)O3] Thin Films and Its Application for IR Sensor. Journal of Physica Status Solidi (a), 199 (3), (2003).

6. M.W. Zemansky and R.H. Dittman. Heat and thermodynamics. 6th edition. McGraw Hill Inc. 1982. (maupun terjemahannya).

7. Sze, S.M. Physics of Semiconductor Devices. 2nd edn. John Wiley & Sons, Singapore, (1981).

8. Uchino, K. Ferroelectric Devices, Marcel Dekker, Inc. New York. (2000).